1. No category

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Parcial
1. (a) Dada la función z =
z=2
q
4 − (x + y)2 , graficar en un plano cartesiano la curva de nivel para
y
(b) Sea z = y 2 e− x comprobar que xzx + yzy = 2z
2. (a) Hallar el lı́mite de la función, si existe
x2 + y 2
lim
(x,y)→(0,0)
p
(b) Utilizar la regla de la cadena para calcular
z = x2 sin xy, x = s2 + t2 , y = 2st
x2 + y 2 + 1 − 1
∂z
∂s
ó
∂z
∂t
de
3. Las ecuaciones de demanda para los productos relacionados A y B son
qA = 1000 − 0.01PA − 0.005PB
y
qB = 1500 +
2
3
+
PA + 4 PB + 2
analizar si los productos son sustitutos ó complementarios (o ninguno de estos).
4. Un fabricante tiene $90000 para invertir en desarrollo y promoción de un nuevo producto. Se
estima que si se invierten x miles de dólares en desarrollo y y miles en promoción, las ventas serán
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aproximadamente f (x, y) = 90x 3 y 3 unidades. ¿Cuánto dinero deberı́a asignar el fabricante a
desarrollo y cuánto a promoción para maximizar las ventas?
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5. Si U (x, y, z) = xyz es una función de utilidad donde x, y y z representan el número de unidades de
los artı́culos A, B y C,respectivamente, los cuales son consumidos semanalmente por una persona
particular. Además si los precios unitarios de A, B y C son $2, $3 y $4, respectivamente, y que
el gasto total semanal para estos artı́culos se ha presupuestado en $90, ¿cuántas unidades de cada
artı́culo deben comprarse semanalmente para maximizar el ı́ndice de utilidad de la persona?
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Parcial
1. Hacer algunas trazas y graficar
z = f (x, y) =
p
16 − 4x2 − y 2
2. Trazar la curva de nivel indicada f (x, y) = c para cada valor dado de la constante
f (x, y) = xey ;
c = 1, c = e
3. Demuestre que u (x, y) = ln x2 + y 2 satisface la ecuación
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y 2
=0
4. Usando L unidades del insumo mano de obra y K unidades del mismo capital, una emptresa
fabrica cierta producción de su artı́culo cuyo costo total T (en millones de dólares) está dado por
T = 40 − 5K − 3L − 2KL + 1.5K 2 + L2 . Determinar la cantidad de cada insumo que deberı́a de
utilizarse con el proposito de mı́nimizar el costo de la empresa. ¿cuál es el costo mı́nimo?
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5. Un fabricante tiene $8000 para gastar en el desarrollo y promoción de un nuevo producto. Se
estima que si x miles de dólares se gastan en el desarrollo y y miles de dólares se gastan en la
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promoción, las ventas serán aproximadamente de f (x, y) = 50x 2 y 2 unidades. ¿Cuánto dinero
debe asignar el fabricante a desarrollo y cuánto a promoción para maximizar ventas?
3
Parcial
1. (a) Halle el lı́mite, si existe, o muestre que no existe
x3 + x2 y − 2xy 2
(x,y)→(2,2) 3x3 + xy 2 − 3x2 y − y 3
lim
(b) Utilizar la regla de la cadena para calcular
∂z
∂s
z = xey + ye−x ,
ó
∂z
∂t
si
x = et ,
y = st2
2. Suponga que la utilidad obtenida por un consumidor de x unidades de un artı́culo y y unidades de
un segundo artı́culo está dada por la función de utilidad U (x, y) = 2x3 y 2 . Si el consumidor posee
x = 5 unidades del primer articulo y y = 4 unidades del segundo, halle el nivel de utilidad actual
del consumidor y trace la curva de indiferencia correspondiente.
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1
3. Una empresa produce Q(K, L) = 15K 5 L 5 arandelas de acero, donde k es el capital invertido en
millones de dólares y L el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Suponga que
la inversión de capital actual es de 10000 millones de dólares y que se dispone de 100000 horas
trabajador de mano de obra. ¿En cuanto cambia la producción si se adicionan a la fuerza laboral
1 hora por trabajador y al capital $1000000?
4. Dada la función
z = f (x, y) = x2 y − 2x2 − 4y 2
determinar los puntos crı́ticos y clasificarlos como máximos, mı́nimos o puntos silla
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5. Si se invierten x miles de dólares en mano de obra y y miles de dólares en equipo, la producción
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de cierta fábrica será Q(x, y) = 60x 3 y 3 unidades. Si hay $120000 disponibles; ¿como deberı́a
asignarse el dinero entre mano de obra y equipos para generar la máxima producción?. Utilice el
multiplicador de Lagrange λ para estimar el cambio presentado en la producción máxima de la
fábrica, si el dinero disponible para mano de obra y equipos aumenta en $1000
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Parcial
1. (a) Hallar el lı́mite de la función, si existe
−5xy
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lim
p
− pA
(b) Las ecuaciones de demanda para los productos relacionados A y B son: qA = 3e
qB = p 6p2 Analizar la relación entre los productos.
B
y
A B
2. (a) Hallar
dy
dx
2
de la relación x2 exy + ln x2 + y 2 + cos x = 0
x
(b) Si z = f´ (x, y) = x2 e− y compruebe que xzx + yzy = 2z
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1
3. Una empresa produce Q(K, L) = 15K 5 L 5 arandelas, donde K es el capital invertido en millones
de dólares y L el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Suponga que la inversión
de capital actual es de 10 000 millones de dólares y que se dispone de 100 000 horas trabajador de
mano de obra. Estimar en cuánto cambia la producción si se reduce la fuerza laboral en 1 hora
por trabajador y se adicionan al capital $1 000 000
4. El costo total C por serie de producción (en miles de dólares), de cierta industria está dado por
C (x, y) = 3x2 + 4y 2 − 5xy + 3x − 14y + 20
en donde x denota el número de horas hombre (en cientos) y y el número de unidades (en miles) del
producto elaborado por serie. ¿Qué valores de x y y darán como resultado el costo total mı́nimo
por serie de producción?
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5. Empleando L unidades de mano de obra y K unidades de capital una empresa puede elaborar P
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unidades de su producto con P (L, K) = 60L 3 K 3 Le cuesta a la empresa $200 por cada unidad
de mano de obra y $300 por cada unidad de capital empleado. La empresa dispone de una suma
de $45 000 para propósitos de producción. Determinar las unidades de mano de obra y de capital
que la empresa deberı́a utilizar con objeto de maximizar su producción.
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Parcial
1. Una empresa puede elaborar su producto en dos de sus plantas; el costo de producir x unidades
en su primera planta e y unidades en la segunda está dada por
C (x, y) = x2 + 2y 2 + 5xy + 700
Si la empresa tiene una orden de suministrar 500 unidades ¿Cuántas unidades debe producir en
cada planta con el fin de minimizar el costo total?
2. A un editor se le han asignado 60000 para gastar en el desarrollo y promoción de un nuevo libro.
Se estima que si x miles de dólares se gastan en el desarrollo y y miles en la promoción, se venderán
3
aproximadamente f (x, y) = 20x 2 y ejemplares del libro. ¿Cuánto dinero debe asignar el editor al
desarrollo y cuánto a la promoción para maximizar las ventas?
2
3. Dada la función f (x, y) = xln yx + 3x − xy 2 , encontrar los puntos crı́ticos y clasificarlos como
máximo relativo, mı́nimo relativo o punto de silla
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4. Una empresa vende dos tipos de vehı́culos, se calcula que si el tipo A se valora en x millones de
pesos y el tipo B en y millones de pesos, aproximadamente (2y − 3x + 80) consumidores comprarán
el tipo A y (90 + 5x − 6y) comprarán el tipo B. Si el costo de fabricación de los dos tipos de autos
es de 30000000 de pesos. ¿Qué precio debe fijar la empresa para generar la mayor utilidad posible?
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Parcial
1. (a) Dada la función
f (x, y) =
x3 + 2x2 + 3y − 1
5y 2 − x − 2
hallar el dominio y representarlo gráficamente en el plano xy
(b) Dibujar las curvas de nivel para los valores c = 54 y c = 41 de la función
f (x, y) = x2 + y 2 + 5
2. (a) Si p = f (x, y) =
3
x2
+
25
xy
6
y2
+
mostrar que
x
∂p
∂p
+y
= −2p
∂x
∂y
(b) Dada la función zeyz + 2xexz − 4exy − 3 = 0 encontrar
∂z
∂y
3. Hallar los puntos crı́ticos de la función dada y clasificarlos como máximo relativo, mı́nimo relativo
o punto de silla
f (x, y) = y 4 − 4y 3 + 2x2 + 8xy
4. Si se gastan x miles de dólares en mano de obra y y miles de dólares en equipo, la producción de
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cierta fabrica será Q (x, y) = 60x 3 y 3 unidades. Si hay $120000 disponibles, ¿cómo debe distribuirse
el dinero entre mano de obra y equipo, para generar la mayor producción posible?
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5. Empleando L unidades de mano de obra y K unidades de capital una empresa puede elaborar P
unidades de su producto con
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P (L, K) = 50L 3 K 3
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Si la empresa dispone de 100 unidades de mano de obra y 300 de capital; estimar el cambio en la
producción si se dispone de 1 unidad adicional en la mano de obra pero el capital se mantiene fijo.
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Parcial
1. Sea f (x) =
p
y2 − x
(a) Determinar el dominio de f y dibujarlo como una región de R2
(b) Determinar y dibujar las curvas de nivel para C = 1 y C = 2
2. Encontrar todos los máximos y mı́nimos locales y los puntos de silla de
f (x, y) = 3y 2 − 2y 3 − 3x2 + 6xy
3. La productividad de cierto paı́s está dada por
1
2
Q (L, K) = 90K 3 L 3
unidades donde, K es el capital en unidades de un millón de dólares y L es la fuerza laboral en
miles de horas-trabajador
(a) Encuentre la productividad marginal del capital QK y la productividad marginal del trabajo
cuando el capital es 5495 miles de millones de dólares y la fuerza laboral es 4587000 horas
trabajador
(b) ¿Debe el gobierno del paı́s estimular la inversión de capital o el incremento de la fuerza laboral
para aumentar la productividad tan rápidamente como sea posible?
4. Dada p = f (x, y) =
4
x2
+
25
xy
+
6
y2
(a) Mostrar que
∂p
∂p
+y
= −2p
∂x
∂y
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x
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(b) Hallar las segundas derivadas, incluyendo las derivadas parciales mixtas
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5. Una compañı́a tiene tres fábricas y todas elaboran el mismo producto. Si la fábrica A produce
x unidades, la fábrica B produce y unidades y la fábrica C produce
z unidades, entonces
los
respectivos costos de producción son 3x2 + 200 dólares, y 2 + 400 dólares y 2z 2 + 300 dólares.
Si se va a surtir un pedido de 1100 unidades, use multiplicadores de Lagrange para determinar
cómo debe distribuirse la produción entre las tres fábricas para minimizar el costo total de la
producción.
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Parcial
1. La producción de cierta planta es Q (x, y) = 0.08x2 + 0.12xy + 0.03y 2 unidades por dı́a, donde x es
el número de horas de mano de obra calificada que se utiliza e y es el número de horas de mano de
obra no calificada. En la actualidad se emplean 80 horas de mano de obra calificada y 200 horas de
mano de obra no calificada todos los dı́as. Utilice la diferencial total de Q para estimar el cambio
resultante en la producción si se adicionan 12 hora de mano de obra calificada y 2 horas de mano
de obra no calificada.
2. Dada la función f (x, y) = ln 4x − 4y 2 + 3 , determinar el dominio y graficarlo.
3. Si se gasta x miles de dólares en mano de obra e y miles de dólares en equipos, la producción de
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cierta fabrica será Q (x, y) = 60x 3 y 3 unidades. Si hay $120000 disponibles, ¿cómo distribuirse el
dinero, entre mano de obra y equipo, para generar la mayor producción posible?
4. Hallar los puntos crı́ticos y clasificarlos como máximos, mı́nimos o puntos silla de la función
f (x, y) = x3 + y 3 + 3x2 − 18y + 8y + 5
5. Dada la función f (x, y) = 2x3 y −1 + 4x5 y −3
(a) Hallar las segundas derivadas (incluyendo las mixtas)
2
2
2
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9, 2
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∂ f
∂
+ y 2 ∂y
(b) Demostrar que x2 ∂∂xf2 + 2xy ∂y∂x
2 = 2f (x, y)
9
Parcial
1. (a) Dada la función f (x, y) = ln 4y 2 − 4x − 3 , determinar el dominio y graficarlo.
(b) Encontrar el lı́mite, si éste existe, o mostrar que el lı́mite no existe
xy
2
2x
+ 2y 2
(x,y)→(0,0)
lim
2. Dada la función f (x, y) = 2x5 y −2 + 4x−3 y 6
(a) Hallar las segundas derivadas (incluyendo las mixtas)
2
2
2
∂ f
∂
(b) Demostrar que x2 ∂∂xf2 + 2xy ∂y∂x
+ y 2 ∂y
2 = 6f (x, y)
3. La utilidad diaria de un abarrotero por la venta de dos marcas de jugo de manzana es P (x, y) =
(70 − 5x + 4y) (x − 30) + (80 + 7x − 6y) (y − 40) centavos, donde x es el precio por lata de la
primera marca y y es el precio por lata de la segunda. actualmente, la primera marca se vende en
50 centavos por lata y la segunda en 52 centavos por lata. utilice el análisis marginal para estimar
el cambio en la utilidad diaria que resulta si el abarrotero sube en un centavo por lata el precio de
la segunda marca, pero mantiene sin cambio el precio de la primera marca.
4. Determinar los puntos crı́ticos de f (x, y) = x3 − 4xy + y 3 y clasificarlos como máximo relativo,
mı́nimo relativo o punto silla.
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015
5. Un fabricante tiene $90000 para invertir en desarrollo y promoción de un nuevo producto. Se
estima que si se invierten x miles de dólares en desarrollo y y miles en promoción, las ventas serán
1 2
aproximadamente f (x, y) = 90x 3 y 3 unidades. ¿Cuánto dinero deberı́a asignar el fabricante a
desarrollo y cuánto a promoción para maximizar las ventas?