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Multiplicadores de Lagrange con aplicación
1) Suponga que una empresa ha recibido un pedido de 200 unidades de su producto y desea
distribuir su fabricación en dos de sus plantas. Sean x e y las producciones de las plantas 1 y 2,
respectivamente y suponga que la función de costo total está dada por:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 200
¿Cómo debe distribuirse la producción para minimizar los costos?
2) La función de producción de una empresa es
𝑓(𝑥, 𝑦) = 12𝑥 + 20𝑦 − 𝑥 2 − 2𝑦 2
Donde el costo de x e y es de $4 y $8 por unidad, respectivamente. SI la empresa quiere que el
costo total de insumos sea $88, encuentre la producción máxima posible sujeta a este control
presupuestario.
3) Una empresa de computadoras tiene un presupuesto mensual publicitario de $60,000. Su
departamento de ventas estima que si se gastan $x cada mes en publicidad en periódicos y $y
cada mes en publicidad por televisión, las ventas mensuales estarán dadas por la función
𝑓(𝑥, 𝑦) = 90𝑥 1/4 𝑦 3/4
Si la utilidad es el 10% de las ventas menos el costo de la publicidad, determine cómo asignar el
presupuesto publicitario para maximizar la utilidad mensual.
4) Cuando se invierten x unidades de trabajo e y unidades de capital, la producción está dada por
la función
1 4
𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥 4 𝑦 5
Cada unidad de trabajo cuesta $11 y cada unidad de capital $33. SI se van a gastar exactamente
$11,880 en la producción, determine las unidades de trabajo y de capital que deben de invertirse
para maximizar la producción.
5) Un cilindro cerrado tendrá un volumen de 1000𝑐𝑚3 , la tapa y la base se hacen de un metal que
cuesta $4 por 𝑐𝑚2 y la cara lateral se cubre con un material que cuesta $5 por 𝑐𝑚2 . Calcule el
radio y altura del cilindro que dan un costo de construcción mínimo.
6) Encontrar las dimensiones que nos dan el área máxima de la sección transversal de una viga
rectangular que se corta de un tronco circular de 2 pie de radio.