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HOJA Nº 12. CINEMÁTICA. COMPOSICIÓN DE MOVIMENTOS-2.
MOVIMIENTO PARABÓLICO
1. Desde un piso horizontal, un balón es lanzado con una velocidad inicial de 10 m/s
formando 30º con el suelo horizontal. Calcular:
a. El tiempo que está el balón en el aire.
b. La máxima altura que alcanza.
c. Distancia desde el punto de lanzamiento en que regresa al suelo
d. Velocidad con que llega al suelo
Solución
En primer lugar calculamos las velocidades horizontal y vertical al inicio del
movimiento
vox = v·cos α
voy = v·sen α
En nuestro caso:
vox = 10·cos 30 = 8,6 m/s
voy = 10·sen 30 = 5 m/s
a. Tiempo en el aire
Depende del movimiento vertical cuya ecuación es
y = 5·t - 4.9·t2
Cuando termina de volar se cumple que y=0
0 = 5·t - 4.9·t2
t = 1,02 s
b. Altura máxima
Alcanza la altura máxima cuando vy=0. Usamos la ecuación de la velocidad en el
movimiento vertical
vy = voy - 9,8·t
0= 5 - 9,8·t
t = 0,51 s
Este tiempo es el que tarda en llegar arriba del todo
y = 5·t - 4.9·t2
y = 5·0,51 - 4,9·0,512 = 1,27 m altura máxima (cuando vy = 0)
c. Distancia alcanzada
Durante el tiempo de vuelo (1,47s, apartdo a) el balón ha seguido avanzando con
movimiento rectilíneo uniforme
x = x0 + v0x·t
En este caso
x = 8,6·1,02 = 8,22 m es la distancia alcanzada por el balón
d. Velocidad con que llega al suelo
El balón llega al suelo con una velocidad horizontal de 8,6 m/s (v0x)
Y una velocidad vertical que calculamos a partir de la ecuación de la velocidad en un
movimiento vertical con aceleracion -9,8 m/s2
vy = v0y - 9,8·t
vy = 5 - 9,8·1,02 = -5 m/s (componente y de la velocidad al llegar al suelo)
También podemos dar esta velocidad por su módulo y su ángulo con el suelo.
módulo = raíz cuadrada de (52 + 8,62) = 9,95 m/s
Ángulo de llegada será arctg(-5/8,6) = -30 º
Este tipo de ejercicios (el nº 1) tenéis que resolverlo sin dificultad. Así
que estudiadlo hasta entenderlo completamente, en el libro tenéis más
asi como los pasos para calcular cada uno de estos apartados.
OJO: el tiro horizontal es un caso particular del tiro oblicuo en el que el
ángulo de lanzamiento vale 0º (V0y = 0).
2. ¿Con qué velocidad debemos lanzar horizontalmente una piedra desde una altura de 1,8 m
para que caiga a una distancia de 10 m?
Solución
Primero calculo el tiempo que tarda en caer desde 1,8 m
y= y0 + v0y·t - 4,9·t2 (ecuación teórica)
y= 1,8 - 4,9·t2
(ec. para el movimiento de esta piedra)
Cuando esté en el suelo
0= 1,8 - 4,9·t2
De aquí obtengo que t = 0,61 s tarda en lelgar al suelo
Durante este tiempo debe recorrer 10m en horizontal (MRU)
x = x0 + vx·t
x = vx·t
En el suelo
10 = vx·0,61
Por tanto vx = 16,5 m/s
OTRO PLANTEAMIENTO (más matemático)
En este ejercicio me dice que la piedra al final debe estar en las coordenas x=10, y=0,
o sea, a 10 m del punto de partida y en el suelo. Pues usaremos las ecuaciones de
los movimientos horizontal y vertical para calcular estas coordendas.
x = x0 + vx·t
y= y0 + v0y·t - 4,9·t2
Disponemos de esas ecuaciones, ahora las aplico al caso planteado en el enunciado
y me queda
x = vx·t
y= 1,8 - 4,9·t2
Veamos cuando la piedra llega al suelo estas ecuaciones se convierten en
10 = vx·t
0 = 1,8 - 4,9·t2
Solo he substituido los valores conocidos cuando la piedra está en el suelo y
tengo un sistema con dos ecuaciones dos incógnitas y una de las incógnitas es la vx
que necesito calcular.
Pues resuelvo el sistema y tengo que vx= 16,5 m/s
Sugerencia: haz el problema inverso para comprobar el resultado (o sea, si lanzas
una piedra horizontalmente con 16,5 m/s de velocidad desde 1,8 m de altura ¿a qué
distancia llega?)
3. Desde qué altura debes lanzar una piedra para que alcance una distancia de 30 metros si
la tienes que lanzar horizontalmente con una velocidad máxima de 20 m/s.
Solución
La piedra avanza a 20 m/s y debe recorrer 30 m en horizontal. Usando la ecuación del
MRU averiguamos el tiempo que tarda en recorrer ese espacio
x = x0 + vx·t
30 = 20·t
Por tanto t = 1,5 s
Ese es el tiempo que la piedra estará cayendo en vertical
y= y0 + v0y·t - 4,9·t2 (ecuación teórica)
y= y0 - 4,9·t2
(ec. para el movimiento de esta piedra, y0 no lo conozco)
Cuando esté en el suelo
0= y0 - 4,9·1,52
por tanto
y0 = 4,9·1,52 = 11,02 m
OTRO PLANTEAMIENTO (más matemático)
En este caso me pide desde dónde debe salir la piedra para llegar al suelo a 30 m de
distancia. Es decir, trabajamos con posiciones, coordenadas. Nos pide la posición
inicial para que la posición final sea x=30 y= 0
Volvemos con las ecuaciones de posición del MRU y del MRUA (a=-9,8m/s2)
x = x0 + vx·t
y= y0 + v0y·t - 4,9·t2
Disponemos de esas ecuaciones, ahora las aplico al caso planteado en el enunciado
y me queda
x = 20·t
y= y0 - 4,9·t2
Veamos cuando la piedra llega al suelo(posición final) estas ecuaciones quedan
30 = 20·t
0 = y0 - 4,9·t2
Resolviendo este sistema tenemos que y0 = 11,02 m
4. Un avión que vuela en horizontal a 100 m/s y a 500 m de altitud, debe lanzar un paquete
de ayuda a un náufrago hambriento, muy hambriento, que se encuentra en una pequeña
isla rodeado de tiburones hambrientos, muy hambrientos, así que el piloto debe acertar a
la primera. Desde que distancia de la isla debe dejar caer el paquete para que no caiga en
el mar.
Solución
Calculo el tiempo que tarda en llegar al suelo desde 500 m de altura, para ello uso la
ecuación de la posición vertical
y= y0 + v0y·t - 4,9·t2 (ecuación teórica)
y= 500 - 4,9·t2
0 = 500 - 4,9·t2
(ecuación para este caso)
(condición cuando el paquete está en el suelo)
despejo y tengo que tarda 10,1 s en llegar al suelo. Durante este tiempo el paquete
avanza en horizontal a 100 m/s, el espacio que recorre en horizontal será
x = vx·t
x = 100·10,1 = 1010 m
Por tanto debemos soltar el paquete 1010 m antes de pasar por encima de la isla
para que caiga en ella.
OTRO PLANTEAMIENTO (más matemático)
Pues nada seguimos igual, con las coordenadas. El paquete parte desde el avión a
una altura de 500 m, es decir, las coordenadas iniciales son xo=0, y0=500 y al final las
coordenadas serán y=0 y la x no la conozco.
Volvemos con las ecuaciones de posición del MRU y del MRUA (a=-9,8m/s2)
x = x0 + vx·t
y= y0 + v0y·t - 4,9·t2
Disponemos de esas ecuaciones, ahora las aplico al caso planteado en el enunciado
y me queda
x = 100·t
y= 500 - 4,9·t2
Veamos cuando la piedra llega al suelo estas ecuaciones se convierten en
x = 100·t
0 = 500 - 4,9·t2
Resolviendo este sistema tenemos que x = 1010 m
5. Una niña da una patada a un balón con una velocidad inicial de 13 m/s y formando un
ángulo de 35° respecto del suelo, la portería se encuentra a 13 m de distancia y mide 2 m
de altura. Determinar:
a. ¿Qué tiempo tarda la pelota hasta llegar a la portería?.
b. ¿Entrará en la portería? (en ese momento la portería está vacía)
Solución
Veamos las velocidades de ambos movimientos
vox = v·cos α
vox = 13·cos35 = 10,65 m/s
voy = v·sen α
voy = 13·sen35 = 7,46 m/s
Para saber si entra tenemos que saber donde está la pelota cuando su coordenada x
es la misma que la de la portería, es decir, cuando x= 13 m. La ecuación del
movimiento horizontal de esta pelota es
x = 10,65·t
Cuando pase a la altura de la portería
13 = 10,65·t
Despejo t, t = 1,22 s es el tiempo que tarda en llegar a la portería
Y en ese momento está a una altura dada por
y= 7,46·t - 4,9·t2
y = 7,46·1,22 - 4,9·1,222 = 1,8 m
Luego si que entra en la portería (su altura es menor que la de la portería)
.
(las proporcines no están muy allá pero creo que queda claro)
6. Quieres encestar un balón en una canasta de baloncesto situada a 6 m de distancia y que
está a una altura sobre el suelo de 3 m. Lanzas la pelota con un ángulo de 65º ¿qué
velocidad debes imprimir al balón para encestar?
Solución
Son dos movimientos, veamos las velocidades de cada uno
vox = v·cos α
vox = v·cos65
voy = v·sen α
voy = v·sen65
En este caso no conocemos v, ese es precisamente el objetivo del ejercicio: calcular
su valor.
Sabemos que cuando esté a 6 m (x=6) el balón debe estar a una altura de 3 m (y=3),
planteamos las ecuaciones de cada movimiento para esta situación
x = vox ·t
y= y0 + voy ·t - 4,9·t2
Con los valores del ejercicio estas ecuaciones quedan en
6 = v·cos(65) ·t
3= 1,8 + v·sen(65) ·t - 4,9·t2
Como vemos tenemos un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, si lo resolvemos
obtenemos que v = 9,2 m/s
7. Determinar la inclinación con que debemos lanzar un balón para que alcance una distancia
de 12 m desde el punto de lanzamiento si sabemos que podemos imprimirle una velocidad
inicial de 25 m/s y despreciamos la resistencia del aire.
Solución
Este caso vuelve a precisar de un sistema de ecuaciones.
movimiento horizontal
x = v·cos(α)·t
movimiento vertical
y= y0 + v·sen(α)·t - 4.9·t2
En nuestro caso
movimiento horizontal
x = 25·cos(α)·t
movimiento vertical
y= 25·sen(α)·t - 4.9·t2
Y en el punto de impacto del balón con el suelo
movimiento horizontal
12 = 25·cos(α)·t
movimiento vertical
0= 25·sen(α)·t - 4.9·t2
Vemos dos ecuaciones y dos incógnitas que resolvemos, por ejmplo, despejando t de
la primera ecuación y sustituyendo en la segunda
‫=ݐ‬
12
25 · cosߙ
Sustituyendo en la segunda ecuación tenemos
Al quitar paréntesis
ଶ
12
12
0 = 25 · ‫· ߙ݊݁ݏ‬
− 4.9 · ൬
൰
25 · cosߙ
25 · cos ߙ
Denominador común...
0=
25 · ‫ · ߙ݊݁ݏ‬12
4,9 · 12ଶ
−
25 · cosߙ
25ଶ · cosଶ ߙ
12 · 25ଶ · ‫ · ߙ݊݁ݏ‬cos ߙ
4,9 · 12ଶ
0=
−
25ଶ · cosଶߙ
25 · cosଶ ߙ
0 = 12 · 25ଶ‫ · ߙ݊݁ݏ‬cos ߙ − 4,9 · 12ଶ
recordando un poco de trigonometría 2 · ‫݊݁ݏ =ߙݏ݋ܿ · ߙ݊݁ݏ‬2ߙ
0 = 12 · 25ଶ
sustituimos y obtenemos que
sen2α = 0.1881,
por tanto 2α = 10,84
‫݊݁ݏ‬2ߙ
− 4,9 · 12ଶ
2
y
α = 5,42º
es decir lanzando con un ángulo de 5,42º llegamos a la distancia deseada, pero
este no es elúnico ángulo existe otra solución ¿cuál es? (trigonometría apicada)