1. Educación

TRABAJO PRÁCTICO Nº 2
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Objetivos:
 Identificar expresiones algebraicas de las no algebraicas.
 Reconocer los diferentes tipos de expresiones algebraicas.
 Establecer qué tipo de expresiones algebraicas son polinomios.
 Ser hábil en determinar características de los polinomios.
 Aprehender las propiedades de los polinomios.
 Operar correctamente con los polinomios.
 Saber aplicar la Regla de Ruffini y el Teorema del resto.
 Asimilar el concepto de divisibilidad de polinomios.
 Integrar los conceptos de divisibilidad, raíz de un polinomio, Regla de Ruffini y
Teorema del Resto.
 Exponer
las
expresiones
algebraicas
en
sus
factores
primos
apropiadamente los diferentes casos de factoreo.
 Simplificar las expresiones algebraicas racionales y operar con ellas.
aplicando
Actividad 1: Dadas las siguientes expresiones, clasificarlas.
A( x)  2 x 3  x  3
B ( x)  x 3  x 2  1
C ( x)  5 x 3  x
G ( x)  2 x5  4 x 4  x3  ln 2
9 3
x  x2  5x
2
1
F ( x)  2  x 3  4
x
H ( x)  cos x  tan x  6
I ( x)  ln( x  1)
J ( x)  e x  2
D ( x) 
E ( x)  3 x  1
Actividad 2: ¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios?
3
2
1
A( x)  3x  5 x  x
2
3
2
C ( x)  x  x  x  2
D( x)  5 x 3  3 x 2   x
E ( x)  x3  4 x 2  x
F ( x)  2 x  3 x  1x
2
B( x)  3 x  x  ln 5
3
G ( x)  2 x 4  6 x 3  5 x 2 
2
1
2 x5
H ( x)  x 4  sen30º  x3
Actividad 3: De los polinomios dados, especificar el grado y el coeficiente principal, el
coeficiente lineal y el término independiente.
C ( x)   x 2  5 x 5  2 x 6
5 2
x  xe
2
D( x)  x 7  x10    3 x5
E ( x)  8 x 7  2 x8  6 x 5
F ( x)  8 x 2  x 3  x  9
G ( x)  7 x 7  3 x 6  9 x 5  2
H ( x)  1, 23 x 4  tan 45º  x
A( x)  5 x 2  4,5 x3  x  3
B ( x) 
Actividad 4:
a) Indicar cuáles de los polinomios dados son iguales.
A( x)  2 x 2  3x  2
B ( x)  4 x 3  1  5 x
C ( x)  4 x  3  5 x 2
D( x )  2  3 x  2 x 2
E ( x)  2  5 x  6 x3
F ( x)  4 x 3  5 x  1
b) ¿Qué valor deberá tener la constante a para que estos polinomios sean iguales?
A( x)  x3  2 x2  2 x  1
B( x)  (a  2) x3  (a  5) x 2  (a 1) x  1
Actividad 5: ¿Qué propiedades cumplen las operaciones con polinomios?
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78
3
1
Actividad 6: Dar el polinomio opuesto a P( x)   x3  x 2  4 x  3 .
2
2
Actividad 7: Obtener el valor numérico de los siguientes polinomios en los valores de x
indicados:
A( x)  5 x3  2 x 2  3x  1
en x  1
B( x)  2 x3  4 x 2  x  0, 01
en x  0,1
C ( x)  x 5  x 3  x 
1
64
D( x)  x 6  x 4  x 2  4
en x 
1
2
en x  2
Actividad 8: Siendo P( x)  2 x2  3x 1; Q( x)  4 x3  6 x  2; R( x)  2 x  6 x3  4 x 2 realizar las
operaciones indicadas:
a) P(x) + Q(x) =
b) Q(x) – P(x) =
c) [P(x) – Q(x)] – R(x) =
d) 2 P(x) – ½ Q(x) =
e) R(x) – 3 Q(x) =
Actividad 9: Si P( x)  2 x3  4 x2  5; Q( x)  3x 4  x 2  x; R( x)  x3  2 x , calcular:
a) P(x) . Q(x) =
b) Q(x) . R(x) =
c) P(x) . [Q(x) – R(x)] =
d) Q(x) : P(x) =
e) Q(x) : R(x) =
Actividad 10: Calcular el cociente y el resto de las divisiones indicadas, cuando sea posible,
aplicar la Regla de Ruffini. ¿El polinomio P(x) es divisible por Q(x)?
a) P( x)  2 x7  3x6  18x3  29 x  10
Q(x )  2x2  3x
b) P( x)  6 x3  2 x 2  4 x 1
Q( x)  x  2
c) P( x)  x6  4 x5  7 x3 +2
Q( x)  x 1
Actividad 11: Aplicando el teorema del resto, determinar si P(x) es divisible por Q(x).
P( x)  2 x5  4 x4  x3  8
Q( x)  x  2
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79
Actividad 12: Dado P( x)  x3  2 x 2  3x 1 , calcular P(2). ¿Cuál es el resto de dividir P(x) por
(x-2)?
Actividad 13: Decir si los valores indicados son raíces de los polinomios dados.
P( x)  5 x 4  3 x 2  8
x1  2
x2  1
x3  2
P( x)  x  x  2 x
x1  2
x2  1
x3  1
2
3
Actividad 14: Si Q( x)  2 x3  x2  3x  b , ¿qué valor debería tomar b para que 1 sea raíz de
Q(x)?
Actividad 15 En una división de polinomios el cociente es C ( x)  4 x 2  x  5 y el resto es
R( x)  3x  7 . ¿Cuál es el dividendo si el divisor es d  x3  x  1 ?
Actividad 16: Se sabe que el polinomio P(x) es divisible por (x-2) y el polinomio cociente que
resulta de dividir P(x) por (x-2) es C ( x)  2 x2  2 x  12 .
a) Calcular P(x).
b) Obtener las raíces de P(x).
c) Expresar P(x) en sus factores primos.
Actividad 17: Factorear las siguientes expresiones algebraicas en sus factores primos:
a )9 x  27 
b)  3x 2  12 x  15 
c)2 x 4  18 x 2 
d )(4 x 2  4)( x 2  9) 
e)5 x 4  80 
f ) x 4  81 
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80
g ) x 3  3 x 2  5 x  15 
h) x 3  3 x 2  3 x  1 
i) x 2  6 x  9 
j )7 x 5  5 x 4  14 x  10 
k )2 x 2  8 x  8 
l ) x5  x 4  6 x3  6 x 2  9 x  9 
ll ) x 3  8 
n) x 3  9 x 2  27 x  27 
ñ)9 x 4  36 x 2  36 
o) x 5  32 
p ) x 4  81 
r ) x 2  x  12 
s )2 x 4  x 3  6 x 2 
Actividad 18: Operar las siguientes expresiones racionales:
1
1
1


x 5 x 3 3
1
1
7
b)


x  1 x  2 12
1
1
1
c)


x  1 x  2 20
x
2x
1
d)


x 1 x  3
15
a)
Actividad 19: Factorizar, simplificar y operar:
 x 2  4 x 5 x  15
.

x 2  9 x3  4 x 2
5 x  10 3 x  6
b) 2
:

x 1 x 1
x  2   x2  9 
 x2
c)  2
: 2

 .
 x  4 x  x  6   4 x  10 
a)
x3  x 2  2 x  x  2 
d)
. 2

x2  4
3x  3x
2
Actividad 20: Simplificar, en el caso de ser posible, las siguientes expresiones racionales
polinómicas y operar:
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81
2
5
4
+
= 2
x 1 x  1 x 1
3x  4 3x  5
12
b)

= 2
x2
x  4 x  2x  8
a)
c)
4
3
5

=
x  2 x 1 x  3
d)
x
2x
1

=
x 9 x 3
x 3
2
x5
x2
21
 2


2
x  25 2 x  6 x  20 2 x  2
1
1
2
f)

 2

2
2
 x  1  x  1 x  1
e)
x x7
 2x  6   x  3 
g)  2
:



 x  9  x  7  x  7 5
3x
x2  2
3x
h) 2



x  4 ( x  2)( x  2) 2  x
Actividad 21: Establezca, de ser posible, una relación entre el valor numérico de P(x), la de
división de polinomios, la Regla de Ruffini, el resto de la división de P(x) por Q(x), el
Teorema del Resto, la divisibilidad de polinomios, las raíces de un polinomio.
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AUTOEVALUACIÓN
1.- De las expresiones algebraicas que sean polinomios, determinar el grado y los coeficientes
principales y lineales:
a) A( x)  4 x5  2 x 7  5 x  1
b) B ( x ) 
1 3
 x  2x
x
d )C ( x)  6 x8  5 x9  sin x  3
e) D( x)  5 x 4  6 x10  6 x  7
2.- A un polinomio P(x) se le suma el opuesto del opuesto de P(x). ¿Qué se obtiene?
3.- Encontrar el valor numérico del polinomio dado en los valores indicados.
P( x)  x4  5x3  2 x  3
x1  1 x2  1 x3  0
4.- Traducir al lenguaje simbólico la siguiente afirmación: “Si la resta entre P(x) y Q(x) es la suma
entre P(x) y el opuesto de Q(x), entonces la suma entre P(x) y Q(x), es la resta entre P(x) y el opuesto
de Q(x).”
5.- ¿Qué se obtiene al multiplicar un polinomio P(x) por su opuesto?
6.- Si T  x  x  3  3x3  12 x 2  3x  18 -18, determinar T(x).
7.- Operar los polinomios dados:
P( x)  8x5  10 x4  8x3  11x2  17 x  9
Q( x)  2 x 2  3x  1 R( x)  x  3
a) P(x) – ½ Q(x) =
b) Q(x) . R(x) =
c) Q(x) : R(x) =
d) P(x) : Q(x)=
8.- Sin realizar la división, decir si P(x) es divisible por Q(x) sabiendo que
P( x)  x3  3x2  x  3
Q( x )  x  3
9.- ¿Los valores de x1  2 y x2  1 son raíces de P( x)  2 x 2  6 x  4 ?
10.- Determinar un polinomio tal que sea de grado 3, sus raíces sean x1=1 y x2=2 y
P(0)= 10
11.- Factorear las expresiones algebraicas en sus factores primos:
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a)4 x3  8 x 2  8 x  16 
b)3x3  12 x 
2
1
c) x 2  x  
3
9
12.- Verificar si se cumplen las siguientes igualdades:
4  2x
x4
2


2
x  8 x  16 ( x  4)
x4
2
x5
x 3
b) 2
 2
 2
x  25 x  10 x  25 x  25
a)
2
13.- Factorear, simplificar cuando sea posible y operar:
 x  4   x  1     x 2  3x  4 
a)  2  2

 : 
x4 1 
 x  1  x  1   
1
x 1
x2  2x  1
b)  3


2
3 x  x2
 x  1
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