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Tema 8: Funciones lineales.
Ejercicio 1.
Decir la pendiente de cada recta:
Figura 1.
Solución:
y = 2 x . Pasa por el (0, 0) y (1, 2). Su pendiente es 2.
1
1
y = − x . Pasa por el (0, 0) y (2, -1). Su pendiente es − .
2
2
y = −3 x . Pasa por el (0, 0) y (1, -3). Su pendiente es -3.
Observamos que cuanto mayor es la pendiente en valor absoluto mayor es la inclinación. Si la
pendiente es positiva, la recta es creciente, y si es negativa, la recta es decreciente.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para conocer la pendiente de una recta debemos seguir los siguientes pasos. En primer lugar,
escribimos “pendiente” y a continuación insertamos unos paréntesis. Podemos hacerlo de dos
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
maneras, con los paréntesis que encontramos en el teclado “( )” o pinchando en el icono
‘Paréntesis’ que encontramos dentro de la pestaña ‘Operaciones’.
Figura 2.
2. Dentro de los paréntesis que escribimos en el apartado anterior, escribimos la función. Para
ello debemos tener en cuenta varias cosas que nos ayudarán a hacerlo de una manera más
sencilla: para insertar fracciones pinchamos en el icono ‘Fracción’ que encontramos en la
pestaña ‘Operaciones’; y para insertar los signos de ‘=, + y –‘utilizamos los del teclado.
Figura 3.
3. Cuando tengamos la función planteada, sólo tenemos que pinchar en el icono ‘=’ para
conocer la pendiente de la función.
Figura 4.
4. Repetimos el procedimiento con las otras dos funciones.
2
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Figura 5.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 2.
Dibuja, sobre unos ejes cartesianos, en papel cuadriculado, dos rectas que pasen por el origen y
que tengan pendientes positivas y otras dos con pendientes negativas.
Solución:
Para resolver este ejercicio representaremos cuatro rectas, conociendo un punto que será común a
ellas y la pendiente.
No tenemos unas pendientes concretas, pero el ejercicio nos pide que sean dos positivas y dos
negativas, y nosotros elegiremos unas al azar, en este caso, las pendientes de las cuatro rectas serán:
-4, -2, 2 y 4.
Ahora, obtendremos, para cada una de las rectas, su ecuación punto-pendiente.
1. P(0,0 ) m = −4
ECUACIÓN: y = 0 − 4( x − 0 )
Es decir, y = −4 x
2. P(0,0 ) m = −2
ECUACIÓN: y = 0 − 2( x − 0 )
Es decir, y = −2 x
3. P(0,0 ) m = 2
ECUACIÓN: y = 0 + 2( x − 0 )
Es decir, y = 2 x
3
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
4. P(0,0 ) m = 4
ECUACIÓN: y = 0 + 4( x − 0 )
Es decir, y = 4 x
El siguiente paso es representar las cuatro rectas. Para ello, utilizaremos tablas de valores, en las
que seleccionaremos valores de X que sustituiremos en la función para obtener el punto Y del par de
coordenadas. Como es una recta, no necesitaremos muchos pares de valores, y además conocemos de
antemano una de las coordenadas, que es el punto (0,0), y es común a las cuatro rectas. Cuando
tengamos las coordenadas, las representamos en la cuadrícula y unimos los puntos obteniendo la
representación final.
RECTA 1: y = −4 x
X
Y
-2
8
0
0
2
-8
Figura 6.
RECTA 2: y = −2 x
X
Y
4
-2
4
0
0
2
-4
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Figura 7.
RECTA 3: y = 2 x
X
Y
-2
-4
0
0
2
4
Figura 8.
RECTA 4: y = 4 x
X
Y
-2
-8
0
0
2
8
5
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 9.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. En primer lugar, debemos saber insertar un punto. Para ello, pinchamos en la pestaña
‘Geometría’ y después en el icono ‘Punto’. Una vez tengamos insertado el esquema siguiente,
rellenaremos los huecos correspondientes a x e y con nuestro par de coordenadas.
Figura 10.
2. Ahora, de una manera similar, debemos aprender a insertar una recta. De nuevo pinchamos
en la pestaña ‘Geometría’ y dentro de ella, en el icono ‘Recta’. Si tuviéramos dos puntos para
calcular la función, en cada uno de los dos huecos, insertaríamos los puntos de la misma manera
que en el paso anterior. Sin embargo, como tenemos un punto y la pendiente, en el primer
hueco escribiremos nuestro punto y en el siguiente paso veremos cómo introducir la pendiente.
6
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Figura 11.
3. La pendiente la introduciremos de una manera muy peculiar. Escribiremos el número entre
corchetes y siempre con numerador y denominador, si fuera un número entero, el denominador
sería 1. Dentro de los corchetes escribiremos el denominador y después el numerador
separados por una coma. Por ejemplo: si la pendiente es ¾ escribiremos: [4,3] mientras que si
es 4 escribiremos [1,4]. Por lo tanto, debemos escribir la pendiente en el otro hueco del
esquema de la recta completándolo como vemos a continuación.
Figura 12.
4. Cuando tenemos todo relleno, pinchamos en el icono ‘=’ para conocer la función de la recta.
Figura 13.
5. Repetimos el proceso con las otras cuatro rectas hasta obtener todas las funciones.
7
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 14.
6. Ahora representaremos una ecuación. Para hacerlo, pinchamos en la pestaña ‘Operaciones’ y
después en el icono ‘Representar’. Después escribimos la recta que hemos obtenido y queremos
representar entre los paréntesis y pinchamos en el icono ‘=’ para ver la gráfica.
Figura 15.
Figura 16.
8
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
7. Como hemos visto en el apartado anterior, la representación la obtenemos en una ventana
diferente. Debemos saber que cuando representamos varias funciones tenemos dos opciones:
representarlas todas en el mismo tablero o cada una en uno diferente. Para la primera opción,
que es la que nosotros seguiremos, debemos escribir la orden ‘Representar’ de todas las
funciones dentro del mismo bloque. Para representar cada función en un tablero diferente, cada
orden debe estar en un bloque distinto, y para crear un bloque nuevo, debemos pinchar en el
icono ‘Nuevo bloque’ que encontramos en la pestaña ‘Archivo’.
Figura 17.
Figura 18.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
9
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Ejercicio 3.
Representa las funciones siguientes:
a) y = x
d) y = −2 x
b) y = 2 x
e) y =
c)
y = −x
f)
3
x
2
−3
h) y =
x
2
2
i) y = x
3
g) y =
1
x
3
1
y=− x
3
Solución:
Representaremos las rectas utilizando tablas de valores, en las que seleccionaremos valores de X
que sustituiremos en la función para obtener el punto Y del par de coordenadas. Cuando tengamos las
coordenadas, las representamos en la cuadrícula y unimos los puntos obteniendo la representación final.
a) y = x
X
Y
-2
-2
0
0
2
2
Figura 19.
b) y = 2 x
X
Y
10
-2
-4
0
0
2
4
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Figura 20.
c)
y = −x
X
Y
-2
2
0
0
2
-2
Figura 21.
d) y = −2 x
X
Y
-2
4
0
0
2
-4
11
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 22.
e) y =
1
x
3
X
Y
-2
8
0
0
2
-8
Figura 23.
f)
1
y=− x
3
X
Y
12
-3
1
0
0
3
-1
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Figura 24.
g) y =
3
x
2
X
Y
-2
-3
0
0
2
3
Figura 25.
h) y =
−3
x
2
X
Y
-2
3
0
0
2
-3
13
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 26.
i)
y=
2
x
3
X
Y
-3
-2
0
0
3
2
Figura 27.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para representar una función con Wiris, debemos pinchar en la pestaña ‘Operaciones’ y
después en el icono ‘Representar’. A continuación, escribiremos entre paréntesis la función
correspondiente ayudándonos del icono ‘Fracción’ y de los signos de suma y resta que
14
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
encontramos en el teclado (+ y -). Cuando la tengamos planteada, pinchamos en el icono ‘=’ y
nos aparecerá la gráfica en una ventana aparte que se llama ‘Tablero’.
Figura 28.
2. Apartado a.
Figura 29.
Figura 30.
15
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
3. Apartado b.
Figura 31.
Figura 32.
4. Apartado c.
Figura 33.
16
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Figura 34.
5. Apartado d.
Figura 35.
Figura 36.
17
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
6. Apartado e.
Figura 37.
Figura 38.
7. Apartado f.
Figura 39.
18
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Figura 40.
8. Apartado g.
Figura 41.
Figura 42.
19
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
9. Apartado h.
Figura 43.
Figura 44.
10. Apartado i.
Figura 45.
20
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Figura 46.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 4.
Representar estas rectas:
a) y = 2 x − 3
c)
y = x −1
b) y = 7 − 4 x
d) y = −
e) y = 5
3
x+2
4
f)
y = −2
Solución:
Representaremos las rectas utilizando tablas de valores, en las que seleccionaremos valores de X
que sustituiremos en la función para obtener el punto Y del par de coordenadas. Cuando tengamos las
coordenadas, las representamos en la cuadrícula y unimos los puntos obteniendo la representación final.
a) y = 2 x − 3
X
Y
-2
-7
0
-3
2
1
21
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 47.
b) y = 7 − 4 x
X
Y
-2
15
0
7
2
-1
Figura 48.
c) y = x − 1
X
Y
22
-2
-3
0
-1
2
1
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Figura 49.
d) y = −
3
x+2
4
X
Y
-4
5
0
2
4
-1
Figura 50.
e) y = 5
X
Y
-2
5
0
5
2
5
23
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 51.
f)
y = −2
X
Y
-2
-2
0
-2
2
-2
Figura 52.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para representar una función pincharemos en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono
‘Representar’. A continuación, escribiremos entre los paréntesis la función ayudándonos del
icono ‘Fracción’ y de los signos que necesitamos para operar. Cuando la tengamos planteada,
pinchamos en el icono ‘=’ y nos aparecerá la gráfica en una ventana aparte
24
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Figura 53.
2. Apartado a.
Figura 54.
Figura 55.
3. Apartado b.
Figura 56.
25
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 57.
4. Apartado c.
Figura 58.
Figura 59.
26
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
5. Apartado d.
Figura 60.
Figura 61.
6. Apartado e.
Figura 62.
27
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 63.
7. Apartado f.
Figura 64.
Figura 65.
28
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 5.
Un muelle pende del techo y mide 7 dm. Si colgamos pesas de él, se estira proporcionalmente al
peso
de
estas.
Con
4
kg,
se
estira
3
dm.
Escribe
la
ecuación
de
la
función
peso co lg ado → longitud total , y represéntala.
Solución:
En primer lugar, debemos observar que sabemos cuánto se estira con cuatro kilogramos. Sin
embargo, también nos dice el enunciado que se estira proporcionalmente a ese peso, es decir, utilizando
una regla de 3, podemos calcular cuando varía con un kg. de peso:
4kg. _____ 3dm. 1kg * 3dm
= 0,75dm.

1kg. ______ x 
4kg
Ahora ya sabemos que con cada kilogramo de peso, el muelle aumenta su longitud en 0,75
decímetros. Por lo tanto, si llamamos “x” al peso que colocamos en el muelle, sabemos que al multiplicar
x por 0,75 obtenemos cuánto varía el muelle con dicho peso.
Aquí terminaría la función si “Y” fuera el aumento total de la longitud del muelle, pero el ejercicio
nos pide que llamemos a “y” la longitud total del muelle, es decir, cuánto obtendríamos de su medición
después de colocar el peso. Por ello, al resultado de multiplicar el peso por 0.75 (con lo que
obtendríamos cuánto aumenta de longitud el muelle) le sumaríamos siempre 7 dm., ya que es lo que
mide el muelle sin peso. Por lo tanto, la función que obtenemos para calcular la longitud del muelle para
cualquier peso es:
y = 0,75 x + 7
Ahora representaremos la recta utilizando una tabla de valore, en la que seleccionaremos distintas
cantidades de peso que sustituiremos en la función para obtener el punto la medida del muelle para
estos. Cuando tengamos las coordenadas, las representamos en la cuadrícula y uniremos los puntos
obteniendo la representación final.
29
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
X
Y
0
7
2
8,5
4
10
6
11,5
10
14,5
Figura 66.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para representar una función con Wiris, debemos pinchar en la pestaña ‘Operaciones’ y
después en el icono ‘Representar’. A continuación, escribiremos entre paréntesis la función
correspondiente ayudándonos del icono ‘Fracción’ y de los signos de suma y resta que
encontramos en el teclado (+ y -). Cuando la tengamos planteada, pinchamos en el icono ‘=’ y
nos aparecerá la gráfica en una ventana aparte.
Figura 67.
30
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Figura 68.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 6.
Escribir las ecuaciones de las rectas siguientes dadas por un punto y su pendiente:
a) P(3,7 ) m = 4
b) P(− 2,5) m = −
2
3
c) P(4,−1) m = 1,2
1
d) P (− 3,0 ) m =
5
Solución:
Obtenemos, para cada una de las rectas, su ecuación punto-pendiente.
a) ECUACIÓN: y = 7 + 4( x − 3)
Es decir, y = 4 x − 5
2
(x + 2)
3
c) ECUACIÓN: y = −1 + 1,2( x − 4 )
1
d) ECUACIÓN: y = ( x + 3)
5
Es decir, y = −
b) ECUACIÓN: y = 5 −
2
11
x+
3
3
Es decir, y = 1,2 x − 5,8
Es decir, y =
1
3
x+
5
5
31
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Calcularemos la función de una recta conociendo un punto y su pendiente, pinchando en la
pestaña ‘Geometría’ y después en el icono ‘Recta’. Entonces, pinchamos en el primer hueco en el
que vemos ‘Punto’, y después en el icono ‘Punto’ que encontramos en la pestaña ‘Geometría’ y
rellenamos los dos huecos con las coordenadas de dicho punto. A continuación, introduciremos
la pendiente escribiendo el número entre corchetes y siempre con numerador y denominador, si
fuera un número entero, el denominador sería 1. Dentro de los corchetes escribiremos el
denominador y después el numerador separados por una coma. Cuando tengamos todo
planteado, pinchamos en el icono ‘=’ y obtenemos la ecuación.
Figura 69.
2. Apartado a.
Figura 70.
32
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
3. Apartado b.
Figura 71.
4. Apartado c.
Figura 72.
5. Apartado d.
Figura 73.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
33
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Ejercicio 7.
Escribir la ecuación de las rectas a, b y c.
Figura 74.
Solución:
a) Pasa por (2, 2). Su pendiente es
ECUACIÓN: y = 2 +
2 1
=
4 2
1
(x − 2)
2
b) Pasa por (-7, 5). Su pendiente es −
ECUACIÓN: y = 5 −
4
3
4
(x + 7 )
3
c) Pasa por (2, -5). Su pendiente es
ECUACIÓN: y = −5 + ( x − 2 )
3
=1
3
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Calcularemos la función de una recta conociendo un punto y su pendiente, pinchando en la
pestaña ‘Geometría’ y después en el icono ‘Recta’. Entonces, pinchamos en el primer hueco en el
que vemos ‘Punto’, y después en el icono ‘Punto’ que encontramos en la pestaña ‘Geometría’ y
rellenamos los dos huecos con las coordenadas de dicho punto. A continuación, introduciremos
la pendiente la escribiendo el número entre corchetes y siempre con numerador y
34
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
denominador, si fuera un número entero, el denominador sería 1. Dentro de los corchetes
escribiremos el denominador y después el numerador separados por una coma. Cuando
tengamos todo planteado, pinchamos en el icono ‘=’ y obtenemos la ecuación.
Figura 75.
2. Apartado a.
Figura 76.
3. Apartado b.
Figura 77.
35
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
4. Apartado c.
Figura 78.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 8.
Escribe, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por P y tiene pendiente m:
a) P (4,−3), m = 4
b) P(0,2 ), m = −
1
2
c) P (− 3,1), m =
Solución:
Obtenemos, para cada una de las rectas, su ecuación punto-pendiente.
a) P (4,−3), m = 4
ECUACIÓN: y = −3 + 4( x − 4 )
b) P(0,2 ), m = −
1
2
ECUACIÓN: y = 2 −
c) P (− 3,1), m =
1
(x − 0)
2
Es decir, y = 2 −
5
(x + 3)
4
Es decir, y =
1
x
2
5
4
ECUACIÓN: y = 1 +
36
Es decir, y = −19 + 4 x
19 5
+ x
4 4
5
4
d) P(0,0 ), m = −1
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
d) P(0,0 ), m = −1
ECUACIÓN: y = 0 + −1( x − 0 )
Es decir, y = − x
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Calcularemos la función de una recta conociendo un punto y su pendiente, pinchando en la
pestaña ‘Geometría’ y después en el icono ‘Recta’. Entonces, pinchamos en el primer hueco en el
que vemos ‘Punto’, y después en el icono ‘Punto’ que encontramos en la pestaña ‘Geometría’ y
rellenamos los dos huecos con las coordenadas de dicho punto. A continuación, introduciremos
la pendiente escribiendo el número entre corchetes y siempre con numerador y denominador, si
fuera un número entero, el denominador sería 1. Dentro de los corchetes escribiremos el
denominador y después el numerador separados por una coma. Cuando tengamos todo
planteado, pinchamos en el icono ‘=’ y obtenemos la ecuación.
Figura 79.
2. Apartado a.
Figura 80.
37
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
3. Apartado b.
Figura 81.
4. Apartado c.
Figura 82.
5. Apartado d.
Figura 83.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 9.
Hallar las pendientes de las siguientes rectas dadas por dos puntos:
a) (2, -5), (6, 1)
38
b) (-1, 0), (3, 2)
c) (-3, -1), (2, -2)
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Solución:
OPERANDO:
1 − (− 5) 6 3
= =
6−2
4 2
2−0
2 1
b) m =
= =
3 − (− 1) 4 2
− 2 − (− 1)
1
c) m =
=−
2 − (− 3)
5
a) m =
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Obtendremos la función de una recta conociendo dos de sus puntos, pinchando en la pestaña
‘Geometría’ y después en el icono ‘Recta’. Entonces, pinchamos en uno de los dos huecos en los
que vemos ‘Punto’, y después en el icono ‘Punto’ que encontramos en la pestaña ‘Geometría’ y
rellenamos con las coordenadas de dicho punto. Repetimos la operación con el otro rectángulo
de ‘Punto’. Cuando tengamos todo planteado, pinchamos en el icono ‘=’ y obtenemos la
ecuación.
Figura 84.
2. Cuando tengamos la ecuación de la recta, escribiremos “pendiente” y después, entre
paréntesis, la función que hemos obtenido del paso anterior. De esta manera, cuando
pinchemos en el icono ‘=’, conoceremos la pendiente de la función. Por último, seguiremos
estos pasos para todos los apartados del ejercicio.
Figura 85.
39
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
3. Apartado a.
Figura 86.
4. Apartado b.
Figura 87.
5. Apartado c.
Figura 88.
40
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 10.
Obtener la ecuación de la recta que pasa por P y Q:
Solución:
a) P(5,3), Q(− 3,4 )
m=
4−3
1
1
=
=−
−3−5 −8
8
ECUACIÓN: y = 3 −
1
( x − 5)
8
b) P(− 3,5), Q(− 2,3)
m=
3−5
−2
=
= −2
− 2 − (− 3)
1
ECUACIÓN: y = 5 − 2( x + 3)
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para calcular la función de una recta conociendo dos de sus puntos, pinchamos en la pestaña
‘Geometría’ y después en el icono ‘Recta’. Después, pinchamos en el primero de los dos huecos
de la función ‘Recta’ y a continuación en el icono ‘Punto’ que se encuentra en la misma pestaña
‘Geometría’. Cuando tengamos esto, rellenamos con las coordenadas x e y. Repetimos el
proceso con el segundo hueco de la función recta. Cuando tengamos todo planteado,
pinchamos en el icono ‘=’ y obtenemos la ecuación.
Figura 89.
41
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
2. Apartado a.
Figura 90.
3. Apartado b.
Figura 91.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 11.
Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q:
a) P(2, 5), Q(-3, 6)
b) P(3, -4), Q(-2, -1)
c) P(-1, 0), Q(5, 5)
Solución:
a) P(2, 5), Q(-3, 6)
m=
6−5
1
1
=
=−
−3−2 −5
5
b) P(3, -4), Q(-2, -1)
42
ECUACIÓN: y = 5 −
1
(x − 2) → y = 27 − 1 x
5
5 5
d) P(-7, 1), Q(3, 4)
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
m=
−1+ 4
3
3
=
=−
−2−3 −5
5
ECUACIÓN: y = −4 −
3
(x − 3) → y = − 11 − 3 x
5
5 5
c) P(-1, 0), Q(5, 5)
m=
5−0 5
=
5 +1 6
ECUACIÓN: y = 0 +
5
(x + 1) → y = 5 x + 5
6
6
6
ECUACIÓN: y = 1 +
3
(x + 7 ) → y = 31 + 3 x
10
10 10
d) P(-7, 1), Q(3, 4)
m=
4 −1 3
=
3 + 7 10
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Calculando la función de una recta conociendo dos de sus puntos, pinchando en la pestaña
‘Geometría’ y después en el icono ‘Recta’. Después, pinchamos en el primero de los dos huecos
de la función ‘Recta’ y a continuación en el icono ‘Punto’ que se encuentra en la misma pestaña
‘Geometría’. Cuando tengamos esto, rellenamos con las coordenadas x e y. Repetimos el
proceso con el segundo hueco de la función recta. Cuando tengamos todo planteado,
pinchamos en el icono ‘=’ y obtenemos la ecuación.
Figura 92.
2. Apartado a.
Figura 93.
43
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
3. Apartado b.
Figura 94.
4. Apartado c.
Figura 95.
5. Apartado d.
Figura 96.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
44
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Ejercicio 12.
Representar 3 x + 4 y = 12 . ¿Cuál es su pendiente?
Solución:
x = 0 ⇒ y = 3. Pasa por (0, 3).
x = 4 ⇒ y = 0. Pasa por (4, 0).
•
Dando valores:
•
Despejando la y : y = −
3
x+3
4
Mediante cualquiera de las dos informaciones podemos representar la recta.
La pendiente es −
3
. Es el coeficiente de la x teniendo despejada la y .
4
Figura 97.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Como tenemos la ecuación de la recta, escribiremos “pendiente” y después, entre paréntesis,
la función. De esta manera, cuando pinchemos en el icono ‘=’, conoceremos la pendiente de la
función. . Recordamos que para insertar los paréntesis, pinchamos en el icono ‘Paréntesis’,
dentro de la pestaña ‘Operaciones’ o los insertamos con el teclado.
45
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 98.
2. Para representar una función con Wiris, debemos pinchar en la pestaña ‘Operaciones’ y
después en el icono ‘Representar’. A continuación, escribiremos entre paréntesis la función
correspondiente ayudándonos del icono ‘Fracción’ y de los signos de suma y resta que
encontramos en el teclado (+ y -). Cuando la tengamos planteada, pinchamos en el icono ‘=’ y
nos aparecerá la gráfica en una ventana aparte.
Figura 99.
Figura 100.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
46
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Ejercicio 13.
Representa estas rectas:
a) 2 x + 5 y = 0
b) x − 3 y = 6
c) 3 x = 12
d) y = 5 −
5
(x + 4)
6
Solución:
Representaremos las rectas utilizando tablas de valores, en las que seleccionaremos valores de X
que sustituiremos en la función para obtener el punto Y del par de coordenadas. Para sustituir los puntos
de manera más sencillas, despejaremos primero y en todas las ecuaciones. Cuando tengamos las
coordenadas, las representamos en la cuadrícula y unimos los puntos obteniendo la representación final.
a) 2 x + 5 y = 0 → y =
−2
x
5
X
Y
-5
2
0
0
5
-2
Figura 101.
b) x − 3 y = 6 → y =
x−6
3
X
Y
-3
6
0
0
3
-6
47
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 102.
c) 3 x = 12 → x =
12
= 4 En este caso, al no aparecer la variable y, sabemos que para cualquier valor
3
de esta, x siempre tiene el mismo valor: 4. Por lo tanto, será una recta vertical en x=4.
X
Y
-2
4
0
4
2
4
Figura 103.
d) y = 5 −
5
(x + 4) → y = 5 − 5 x − 20 → y = − 5 x + 10
6
6
6
6
6
X
Y
48
-6
-5
0
10
6
6
5
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Figura 104.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para representar una función pincharemos en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono
‘Representar’. A continuación, escribiremos entre los paréntesis la función ayudándonos del
icono ‘Fracción’ y de los signos que necesitamos para operar. Cuando la tengamos planteada,
pinchamos en el icono ‘=’ y nos aparecerá la gráfica en una ventana aparte
Figura 105.
2. Apartado a.
Figura 106.
49
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 107.
3. Apartado b.
Figura 108.
Figura 109.
50
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
4. Apartado c.
Figura 110.
Figura 111.
5. Apartado d.
Figura 112.
51
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 113.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 14.
Una milla equivale, aproximadamente, a 1,6 km.
a) Haz una tabla para convertir millas en kilómetros.
Solución:
Millas
Km.
1
1,6
2
3,2
4
6,4
6
9,6
10
16
b) Dibuja la gráfica y escribe su ecuación.
Solución:
Primero, obtendremos la ecuación. Como hemos visto en el apartado anterior, para
obtener los kilómetros correspondientes a un determinado número de millas, sólo tenemos que
multiplicar las millas por 1,6. Por lo tanto, si el número de millas es llamado “x” y el de
kilómetros resultantes, “y”, obtenemos la siguiente ecuación:
52
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
y = 1,6 x
Para representar la función anterior, usaremos una tabla de valores que en este caso no
es necesario obtener puesto que ya lo hemos hecho en el apartado primero. Representamos los
pares de valores obtenidos en la tabla mencionada y los unimos para formar la recta que
buscamos.
Figura 114.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. En primer lugar, realizaremos unas multiplicaciones para rellenar la tabla. Para introducir el
signo de multiplicar, usaremos el asterisco que encontramos en el teclado (*). Por lo tanto, sólo
tenemos que plantear la operación y pinchar en el icono ‘=’ para conocer el resultado.
Figura 115.
53
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
2. El siguiente paso es calcular la función correspondiente a la tabla. Para eso, utilizamos dos de
los puntos. Primero, pinchamos en la pestaña ‘Geometría’ y después en el icono ‘Recta’.
Después, pinchamos en el primero de los dos huecos de la función ‘Recta’ y a continuación en el
icono ‘Punto’ que se encuentra en la misma pestaña ‘Geometría’. Cuando tengamos esto,
rellenamos con las coordenadas x e y. Repetimos el proceso con el segundo hueco de la función
recta. Cuando tengamos todo planteado, pinchamos en el icono ‘=’ y obtenemos la ecuación.
Figura 116.
3. Por último, representamos la función pinchando en el icono ‘Representar’, que se encuentra
dentro de la pestaña ‘Operaciones’. Entre los paréntesis escribimos la función que obtuvimos en
el apartado anterior y después pinchamos en el icono ‘=’ para ver la representación gráfica.
Figura 117.
54
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Figura 118.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 15.
Representa las rectas siguientes:
a) y = 4 x
b) y = −2,4 x
c)
y=−
x
2
d) y = −4
Solución:
Representaremos las rectas utilizando tablas de valores, en las que seleccionaremos valores de X
que sustituiremos en la función para obtener el punto Y del par de coordenadas. Cuando tengamos las
coordenadas, las representamos en la cuadrícula y unimos los puntos obteniendo la representación final.
a) y = 4 x
X
Y
-1
-4
0
0
2
8
55
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 119.
b) y = −2,4 x
X
Y
-1
2,4
0
0
2
4,8
Figura 120.
c) y = −
x
2
X
Y
56
-2
1
0
0
4
-2
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Figura 121.
d) y = −4
X
Y
-5
-4
0
-4
5
-4
Figura 122.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para representar una función pincharemos en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono
‘Representar’. A continuación, escribiremos entre los paréntesis la función ayudándonos del
icono ‘Fracción’ y de los signos que necesitamos para operar. Cuando la tengamos planteada,
pinchamos en el icono ‘=’ y nos aparecerá la gráfica en una ventana aparte
57
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 123.
2. Apartado a.
Figura 124.
Figura 125.
3. Apartado b.
Figura 126.
58
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Figura 127.
4. Apartado c.
Figura 128.
Figura 129.
59
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
5. Apartado d.
Figura 130.
Figura 131.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 16.
Representa las rectas siguientes:
a) y = −2 x + 1
b) y = −
60
x
+3
2
c)
y=−
d) y =
8
5
3x − 5
2
e) y = 2,5 x − 1
f)
y=
3
1
x+
4
2
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Solución:
Representaremos las rectas utilizando tablas de valores, en las que seleccionaremos valores de X
que sustituiremos en la función para obtener el punto Y del par de coordenadas. Cuando tengamos las
coordenadas, las representamos en la cuadrícula y unimos los puntos obteniendo la representación final.
a) y = −2 x + 1
X
Y
-1
3
0
1
2
-3
Figura 132.
b) y = −
x
+3
2
X
Y
-4
5
0
3
2
2
61
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 133.
c)
y=−
8
5
X
Y
-1
−
8
5
0
−
8
5
2
−
8
5
Figura 134.
d) y =
3x − 5
2
X
Y
62
-1
-4
0
−
5
2
2
1
2
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Figura 135.
e) y = 2,5 x − 1
X
Y
-1
-3,5
0
-1
2
4
Figura 136.
f)
y=
3
1
x+
4
2
X
Y
-4
0
2
5
2
1
2
2
−
63
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 137.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Representaremos una función pinchando en el icono ‘Representar’, que encontramos en la
pestaña ‘Operaciones’. A continuación, escribiremos entre los paréntesis la función
ayudándonos del icono ‘Fracción’ y de los signos que necesitamos para operar. Cuando la
tengamos planteada, pinchamos en el icono ‘=’ y nos aparecerá la gráfica en una ventana aparte
Figura 138.
2. Apartado a.
Figura 139.
64
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Figura 140.
3. Apartado b.
Figura 141.
Figura 142.
65
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
4. Apartado c.
Figura 143.
Figura 144.
5. Apartado d.
Figura 145.
66
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Funciones lineales.
Figura 146.
6. Apartado e.
Figura 147.
Figura 148.
67
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
7. Apartado f.
Figura 149.
Figura 150.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
68