1. Ciencia

Universidad Veracruzana
Automorfimos de
complejos de curvas
no separantes
TESIS
que para obtener el grado de
Licenciado en Matemáticas
P R E S E N T A:
Jesús Hernández Hernández
DIRECTORES DE TESIS:
Dr. Javier Aramayona
Dr. Francisco Gabriel Hernández Zamora
Abril del año 2012
Xalapa, Ver. México
Dedicatoria
A mis padres, quienes me han soportado todo este tiempo. Sin ellos yo no sería quien soy
ahora.
A todos aquellos que tuvieron fe en mí. Conjunto que no sólamente incluye mi familia,
mis amigos y mi novia, pero que por mi mala memoria y miedo a olvidar a alguien no diré
nombres... ellos me conocen lo suficiente como para saber que es cierto.
Agradecimientos
A mi familia, porque siempre estuvieron dispuestos a apoyarme y aguantarme, incluso
estando en otro continente.
A mis asesores, el Dr. Javier Aramayona y el Dr Francisco Gabriel Hernández Zamora.
Al primero por creer en mí y propornerme un reto a mis habilidades. Al segundo por tener
confianza en mí y en mis decisiones. Por cierto, gracias por todo el café.
A los profesores, tanto de la Facultad de Matemáticas de la UV aquí en Xalapa como a
los de la School of Mathematics, Statistics and Applied Mathematics de la NUIG en Galway.
Su apoyo fue invaluable en mi formación profesional y personal.
A todos mis amigos, nuevos, viejos, de aquí y de allá. Por los momentos de diversión,
distracción y ocio que sin ellos me hubiera vuelto (más) loco. Una vez más, no mencionaré
nombres, ustedes saben quienes son.
A todas las personas que han sido las caseras en los diferentes lugares en los que he
vivido, por aguantar todas mis pequeñas obsesiones.
Índice general
i
Introducción
1. Principio de Cambio de coordenadas y Complejos
1.1. Principio del Cambio de Coordenadas . . . . . . . .
1.1.1. Número de intersección geométrico . . . . .
1.1.2. Isotopía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Curvas Separantes y No Separantes . . . . .
1.1.4. Multicurvas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5. Principio de Cambio de Coordenadas . . . .
1.2. Complejos de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Complejos Simpliciales Abstractos . . . . . .
1.2.2. Complejo de Curvas . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Complejo de Curvas No Separantes . . . . .
de
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2. Aplicaciones Superinyectivas
2.1. Aplicaciones superinyectivas de C(S) . .
2.2. Aplicaciones superinyectivas de N (S) . .
2.2.1. Propiedades de φ : N (S) → N (S)
2.3. Propiedades φ : N (S1 ) → N (S2 ) . . . . .
2.4. Consecuencias de S1 ∼
= S2 . . . . . . . .
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3. φ : N (S) → N (S) es Inducida
3.1. Extensiones . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Inducción de φ . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Extensión de la cota superior . . . . . .
3.3.1. Caso: g componentes de frontera
3.3.2. Demostración del teorema 3.4 . .
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Conclusiones
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A. Geometría Hiperbólica
A.1. Transformaciones de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1. Traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A.1.2. Clasificación . . . . . . . . . . . . . . .
A.2. Modelos de la geometría hiperbólica . . . . . .
A.2.1. Isometrías y Geodésicas . . . . . . . .
A.2.2. Puntos fijos en H . . . . . . . . . . . .
A.3. Dominios fundamentales y grupos Fuschianos
B. Estructura Hiperbólica de Superficies
B.1. Variedades y Superficies . . . . . . . . . . . .
B.1.1. n-Variedades . . . . . . . . . . . . . .
B.1.2. Clasificación de Superficies . . . . . . .
B.2. Pseudogrupos y estructuras . . . . . . . . . .
B.2.1. Estructuras en n-variedades . . . . . .
B.2.2. Estructuras hiperbólicas en superficies
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Introducción
Los grupos modulares de Teichmüller son objetos centrales de estudio en la teoría geométrica de grupos, principalmente por su conexión a otras áreas de las matemáticas, tales como
la geometría hiperbólica, topología de baja dimensión, dinámica y geometría algebraica. Un
ejemplo notable de ésto es el hecho de que la geometría del grupo modular de Teichmüller
juega un papel importante en la prueba de la conjetura de laminación final de Thurston,
dada recientemente por Brock-Canary-Minsky.
Muchos de los problemas acerca de los grupos modulares de Teichmüller pueden ser llevados a términos de “complejos” de curvas cerradas simples en la superficie. El complejo quizá
más famoso de este tipo sería el “curve complex” o complejo de curvas C(S), el cual tiene
como vértices el conjunto de las clases de isotopía de curvas esenciales, cerradas, simples de
S, y que dado un conjunto de vértices {α0 , . . . , αn }, estos forman un n-simplejo si y sólo
si el número de intersección geométrico de cualesquiera 2 de ellos es 0. Recientemente, este complejo es un ingrediente clave para la prueba de la antes mencionada conjetura de la
laminación final de Thurston. En el capítulo 1 serán tratados los conceptos de complejo de
curvas y aquellos necesarios para su entendimiento.
De forma natural, es interesante el estudio de funciones simpliciales entre diferentes complejos, ya que el entendimiento de dichas funciones está directamente relacionado con el
mayor entendimiento de “problemas de rigidez” en grupos modulares de Teichmüller y objetos relacionados. En 2004, E. Irmak introduce el concepto de una función superinyectiva del
complejo de curvas, con el cual realiza un estudio de los homomorfismos entre subgrupos del
grupo modular de Teichmüller. Posteriormente, en 2006 extiende este concepto al complejo
de curvas no separantes, con el cual logra el siguiente resultado.
Teorema 1 Sea S una superficie compacta, conexa y orientable, con género g ≥ 2 y a lo
más g − 1 componentes de frontera. Entonces una función simplicial λ : N (S) → N (S) es
una aplicación superinyectiva si y sólo si λ es inducida por un homeomorfismo de S.
Este teorema caracteriza todas las aplicaciones superinyectivas del complejo de curvas no
separantes de superficies S que cuenten con ciertas características. El concepto de una aplicación superinyectiva será presentado en el capítulo 2, en donde además se darán dos resultados de rigidez de las superficies con respecto a los complejos de curvas no separantes.
Además, se tratarán las propiedades de este tipo de funciones, encontradas por Irmak en [7]
y se darán pruebas alternativas para algunas de estas propiedades, basadas en la gráfica de
adyacencia (concepto primera vez utilizado por K. Shackleton en [20] y Behrstock-Margalit
en [3]).
i
Lema 1 Sean S1 , S2 superficies compactas, conexas y orientables de género al menos 2. Si
φ : N (S1 ) → N (S2 ) es una aplicación superinyectiva, entonces S1 ∼
= S2
Teorema 2 Sean S1 y S2 superficies compactas, orientables y conexas, con géneros g1 , g2 al
menos 1 y n1 , n2 componentes de frontera, tales que 2 ≤ κ(S2 ) ≤ κ(S1 ) y κ(S1 ), κ(S2 ) �= 3.
Si φ : N (S1 ) → N (S2 ) es una aplicación superinyectiva, entonces S1 ∼
= S2 .
Luego, se utilzarán el lema 1 y el teorema 2 para generalizar diferentes resultados, entre los
que destaca el de P. Schmutz sobre automorfismos del complejo de curvas no separantes.
En el capítulo 3 se dará un breve vistazo a los resultados obtenidos por Irmak para poder
llegar al teorema de caracterización de las aplicaciones superinyectivas.
Cabe enfatizar que en dicho resultado la condición sobre los componentes de frontera,
no parece natural pues no aparece en resultados similares antes desarrollados, dando pie a
dos preguntas de gran importancia: ¿es esta condición realmente necesaria? ¿cómo afectaría
una generalización de este teorema a resultados ya existentes? Para la primera pregunta se
logró encontrar que la cota puede ser sustituida por una cota mayor, que a diferencia de la
original (que crece de forma lineal con respecto al género de la superficie) crece de forma
exponencial.
Conjetura 1 Sean S1 y S2 superficies orientables, compactas y conexas de géneros g1 , g2 ≥ 2
y n1 , n2 ≥ 0 componentes de frontera, tales que:
κ(S1 ) ≥ κ(S2 ).
Si 5 ≥ gi entonces gi − 1 ≥ ni , para i = 1, 2.
Si gi ≥ 6 entonces 2gi −6 + 4 ≥ ni , para i = 1, 2.
Luego, una función simplicial φ : N (S1 ) → N (S2 ) es una aplicación superinyectiva si y sólo
si φ está inducida por un homeomorfismo de S1 a S2 .
Por otro lado, para responder la segunda pregunta se continuará investigando para obtener
más resultados concernientes a los problemas de rigidez.
Finalmente, se incluirán dos apéndices en los cuales se tratarán conceptos básicos de
geometría hiperbólica y estructuras hiperbólicas de superficies, los cuales ya se toman en
cuenta a lo largo de la parte principal del trabajo.
ii
Capítulo 1
Principio de Cambio de coordenadas y
Complejos de Curvas
En este capítulo se definirá y observarán propiedades de diferentes conceptos, entre los
cuales resaltan: isotopía, complejos simpliciales abstractos, funciones simpliciales, el índice
geométrico de intersección, el complejo de curvas de una superficie y finalmente el complejo
de curvas no separantes de una superficie.
Además, a lo largo de este trabajo, se utilizará el concepto de una curva cerrada simple
como un encaje de la circunferencia unitaria S 1 en la superficie, aunque usualmente se hace
referencia a la imagen sobre la superficie en vez de al encaje como tal. Luego, se dice que una
curva es esencial si ésta no es homotópica a un punto o a alguna componente de frontera de
la superficie. Vea la figura 1.1 para ejemplos de curvas esenciales y no esenciales.
Figura 1.1: Curvas esenciales: α y β. Curvas no esenciales: γ y δ.
1.1.
Principio del Cambio de Coordenadas
En la mayoría de las demostraciones respecto a complejos de curvas (y en particular el
complejo de curvas no separantes) se involucra el llamado Principio del Cambio de Coordenadas, sin embargo, para poder entenderlo y darle mayor sentido a la mayoría de este trabajo
se empezará con ciertos conceptos elementales.
1
1.1.1.
Número de intersección geométrico
Dadas dos curvas en una superficie S, al cuestionarse cuántas veces se intersectan dichas
curvas se cuenta con el problema de que dicho número de intersección podría verse afectado
bajo homotopía (como se ve en la figura 1.2). A raiz de ésto, se deberá definir dicho número
Figura 1.2: Dos clases de homotopía con representantes no siempre disjuntos.
de intersección de forma tal que sea invariante bajo homotopía, o bien, esté definido para las
clases (libres) de homotopía, siendo esto último la forma actual de definirlo.
Definición 1.1 Dadas dos clases (libres) diferentes de homotopía a y b de curvas cerradas
simples, definimos el número de intersección geométrico entre a y b como el número mínimo
de puntos de intersección entre los representantes de a y de b, es decir:
i(a, b) := ´ınf{|α ∩ β| : α ∈ a, β ∈ b};
definiremos también para fines prácticos i(a, a) = 0.
También como abuso de notación, se acostumbra utilizar i(α, β) en vez de i(a, b) (obviamente
considerando que α ∈ a y que β ∈ b). Luego, es natural preguntarse si es que existen representantes de las clases de homotopía tales que alcanzen dicho número. De hecho, la respuesta
es afirmativa, pues dadas dos clases de homotopía cualesquiera a y b, las representantes geodésicas respectivas α y β se encuentran precisamente en lo que se le llama Posición Mínima,
es decir, |α ∩ β| = i(a, b).
También se observa que, si α parte en dos componentes a S, entonces para toda curva
cerrada simple i(α, β) es par.
1.1.2.
Isotopía
Aún cuando usualmente se trabaja con clases de homotopía de curvas sobre una superficie,
para este trabajo se usará un caso particular de homotopía llamado isotopía, cuya diferencia
radica en que todas las curvas de transición entre una curva y otra son curvas simples; a
continuación se dará la definición formal de una isotopía.
2
Definición 1.2 Sean α y β dos curvas cerradas simples, sobre una superficie S; se dice que
α y β son isotópicas si existe una homotopía H : S 1 ×[0, 1] → S de α a β tal que H(S 1 ×{t})
es una curva cerrada simple para toda t ∈ [0, 1]. A dicha homotopía H se le llama isotopía.
La razón por la cual, se tiene un interés en que dos curvas sean isotópicas, en vez de ser
únicamente homotópicas, radica en que la veracidad de algunos argumentos dentro de las
demostraciones depende de que al momento de deformar alguna curva, ésta no se intersecte
a sí misma. Ahora bien, aún cuando pareciera que, al ser las isotopías un caso particular
de homotopías, no necesariamente dos curvas homotópicas sean isotópicas, ese no es el caso
para las curvas cerradas simples esenciales, es decir, se tiene la siguiente proposición (cuya
demostración va más allá de los propósitos de este trabajo).
Proposición 1.3 Sean α y β dos curvas cerradas simples y esenciales en una superficie S.
Se tiene que α es isotópica a β si y sólo si α es homotópica a β.
Una consecuencia inmediata de esta proposición es el hecho de que entonces, la existencia
de isotopías entre curvas cerradas simples y esenciales es una relación de equivalencia. Otra
consecuencia, no inmediata, es el siguiente teorema, el cual se le atribuye a Baer, que fue
probado en los años 20’s.
Teorema 1.4 Sean S una superficie sin ponches y f y g dos homeomorfismos de S. Si S
no es un disco cerrado ni un anillo cerrado, entonces f y g son homotópicos si y sólo si f y
g son isotópicos. En particular si f y g preservan orientación, los conceptos de homotopía e
isotopía son equivalentes.
1.1.3.
Curvas Separantes y No Separantes
Para poder definir el concepto de una curva no separante (y de una separante), es necesario introducir el concepto de una Superficie de corte:
Definición 1.5 Dada una superficie S y una curva cerrada simple α (que por conveniencia
supondremos suave), definimos la superficie de corte de α (o a lo largo de α) como una
superficie compacta Sα acompañada de un homeomorfismo h entre dos de sus componentes
de frontera (las cuales llamaremos componentes de frontera distinguidas), tales que:
El cociente Sα /(x ∼ h(x)) es homeomorfo a S.
La imagen bajo la aplicación cociente de las componentes de frontera distinguidas es
α.
Intuitivamente se puede pensar en la superficie de corte de α como la superficie original
habiendo sido cortada usando a α como referencia. Es fácil observar que la superficie de
corte de cualquier curva cerrada simple es efectivamente una supericie, la cual cuenta con
dos componentes de frontera más que la superficie original; de igual forma podemos extender
esta definición de una forma natural a arcos sobre la superficie y a un conjunto (finito) de
curvas y arcos sobre la superficie.
Ahora bien, dado que ya se cuenta con la definición de una superficie de corte, se puede
definir lo siguiente:
3
Figura 1.3: Una curva no separante y su superficie de corte.
Definición 1.6 Dada una superficie S y una curva cerrada simple α sobre S, se dice que α
es una curva no separante si Sα es conexa; en caso contrario se dice que α es separante.
Ya una vez dada esta definición, la pregunta natural que surge es ¿Es posible decir cuántas
curvas no separantes y cuantas curvas separantes existen en una superficie? La respuesta
a esta pregunta se dará en la forma de una proposición, para la cual se necesitará de los
siguientes lemas:
Lema 1.7 Si α y β son cualesquiera dos curvas no separantes en una superficie S, entonces
existe un homeomorfismo φ : S → S, tal que φ(α) = β.
Demostración
Sean S una superficie, α y β dos curvas no separantes cualesquiera y
Sα y Sβ sus superficies de corte correspondientes; dado que Sα y Sβ cuentan con la misma
característica de Euler (pues esta es invariante bajo homeomorfismos), y el mismo número
de componentes de frontera y ponches, entonces Sα y Sβ son homeomorfas, y es más, se
puede tomar un homeomorfismo entre estas superficies tal que respete la equivalencia de las
componentes de frontera distinguidas. Luego, dicho homeomorfismo induce de forma natural
el homeomorfismo deseado.�
Lema 1.8 Siendo S una superficie sin componentes de frontera ni ponches y β una curva
cerrada simple, se tiene que β es una curva separante si y sólo si es la frontera de alguna
subsuperficie de S.
Se omitirá la demostración de este lema, pues va más allá del propósito del trabajo, mas sin
embargo, como consecuencia inmediata de dicha demostración se obtiene que hay un número
finito de curvas separantes para una superficie sin frontera ni ponches (hasta homeomorfismo
obviamente).
Lema 1.9 Dada una superficie S sin frontera ni ponches, existe un homeomorfismo que
preserva orientación de S que lleva una curva cerrada simple a otra si y sólo si las correspondientes superficies de corte son homeomórfas.
4
Demostración
Podemos separar esta demostración en tres casos, cuando las dos curvas
son separantes, cuando son no separantes, y cuando una es separante y la otra no; teniendo
en mente los dos lemas anteriores, el primer caso es un ejercicio básico de topología, mientras
que los otros dos son triviales.�
El último lema, al ser una equivalencia, nos sugiere la existencia de una relación de
equivalencia basada en la existencia de dicho homeomorfismo, la cual es fácil de confirmar.
A las clases de equivalencia de las curvas cerradas simples se les llama tipo topológico; además,
en el caso de las curvas separatantes, al mínimo de los géneros de las superficies que genera
se le llama el género de la curva. Obviamente lo último implica que el género de una curva
está determinado por su tipo topológico.
Proposición 1.10 Dada una superficie S sin componentes de frontera ni ponches, entonces
existen en total � g2 � + 1 curvas en dicha superficie hasta homeomorfismo.
Demostración
Sabemos que hasta homeomorfismo sólo hay una curva cerrada simple
no separante, así que sólo hace falta contar las curvas separantes, lo cual es una tarea sencilla
basándonos en el género de dichas curvas: como el género de una curva es el mínimo de los
géneros de las superficies que nos deja, será igual a m´ın{k, g − k} para algún k (¡el cual
depende exclusivamente del tipo topológico!), así que sólo puede haber � g2 � posibles géneros
para una curva, es decir, � g2 � tipos topológicos de curvas separantes.�
Para finalizar, podemos notar que entre el último lema y esta proposición hemos clasificado hasta homeomorfismos las curvas de una superficie dada, y en adelante les haremos
referencia como la “clasificación de curvas”.
1.1.4.
Multicurvas
Dentro de una superficie se pueden tener diferentes tipos de conjuntos de clases de isotopía
de curvas, cada uno cumpliendo diferentes tipos de propiedades. Uno de estos conjuntos es
el llamado multicurvas.
Definición 1.11 Una multicurva M es un conjunto de clases de isotopía de curvas simples
y esenciales, tal que cualquier par de curvas en M son disjuntas.
Figura 1.4: Un ejemplo de multicurva.
5
La importancia de dichos conjuntos radica en la posibilidad de contar con una cota superior
para la cardinalidad de ellos, pues es un fácil ejercicio probar que toda multicurva puede
contar con a lo más 3g − 3 + n curvas. Más aún, al cortar la superficie a través de una
multicurva maximal (con respecto a la inclusión) el resultado es la unión disjunta de 2g−2+n
subsuperficies, cada una homeomorfa a S0,3 (también llamada “pares de pantalones” debido
a su forma). Debido a la forma de los pares de pantalones, a una multicurva maximal se le
llama “descomposición en pares de pantalones”. Ahora, este resultado nos lleva al siguiente
concepto.
Definición 1.12 La complejidad de una superficie Sg,n , denotada por κ(Sg,n ) es igual a la
cardinalidad de cualquier multicurva maximal de la superficie, i.e. κ(Sg,n ) = 3g − 3 + n.
1.1.5.
Principio de Cambio de Coordenadas
Lo que en términos generales se le conoce como el principio de cambio de coordenadas
es el poder utilizar casos particulares (y convenientes) para poder demostrar propiedades
topológicas, en casos generales, con respecto a curvas cerradas simples que tengan ciertos
patrones de intersección. Con eso se quiere decir que es posible utilizar casos particulares
para hacer referencia a propiedades topológicas que se cumplan en el caso general. Esto se
logra (usualmente) a partir del teorema de clasificación de superficies, llevando por medio
de un homeomorfismo, que preserve orientación, el caso general a nuestro caso particular
conveniente.
Varios ejemplos del principio de cambio de coordenadas (demostrados en [6]) son los
siguientes:
Hay un homeomorfismo que lleva un par cualquiera de curvas que se intersequen una
vez a un par dado de curvas que se intersequen un vez.
De igual forma, hay un homeomorfismo que lleva un par cualquiera de curvas disjuntas
a un par dado de curvas disjuntas, siempre y cuando en ninguno de los casos la superficie
de corte generada por dichos pares sea disconexa.
Dados dos arcos propios, simples y no separantes en una superficie S que intersequen
el mismo número de componentes de frontera, tendremos un homeomorfismo de la
superficie que nos lleve un arco al otro.
Dadas dos cadenas no separantes de curvas cerradas simples, hay un homeomorfismo
que me lleva la una a la otra. 1
1
Una cadena de curvas cerradas simples es una secuencia de curvas (cerradas simples) tales que entre
curvas consecutivas en la secuencia, el número de intersección geométrico es 1 y 0 en cualquier otro caso; se
le llama a la cadena no separante si la unión de las curvas que la conforma no separa a la superficie (esto
en particular nos dice que, en una cadena no separante todas las curvas que la conformen deben de ser no
separantes).
6
1.2.
Complejos de Curvas
En esta sección nos dedicaremos a lo que se podría considerar la antesala a uno de
los objetos centrales de este trabajo; mencionaremos la definición y ciertas propiedades del
complejo de curvas y las funciones superinyectivas.
1.2.1.
Complejos Simpliciales Abstractos
Para poder entender lo que es un complejo de curvas necesitamos primero entender qué
es un complejo simplicial abstracto, pues el complejo de curvas es un caso particular de este
tipo de complejos.
Definición 1.13 Un complejo simplicial abstracto (csa) K es una colección de conjuntos
finitos no vacíos α tal que si β es un subconjunto no vacío de α ∈ K, entonces β ∈ K. De
igual forma, a los conjuntos que conforman a un complejo simplicial se les llama simplejos,
mientras que a los elementos de dichos simplejos se les llama vértices.
A modo de notación denotaremos al conjunto de vértices de un complejo K como V(K).
Se puede pensar entonces en dado un csa fijo, cómo obtener otro complejos a partir de
éste, lo que permite considerar luego subcolecciones del csa dado. Esto lleva directamente a
la siguiente definición.
Definición 1.14 Sea K un csa, se define un subcomplejo simplicial, como una subcolección
de K tal que por sí misma es un csa.
Ahora bien, dado un simplejo s su dimensión se define como su cardinalidad menos uno,
mientras que, la dimensión de un complejo abstracto es el máximo de las dimensiones de los
simplejos que lo conforman. En caso de que dicho máximo no exista, se dice que el complejo
es de dimensión infinita.
Una vez ya teniendo la idea de la dimensión de un simplejo, se puede definir entonces el
concepto de un n-esqueleto.
Definición 1.15 Se define el n-esqueleto de un csa K como el conjunto de simplejos de
dimensión n o menor pertenecientes a K.
Es fácil de ver entonces que el 1-esqueleto de todo complejo K es una gráfica simple, la cual
puede ser o no conexa.
Por otro lado, se puede luego tomar relaciones entre complejos y entre conjuntos de
vértices, siendo las relaciones más naturales las funciones. Se ha de mantener en mente que,
como en la mayoría de las ramas de las matemáticas, sería agradable poder mantener una
cierta estructura. De esta forma podemos compilar entonces la siguiente definición.
Definición 1.16 Sean K y L csa’s. Se define una función simplicial f : K → L como una
función que va de simplejos a simplejos tales que f ({v0 , . . . , vk }) = {f0 (v0 ), . . . , f0 (vk )} para
alguna función f0 : V(K) → V(L).
7
Luego, son obvias las siguientes observaciones.
Observación 1 Una función simplicial está completamente definida a partir de la función
entre los conjuntos de vértices.
Observación 2 La imagen de una función simplicial es un subcomplejo del codominio.
Para concluir esta subsección, se recalcará el hecho de que una función simplicial manda
simplejos a simplejos, el cual aún siendo una obviedad, es de gran importancia más adelante.
1.2.2.
Complejo de Curvas
En 1978 W. J. Harvey definió el llamado complejo de curvas, a modo de que fuese una
estructura combinatoria asociada a una superficie Riemanniana, la cual permite un estudió
más a fondo de las curvas sobre dicha superficie.
Definición 1.17 Dada una superficie S, el complejo de curvas C(S) es el complejo simplicial
abstracto cuyos vértices son las clases de isotopía de curvas esenciales cerradas simples 2 en
S, para los cuales un conjunto de (k + 1) vértices {α0 , . . . , αk } formará un k-simplejo si para
0 ≤ i, j ≤ k se cumple i(αi , αj ) = 0.
Recordando el concepto de multicurva y complejidad, se puede notar que las multicurvas son
simplejos mientras que la dimensión de C(S) es igual a κ(S) − 1. También se puede notar
rápidamente que, la condición necesaria para que dos vértices nos den un simplejo, nos dice
si un par de clases de isotopía “se intersecan” o no. Esto se puede llevar un paso más adelante,
y notar que dos vértices del complejo estarán conectados por un camino en el 1-esqueleto
si y sólo si las clases de isotopía de dichos vértices forman los extremos de una cadena en
C(S). Esto da pie a preguntarse entonces si la gráfica simple que es el 1-esqueleto es conexa,
o lo que es equivalente, si dados dos clases de isotopía, se puede encontrar una cadena cuyo
inicio y final sean dichas clases. La respuesta no siempre es afirmativa, más aún, se pueden
especificar los 7 casos (de los cuales sólamente 3 tienen estructura geométrica hiperbólica)
en los que no lo es, usando el siguiente teorema.
Teorema 1.18 Sea Sg,n una superficie. Si 3g + n ≥ 5, el 1-esqueleto del complejo de curvas
de Sg,n es conexo.
Demostración
Sean a, b ∈ V(C(Sg,n )) dos vértices cualesquiera del complejo de curvas
de Sg,n . La demostración se realizará usando inducción matemática sobre i(a, b).
Si i(a, b) = 0, no hay nada que probar, pues entonces los vértices ya están conectados por
un eje.
Si i(a, b) = 1, sean α y β las representantes geodésicas respectivas. Sea γ un curva que
rodee a α ∪ β de forma que haya ni ponches ni hazas ente γ y α ∪ β, tal y como se muestra
en la figura 1.5.
2
Hay que recordar que una curva cerrada simple es esencial si no es homotópica a un punto, a un ponche
o a un componente de frontera
8
Figura 1.5: Las curvas α y β que se intersecan una vez y la frontera γ de una vecindad de
α ∪ β.
Es claro ver que dicha curva es la frontera de una vecindad de α ∪ β. Esta vecindad es
(homeomorfa a) un toro con un componente de frontera, véase la figura 1.5, la que también
nos ayuda a ver que si γ es homotópica a un punto o a un ponche, se tendría que Sg,n
es un toro o un toro con un ponche respectivamente, pero estas superficies no cumplen la
hipótesis; por lo tanto γ es una curva esencial. Dado que γ es una curva esencial, y que por
construcción |α ∩ γ| = |β ∩ γ| = 0, se sigue que si c es la clase de isotopía de γ, entonces
i(a, c) = i(c, b) = 0, con lo que ya tendremos una cadena con extremos a y b.
Ahora bien, si i(a, b) = k ≥ 2, tomemos como hipótesis de inducción lo siguiente: dados
dos vértices de C(Sg,n ), con índice de intersección geométrico estrictamente menor que k,
estos vértices están conectados por un camino en el 1-esqueleto.
Sean, una vez más, α y β las representantes geodésicas de a y b respectivamente. Como
k ≥ 2, se pueden tomar dos puntos de intersección consecutivos a lo largo de β, y dándole un
sentido a α, se puede separar el argumento en dos casos, el primero si en ambos puntos de
intersección α va hacia el mismo lado, y el segundo si en un punto de intersección va hacia
la derecha y en el otro hacia la izquierda.
Para el primer caso, se traza la curva γ empezando antes de la primera intersección a la
derecha de α, luego se corta primero α y luego β (antes de llegar a segunda intersección),
para que así γ vuelva a estar a la derecha de α pero después de la segunda intersección
(tal y como se muestra en la figura 1.6), luego se hace que γ recorra el mismo camino que
α siempre apenas un poco a la derecha, cerrando así eventualmente la curva. Podemos ver
rápidamente que γ interseca a α sólo una vez (lo que hace que γ sea esencial, ya que en caso
contrario, intersecaría a α un número par de veces) y a β k − 1 veces. Luego, siendo c la clase
de isotopía de γ, tenemos que i(a, c) = 1 (usando isotopía sólo se puede restar un número
par del índice de intersección geométrico) y i(a, c) ≤ |α ∩ γ| = k − 1, por lo tanto, ya existe
un camino que une a a y c y otro que une a c y b (por hipótesis de inducción), con lo cual
la concatenación de dichos caminos nos da un camino entre a y b.
Ahora, para el segundo caso, se puede suponer sin pérdida de generalidad que si se sigue
α después de la primera intersección se llega a la segunda. Se traza luego las curvas γ1 y γ2 ,
la primera empezando poco antes de la primera intersección, siguiendo a α por la izquierda
hasta dar vuelta y seguir β hasta la segunda intersección, después seguir a α una vez más
9
Figura 1.6: Primer y segundo casos para i(α, β) ≥ 2.
hasta cerrar la curva (obviamente este provoca que |α ∩ γ1 | = 0 y |β ∩ γ1 | = k − 2); mientras
que γ2 empezará a la izquierda de α después de la primera intersección, y seguirá a α hasta
antes de la segunda intersección, donde seguirá a β hasta cerrar la curva (es fácil ver que así,
|α ∩ γ2 | = |β ∩ γ2 | = 0), tal y como se ve en la figura 1.6. Ahora bien, dado que tanto α como
β están en posición mínima al ser geodésicas, las curvas γ1 y γ2 no pueden ser homotópicas
a un punto (en dado caso podríamos “arrastrar” α y eliminar dos puntos de intersección. Si
alguna de estas dos curvas es esencial (lo que en este caso nos diría que no son homotópicas a
un ponche), ya habremos encontrado una clase de isotopía para unir los caminos de a y b. Si
es que ambas curvas son homotópicas a un ponche, entonces podemos concluir lo siguiente:
la subsuperficie a la izquierda de α es homeomorfa a un disco con dos ponches, β únicamene
interseca a α dos veces y β pasa en medio de los dos ponches. Si esto sucede se trazan curvas
γ3 y γ4 de forma análoga a γ1 y γ2 , pero esta vez a la derecha de α. Luego, por las mismas
razones de γ1 y γ2 , estas dos nuevas curvas no pueden ser homotópicas a un punto, y ambas
no pueden ser nuevamente homotópicas a un ponche, ya que se tendría que la superficie se
trata de una esfera con 4 ponches, lo que contradice la hipótesis. Así, en cualquiera de los
dos casos obtenemos una clase de isotopía c tal que i(a, c) = 0 y i(b, c) < n, y por lo tanto
la concatenación de los caminos entre a-c y c-b, une a nuestros vértices dados.
Por lo tanto, el 1-esqueleto de C(Sg,n ) es conexo.�
Con este resultado podemos asegurar que en toda superficie con estructura hiperbólica
(salvo en S0,3 , S0,4 y S1,1 ), siempre que tengamos un par de curvas (esenciales), podremos
encontrar una cadena con estas curvas (sus clases de isotopía en realidad) como extremos,
más aún, en la siguiente subsección veremos que este resultado puede extenderse a puras
curvas no separantes.
También como consecuencia de este resultado, se puede definir el concepto de distancia
entre vértices de C(S), a partir del concepto de distancia en una gráfica simple conexa, es
decir, la distancia entre dos vértices de C(S) es el mínimo de ejes necesarios para conectar con
un camino a dichos vértices. Con esta forma de distancia en el complejo de curvas tenemos
también las siguientes observaciones.
Observación 3 Cualesquiera dos curvas no isotópicas entre sí, tales que sus vértices correspondientes en C(S) tengan distancia entre ellos al menos 3, “llenan” la superficie de un toro
10
con un agujero, es decir, toda curva (esencial) no isotópica a alguna de ellas, intersecará a
al menos una.
Observación 4 Dadas dos curvas que satisfagan las condiciones de la observación anterior,
la superficie resultante de cortar a lo largo de su unión, es una colección de discos y discos
perforados.
Con estas observaciones y la clasificación de curvas, se puede encontrar rápidamente curvas
que llenen una superficie Sg . Una vez más, en la subsección siguiente este resultado podrá
ser extendido a curvas no separantes únicamente.
De los trabajos relacionados con esta sección destacan [10, 7, 8, 9, 17].
1.2.3.
Complejo de Curvas No Separantes
En este trabajo uno de los puntos principales es el estudio de funciones simpliciales del
complejo de curvas no separantes a sí mismo, lo cual, a su vez, permitirá facilitar el estudio
de homomorfismos entre un tipo específico de grupos asociados a las superficies (el grupo
modular de Teichmüller). Aunque el nombre expresa de manera natural el significado del
complejo de curvas no seperantes, su definición formal se da a continuación.
Definición 1.19 Dada una superficie Sg,n , se define el complejo de curvas no separantes,
N (Sg,n ), como el subcomplejo de C(Sg,n ), tal que sus vértices son clases de isotopía de curvas
no separantes.
Como se vio en la sección anterior, el complejo de curvas cuenta con una estructura conexa en
su 1-esqueleto, cualidad que también comparte el complejo de curvas no separantes, aunque
de manera más restringida.
Teorema 1.20 Si Sg,n es una superficie con género al menos 2, entonces el 1-esqueleto de
N (Sg,n ) es conexo.
Demostración
Para realizar esta demostración se procederá por inducción en el número
de ponches de la superficie.
Si 1 ≥ n, dados dos vértices a y b de N (Sg,n ), por el teorema 1.18 se sabe que existe una
cadena {ci }m
i=0 tal que c0 = a y cm = b. Ahora bien, si ci es una clase de isotopía de una
curva separante, sean γi un representante de ci , Si� y Si�� las dos componentes conexas de la
superficie de corte generada por γi . Como 1 ≥ n entonces tanto Si� como Si�� tienen género
positivo (en caso contrario γ no sería esencial). Dado que i(ci−1 , ci ) = i(ci , ci+1 ) = 0, se debe
de tener alguno de los siguientes:
Caso 1: ci−1 se encuentra en Si� o Si�� , mientras que ci+1 se encuentra en Si�� o Si� respectivamente. Esto implica que i(ci−1 , ci+1 ) = 0, por lo cual se puede eliminar ci de la
cadena.
Caso 2: Sin pérdida de generalidad, ci−1 y ci+1 están en Si� . En este caso, se puede
sustituir directamente ci por cualquier vérticee de N (Si�� ) en la cadena.
11
Como la cadena es finita, al realizar este procedimiento una cantidad finitia de veces, la
cadena uniendo a y b crea un camino en el 1-esqueleto de N (Sg,n ).
Luego, se tomará por hipótesis de inducción el que exista un N tal que para todo n < N
se cumple que el 1-esqueleto de N (Sg,n ) es conexo.
Sean a y b vértices de N (Sg,N ), una vez más por el teorema 1.18 sea {ci }m
i=0 la cadena que
une a a y a b. Si ci es separante, sea γi un representante de ci . Si ambas componentes conexas
de la superficie de corte generada por γ tienen género positivo, se procede de la misma forma
que en la primera parte de la demostración; lo mismo sucede en el caso en el que ci−1 y ci+1
estén en componentes conexas diferentes, o se encuentren ambas en la componente conexa
de género 0. En caso contrario, sea Si� la componente conexa (con género positivo) en la que
se encuentren ci−1 y ci+1 . Ahora, como el complemento de Si� cuenta con al menos 2 ponches,
se sigue que Si� tiene menos de N ponches, y por hipótesis de inducción, se tiene una cadena
uniéndo a ci−1 y a ci+1 , por lo cual se sustituye a ci por esta cadena. Una vez más, tras una
cantidad finita de estos pasos se tendrá una cadena que una a a y a b, que genere un camino
en N (Sg,N ) entre a y b.
Por lo tanto, si g ≥ 2, el 1-esqueleto de N (Sg,n ) es conexo.�
Este resultado no es posible extenderlo a superficies de género 1, pues se puede inducir
a partir de la función “rellenadora de ponches” una función simplicial sobreyectiva entre
N (S1,n ) y C(T 2 ), y como el complejo de curvas del toro es disconexo, entonces N (S1,n )
también lo es.
Al igual que en la subsección anterior, este resultado induce una distancia en el complejo
de curvas no separantes, la cual a su vez, verifica para N (Sg,n ) las observaciones antes hechas.
Con los resultados dados en este capítulo es posible ya, entender los conceptos de funciones
superinyectivas tanto en el complejo de curvas, como en el complejo de curvas no separantes.
Estos conceptos se tratarán en el siguiente capítulo.
Para un mayor trato de los temas aquí tocados, se recomiendan los siguientes textos [12, 6,
17].
12
Capítulo 2
Aplicaciones Superinyectivas
En este capítulo, haciendo uso de los conceptos del capítulo anterior, se definirá lo que
es una aplicación superinyectiva tanto para el complejo de curvas como para el complejo
de curvas no separantes. Además analizaremos rápida y brevemente las propiedades de las
aplicaciones superinyectivas demostradas por Elmas Irmak en [7]. Posteriormente se darán
demostraciones alternativas para ciertas partes de los lemas y proposiciones antes mencionados además de que estas nuevas demostraciones pueden tomarse fácilmente para extender
dichos resultados a un escenario más general.
2.1.
Aplicaciones superinyectivas de C(S)
Sean durante esta sección S1 , S2 superficies compactas, orientables y conexas con género
g1 , g2 ≥ 2 y n1 , n2 ≥ 0 componentes de frontera respectivamente. Definiremos entonces una
aplicació superinyectiva de C(S1 ) a C(S2 ) de la siguiente forma.
Definición 2.1 Sea φ : C(S1 ) → C(S2 ) una función simplicial. Se dice que φ es una
aplicación superinyectiva si para cualesquiera curvas α, β tales que i(α, β) �= 0 entonces
i(φ(α), φ(β)) �= 0.
Por su facilidad y naturalidad en la demostración, la primera propiedad que se observa es la
siguiente.
Proposición 2.2 Si φ : C(S1 ) → C(S2 ) es una aplicación superinyectiva, entonces φ es
inyectiva.
Demostración
Dadas cualesquiera dos curvas diferentes α, β, si éstas se intersectan,
entonces por superinyectividad sus imágenes se intersectarán, con lo cual serán diferentes.
Si las curvas son disjuntas, entonces (puesto que el género de S1 es al menos dos) se puede
encontrar una curva γ tal que sea disjunta a α pero intersecte a β, con lo cual por ser φ
simplicial y superinyectiva se tendrá que la imagen de γ será disjunta a la imagen de α e
intersectará a la imagen de β, lo cual implica que las imágenes de α y β no son iguales.�
Con esto podemos fácilmente ver que una aplicación superinyectiva es una generalización
13
de un isomorfismo entre C(S1 ) y C(S2 ) en el cual no se exige la sobreyectividad de la función.
En los artículos [8, 9, 7, 3] se puede ver que hay una sentido de rigidez combinatoria en el
complejo de curvas, pues en dichos artículos se demuestra que, cuando S1 = S2 , las aplicaciones superinyectivas para superficies de género al menos 2 o superficies de género 1 con al
menos 2 componentes de frontera, son inducidas por homeomorfismos (que en realidad son
únicos hasta isotopía) con lo cual se prueba que dichas aplicaciones son en realidad automorfismos. En el artículo [20] por Kenneth Shackleton se demuestra que teniendo sólamente
una función simplicial inyectiva de C(S1 ) a C(S2 ) y una condición sencilla (y necesaria) en la
complejidad de las superficies, la función estará inducida por un homeomorfismo; más aún,
también demuestra que la inyectividad no es por completo necesaria, pidiendo únicamente
una función LOCALMENTE inyectiva (es decir, que es inyectiva en las bolas de radio 1 en
C(S1 )).
2.2.
Aplicaciones superinyectivas de N (S)
Una vez más, sean S1 , S2 superficies compactas, orientables y conexas con género g1 , g2 ≥
2 y n1 , n2 ≥ 0 componentes de frontera respectivamente. La forma en definir una aplicación
superinyectiva para las curvas no separantes es completamente análoga a la definición 2.1,
con la única diferencia de que el dominio y el codominio de φ será N (S1 ) y N (S2 ) respectivamente. De igual forma, la proposición 2.2 es válida también para curvas no separantes.
A diferencia de las aplicaciones superinyectivas del complejo de curvas, no hay tantos
resultados concernientes a la rigidez de este tipo de funciones. Irmak en [7] prueba que esta
rigidez existe siempre y cuando S1 = S2 y haya una cota superior en el número de componentes de frontera. Haciendo una comparación con respecto a los resultados obtenidos para
el complejo de curvas, se sugiere que esta cota posiblemente no sea necesaria, lo cual dio
origen a este trabajo.
A continuación se dará un breve vistazo al trabajo de Irmak.
2.2.1.
Propiedades de φ : N (S) → N (S)
El análogo de la proposición 2.2 implica inmediatamente el siguiente corolario.
Corolario 2.3 Si φ : N (S) → N (S) es una aplicación superinyectiva y P es una descomposición en pares de pantalones, entonces la multicurva φ(P ) es una descomposición en pares
de pantalones.
Ahora, dada una descomposición en pares de pantalones P , si [α], [β] ∈ P y α y β son frontera
distinguidas en SP tales que son componentes de frontera de un mismo par de pantalones,
así como se muestra en la figura 2.1, entonces se dice que α y β son adyacentes con respecto
a P (c.r. a P ). Este concepto no es sólo importante en esta subsección, sino que es de suma
importancia en la siguiente en la que se presentará la gráfica de adyacencia de P .
Luego de esta noción, es natural preguntarse si φ preserva adyacencia.
14
Figura 2.1: α y β son adyacentes con respecto a P .
Proposición 2.4 Si φ : N (S) → N (S) es una aplicación superinyectiva, P es una descomposición en pares de pantalones y α y β son adyacentes c.r. a P , entonces φ(α) y φ(β) son
adyacentes c.r. a φ(P ).
Resumen de la demostración
Dado que se puede tomar una curva γ que interseque
a α y β mas sea disjunta de todas las demás curvas en P , se sigue que φ(γ) también tiene
que intersecar a φ(α) y a φ(β) y ser disjunta del resto de las curvas en φ(P ). Por lo tanto,
φ(α) y φ(β) son adyacentes.�
Una vez ya se vio que la adyacencia es preservada, resta preguntarse si entonces todas
las componentes de frontera de un par de pantalones son preservadas como componentes de
frontera de un mismo par de pantalones en la imagen.
Proposición 2.5 Si φ : N (S) → N (S) es una aplicación superinyectiva y α, β y γ son los
componentes de frontera de un mismo par de pantalones, entonces φ(α), φ(β) y φ(γ) son
también componentes frontera de un mismo par de pantalones.
Resumen de la demostración
Siendo que el resultado es obvio para g = 2, n = 0, de
forma exhaustiva y procediendo por reducción al absurdo, se demuestra el resultado para el
caso en el que S ≡ S2,1 , haciendo uso de dos curvas auxiliares. Posteriormente para el caso
general, se toma una subsuperficie de género 2 y dos componentes de frontera, además de un
total de cuatro curvas auxiliares. Luego de forma exhaustiva y procediendo por reducción al
absurdo se ve que no solo la subsuperficie debe preservarse sino que se obtiene el resultado.�
Luego, los únicos elementos en una descomposición en pares de pantalones que aún no
se ha visto que sean preservados por φ son los llamados pares periféricos. Se dice que α y
β son pares periféricos si en la superficie de corte son fronteras distinguidas de un par de
pantalones cuyo otro componente de frontera es también un componente de frontera de la
superficie original. Vea la figura 2.2 para ver un ejemplo.
Proposición 2.6 Si φ : N (S) → N (S) es una aplicación superinyectiva y α y β son pares
periféricos, entonces sus imágenes también lo son.
Resumen de la demostración
La demostración para cuando hay sólamente un componente de frontera es bastante simple. Se toma una descomposición en pares de pantalones
15
Figura 2.2: α, β y γ forman la frontera de un par de pantalones. δ y ε son pares periféricos.
que incluya a α y β, luego la proposición 2.5 localiza a cada uno de los pares de pantalones
que no incluyen al componente de frontera de S. Esto hace que la única opción posible sea
el resultado deseado.
El caso para género dos con dos componentes de frntera es bastante parecido, completando a modo de que β sea un par periférico con α y con alguna otra curva. Luego, de la misma
forma que arriba se localizan todas las demás curvas usando la proposición 2.5 y después se
usa la proposición 2.4.
Para el caso en el que S tiene género 2 y tres componentes de frontera usa tres curvas
auxiliares para “aislar” el par periférico y posteriormente con 2.5 los fija. Luego recurre a la
reducción al absurdo para poder para demostrar que las curvas ya fijadas aislan un componente de frontera.
Finalmente, para el caso en el que el género es al menos tres y hay al menos 2 componentes de frontera, usa 6 curvas auxiliares para proceder de forma similar al caso anterior,
aislando y posteriormente recurriendo a la reducción al absurdo.�
Ya una vez se cuenta con las proposiciones 2.5 y 2.6 es fácil ver que se cuenta de forma
natural con un auto-homeomorfismo de S (que depende de la descomposición en pares de
pantalones dada) tal que este homeomorfismo coincide con φ en la descomposición en pares
de pantalones. Es quiere decir que φ preserva la equivalencia topológica en las descomposiciones en pares de pantalones.
Como consecuencia inmediata se tiene que aquellos pares de curvas α y β tales que Sα,β
cuenta con dos componentes conexas (este tipo de pares de curvas son llamadas “pares fronterizos”) son conservadas bajo la aplicación superinyectiva, más aún las componentes conexas
de Sα,β serán homeomorfas a las componentes conexas de Sφ(α),φ(β) .
Casi para finalizar, y siguiendo la metodología dada por Ivanov en [10], se caracterizan
aquellos pares de curvas con número de intersección geométrico 1, de la siguiente forma.
Proposición 2.7 Sean α1 y α2 curvas no separantes en S. Luego i(α1 , α2 ) = 1 si y sólo si
existen curvas no separantes α3 , . . . , α7 tales que:
1. i(αi , αj ) = 0 si y sólo si las i-ésimas y j-ésimas curvas en la figura 2.3 son disjuntos.
2. α1 , α3 , α5 , α6 son disjuntos a pares tales que α5 y α6 son pares fronterizos en donde una
de las componentes conexas es un toro con dos componentes de frontera, conteniendo
16
a α1 y α2 . También α1 , α3 , α5 son fronteras distinguidas de un par de pantalones, al
igual que α1 , α3 , α6 .
Figura 2.3: Curvas características de la intersección 1.
Resumen de la demostración
Si se supone que i(α1 , α2 ) = 1 la implicación es trivial
gracias al principio de cambio de coordenadas. La otra implicación usa la segunda condición
para delimitar los pares de pantalones y la primera condición para crear arcos de curvas.
Una vez todos los arcos están fijos, no queda otra opción más que la deseada.�
Finalmente, se verifica que la aplicación superinyectiva preserva efectivamente la intersección.
Proposición 2.8 Sea φ : N (S) → N (S) una aplicación superinyectiva. Si i(α, β) = 1
entonces i(φ(α), φ(β)) = 1.
Resumen de la demostración
Este resultado es trivial considerando que φ es simplicial
y superinyectiva, además de la proposición 2.5.�
2.3.
Propiedades φ : N (S1) → N (S2)
Siendo S1 , S2 superficies compactas, orientables y conexas con género g1 , g2 ≥ 2 y n1 , n2 ≥
0 componentes de frontera respectivamente, gracias al equivalente de la proposición 2.2 para
curvas no separantes es fácil ver que entonces por ser φ simplicial, la complejidad de S1 es
menor o igual que la complejidad de S2 , por lo cual si se supone que κ(S2 ) ≤ κ(S1 ) entonces
ambas superficies cuentan con la misma complejidad. Luego, como ambas superficies cuentan
con género al menos dos entonces es trivial que S1 ∼
= S2 si se supone que κ(S2 ) ≤ κ(S1 ) y
κ(S1 ) ∈ {3, 4, 5}. Con lo cual se puede usar las propiedades en la sección anterior para dichas
superficies.
También es de notar que la prueba de 2.4 no depende de que S1 = S2 , así que es válida
para cuando κ(S2 ) ≤ κ(S1 ). A continuación también se verá que φ preserva también la
“no adyacencia” con respecto a una descomposición en pares de pantalones, para lo cual
probaremos que φ cumple con la siguiente propiedad.
17
Proposición 2.9 Sea φ : N (S1 ) → N (S2 ) una aplicación superinyectiva. Si [α] y [β] son
tales que α y β se encuentran en una subsuperficie S � , con género 0 y 4 componentes de
frontera, y cumplen que para toda clase de isotopía de curva no separante [γ] �= [α], [β] se
tiene que i([α], [γ]) + i([β], [γ]) > 0, entonces sus imágenes también se encuentran en una
subsuperficie de género 0 y 4 componentes de frontera, cumpliendo la misma propiedad. Si
en cambio S � es una subsuperficie de género 1 y 2 componentes de frontera, las imágenes
las imágenes también cumplirán la propiedad antes mencionada pero en una subsuperficie
que puede ser de género 1 y 2 componentes de frontera o de género 0 y 5 componentes de
frontera.
Demostración
Sea Q una multicurva maximal en S1 tal que cada elemento de Q es disjunto a α y β. Luego, es fácil ver que si α y β cumplen la propiedad antes mencionada para
una subsuperficie de género 0 y 4 componentes de frontera, entonces Q tiene cardinalidad
κ(S1 ) − 1, mientras que en caso contrario, tiene cardinalidad κ(S1 ) − 2.
Considerando el primer caso, es fácil ver que φ(Q) también tendría dicha cardinalidad y
luego, como φ(α) y φ(β) son disjuntos de todos los elementos de φ(Q) pero φ(α) y φ(β) se
intersecan, se sigue que éstas tienen que tienen que cumplir la propiedad para una subsuperficie de género 0 y 4 componentes de frontera.
Para el segundo caso, usando un razonamiento análogo φ(α) y φ(β) tendrán que cumplir la propiedad para una subsuperficie de género 0 y 5 componentes de frontera o una
subsuperficie de género 1 y 2 componentes de frontera.�
Proposición 2.10 Sean φ : N (S1 ) → N (S2 ) una aplicación superinyectiva, κ(S2 ) ≤ κ(S1 )
y P una descomposición en pares de pantalones de S1 . α y β son adyacentes con respecto a
P si y sólo si sus imágenes son adyacentes con respecto a φ(P ).
Demostración
Para el caso en que α y β son adyacentes con respecto a P , como ya
se mencionó anteriormente, la prueba de 2.4 funciona. Para el otro caso se procederá por
contrapositiva.
Suponiendo que α y β no son adyacentes, se pueden tomar fácilmente
curvas γ y γ � tales que cumplan lo siguiente:
γ es disjunto de todo elemento en P \{[α]}.
γ es disjunto de γ � .
γ y α cumplen la propiedad mencionada en 2.9 para una subsuperficie homeomorfa a
S0,4 o S1,2 .
γ � es disjunto de todo elemento en P \{[β]}.
γ � y β cumplen la propiedad mencionada en 2.9 para una subsuperficie homeomorfa a
S0,4 o S1,2 .
Luego, si se supone que φ(α) y φ(β) fueran adyacentes, entonces por la proposición 2.9 se tendría alguno de los siguientes casos, i(φ(γ), φ(γ � )) �= 0, i(φ(α), φ(γ � )) �= 0 o i(φ(β), φ(γ)) �= 0.
Pero esto no es posible puesto que φ es simplicial. Por lo tanto φ(α) y φ(β) no pueden ser
18
adyacentes c.r. a φ(P ).�
A continuación, presentaremos una herramienta bastante útil para facilitar ciertas demostraciones.
Definición 2.11 Sea P una descomposición en pares de pantalones de S1 . Se define la
gráfica de adyacencia de P como aquella gráfica cuyos vértices sean los elementos de P , tal
que dos vértices forman un eje si estos son adyacentes con respecto a P .
En la siguiente figura se muestran ejemplos de dichas gráficas.
Figura 2.4: Ejemplos de descomposiciones en pares de pantalones y sus gráficas de adyacencia.
Podemos luego ver fácilmente que las proposiciones 2.4 y 2.10 nos dan pie inmediatamente
al siguiente lema.
Lema 2.12 Sea φ : N (S1 ) → N (S2 ) una aplicación superinyectiva, κ(S2 ) ≤ κ(S1 ) y P una
descomposición en pares de pantalones de S1 . Luego φ induce un isomorfismo φ : A(P ) →
A(φ(P )) donde φ([α]) = φ([α]).
Observación 5 Cabe mencionar que hasta este punto, todas las demostraciones dadas en
esta sección son válidas para superficies con género 1 y al menos dos componentes de frontera.
Ahora bien, el lema 2.12 nos permite dar pruebas para lemas análogos a 2.5 y 2.6.
Lema 2.13 Sea φ : N (S1 ) → N (S2 ) una aplicación superinyectiva y κ(S2 ) ≤ κ(S1 ). Si α,
β y γ son curvas tales que en la superficie de corte S1 α,β,γ son fronteras distinguidas de un
par de pantalones, entonces sus imágenes también son fronteras distinguidas de un par de
pantalones en S2 φ(α),φ(β),φ(γ)
Demostración
Como ya se mencionó anteriormente, por las condiciones de complejidad y por el hecho de que tanto S1 como S2 tienen género al menos 2, podemos ver que si
κ(S2 ) ∈ {3, 4, 5} entonces S1 ∼
= S2 , y luego se puede aplicar la proposición 2.5. Por lo tanto
supóngase que la complejidad de S2 es al menos 6.
Debido al principio de cambio de coordenadas podemos siempre encontrar una descomposición en pares de pantalones tal que, hasta homeomorfismo, es como la figura 2.5, en donde
19
α, β y γ son las curvas 1, 2 y 3 respectivamente. Se escogió en particular esta configuración
debido a que cumple con la característica de tener exactamente 4 vértices de grado 3, y en
aquellos casos en los que S1 es de frontera no vacía, cuenta con exactamente n − 1 vértices
de grado 2.
Figura 2.5: La subgráfica a preservar bajo φ en A(P ) y descomposiciones convenientes en
pares de pantalones.
Siendo δ la curva en S1 correspondiente a la curva 4 en la figura 2.5, veremos que la
subgráfica en A(P ) formada por las curvas α, β, γ y δ, se preserva bajo φ. Si S1 no cuenta
con componentes de frontera, entonces es trivial que la subgráfica se conserva por ser φ un
isomorfismo y α y β ser de grado 3. Si S1 cuenta con un componente de frontera, entonces
solo existe una posibilidad para que no se conserve la subgráfica, pero como φ es un isomorfismo, entonces debe preservar las intersecciones de las bolas cerradas en A(P ) y A(φ(P )),
i.e. φ(B1 (α) ∩ B1 (β)) = B1 (φ(α)) ∩ B1 (φ(β)), lo cual no es posible si φ(α) y φ(β) no preservan la subgráfica (el lado derecho de la ecuación tendría dos elementos, mientras que el lado
izquierdo tendría uno). Si S1 tiene más componentes de frontera, entonces como φ preserva
triángulos por ser isomorfismo se sigue que la subgráfica tiene que ser preservada.
Ya sólo resta asegurar que la subgráfica preservada pertenece únicamente al caso en el
que dos pares de pantalones tienen dos fronteras comunes (φ(α)) y dos diferentes (siendo
una de éstas φ(γ)). El poder demostrar esto no sólo probaría el lema sino también daría pie
a una equivalencia entre las subgráficas de A(P ) y la forma en la que estén acomodados los
pares de pantalones en P .
Como φ(α) y φ(β) tienen grado 3, las únicas posibilidades son la deseada, una en la que
φ(α) y φ(β) son un par periférico (la cual queda descartada por razones análogas a las arriba
mencionadas cuando S1 tenía una componente de frontera), y en la que φ(α) y φ(β) perte20
necen a pares periféricos junto con otras dos curvas. La última opción no es posible puesto
que φ −1 es también un isomorfismo, y entonces podríamos ver que el número de clases de
curvas en P no adyacentes ni a φ(α) ni a φ(β) sería 3g − 8 + n, mientras que originalmente
había 3g − 7 + n. Por lo tanto φ(α), φ(β) y φ(γ) son fronteras distinguidas de un par de
pantalones.�
Lema 2.14 Sea φ : N (S1 ) → N (S2 ) una aplicación superinyectiva y κ(S2 ) ≤ κ(S1 ). Si α y
β son pares periféricos, entonces α y β son también pares periféricos.
Demostración
Al igual que en el lema anterior, este resultado ya fue probado en la
proposición 2.6 para S2,1 y S2,2 . Supóngase que la complejidad es al menos 6.
Una vez más, gracias al principio de cambio de coordenadas se puede tomar una descomposición en pares de pantalones conveniente P , así como la mostrada en la figura 2.5,
tomando en esta ocasión a α y β como las curvas 3g − 3 y 3g − 2 respectivamente. Si S1
cuenta con al menos dos componentes de frontera, la ventaja que brinda la configuración
escogida en esta ocasión es que se cuenta con exactamente n − 1 vértices de grado dos, y
por estar tratando únicamente con curvas no separantes, todo vértice de grado 2 es parte de
un par periférico junto con cualquiera de los dos vértices adyacentes. Por la forma en la que
se ha escogido la configuración, β es de grado 2, por lo cual φ(β) también lo es. Así queda
entonces demostrado el lema para este caso.
Si S1 tiene sólo un componente de frontera entonces en A(P ) habrá únicamente 4 vértices
con grado menor que 4. Luego, como los otros dos vértices de grado 3, diferentes de α y β,
junto con otras dos curvas de grado 4 formarán las fronteras destadas de un par de pantalones, se tendrá que por el lema 2.13 dos de los vértices de grado 3 en A(φ(P )) se habrán
utilizado, por lo cual únicamente quedan disponibles los vértices tales que se preserva la
subgráfica original. Por las mismas razones que en la prueba anterior, se tiene que entonces
φ(α) y φ(β) son pares periféricos.�
Observación 6 Podemos notar rápidamente que entonces dado este lema, se puede asegurar
que el número de componentes de frontera de S2 es mayor o igual al número de componentes
de frontera de S1 .
Ahora, con estos dos resultados, es posible incluso verificar que si ambas superficies son de
género al menos dos y se cuenta con una condición en la complejidad, entonces la aplicación
superinyectiva nos asegura que ambas superficies son iguales.
Lema 2.15 Sean S1 , S2 superficies compactas, conexas y orientables de género al menos 2.
Si φ : N (S1 ) → N (S2 ) es una aplicación superinyectiva, entonces S1 ∼
= S2
Demostración
Ya se ha discutido que el resultado es obvio para S2,0 , S2,1 y S2,2 . Supóngase entonces que S2 es de complejidad al menos 6.
Sea P una descomposición en pares de pantalones conveniente, así como en la figura 2.5.
Si S1 no cuenta con componentes de frontera, entonces los 4 vértices de grado menor que
4 será utilizados para formar cuatro pares de pantalones los cuales serán preservados por φ,
gracias al lema 2.13, por lo cual no habrá más vértices de menor grado en A(φ(P )), lo cual
21
imposibilita el que existan más componentes de frontera, por lo cual n1 = n2 = 0, luego
como κ(S1 ) = κ(S2 ) es obvio que S1 ∼
= S2 .
Si S1 cuenta con una componente de frontera, entonces usando los lemas 2.13 y 2.14, el
resultado se obtiene de forma igual que el caso anterior.
Si S1 cuenta con al menos dos componentes de frontera, entonces como dos de los vértices se utilizarán junto con otras dos curvas para formar pares de pantalones por lema 2.13,
sólamente quedan n1 + 1 curvas de grado menor que 4, las cuales son usadas para n1 pares
periféricos, por lo cual en A(φ(P )) no restarán más vértices de menor graods. Por lo tanto
n2 = n1 . Luego es obvio que S1 ∼
= S2 .�
Si además se recuerda la observación 5, y se nota que para las superficies de género 1
y al menos dos componentes de frontera, todas sus descomposiciones en pares de pantalones estarán formadas únicamente por curvas con grado 2 en A(P ) (cualesquiera dos curvas
adyacentes formarán un par periférico), entonces se puede tener el siguiente teorema.
Teorema 2.16 Sean S1 y S2 superficies compactas, orientables y conexas, con géneros g1 , g2
al menos 1 y n1 , n2 componentes de frontera, tales que 2 ≤ κ(S2 ) ≤ κ(S1 ) y κ(S1 ), κ(S2 ) �= 3.
Si φ : N (S1 ) → N (S2 ) es una aplicación superinyectiva, entonces S1 ∼
= S2 .
Demostración
Si el género de S1 es 1, entonces dada cualquier descomposición en pares
de pantalones su gráfica de adyacencia estará conformada por únicamente vértices de grado
2, como φ es un isomorfismo esto sucederá también en S2 con A(φ(P )), pero es fácil ver que
esto sucede (para complejidades diferentes de 3) únicamente para superficies de género 1,
por lo cual S2 tiene también género 1. Luego el resultado es obvio.
Si S1 tiene género al menos dos, por las mismas razones que en el caso anterior, S2 no
puede tener género 1, por lo cual ambas superficies son de género al menos 2. Luego el resultado es obvio por el lema 2.15.�
2.4.
Consecuencias de S1 ∼
= S2
Entre las consecuencias del lema 2.15 y el teorema 2.16, se encuentran los siguientes
corolarios.
Corolario 2.17 Sean S1 , S2 superficies compactas, conexas y orientables de género al menos
2 tales que κ(S2 ) ≤ κ(S1 ), φ : N (S1 ) → N (S2 ) una aplicación superinyectiva y P una
descomposición en pares de pantalones. Luego φ preserva la equivalencia topológica de P ,
i.e. existe un homeomorfismo f que depende de P tal que φ(P ) coincide con el conjunto de
clases de isotopía de las imágenes de P bajo f
Demostración
Esto es un resultado directo del lema 2.15 y las proposiciones 2.5 y 2.6.�
Corolario 2.18 Sean S1 , S2 superficies compactas, conexas y orientables de género al menos
2 tales que κ(S2 ) ≤ κ(S1 ). Si φ : N (S1 ) → N (S2 ) es una aplicación superinyectiva, entonces
φ preserva pares fronterizos.
22
Demostración
Esto es una consecuencia del lema 2.15 y el corolario anterior.�
Corolario 2.19 Sean S1 , S2 superficies compactas, conexas y orientables de género al menos
2 tales que κ(S2 ) ≤ κ(S1 ). Si φ : N (S1 ) → N (S2 ) es una aplicación superinyectiva y α y β
son curvas no separantes tales que i(α, β) = 1, entonces i(φ(α), φ(β)) = 1.
Demostración
Esto es una consecuencia del lema 2.15 y la proposición 2.8.�
Para finalizar la sección y el capítulo, se tiene el siguiente resultado, el cual se obtiene
a partir del hecho de que en 1998 Paul Schmutz en [19] demuestra un teorema el cual nos
dice que todo automorfismo del complejo de curvas no separantes (donde la superficie no es
de género 0 y 4 componentes de frontera, género 1 y 1 componente de frontera ni género 1
y 2 componentes de frontera) está inducido por un homeomorfismo. La importancia de la
siguiente extensión radica en que es un resultado de rigidez para los complejos de curvas no
separantes, pues nos permite aseverar que si dados casi cualesquiera dos complejos de curvas
no separantes de superficies de género positivo son iguales, entonces dichas superficies son la
misma.
Teorema 2.20 Sean S1 y S2 superficies compactas, orientables y conexas, con géneros
g1 , g2 al menos 1 y n1 , n2 componentes de frontera y de complejidad positiva, tales que
κ(S1 ), κ(S2 ) > 3. Si φ : N (S1 ) → N (S2 ) es un isomorfismo, entonces φ está inducido
por un homeomorfismo.
Demostración
Todo isomorfismo es una aplicación superinyectiva, por lo cual si κ(S2 ) ≤
κ(S1 ) entonces por el teorema 2.16 y el resultado por Schmutz en [19] el resultado es obvio.
Si κ(S1 ) ≤ κ(S2 ), entonces se puede aplicar el teorema 2.16 para φ−1 y luego el resultado de
Schmutz para φ.�
23
24
Capítulo 3
φ : N (S) → N (S) es Inducida
En este capítulo revisaremos rápidamente el trabajo de Irmak que servirá para obtener
que φ sería inducida por un homeomorfismo si la superficie tiene a los más g −1 componentes
de frontera. Debido a las prioridades dadas a los objetivos de este trabajo, una vez más se
presentarán únicamente resúmenes de las demostraciones.
3.1.
Extensiones
A continuación presentamos la forma en la cual Irmak logró extender las aplicaciones
superinyectivas del complejo de curvas no separantes al subcomplejo de C(S) formado por
las clases de isotopía de las curvas no separantes más las clases de isotopía de las curvas que
separan a la superficie en un par de subsuperficies de género positivo, el cual denotaremos
por NC (S). Es fácil ver que para las superficies con n ≤ 1, NC (S) = C(S).
Para realizar esto Irmak hace uso de cadenas y cadenas extendidas para poder caracterizar
a aquellas clases de isotopía de curvas separantes en NC (S). Esto lo realiza utilizando las
vecindades regulares de cadenas, las cuales son subsuperficies maximales, tales que la cadena
llena a la subsuperficie. Para otros casos, Irmak hace uso de cadenas extendidas, las cuales
son conjuntos de curvas {α1 , . . . , αk , β1 , . . . , βl }, tales que i(αi , αj ) = 0 si y sólo si |i − j| =
�
1,{β1 , . . . , βj } es una multicurva, y i(αi , βj ) = 0 para toda j si i �= k y i(αk , βj ) = 1.
Lema 3.1 Sea φ : N (S) → N (S) una aplicación superinyectiva. Luego, es posible extender
φ, preservando superinyectividad, de N (S) a NC (S).
Resumen de la demostración
Para realizar esta demostración, Irmak se basa en las
vecindades regulares de las cadenas en S. Se define φ∗ : NC (S) → NC (S) de la siguiente
forma, si α es una clase de isotopía de una curva no separante, entonces φ∗ (α) = φ(α); si
α es una clase de isotopía de una curva separante, entonces como α es una frontera de una
vecindad regular cadena (usual o extendida) y por la proposición 2.8 φ preserva ambos tipos
de cadenas, define φ∗ (α) como la frontera de la vecindad regular de la imagne de la cadena.
Ver figura 3.1 para un ejemplo de las vecindades y cadenas que se usan. Posteriormente
procede a demostrar que esta función está bien definida, donde es necesario el que las curvas
25
separantes dividan a la superficie en subsuperficies de género positivo, pues en caso contrario
no es posible asegurar que φ∗ esté bien definida. Luego, utilizando la forma en la que la
extensión fue construida, es fácil notar que φ∗ es simplicial y superinyectiva.�
Figura 3.1: Ejemplo de curva separante y sus respectivas cadenas.
Posteriormente prueba la siguiente proposición.
Proposición 3.2 Sea S una superficie de género al menos 3 y 2 componentes de frontera.
Si la restricción de φ a la componente conexa de género postivo formada al cortar por algún
par periférico, está inducida por un homeomorfismo, para todo par periférico, entonces φ está
inducida por un homeomorfismo.
Resumen de la demostración
En esta ocasión hace uso de curvas auxiliares para
completar cadenas entre pares periféricos, y luego utiliza la proposición 2.8 para que dichas construcciones se preserven. Luego, haciendo uso de las hipótesis de la proposición va
extendiendo un homeomorfismo, verficando que coincida con las construcciones que se van
realizando, hasta que tras finalizar, ha logrado extender el homeomorfismo a un homeomorfismo de la superficie.�
3.2.
Inducción de φ
A continuación, se tratará de forma breve la caracterización de Irmak de las aplicaciones
superinyectivas para ciertas superficies. Cabe mencionar que este teorema se puede extender
a una aplicación superinyectiva de N (S1 ) a N (S2 ) con κ(S2 ) ≤ κ(S1 ) usando el lema 2.15.
Teorema 3.3 Sea S una superficie compacta, conexa y orientable, con género g al menos 2
y a lo más g − 1 componentes de frontera. Una función simplicial φ : N (S) → N (S) es una
aplicación superinyectiva si y sólo si está inducida por un homeomorfismo.
Resumen de la demostración
Si φ está inducida por un homeomorfismo, entonces es
obvio que es una aplicación superinyectiva, pues los homeomorfismo preservan el número de
intersección.
Si la superficie tiene 0 ó 1 componente de frontera, entonces por el lema 3.1 se puede
extender a φ a una aplicación superinyectiva del complejo de curvas, y gracias a Irmak en
[7, 8, 9] y a Behrstock y Margalit en [3], se sabe que toda función superinyectiva del complejo
26
de curvas está inducida por un homeomorfismo. Luego φ está inducida por un homeomorfismo.
Si la superficie cuenta con dos componentes de frontera, entonces se toma un par periférico, con el cual gracias a la proposición 2.6 y a que φ es una aplicación superinyectiva, se tiene
que toda clase de isotopía con un representante en la componente conexa de género positivo
resultante de cortar a través del par periférico (a la cual denotaremos por S � ), su imagen
bajo φ tendrá un represente dentro de la componente conexa resultante de cortar a través de
las imágenes del par periférico (la cual denotaremos por S �� . Posteriormente, como toda clase
de isotopía de una curva separante en S � es un vértice de NC (S), entonces usando el lema
3.1 y los resultados de Irmak y Behrstock-Margalit, se tiene un homeomorfismo que induce
a φ en S � . Como el procedimiento anterior se puede realizar para cualquier par periférico,
entonces por la proposición 3.2 se puede extender el homeomorfismo a toda la superficie.
Figura 3.2: Ejemplo de las curvas auxiliares para n ≥ 3.
Para los casos restantes, se utilizan curvas auxiliares como se muestra en la figura 3.2, luego se procede de manera análoga al caso anterior, usando la proposición 3.2 un par periférico
a la vez.�
3.3.
Extensión de la cota superior
A continuación se dará la demostración del siguiente teorema para así poder extender el
resultado anterior.
Teorema 3.4 Sean S1 y S2 superficies orientables, compactas y conexas de géneros g1 , g2 ≥
2 y n1 , n2 ≥ 0 componentes de frontera, tales que:
κ(S1 ) ≥ κ(S2 ).
Si 5 ≥ gi entonces gi − 1 ≥ ni , para i = 1, 2.
Si gi ≥ 6 entonces 2gi −6 + 4 ≥ ni , para i = 1, 2.
Luego, una función simplicial φ : N (S1 ) → N (S2 ) es una aplicación superinyectiva si y sólo
si φ está inducida por un homeomorfismo de S1 a S2 .
27
Cabe mencionar que si uno supone que φ está inducida por un homeomorfismo de S1 a
S2 , entonces como los homeomorfismos preservan los números de intersección, es trivial ver
que φ tiene que ser una aplicación superinyectiva, por lo cual el resto del capítulo estará
enfocado a demostrar que siendo φ una aplicación superinyectiva, estará inducida por un
homeomorfismo. Además, por las condiciones impuestas sobre las superficies, si φ es una
aplicación superinyectiva se sabe que S1 ∼
= S2 por el lema 2.15, así que en las siguientes
demostraciones se supondrá directamente que S = S1 = S2 .
Ahora, para llegar al resultado deseado, primero se mostrará el procedimiento para poder
extender el resultado a superficies con la misma cantidad de componentes de frontera que
de género, luego se explicará lo necesario para poder expandir dicho argumento a superficies
cuya cota superior en la cantidad de componentes de frontera sea exponencial con respecto
al género.
3.3.1.
Caso: g componentes de frontera
Para este caso probaremos el siguiente lema.
Lema 3.5 Sea S una superficie orientable, compacta y conexa de género g al menos ocho y
g componentes de frontera. Si φ : N (S) → N (S) es una aplicación superinyectiva, entonces
φ está inducida por un homeomorfismo de S.
Demostración
Sea A = {[α1 ], [α2 ]} donde α1 y α2 son curvas tales que i([α1 ], [α2 ]) = 0 y
la superficie de corte Sα1 ,α2 cuenta con dos componentes conexas, una de género g − 1 y g − 2
componentes de frontera (la cual denotaremos por SA1 ) y otra de género 0 y 6 componentes
de frontera (la cual denotaremos por SA2 ) donde 4 de sus componentes de frontera serán
también componentes de frontera de S. Para un ejemplo, vea la figura 3.3.
Figura 3.3: Ejemplos de las curvas auxiliares, en rojo A, magenta B, verde C, azul D.
Gracias a que φ es simplicial y superinyectiva se tiene que φ(V (N (SA1 ))) ⊂ V (N (SA1 )),
así que se puede hablar de la restricción de φ a SA1 , la cual denotaremos por φ|SA1 : N (S) →
N (S), como una aplicación superinyectiva. Luego como SA1 satisface las condiciones del teorema 3.3, se tiene que existe un homeomorfismo hA : SA1 → SA1 tal que coincide con φ|SA1 .
28
Lo que se intentará a continuación será extender hA a un homeomorfismo de S de manera tal
que coincida ahora con φ, pero esto no se puede hacer de forma sencilla, ya que hasta ahora
no se conoce cual es el comportamiento de φ con las curvas que intersecan a A o aquellas en
SA2 .
Sea ahora B = {[β1 ], [β2 ]} tales que cumplen las mismas condiciones que A y además
SA2 ∩ SB2 = ∅ y B ⊂ V (N (SA1 )). Luego de forma análoga a A, existe un homeomorfismo
hB : SB1 → SB1 tal que coincide con φ|SB1 . Vea la figura 3.3 para un ejemplo.
Dado que SA2 ⊂ SB1 , ya se conoce entonces el comportamiento de las curvas que hacían
falta, es decir, se puede extender hA a toda la superficie usando hB |SA2 para que el homeomorfismo hAB : S → S tal que hAB |SA1 = hA y hAB |SA2 = hB |SA2 , coincida (por construcción)
con φ es toda la superficie.
Sólo resta entonces ver que la acción de hAB en las curvas no separantes de S en realidad
no depende de la elección de A y B. Para esto, primeramente se nota que hAB por construcción es igual a hBA , por lo cual sólo basta con probar que para C = {γ1 , γ2 } elegido
de la misma forma en la que se eligió B, se tiene que la acción de hAB sobre las curvas no
separantes de S es igual a la acción de hAC . Vea la figura 3.3 para un ejemplo de C.
Sea D un conjunto de clases de isotopía de curvas no separantes en S tal que cumplen lo
siguiente:
Existe un [δ] ∈ D tal que i([αi ], [δ]) �= 0.
Para todo [δ] ∈ D se cumple i([βi ], [δ]) = i([γi ], [δ]) = 0.
Al cortar la superficie SA2 a través de los elementos (o arcos) de D, la superficie
resultante es la unión disjunta de anillos y discos.
Vea la figura 3.3 para un ejemplo. Luego como [δ] ∈ V (N (SB1 )) ∩ V (N (SC1 )) para toda
δ ∈ D, se tiene que la acción de hB y hC en [δ] tienen que coincidir; de igual forma con los
elementos de A y por lo tanto, como toda curva no separante de S que contenga al menos
un arco en SA2 interseca algún elemento de A ∪ D, sus acciones en SA2 también coinciden.
Luego, como SB2 ∪ SC2 ⊂ SA1 se sigue que no hay ningún lugar en el que las acciones de
hAB y hAC puedan no coincidir, por la acción hAB no depende realmente de las curvas con
las cuales fue construido.
Como un homeomorfismo inducide una aplicación superinyectiva basado en su acción
sobre las curvas, queda entonces demostrado que φ está inducido por un homeomorfismo.�
3.3.2.
Demostración del teorema 3.4
Una vez que ya se ha visto que es posible obtener un homeomorfismo que coincida con
la aplicación superinyectiva para superficies con mismo número de componentes de frontera
que género, extenderemos este argumento para poder cambiar la cota superior sobre los
componentes de frontera de lineal a exponencial.
Usando el mismo argumento que en la demostración anterior, ya sea usando el teorema
3.3 o el lema 3.5 para obtener los homeomorfismos hA y hB , es posible ver que el resultado
29
es cierto para las superficies: S8,8 , S9,9 , S9,10 , S10,10 , S10,11 , S10,12 , S11,11 , etc. Pero, si en vez
de utilizar curvas A = {[α1 ], [α2 ]} tales que corten la superficie en una subsuperficie de
género g − 1 y n − 2 componentes de frontera (SA1 ), y una subsuperficie de género 0 y 6
componentes de frontera (SA2 ), permitimos que ésta última cuente con más componentes de
frontera compartidos con S, es posible extender el resultado, siempre y cuando se cumplan
las siguientes condiciones:
� �
El número de componentes de frontera compartidos con S no supere n2 .
Se pueda tener SA2 ∩ SB2 = ∅.
Se pueda obtener hA y hB .
Por ejemplo, usando para SA2 cinco componentes de frontera compartidos con S, es posible
obtener S9,11 a partir del lema 3.5 aplicándolo a S8,8 para obtener hA y hB . Permitiéndo seis
componentes de frontera compartidos con S se obtiene de forma similar S9,12 , pero no es
posible obtneer así S9,13 (con seis componentes de frontera compartidos no podemos obtener
un homeomorfismo a partir de S8,9 y con siete componentes de frontera compartidos no
se cumple que SA2 ∩ SB2 = ∅). De forma similar se ve que se pueden obtener también el
resultado para las superficies S10,13 , S10,14 , . . . , S10,20 , pero no para S10,21 . De aquí podemos
obtener la idea de la cota superior 2g−6 + 4, la cual puede verificarse rápidamente a través
de inducción matemática usando como base los casos mencionados.
Supóngase que el resultado es verdad para género g0 , luego para ver que es verdad para
g0 + 1 se nota que para cuando n = 2(g0 +1)−6 + 4, se pueden compartir en SA2 hasta 2g0 −6 + 2
componentes de frontera, con lo cual SA1 contaría con género g0 y 2g0 −6 +2+2 componentes de
frontera, y por hipótesis de inducción es posible obtener hA y de forma análoga hB ; también
por el número de componentes de frontera que se deja disponible se tiene que SA2 ∩ SB2 = ∅.
Por otro lado, si se intenta este argumento para n = 2(g0 +1)−6 + 5, si se intenta agregar un
componente de frontera compartido más a SA2 , entonces este no sería disjunto de SB2 , y
si se intenta con la misma cantidad de componentes de frontera compartidos, no es posible
obtener el homeomorfismo hA para SA1 pues el resultado aún no se cuenta para superficies
con género g0 y 2g0 −6 + 5 componentes de frontera (por hipótesis de inducción). Para las
superficies de género g0 + 1 pero con menos componentes de frontera que el caso anterior
simplemente se resuelven tomando cada vez menos componentes de frontera compartidas,
hasta llegar al caso en el que el género es igual al número de componentes de frontera.
Por lo tanto, se ha probado el teorema 3.4.
30
Conclusiones
Como ya se mencionó anteriormente, el lema 2.15 y el teorema 2.16 logran tener repercusiones en diversos resultados de rigidez con respecto a los complejos de curvas no separantes.
Un claro ejemplo es la extensión del resultado de Schmutz en [19], expuesto en el capítulo
2 como el teorema 2.20. Así como éste, existen diferentes resultados que podrían llegar a
ser extendidos, o bien, sus demostraciones podrían llegar a simplificarse usando las técnicas
aquí expuestas, siendo estas opciones posibles caminos para una continuación del trabajo
aquí expuesto.
Con el teorema 3.4 se logró notar que para las superficies que satisfagan las condiciones establecidas se han identificado todas las posibles aplicaciones superinyectivas, siendo
éstas únicamente las esperadas, es decir, las que son inducidas por homeomorfismos. De esta
forma, se logró expandir el teorema 1.1 de Irmak en [7], de dos formas: primeramente se
expandió a aplicaciones superinyectivas entre complejos de curvas no separantes en pricipio
diferentes, imponiendo únicamente una condición en la complejidad de las superficies; luego
también se logró modificar la cota superior en la condición de las componentes de frontera,
de un crecimiento lineal con respecto al género de la superficie a un crecimiento exponencial.
Este cambio tan repentino, insinúa fuertemente la NO necesidad de la cota superior, siendo
entonces la busqueda de la demostración de esta insinuación un camino posible para la continuación de este trabajo. Más aún, dados los resultados de Shackleton en [20], otro posible
camino para un posterior trabajo es debilitar las condiciones sobre la función simplicial, pidiendo sólamente inyectividad (global o local).
Para cerrar este trabajo, sólo resta mencionar que todos los resultados expuestos buscan
también realizar aportaciones en el estudio de los grupos modulares de Teichmüller puesto
que, al fin de cuentas, los complejos de curvas aquí mencionados son modelos combinatorios
para dicho grupo.
31
32
Apéndice A
Geometría Hiperbólica
Las estructuras de estudios en este trabajo cuentan con lo que se llama estructura hiperbólica (véase el siguiente apéndice), pero para poder entender lo que esto significa se verán
de manera superficial las herramientas necesarias de la geometría hiperbólica.
A.1.
Transformaciones de Möbius
Denotando por C = C∪{∞} a la esfera de Riemann, es fácil ver que, usando la proyección
estereográfica, C es homeommorfo a S 2 . Ya una vez teniendo este concepto, se puede definir
una transformación de Möbius.
Definición A.1 Una transformación de Möbius, es una función T : C → C de la forma:
T (z) =
az + b
cz + d
donde ad − bc �= 0
Para fines de continuidad de las transformaciones, se definen T (∞) = ac y T (− dc ) = ∞, y ya
teniendo dicha función definida, es posible ver que entonces la transformación de Möbius de
dw−b
la forma T −1 (w) = −cw+a
es la función inversa de T .
Si se denota al conjunto de las transformaciones de Möbius por M o¨b(C), y se le dota con
la composición como operación, este conjunto se vuelve un grupo.
Dadas las condiciones para las transformaciones de Möbius, es natural hacer una relación
� entre
� estas y elementos de grupo general lineal GL(2, C), asociando a la matriz A =
a b
la transformación de la forma T (z) = az+b
, con lo cual podemos ver que para todo
cz+d
c d
múltiplo escalar de A también se le asociará T , por lo cual se puede incluso restringir un poco,
tomando en vez de GL(2, C) el grupo especial lineal SL(2, C). Con esto último, la relación
arriba mencionada es un homomorfismo de grupos, con kernel {I, −I}, lo cual hace obvio,
usando el primer teorema de homomorfismos, que P SL(2, C) := SL(2, C)/{±I} ∼
= M o¨b(C).
Por otro lado, las transformaciones de Möbius presentan tres características muy importantes a lo largo de este apéndice:
33
Son transformaciones conformes, es decir, preservan ángulos medidos de la forma usual.
Preservan al conjunto de líneas y círculos, es decir, la imagen de una recta o un círculo
bajo una transformación de Möbius es una recta o un círculo.
2
3
M o¨b(C) actua transitivamente en C, C y C , es decir, dados dos puntos (o pares
ordenados, o tripletas ordenadas) diferentes, existe una transformación de Möbius que
manda el uno al otro. Más aún, en el caso de tripletas ordenadas dicha transformación
es única.
Para las demostraciones de estas características, se recomienda la lectura de [18].
A.1.1.
Traza
Ahora que ya se cuenta con una identificación (hasta signo) entre las matrices con determinante 1 y las transformaciones de Möbius, es posible definir la “traza cuadrada” de una
transformación, basados en la traza de la matriz que la representa.
Definición A.2 Sea T ∈ M o¨b(C), con un representante en P SL(2, C), T =
define la traza cuadrada de T , tr2 : P SL(2, C) → C, como
�
a b
c d
�
. Se
tr2 (T ) = (a + d)2
Se puede ver fácilmente que esta función está bien definida. Más aún, la función traza cuadrada es continua usando la topología natural de P SL(2, C).
Como abuso de notación, y recordando que P SL(2, C) ∼
= M o¨b(C), podemos pensar en
la traza cuadrada de una elemento de M o¨b(C) viendo la traza cuadrada correspondiente en
P SL(2, C).
Usando cálculos sencillos, se tienen las siguientes observaciones:
Observación 7 La traza cuadrada es invariante bajo la inversión de la transformación y
bajo la conmutación del producto de dos transformaciones. Es decir, para cualesquiera T, S ∈
M o¨b(C), se tiene tr2 (T ) = tr2 (T −1 ) y tr2 (ST ) = tr2 (T S).
Observación 8 La traza cuadrada es invariante bajo conjugación de las transformaciones.
Es decir, para cualesquiera T, S ∈ M o¨b(C), se tiene tr2 (T ) = tr2 (ST S −1 )
La traza cuadrada nos permite dar una clasificación de las transformaciones de Möbius,
basándonos también en sus puntos fijos.
34
A.1.2.
Clasificación
�
�
a b
Siendo T ∈ M o¨b(C)\{id}, con A =
, como un representante en P SL(2, C), es
c d
posible, a través de un cálculo sencillo, ver que tiene los siguientes puntos fijos
�
a − d ± tr2 (T ) − 4
z=
.
2c
Ahora bien, a partir de esto es posible crear una clasificación basada en los puntos fijos
de la transformación:
Transformaciones Parabólicas: Son aquellas cuya traza cuadrada es igual a 4, lo cual
implica que únicamente deja un punto fijo. Como es fácil ver que dado un punto, existe
una transformación que lo mande al infinito, es posible suponer que el punto fijo de la
transformación es infinito hasta conjugación (y por las observaciones anteriores la traza
cuadrada no se ve afectada por la conjugación). Luego, realizando cálculos sencillos,
se obtiene que la transformación es igual de la forma T (z) = z + c para c ∈ C\{0},
hasta conjugación; esto quiere decir que, hasta conjugación, la transformación es una
traslación euclideana.
Transformaciones Loxodrómicas: En general son todas aquellas para las cuales su traza cuadrada es diferente de 4. Al igual que en el caso anterior, se tiene que, hasta
conjugación, los dos puntos fijos de la transformación son 0 e infinito. Realizando las
cuentas pertitentes, se puede ver que la transformación será de la forma T (z) = λz
para λ ∈ C\{0}, donde a λ se le llama el multiplicador de la transformación. Esto
último induce de forma natural una subclasificación de este tipo de transformaciones:
• Si |λ| = 1 se le llama elíptica y es posible demostrar que esto sucede si y sólo si tr2 (T ) ∈ [0, 4). Es fácil ver que, en este caso, la transformación es, hasta
conjugación, una rotación.
• Si |λ| =
� 1 y λ ∈ R, se le llama hiperbólica y es posible demostrar que esto sucede
si y sólo si tr2 (T ) ∈ (4, ∞). Se puede ver que, hasta conjugación, la transformación
es una expansión (si |λ| > 1) o una contracción (si |λ| < 1).
• Por último, si |λ| �= 1 y λ ∈
/ R, a la transformación simplemente se le llama
loxodrómica, y es posible demostrar que esto sucede si y sólo si las raíces cuadradas
de tr2 (T ) no son reales. Estas transformaciones son, hasta conjugación, tanto
rotaciones como expansiones/contracciones.
A.2.
Modelos de la geometría hiperbólica
Para poder tener un mayor entendimiento de la geometría hiperbólica se han desarrollado
varios modelos basados en subconjuntos del plano hiperbólico, de los cuales, trataremos
únicamente los siguientes:
35
Semiplano superior: Este modelo, como su nombre lo indica, está basado en el subconjunto H := {x + iy ∈ C|0 < y}. Se le asocia a este modelo la métrica Riemanniana1
siguiente:
dx2 + dy 2
ds2H :=
.
y2
Para este modelo, el conjunto R := R ∪ {∞} es llamado la frontera al infinito de H.
Disco de Poincaré: Este modelo está basado en el subconjunto D := {x + iy ∈ C|x2 +
y 2 < 1}. Al igual que en el caso anterior, a este modelo también se le asocia una métrica
Riemanniana, la cual es:
4(dx2 + dy 2 )
2
:=
dsD
.
(1 − (x2 + y 2 ))2
Para este modelo, la circunferencia unitaria, S 1 , es llamada la frontera al infinito de
D.
A partir de que tanto H como D cuentan con métricas Riemannianas, es posible conventir
de forma natural estos conjuntos en espacios métricos. Para lograr esto se usa la métrica
llamada “shortest path metric” o “métrica del camino más corto”, la cual se puede definir de
forma general de la siguiente forma.
Definición A.3 Sea C un conjunto con una métrica Riemanniana ds2 . La función métrica
del camino más corto se define de la siguiente forma:
d:C×C →R
donde l(γ) =
�
d(p, q) := ´ınf{l(γ)|γ : [a, b] → C, γ(a) = p, γ(b) = q}
γ
ds la longitud de arco en C de γ.
Para ver la demostración de que, efectivamente la métrica del camino más corto es una
métrica, se recomienda la lectura de [4].
Ahora bien, el objetivo principal de tener varios modelos para la geometría hiperbólica
es el que estos nos ofrezcan ventajas diferentes y que “cubran” las desventajas del otro, y sin
embargo, sean equivalentes de alguna forma. En este caso, la mayoría de los cálculos son más
sencillos en H, mientras que D ofrece una perspectiva geométrica más amigable a la vista.
La forma en la que estos modelos son equivalentes yace en una transformación de Möbius
particular llamada “transformación de Cayley”, la cual es de la forma C(z) = z−i
, y es fácil
z+i
ver, a través de simples cálculos, que cumple lo siguiente:
C(H) = D.
1
C es una isometría entre H y D.
Aunque no se definirá ni se profundizará en este término, se puede pensar simplemente que si ds2 es una
métrica
� Riemanniana asociada al conjunto C, entonces en C la longitud de arco de una curva γ estará dada
por γ ds.
36
El tener H (y análogamente D) como espacios métricos, da pie a considerar entonces la
posibilidad de la existencia de curvas que realicen la función de las rectas en el plano, es
decir, curvas cuya longitud de arco sea igual a la distancia entre los puntos extremos. Para
esto, se tiene la siguiente definición y la su consecuente proposición.
Definición A.4 Sea γ una curva diferenciable a pedazos en H
q. Luego, γ es una geodésica en H (o en D), si l(γ) = d(p, q).
2
(o en D) con extremos p y
Realizando unos cálculos simples, es posible demostrar la siguiente proposición.
Proposición A.5 Los segmentos de rectas euclideanas son geodésicas en H, mientras que
las líneas radiales son geodésicas en D.
A.2.1.
Isometrías y Geodésicas
Sean M o¨b+ (H) y M o¨b+ (D) los subconjuntos de M o¨b(C) tales que preserven (incluyendo
orientación) a H y D respectivamente. Es fácil ver que estos dos subconjuntos son en realidad
subgrupos de M o¨b(C).
A través de una serie de cálculos , se puede ver que para todo elemento de M o¨b+ (H)
su representación matricial es un elemento de P SL(2, R), lo que significa que M o¨b+ (H) ∼
=
+
∼
P SL(2, R). De igual manera, realizando una serie de cálculos, M o¨b (D) = P SU (2).
Luego, siendo T ∈ M o¨b(H), de la forma T (z) = az+b
con ad − bc = 1 y a, b, c, d ∈ R,
cz+d
2
se puede ver que �z = |cz + d| �T (z) y dz = (cz + d)d(T (z)). Con esto, aplicando el
teorema de cambio de variable, es posible ver que l(γ) = l(T (γ)). Esto último implica que,
siendo Isom+ (H) el grupo de isometrías de H, M o¨b+ (H) ⊂ Isom+ (H). Más aún, es posible
demostrar que esta es una igualdad (véase [18]), lo cual implica que M o¨b+ (D) = Isom+ (D),
con Isom+ (D) es el grupo de isometrías de D.
Con este último resultado, la proposición de la subsección pasada y el hecho de que las
transformaciones de Möbius preservan el conjunto de líneas y círculos euclideanos, es fácil
ver el siguiente resultado.
Proposición A.6 Las geodésicas en H son líneas euclideanas perpendiculares a R o semicírculos con los extremos en R. Por otro lado, las geodésicas en D son diámetros de S 1 o
arcos de circunferencias euclideanas perpendiculares a S 1
Otra consecuencia de que M o¨b+ (H) = Isom+ (H) es que así podremos analizar de forma
más sencilla los puntos fijos de las isometrías.
A.2.2.
Puntos fijos en H
Sea T ∈ M o¨b+ (H), luego se tendrá alguna de las siguientes opciones.
2
R .
2
La palabra diferenciable en este caso, hace referencia a que γ sea una curva diferenciable a pedazos en
37
T es parabólica: Usando la fórmula para obtener los puntos fijos de una transformación
de Möbius, es fácil ver que dicho punto fijo se encuentra en R. Esto a su vez implica
que, hasta conjugación, es igual a T (z) = z + r con r ∈ R\{0}.
T es elíptica: Gracias a la fórmula arriba mencionada, podemos ver que dado que T
tendrá sólo un punto fijo en H (el otro sería su conjugado, el cual no se encuentra en
H). Se puede demostrar que T , hasta conjugación, será de la forma T (z) = −cos(t)z+sin(t)
sin(t)z+cos(t)
donde t ∈ R.
T es hiperbólica: Una vez más, gracias a la fórmula antes mencionada, se tiene que T
tiene dos puntos fijos en R. Luego, hasta conjugación, es de la forma T (z) = λz con
λ ∈ R\{0}. Además, T dejará invariante la geodésica entre sus puntos fijos, siendo uno
de ellos un punto atractor y el otro un punto repulsor.
Teniendo esto en mente es más sencillo verificar si algún subgrupo de Isom+ (H) actúa
libremente o no, lo cual es de gran ayuda en la siguiente sección.
A.3.
Dominios fundamentales y grupos Fuschianos
A continuación se recordarán ciertos conceptos de acciones de grupos, y sus consecuencias
sobre espacios métricos.
Definición A.7 Sea Γ un grupo actuando por homeomorfismos sobre un espacio métrico
X. Se dice que Γ actúa de forma propiamente discontinua si para todo compacto K ⊂ X, la
cardinalidad del conjunto {γ ∈ Γ|K ∪ γ(K) �= ∅} es finita.
Entre las consecuencias de la definición se encuentra el hecho de que si Γ actua de forma libre
y propiamente discontinua, entonces el espacio cociente X/Γ es un espacio Hausdorff (pues
el cociente hereda una métrica inducida por la métrica en X), con la proyección natural
haciendo las veces de función recubridora.
Luego, a todo grupo que actúe de forma propiamente discontinua se le asocia un conjunto
llamado dominio fundamental (o región fundamental), cuya definición es la siguiente.
Definición A.8 Siendo Γ un grupo actuando de forma propiamente discontinua por homeomorfismos en un espacio métrico X, se define un dominio fundamental para dicha acción
como un conjunto cerrado F tal que cumpla las siguientes características:
Tiene interior no vacío.
Para todo elemento h ∈ Γ diferente de la identidad, la intersección del interior de F
con su imagen bajo h es vacía.
�
h(F ) = X
h∈Γ
38
Ahora bien, es un resultado conocido de la teoría geométrica de grupos el que Γ sea un
subgrupo discreto de P SL(2, R) (es decir, sea un grupo Fuchsiano si y sólo si Γ actúa de
forma discontinua en H. También hay que recordar que Γ actuaría entonces en H no sólo
por homeomorfismos, sino por isometrías, con lo cual es posible asociarle un tipo especial de
dominio fundamental llamado dominio de Dirichlet.
Definición A.9 Siendo Γ un grupo actuando de forma propiamente discontinua por isometrías en X, y x0 ∈ X siendo un punto NO fijo para todos los elementos de Γ, se define un
dominio de Dirichlet alrededor de x0 como
DΓ (x0 ) := {x ∈ X|d(x, x0 ) ≤ d(x, h(x0 )), ∀h ∈ Γ\{id}}
Entre las consecuencias de esta definición se encuentran las siguientes:
Observación 9 Todo dominio de Dirichlet para X = H es un dominio fundamental conexo.
Observación 10 El dominio de Dirichlet para X = H es la intersección de semiplanos
(y por ende convexo), y es localmente finito, es decir, para todo compacto K ⊂ H, existen
únicamnte una cantidad finita de imágenes de DΓ (x0 ) bajo elementos de Γ tales que su
intersección con K sea no vacía.
Observación 11 Si DΓ (x0 ) es compacto, se sigue que este sea un polígono (incluyendo el
interior) con una cantidad finita de lados.
Luego, si se piensa que Γ es un grupo fuchsiano actuando libremente en H, con D un dominio
de Dirichlet compacto, entonces se siguen los siguientes resultados:
X/Γ es una superficie suave.
Γ no tiene elementos del tipo parabólicos.
Los elementos de Γ identifican a los lados de D en parejas formando así un ciclo, en el
cual, la suma de los ángulos internos identificados es 2π
De esta forma, apartir de un grupo fuchsiano acutando en el plano hiperbólico es posible crear
superficies geométricamente congruentes, es decir, todas las circunferencias en la superficie
tendrán a partir de su centro un “ángulo total” de 2π, lo cual no sucede siempre en el plano
euclideano (la identificación de los lados de un octágono para formar un doble toro es un
ejemplo de esto).
El converso de este resultado, es el teorema llamado “Teorema de polígonos de Poincaré”,
para el cual su demostración se puede encontrar en [18] entre otros.
Teorema A.10 Sea P ⊂ H un polígono convexo compacto, cuyos lados son identificados
en parejas por isometrías de H, y además sea Γ el grupo generado por dichas isometrías.
Si la suma de ángulos internos de los ciclos identificados es 2π, para todos los ciclos en P ,
entonces Γ es un grupo fuchsiano que actúa de forma libre para el cual P es un dominio
fundamental localmente finito.
39
La importancia de este resultado trasciende los propósitos de este apéndice.
Para poder consultar las pruebas de los resultados aquí mencionados se recomienda al
lector las siguientes lecturas: [6, 1, 5, 4, 18].
40
Apéndice B
Estructura Hiperbólica de Superficies
En este trabajo uno de los conceptos básicos a utilizar es el de las superficies, las cuales
aunque pueden entenderse de una forma muy intuitiva, para el verdadero entendimiento de
los resultados aquí presentados es necesario un mayor nivel de formalismo en su estudio. Por
esto mismo, en este apéndice se presentará un breve estudio de las superficies.
B.1.
Variedades y Superficies
Una variedad puede ser vista como la generalización de las superficies a n dimensiones,
teniendo bastantes usos en ramas de las matemáticas como topología algebraica, topología
diferencial, geometría diferencial, teoría de superficies, etc. En esta sección, daremos definiciones relativas a las variedades y a sus diferentes estructuras principales.
B.1.1.
n-Variedades
Una variedad es un espacio topológico localmente homeomorfo a Rn , que cumple con
ciertas propiedades, las cuales nos permiten visualizarlas como si fueran superficies en n
dimensiones. Su definición formal es la siguiente.
Definición B.1 Dado un espacio topológico X, que sea Hausdorff y satisfaga el segundo
axioma de numerabilidad, se dirá que es una variedad n-dimensional (también llamadas
n-variedades) si es localmente homeomorfo a una vecindad abierta de Rn , es decir, para
todo p ∈ X, existe una vecindad de p, Up , y ya sea un homeomorfismo ϕp : Up → U n ,
donde U n = {x ∈ Rn ||x| < 1}, o bien un homeomorfismo ϕp : Up → B n , donde B n =
{(x1 , . . . , xn ) ∈ U n |x1 ≥ 0} con ϕp (p) = �0.
Ahora bien, si el homeomorfismo asociado a p va hacia U n , a p se le llama punto interior,
pero si va hacia B n se le llama punto frontera. Correspondientemente, a las componentes
conexas del conjunto de todos los puntos frontera se le llaman componentes de frontera. Si
X no tiene puntos frontera, se dice que la n-variedad tiene frontera vacía, en caso contrario
se dice que X es una n-variedad con frontera.
Ejemplos sencillos de variedades con frontera vacía, son:
41
Rn .
S n = {x ∈ Rn+1 ||x| = 1}.
Si M es una m-variedad con frontera vacía y N es una n-variedad con frontera vacía,
entonces M × N es una m + n-variedad con frontera vacía.
Mientras que ejemplos de variedades con frontera son:
n
U .
El hemisferio superior de una esfera incluyendo el ecuador.
Dada una n-variedad, el concepto de orientabilidad en este trabajo se dejará de forma intuitiva. Los primeros ejemplos de variedades con frontera vacía son trivialmente orientables, al
igual que los ejemplos de variedades con frontera, mas sin embargo, un ejemplo clásico de
una 2-variedad NO orientable es la “banda de Möbius”.
Para finalizar esta subsección, haremos mención de que, a menos que se diga lo contrario,
trataremos siempre con n-variedades compactas, conexas y orientables.
B.1.2.
Clasificación de Superficies
A las 2-variedades se les llama superficies, y si se consideran únicamente las conexas
y orientables, es posible dar una clasificación completa de estas. Más aún, este tipo de
clasificación únicamente existe para las superficies, y en 1958, A. A. Markov demostró que es
imposible dar un algoritmo para este clasificación para n-variedades con n ≥ 4. Pendiente de
la conjetura de geometrización de Thurston, no se ha podido dar una para las 3-variedades.
Para mayor información sobre las clasificaciones de n-variedades para n > 2, se recomiendan
las siguientes lecturas [12, 13].
Para poder dar una clasificación competente a este trabajo, puede pensarse únicamente
en el caso de superficies compactas, conexas y orientables 1 . Además, es necesario entender
el concepto de suma conexa de superficies, la cual, de forma intuitiva, puede resumirse como
recortar pequeños discos sobre las superficies y a sumar y luego pegarlas entre sí. De forma
un poco más formal se tiene lo siguiente.
Definición B.2 Dadas dos superficies S1 y S2 , se escogen abiertos D1 ⊂ S1 y D2 ⊂ S2 tales
que sean homeomorfos a una vecindad en Rn , para luego tomar Si� como Si \Di , y definir
finalmente la suma conexa de dichas superficies como S1� ∪ S2� / ∼, donde ∼ representa una
identificación entre lo que eran las fronteras de los Di .
Una consecuencia inmediata de la definición es que, junto con el conjunto de superficies
compactas, conexas y orientables, forma un monoide.
Ya una vez teniendo el concepto de suma conexa de superficies, podemos enunciar el
teorema de clasificación de superficies (al menos, la versión competente a este trabajo).
1
El caso en el que la superficie tenga ponches, la clasificación y su demostración es análoga.
42
Teorema B.3 Siendo S una superficie compacta, conexa y orientable, esta es homeomorfa
a alguna (y sólo una) de las siguientes superficies:
Una esfera con el mismo número de componentes de frontera que S.
La suma conexa de g toros, donde g ≥ 1, y la superficie total cuenta con el mismo
número de componentes de frontera que S.
La demostración de este teorema no se dará explícitamente en este trabajo, sin embargo, se
dará un breve resumen de la misma, para el caso en el que la superficie cuenta con frontera
vacía, pues en caso contrario, la demostración es análoga.
Resumen de la demostración
Dada una superficie S cualquiera, gracias al teorema de
triangulación de superficies de Tibor Radó, se sabe que S cuenta con una triangularización,
tal que divide a S en una cantidad finita de subsuperficies homeomorfas a triángulos. Luego,
con dicha triangulación, puede realizarse una riguros y cuidadosa identificación, por medio
de homeomorfismos, a modo de que S sea homeomorfo a un 2-gono o un 4n-gono (para
algún n ≥ 1 que depende de S) módulo la identificación conveniente de algunos de sus lados.
Estas figuras, son lo que se les llamas la forma canónica de una esfera o la suma conexa de
n toros, respectivamente. Por lo tanto, con esto se ha esbozado la demostración del teorema
de clasificación de superficies compactas orientables.�
A partir de este teorema, es posible definir los conceptos de género y característica de
Euler, al igual que introducir notación.
Definición B.4 Sea S una superficie compacta, conexa y orientable. Si S es homeomorfa a
una esfera (con o sin frontera vacía), se dice que el género de S es 0; si S es homeomorfa a
a suma conexa de g toros (con o sin frontera vacía), se dice que el género de S es g.
De esta forma, a una superficie S de género g y b componentes de frontera, se le denotará por
Sg,b . Por ejemplo, una superficie S0,0 , denotaría a una superficie homeomorfa a una esfera,
mientras que S0,2 , S0,3 y S1,0 son superficies homeomorfas a un anillo, un par de pantalones
y un toro, respectivamente.
Definición B.5 Dada una superficie Sg,b , con una triangulación T , se define la característica de Euler de la superficie, χ(Sg,b ), como el número de vértices de la triangulación, menos
el número de ejes de la misma, más el número de regiones poligonales resultantes de T .
Es posible ver que χ(Sg,b ) no sólo está bien definida, sino es invariante bajo homeomorfismo
y más aún, puede probarse que χ(Sg,b ) = 2 − 2g − b.
Una propiedad importante de las superficie, que depende de su característica de Euler es
con qué tipo de estructura geométrica esta cuenta, sin embargo, esto se verá en la siguiente
subsección.
43
B.2.
Pseudogrupos y estructuras
La importancia de una n-variedad X en las diferentes disciplinas en las que se estudia
depende ampliamente de la “estructura” con la que se equipe. Por ejemplo, en topología diferencial y geometría diferencial se busca que la n-variedad cuente lo que llamarán estructura
diferencial (o diferenciable), para que así pueden “aplicar” nociones de calculo diferencial
en ellas. En esta sección primeramente se dará el concepto de una estructura para una
n-variedad, y así después concentrarnos en las estructuras hiperbólicas de las superficies.
B.2.1.
Estructuras en n-variedades
Para poder entender que es una estructura primero daremos el concepto de un pseudogrupo sobre una variedad.
Definición B.6 Un pseudogrupo sobre una n-variedad X, es un conjunto G de homeomorfismos entre abiertos de X que cumple las siguientes propiedades:
El conjunto de todos los dominios de los elementos de G es una cubierta de X.
Las restricciones a subconjuntos abiertos de los dominios de los elementos de G son
también elementos de G.
Hay cerradura bajo la composición (si es que está definida).
Hay cerradura bajo inversos.
G es local, es decir, si g : U1 → U2 es un homeomorfismo con U1 , U2 ⊂ X, {Uα }
una cubierta de U1 tal que g|Uα ∈ G, entonces g ∈ G. Dicho de otra forma, si g está
localmente en G, entonces g está en G.
Ejemplos sencillos de pseudogrupos son los siguientes:
Los homeomorfismos entre los abiertos de Rn .
Los difeomorfismos (homeomorfismos diferenciables con inversa diferenciable) entre los
abiertos de Rn .
Los biholomorfismos (homeomorfismos holomórficos con inversa holomórfica) entre los
abiertos de Cn .
Con esto, ya podemos pensar en lo que se llega a llamar una G-variedad, las cuales, en teoría,
son un tipo de generalizaciónes de las n-variedades. Mas sin embargo, para poder definir este
tipo diferente de variedades necesitamos primero los conceptos de carta de coordenadas y
compatibilidad de cartas.
44
Definición B.7 Sean M un espacio topologógico Hausdorff y G un pseudogrupo sobre una
n-variedad X. Una carta de coordenadas es un par ordenado (Uα , ϕα ), donde Uα es un abierto
de M y ϕα : Uα → X es un homeomorfismo sobre su imagen.
Se dice que dos cartas de coordenadas (Uα , ϕα ), (Uβ , ϕβ ) son G-compatibles, en cualquiera de
los siguientes casos:
Si Uα ∩ Uβ = ∅.
Si Uα ∩ Uβ �= ∅ y ϕα ◦ ϕ−1
β : ϕβ (Uα ∩ Uβ ) → ϕα (Uα ∩ Uβ ) ∈ G
Ahora, dados un espacio topológico Hausdorff M y un pseudogrupo G sobre X, entonces
se llamará a un conjunto de cartas coordenas G-compatibles dos a dos, cuyos dominios de
los homeomorfismos correspondientes formen una cubierta de M , un G-atlas. Si además,
dicho G-atlas es a lo más numerable, entonces se dice que M es una G-variedad, o bien, una
variedad con una G estructura. Esta definición nos permite ver que una G-variedad es una
generalización de una n-variedad, tal y como lo muestra la proposición siguiente.
Proposición B.8 Toda n-variedad es una G-variedad.
Demostración
Sean M una n-variedad y G el pseudogrupo de los homeomorfismos de
n
R . Por definición M cumple las condiciones para tener un G-atlas compatible, y dado que
M cumple el segundo axioma de numerabilidad, este es numerable. Por lo tanto, M es una
G-variedad.�
Por otro lado, dada una G-variedad con dos G-atlas, se dice que estos son compatibles si
su unión también es un G-atlas. Es fácil ver que la compatibilidad es una relación de equivalencia 2 , más aún, para cada clase de equivalencia de los G-atlas, existe un único G-atlas
maximal.
Ya una vez teniendo una G-variedad, toda superficie localmente homeomorfa a ella también contará con una G-estructura inducida. Es decir, si M es una G-variedad, y existe
una función φ : N → M la cual es un homeomorfismo local, entonces se puede jalar la
G-estructura de M a N . Extendiendo esto un paso más, si se tiene un homeomorfismo
f : N → M entre G-variedades, se dice que este es un G-isomorfismo, si la G-estructura
inducida por M en N es compatible con la estructura original de N .
De igual forma que en teoría de grupos, dado un conjunto se puede hablar del grupo
libre que genera, al dar un conjunto de homeomorfismos entre abiertos de un espacio Hausdorff, se puede hablar del pseudogrupo generado por dicho conjunto. Este concepto se puede
formalizar de la forma siguiente.
Definición B.9 Sean X una n-variedad y G un conjunto de homeomorfismos entre abiertos
de X. El pseudogrupo generado por G, denotado por (G, X), es la intersección de todos los
pseudogrupos que contienen a G.
2
La transitividad se desprende rápidamente de la localidad de los pseudogrupos
45
La consecuencia más inmediata de la definición, es que (G, X) es un pseudogrupo, y es el
más pequeño de los pseudogrupos que contienen a G. Otra consecuencia importante para
nuestros fines es que si G es un grupo actuando en X (por homeomorfismos), es posible
caracterizar los elementos de (G, X) de la forma siguiente:
Proposición B.10 g ∈ (G, X) si y sólo si existe una cubierta abierta, {Uα } del dominio de
g, tal que g|Uα = gα |Uα para algún gα ∈ (G, X).
Demostración
Tomando como hipótesis que g ∈ (G, X), si g ∈ G el resultado es obvio,
si g ∈
/ G, puesto que G es un grupo, la única opción que tiene es que sea una restricción
de un elemento en G (en cuyo caso el resultado se vuelve obvio), o la unión de dominios de
restricciones de elementos de G, con lo cual la cubierta buscada queda determinada a partir
de la cubierta de los dominios de las restricciones. El converso se obtiene fácilmente a partir
de la propiedad de localidad de un pseudogrupo.�
Esta última proposición da pie a la idea de usar un grupo de isometrías de un espacio
métrico segundo numerable, junto con dicho espacio, para darle una (IsomX, X)-estructura
al espacio. Si esto se realiza en el espacio hiperbólico n dimensional, Hn , entonces el resultado
final será una variedad hiperbólica n-dimensional, que puede denotarse por (IsomHn , Hn ).
En la siguiente subsección haremos más énfasis en las estructuras hiperbólicas de las
superficies.
B.2.2.
Estructuras hiperbólicas en superficies
A aquellas variedades cuya G-estructura sea la generada por un conjunto (o grupo) de
isometrías se les llamará variedades con estructura geométrica. En particular si S es una
(Isom+ (H2 ), H2 )-variedad, se dirá que S es una variedad con estructura geométrica hiperbólica.
Restringiéndose al caso de las (Isom+ (H2 ), H2 )-variedades, se tienen las siguientes observaciones.
Observación 12 Si S es una superficie que se encuentra equipada con una estructura geométrica hiperbólica, y π : S˜ → S es una función cubierta de S, entonces S˜ cuenta con una
estructura geométrica hiperbólica inducida por S.
Observación 13 Sean Γ un subgrupo discreto de PSL(2, R) actuando libremente en H2 , y
S = H2 /Γ, entonces S tiene una estructura geométrica hiperbólica inducida por H2 , y de
igual forma una métrica inducida, natural y completa.
Ahora bien, se tiene como resultado conocido de geometría Riemanniana, el que si la característica de Euler de una superficie es negativa, entonces admite una estructura geométrica
hiperbólica. Más aún, el teorema de Cartan-Hadamard caracteriza a las superficies de estructura geométrica hiperbólica, a través del llamado “developing map” o función de desarrollo
y la representación de holonomía inducida por la función de desarrollo.
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Teorema B.11 (Cartan-Hadamard) Sea X una superficie equipada con una estructura
geométrica hiperbólica tal que es un espacio métrico completo con la métrica de trayectoria
natural. Luego, X es isométrico a H2 /Γ, donde Γ es un subgrupo discreto de PSL(2, R)
actuando libre en H2 .
Resumen de la demostración
Para empezar, se prueba que siendo X un espacio
métrico completo, entonces la función de desarrollo es una función cubierta de la cubierta
˜ a H2 . Luego, dado que la función de desarrollo es una isometría local
universal de X, X,
2
y H es simplemente conexo, se sigue que es una isometría global. Para finalizar, se prueba
que la función de desarrollo induce una isometría de X a H2 /Γ donde Γ es la imagen de la
representación de holonomia.�
Ahora, como ya se han caracterizado las superficies con estructura geométrica hiperbólica,
a través del plano hiperbólico módulo un grupo discreto de isometrías del mismo, se puede
pensar sin pérdida de generalidad que toda superficie con estructura geométrica hiperbólica
tiene como cubierta universal el plano hiperbólico, y es a su vez, el plano hiperbólico módulo
un grupo de isometrías. De esto se desprende, el que simplemente se le llame a las superficies
con estructuras geométricas hiperbólicas, superficies hiperbólicas.
Para ver los temas aquí mencionados a más detalle, al igual que las demostraciones aquí
omitidas, se recomienda los siguientes textos [14, 15, 5, 11, 1].
47
48
Índice de figuras
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Curvas esenciales: α y β. Curvas no esenciales: γ y δ. . . . . . . . . . . . . .
Dos clases de homotopía con representantes no siempre disjuntos. . . . . . .
Una curva no separante y su superficie de corte. . . . . . . . . . . . . . . . .
Un ejemplo de multicurva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Las curvas α y β que se intersecan una vez y la frontera γ de una vecindad
de α ∪ β. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Primer y segundo casos para i(α, β) ≥ 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
1
2
4
5
9
10
α y β son adyacentes con respecto a P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
α, β y γ forman la frontera de un par de pantalones. δ y ε son pares periféricos.
Curvas características de la intersección 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplos de descomposiciones en pares de pantalones y sus gráficas de adyacencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. La subgráfica a preservar bajo φ en A(P ) y descomposiciones convenientes en
pares de pantalones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.1. Ejemplo de curva separante y sus respectivas cadenas. . . . . . . . . . . . . .
3.2. Ejemplo de las curvas auxiliares para n ≥ 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Ejemplos de las curvas auxiliares, en rojo A, magenta B, verde C, azul D. .
26
27
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19
50
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