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Universidad de Los Andes
Facultad de Economía
Solución Parcial 1 – Teoría de Juegos
Profesora: Marcela Eslava
1.a)
Las firmas resuelven el siguiente problema:
6(𝑃𝑖 − 2) 𝑠𝑖 𝑃𝑖 < 𝑃−𝑖
𝑀𝑎𝑥 (𝑃𝑖 − 2)𝑞𝑖 = {3(𝑃𝑖 − 2) 𝑠𝑖 𝑃𝑖 = 𝑃−𝑖 }
0 𝑠𝑖 𝑃𝑖 > 𝑃−𝑖
Lo anterior implica que para cualquier 𝑃−𝑖 > 2 a i le resulta óptimo ofrecer un precio
infinitesimalmente menor al de su contrincante, es decir 𝑃𝑖 = (𝑃−𝑖 − 𝜀), pues de esta forma
capturaría todo el mercado con casi el mismo precio (dado un 𝜀 arbitrariamente cercano a cero, y
estrictamente positivo).
Por otro lado, si 𝑃−𝑖 = 2, a i le resulta indiferente entre cualquier 𝑃𝑖 ≥ 2, pues en dicho conjunto de
estrategias sus beneficios 𝜋𝑖 serían siempre iguales a cero, mientras que cualquier 𝑃𝑖 < 2 implicaría
que obtendría todo el mercado pero a pérdida.
Finalmente, si 𝑃−𝑖 < 2, a i le resultaría indiferente cualquier 𝑃𝑖 que permita que el competidor se
quede con todo el mercado, pues de lo contrario incurriría en una pérdida. Esto implica que le
resultaría óptimo cualquier 𝑃𝑖 > 𝑃−𝑖 .
En ese orden de ideas, la correspondencia de reacción de i vendría dada por la siguiente expresión:
𝑃𝑖 = (𝑃−𝑖 − 𝜀) 𝑠𝑖 2 < 𝑃−𝑖
(𝐶𝑅𝑖 ) = { 𝑃𝑖 ∈ [2,4] 𝑠𝑖 2 = 𝑃−𝑖 }
𝑃𝑖 ∈ (𝑃−𝑖 , 4] 𝑠𝑖 2 > 𝑃−𝑖
La anterior expresión es una correspondencia (y no una función) porque hay más de un valor en el
rango para un mismo valor en el dominio.
1.b)
Dadas las correspondencias de reacción halladas en (a), podemos concluir que no existe ningún EN
en el que 2 < 𝑃𝑖 ≤ 𝑃−𝑖 , pues en tal escenario –i tendría incentivos unilaterales a moverse hacia
𝑃𝑖 − 𝜀 . Lo mismo es cierto para 2 < 𝑃−𝑖 ≤ 𝑃𝑖 dada la simetría del juego.
De igual forma, tampoco habría EN en el que 𝑃𝑖 ≤ 𝑃−𝑖 < 2 , ya que en dicho escenario i tendría
incentivos unilaterales a moverse hacia 𝑃𝑖 > 𝑃−𝑖 . Nuevamente, dicho análisis también es cierto para
𝑃−𝑖 ≤ 𝑃𝑖 < 2 dada la simetría del juego.
El único escenario que queda, 𝑃𝑖 = 𝑃−𝑖 = 2 , sí constituye un EN. Lo anterior, pues ningún jugador
tiene incentivo unilateral a moverse de ahí (aumentando o reduciendo 𝑃𝑖 por encima o por debajo
de 2 no cambiaría su beneficio, que en todo caso sería cero).
1.c)
Limitando el conjunto de estrategias a precios enteros entre 1 y 3 (𝑃𝑖 = {1,2,3}), y reemplazando
dichos números en los beneficios de i, obtendríamos la siguiente matriz de pagos:
Grandulín
Pg=1
Pg=2
Pg=3
Pk=1
(-3,-3)
(0,-6)
(0,-6)
Kissies
Pk=2
(-6,0)
(0,0)
(0,0)
Pk=3
(-6,0)
(0,0)
(3,3)
(tenga en cuenta que las cantidades dependen de si Pi es menor, mayor o igual a P-i, lo cual afecta
los beneficios de acuerdo a lo expuesto en el primer numeral).
1.d)
Tomando la mejor respuesta de los dos jugadores y señalándolas en la matriz de pagos (donde las
líneas rojas corresponden a las mejores respuestas de Grandulín, y las líneas azules a las de Kissies),
obtendríamos lo siguiente:
Por tanto, en el juego discreto los EN vendrían dados por:
𝐸𝑁 = {(𝑃𝐺 = 2, 𝑃𝐾 = 2), (𝑃𝐺 = 3, 𝑃𝐾 = 3)}
1.e)
Al volver discreto el juego llegaríamos a un equilibrio adicional al que hallamos en el numeral (b),
(𝑃𝐺 = 3, 𝑃𝐾 = 3) . En un espacio continuo este no correspondería a un EN porque los dos jugadores
tendrían incentivos a reducir el precio en 𝜀 para poder obtener el mercado con un precio similar. En
el juego discreto, sin embargo, esta desviación unilateral no es posible pues el jugador i tendría que
reducir su precio de 3 a 2, lo cual lo llevaría a perder automáticamente cualquier beneficio pese a
que esto le permitiría capturar el mercado.
1.f)
Realizando un proceso de eliminación de estrategias estrictamente dominadas (eliminaciones 1 y
2), seguida de una eliminación de estrategias débilmente dominadas (eliminaciones 3 y 4) llegamos
a dos conclusiones. Por un lado, el resultado coincide en cuanto a que el EN (Pg=3, Pk=3) sobrevive.
También coincide en cuanto a que ambos EN (el anterior junto con Pg=Pk=2) sobreviven el proceso
de eliminación estricta.
Sin embargo, al llegar al resultado final notamos que el EN dado por (Pg=Pk=2) no sobrevive al
proceso de eliminación iterativa débil. Pi=3 domina débilmente a Pi=2 pues las utilidades permiten
que el jugador i sea indiferente entre moverse unilateralmente de un precio de 2 a un precio de 3,
o no hacerlo.
2.a)
Sabemos que en t=2 hay infinitos sub-juegos, pues habría infinitos nodos al contar Kissies con un
espacio continuo de precios para elegir. Adicional a esto, hay un sub-juego correspondiente al juego
entero que hallaríamos en t=1.
2.b)
Solucionamos el juego dinámico mediante inducción hacia atrás:
En t=2
Dado un Pg elegido en t=1, las mejores respuestas de Kissies vendrían dadas por:
(𝑃𝐺 − 𝜀) 𝑠𝑖 2 < 𝑃𝐺
𝑃𝑘 = { 𝑃𝑘 ∈ [2,4] 𝑠𝑖 2 = 𝑃2 }
𝑃𝑘 ∈ (𝑃𝐺 , 4] 𝑠𝑖 2 > 𝑃𝐺
En t=1
Dado lo anterior, Grandulín sabría que si escoge un 𝑃𝐺 < 2, se quedaría con todo el mercado pero
obtendría beneficios negativos. Por otro lado tanto si escoge 𝑃𝐺 = 2 como si escoge 𝑃𝐺 > 2,
obtendría beneficios iguales a 0 (en el primer caso porque sería justo el precio para cubrir los costos,
y en el segundo caso porque Kissies eligiría un precio menor y lograría capturar todo el mercado.
Por tanto, Grandulín es indiferente en el siguiente conjunto
𝑃𝐺 ∈ [2,4]
Y preferiría estrictamente cualquier precio en este conjunto a cualquier precio en el conjunto en el
que 𝑃𝐺 < 2.
En conclusión, tendríamos infinitos Equilibrios de Prefectos de Subjuegos, los cuales podríamos
resumirlos en la siguiente expresión:
𝑃𝐺 − 𝜀 𝑠𝑖 𝑃𝐺 > 2
𝐸𝑃𝑆 = { 𝑃𝐺 ∈ [2,4], 𝑃𝐾 = { 𝑃𝐾 ∈ (2,4] 𝑠𝑖 𝑃𝐺 = 2 }}
𝑃𝐾 ∈ (𝑃𝐺 , 4] 𝑠𝑖 𝑃𝐺 < 2
3.
La pregunta es abierta y por tanto no hay una única respuesta correcta. Sin embargo, se esperaba
que el estudiante señalara alguna de las siguientes dos cosas:
1) El modelo dice literalmente que si no se puede bajar precio “marginalmente” entonces puede
haber un EN por encima del costo marginal, apenas en el límite menor de cuenta; en la vida real la
contraparte que uno podría imaginarse no es que no “se pueda” bajar marginalmente, sino que
realmente habría que bajar significativamente por debajo de los demás para realmente robarse toda
la demanda.
2) El dinámico dice que un cierto orden permite sustentar precios altos, sacando del mercado al
otro. La contraparte real que uno podría imaginarse es que algún competidor pueda efectivamente
comprometerse temprano a un precio alto y otros puedan seguir. Esto sería sustentable, por
ejemplo, si una empresa tiene varias marcas y puede fijar un precio alto temprano con una de sus
marcas; esa marca pierde mercado, pero no importa porque la empresa dueña tiene otras que
pueden aprovechar los precios altos, y mantiene esa marca sólo para sostener los precios.