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Cálculo I — Taller Ñ
Universidad
Industrial de
Santander
Aplicaciones de la derivada
Prof. Doris González Rojas
Gilberto Arenas Díaz
Facultad de Ciencias
Escuela de Matemáticas
Nombre:
Código:
1. Un globo esférico con un radio inicial r = 5
pulgadas comienza a desinflarse en el instante t = 0 y su radio t segundos más tarde es
r = (60 − t) /12 pulgadas. ¿A qué razón (en pulgadas cúbicas/segundo) sale el aire del globo
cuando t = 30?
2. El aire sale de un globo esférico a razón constante de 300π cm3 /seg. ¿Cuál es el radio del
globo cuando su radio decrece a razón de 3
cm/segundo?
3. Una embarcación parte al medio día en dirección Norte con una velocidad de 30 km/hr.
Una hora más tarde una segunda nave sale del
mismo sitio en dirección Este con rapidez de
40 km/hr. ¿Con qué rapidez se separan a la
1:30 pm?
4. Al derretirse una bola de nieve con radio inicial
de 12 cm, su radio decrece a una razón constante. Comienza a derretirse cuando t = 0 (horas)
y tarda 12 horas en desaparecer.
a) ¿Cuál es la razón de cambio del volumen
cuando t = 6?
b) ¿Cuál es la razón de cambio promedio del
volumen de t = 3 a t = 9?
5. Un granizo esférico pierde masa por la fusión
uniforme sobre su superficie, durante su caída.
En cierto instante, su radio es 2 cm, y su volumen decrece a razón de 0,1 cm3 /seg. ¿Qué tan
rápido decrece su radio en ese instante?
6. Una escalera de 41 pies de largo descansa sobre una pared vertical, cuando comienza a resbalar. Su parte superior se desliza hacia abajo
sobre la pared, mientras que su parte inferior se
mueve sobre el piso a una velocidad constante de 10 pies/seg. ¿Qué tan rápido se mueve la
parte superior de la escalera cuando está a 9
pies del suela?
9. Un depósito tiene 10 metros de longitud y sus
extremos son trapecios isósceles con dos metros de altura, 2 m de base inferior y 3 m de base
superior. Si se vierte agua en este depósito a
razón de 3 m3 /min. ¿A qué velocidad sube el nivel de agua cuando la profundidad es de un metro?
R: 0,12 m/min.
10. Una cámara de televisión sigue desde el suelo
el despegue vertical de un cohete, que se produce de acuerdo con S = 50t2 , con S en pies y t
en segundos. La cámara esta a 2000 pies del lugar de despegue; hallar la razón de cambio del
ángulo de elevación de la cámara 10 segundos
después del despegue.
R: 2/29 rad/seg.
11. Una escalera de 25 pies de longitud esta apoyada en una casa si la base de la escalera se
separa de la pared a razón de 2 pies/seg; ¿a
qué velocidad esta bajando su extremo superior
cuando la base esta a 15 pies de la pared?
R: -3/2 pies/seg.
12. Un controlador aéreo sitúa dos aviones en la
misma altitud, convergiendo en su vuelo hacia
un mismo punto en ángulo recto. Uno de ellos
esta a 150 millas de ese punto y vuela a 450 millas por hora. El otro esta a 200 millas del punto
y vuela a 600 millas por hora. ¿A qué ritmo varia
la distancia entre los dos aviones? ¿De cuánto
tiempo dispone el controlador para situarlos en
trayectorias distintas?
R: -750 millas/hora; 20 minutos.
13. Una persona de 6 pies de altura camina a razón
de 5 pies/seg; alejándose de una farola de 15
pies de altura. Cuando la persona esta a 10 pies
de la farola. ¿A qué velocidad se mueve el extremo de su sombra? ¿A qué velocidad cambia
la longitud de su sobre?
R: 25/3 pies/seg;
10/3 pies/seg.
7. Un observador sobre el piso ve un avión que se
aproxima, volando a velocidad constante y a una
altura de 20 000 pies. Desde su punto de vista,
el ángulo de elevación del avión aumenta a 0.5o
por segundo, cuando el ángulo es 60o . ¿Cuál
es la velocidad del avión?
14. Un avión vuela a 6 kilómetros de altura hacia el
punto donde se encuentra un observador; con
velocidad de 600 km/h. Hallar la razón de cambio del ángulo de elevación cuando él es de 30o .
8. En un tanque entra agua a razón de 5 m3 /min,
el tanque tiene la forma de cono invertido, de altura 10 m, y radio de la base 10 m. ¿Con qué
velocidad sube el nivel del agua en el instante
en que la profundidad del agua es de 8 m?
15. La temperatura de un alimento colocado en un
700
refrigerador es T (t) = 2
; t es el tiemt + 4t + 10
po medido en horas; calcular el ritmo de cambio
de la temperatura cuando t = 5 horas.
R: 5/16π m/min.
R: -3,240 grados/hora.
R: 1/2 rad/min.
Recopilación de material complementario: talleres y exámenes (propuestos y algunos resueltos); DEGR-GAD, octubre/2014.
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16. Una bola de nieve esférica se forma de manera que su volumen aumenta a razón de 8
pies3 /min; hallar la razón a la cual aumenta el
radio cuando la bola tiene 4 pies de diámetro.
R: 1/2π pies/min.
17. Un auto que viaja a 30 m/seg se acerca a una
intersección. Cuando el auto esta a 120 metros
de la intersección, un camión que va a 40 m/seg
cruza la intersección. El auto y el camión están en carreteras que forman ángulos rectos entree sí. ¿Con qué rápidez se separan 2 segundos después que el camión pasó por la intersección?
R: 14 m/seg
18. Un avión que vuela a una altura de 25000 pies
tiene una falla en el indicador de la velocidad
del aire. Para determinar su velocidad, el piloto
ve un punto fijo en el piso. En el momento en
que el ángulo de depresión (desde la horizontal)
de su línea de visión es 65o, observa que este
ángulo aumenta a razón de 1,5o por segundo.
¿Cuál es la rapidez del avión? (Ver Figura A).
x
θ
25000 pies
20. Suponga que va a fabricar una caja rectangular con una base cuadrada, con dos materiales
distintos. El material de la tapa y los cuatro lados de la caja cuesta $100 por pie cuadrado; el
material de la base cuesta $200 por pie cuadrado. Determine las dimensiones de la caja con el
máximo volumen posible, si se le permite gastar
$14400 para el material.
21. Usted debe fabricar una lata cilíndrica con fondo pero sin tapa, a partir de 300π pulgadas
cuadradas de una hoja metálica. No debe desperdiciarse la hoja de metal; se le permite ordenar una pieza circular de cualquier tamaño
para labase y cualquier pieza rectangular adecuada para formar su lado curvo, siempre que
se cumplan las restricciones. ¿Cuál es el volumen máximo posible de dicha lata?
22. Si se cuenta con 12000 cm2 de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte superior abierta, encuentre el volumen máximo posible de la caja.
23. Un modelo aplicado para el rendimiento R de
un cultivo agrícola como una función del nivel
de nitrógeno N en el suelo (que se mide en las
unidades apropiadas) es
piso
R=
Figura A.
19. Una lata de aceite debe tener un volumen de
1000 pulgadas cúbicas y la forma de un cilindro
con fondo plano pero cubierto por una semiesfera. Desprecie el espesor del material de la lata y determine las dimensiones que minimizarán
la cantidad de material necesario para fabricarla
(ver Figura B).
A = 2πr2
α2 N
,
1 + N + N2
donde α es una constante. ¿Qué nivel de
nitrógeno proporciona el mejor rendimiento?
¿Qué pasa con el rendimiento cuando el nivel
de nitrógeno es muy grande? ¿Es cierto que la
mayor razón de crecimiento se obtiene cuando
N = 1/2?
24. Encuentre los intervalos sobre los cuales f (x) =
2x3 + 3x2 − 36x es:
a) creciente,
h
b) decreciente,
c) cóncava hacia abajo,
r
d ) cóncava hacia arriba.
Figura B.
25. Verifique que se satisfacen las condiciones de la regla de L’Hôpital para encontrar los siguientes límites.
cos(ax) − cos(bx)
x→0
x2
a) lı́m
e−1/x
b) lı́m
;
x
x→0+
ex − e−x
c) lı́m
;
x→0 1 − x − ln (e − x)
f ) lı́m xr ln x, r > 0;
x→0+
h)
i)
2x + e−x − ex
d ) lı́m
;
x→0
x − sen x
j)
e) lı́m
k)
e − (1 + x)1/x
;
x→0
x
ln x
, r > 0;
x→∞ xr
xr
lı́m x , a > 1 y r > 0;
x→∞ a
!
"
1
2x ;
lı́m
−
cot
x→0 x2
#
π$
lı́m arctan x −
;
x→∞
2
# sen x $1/(1−cos x)
lı́m
;
x→0
x
g) lı́m
l) lı́m (tan(2x))x ;
x→0+
m) lı́m
x→0
!
1
1 − cos x
"x/ sen x
√
n) lı́m (1 + tan x)1/
x→0+
x
;
;
ñ) lı́m (1 + tan x)1/x ;
x→0
o) lı́m (1 + sen x)1/x ;
x→0
!
"
3
x
p) lı́m (1 + 2 ) ln 1 +
.
x→∞
x
Recopilación de material complementario: talleres y exámenes (propuestos y algunos resueltos); DEGR-GAD, octubre/2014.
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