1. No category

 LISTA SEMANAL Soluciones Fecha: 2015/Ago/3 Nivel 1 Para numerar las páginas de un libro se necesitó utilizar 2004 dígitos. ¿Cuántos páginas tiene el libro? Solución: Veamos que cada página del 1 al 9 usa sólo un dígito y hay un total de 9 páginas, cada página del 10 al 99 usa dos dígitos y hay un total de 90 páginas, cada página del 100 al 999 usa tres dígitos y hay un total de 900 páginas. Entonces desde la número 1 hasta la 99 se usan en total 9 + 2 ( 90 ) = 189 dígitos, y desde la número 1 hasta la 999 se usan en total 9 + 2 ( 90 ) + 3( 900 ) = 189 + 2700 = 2889 dígitos lo cuál excede a 2004, por lo que debemos encontrar cuántas páginas de 3 dígitos fueron usadas, para esto veamos que la ecuación que resolverá el problema será 9 + 2 ( 90 ) + 3x = 2004 donde x representa la cantidad de páginas de 3 dígitos que han sido colocadas, entonces 1815
9 + 2 ( 90 ) + 3x = 2004 ⇒ 189 + 3x = 2004 ⇒ 3x = 2004 − 189 ⇒ 3x = 1815 ⇒ x =
⇒ x = 605 3
Por lo que se han agregado 605 páginas luego del 99, es decir que se ha llegado hasta la página 99 + 605 = 704 . Nivel 2 Sebastián eligió un número natural n de dos dígitos, calculó 10 n − n y luego sumó los dígitos del número calculado, dicha suma es un múltiplo de 170. Determinar todos los posibles valores del número n de dos dígitos que eligió Sebastián. Solución: Sea n = 10a + b . Si b > 0 nótese que 10 n − n consta de n − 2 dígitos 9 y luego los dígitos 9 − a y 10 − b . Entonces la suma de los dígitos 9 (10a + b − 2 ) + 9 − a + 10 − b = 89a + 8b + 1 . Si a es par entonces 89a + 8b + 1 es impar y por tanto no es divisible por 170 . Si a = 1 entonces 90 + 8b < 170 y no hay solución. Si a = 3 , la suma es 268 + 8b y se ve que 170 < 268 + 8b ≤ 340 y con b = 9 se tiene la condición. Si a = 5 , la suma es 340 < 446 + 8b ≤ 518 y con b = 8 se tiene la condición. Si a = 7 , la suma es 510 < 624 + 8b ≤ 696 y con b = 7 se tiene la condición. Si a = 9 , la suma es 680 < 802 + 8b < 850 y con b = 6 se tiene la condición. Ahora si b = 0 la única solución se tiene con a = 2 . Con esto los números son 20, 39, 58, 77, 96 . Descarga realizada en la página de la Olimpiada Matemática Ecuatoriana (OMEC) http://www.omec-­‐mat.org 1 Nivel 3 Por el baricentro G de un triángulo ABC se traza una recta que corta al lado AB en P y al lado AC en Q . Demostrar que 3.1 Soluciones de los Problemas de Práctica
BP CQ 1
i
≤
AP AQ Solución
4 del problema 11. Dupliquemos el triángulo trazando AD para
BC y CD paralela a BA. Sea M el punto de intersección de CD con P
sean x = P B, y = AB.
Solución: A
D
Se duplica el triángulo trazando AD paralela a BC y CD paralela a AB . Sea M el punto de intersección de CD con PQ y sean x = BP , y = AB . M
Q
P
G
Por la semejanza de los triángulos APQ y CMQ se tiene que B
C
CQ CM CM
=
=
y por la semejanza de los triángulos BGP y AQ AP y − x
M
Por la semejanza de los triángulos AQP y QM C tenemos que QC
QA = A
P
M
C
BP
BG 1
, y por la semejanza de los triángulos GP B y GM D tenemos que M
DGM se tiene que 2x
, , l
uego s
e t
iene CM
=
y
−
DM
=
y
−
2x
=
= . Entonces DM =y−x
1
GB
DM DG 2
GD = 2 . Entonces, M D = 2x y M C = y − M D = y − 2x. Luego:
x ( y − 2x ) 1
BP CQ 1
2
QC
2x)
i
≤ ⇔
≤ ⇔ 9x 2P−B6xy
+ y≤2 1≥⇔0 x(y
⇔ (−3x
−≤
y )1 ⇔
≥ 09x 2 − 6xy + y2 ≥ 0 ⇔ (3x − y)2 ≥
·
2
AP AQ 4
4
P A QA
4
(y − x)2
4
( y − x)
BP CQ todo
1
2
1
Como (3x
− y)2 ≥i 0 para
≤ . x, y, se sigue que PP BA · QC
Como ( 3x − y ) ≥ 0 para todo x, y entonces se concluye que QA ≤ 4 . Adem
y
AP AQ
igualdad se alcanza
si y sólo4si P B = x = 3 , si y sólo si M C = y3 , si y s
P Q es paralela a BC.
Nivel U Solución del problema 12. Sea m un entero positivo. Dividimos en dos c
Dado f : ! → [ 0,∞ ) dos veces diferenciables con: Caso 1. m es impar. Claramente, 1 = 42 + 72 − 82 , 3 = 42 + 62 − 72 ,
42 + 52 − 62 y 7 = 102 + 142 − 172 . Supongamos que m = 2n + 3 con n
i) f ( 0 ) = 0 Entonces, m = (3n + 2)2 + (4n)2 − (5n + 1)2 y como n > 2, tenemo
ii) f ' ( 0 ) = 1 3n + 2 < 4n < 5n + 1.
Caso 2. m es par. Claramente, 2 = 52 + 112 − 122 . Supongamos que m
1
iii) 1+ f ( x ) =
; ∀x ∈[ 0,1] con n > 1. Entonces, m = 2n = (3n)2 + (4n − 1)2 − (5n − 1)2 y como n
f '' ( x )
tenemos que 3n < 4n − 1 < 5n − 1.
3
Demostrar que f (1) < . Solución del problema 13. Sean A y B dos puntos separados a dist
2
máxima d, con d ≤ 1. Con centro en estos puntos, trazamos un par de circ
rencias de radio d. Es claro que el resto de los puntos están en la intersecci
Solución: ambos cı́rculos (si hubiera un punto fuera de la intersección de ambos cı́rc
1la distancia entre ese punto y alguno de A o B serı́a mayor que d, contrad
Como f ( x ) ≥ 0 para todo x ∈! entonces 0 <
, luego ' es creciente f '' (de
x )que
do el =
hecho
d es la fdistancia
máxima). en [ 0,1] 1+ fCon
( x )centro
en el punto medio del segmento AB, trazamos una circunferenc
lo que implica que f ' ( x ) > 1 para x > 0 o sea que f también es creciente en [ 0,1] . 1
1
Para x > 0 se tiene 0 <
= f '' ( x ) =
< 1 luego 1+ f ( x )
1+ f ( x )
x
x
x
∫ 0 dt < ∫ f ''(t ) dt < ∫ 1dt ⇔ 0 < f '( x ) − f '( 0 ) < x ⇔ 1 < f '( x ) < x + 1 0
0
0
x
x
x
0
0
0
x2
3
+ x , en particular f (1) < . entonces ∫ 1dt < ∫ f ' ( t ) dt < ∫ ( t + 1) dt ⇔ x < f ( x ) <
2
2
Descarga realizada en la página de la Olimpiada Matemática Ecuatoriana (OMEC) http://www.omec-­‐mat.org 2