Trabajo de Modelos Lineales 1 Regresión Lineal Simple Todos los ejercicios se refieren al modelo Y = β0 + β1 X + ϵ. 1. En el modelo lineal dado, ¿qué representa el término del error?. 2. Encuentre los estimadores de mı́nimos cuadrados para β0 y β1 . 3. Diga si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos: (a) Los estimadores de mı́nimos cuadrados son lineales. (b) Los estimadores de mı́nimos cuadrados son sesgados. (c) Ŷ = b0 + b1 X1 , es el estimador lineal insesgado de menor varianza de Y de entre todos los estimadores lineales de Y . (d) La recta de regresión pasa por el punto (x, y). (e) Un alto valor del coeficiente de determinación R2 es suficiente para medir la adecuación del modelo. (f) Se asume que los errores tienen: linealidad, igualdad de varianzas, no correlación y normalidad. (g) Los residuos estandarizados siguen una ley normal N (0, 1). 4. ¿Qué mide el coeficiente de determinación R2 ? 5. Estudie la Utilidad Neta (UTI) en dólares en función de las ventas (VEN) en dólares, de una industria atunera ecuatoriana (puede usar cualquier paquete estadı́stico). Los datos mensuales desde enero de 2001 hasta abril de 2004 son: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 UTI 6017 8049 8551 6720 7391 8045 5814 4954 5564 7160 VEN 13270 17127 17814 16000 18026 17877 13214 10321 12365 15235 i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 UTI 7345 8333 5241 4606 6744 5274 8331 4710 5297 6440 VEN 15301 19841 12782 10236 15326 10987 18512 10020 11036 15333 i 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 UTI 7333 8306 6781 7254 5969 5008 8979 6437 7672 8146 VEN 17885 18458 15412 15112 13265 10654 18706 15327 18103 18102 i 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 UTI 4664 8151 5206 9088 5388 4437 4552 8093 6495 8812 (a) Realice un gráfico de dispersión (X-Y). (b) Encuentre la recta de regresión correspondiente al modelo lineal. 1 VEN 10600 16981 11568 19712 11225 10564 11103 17984 15104 18749 (c) Grafique la recta de regresión (junto con el gráfico de dispersión) (d) Calcule las varianzas de los estimadores (expresada en función de la la varianza de Y , σ 2 ). (e) Calcule el error estándar de los estimadores. (f) Si las ventas se incrementan en un dólar, ¿en cuánto se incrementa la utilidad neta? (g) ¿Se puede decir que la utilidad media es el 44% de las ventas? (h) ¿Se puede decir que si las ventas son nulas, la utilidad neta promedio es 137.09? (i) Encuentre intervalos de confianza de nivel 95% para los estimadores del modelo. (j) Realice pruebas de hipótesis para H0 : β̂0 = 0 y para H0 : β̂1 = 0 (k) Calcule e interprete R2 . (l) Grafique los residuos ϵi versus los valores estimados Yi (m) Grafique los residuos ϵi versus los datos Xi (n) Comente los dos gráficos anteriores y haga un análisis tan completo como le sea posible de los residuos. (o) Escriba la tabla ANOVA (p) Calcule la razón F y compare con el fractil 95 de la correspondiente ley. ¿Qué decisión tomarı́a con respecto a la significación de la regresión? (q) Con toda la información de los literales anteriores, determine el modelo definitivo que expresa la utilidad neta en función de las ventas. (r) ¿Cuál será la utilidad cuando las ventas asciendan a 21000?. Dé un intervalo de confianza del 95% para su predicción. (s) ¿Cuál será la utilidad media cuando las ventas asciendan a 21000?. Dé un intervalo de confianza del 95% para su predicción. 6. Para tratar de explicar el salario (en dólares) en función del PIB (en miles de dólares), se cuenta con datos trimestrales, desde el primer trimestre de 1994 hasta el segundo trimestre de 2002. Fuente Banco Central del Ecuador. Haga un análisis sobre la relación entre las dos variables indicando si es que posible explicarla con un modelo lineal (puede usar cualquier paquete estadı́stico). 2 Año 1994 1995 1996 Tri. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Salario 82.67 76.70 97.23 92.77 104.57 98.50 107.80 103.37 115.77 109.17 118.00 111.47 PIB 4394.68 4077.48 5169.06 4931.61 5098.05 4802.27 5255.69 5039.54 5415.38 5109.47 5522.91 5217.12 Año 1997 1998 1999 Tri. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Salario 113.40 107.23 111.83 106.00 105.47 96.80 101.70 102.67 99.80 86.60 93.30 83.33 PIB 6112.83 5780.42 6028.38 5713.93 6031.58 5535.94 5816.17 5871.45 4583.92 3977.63 4285.37 3827.59 Año 2000 2001 2002 Tri. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 Salario 70.10 87.23 100.27 91.75 102.57 98.13 96.60 92.90 103.10 100.03 7. Suponga que el verdadero modelo que explica la variable Y está dado por Yi = β0 + β1 Xi + β2 Xi2 + ϵi sin embargo, Y se ha ajustado al modelo Yi = α0 + α1 Xi + µi ¿Qué esperarı́a encontrar en su análisis del modelo lineal ajustado que le indique que el modelo está mal especificado? 8. Las calificaciones de un grupo de nueve estudiantes en un trabajo de mitad de curso X y en el examen final Y son las siguientes: X Y 77 82 50 66 71 78 72 34 81 47 94 85 96 99 99 99 67 68 Sin usar un paquete estadı́stico, conteste las siguientes preguntas: (a) Encuentre la recta de regresión lineal. (b) Escriba la tabla ANOVA. Calcule R2 . ¿Qué puede decir de la bondad de ajuste? (c) Encuentre intervalos de confianza de nivel 95% para los coeficientes de la recta de regresión, pruebe su nulidad. (d) ¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% para la calificación final de un estudiante que obtuvo 85 en el trabajo de mitad de curso?. (e) Haga un análisis tan completo como le sea posible de los residuos. 3 PIB 3197.22 3978.67 4573.11 4184.67 5526.32 5287.45 5204.83 5005.48 6117.48 5935.52
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