Examen resuelto - Matemáticas en el Carpe Diem
I.E.S. “Carpe Diem”
Chinchón (Madrid)
Matemáticas I – 2014/15: Examen temas 6 y 7
CORRECCIÓN
1.
(1,5 puntos)
Realiza las siguientes operaciones con los números complejos:
z=81180º =−81
v=3 – 2 i
w=1+i=√( 2)(cos 45º+i · sen 45º)= √ 245º → w=1−i=√ 2−45º
t=2 (cos 60º+i · sen 60º)=260º
a)
b)
8
w +v+z =
8
=(√ 245º ) +3−2 i−81=
=16360º −78−2 i=
=16−78−2i=−62−2 i
2.
(1,5 puntos)
Dado el número complejo
4
2
4
√ z= √81180º =3 180º +n 360º =
4
4
{
w2 ( √ 2−45º )
=
=
t
260º
c)
2
= −90º =1−150º =1 210º
260º
345º
=345º+n 90º = 3135º
3225º
3315º
10−15i
z=
encuentra otro número complejo w con parte
2–i
real 2 y tal que el producto w·z sea imaginario puro.
Expresa w en forma polar y representa los números
z ,
z , w
y
w .
10−15i 2+i 35−20 i
·
=
=7−4 i
z =7+4 i
2 – i 2+i
5
w=2+b i → w · z=(2+b i)( 7−4 i)=14+4 b+( 7 b−8) i
7
Imaginario puro: Re(w · z )=0 →14+4 b=0 → b=−
2
7
7
w=2− i
w=2+ i
2
2
z=
√
}
2
∣w∣= 22+ 7 = √ 65
√ 65
2
2
w=
2 299,7 º
−7/2
tg θ=
→ θ=119,7 º ó 299,7 º
2
3.
(2 puntos)
()
Resuelve en el campo de los números complejos las siguientes ecuaciones:
2 z 2 ( z +5)+z 3=4 z 2 −30 z
3 z 3+10 z 2+ z 3=4 z 2−30 z
3 z 3+6 z 2+30 z=0
z 1 =0
a) 3 z (z 2+2 z +10)=0
2
z +2 z −15=0
2
−2±√ 2 −4 · 1· 10 −2±√ −36
z=
=
2· 1
2
z 2=−1+3 i
z 3=−1−3 i
{
2
z+i (2+i)
=
z +1 2+i 2
z+i 4−1+4 i
=
z +1
2−1
z +i
=3+4 i
z +1
z+i=( 3+4i)( z+1)
b)
z+i =(3+4 i) z+3+4 i
z−(3+4 i)z =3+4 i−i
(1−3−4 i) z=3+3 i
3+3 i (3+3 i)(−2+4 i)
z=
=
−2−4 i
(−2)2+(−4)2
−18+6 i
9
3
z=
→ z =− + i
20
10 10
4. Con los vectores
u =(−3, 1) ⃗
⃗
v =(3, 2) y los puntos
a)(1 punto) Representa los vectores
forman.
A(0,−3) ,
B( 2,−5) y C (−2,−1) :
u y ⃗
v y calcula el ángulo que
⃗
(−3,1)·(3,2)
u⃗ · ⃗v
−7
cos ( ⃗
û
,⃗
v )=
=
=
→̂
u , ⃗v ≃127,9 º
⃗
2
2
2
2
∣⃗
u∣·∣⃗v∣ √ (−3) +1 √ 3 +2 √ 130
b)(1 punto) Expresa el vector
⃗
AB en la base formada por u⃗ y v⃗ .
{
4
9
⃗
AB=(2 ,−2)→ ⃗
AB=a ⃗u+b ⃗
v =a (−3 , 1)+b (3, 2)→ −3 a+3 b=2 −3 a+3 b=2
a+2 b=−2 3 a+6 b=−6
10
a=−
9
{
10
4
⃗
AB = − ,−
9
9
(
)
{
b=−
⃗u ,⃗v
AB y ⃗
AC forman una base en el plano.
c)(1 punto) Determina razonadamente si los vectores ⃗
⃗
Escribe otro vector w
⃗ que junto con AB forme una base ortogonal en el plano.
⃗
AB=(2 ,−2) ⃗
AC =(−2 , 2) → ⃗
AB=−⃗
AC
Son proporcionales y por tanto paralelos de modo que no forman base.
w
⃗ ⊥⃗
AB → w
⃗ =(2 , 2)
d)(1 punto) Determina la distancia entre el punto medio del segmento
de coordenadas con respecto a C.
AC y el simétrico del origen
⃗
OA+⃗
OC
Punto medio AC :⃗
OM AC =
→ M AC (−1,−2)
2
Simétrico del origen O ' : ⃗
OO ' =⃗
OO+2 ⃗
OC =(0,0)+2(−2 ,−1)→ O '(−4 ,− 2)
Distancia M AC ,O ' :∣⃗
O ' M AC∣=∣(3 , 0)∣=3 u.l.
2
e)(1 punto) Encuentra el valor de k que hace que el vector ⃗t =( k −1 , 2 k ) sea perpendicular a
2⃗
u +⃗v . Representa los posibles vectores ⃗t así como el resultado de 2 ⃗
u +⃗v .
2
2
2
⃗t ⊥(2 ⃗u+⃗v )⇒ ⃗t ·( 2⃗u +⃗
v )=0 →(k – 1 , 2 k )·(−3 , 4)=0 →−3 k +3+8 k =0 → 3 k −8 k −3=0
k 1=3 → ⃗
t 1 =( 8 , 6)
8±√ 82−4 ·3 ·(−3) 8±10
k=
=
−1
8
2
2·3
6
k2=
→ t⃗2 = − ,−
3
9
3
{
(
)
© Copyright 2024