1. Bienes raíces

Razones trigonométricas
Los ángulos y sus unidades.
Los ángulos pueden medirse en grados sexagesimales o en radiantes (rad), estos últimos son los que mas
emplearemos. Un radian es la amplitud del ángulo central que intercepta un arco cuya longitud es igual al radio de
la circunferencia.
l
ᴽ
r=l
ᴽ=1rad
es
r
Equivalencia entre grados sexagesimales y radianes.
Пrad=180°
ot
e.
A partir de esta equivalencia podemos deducir la expresión de todos los ángulos en rad:
Razones trigonométricas de un ángulo agudo:
a
to
n
Para deducirlas utilizaremos un triángulo rectángulo cualquiera.
c
es
α
b
No
t
Comentarios:
 Las razones trigonométricas de un angulo agudo son números reales
 El valor de las razones trigonométricas de un ángulo agudo no depende del triángulo que se escoja.
 Se cumple que:
0<senα<1
0<cosα<1
tgα>0
 Razones trigonométricas inversas:
Cosecante:
Secante:
Cotangente:
Razones trigonométricas de 30°, 45° y 60°.
45°
Utilizaremos un ángulo cuyos catetos midan 1 unidad, así los cálculos serán mas sencillos pero podría hacerse con
cualquier medida.
Por Pitágoras obtenemos el valor de la hipotenusa.
1
es
1
e.
30 y 60
Partiremos de un triángulo equilátero de lado 1. Para aplicar Pitágoras debemos utilizar triángulos rectángulos,
para ello dividiremos el triángulo equilátero en dos partes iguales obteniendo así dos triángulos rectángulos
idénticos con los ángulos de 30 y 60.
1
ot
30
1
es
1
to
n
60
1/2
Relación fundamental de la trigonometría para ángulos agudos:
No
t
Demostración:
c
a
α
b
*Por pitágoras:
Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera:
a) CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA:
y
Segundo cuadrante:
[п/2 - п rad]
Primer cuadrante:
[0 - п/2 rad]
+
-
r
+
x
Cuarto cuadrante:
[3/2 п - 2п rad]
es
Tercer cuadrante:
[п - 3/2п rad]
Senα=y/r
Tgα=y/x si x≠0
y
x
α
-
+
ot
r
Cosα=x/r
+
e.
b) Razones trigonométricas para un ángulo cualquiera:
Cosecα=1/senα
-
to
n
Secα=1/cosα
Cotgα=1/tgα
Todo esto se hará teniendo en cuenta el
criterio de signos (+,-) de los ejes x e y.
No
t
es
1. Las razones trigonométricas de un angulo cualquiera son números reales.
2. Las razones trigonométricas de un angulo cualquiera no dependen del radio de la circunferencia elegida
3. Las definiciones dadas para el ángulo agudo valen para todo tipo de ángulos pero ateniendo siempre al
criterio de signos.
4. Para todos los ángulos se cumple que:
-1≤senα≤1
-1≤cosα≤1
-∞<tgα<∞
Análisis de las razones trigonométricas de los principales ángulos (abajo la explicación gráfica):
0°
1er
90°
2o
180°
3o
270°
4o
360°
cuadrante
cuadrante
cuadrante
cuadrante
Sen α
0
+
1
+
0
-1
0
Cos α
1
+
0
-1
0
+
1
Tg α
0
+
0
+
0
Sen0: y/r=0/1
Cos0:x/r=1/1
Tg0=sen/cos=0/1=0
Sen90: y/r=1/1
Cos90:x/r=0/1
Tg90=sen/cos=1/0
Sen180: y/r=0/1
Cos180:x/r=-1/1
Tg180=sen/cos=0/-1
Sen270: y/r=-1/1
Cos270:x/r=0/1
Tg270=sen/cos=-1/0
Ejercicio: Halla una fórmula que nos permita obtener todos los ángulos para los que no está definida la
tangente.
Líneas trigonométricas:
Utilizamos siempre la circunferencia goniométrica de radio 1
Vamos a representar seno, coseno y tangente para un ángulo cualquiera de cada cuadrante.
P
1
P´
+tgα
y=+senα
α
X=+cosα
La línea discontinua representa la
tangente del ángulo, está comprendida
entre P´ y T(punto de tangencia)
Sen α=y/r=y/1=y
Cos α=x/r=x/11=x
y=+senα
α
ot
4
P
2
e.
Tgα=y/x=TP´/OT=TP´/1=TP´
α
X=-cosα
α
es
1
X=+cosα
y=-senα
to
n
-tgα
P
P´
P´
3
X=-cosα
y=-senα
No
t
P
+tgα
es
α
5
.
Sen=r=1
-tgα
P´
Tg=
Cos=0
Porque no está definida la
tangente para el ángulo de
90+180n grados
Ejercicio: Hallar las razones trigonométricas restantes y el valor del ángulo sabiendo que su cos=-5/12 y
que pertenece al segundo cuadrante
Ejercicio: Hallar el valor del ángulo y las razones trigonométricas restantes sabiendo que tg=4/3 y está
comprendido entre 180 y 270°
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE DISTINTOS ÁNGULOS:
Seno: azul
Coseno: verde
ANGULOS COMPLEMENTARIOS:
Son aquellos que suman 90°, los expresaremos como: α, 90-α
90-α
α
sen α=cos ( 90-α)
cos α=sen (90-α)
es
tg α=sen α/cos α= cos ( 90-α)/ sen (90-α)=cot(90-α)
90+α
cos α=sen (90+α)
ot
α
sen α=-cos ( 90+α)
e.
ÁNGULOS QUE DIFIEREN 90°:
Los llamaremos: α, 90+α
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS:
Los llamaremos: α,180-α
to
n
tg α=sen α/cos α= -cos ( 90+α)/ sen (90+α)=-cot(90+α)
sen α=sen ( 180-α)
180-α
cos α=-cos (180-α)
es
α
No
t
tg α=sen α/cos α= sen ( 180-α)/ -cos (180-α)=-tg(180-α)
ÁNGULOS QUE DIFIEREN 180°:
Los llamaremos α,180+α
180+α
α
sen α=-sen ( 180+α)
cos α=-cos (180+α)
tg α=sen α/cos α= -sen ( 180+α)/ -cos (180+α)=tg(180+α)
ÁNGULOS OPUESTOS:
Los llamaremos α,-α.
sen α=-sen ( -α)
-α
cos α=cos (-α)
α
tg α=-sen α/cos α= -sen ( -α)/ cos (-α)=-tg(-α)
es
ÁNGULOS QUE DIFIEREN UN NÚMERO ENTERO DE VUELTAS:
En este caso ocurre que las razones en ambos angulos serán las mismas, tanto en valores como en signos.
Ejercicio: razones trigonométricas de 2190°
e.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS CUALESQUIERA
1. sen (α+β)=
3. tg(α+β)=
*Dividimos numerador y
denominador por cosα◦cosβ
es
to
n
Aplicación:
Sen 75°=sen(45+30)=sen 45 cos 30+sen 30 cos 45=
ot
2. cos (α+β)=
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA RESTA DE DOS ÁNGULOS CUALESQUIERA
4. sen(α-β) =
5. cos(α-β)=
No
t
6. tg(α-β)=
Demostración 4.
Partiremos de las razones de la resta de dos ángulos cualesquiera:
Fórmula 1
sen(α-β)=sen(α+(-β))=
*Con lo visto anteriormente sobre las relaciones entre ángulos deducimos que el cos(-β)=cosβ y que el sen(-β)=-senβ
Demostración 5:
Fórmula 2
cos(α-β)=cos (α+(-β))=
*Con lo visto anteriormente sobre las relaciones entre ángulos deducimos que el cos(-β)=cosβ y que el sen(-β)=-senβ
Demostración 6:
Se hace igual que en el caso anterior, operamos la división de las formulas de seno y coseno, es decir:
Ejercicio: hallar las razones trigonométricas de 15
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE
7. sen (2α)=
8. cos (2α)=
9. tg (2α)
Demostración 7. Partimos de la fórmula 1 (seno de la suma de dos ángulos cualesquiera aunque en este caso será
las dos veces el mismo ángulo α+α)
es
sen (α+α)=
Demostración 8. Partimos de la fórmula 2 (coseno de la suma de dos ángulos cualesquiera, aunque en este caso se
sumará el mismo ángulo α+α)
e.
cos (α+α)=
Demostración 9. Volvemos a hacer lo mismo que antes
*Dividimos numerador y
2
denominador por cos α
ot
tg(α+β)=
to
n
Ejercicio: Demostrar:
10.
11.
12.
es
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UN ÁNGULO
No
t
Demostración 10: Partimos de la fórmula 7: cosα=cos 2◦α/2
*igualamos esta última expresión acorde con la igualdad superior (cosα=cos 2◦α/2)
cosα=cos 2◦α/2
cosα=
Las dos demostraciones restantes se hacen siguiendo los mismos pasos que para esta
Ejercicio: Demostrar:
TRANSFORMACIÓN DE SUMAS DE RAZONES EN PRODUCTOS
13.
14.
es
15.
16.
Demostración 13, 14: partiremos de las fórmulas 1 y 4.
sen (α+β)=
sen(α-β) =
sen(α-β) =
sen (α+β)+ sen(α-β)=
sen (α+β)- sen(α-β)=
ot
A
B
Si sumamos las ecuaciones:
es
Si restamos las ecuaciones:
B
to
n
A
e.
sen (α+β)=
Sustituimos α y β en las ecuaciones anteriores por las expresiones obtenidas:
sen (α+β)+ sen(α-β)=
No
t
sen A + sen B =
sen (α+β)- sen(α-β)=
sen A- senB=
La demostración de las formulas 15,16 se hace de la misma manera pero partiendo de las fórmulas 2 y 5.
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Son aquellas cuyas incógnitas están afectadas por razones trigonométricas.
a) Razones trigonométricas igualadas a un número.
Sen x=nº
Cos x=nº
Tg x=nº
1. Ej: sen x=1/2
a) Buscamos los ángulos para los que el sen x=1/2 (se puede hacer hallando el arco seno x)
Son x=30
X=150
Solución:
Con el coseno y la tangente se utiliza este mismo procedimiento, pudiéndose hacer con el cálculo del arco coseno y
el arco tangente respectivamente)
es
Ejercicios: Calcular:
Cos 75+ cos 15
to
n
ot
e.
Calcular x:
Ej:
No
t
A
es
*Recomendación: para facilitar el cálculo es bueno sustituir por una letra aquello que se encuentra entre
paréntesis y resolver esa expresión, una vez hallado el valor de la letra igualamos este a lo que hemos sustituido
por ella y resolvemos.
es
e.
No
t
es
to
n
ot
Simplificar:
Sabiendo que tg 2a=
hallar tg de a.
Calcular los ángulos de un trapecio isósceles de altura 60 m cuyas bases miden 83 y 51m.
/
es
Sabiendo que el seno de un angulo es sen a=3/5 y que este pertenece al 2º cuadrante, halla las razones
trigonométricas de a-30°
No
t
es
to
n
ot
e.
Simplifica: