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Algebra Lineal -III: Álgebra Vectorial en R2 and R3
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
División de Ingenierı́a, Campus Irapuato-Salamanca
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
En estas notas se presentan los conceptos fundamentales del álgebra vectorial en R2 y R3 . De manera
más concreta, se presentan los fundamentos de la suma y multiplicación por escalar de vectores en 2 y 3
dimensiones. Se mostrará que los vectores geométricos, definidos como entidades geométricas, satisfacen
una serie de propiedades, que después se denominarán axiomas y que formarán la base para definir
de manera muy formal y abstracta a los espacios vectoriales. Posteriormente, se mostrará que la suma y
multiplicación escalar de vectores es equivalente a la suma y multiplicación escalar de parejas y triadas
ordenadas de números reales.
1
Vectores Geométricos.
Los vectores geométricos se definen como segmentos de lı́nea orientados, “flechas”, de manera que su
extremo final se indica con una punta de flecha y su extremo inicial es el que carece de la punta de flecha.
El conjunto de estos vectores geométricos, se denotarán como V 2 .
1.1
Definición de la Suma de Vectores Geométricos y la Multiplicación por
Escalar de Vectores Geométricos.
Suponga dos vectores geométricos ~a, ~b ∈ V 2 , la suma de los vectores geométricos ~a + ~b se define como el
vector geométrico obtenido del origen al punto obtenido cuando el vector ~b se dibuja a partir del extremo
final del vector ~a, vea la figura 1. Debe notarse que el resultado de la suma de dos vectores geométricos
es otro vector geométrico. La longitud de cada una de las flechas, se denomina la magnitud del vector
y la dirección de la punta de flecha determina la orientación y sentido del vector.
Figure 1: Suma de Vectores Geométricos.
Suponga un vector geométrico ~a ∈ V 2 y un escalar λ ∈ R, entonces la multiplicación del vector
por el escalar, se define como un vector geométrico cuya magnitud es igual a la magnitud de la vector
geométrico original multiplicada por el valor absoluto del escalar |λ|. El sentido del resultado tendrá el
1
mismo que el vector original si λ ≥ 0 y tendrá el sentido opuesto si λ < 0, vea la figura 2. Debe notarse
que el resultado de la multiplicación de un vector geométrico por un escalar es otro vector geométrico.
Figure 2: Multiplicación por Escalar de Vectores Geométricos.
1.2
Propiedades de la Suma y Multiplicación por Escalar de Vectores Geométricos.
La suma de vectores geométricos y la multiplicación por escalar de vectores geométricos, satisfacen las
siguientes propiedades, ∀~a, ~b, ~c ∈ V 2 y λ, µ ∈ R:
1. La suma de vectores geométricos es conmutativa, vea la figura 3. Es decir
~a + ~b = ~b + ~a
(1)
Figure 3: La Suma de Vectores Geométricos es Conmutativa.
2. La suma de vectores geométricos es asociativa, vea la figura 4. Es decir
~a + ~b + ~c = ~a + ~b + ~c = ~a + ~b + ~c
Figure 4: La Suma de Vectores Geométricos es Asociativa.
2
(2)
3. Existe un idéntico aditivo, el vector geométrico ~0 ∈ V 2 , constituido por un vector de magnitud 0,
la dirección no importa en este caso, vea la figura 5. tal que
~0 + ~a = ~a = ~a + ~0
(3)
Figure 5: El Idéntico Aditivo en los Vectores Geométricos.
4. Para cada vector geométrico, ~a, existe un inverso aditivo, −~a, vea la figura 6. tal que
~a + (−~a) = ~0 = (−~a) + ~a
(4)
Figure 6: El Inverso Aditivo en los Vectores Geométricos.
5. La multiplicación por escalar es pseudoasociativa, vea la figura 7. Es decir
λ (µ~a) = (λ µ) ~a = µ (λ ~a)
(5)
Figure 7: La Multiplicación por Escalar de Vectores es Pseudoasociativa.
6. La multiplicación por escalar es distributiva respecto a la suma de vectores, vea la figura 8. Es
decir
λ ~a + ~b = λ ~a + λ ~b
(6)
7. La multiplicación por escalar es distributiva respecto a la suma de escalares, vea la figura 9. Es
decir
(λ + µ) ~a = λ ~a + µ ~a
(7)
8. La propiedad del inverso aditivo del idéntico multiplicativo de los números reales. El idéntico
multiplicativo de los números reales es 1 ∈ R y el inverso aditivo de 1 ∈ R es −1 ∈ R. Entonces se
tiene que para cualquier vector ~a ∈ R2
(−~a) = −1 ~a
vea la figura 10
3
Figure 8: La Suma de Vectores es Distributiva Respecto a la Multiplicación por Escalar.
Figure 9: La Suma de Escalares es Distributiva Respecto a la Multiplicación por Escalar.
Figure 10: La Propiedad del Inverso Aditivo del Idéntico Multiplicativo de los Números Reales.
4
1.3
Definición de Suma y Multiplicación por Escalar de Parejas Ordenadas
de Números Reales.
En esta sección, se presentará la suma y multiplicación de parejas ordenadas de números reales. Se
definirá primeramente el conjunto de parejas ordenadas de números reales, o vectores, como
R2 = {~x = (x1 , x2 ) | x1 , x2 ∈ R}
junto con las operaciones
1. Adición de parejas ordenadas. Sean ~x, ~y ∈ R2 , entonces
~x + ~y = (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ).
y
2. Multiplicación por escalar. Sean ~x ∈ R2 , y λ ∈ R, entonces
λ~x = λ(x1 , x2 ) = (λx1 , λx2 ).
Es importante señalar que dos vectores ~x = (x1 , x2 ) y ~y = (y1 , y2 ) son iguales o equivalentes, denotado
por ~x = ~y si y sólo si
x 1 = y1
y
x 2 = y2 .
1.4
Propiedades de la Suma y Multiplicación por Escalar de Parejas Ordenadas de Números Reales.
Además, las operaciones definidas sobre las parejas ordenadas de números reales o vectores, tienen las
siguientes propiedades, ∀~x, ~y , ~z ∈ R2 y ∀λ, µ ∈ R, se tiene que
1. Clausura respecto a la adición. Es decir
~x + ~y = (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ).
Puesto que x1 + y1 , x2 + y2 ∈ R, resulta que ~x + ~y ∈ R2 .
2. Clausura respecto a la multiplicación por escalar. Es decir
λ~x = λ(x1 , x2 ) = (λx1 , λx2 ).
Puesto que λx1 , λx2 ∈ R, resulta que λ~x ∈ R2 .
3. La suma de vectores es conmutativa. Es decir
~x + ~y = ~y + ~x
Puesto que, la suma de números reales es conmutativa
~x + ~y = (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ) = (y1 + x1 , y2 + x2 ) = (y1 , y2 ) + (x1 , x2 ) = ~y + ~x
4. La suma de vectores es asociativa. Es decir
(~x + ~y ) + ~z = ~x + (~y + ~z)
Puesto que, la suma de números reales es asociativa
(~x + ~y ) + ~z
=
=
=
((x1 , x2 ) + (y1 , y2 )) + (z1 , z2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ) + (z1 , z2 )
((x1 + y1 ) + z1 , (x2 + y2 ) + z2 ) = (x1 + (y1 + z1 ), x2 + (y2 + z2 ))
(x1 , x2 ) + (y1 + z1 , y2 + z2 ) = ~x + (~y + ~z)
5
5. Existe el vector ~0 = (0, 0) ∈ R2 , conocido como el idéntico aditivo, tal que ∀~x ∈ R2 , tiene la
propiedad que
~x+~0 = (x1 , x2 )+(0, 0) = (x1 +0, x2 +0) = (x1 , x2 ) = ~x = (x1 , x2 ) = (0+x1 , 0+x2 ) = (0, 0)+(x1 , x2 ) = ~0+~x
6. Para todo vector ~x = (x1 , x2 ) ∈ R2 existe un elemento −~x = (−x1 , −x2 ), conocido como el inverso
aditivo tal que
~x + (−~x) = (x1 , x2 ) + (−x1 , −x2 ) = (x1 − x1 , x2 − x2 ) = (0, 0) = ~0
y
(−~x) + ~x = (−x1 , −x2 ) + (x1 , x2 ) = (−x1 + x1 , −x2 + x2 ) = (0, 0) = ~0
7. La multiplicación por escalar de vectores es pseudoasociativa. Puesto que la multiplicación de
números reales es asociativa
λ(µ ~x) = λ(µ (x1 , x2 )) = λ(µ x1 , µ x2 ) = (λ(µ x1 ), λ(µ x2 )) = ((λ µ)x1 , (λ µ)x2 ) = (λ µ)(x1 , x2 ) = (λ µ) ~x.
8. La multiplicación por escalar es distributiva respecto a la suma de vectores. Puesto que la multiplicación de números reales es distributiva respecto a la suma de números reales
λ(~x + ~y )
=
=
λ ((x1 , x2 ) + (y1 , y2 )) = (λ (x1 + y1 ), λ (x2 + y2 )) = (λ x1 + λ y1 , λ x2 + λ y2 )
(λ x1 , λ x2 ) + (λ y1 , λ y2 ) = λ (x1 , x2 ) + λ (y1 , y2 ) = λ ~x + λ ~y
9. La multiplicación por escalar es distributiva respecto a la suma de escalares. Puesto que la multiplicación de números reales es distributiva respecto a la suma de números reales
(λ + µ) ~x
=
=
(λ + µ) (x1 , x2 ) = ((λ + µ) x1 , (λ + µ)x2 ) = (λ x1 + µ x1 , λ x2 + µ x2 )
(λ x1 , λ x2 ) + (µ x1 , µ x2 ) = λ (x1 , x2 ) + µ (x1 , x2 ) = λ ~x + µ ~x
10. La propiedad del inverso aditivo del idéntico multiplicativo de los números reales. El idéntico
multiplicativo de los números reales es 1 ∈ R y el inverso aditivo de 1 ∈ R es −1 ∈ R. Entonces se
tiene que para cualquier vector ~x ∈ R2
−~x = −(x1 , x2 ) = (−x1 , −x2 ) = −1(x1 , x2 ) = −1 ~x
1.5
Equivalencia Entre Vectores Geométricos y Parejas Ordenadas de Números Reales.
En esta sección se mostrará que los vectores geométricos y sus operaciones de suma y multiplicación
por escalar son “equivalentes” a las parejas ordenadas de números reales y sus operaciones de suma y
multiplicación escalar.1
De manera formal, se considerará V2 , el conjunto de vectores geométrico, “flechas”, en el plano. V2
está formado por flechas, ~a, que se dibujan desde un origen arbitrariamente seleccionado, de longitud a,
donde a ∈ [0, ∞) y tal que la flecha forma un ángulo φ con el semieje positivo x, donde φ ∈ [0, 2π), vea
la figura 11.
La figura 12 vuelve a mostrar las definiciones de multiplicación por escalar y adición o suma de vectores
geométricos.
Considere el mapeo o función entre los conjuntos V2 y R2 dado por
f : V 2 → R2
f (~a) = f (a, φ) = (a cos φ, a sin φ)
1 A lo largo de este curso se dará más formalidad a los conceptos de “equivalencia” y operaciones, pero en este momento
del curso es necesario permitir mucha ambigüedad.
6
Figure 11: Vector Geométrico en el Plano.
Figure 12: Definición de la Multiplicación por Escalar y Adición de Vectores Geométricos.
donde el vector ~a se representa como (a, φ), donde a es su magnitud y φ es el ángulo que forma el vector
con el semieje positivo X.
Por lo tanto
f (~b) = f (b, ψ) = (b cos ψ, b sin ψ)
f (~a) = f (a, φ) = (a cos φ, a sin φ)
Para probar que estos dos conjuntos son equivalentes, se mostrará que da lo mismo
• Sumar los dos vectores geométricos, ~a y ~b, y después aplicar este mapeo o bien aplicar el mapeo a
cada uno de los vectores, ~a y ~b, y después realizar la suma en el conjunto de parejas ordenadas.
• Multiplicar por escalar, λ, un vector geométrico, ~a, y después aplicar este mapeo o bien aplicar el
mapeo al vector geométrico, ~a, y después realizar la multiplicación por escalar en el conjunto de
parejas ordenadas.
1. Iniciaremos con la suma de vectores, usando las reglas que se aprendieron en trigonometrı́a y
aplicándolas al triángulo formado por los vectores ~a, ~b y ~a + ~b, se tiene que la magnitud del vector
~a + ~b está dada por
q
~
|~a + b| = |~a|2 + |~b|2 − 2 |~a||~b| cos [π − (ψ − φ)].
Sin embargo, de la identidad trigonométrica
cos [π − (ψ − φ)] = cos π cos(ψ − φ) + sen π sen(ψ − φ) = −cos(ψ − φ),
se tiene que
|~a + ~b| =
q
|~a|2 + |~b|2 − 2 |~a||~b| cos [π − (ψ − φ)] =
7
q
|~a|2 + |~b|2 + 2 |~a||~b| cos(ψ − φ)
Además, el ángulo que el vector ~a + ~b forma con el semieje positivo X, denotado por γ, está dado
por
|~a| senφ + |~b| senψ
tan γ =
|~a| cosφ + |~b| cosψ
donde el numerador es proporcional al seno de γ y el denominador es proporcional al coseno de γ.
Para determinar los valores de sen γ y cos γ, considere
2 2
|~a| senφ + |~b| senψ + |~a| cosφ + |~b| cosψ
=
= |~a|2 sen2 φ + |~b|2 sen2 ψ + 2 |~a||~b| senφ senψ + |~a|2 cos2 φ + |~b|2 cos2 ψ + 2 |~a||~b| cosφ cosψ
= |~a|2 sen2 φ + cos2 φ + |~b|2 sen2 ψ + cos2 ψ + 2 |~a||~b| (cosφ cosψ + cosφ cosψ)
= |~a|2 + |~b|2 + 2|~a||~b| cos(ψ − φ)
Por lo tanto
2
2 |~a| senφ + |~b| senψ + |~a| cosφ + |~b| cosψ = |~a|2 + |~b|2 + 2|~a||~b| cos(ψ − φ) = |~a + ~b|2
y
r
|~a| senφ + |~b| senψ
2
2
+ |~a| cosφ + |~b| cosψ = |~a + ~b|
De manera que el coseno y el seno del ángulo γ están dados por
sen γ =
|~a| senφ + |~b| senψ
|~a + ~b|
cos γ =
|~a| cosφ + |~b| cosψ
|~a + ~b|
Entonces, aplicando el mapeo a la suma de los vectores ~a + ~b, se tiene que
f (~a + ~b)
=
=
=
=
f (| ~a + ~b |, γ) = f (|~a + ~b|, γ) = (|~a + ~b| sen γ, |~a + ~b| cos γ)
!
|~a| senφ + |~b| senψ
|~a| cosφ + |~b| cosψ
~
~
|~a + b|
, |~a + b|
|~a + ~b|
|~a + ~b|
|~a| cosφ + |~b| cosψ, |~a| senφ + |~b| senψ = (|~a| cosφ, |~a| senφ) + |~b| cosψ, |~b| senψ
f (|a|, φ) + f (|b|, ψ) = f (a, φ) + f (b, ψ) = f (~a) + f (~b)
Asi pues, se ha probado que sumar los dos vectores geométricos, ~a y ~b, y después aplicar este mapeo
es equivalente a aplicar el mapeo a cada uno de los vectores, ~a y ~b, y después realizar la suma en el
conjunto de parejas ordenadas.
2. Finalizaremos con la multiplicación por escalar de vectores, para este caso, debemos considerar dos
casos especiales
• λ ≥ 0, en este caso se tiene que el vector λ ~a está representado por su magnitud
|λ ~a| = |λ| |~a| = λ |~a|
y el ángulo que forma con el semieje positivo X es el mismo ángulo φ. Por lo tanto, aplicando
el mapeo a la multiplicación por escalar de vectores, se tiene que
f (λ ~a)
=
=
f (λ |~a|, φ) = (λ |~a| cos φ, λ |~a| sen φ) = λ(|~a| cos φ, |~a| sen φ) = λ(a cos φ, a sen φ)
λ f (~a)
8
• λ < 0, en este caso se tiene que el vector λ ~a está representado por su magnitud
|λ ~a| = |λ| |~a| = −λ |~a|
y el ángulo que forma con el semieje positivo X está dado por φ+180◦ . Por lo tanto, aplicando
el mapeo a la multiplicación por escalar de vectores y puesto que
cos(φ + 180◦ ) = cosφ cos180◦ − senφ sen180◦ = −cosφ
sen(φ + 180◦ ) = senφ cos180◦ + cosφ sen180◦ = −senφ
f (λ ~a)
=
=
f (−λ |~a|, φ + 180◦ ) = (−λ |~a| cos (φ + 180◦ ), −λ |~a| sen (φ + 180◦ ))
λ(|~a| cos φ, |~a| sen φ) = λ(a cos φ, a sen φ) = λ f (~a)
Estos dos resultados parciales muestran que multiplicar un vector geométrico ~a por un escalar λ,
y después aplicar este mapeo es equivalente a aplicar el mapeo al vector, ~a y después realizar la
multiplicación por escalar en el conjunto de parejas ordenadas.
2
Ejemplos y Ejercicios.
Problema 1. Determine la suma de los siguientes vectores, primeramente mediante trigonometrı́a y
después mediante componentes cartesianas.
• 1a. ~a un vector de 5 u.l. con un ángulo de 45◦ con respecto al semieje positivo X y un vector ~b de
10 u.l. con un ángulo de 30◦ con respecto al semieje positivo X.
• 1b. ~a un vector de 8 u.l. con un ángulo de 100◦ con respecto al semieje positivo X y un vector ~b
de 5 u.l. con un ángulo de −60◦ con respecto al semieje positivo X.
Solucion Problema 1b. Para resolver el problema usando trigonometrı́a, considere la figura 13.
el ángulo interno, µ, del triángulo formado por los vectores ~a, ~b y ~a + ~b, en el vértice formado por los
vectores ~a y ~b, está dado por
µ = 180◦ − φ − |ψ| = 180◦ − 100◦ − 60◦ = 20◦
Por lo tanto
|~a + ~b| =
q
p
|~a|2 + |~b|2 − 2 |~a||~b| cos(µ) = 82 + 52 − 2(8)(5)cos20◦ = 3.71814 u.l.
El ángulo γ que forma el vector ~a + ~b con el semieje positivo X, está dado por
γ
=
tan−1
3.54833
8 sen100◦ + 5 sen(−60◦ )
|~a| senφ + |~b| senψ
= tan−1
= 72.6171◦
=
◦ + 5 cos(−60◦ )
~
8
cos100
1.110814
|~a| cosφ + |b| cosψ
Para resolver el problema usando componentes cartesianas
~a
~b
Por lo tanto
=
(a cos φ, a sin φ) = (8 cos100◦ , 8 sin100◦ ) = (−1.38918, 7.87846)
=
(b cos ψ, b sin ψ) = (5 cos(−60◦ ), 5 sin(−60◦ )) = (2.5, −4.33012)
~a + ~b = (−1.38918, 7.87846) + (2.5, −4.33012) = (1.11082, 3.54833)
La magnitud de este vector está dada por
p
|~a + ~b| = 1.110822 + 3.548332 = 3.71814 u.l.
9
Figure 13: Solución del Problema 1b.
y el ángulo γ está dado por
γ = tan−1
3.54833
= tan−1 3.19433 = 72.6170◦
1.11082
Problema 2. Ejemplifique la propiedad conmutativa de la suma de vectores cuando ~a es un vector
de magnitud 5 u.l. y su ángulo respecto al semieje positivo X está dado por θ1 = tan−1 34 y el ~b es un
vector de magnitud 10 u.l. y su ángulo respecto al semieje positivo X está dado por θ2 = tan−1 34 . Es
decir verifique que
~a + ~b = ~b + ~a.
Problema 3. Determine las parejas de números reales correspondientes a los vectores ~a y ~b del
Problema 2. Sume las parejas ordenadas en el espacio R2 y muestre que esta suma es la pareja de
números reales correspondiente al vector ~a + ~b.
Problema
√ 4. Ejemplifique la propiedad asociativa de la suma de vectores cuando ~a es un vector de
magnitud 2 10 u.l. y su ángulo respecto al semieje positivo X está dado por θ1 = tan−1 31 , el ~b es un
c es
vector de magnitud 10 u.l. y su ángulo respecto al semieje positivo X está dado por θ2 = tan−1 −4
3 y el ~
√
2
un vector de magnitud 13 u.l. y su ángulo respecto al semieje positivo X está dado por θ2 = tan−1 −3
.
Es decir verifique que
(~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c).
Problema 5. Determine las parejas de números reales correspondientes a los vectores ~a, ~b y ~c del
Problema 4. Sume las parejas ordenadas en el espacio R2 y muestre que esta suma es la pareja de
números reales correspondiente al vector (~a + ~b) + ~c = ~a + ~b + ~c.
Solución: Primero determinaremos las componentes cartesianas de los vectores.
√
1. ~a = (2 10, γ1 = tan−1 13 ). Se tiene que
Senγ1 ∝ 1
Cosγ1 ∝ 3
y
Senγ1 = 1 k
Cosγ1 = 3 k
Por lo tanto
Sen2 γ1 + Cos2 γ1 = (1 k)2 + (3 k)2 = 10 k 2
Finalmente
Por lo tanto
1
Senγ1 = √
10
10 k 2 = 1
y
3
Cosγ1 = √
10
y
~a = (| ~a | Cosγ1 , | ~a | Senγ1 ) = (2
10
√
√
3
1
10 √ , 2 10 √ ) = (6, 2)
10
10
1
k=√
10
2. ~b = (10, tan−1 −4
3 ). Se tiene que
Senγ2 ∝ −4
Cosγ2 ∝ 3
y
Senγ2 = −4 k
Cosγ2 = 3 k
Por lo tanto
Sen2 γ2 + Cos2 γ2 = (−4 k)2 + (3 k)2 = 25 k 2
Finalmente
Senγ2 =
y
25 k 2 = 1
Por lo tanto
−4
5
Cosγ2 =
1
1
k=√ =
5
25
y
3
5
~b = (| ~b | Cosγ2 , | ~b | Senγ2 ) = (10 3 , 10 −4 ) = (6, −8)
5
5
Figure 14: Solución del Problema 5.
√
2
3. ~c = ( 13, tan−1 −3
). Se tiene que
Senγ3 ∝ 2
Cosγ3 ∝ −3
y
Senγ3 = 2 k
Cosγ3 = −3 k
Por lo tanto
Sen2 γ3 +Cos3 γ3 = (2 k)2 +(−3 k)2 = 13 k 2
Finalmente
y
Por lo tanto
2
Senγ3 = √
13
13 k 2 = 1
y
−3
Cosγ3 = √
13
√
−3 √
2
~c = (| ~c | Cosγ3 , | ~c | Senγ3 ) = ( 13 √ , 13 √ ) = (−3, 2)
13
13
11
1
1
k=√ =√
13
13
Por lo tanto, se tiene que
(~a + ~b) + ~c = [(6, 2) + (6, −8)] + (−3, 2) = (12, −6) + (−3, 2) = (9, −4).
Esta solución puede verificarse en la Figura 14.
Problema 6. Ejemplifique
la multiplicación por escalar de vectores geométricos cuando ~a es un
√
vector de magnitud 34 u.l. y su ángulo respecto al semieje positivo X está dado por θ1 = tan−1 53 y el
escalar λ = 2.
Problema 7. Determine la pareja de números reales correspondiente al vector ~a del Problema 6.
Multiplique esta pareja ordenada por el escalar λ en el espacio R2 y muestre que esta multiplicación es
la pareja de números reales correspondiente al vector λ ~a.
12