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UNIVERSIDAD NACIONAL
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas
TALLER III
Profesor: H. Fabian Ramirez
TRANSFORMACIONES LINEALES Y VECTORES PROPIOS
OBSERVACIÓN: “N.A” significa “Ninguna de las Anteriores”.
1. Al escalonar la matriz aumentada del sistema Ax = b aplicando las siguientes 4 operaciones elementales, en
este orden: F2 − 5F1 → F2 , F3 − 3F1 → F3 , F3 ↔ F2 y F4 + 2F3 → F4 , se obtuvo


2
1 −5 2
1
 0 −3 0
7 
0

(U |c) = 
 0 0 λ
0
1 
0 0 0 λ2 − λ λ
a) Para qué valores de λ el sistema original es inconsistente: λ =
b) Para qué valores de λ el sistema original tiene infinitas soluciones: λ =
c) Para qué valores de λ el sistema original tiene solución única: λ =
d ) Para λ = 1, det U =
, ρ([A|b]) =
, dim(NA ) =
e) Para λ = 2, det A =
f ) Para λ = 0, dim(C[A|b] ) = 3? SI
NO
g) Para λ = 0, sea U la matriz asociada a la transformación T : P3 → M2×2 con respecto a las bases
canónicas de P3 y M2×2 , entonces
• Un vector diferente del nulo, del espacio imagen de T es:
• Un vector diferente del nulo, del núcleo de T es:
• La dimensión del núcleo de T y del espacio imagen de T son respectivamente
y
3
.
3
2. Sea P ⊂ R un plano cuyas ecuaciones
paramétricas
son

 P : x = y = t + r y z = 1 + r. Si T : R → R es la


x−y
x
transformación lineal dada por T  y  =  y − x , la imagen por medio de T del plano P es:
0
z
a. Un plano.
b. Un punto.
3
c. Una recta.
d. Un hiperplano. e. N.A
2
2
2
3. Considere la transformación lineal T : R → R tal que T (e1 + e2 ) =
y
4
x
−2
es:
. Entonces la transformación lineal T aplicada al vector
T (e1 − e2 ) =
y
4
2x
4y
2y
2y
e. N.A
a.
b.
c.
d.
4y
2x
4x
0
4. Dado H = {(x, y, z, w)T : 3x − 2y + z − w = 0},
a) Si T : V → H es un isomorfismo, entonces la dimensión de V es
.
4
b) Si T : R → H es una transformación sobreyectiva, la dimensión del núcleo de T es
c) Si T : H → M2×2 es una transformación inyectiva, la dimensión de la imagen de T es
′
5. Sea T : P2 → P2 la transformación lineal dada por T (p(x)) = p (x). Un vector propio de T es:
1
.
.
a. x2
b. x

2
 0
6. De acuerdo a la matriz A = 
 0
0
0
−1
0
0
3
0
2
0
d. 1 + x + x2
c. 1

1
2 
 conteste:
0 
0
.
a) El polinomio caracterı́stico p(λ) de la matriz A es:
b) Los valores propios de la matriz A son:
.
NO
c) ¿La matriz A es invertible? SI
e. N.A
; por qué
.
7. De las siguientes funciones T que van de P2 a P2 marque la que sea transformación lineal.
c. T (p(x)) =
a. T (p(x)) = p(x) + 4
b. T (p(x)) =
d
2
dx (x
d
dx (x
+ p(x))
d. T (p(x)) =
+ p(x))
d
dx (xp(x))
e. N.A
3
3
8. Sea P ⊂ R3 un plano cuyas ecuaciones
paramétricas
son

 P : x = y = t + r y z = 1 + r. Si T : R → R es la


x+y
x
transformación lineal dada por T  y  =  x , la imagen por medio de T del plano P es:
y+z
z
a. Un hiperplano.
b. Un plano.
c. Un punto.
d. Una recta.
e. N.A
9. Sea T : P2 → R3 una transformación lineal
 tal que la matriz
 asociada a la transformación lineal respecto a
1 −1
0
1 −1 . Un vector del núcleo de T es:
las bases canónicas de P2 y R3 es AT =  0
−1
0
1
a. −5 + 5x + 5x2
b. 5 + 5x − 5x2
c. 5 − 5x + 5x2
d. 5 + 5x + 5x2
e. N.A
1 0
10. Sea C =
una matriz fija en M2x2 . Considere la transformación lineal T : M2x2 → M2x2 dada
0 1
por T (A) = CA − AC. Los valores para la dimensión del núcleo de T y la dimensión para la imagen de T ,
respectivamente son:
a. 1 y 3
b. 3 y 1
c. 0 y 4
d. 2 y 2
e. 4 y 0
e. N.A

2
4 1
1 2  la matriz asociada a la transformación lineal T : V → W , respecto a las bases B y
11. Sea A =  1
2 −4 1
B ′ de V y W respectivamente.

- La transformación T es inyectiva. SI
- La transformación T es sobreyectiva. SI
NO
NO
- La transformación T es un isomorfismo. SI
NO

 
  
4
1 
 2
12. Sea H = Gen  1  ,  1  ,  2  ⊆ R3 . Entre las siguientes afirmaciones señale una que sea


2
−4
1
VERDADERA.
a) Cualquier transformación lineal inyectiva T : H → R3 es invertible.
b) Existe una única transformación lineal T : H → R3 que sea isomorfismo.
c) Toda transformación lineal T : H → R2 es sobreyectiva.
d ) Toda transformación lineal T : H → R2 es un isomorfismo.
e) H y R2 son isomorfos.
13. Sea T : R2 → R2 la transformación lineal que hace girar θ grados cualquier vector de R2 en torno al origen y
en sentido contrario al de las manecillas del reloj. El polinomio caracterı́stico p(λ) de la matriz AT asociada
a T respecto a la base canónica de R2 es:
2
a. λ2 − 2λ cos θ + 1
c. λ2 + 2λ cos θ + 1
b. λ2 + 2λ sin θ + 1
e. λ2 + 2λ cos θ − 1
d. λ2 − 2λ sin θ + 1
f. N.A
14. Un valor de θ para que la transformación T del ejercicio anterior tenga un valor propio real es:
a. π/4
b. π/2
c. 3π/4
d. π
e. N.A
1 2
una matriz fija en M2x2 . Mostrar que la función T : M2x2 → M2x2 dada por T (A) =
1 1
CA − AC es una transformación lineal.
15. Sea C =
16. Sea T : P2 → P2 una transformación lineal tal que T (1 + x + x2 ) = −1 + 4x, T (1 + x − x2 ) = −3 − 2x y
T (1 − x + x2 ) = 1 + 2x, entonces la transformación lineal T aplicada al vector 1 − x + 2x2 es:
a. 1 + 5x
b. 5x
c. 2 − 5x
d. 2 + 5x
e. N.A
17. Sea L ⊂ R3 la recta cuya ecuación
es L : x = y = 1 + 2t, z = t. Si T : R3 → R3 es la
 paramétrica
 

x
2x
transformación lineal dada por T  y  =  y , la imagen por medio de T de la recta L es:
z
0
a. Un hiperplano.
b. Un plano.
c. Un punto.
d. Una recta.

a−b
a
18. Sea T : R2 → R3 la transformación lineal dada por T
=  0 .
b
b−a
e. N.A

Entre los siguientes vectores, seleccione uno que pertenezca al núcleo de T .


1
a.  0 
1
b.
1
1
c.
−2
2


0
d.  0 
0
e. N.A
Entre los siguientes vectores, seleccione uno que pertenezca a la imagen de T .


 


−2
1
2
0
e. N.A
d.
0
c.  0 
b.  0 
a.  −2 
2
1
0
1 1
una matriz fija en M2x2 . Considere la transformación lineal T : M2x2 → M2x2 dada
19. Sea C =
1 1
por T (A) = CA − AC. Los valores para la dimensión del núcleo de T y la dimensión para la imagen de T ,
respectivamente son:
a. 1 y 3
b. 3 y 1

5 −1
 0 −2

20. Sea A = 
 0 0
 0 0
0 0
bases B y B ′ de V y
c. 0 y 4
d. 2 y 2
e. 4 y 0
e. N.A

1/2 −1
0
0 

−1
0 
 la matriz asociada a la transformación lineal T : V → W , respecto a las
0
3 
0
2
W respectivamente.
- La transformación T es inyectiva. SI
- La transformación T es sobreyectiva. SI
NO
NO
- La dimensión de V es:
y la de W es:

   

2
1
0 

21. Sea H = Gen  1  ,  2  ,  −3  ⊆ R3 . Entre las siguientes afirmaciones señale una que sea


2
1
−3
VERDADERA.
a) Cualquier transformación lineal inyectiva T : H → R3 es invertible.
b) Existe una única transformación lineal T : H → R3 que sea isomorfismo.
3
c) Toda transformación lineal T : H → R2 es sobreyectiva.
d ) Toda transformación lineal T : H → R2 es un isomorfismo.
e) H y R2 son isomorfos.
22. Sea T : R3 → R3 la transformación lineal que hace girar 90 grados cualquier vector de R3 en torno al eje
z en la dirección positiva. El polinomio caracterı́stico p(λ) de la matriz AT asociada a T respecto a la base
canónica de R3 es:
a. (λ + 1)(λ2 + 1)
b. (λ + 1)(λ2 − 1)λ
c. (1 − λ)(λ2 − 1)
e. (1 − λ)2 (λ + 1)
d. (1 − λ)(λ2 + 1)
f. N.A
23. El conjunto de los valores propios reales de la transformación T del ejercicio anterior es:
a. {±1}
b. {−1}
c. {1}
d. {±1, 0}
e. N.A
24. Un vector propio de la transformación T del ejercicio anterior es:
 






1
1
1
0
e. N.A
a.  1 
b.  −1 
c.  0 
d.  0 
0
0
−1
−1


5 −1 1/2 −1
 0 −2
0
0 
 la matriz asociada a la transformación lineal T : V → W , respecto a las
25. Sea A = 
 0 0
−1
0 
0 0
0
3
bases B y B ′ de V y W respectivamente.
- Entonces dimV =
y dimW =
- La transformación T es inyectiva. SI
NO
- La transformación T es sobreyectiva. SI
NO
a b
∈ M2×2 : a = d, b = c, a, b, c, d ∈ R un espacio vectorial sobre R.
26. Sea H =
c d
.
a) Si T : V → H es un isomorfismo, entonces la dimensión de V es
5
b) Si T : R → H es una transformación sobreyectiva, la dimensión del núcleo de T es
c) Si T : H → M2×2 es una transformación inyectiva, la dimensión de la imagen de T es
.
.
2
27. Sea T : P2 → P2 una transformación lineal tal que T (1) = 0, T (x) = 3 y T (x ) = x, entonces la transformación
lineal aplicada al vector 2 + 4x + 5x2 es:
a) 5 + 12x.
b) 5x.
c) 12 + 5x.
d) 5 + x.
e) N.A.


a−b
28. Sea T : P1 → R3 la transformación lineal T (a + bx) =  0 .
a−b
Entre
uno que pertenezca al núcleo de T .
 seleccione

 lossiguientes vectores,
1
1
c) 5 − 5x.
e) 5 + 5x.
b)  1 .
a)  0 .
1
1
Entre

 lossiguientes vectores,
2
b) 
a)  0 .
2
   
1 
 1
29. Si H = Gen  0  ,  1  ,


1
1
seleccione
uno que pertenezca
  a la imagen de T .

2
−2
0



0 .
0
d)
.
.
c)
0
0
2
entre las siguientes afirmaciones señale una que sea FALSA.
a) Cualquier transformación lineal inyectiva T : H → R2 es invertible.
b) Existe una transformación lineal T : H → R2 que sea un isomorfismo.
c) Toda transformación lineal sobreyectiva T : H → R2 es inyectiva.
d ) Existe una única transformación lineal T : H → R2 que sea un isomorfismo.
30. Entre las siguientes afirmaciones, señale TRES que sean VERDADERAS.
4


0
d)  0  .
0
e) N.A.
a) Si T : V −→ W es una transformación lineal inyectiva y dim V = dim W , entonces T es un isomorfismo.
b) Si T : V −→ W es una transformación lineal sobreyectiva y dim V = dim W , entonces T no es inyectiva.
c) Si T : V −→ W es una transformación lineal y dim V < dim W , entonces T no es inyectiva.
d ) Si T : V −→ W es una transformación lineal y dim V < dim W , entonces T es sobreyectiva.
e) Si T : V −→ W es una transformación lineal y T es inyectiva, entonces dim V ≤ dim W .
f ) Si T : V −→ W es una transformación lineal, S : V −→ Im(T ) tal que S(v) = T (v) es una transformación lineal invertible.
g) Si T : V −→ W es una transformación lineal y dim V = dim W , entonces T es un isomorfismo.
h) Si T : V −→ W es una transformación lineal, S : N u(T ) −→ W tal que S(v) = T (v) es la transformación
lineal nula.
i ) Dados dos espacios vectoriales V y W , L(V, W ), el conjunto de las transformaciones lineales de V en W
no es un espacio vectorial.
j ) Si u = v implica que T (u) = T (v), entonces T es una transformación lineal inyectiva.
31. La dimensión de H = gen 1, x, x2 , x3 , 1 + 2x + 3x2 + 4x3 es:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) N.A.
32. Justifique porque son FALSAS las siguientes proposiciones
a) Si T : V → W es una transformación lineal y dim V = dim W , entonces T es invertible.
b) Si T : V → W es una transformación lineal, S : V → Im(T ) tal que S(v) = T (v) es una transformación
lineal invertible.
c) Si u = v implica que T(u) = T(v), entonces T es una transformación lineal inyectiva.
d ) Si T : V → W es una transformación lineal y T es sobreyectiva, entonces dim V < dim W .
e) Si T : M2x2 → P4 es una transformación lineal, T tiene valores y vectores propios.
f ) Si T : V → W es una transformación lineal y dim V = dim W , entonces T es invertible.
g) Si A = AT es una matriz de tamaño n × n, A tiene n valores propios diferentes.
h) Para que exista una base de Rn , conformada por vectores propios de una matriz de orden n, todos sus
valores propios deben ser diferentes.
i ) Si dos matrices tienen los mismos valores propios, entonces sus vectores propios son los mismos.
j ) Si 0 es un valor propio de una matriz A, entonces A es la matriz nula.
k ) Si T (0) = 0, entonces T es una transformación lineal.
l ) Si T : V −→ W es una transformación lineal y dim V = dim W , entonces T es un isormorfismo.
m) Si T : V −→ W es una transformación lineal y T es sobreyectiva, entonces dim V < dim W .
n) Si T : V −→ W es una transformación lineal y v ∈ N u(T ), entonces v ∈ NAT .
ñ) Si T : P4 −→ M2×2 es una transformación lineal sobreyectiva , entonces T es inyectiva.
o) La proyección ortogonal en un subespacio es una transformación lineal inyectiva del espacio vectorial en
el subespacio.
p) La translación de vectores en el plano, T : R2 −→ R2 tal que T (x) = x + a, a ∈ R2 fijo, es una
transformación lineal.
q) Siempre que se puedan calcular las composiciones S ◦ T y T ◦ S, se tiene que una es la inversa de la otra.
r ) La matriz que define una transformación matricial es la matriz asociada a la transformación lineal en
cualquier base.
s) Una función lineal f (x) = mx + b b 6= 0 es una transformación lineal.
33. Conteste falso o verdadero a cada una de las siguientes afirmaciones.
a) Dos matrices semejantes no siempre representan la misma transformación lineal en diferentes bases.
34. Determine cuáles de las siguientes funciones son transformaciones lineales. Además
Halle las matrices asociadas AT , explicitando la bases del dominio y del codominio.
Halle el núcleo y la imagen y diga cuáles son sus dimensiones.
Determine si las transformaciones lineales son inyectivas, sobreyectivas, isomorfismos y/o invertibles.
a) T : R3 → R2 tal que T(a b c)T = (2a b − 3c)T
5
b) T : R2 → P1 tal que T(a b)T = (1 + a) − 2bx
c) T : R → P2 tal que T(a) = a + 2ax + 3ax2
d ) T : P2 → P2 tal que T(a + bx + cx2 ) = a + x − (b + c)x2
e) T : P2 → P1 tal que T(p(x)) = p′ (x)
f ) T : P2 → P3 tal que T(p(x)) = xp(x)
a b
g) T : M2×2 → P2 tal que T
= a + bx + cx2
c d
h) T : R3 → R2 tal que T(a b c)T = (a 2b − 3c)T
i ) T : R2 → R3 tal que T(a b)T = (−3a b + a b)T
a b
a−c
j ) T : M2×2 → M2×2 tal que T
=
c d
0
0
tal que
d+2
k ) T : R3 → P2 tal que T(a b c)T = a + 2bx − 3cx2
l ) T : P2 → P2 tal que T(a + bx + cx2 ) = a − cx2
m) La reflexión a través del plano XY en R3 .
n) La proyección sobre el plano XZ en R3
ñ) T : M3×2 → M2×3 tal que T(A) = AT
35. Considere la transformación matricial de T : R2 → R2 , T(x) = Ax donde A es una matriz elemental.
Interprete geométricamente dicha transformación. Qué puede decirse de este tipo de transformaciones en Rn ?
36. Para cada una de las siguientes transformaciones lineales:
a) T : R3 → R2 tal que T(x y z)T = (x − yx − z)T
b) T : R3 → R3 tal que T(x y z)T = (x − y + z 0 0)T
c) T : R3 → R3 tal que T(x y z)T = (x − y x z)T
d ) T : R3 → R3 tal que T(x y z)T = (2y 0 x)T
encuentre la imagen de los siguientes conjuntos, identificándolas geométricamente, si es posible.
l1 : La recta que pasa por P (−1 2 5)T y Q(−2 0 3)T .
P1 : El plano que pasa por el punto Q(−2 0 3)T y tiene vectores directores u = (2 0 − 1)T y v = (0 − 1 − 3)T .
37. Dada T : V → W una trasformación lineal, demuestre que si V = Gen{v1 , v2 , . . . , vn } entonces
n
o
Im(T ) = T(v1 ), T(v2 ), . . . , T(vn )
 
 
0
−1
1
0
2
38. Dada T : V → W una trasformación lineal tal que T
= 1, T
=  0 . Calcule T
,
−1
2
2
2
1
1
x
T
yT
1
y
39. Demuestre que una transformación lineal de Rn en Rm envı́a rectas en rectas o puntos, y a planos en planos,
rectas o puntos. Que pasa con los hiperplanos?
40. Cuantas transformaciones lineales de R2 en el plano H = {v ∈ R3 : v = tu1 + su2 , t, s ∈ R} de R3 existen?
41. Encuentre una matriz asociada a la transformación lineal de R3 que rota todo vector 45o alrededor del Eje
Y.
42. Dada la transformación lineal T : V → W y las bases B y B ′ de V y W , respectivamente, demuestre que la
matriz AT , tal que [T (v)]B′ = AT [v]B para todo v ∈ V , es única.
43. Sea T : V n → V n la transformación idéntida, T(v) = v, para todo v ∈ V , Demuestre que AT = In ,
independientemente de la base de V que se tome.
44. Demuestre que T : V → W es una transformación lineal inyectiva, si y solo si, T(v1 ) = T(v2 ) implica que
v1 = v2 .
45. Encuentre una transformación lineal no trivial entre cada uno de los espacios vectoriales dados y determine
si es inyectiva, sobreyectiva, isomorfismo y/o invertible.
a) V = R2 y W = el plano de R3 que pasa por el origen y tiene vectores directores d1 = (−1, 2, 5)T y
d2 = (3, 0, −2)T
n
o
n
o
b) V = p(x) = a + bx + cx2 : a = 0 y W = p(x) = a + bx + cx2 : b = 0
6
c) V = M2×2 y W =
n a
c
b
d
: a = d, b = c
o
d ) V = el plano de R3 que pasa por el origen y tiene como vector normal a n = (−1, 1, 5)T y W = v ∈
R2 : v = λ(−2, 5)T
o
n
o
e) V = (x, y, z, w)T : x − y + 2z = 0 y W = (x, y, z, w)T : x + 2z − w = 0
46. Para cada uno de los siguientes casos, encuentre, si existe, S + T, T − S, −2T, T−1 , S ◦ T y T ◦ S y sus
matrices asociadas respecto a las bases que usted elija.
a) T : R3 → R2 tal que T(a, b, c)T = (2a, b − 3c)T
S : R3 → R2 tal que S(a, b, c)T = (a, 2b + c)T .
d ) T : R3 → P2 tal que T(a, b, c)T = a + 2bx?3cx2
S : P2 → P2 tal que S(a + bx + cx2 ) = a − cx2
b) T : P2 → P1 tal que T(p(x)) = p′ (x) S : P1 → P2 tal que S(p(x)) = xp(x).
a b
c) T : M2×2 → P2 tal que T
= a + bx + cx2
S : P2 → P2 tal que S(a + bx + cx2 ) = a − cx2 .
c d
47. JUSTIFIQUE PORQUE SON VERDADERAS LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES.
a) Si T : R3 → R3 es una transformación lineal y A es su matriz asociada en la base canónica, los valores
y vectores propios de A son los valores y vectores propios de T .
b) Si T : R3 → R3 es una transformación lineal y A es su matriz asociada en una base diferente a la
canónica, los valores y vectores propios de A son los valores y vectores propios de T .
c) Si T : V → W es una transformación lineal y T es inyectiva, entonces dim V ≤ dim W .
d ) La matriz 5In tiene sus n valores propios iguales a 5.
e) Cualquier vector de Rn no nulo es vector propio de la matriz nula de orden n.
f ) Toda transformación lineal es una función.
g) Si T : V → W es una transformación lineal y T es invertible, entonces dim V = dim W .
h) Si T : V → W es una transformación lineal inyectiva y dim V = dim W , entonces T es invertible.
i ) Si T : V → W es una transformación lineal sobreyectiva y dim V = dim W , entonces T es inyectiva.
j ) Si T : V → W es una transformación lineal y dim V < dim W , entonces T no es inyectiva
k ) Si T : V → W es una transformación lineal y dim V < dim W , entonces T no es sobreyectiva.
l ) Si T : V → W es una transformación lineal y T es inyectiva, entonces dim V ≤ dim W .
m) Si T : V → W es una transformación lineal y v ∈ N u(T ), entonces v ∈ NAT .
n) Si T : V → W es una transformación lineal y w ∈ Im(T ), entonces, para alguna base B de W ,
[w]B ∈ NAT .
ñ) Si T : V → W es una transformación lineal, S : N u(T ) → W tal que S(v) = T (v) es la transformación
lineal nula.
o) Si T : M2×2 → P3 es una transformación lineal sobreyectiva , entonces T es inyectiva.
p) La translación de vectores en el plano, T : R2 → R2 tal que T(x) = x + a, a ∈ R2 fijo, no es una
transformación lineal.
q) Dados dos espacios vectoriales V y W , L(V, W ), el conjunto de las transformaciones lineales de V en W
es un espacio vectorial.
1 0 −1
48. Sabiendo que AT =
es la matrix asociada a la transformación lineal T : V → W , en las bases
0 2 1
B y B ′ de V y W respectivamente, encuentre el nucleo y la imagen de cada una de las siguientes situaciones
y diga cuáles son sus dimensiones
a) V = R3 , W = R2 y B y B ′ son sus bases usuales.
b) V = R3 , W = R2 y B = 1, 0, 0)T , (1, 1, 0)T , (1, 1, 1)T y B ′ es la base usual de R2
c) V = R3 , W = R2 y B es la base usual de R3 y B ′ = 1, −1)T , (1, 2)T .
d ) V = P2 , W = P1 y B y B ′ son sus bases usuales.
e) V = P2 , W = P1 y B B = 1 − x, x − x2 , x2 − 1 y B ′ 1 − x, x .
x+y
x
2
2
. Usando las bases B = B ′ =
=
49. Considere la transformación lineal T : R → R dada por T
x−y
y
7
n 1 −3 o
, Calcule AT
,
2
−1
  

x − y + 3z
x

2x + y
50. Sea T : R3 → R3 dada por T y  = 
−x − 2y + 2z
z
a) Demuestre que T es lineal.
b) ¿Cuáles son las condiciones sobre a, b y c para que (a, b, c)T esté en la imagen de T?¿Cuál es el rango
de T.
c) Cuáles son las condiciones sobre x, y, z para que (x, y, z)T esté en el núcleo de T? ¿Cuál es la nulidad
de T?
51. Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W una transformación lineal. Si w1 , w2 , . . . , wn son n vectores
l.i de W y v1 , v2 , . . . , vn vectores de V que cumplen que T (vi ) = wi (i = 1, 2, . . . , n). Demuestre que
v1 , v2 , . . . , vn son l.i.
52. Sea T : R3 → R7 lineal. ¿Cuáles son los posibles valores para la dimensión de la imagen de T? ¿Podrı́a ser T
invertible en algún caso?. En ese caso qué espacios se podrı́a definir la inversa?
53. Si T : R7 → R3 es lineal cuáles son los posibles valores para la nulidad de T? ¿Podrı́a ser T invertible para
algún caso?.
54. Si T : V → W es lineal e invertible y {v1 , v2 , . . . , vn } una base de V . Demuestre que T(v1 ), T(v2 ), . . . , T(vn )
es una base para W ; de modo que, dim V = dim W .
  

x
2x − z
55. Sea T : R3 → R3 la transformación lineal dada por T y  =  3x − 2y . Determine si T es invertible,
z
x − 2y + z
en caso afirmativo calcule T−1
     
     
0 o
1
0 o
0
n 2
n 1
56. Sea T : R3 → R3 la transformación lineal y B = 0 , 2 , 1 y B ′ = 0 , 1 , 2 bases
0
1
0
1
0
1
ordenadas de R3 . Si
 


x
−1 1
0
2 −1
Calcule T y  =
AT =  2
z
−1 −2 1
   
2
1
n   o
2
 0
57. Halle una transformación lineal T : R3 → R4 cuya imagen sea generada por los vectores 
 0  , −1
−3
−4

  
   
x − y + 2z
x
0 o
n 1
58. ¿Es 3 , −2 una base del nucleo de T y  =  x − y + 2z ?
−2x + 2y − 4z
z
−1
1
n
o
59. Halle una transformación lineal T : R4 → R3 cuyo nucleo sea NAT = (x, y, z, w) : x + 2y = 0, 2z − w = 0


1 −1
. Sea T : V → V la transformación
60. Sea V el espacio vectorial de las matrices 2 × 2 sobre R y M = −2
2
lineal definida por T (A) = M A. Demuestre que F es lineal y halle una base y la dimensión de N u(T) y
Img(T).
61. Describa explı́citamente una transformacón lineal de R3 en R3 cuyo nucleo es generado por los vectores
(1, 0, 1)T y (1, 2, 2)T
62. Sea T : P2 → P2 definida por T(a + bx + cx2 ) = (b − a) + (c − b)x + cx2 una transformción lineal
a) Halle [AT ] B = {1 + x + x2 , 1 + x, 1}
b) Verifique que T(p(x)) B = AT [p(x)]B =
63. Suponga que {v1 , v2 } es una base de V y T : V → V es un operador lineal tal que T(v1 ) = 3v1 − 2v2 ,
T(v2 ) = v1 + 4v2 . Supongamos que {w1 , w2 } es otra base de V tal que w1 = v1 + v2 , w2 = 2v1 + 3v2 . Halle
la matriz de T es una base {w1 , w2 }.
64. Si T : V → V es inyectiva y {v1 , v2 , . . . , vk } son l.i en V , muestre que {T(v1 ), T(v2 ), . . . , T(vk )} son l.i en
W.
8
65. Sea T una función de R3 en R3 definida por
    

x
x
3x + z
T y  = y  =  −2x + y 
z
z
−x − 2y + 4z
a) verifique que T es una transformación lineal
b) Si (a, b, c)T es un vector en R3 , ¿Cuáles son las condiciones sobre a, b y c para que el vector esté en
Img(T)?. ¿Cuál es dim(Img(T)?
c) ¿Cuales son las condiciones sobre a, b y c para que el vector esté en N u(T)?. ¿Cuál es dim(N u(T)?
d ) ¿Cual es la matrix de T en la base usual de R3 .?
e) ¿Cual es la matrix de T en la base ordenada {(1, 0, 1)T , (−1, 2, 0)T , (2, 1, 1)T }?.
f ) Pruebe que T es invertible y halle T−1
66. Sea T : P2 → P2 una transformación lineal tal que T(1) = 1 + x, T(x) = 1 − x + x2 , T(x2 ) = 0.
a) Halle T(a + bx + cx2 )
b) Halle N u(T ) y la Img(T), y sus respectivas bases
c) Si B = {1, 1 + x, x + x2 } y B ′ = {1, x, x2 } son bases ordenadas de P2 , Halle [AT ]BB′
67. Sea T : P2 → R3 una transformación lineal tal que
 
 
1
1
T(1) = 2 , T(1 + x) = −1 ,
1
2
 
3
T(1 + x + x2 ) = 3
4
a) Halle T(a + bx + cx2 ) y T(4 + x + 2x2 )
b) Halle N u(T ), Img(T ), dim(N u(T )) y dim(Img(T ))
c) Determine si T es inyectiva
d ) Si B = {1, 1 + x, 1 + x + x2 } y B ′ la base usual de R3 , halle AT
68. Sea T : P2 → R3 una aplicación lineal y B ′ = {u1 , u2 } una base de R2 . Si AT =
T(u2 ) y T(v) para cualquier v ∈ R2 .
 


1
1 1 −2
69. Verifique que 3 es un vector propio de la matriz −1 2 1 
1
0 1 −1


 
2
1
1
2
3
4 ?
70. ¿Es el vector  3  un vector propio de la matriz  2
−1 −1 −2
−1
2
0
0
, Halle T(u1 ),
−4
71. Demostrar que si A y B son dos matrices de orden n × n y A es invertible, entonces las matrices A−1 B y
BA−1 tienen los mismos valores propios.
72. Demuestre que si una

1
73. Dada la matriz  0
−1
matriz An×n tiene n vectores propios l.i entonces es semejante a una matriz diagonal.

2 2
2 1, halle
2 2
a) El polinomio caracteristico de A
b) Los valores propios de A
c) Una base de cada uno de los subespacios propios. ¿Es A semejante a una matriz diagonal D?


2 1 1
74. Determine si la matriz 2 3 2 es semejante a una matriz diagonal D. En caso afirmativo, halle una
1 1 2
matriz P invertible tal que P −1 AP = D
  

x
7x − 2y + z
75. Sea T y  = −2x + 10y − 2z  una transformción lineal de R3 en R3 . Halle, si esposible, una base ortoz
x − 2y + 7z
normal B de R3 tal que [AT ]BB sea diagonal. Verifique que AT = D = P T AT P , donde P es ortogonal.
76. PREGUNTAS
9

1 −4
2
0
a) Es λ = 2 un valor propio de la matriz 
−1 1
−1 4

−1 −4
5 −4
?
−2 3 
−1 6
b) Si A es una matriz n × n triangular superior (triangular inferior). ¿a qué es igual p(λ)?
c) Si λi son los valores propios de la matriz An×n y k es un real cualquiera. ¿se puede concluir que λi + k
son los valores propios de A + kI?
d ) Sabiendo que λ = 0 es un valor propio de An×n , ¿se puede concluir que A es no invertible?. Justifique
la respuestas
1 1
1 0
e) ¿Son semejantes las matrices
y
?
0 1
0 1
f ) Si A es una matriz 2 × 2 simétrica y det(A) > 0, ¿se puede garantizar que los valores propios de A tienen
el mismo signo?
g) El polinomio caracteristico de una matriz A3×3 es p(λ) = (λ−3)(λ+1)2 y dim(E(3) ) = 1, dim(E(−1) ) = 1.
¿Puede garantizarse que A es semejante a una matriz diagonal?. Justifique.
h) Los valores propios de una matriz A4×4 son 1, 0, −7, −2, ¿se puede conluir que A es diagonalizable?.
Justifique.
i ) Sea A = I + N , donde N es nilpotente. ¿A qué es igual p(A)?
j ) Si λ es un valor propio de A, ¿puede afirmarse que aλ es un valor propio de aA?
k ) Los valores propios de una matriz A4×4 son 3 y 2. ¿Se puede afirmar que A no es diagonalizable?
a b
no tiene valores propios reales?
l ) ¿Para qué valores a, b, c, d la matriz A =
c d
m) ¿Existen matrices A2×2 tales que A, AT tengan vectores propios diferentes?
n) Sea An×n tal que A2 = I y λ un valor propio de A, ¿cuáles son los posibles valores de λ?
ñ) Sea A smejante a B y B semejante a C. ¿Es A semejante a C?.
o) Si A y B son semejantes y A es invertible, ¿Son semejantes A−1 y B −1 ?
p) ¿Qué puede concluir del hecho que A sea una matriz simétrica, cuyos valores propios son todos iguales
a 1?


1 0 0
77. Halle los valores propios de la matriz A = 0 a b  y verifique que det(A) es igual al producto de los
0 c d
valores propios.
78. Si al menos una de las matrices A ó B es invertible, pruebe que el polinomio caracterı́stico de AB es igual al
de BA
79. Sea A una matriz n × n, demuestre que A y AT tienen el mismo polinomio caracterı́stico.
80. Si A es n × n y Ak = 0 para algún k ∈ Z+ muestre que p(λ) = λk (Ayuda:Use la definición de valor propio)
81. Sea T una rotación de π/2 en el plano. Muestre que T no tiene vectores propios, pero todo v 6= 0 es un vector
propio de T2
82. Para cada una de las matrices dadas calcule. El polinomio caracteristico, los valores propios, los subsespacios
E(λ) y su dimensión. Decida si dichas matrices son semejantes a una matriz diagonal D, en caso afirmativo,
halle la matriz P invertible que cumple P −1 AP = D

 
 
 

2 −4 2
2 2 1
1 2 2
0 1 0
A = −4 2 −2 1 3 1  0 2 1 0 0 1
2 −2 −1
1 2 2
−1 2 2
1 −3 3

2
83. Pruebe que las matrices 1
1
jantes.
 
2
2 1
3 1 y  0
−3
2 2

1 −1
2 −1 tiene los mismos valores propios, pero no son seme−2 3
     
1
1
1
84. Determine a, b, c, d, e, f sabiendo que los vectores 1 ,  0  , −1 son vectores propios de la matriz
0
−1
1
10

1
a
d

1 1
b c
e f
85. Si A es una matriz invertible y λ es un valor propio de A, demuestre que
1
es un valor propio de A−1 .
λ
86. Si A es una matriz real n × n tal que A2 = −I, demuestre que:
a) A es invertible
b) n es par
c) A no tiene valores propios reales
d ) det A = 1
87. Pruebe que A es invertible si y solo si λ = 0 no es un valor propio de A.
 
x
0
es una transformación lineal.
88. Determine si T : R3 → R3 con T y  =
y−z
z
 
 
 
1
0
0
1
2
1
3
2






89. Si T : R → R es una transformación lineal tal que T 0 =
,T 1 =
yT 0 =
1
−3
−1
0
0
1
  

x
, es una transformación lineal.
entonces T y  = 
z

  
x − 2y
x
90. Si T : R3 → R2 es una transformación lineal tal que T y  =  y ,
0
z
Determine si (4, 2, 0)T esta en la Im(T)
Determine (4, 2, 5)T está en el nucleo de T.

 

 x
91. Sea H = y  : x = 2y = −z


z
a) Si T : R2 → H es una transformación lineal, determine si el rango de T puede ser 2.
b) Si T : R2 → H es una transformación lineal, determine si la nulidad de T puede ser 1.
c) Encuentre, si existe, una transformación lineal T : H → R2 , con nulidad 2.
d ) Encuentre, si existe, una transformación lineal T : H → R2 , con rango 1.


2 −1 1/2 −1
0 −2
0
0
 la matriz asociada a la transformación T , respecto a las bases B y B ′ .
92. Sea A = 
0 0
0
3
0 0
0 −1
a) Si T : Rn → Rm , entonces n es
ym
b) Determine si la transformación T es inyectiva.
c) Determine si la transformación T es sobreyectiva.


2 0 0
93. Sean M y A matrices tales que M = 0 0 1 = E1 E2 E1 A donde
3 0 1





1
1 0 0
1 0 0
E1 = 3 1 0 . E2 =  0 1 0 E3 = 0
0
−2 0 1
0 0 1
a) Determine si 2 es una valor propio de M T .
 
−2
b) Determine si  0  es un valor propio de M .
1
 
0
c) Determine si 5 es un valor propio de A.
0
11

0 0
1 0
−1 1
94. Suponga que 0 es un valor propio de B. Determine si B es una matriz invertible.
95. Determine cuales de los vectores dados son vectores propios de la matriz A dada y en caso de serlo, identifique
los valores propios asociados.
−2
−2
−3
1 2
v3 =
v2 =
, v1 =
a)
4
−1
3
4 −1

 

 
 
 
1 2 3
2
9
1
0
b) 0 1 0 , v1 =  3  v2 =  0  v3 = −6 v3 = 0
2 1 2
−1
−6
4
0
96. Determine cuales de los escalares dados son valores propios para la matriz A dada.
0 9
a)
, λ1 = 0, λ2 = 6, λ3 = 9, λ4 = −6
4 0


1 0 2
b) 2 1 1, λ1 = 0, λ2 = 4, λ3 = −1, λ4 = 2
3 0 2


1/2 2 3
0
 0
1 0
2 
, λ = 0, λ2 = 2, λ3 = 1/2, λ4 = 2/5
c) 
 0
0 3 2/5 1
0
0 0 2/5
97. Determine los valores propios, sus multiplicidades algebraicas y sus multiplicidades geométricas, para cada
una de las matrices A dadas.






2 0 3 1
3 0
3
−2 2 3
0 −1 0 2 
0 −9


0 −1
 0 −2 0
0 
0 0 2 0 
4 0
0 0 1/3
0
0 0
0 0 0 −1
98. Justifique PORQUE SON VERDADERAS las siguientes afirmaciones.
a) Si ninguno de los valores propios de A es cero, det(A) 6= 0.
b) Si A y B son semejantes, det(A) = det(B).
c) Toda matriz invertible es semejante a una matriz diagonal.
d ) Los valores propios reales de una matriz son raı́ces de su polinomio caracterı́stico.
e) Toda matriz n × n tiene n valores propios, contando sus multiplicidades algebraicas.
f ) Todos los valores propios de una matriz nula son 0.
g) Cualquier vector de Rn − {0} es vector propio de la matriz nula n × n.
h) Para conocer los valores propios de la matriz inversa de A no es necesario encontrar la inversa.
i ) Si una matriz 5 × 5 tiene 5 valores propios diferentes, es diagonalizable.
j ) Si T : R4 → R4 es una transformación lineal y A es su matriz asociada en la base usual, los valores y
vectores propios de A son los valores y vectores propios de T.
k ) Si A es simétrica, A es diagonalizable.
l ) Si A = AT es una matriz de tamaño 9 × 9, A tiene 9 vectores propios que forman un conjunto ortogonal.
99. En cada caso, con la información dada sobre la matriz A de tamaño n × n, determine si A es diagonalizable,
ortogonalmente diagonalizable, invertible y/o simétrica y el valor de n.
√
a) El polinomio caracterı́stico de A es p(λ) = (λ − 2)(λ + 3)(λ + 2)λ.
b) El polinomio caracterı́stico de A es p(x) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1).
c) El polinomio caracterı́stico de A es p(α) = (α − 4)2 (α + 2)3 .
  
   
0 
 1 
 1
d ) Los espacios propios de A son E(2) = Gen  1  , 1 , E(−1) = Gen 0




1
−1
0
    
  
0 
1
1 





    

  
0
−1
 , E(0) = Gen   , 1
e) Los espacios propios de A son E(3 = Gen 
0 1
 1 










0
1
−1
12

1 −1
f ) A = −1 0
2
3

2
3
−5
g) Los espacios propios de A son E(4) = Gen{u, v} y E(−2) = Gen{w}, siendo u, v, w ∈ Rn
100. Demuestre que si A es una matriz diagonalizable cuyos valores propios son 1 y −1, entonces A es invertible
y A−1 = A. Además,
A si k es impar
k
A =
I
si k es par
101. Dada A una matriz n × n tal que A = P Q, donde P es invertible, demuestre que B = QP es una matriz
semejante a A.
102. Sea T : Rn → Rn una transformación lineal. Demuestre que A es la matriz asociada a T en la base canónica
de Rn , si y sólo si, T(x) = Ax
103. Sea T : Rn → Rn una transformación lineal. Demuestre que si A es una matriz asociada a T en la base
canónica de Rn y AP = P D para alguna matriz invertible P y una matriz diagonal D, entonces T (pi ) = dii pi
donde pi es la columna de P y dii es la componente i de la diagonal de D.
104. Demuestre que si A es nilpotente, entonces el único valor propio de A es 0.
105. Demuestre que si A es una matriz tal que sus columnas suman 1, entonces λ = 1 es un valor propio de A.
106. Demuestre que si A es diagonalizable, entonces:
a) AT es diagonalizable.
b) Ak es diagonalizable, donde k es un entero positivo
107. Sea A una matriz de n × n, y sea B = P −1 AP semejante a A. Demuestre que si x es un vector propio de
A asociado con el valor propio λ de A, P −1 x es un vector propio de B asociado con el valor propio λ de la
matriz B.
108. Demuestre que si x y y son vectores en Rn , entonces (Ax) · y = x · (AT y).
109. Demuestre que si A es una matriz ortogonal de n × n, y x y y son vectores en Rn , entonces (Ax) · (Ay) = x · y.
110. Demuestre que si A es una matriz ortogonal, entonces det(A) = ±1.
111. Si A2 = A, ¿cuáles son los valores posibles para los valores propios de A? Justifique su respuesta.
112. Justifique PORQUE SON FALSAS las siguientes afirmaciones.
a) Las raı́ces del polinomio caracterı́stico de una matriz son sus valores propios reales .
b) Si T : R6 → R6 es una transformación lineal y A es su matriz asociada en una base diferente a la usual,
los valores y vectores propios de A son los valores y vectores propios de T.
c) Si T : P2 → P2 es una transformación lineal , T no tiene valores ni vectores propios.
d ) Si T : M2×2 → P4 es una transformación lineal , T no tiene valores ni vectores propios.
e) Si A = AT es una matriz de tamaño 5 × 5, A tiene 5 valores propios diferentes.
f ) Si A = AT es una matriz de tamaño 7 × 7, cualquier conjunto de 7 vectores propios es ortogonal.
g) Las matrices que diagonalizan una matriz dada son únicas.
h) Si A es una matriz ortogonal de n × n, rangoA < n.
i ) Si A es diagonalizable, cada uno de sus valores propios tiene multiplicidad uno.
j ) Si x y y son vectores propios de A asociados a los valores propios distintos λ1 y λ2 , respectivamente,
x + y es un vector propio de A asociado con el valor propio λ1 + λ2 .
13