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Movimiento Amortiguado y Forzado
Problema 1. Una masa al extremo de un muelle oscila con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 1 Hz
(ciclos por segundo). Para t = 0, la masa esta en la posición de equilibrio (x = 0).
a) Hallar las ecuaciones posibles que describen la posición de la masa en función del tiempo, en la forma
x = Acos(wt + α), dando lo valores numéricos de A, w y α.
b) Determinar los valores de x,
dx dx2
y 2 para t= 83 seg.
dt
dt
Resp: a) A = 5 cm, ω = 2πrad/seg, α = ±π/2, b)x =
5
2
√
3 cm,
√
dx
dx2
= 5πcm/seg y 2 = −10π 2 3cm/seg2 .
dt
dt
Problema 2. La ecuación de una cierta onda es:
A (x, t) = 10 sin (2π (2x − 100t))
donde x se mide en metros y t se mide en seg. Hallar la amplitud, longitud de onda, frecuencia y velocidad
de propagación. Dibujar la onda mostrando estos parámetros.
Resp:10 m, 0.5 m, 100 Hz, 50 m/seg.
Problema 3. Una partícula esta sometida simultáneamente a tres movimientos armónicos simples de la misma
frecuencia y en la dirección x. Si las amplitudes son 0,25, 0,20 y 0,15 mm, respectivamente, y la diferencia de
fase entre el primero y el segundo es de 45, y entre el segundo y tercero es 30, hallar la amplitud de desplazamiento resultante y su fase respecto al primer componente (el de amplitud 0,25 mm).
Resp:A = 0, 51 mm, φ = 33, 4◦ .
Problema 4. Dos vibraciones sobre la misma recta vienen descriptas por las ecuaciones:
y1 = A cos (10πt)
y2 = A cos (12πt)
Hallar el periodo de batido y dibujar un esquema cuidadoso de la perturbación resultante durante un periodo
de pulsación.
Resp: 2 seg.
Problema 5. Hallar la frecuencia del movimiento combinado en cada una de las siguientes vibraciones:
√
a) sin (2πt − 2) + cos (2πt)
b) sin (12πt) + cos (13πt − π/4)
c) sin (3t) − cos (πt)
Resp: a)1 Hz. b)6, 25 Hz. c)0, 48 Hz.
Problema 6. Se cuelga de un muelle un objeto de 1 g de masa y se le deja oscilar. Para t = 0, el desplazamiento
era de 43, 785 cm y la aceleración era de −1, 7514 cm/seg2 . ¿ Cual es la constante del muelle?
g
Resp: 0, 04 seg
2.
1
Problema 7. Una masa m cuelga de un muelle uniforme de constante k.
1. ¿ Cual es el periodo de las oscilaciones del sistema?
2. ¿ Cual seria el periodo si la masa m se colgase de modo que:
a) Estuviese sujeta a dos muelles idénticos situados uno junto al otro?
b) Estuviese sujeta al extremo inferior de dos muelles idénticos conectados uno a continuación del otro?
Resp: 1) T0 = 2π
pm
k
2) a)
T0
√
2
b)
√
2T0 .
Problema 8. Calcular la constante del resorte equivalente de la siguiente figura.
Resp: En notación compacta: ((2k1
P
k2
P
2k3 )kk4 )
P
k5 .
Problema 9. Se cuelga un cuerpo de masa m del extremo de dos resortes acoplados en serie, de constantes K1
y K2 . El otro extremo se cuelga del techo. Hallar:
a) El alargamiento producido por cada resorte.
b) La constante recuperadora del único resorte que hiciese su papel mecánico.
2
Datos: m = 2 Kg, K1 = 150 N/m, K2 = 180 N/m.
¿ Cómo cambian los resultados si resortes están en paralelo?
Resp: En serie: a) δl1 = 0, 1307 m, δl2 = 0, 1089 m, b) 81,82 N/m, en paralelo a) δl1 = δl2 = 0, 0594 m, b) 330
N/m.
Problema 10. El sistema de una motocicleta de 200 kg de masa es modelado por un amortiguador (ver figura a)). Cuando el amortiguador es sometido a una velocidad vertical inicial debido a un bache en la calle, la
resultante de la curva en función del tiempo es la que se muestra en la figura b). Encontrar la constante de
amortiguación y del resorte si el período de amortiguamiento de la vibración es de 2 seg. Encontrar el tiempo
en el cual la amplitud se reduce a 1/16. Encontrar la velocidad mínima para un máximo desplazamiento de 250
mm. Realizar hipótesis y suponer la aproximación logarítmica.
Resp: c=554,49 N.seg/m, k=2358,26 N/m, t = 0,36 seg, vmin = 1,41 m/seg.
Problema 11. Encontrar la frecuencia de vibración natural del sistema de la figura. Datos: Peso=2000 N,
l1 = l2 = l3 = 3 m, A1 = 20cm2 , A2 = 10cm2 , A3 = 5cm2 y E = 2,1 × 1011 N/m.
Resp: 265,91 rad/seg.
Problema 12. Comprobar que x = A exp−αt cos(wt) es una posible solución de la ecuación:
dx2
dx
+γ
+ w02 x = 0
2
dt
dt
3
Hallar α y w en función de γ y w0 .
Resp: γ = 2α, w02 = w2 + α2 .
N
. Se somete el
Problema 13. Se cuelga un objeto de masa 0,2 Kg de un muelle cuya constante es de 80 m
m
objeto a una fuerza resistente dada por −bv, siendo v su velocidad en seg . Plantear la ecuación diferencial del
√
movimiento en el caso de oscilaciones libres del sistema. Si la frecuencia de amortiguamiento es de
frecuencia sin amortiguamiento. ¿ Cual es el valor de la constante b?
3
2
de la
Kg
Resp: 4 seg
.
Problema 14. El esquema de un cañón se muestra en la figura. El mecanismo de barras y el cañón posee un
peso de 500 Kg. La constante del resorte para realizar el impulso del cañón es de 10000 N/m. La altura máxima
de la que parte el cañón es 0.4 m. Calcular:
1. El coeficiente critico de amortiguamiento.
2. La velocidad inicial del cañón.
3. El tiempo en el que cañón llega a la posición 0,1 m desde la posición inicial.
Resp: 1) 4472,1 N.seg/m, 2) 4,86 m/seg, 3) 0,82 seg.
Problema 15. Encuentre las soluciones de los sistemas representados por las siguientes ecuaciones. Las condiciones iniciales son ẋ(0) = 1 y x(0) = 0.
1. 2ẍ + 8ẋ + 16x = 0.
2. 3ẍ + 12ẋ + 9x = 0.
3. 2ẍ + 8ẋ + 8x = 0.
Problema 16. Un oscilador armónico amortiguado, cuya frecuencia angular natural es 15 rad/seg y cuyo parámetro de amortiguamiento es 9 1/seg, se encuentra inicialmente en reposo en la posición de equilibrio. En el
instante t = 0 recibe un impulso que lo pone en movimiento con una velocidad inicial v0 = 60 cm/ses.Para este
sistema se pide:
a) Expresar la elongación del oscilador en función del tiempo.
b) Calcular el máximo desplazamiento que experimenta el oscilador a partir de su posición de equilibrio.
c) Calcular el tiempo que deberá transcurrir para que la amplitud de las oscilaciones amortiguadas se reduzca
a un 0, 1 % del valor máximo anteriormente calculado.
4
Resp: a) 0,05 mexp−9t sin(12t), b) 0,01995 m, c) 0,869 seg.
N
Problema 17. Consideramos un oscilador amortiguado de masa 0,2 Kg, b = 4 N.seg
y k = 80 m
. Si la fuerza
m
1
impulsora es F = F0 cos(wt) siendo F0 = 2N y w = 30 seg . Determinar los valores de A y δ de la respuesta
descripta por x = Acos(wt − δ).
Resp: A = 1, 28 cm, δ = 130.
Problema 18. Se tiene un sistema masa-resorte con una fuerza externa armónica. La constante del resorte es
5000 N/m. La amplitud máxima de la fuerza externa es de 30 N con una frecuencia de 20 Hz. La vibración de
la masa es de 0,2 m. Asumiendo que las condiciones iniciales son ẋ(0) = 0 y x(0) = 0, determinar la masa del
sistema.
Resp: 0,29 Kg.
Problema 19. Encontrar todos los parámetros característicos de un sistema amortiguado con una fuerza impulsora armónica con una masa de 10 kg, c = 20 N.seg/m (constante de amortiguación), k = 4000 N/m, x0 = 0,01
m, y ẋ(0) = 0.
1. Si F (t) = F0 cos(ωt) es la fuerza impulsora con F0 = 100 N y ω = 10 rad/ses.
2. Si la vibración es libre, es decir, F (t) = 0.
Resp: x(t) = χ0 exp(−γωn t) cos(ωd t − φ0 ) + χ cos(ωt − φ) con 1) χ0 = 0,02 m , γ = 0,05 , ωn = 20rad/seg ,
ωd = 19,97 rad/seg , φ0 = 5,58 , χ = 0,03m , φ = 3,81. 2) x(t) = χ0 exp(−γωn t) cos(ωd t − φ0 ) con χ0 = 0,01 m
y φ0 = −2,86.
Problema 20. En la figura adjunta se muestra un modelo simple de un vehículo que puede vibrar en la dirección
vertical cuando se mueve sobre un camino montañoso. El vehículo tiene una masa de 1200 kg. El sistema de
suspensión tiene un resorte constante de 400 kN/m y una relación de coeficientes de amortiguación ζ = 0, 5.
Si la velocidad del vehículo es de 20 km/h, determinar la amplitud del vehículo. La superficie del camino varía
sinusoidalmente con una amplitud de y = 0, 05 m y una longitud de onda de 6 m. Realizar hipótesis.
Resp: 0,055048 m.
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Problema 21. Extra: Un cuerpo de masa m= 0, 2 kg. está suspendido del techo mediante un resorte. La fuerza
que realiza el resorte al ser estirado una longitud z a partir de su longitud sin deformar es F = −kz, donde k =
N
29 m
. El cuerpo está sumergido en un fluido viscoso que amortigua el movimiento con una fuerza proporcional
a la velocidad: Fv = −bv. Tener en cuenta el peso del cuerpo, tomando g = 9, 8 sm2 .
a) Escribir la ecuación diferencial que rige el movimiento z(t) del cuerpo, y la solución general de esta
ecuación, considerando todos los casos posibles en función del valor de b.
b) Si b = 0, 4 N.seg
m , hallar la expresión z(t) y representarla gráficamente, describiendo los parámetros mas
importantes, si las condiciones iniciales son z(0) = −3, 27 cm y v(0) = 0, 424 m
s .
c) Si el valor del coeficiente de la fuerza viscosa es b = 8 N.seg
, hallar el movimiento del cuerpo si las
m
condiciones iniciales son z(0) = −6, 8 cm y v(0) = 0, 6 m
.
s
d) Si se considera el sistema sin gravedad y con una fuerza sinusoidal externa, de valor máximo 20 N y
N.seg
frecuencia angular 25 rad
s . El valor del coeficiente de amortiguación es es 0,4 m . Calcular la amplitud
de las oscilaciones, a qué frecuencia se producirá la resonancia y cuál será la amplitud de la oscilación
resonante.
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