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ESCUELA DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
PROYECCIONES PRINCIPALES,
POSICIONES PARTICULARES,
ORIENTACIÓN Y PENDIENTE DE UNA
RECTA.
Elaborado por:
Ing. Manuel Jesús Castillo Flores
LA RECTA
PROYECCIONES PRINCIPALES DE UNA RECTA
Para obtener las proyecciones principales de una recta, solo se
proyecta dos puntos de la misma. Para lo cual el observador mira
perpendicularmente la plano horizontal ve los puntos A y B, los
proyecta al plano H y se obtiene la proyección horizontal de la recta
AB.
El observador mira desde el
infinito o donde este parado.
B
AH
H
H
F
A
B
F P
Enseguida el observador mira perpendicularmente al plano frontal
ve los puntos A y B, los proyecta al plano F y se obtiene la
proyección frontal de la recta AB.
B
AH
H
F
A
AF
B
BF
F P
El observador mira desde el
infinito o donde este parado.
H
Después mira perpendicularmente al plano de perfil ve los puntos A
y B los proyecta al plano P y se obtiene la proyección de perfil de la
recta AB..
B
AH
H
H
F
A
AF
B
AP
BP
BF
F P
El observador mira desde el
infinito o donde este parado.
Luego aparecen las proyecciones principales de la recta AB.
B
AH
H
H
F
A
AF
B
AP
BP
BF
F P
DEPURADO DE UNA RECTA
Para obtener el depurado de la recta, el plano frontal se mantiene
fijo. El plano horizontal se gira 90° alrededor de la línea de pliegue
H/F, hasta que coincida con el plano frontal.
B
AH
H
H
F
A
AF
B
AP
BP
BF
F P
B
H
90°
AH
H
F
A
AF
B
AP
BP
BF
F P
Luego el plano de perfil se gira 90° alrededor de la línea de pliegue
F/P, hasta confundirse con el plano frontal, y aparecen los tres
planos proyectados en un solo plano.
B
H
AH
H
F
90°
AF
AP
BF
F P
BP
BH
AH
H
F
AP
AF
BF
F P
BP
Ilimitamos los planos y se determina el depurado de la recta AB.
BH
AH
H
F
AP
AF
BF
F P
BP
PUNTO CONTENIDO EN UNA RECTA
Un punto esta contenido en una recta, cuando la proyección del
punto esta sobre la proyección de la recta, en todas las vistas en las
que se proyecte.
AS
S
XS
BS
P
Si un punto esta contenido en un segmento de recta, su proyección
del punto divide a la del segmento de recta en la misma proporción
que el punto divide al segmento, además todas sus proyecciones
quedarán divididas en la misma proporción, si esta proporción es
igual a 1 eso quiere decir que el punto es punto medio del
segmento.
Ejemplo.- Determinar las proyecciones H y F de un punto X
contenido en el segmento de recta AB y se cumple que
AX/XB = 3/5.
BH
AH
H
F
AF
BF
Solución:
1.- Emplearemos el método de la proporcionalidad para dividir la
proyección horizontal. Por el extremo A se traza un segmento de
recta y se divide en ocho partes iguales.
BH
5
AH
3
H
F
AF
BF
2.- Se traza una recta que une el punto B con el octavo punto de
división del segmento, luego por la tercera división se traza una
recta paralela a la recta anterior que pasa por B y corta a la
proyección horizontal de la recta AB en el punto XH, este punto
divide a la proyección horizontal en la proporción de 3 a 5.
BH
XH
AH
5
3
H
F
AF
BF
3.- Se proyecta el punto X a la vista frontal y obtenemos XF.
BH
XH
AH
5
3
H
F
AF
XF
BF
VERDADERA MAGNITUD DE UNA RECTA
La verdadera magnitud (V.M.) de una recta es su longitud real o
cuanto mide, se puede expresar en milímetros, metros, etc.
La proyección de un segmento de recta es siempre menor, o en
caso particular, es igual a la proyección del segmento en verdadera
magnitud, pero nunca mayor. A continuación se muestra el
bosquejo espacial.
H
BH
1
H
AH
B1
V.M.
F
B
V.M.
BF
A
A1
AF
El observador mira desde el
infinito o donde este parado,
perpendicularmente al plano 1
F P
Ejemplo.- Determinar la verdadera magnitud de la recta AB
BH
AH
H
F
AF
BF
PRIMER MÉTODO: Empleando una vista auxiliar.
1.- Se traza el plano 1 paralelo a la proyección horizontal (puede ser
a cualquier proyección).
1
H
BH
AH
H
F
AF
BF
2.- Se trazan las líneas de referencia perpendiculares a la línea de
pliegue H/1
1
H
BH
AH
H
F
AF
BF
3.- Se lleva la cota del punto A sobre la línea de referencia y se
determina la proyección A1.
1
H
BH
AH
H
F
cA
cA
AF
A1
cB
BF
4.- Se lleva la cota del punto B sobre la línea de referencia y se
determina la proyección B1, se une A1 y B1 y se determina la
verdadera magnitud de la recta AB en la vista 1.
1
H
BH
AH
cB
H
F
cA
cA
AF
cB
BF
V.M.
A1
B1
SEGUNDO MÉTODO: Empleando diferencia de cotas
1.- Del punto 1 se traza una semirrecta, y sobre ella se mide la
longitud de la proyección horizontal de la recta determinando el
punto 2.
BH
AH
H
F
1
2
AF
BF
2.- Por cualquiera de los extremos(en este caso 2), se traza una
perpendicular y sobre ella se mide la longitud de la diferencia de
cotas, determinando el punto 3.
3.- Se determina la hipotenusa 1-3, que es la verdadera magnitud
de la recta AB.
BH
3
3
AH
H
F
1
AF
BF
2
1
2
TERCER MÉTODO: Empleando diferencia de alejamientos
1.- Del punto 1 se traza una semirrecta, y sobre ella se mide la
longitud de la proyección frontal de la recta, determinando 2.
2.- De uno de los extremos ( 2 ), se traza una perpendicular y sobre
ella se mide la longitud de la diferencia de alejamientos y se halla 3.
3.- La hipotenusa 1-3 es la verdadera magnitud de la recta AB.
BH
3
AH
H
F
1
2
AF
BF
CUARTO MÉTODO: Empleando diferencia de apartamientos
1.- Del punto 1 se traza una semirrecta, y sobre ella se mide la
longitud de la proyección de perfil de la recta y se halla 2.
2.- De uno de los extremos( 2 ), se traza una perpendicular y sobre
ella se mide la longitud de la diferencia de apartamientos hasta 3.
3.- La hipotenusa 1- 3 es la verdadera magnitud de la recta AB.
BH
3
AH
H
F
1
AP
AF
BF
BP
F P
2
Determinar la verdadera magnitud de la recta AB dada en las vistas
5 y 6.
B6
A6
6
5
A5
B5
QUINTO MÉTODO: Empleando diferencia de distancias
1.- Del punto 1 se traza una semirrecta, y sobre ella se mide la
longitud de la proyección 6 de la recta y se determina 2.
2.- De uno de los extremos ( 2 ), se traza una perpendicular y sobre
ella se mide la longitud de la diferencia de distancias y se halla 3.
3.- La hipotenusa 1-3 es la verdadera magnitud de la recta AB.
B6
6
3
A6
5
A5
1
2
B5
PROYECCIÓN DE UNA RECTA COMO PUNTO.
Se llama así, cuando una recta en una vista se proyecta como un
punto. A continuación se muestra un bosquejo espacial.
H
AH
1
H
BH
AP
F
V.M.
A1
V.M.
AF
BH
BP
B2 A2
B1
2
BF
1
AH
H
F
Ejemplo:
auxiliares proyectar
punto.
El observador mira desde el
infinito o donde este parado,
perpendicularmente al plano 2.
Empleando vistas
la recta AB como un
AF
BF
Solución:
1.- Se proyecta la recta a verdadera magnitud.
1
1
H
BH
H
BH
AH
AH
cB
H
F
H
F
cA
AF
cA
cA
AF
cB
BF
cB
V.M.
B1
A1
BF
2.- Se traza el plano de proyección 2, perpendicular a la recta en
verdadera magnitud en la vista 1, en el cual la recta AB se proyecta
como punto.
BH
1
H
d1
AH
cB
d1
H
F
1 2
d1
cA
cA
AF
B2A2
B1
V.M.
A1
cB
BF
POSICIONES PARTICULARES DE LÍNEA RECTAS.
Las líneas de posición particular son paralelas a uno o dos planos
de proyección, entre las cuales tenemos :
a.- RECTA HORIZONTAL O DE NIVEL.
Es paralela al plano principal horizontal. Se proyecta en verdadera
magnitud en el plano horizontal y las proyecciones frontal y de perfil
son paralelas a la línea de pliegue H/F. Todos sus puntos tienen
igual cota. Se muestra su bosquejo pictográfico.
AH
B
V.M.
H
H
F
B
V.M.
A
BP
AF
BF
AP
F P
Para determinar el depurado, se giran 90° los planos H y P
manteniendo fijo el plano frontal como se hizo con el depurado del
punto.
BH
A
V.
M
.
V.
M
.
BH
A
H
H
F
H
H
F
AF
B
AP
F
AF
BP
B
H F
AP
F
BP
H F
b.- RECTA FRONTAL
Es paralela al plano principal frontal. En la vista frontal se proyecta
en verdadera magnitud y su proyección horizontal es paralela a la
línea de pliegue H/F o su proyección de perfil es paralela a la línea
de pliegue F/P. Todos sus puntos igual alejamiento. Se muestra su
bosquejo pictográfico.
AH
H
B
F
H
A
AP
M
V.
AF
.
V.
.
M
B
BP
BF
F P
Para determinar el depurado, se giran 90° los planos H y P
manteniendo fijo el plano frontal como se hizo con el depurado del
punto.
B
AH
AH
H
H
B
H
H
F
F
AF
AF
AP
AP
.
M
V.
.
M
V.
BP
BF
BP
BF
F P
F P
c.- RECTA DE PERFIL
Es paralela al plano principal de perfil. En la vista de perfil se
proyecta en verdadera magnitud y las proyecciones frontal y
horizontal son paralelas a la línea de pliegue F/P. Todos sus puntos
tienen igual apartamiento. Se muestra su bosquejo pictográficol.
B
H
H
AH
F
A
AF
V.M
.
AP
B
V.M
.
BP
BF
F P
Para determinar el depurado, se giran 90° los planos H y P
manteniendo fijo el plano frontal como se hizo con el depurado del
punto.
AH
AH
BH
BH
H
F
H
F
AP
AF
AP
AF
M
V.
M
V.
.
.
BP
BF
BP
BF
F P
F P
d.- RECTA VERTICAL
Es perpendicular al plano principal horizontal y paralela a los
planos F y P. En la vista horizontal se proyecta como punto, y en
las vistas frontal y de perfil se proyectan en verdadera magnitud. Se
muestra su bosquejo pictográfico.
A H BH
H
F
V.M.
A
AP
V.M.
V.M.
AF
B
BP
BF
F P
Para determinar el depurado, se giran 90° los planos H y P
manteniendo fijo el plano frontal como se hizo con el depurado del
punto.
AH BH
AH BH
H
F
H
F
AF
BP
BF
V.M.
V.M.
BF
AP
V.M.
AP
V.M.
AF
BP
F P
F P
e.- RECTA ORTOFRONTAL o RECTA NORMAL
Es perpendicular al plano principal frontal y paralela a los planos H y
P. En la vistal frontal se proyecta como punto, y en las planos
horizontal y de perfil se proyectan en verdadera magnitud. Se
muestra su bosquejo pictográfico.
B
H
V.M
H
.
AH
F
B
.
V.M
A
.
V.M
AF BF
AP
F P
BP
Para determinar el depurado, se giran 90° los planos H y P
manteniendo fijo el plano frontal como se hizo con el depurado del
punto.
BH
V.M.
V.M.
BH
AH
AH
H
H
F
F
V.M.
AFBF
V.M.
AP
AFBF
BP
F P
AP
BP
F P
f.- RECTA ORTOPERFIL
Es perpendicular al plano principal de perfil y es paralela a los
planos H y F. En la vista de perfil se proyecta como punto, y en los
planos horizontal y frontal paralelas a la línea de pliegue H/F, en
verdadera magnitud y de igual longitud. Se muestra su bosquejo
pictográfico.
AH
H
V.M
.
B
F
H
A
V.M
AF
.
B
V.M
.
A PB P
BF
F P
Para determinar el depurado, se giran 90° los planos H y P
manteniendo fijo el plano frontal como se hizo con el depurado del
punto.
AH
V.M.
AH
BH
H
H
F
F
V.M.
AF
AP BP
V.M.
AP BP
V.M.
AF
BF
BH
BF
F P
F P
ORIENTACION DE UNA RECTA
La orientación de una recta solo se determina en el plano horizontal
y se mide, ya sea del Norte o del Sur . Nunca es mayor que 90°. Si
es cero grados la orientación de la recta es N (norte) o S (sur) y si
es 90° la orientación de la recta es E (este) u O (oeste). La
orientación depende de la dirección que tenga la recta.
Ejemplos:
1.- Determinar la orientación de la recta AB y de BA.
BH
AH
H
F
AF
BF
Solución:
1.- Como se pide la orientación de la recta AB, la rosa náutica se
traza en el punto A, si fuera de la recta BA se coloca en el punto B.
2.- Como la recta esta en el cuadrante NE, entonces la orientación
se mide a partir del norte y es N40°E, para la recta BA es S40°O.
N
BH
40°
N
40°
AH
O
H
F
BH
O
E
s
AH
E
H
F
s
AF
AF
BF
BF
2.- Determinar la orientación de la recta AB y de BA.
BH
AH
H
F
AF
BF
Solución:
1.- Se traza la rosa náutica en el punto A, porque se pide la
orientación de la recta AB, si fuera de la recta BA se coloca en el
punto B.
2.- Como la recta esta en el cuadrante NO, entonces la orientación
se mide a partir del norte y es N40°O, para la recta BA es S40°E
N
BH
BH
O
E
40°
N
AH
O
H
F
s
40°
AH
E
H
F
s
AF
AF
B
B
2.- Determinar la orientación de la recta AB y de BA.
AH
BH
H
F
AF
BF
1.- Se traza la rosa náutica en el punto A, porque se pide la
orientación de la recta AB, si fuera de la recta BA se coloca en el
punto B.
2.- Como la recta esta en el cuadrante SO, entonces la orientación
se mide a partir del sur y es S42°O, para la recta BA es N42°E.
N
AH
O
AH
E
N
42°
4 2°
s
BH
O
H
F
BH
H
F
E
s
AF
AF
BF
BF
2.- Determinar la orientación de la recta AB y de BA.
AH
BH
H
F
BF
AF
1.- Se traza la rosa náutica en el punto A, porque se pide la
orientación de la recta AB, si fuera de la recta BA se coloca en el
punto B.
2.- Como la recta esta en el cuadrante SE, entonces la orientación
se mide a partir del sur y es S41°E, para la recta BA es N41°O
O
AH
AH
E
41°
s 41°
BH
BH
O
H
F
H
F
s
BF
BF
AF
AF
2.- Determinar la orientación de la recta AB y de BA.
BH
AH
H
F
AF
BF
Solución:
N
E
1.- Se traza la rosa náutica en el punto A, porque se pide la
orientación de la recta AB, si fuera de la recta BA se coloca en el
punto B.
2.- Como la recta esta en la dirección Norte, entonces la orientación
de la recta es N (norte) y para la recta BA es S (sur)
N
BH
O
BH
N
O
H
F
AH
E
s
E
AH
s
H
F
AF
BF
AF
BF
3.- Determinar la orientación de la recta AB y de BA..
AH
BH
H
F
AF
BF
Solución:
1.- Se traza la rosa náutica en el punto A, porque se pide la
orientación de la recta AB, si fuera de la recta BA se coloca en el
punto B.
2.- Como la recta esta en l a dirección Este, entonces la orientación
de la recta AB es E (Este) y la de la recta BA es O (Oeste).
N
O
AH
N
E
BH
AH
O
s
E
s
H
F
AF
BH
H
F
BF
AF
BF
PENDIENTE DE UNA RECTA
La pendiente es el ángulo que hace la recta con el plano horizontal,
se determina en una vista de elevación en donde la recta tiene que
estar en verdadera magnitud.
Cuando se expresa en grados se le llama inclinación y cuando se
mide en porcentaje se le conoce con el nombre de pendiente o
gradiente, que viene a ser la tangente de la recta expresada en
porcentaje.
La pendiente de una recta, depende de la dirección que tenga y
puede ser ascendente o descendente.
Para medir la pendiente de una recta, existen los siguientes
métodos:
1.- Empleando una vista auxiliar ( vista de de elevación)
2.- Sin emplear vista auxiliar (Por diferencia de cotas)
3.- Sin emplear vista auxiliar ni diferencia de cotas.
Ejemplo: Determinar la pendiente de la recta AB
BH
AH
H
F
AF
BF
PRIMER MÉTODO: Empleando una vista auxiliar.
Solución:
1.- Se proyecta la recta en verdadera magnitud en una vista de
elevación
1
H
BH
AH
cB
H
F
cA
cA
AF
cB
BF
V.M.
A1
B1
2.- Se traza el plano horizontal en el punto A (por ser la pendiente
de la recta AB, si fuera de la recta BA se coloca en el punto B).
3.- Se mide el ángulo ß°, que es el ángulo que hace la recta con el
plano horizontal.
PL
AN
O
1
H
HO
RI
ZO
NT
A
L
BH
AH
H
F
BF
AF
AF
BF
4.- Se mide la pendiente de la recta AB en porcentaje.
Pendiente de AB = Tangente de ß° =( X/100 )x100 = X%
AH
10
0
H
F
X
PL
AN
O
1
H
HO
RI
ZO
NT
AL
BH
BF
AF
AF
BF
SEGUNDO MÉTODO: Empleando diferencia de cotas
BH
AH
H
F
AF
BF
Solución:
1.- Se determina la diferencia de cotas.
2.- Se mide el ángulo que hace la proyección horizontal con la
verdadera magnitud.
BH
AH
H
F
AF
BF
3.- Sobre la proyección horizontal se mide 100 , se traza una
perpendicular y se mide x unidades, la pendiente es X%.
TERCER
METODO: Sin
ni diferencia de
BH
AH
H
F
AF
BF
Solución:
emplear vista auxiliar
cotas.
1.- Como se la pendiente de la recta AB, Se mide desde AH y sobre
la recta 100 unidades determinando 1H.
2.- Por AF se traza una recta paralela a la línea de pliegue H/F, que
corta la línea de referencia de 1 en el punto 2 , se mide la distancia
desde 2 hasta el punto 1F, obteniendo 87 unidades , la pendiente
es 87% descendente.
BH
1H
AH
H
F
2
AF
1F
BF
POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS
1.- RECTAS QUE SE CORTAN
Dos rectas se cortan cuando tienen un punto común ( punto de
intersección), son coplanares. También se le conoce con los
nombres rectas secantes, rectas que se intersecan.
S
DS
AS
XS
BS
CS
P
Ejemplo: Depurado de las rectas AB y CD que se cortan.
DH
AH
XH
CH
BH
H
F
CF
BF
XF
AF
DF
2.- RECTAS QUE SE CRUZAN
Las rectas que se cruzan, ni se intersecan ni son paralelas. No son
coplanares.
L
M
I'P
IP
P
Ejemplo de dos rectas que se cruzan, como se muestra en el
depurado de las rectas AB y CD.
En el instante que se cruzan las rectas, se crea la distancia vertical
libre (1,2) o simplemente recta vertical (1,2).
En el plano horizontal se proyecta como punto, en el punto de
cruce de las rectas.
En el plano frontal o en una vista de elevación la distancia vertical
libre se proyecta en verdadera magnitud y perpendicular al plano
horizontal .
En el plano de perfil la distancia vertical libre se proyecta en
Verdadera magnitud y paralela a la línea de pliegue F/P.
En el ejemplo: si la distancia vertical mide 20 mm, se dice la recta
AB pasa 20 mm encima de la recta CD, o la recta CD pasa a la 20
mm, debajo de la recta AB.
H P
BH
BP
CH
CP
1 V.M. 2
1,2
AP
AH
DH
DP
H
F
AP
AF
DP
DF
V.M.
V.M.
1
CF
2
1
2
CP
BF
BP
FP
3.- RECTAS PARALELAS
Las rectas que son paralelas en el espacio, se proyectan paralelas
en todas las vistas ortográficas y en los dibujos axonométricos
(isométrico, dimétrico, trimétrico, etc.), tienen la misma pendiente y
son coplanares (están en un mismo plano).
El observador mira desde el
infinito o donde este parado.
S
BS
DS
El observador mira desde el
infinito o donde este parado.
B
D
AS
CS
A
C
BP
DP
AP
P
CP
No se ve el paralelismo de dos rectas cuando se proyectan como
punto o
estén
El observador mira desde el
confundidas infinito o donde este parado.
en una
proyección.
C
A
D
B
DPCP
BP A P
P
El observador mira desde el
infinito o donde este parado.
B
D
A
C
DP
BP
CP
P
AP
Ejemplo:
Determinar las proyecciones H y F de la recta de perfil CD,
sabiendo que es paralela a la recta de perfil AB.
AH
CH
BH
AF
BF
CF
PRIMER MÉTODO: APLICANDO LA DEFINICIÓN.
1.- Se traza una vista auxiliar 1 en cualquier posición.
2.- Se proyectan los puntos a la vista 1, por C1 se traza una
paralela a A1B1 (Las rectas paralelas en el espacio se proyectan
paralelas en todas las vistas ortográficas, etc.)
H 1
H 1
A1
C1
AH
BH
H
F
AF
BF
CH
CF
AH
BH
H
F
AF
CH
CF
BF
3.- En la recta paralela que pasa por C1 se elige el punto D1
arbitrario y se traza la línea de referencia, que corta a la recta
paralela trazada por CH en el punto DH.
4.- Se proyecta el punto D a la vista frontal obteniendo DF.
B1
H 1
A1
H 1
C1
C1
AH
BH
H
F
AF
B1
CH
AH
BH
H
F
AF
CF
BF
B1
CH
D1
DH
A1
D1
DH
CF
DF
BF
SEGUNDO MÉTODO: FORMANDO UN TRIÁNGULO.
1.- Por AH y CH se traza una recta y también por AF y CF.
2.- En la recta AC seleccionamos un punto cualquiera X.
AH
CH
AH
CH
XF
BH
BH
AF
AF
CF
CF
XH
BF
BF
3.- Se une el punto X con en las H y F.
4.- se traza la recta CD paralela a la recta AB en las vistas H y F.
AH
AH
CH
CH
XF
XF
BH
BH
AF
AF
CF
DH
CF
XH
XH
BF
BF
DF
TERCER MÉTODO: FORMANDO UN PARALELOGRAMO.
1.- Se une A con C en las proyecciones H y F.
2.- Por BH se traza una recta paralela a AH CH.
AH
CH
AH
BH
BH
AF
AF
BF
CF
BF
Por BF se traza una recta paralela AF CF.
CH
CF
3.-
4.- Se completa las proyecciones H y F de la recta CD.
AH
AH
CH
CH
BH
BH
DH
AF
CF
BF
AF
CF
BF
DF
CUARTO MÉTODO: DE LAS RECTAS SECANTES.
1.- Se supone una de proyecciones de CD (en este caso la
proyección horizontal).
2.- Se trazan las rectas AH DH y BH CH, determinando el punto XH.
AH
CH
AH
CH
XH
BH
AF
DH
CF
BF
3.- Se une BF con CF.
BH
AF
BF
DH
CF
4.- Se traza la línea de referencia de X y se determina XF. Se traza
la recta que por las proyecciones AF y XF y determinan DF.
AH
AH
CH
XH
XH
DH
BH
AF
CH
DH
BH
AF
CF
XF
CF
XF
BF
DF
BF
Ejemplo.- Verificar si las rectas AB y CD son paralelas, trabajar solo
en las proyecciones dadas.
BH
DH
AH
CH
H
F
CF
AF
DF
Solución:
BF
1.- Emplearemos el método de las rectas secantes: en la proyección
horizontal se unen los extremos opuestos de las rectas
determinando el punto de corte XH.
DH
BH
XH
AH
CH
H
F
CF
AF
DF
BF
2.- En la vista frontal se unen los extremos opuestos de las rectas
determinando el punto de corte XF.
BH
DH
XH
AH
CH
H
F
AH
H
F
CF
AF
CH
BH
DH
XH
XF
DF
CF
BF
3.- Si al trazar
AF
la línea de
XF
DF
BF
referencia de las proyecciones H y F del punto X, resulta paralela a
las línea de referencia de los puntos A, B, C y D, las rectas AB y CD
son paralelas.
Ejemplo: Determinar y medir cuanto se desplaza verticalmente el
punto C hasta C’ para que las rectas AB y CD sean paralelas.
AH
BH
CH
DH
AF
CF
BF
DF
Solución:
1.- En la proyección horizontal se unen los extremos opuestos de la
restas A con y B con C..
2.- En la proyección frontal se unen los extremos A y D.
CH
AH
XH
BH
CH
AH
XH
DH
AF
BH
DH
AF
CF
BF
DF
CF
BF
DF
3.- Se traza la línea de referencia de X determinando XF.
4.- Se traza la recta BX, que corta a la prolongación de la recta DC
en C’, obteniendo la recta DC’ paralela a la recta AB.
CH
AH
XH
BH
XH
DH
AF
BH
DH
C'F
AF
XF
BF
C'HCH
AH
XF
CF
DF
BF
CF
DF
4.- RECTAS PERPENDICULARES
Dos son perpendiculares cuando hacen o forman 90°.
Dos rectas que en el espacio son perpendiculares entre sí, tienen
sus proyecciones perpendiculares en un plano de proyección, si se
cumplen una de las dos condiciones siguientes:
- Que las dos rectas se proyecten en verdadera magnitud, o
- Que solo se proyecte en verdadera magnitud una de las
rectas.
Algunos autores consideran, que dos rectas coplanares, que se
cortan y hacen un ángulo de 90° le llaman perpendiculares, también
dos rectas que son perpendiculares entre sí en el espacio y se
cruzan, estas reciben el nombre de rectas ortogonales.
El producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es
igual a -1. (mAB x m CD = - 1)
L''P
P
IP
L' P
RECTAS PERPENDICULARES
L2
L1
P
I'' P
I'P
RECTAS ORTOGONALES
Ejemplo.- Completar las proyecciones H y F de la recta de perfil CD,
sabiendo que es perpendicular a la recta de perfil AB. La recta CD
mide 45 mm. tiene orientación Sur y pendiente ascendente.
AH
CH
BH
AF
CF
BF
PRIMERA SOLUCIÓN: APLICANDO LA DEFINICIÓN.
1.- Se trazan las líneas de pliegue H/F y H/P paralela a la
proyección horizontal de AB.
AH
H P
CH
BH
H
F
AF
CF
BF
2.- Se trazan las líneas de referencia para proyectar los puntos a la
vista de perfil.
AH
H P
CH
BH
H
F
AF
CF
BF
3.- Se proyectan los puntos a la vista de perfil, obteniendo la recta
AB en verdadera magnitud.
AH
H P
CH
V.
M
CP
.
BP
BH
H
F
AF
CF
BF
AP
4.- Aplicando la definición de rectas perpendiculares. por CP se
traza una recta perpendicular a la recta AB.
H P
AH
CH
AP
CP
V.
M
.
BP
BH
H
F
AF
CF
BF
5.- Sobre la perpendicular ,desde CP se mide 45 mm. obteniendo
DP, desde donde trazamos la línea de referencia que corta a la
recta con orientación Sur en el punto DH.
H P
AH
Sur
CH
BH
H
F
AF
DH
CF
BF
AP
V.
M
CP
.
DP
BP
6.- En la vista P se mide la cota c y se lleva a la vista frontal,
determinado DF.
H P
AH
AP
V.
M
Sur
CH
.
DP
DH
BH
H
F
AF
CP
BP
DF
CF
BF
SEGUNDO MÉTODO: EMPLEANDO DIFERENCIA DE COTAS.
1.- Se construye la diferencia de cotas de la recta AB, considerando
su pendiente descendente.
AH
CH
BH
V.
M
.d
AF
CF
BF
e
AB
.
2.- Del vértice del ángulo recto se traza una recta perpendicular de
45 mm. a la verdadera magnitud de AB y se determina la
proyección horizontal y la diferencia de cotas de la recta CD.
V.
M
.
45
de
m
m
AB
3.- Las medidas de la proyección horizontal y la diferencia de cotas
de la recta CD, se llevan al depurado, considerando la orientación
Sur y la pendiente ascendente.
AH
BH
CH
DH
AF
DF
BF
CF
Ejemplo.- Completar las proyecciones H y F de la recta de perfil CD,
sabiendo que es perpendicular a la recta de perfil AB. La recta CD
tiene orientación Sur.
AH
CH
BH
AF
CF
BF
Ejemplo: Determinar la proyección frontal del punto X, sabiendo que
esta contenido en la recta AB.
AH
XH
BH
AF
BF
Solución:
1.-
AH
AH
XH
PH
BH
XH
BH
AF
AF
PF
PF
BF
PH
BF
Ejemplo: Determinar la proyección frontal de la recta BC, si las
rectas AB y BC son perpendiculares.
Ejercicios para su casa:
P.- Determinar las proyecciones del segmento de recta AB,
sabiendo que tiene una orientación de N60°E, una pendiente de
70% y mide 50 mm.
Primera solución: Empleando vistas auxiliares.
Segunda solución:
Sin emplear vistas auxiliares.
P.- Completar las proyecciones H y F de las rectas que se cortan
AB y CD. AB tiene orientación Sur, mide 50 mm. y una pendiente de
100% descendente. A y C pertenecen al plano horizontal y B al
plano Frontal.
Primera solución: empleando vistas auxiliares.
Segunda solución: sin emplear vistas auxiliares
P.- Las rectas AB y BC son perpendiculares. Completar las
proyecciones de la recta BC, que tiene una pendiente de 40%
ascendente y mide 50 mm.
P.- Completar las proyecciones H y F de la recta CD sabiendo que
es paralela a la recta AB. CD mide 50 mm. Trabajar sin vista
auxiliares.