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vector tangente y velocidad
recta tangente
Vector, versor y recta tangente
Longitud de arco
Jana Rodriguez Hertz
Cálculo 3
IMERL
5 de marzo 2015
longitud de arco
vector tangente y velocidad
recta tangente
vector velocidad
vector velocidad
vector velocidad
α curva paramétrica C 1
vector velocidad a α en t:
α(t + ∆t) − α(t)
∆t
∆t→0
α0 (t) = lim
longitud de arco
vector tangente y velocidad
vector velocidad
vector velocidad
vector velocidad
recta tangente
longitud de arco
vector tangente y velocidad
recta tangente
velocidad
velocidad
velocidad
α curva paramétrica C 1
velocidad de α en t
es el número
kα0 (t)k =
q
(x 0 (t))2 + (y 0 (t))2 + (z 0 (t))2
longitud de arco
vector tangente y velocidad
recta tangente
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
Calcular el vector velocidad de α(t) = (t, t 2 , et ) en t = 0
α0 (t) = (1, 2t, et )
en t = 0
α0 (0) = (1, 0, 1)
longitud de arco
vector tangente y velocidad
recta tangente
longitud de arco
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1 - octave
> t=[-1:0.1:1];
> plot3(t,t.ˆ2, e.ˆt,’linewidth’,2); hold on;
> quiver3(0,0,1,1,0,1);
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recta tangente
longitud de arco
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
Encontrar α0 ( π2 ) donde
α(t) = (cos t, sin t, t)
α0 (t) = (− sin t, cos t, 1)
α0 ( π2 ) = (−1, 0, 1)
vector tangente y velocidad
recta tangente
longitud de arco
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2 - octave
> t=[0:0.1*pi:3*pi];
> plot3(cos(t),sin(t),t,’c’,’linewidth’,2);
hold on;
>
quiver3(cos(pi/2),sin(pi/2),pi/2,-1,0,1,’r’);
vector tangente y velocidad
recta tangente
longitud de arco
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
trayectoria de un punto en
el borde de una rueda de
radio 1 andando a
velocidad v = 1
calcular α0 (t)
¿cuándo se anula el
vector velocidad?
¿ el vector velocidad se
hace vertical en algún
momento?
vector tangente y velocidad
recta tangente
longitud de arco
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
α(t) = (t − sin t, 1 − cos t)
α0 (t) = (1 − cos t, sin t)
α0 (t) = (0, 0) si t = 2k π
NO se hace vertical
vector tangente y velocidad
recta tangente
longitud de arco
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3 - octave
> t=[0:0.1*pi:3*pi];
> plot(t-sin(t),1-cos(t),’k’,
’linewidth’,2);hold on;
> s=[0:0.2*pi:3*pi];
>
quiver(s-sin(s),1-cos(s),1-cos(s),sin(s),’r’);
> axis equal;
vector tangente y velocidad
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3 - octave
recta tangente
longitud de arco
vector tangente y velocidad
recta tangente
versor tangente
versor tangente
versor tangente
α curva paramétrica C 1
α0 (t) 6= 0
versor tangente en t
α0 (t)
kα0 (t)k
longitud de arco
vector tangente y velocidad
recta tangente
versor tangente
ejemplo 4
ejemplo 4
cicloide α(t) = (t − sin t, 1 − cos t)
versor tangente:
(1 − cos t, sin t)
v (t) = q
(1 − cos t)2 + sin2 t2 − 2 cos t
longitud de arco
vector tangente y velocidad
recta tangente
versor tangente
ejemplo 4
ejemplo 4 - octave
> t=[0:0.1*pi:3*pi];
> plot(t-sin(t),1-cos(t),’k’,
’linewidth’,2);hold on;
> s=[0:0.2*pi:3*pi];
> u=(1-cos(s))./sqrt(2-2*cos(s));
> v=sin(s)./sqrt(2-2*cos(s));
> quiver(s-sin(s),1-cos(s),u,v);
> axis equal tight;
longitud de arco
vector tangente y velocidad
versor tangente
ejemplo 4
ejemplo 4 - octave
recta tangente
longitud de arco
vector tangente y velocidad
recta tangente
recta tangente
recta tangente
recta tangente
α curva paramétrica C 1
α0 (t0 ) 6= ~0
recta tangente a α en α(t0 ):
l(t) = α(t0 ) + (t − t0 )α0 (t0 )
longitud de arco
vector tangente y velocidad
recta tangente
recta tangente
recta tangente a α en α(t0 )
recta tangente
longitud de arco
vector tangente y velocidad
recta tangente
longitud de arco
recta tangente
ejemplo 5
ejemplo 5
α curva que pasa en t = 0 por (3, 6, 5) con vector tangente
(1, −1, 0)
calcular la recta tangente
l(t) = (3, 6, 5) + t(1, −1, 0)
vector tangente y velocidad
recta tangente
longitud de arco
recta tangente
interpretación física
interpretación física
es la trayectoria que seguiría el punto si se “liberara” de la
curva en el instante t0
vector tangente y velocidad
recta tangente
longitud de arco
recta tangente
ejemplo 6
ejemplo 6
una partícual que sigue la curva α(t) = (et , e−t , cos t) se
va por la tangente en el instante t = 1
¿dónde está en t = 3?
α0 (1) = (e, −e−1 , − sin 1)
l(t) = (e, e−1 , cos 1) + (t − 1)(e1 , −e−1 , − sin 1)
la trayectoria está en l(3) = (3e, −e−1 , cos 1 − 2 sin 1)
vector tangente y velocidad
recta tangente
longitud de arco
recta tangente
ejemplo 6
> t=[0:0.1:4];
>
plot3(e.ˆt,e.ˆ(-t),cos(t),’k’,’linewidth’,2);
hold on;
> plot3(e+(t-1)*e,
eˆ(-1)-(t-1)*eˆ(-1),cos(1)-(t-1)*sin(1),’m’);hol
on;
> plot3(3*e, -eˆ(-1),
cos(1)-2*sin(1),’ko’,’markerfacecolor’,’m’);
vector tangente y velocidad
recta tangente
ejemplo 6
ejemplo 6 - octave
recta tangente
longitud de arco
vector tangente y velocidad
recta tangente
longitud de arco
longitud de arco
longitud de arco
problema
¿ cómo calculamos la longitud de una curva α : [a, b] → R3 ?
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longitud de arco
longitud de arco
aproximación
recta tangente
longitud de arco
vector tangente y velocidad
recta tangente
longitud de arco
longitud de arco
longitud de arco
aproximación
longitud de la poligonal que aproxima la curva
long(Pα ) =
N
X
kα(ti ) − α(ti−1 )k
i=1
x TVM: α(ti ) − α(ti−1 ) =
N
X
kα0 (ξi )k∆t
i=1
α0 (ξ
i )(ti
− ti−1 ) = α0 (ξi )∆t
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recta tangente
longitud de arco
longitud de arco
aproximación
aproximación
cuando ∆t → 0
tenemos
long(Pα ) =
N
X
i=1
0
Z
kα (ξi )k∆t →
a
b
kα0 (t)kdt
vector tangente y velocidad
recta tangente
longitud de arco
longitud de arco
longitud de arco
α : [a, b] → R3 curva C 1
longitud de arco de α:
Z
long(α) =
a
b
kα0 (t)kdt
longitud de arco
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recta tangente
longitud de arco
ejemplos
ejemplo 7
longitud de una circunferencia de radio r
Calcular la long de arco de una circunferencia de radio r
α(t) = (r cos t, r sin t) con t ∈ [0, 2π]
α0 (t) = (−r sin t, r cos t)
Z
2π
0
Z
kα (t)kdt =
long(α) =
0
2π
rdt = 2πr
0
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longitud de arco
ejemplos
ejemplo 8
longitud de la hipocicloide de 4 puntas
Calcular la longitud de la curva
x = cos3 t
y = sin3 t
α0 (t) = (−3 cos2 t sin t, 3 sin2 t cos t)
0
kα
q (t)k =
9(cos4 t sin2 t + sin4 t cos2 t)
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recta tangente
longitud de arco
ejemplos
ejemplo 8
longitud de la hipocicloide de 4 puntas
kα0 (t)k = 3| cos t sin t|
Z
2π
long(α) =
3| cos t sin t|dt
0
Z
long(α) = 4.3
π
2
cos t sin tdt
0
π
sin2 t 2
long(α) = 6
=3
2 0
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ejemplos
ejemplo 8
hipocicloide de 4 puntas
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longitud de arco