1. Educación

UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
6. ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES
Existen
varias
definiciones
de
estabilidad de acuerdo al problema
que
se
quiera
estudio
de
invariantes
analizar.
sistemas
en
el
Para
el
lineales
tiempo
generalmente se suele escuchar los
términos de Neutralmente estable,
Asintóticamente
Asintóticamente
estable
estable
(local),
(globa)
e
inestable.
En general el estudio de la estabilidad de un sistema tiene que ver con
que el comportamiento del sistema (respuesta) siempre permanezca
dentro de límites aceptables. Es decir que “exista control”. En general el
análisis de la estabilidad depende del sistema que se esté tratando de
analizar. Es así que ciertos resultados son únicamente válidos para
sistemas lineales, mientras que otros criterios más sofisticados son
aplicables a cualquier tipo de sistema.
El estudio de la estabilidad de sistemas lineales e invariantes en el
tiempo se la puede realizar tanto en el dominio del tiempo como en el
dominio de la frecuencia. Las siguientes secciones estudian las distintas
definiciones y herramientas necesarias para el estudio de la estabilidad
de estos sistemas.
66
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
6.1 Herramientas para el Análisis de Estabilidad
Para estabilidad es suficiente con
determinar la localización de los
polos o de las raíces del sistema
en lazo cerrado. En la actualidad la
determinación
de
los
valores
de las raíces es bastante sencilla
debido a la gran cantidad de métodos numéricos disponibles en
computadoras y calculadores.
Sin embargo, tiempo atrás esto era más complicado por lo que se
recurría al uso de resultados algebraicos y métodos semigráficos que
permiten determinar la localización de los polos del sistema sin
necesidad de encontrar sus valores.
En general se destacan cuatro métodos de análisis,
1. Criterio
de
Routh-Hurwitz:
Es
un
método
algebráico
que
proporciona información sobre la localización de las raíces de un
polinomio.
2. Lugar Geométrico de las Raíces (LGR): Es un método semigráfico
el cual permite determinar como afecta el cambio de una
constante en la localización de las raíces de un polinomio.
3. Criterio de Nyquist: Es un método semigráfico que provee
información sobre el número de polos y ceros de la función de
transferencia en lazo cerrado que están en el semiplano derecho
67
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
del plano s mediante la observación del comportamiento de la
traza de Nyquist.
4. Criterio de Bode: El criterio de Bode es en general un criterio
integral que define la estabilidad de un sistema a través del valor
de esta. Se suele utilizar la traza de Bode para cuantificar la
estabilidad de un sistema (Estabilidad Relativa) de manera similar
al uso de la traza de Nyquist.
El uso de todos estos métodos y criterios no se detallaran todos en esta
sección, solamente recordaremos y analizaremos el Criterio de RouthHurwitz.
Criterio de Routh-Hurwitz
Edward John Routh (1831-1907) ganó en
1877 el premio Adams por su método de
analizar la estabilidad de sistemas dinámicos
de cualquier orden, siguiendo estudios de
James Clerk Maxwell.
El matemático alemán Adolf Hurwitz (18591919) propuso su método para asegurar la
estabilidad de turbinas de vapor en 1895,
siguiendo
estudios
de
Aurel
Boreslav
Stodola.
68
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
En
1911
se
demostró
que
ambos criterios
de
estabilidad
eran
equivalentes.
El método de Routh-Hurwitz está formado por dos componentes: El
criterio de John Hurwitz y la tabulación de Routh.
El criterio de Hurwitz establece que dado un polinomio de coeficientes
reales como el que se presenta a continuación,
P(s)  s n  an1s n1  ...  a1s  ao
para que P(s) no tenga raíces con partes reales positivas es necesario
que se cumplan las siguientes dos condiciones:
 Todos los coeficientes tengan el mismo signo
 Ninguno de los coeficientes sea igual a cero
Si las dos condiciones anteriores se cumplen no necesariamente las
raíces estarán en el semiplano izquierdo. Es decir si una de las dos
condiciones anteriores no se cumple, entonces necesariamente existirán
raíces en el semiplano derecho, pero si se cumplen puede como no
puede que existan raíces en el semiplano derecho.
La condición de suficiencia se la obtiene utilizando la tabulación de
Routh, que establece que:
a6 s 6  a5 s 5  a4 s 4  a3 s 3  a2 s 2  a1s1  a0  0
69
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
 Para que no existan raíces en el semiplano derecho todos los
coeficientes de la primera columna de la tabulación de Routh
deben ser del mismo signo.
 El número de cambios de signo en los elementos de la primera
columna es igual al número de raíces con partes reales positivas.
La tabulación de Routh se la hace de la siguiente manera para, por
ejemplo, un polinomio de sexto orden como el siguiente:
Ejemplo: Realizar el análisis de la localización de las raíces de los
siguientes polinomios:
1. P(s)  s 3  4s 2  s  6
Como existe un coeficiente con
signo distinto a los demás se
sabe que existirá al menos una
raíz en el semiplano derecho,
por
lo
que
el
sistema
es
inestable. Se procede entonces
a la tabulació de Routh,
70
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
Como se ve existen 2 cambios de signo, por lo que hay dos raíces
en el semiplano derecho.
2. P(s)  2s 4  s 3  3s 2  5s  10
Todos los coeficientes tienen el mismo signo, por lo que es
necesario realizar la tabulación de Routh.
Se observan dos cambios de signo en la primera columna, por lo
que hay dos raíces en el semiplano derecho.
3. P(s)  s 4  s 3  s 2  s  K
Todos los coeficientes son mayores que cero y debemos asegura
que
también lo sea. Si
entonces se cumplen las
condiciones necesarias, pero es necesario realizar la tabulación
para ver que rangos debe tener
71
.
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
En la tercera fila se ha reemplazado el valor de 0 por un valor muy
pequeño
lógicamente mayor que cero, esto se hace para evitar
divisiones para cero. Como se ve en el resultado para cualquier
valor de K, el sistema siempre será inestable dado que la
expresión 
K2

siempre será negativa.
4. P(s)  s 5  2s 4  2s 3  4s 2  11s  10
Todos los coeficientes tienen el mismo signo, por lo que es
necesario realizar la tabulación de Routh.
Existen 2 cambios de signo, por lo que el sistema es inestable.
EJERCICIOS
1. Analice la estabilidad en lazo abierto y lazo cerrado para una
planta dada por
T ( s) 
72
1
s  3s  1
2
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
2. Sea un proceso físico cuya ecuación característica es:
s 4  K s3  s 2  s 1  0
Determinar por el Criterio de Routh el rango de valores de
K para que el sistema sea estable.
3. Sea un proceso físico cuya ecuación característica es:
s 3  3408.3 s 2  1204000 s  1.5 107 K  0
Determinar por el Criterio de Routh el rango de valores de
K para que el sistema sea estable.
4. Sea un proceso físico cuya ecuación característica es:
s 3  3 K s 2  (k  2) s  4  0
Determinar por el Criterio de Routh el rango de valores de
K para que el sistema sea estable.
5. Sea un proceso físico cuya ecuación característica es:
s5  4 s 4  8 s3  8 s 2  7 s  4  0
Determinar por el Criterio de Routh si el sistema es estable.
73
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
7. DISEÑO DE UN SISTEMAS DE CONTROL USANDO
REALIMENTACIÓN DE VARIABLES DE ESTADO
7.1. DISEÑO DE SERVOSISTEMAS
Un servosistema es un tipo de sistema
de control en el que, en estado de
funcionamiento normal, la variable de
entrada está variando con el tiempo. A
dicha variable se le suele denominar
señal de referencia. Dentro de los
servosistemas encontramos un caso
particular, este es el servomecanismo:
servosistema en el que la variable controlada es una posición mecánica.
Ahora vamos a analizar el método de asignación de polos para el diseño
de servosistemas de tipo 1. Estudiaremos servosistemas de tipo 1 para
plantas con un integrador y sin integradores. Diremos que una planta
con un integrador es aquella en la que su ecuación característica posee
un factor . Por ejemplo
o también
se limitará a sistemas que tengan una señal de control
. El método
escalar (tipo
escalón) y una salida y también escalar.
Supóngase que la planta con integrador se define mediante:

x  Ax  Bu
y  Cx  Du
74
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
donde x es el vector de estado para la planta (vector de dimensión x )
u =señal de control (escalar)
y =señal de salida (escalar)
A=matriz de coeficientes constantes
B=matriz de coeficientes constantes
C=matriz de coeficientes constantes
Mediante una elección adecuada es posible seleccionar la salida igual a
una de las variables de estado. La siguiente figura muestra una
configuración general de este servosistema, donde y  x1 y se supone
que la entrada de referencia r es una función escalón. En este sistema
se utiliza el siguiente esquema de control mediante realimentación del
estado.
En donde
u   Kx  k1r y K  [k1 , k2 , k3 ,..., kn ]
75
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
Si suponemos que la entrada de referencia se aplica en
. Asi para
, la dinámica del sistema se puede describir mediante:
x Ax  Bu  ( A  BK ) x  Bk1r
Se diseñará el servosistema de modo que los polos en lazo cerrado se
localicen
en
las
posiciones
asintóticamente estable,
deseadas.
y()
El
sistema
diseñado
tenderá al valor constante
será
r y u ()
tenderá a cero.
En el estado estacionario tendremos:
x()  ( Ax  Bu) x()  Bk1r ()
Se tiene que r ()  r (t )  r para
. Restando ambas ecuaciones se
tiene que:
x(t )  x()  ( A  BK )[ x(t )  x()]
definimos
x(t )  x()  e(t ) , y la ecuación se convierte en: e ( A  BK )e .
Esta ecuación describe la dinámica de error.
Ahora el diseño del servosistema de tipo 1 se convierte aquí en el diseño
de un sistema regulador asintóticamente estable tal que
tiende a
cero, para cualquier condición inicial
Luego si el sistema definido al principio del todo es completamente
controlable, entonces sólo tenemos que especificar los valores propios
deseados para la matriz
. La matriz
hallar mediante Matlab como le explicare más adelante.
76
se puede
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
Ejemplo 1:
Diseñar un servosistema de tipo 1 cuando la función de transferencia de
la planta tiene un integrador. La función de transferencia de la planta se
obtiene mediante:
T ( s) 
Observe un factor
Y ( s)
1
1

 3
U ( s) s( s  1)(s  2) s  3s 2  2s
en el denominador, esto es un integrador.
Consideremos los polos deseados en lazo cerrado en la posición
s  2  2 j 3 , s  2  2 j 3 .
Se supone que la entrada de referencia es la función escalón. Se pide
obtener también la respuesta a un escalón unitario del sistema
diseñado.
Analizaremos su estabilidad usando el criterio de Ruth y por simulación.
Como hay un coeficiente nulo, según el criterio de Ruth decimos que el
sistema es inestable.
Analizando el sistema mediante Simulink de Matlab tenemos:
Planta con un integrador
77
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
Respuesta de la planta ante una entrada tipo escalón unitario
Realizaremos el diseño utilizando Matlab.
Determinaremos primero las matrices A, B, C y D de las variables de
estado y analizaremos su cotrolabilidad.
>>num=[1]
>>den=[1 3 2 0]
>>[A, B, C, D]=tf2ss(num,den)
>> M=ctrb(A,B)
>>rank(M)
Con esto notamos que el rango de la matriz de controlabilidad es 3 por
lo tanto el sistema es controlable.
Encontrando las ecuaciones de estado, construimos el diagrama de
bloques y observamos también que la respuesta es completamente
inestable.
78
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
Planta en variables de estado
Respuesta de la planta ante una entrada tipo escalón unitario
Encontremos ahora la matriz K de controlabilidad:
>>J=[  2  2 j 3
22j 3
 10 ]
>> K=acker(A,B,J)
En el vector J se ha añadido un polo en -10 para completar el orden,
esto polo no afectará puesto que se ha seleccionado por lo menos unas
5 veces el dominante.
Esta es la matriz K de realimentación del estado.
79
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
El diagrama de bloques con la realimentación y la respuesta ante una
entrada tipo escalón es:
Servosistema tipo 1. Planta con un integrador
Respuesta ante entrada tipo escalón unitario
Ejemplo 2:
Diseñemos un servosistema de tipo 1 cuando la planta no tiene
integrador.
80
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
Supongamos que se tiene el sistema dado por:
Deseamos unos polos en s  1  j 3 y en s  1  j 3 .
El estudiante puede verificar que se trata de un sistema sin integradores
encontrando su función de transferencia.
Se trata primero de generamos una matriz
ampliada de controlabilidad
de la forma
Y encontramos su rango. Si el rango es n+1, diremos que es
completamente controlable.
>>P=[A B; -C 0]
>>rank(P)
Como puede notar es completamente controlable.
Ahora encontremos la matriz K.
81
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
Debemos ahora ampliar las matrices A y B. Esto se requiere para que
queden de orden
y
respectivamente y puedan ser operadas:
y
>>A1=[A zeros(4,1); -C 0]
>>B1=[B; 0]
Asignemos los polos, por ejemplo:
>>J=[-1+j*sqrt(3) -1-j*sqrt(3) -5 -5 -5]
Note usted se añaden otros 3 polos alejados por lo menos 5 veces de la
parte real de los polos deseados importantes para que se pueda operar
y no tengan efecto.
Escribimos ahora en Matlab:
>> K1=acker(A1, B1, J)
En este caso la matriz K da un valor más.
Aquí debemos tomar
Nótese que se debe tomar
con signo contrario.
82
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
El sistema en variables de estado y con los valores
de realimentación
se muestra en la figura siguiente. La realimentación debe ser negativa
pero como cada valor de
es negativo, se le ha cambiado el signo al
sumador. El valor se puede también introducir al bloque con su signo:
Servosistema tipo 1. Planta sin integrador
La respuesta ante un escalón unitario es de la forma:
Respuesta ante entrada tipo escalón unitario
83