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Universidad Nacional de Colombia - Sede Bogotá
Departamento de Matemáticas
Primer semestre de 2015
Matemáticas Básicas - PRECÁLCULO - Grupos 1 al 7.
(Facultades de Ciencias, Ciencias Económicas, Ingeniería, Agronomía y el programa de Zootecnia)
Coordinación: Margarita Ospina
Taller 1. Tema: Conjuntos y sistemas numéricos
Ejercicios del texto guía: Un buen complemento a este taller son los ejercicios de la Sección 1.1
1. Sea U el conjunto de estudiantes de la U.N. Considere los siguientes subconjuntos de U :
A: mayores de 20 años, B: mujeres, C: de estratos 1,2 o 3.
Describa con palabras los siguientes conjuntos:
a) A0 \ C
b) A [ B
c) B 0 [ C 0
d) (A \ C)0
e) A0 [ C 0
f) (A [ C)0
g) A0 \ C 0
h) A \ B \ C:
i) A B
j) (A B) \ C:
k) B 4 C
l) A 4 B
Compare la descripción dada en c) y d) y la dada en f) y g) ¿Puede concluir algo?
2. Sean A y B conjuntos arbitrarios.
Complete el espacio con los símbolos ; o nc (no son comparables) según sea el caso:
a) A_____A \ B
b) A_____ A [ B
c) A0 _____A B
d) A_____A B
e) A_____B A
f) A0 _____B A
3. En cada literal, haga un diagrama de Venn con tres conjuntos no vacíos A; B y C, que satisfagan
simultáneamente las condiciones dadas:
a) A
c) A
B; C B, A \ C =
B, C * B , A \ C 6=
b) A
d) A
C; A 6= C; B \ C =
(B \ C); B C, C 6= B, A 6= C
4. Sean A y B conjuntos arbitrarios. Diga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas y
justi…que. (Note que las a…rmaciones se re…eren a cualquier par de conjuntos A y B). Para justi…car
su falsedad bastará entonces mostrar un caso particular en el que sea falsa la contenencia, igualdad o
implicación dada. Para justi…car la veracidad se hace necesario garantizar que es verdadero independientemente de cuales sean los conjuntos A y B)
a) B A A0
b) B A0 = B \ A
0
0
0
c) (A \ B) = A \ B
d) A B A [ B
0
e) Si A B entonces A
B0
f) Si A B entonces A B =
g) Si A B entonces A \ B = A
h) Si A B entonces A [ B = B
5. Considere el universo U = fx 2 N j x 50g y los siguientes subconjuntos:
A = fx j x es parg ;
B = fx j x es primog
C = fx j x es divisor de 36g
D = fx j x es múltiplo de 4g
Escriba por extensión y por comprensión los siguientes conjuntos:
0
1) A0 \ C
2) (A [ B)
3) B \ D
4) A \ C \ D
0
5) A D
6) B
A
7) A 4 C
8) C D0 :
6. A un curso de Matemáticas Básicas asistieron el jueves pasado 105 estudiantes, un buen número de
ellos de la Facultad de Odontología. Había 53 mujeres, 30 de ellas estudiantes de Odontología. Al indagar
sobre la edad de los asistentes se encontró que 68 eran menores de 20 años y de éstos 25 mujeres; sólo 12
de ellas estudiantes de Odontología. Además se sabe que hay 35 hombres menores de 20 años que NO
estudian Odontología. Si entre los mayores de 20 años que NO estudian Odontología las mujeres duplican
a los hombres, encuentre en el curso:
a) La cantidad de estudiantes de Odontología.
b) El número de mujeres menores de 20 años que no estudian Odontología.
c) El número de hombres mayores de 20 años que estudian Odontología.
d) La cantidad de hombres menores de 20 años.
7. Descomponga en factores primos los siguientes números:
18
120
143
224
510
588
836
1485
2783
8. Encuentre el Mínimo Común Múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes números:
(expréselos como producto de potencias de primos)
a) 18 y 510
b) 143 y 2783
c) 120 y 1485
d) 224 y 836
e) 143 y 588
f) 836 y 1485
g) 18, 120 y 224
h) 143, 1485 y 2783.
9. Realice las siguientes operaciones entre racionales sin utilizar calculadora. Simpli…que antes de operar y, en sumas y restas calcule en mínimo común denominador para hacer la operación. Por último,
simpli…que al máximo el resultado.
4
3
1
5
16
1
+
b)
+
35 10 12
18 63 12
3
3
3
37
16
5
d)
e)
c)
18 10
4 10
180 1200
1 1
5
2
4
3
f)
+
g)
3 2
6
5
5 10
a)
10. Exprese los siguientes números como un cociente de enteros.
b) 0; 146
c) 2; 40315
d) 2; 1
a) 1; 25
e) 4; 35
f) 3; 3
g) 1; 2134
11. Escriba los siguientes racionales en su forma decimal periódica.
7
3
11
5
4
a)
b)
c)
d)
e)
8
4
15
7
11
12. Ordene los siguientes números de menor a mayor.
7
13
2
145
3; 12
1; 24
36; 251
8
10
5
4
0
2; 5
7
8
13. Represente grá…camente y exprese utilizando notación de intervalos cada uno de los siguientes
conjuntos.
a) El conjunto de los números reales que distan 5 unidades de 4.
b) El conjunto de los números reales que distan menos de 3 unidades de 5:
c) El conjunto de los números reales que distan 2 unidades o menos de 0.
d) El conjunto de los números reales que distan 3 unidades o más de 1:
3
4
e) El conjunto de los números reales que distan de unidad de
:
2
5
14. Calcule los siguientes valores absolutos:
a) 3
p
5
b)
7
11
c) j
0; 63
4j
d) j6; 28
2 j
15. Encuentre dos ejemplos en que se vea que para algunos valores reales de a y b se tiene que ja + bj =
6
jaj + jbj :
¿ Qué condiciones deben cumplir a y b para que ja + bj = jaj + jbj?
En los puntos 16. a 19. haga los cálculos necesarios utilizando las propiedades de los exponentes y la
descomposición en factores primos de cada número para escoger la respuesta correcta.
53=2
16. Al simpli…car la expresión
a) 5
3
2
8
17. Al calcular
a) 1:
b) 36:
b) 53
.
32 74
:
22 52
b)
33 :
c) 28
2
1
5
se obtiene:
3.
d) 53
2
8
3.
3
23 32
:
52 72
c)
b) 22
33 :
23
52
63
52 32
:
72
19. Al simpli…car la expresión
a) 23
28 .
31=8
35=4
+3 2
se obtiene:
3 5
4
c) : d) 24:
9
3
18. Al simpli…car la expresión
a)
215
33=2
2
27=2
c) 22
35
2
100
(35)
; se obtiene:
73 22
:
52
d)
72
493
2
(3 6)
12
33
7:
2
7
d) 23
2
; se obtiene:
3
7:
Notación cientí…ca
Un número está escrito en notación cientí…ca si está expresado en la siguiente forma a 10n donde
1 jaj < 10; y n es un número entero.
Ej. 0; 0000234 es 2; 34 10 5 en notación cientí…ca, 4:2000 000:000 es 4; 2 109 en notación cientí…ca.
20. Utilice notación cientí…ca para expresar:
a) 0; 0321
b) 570 600:000
c) 0; 000021
d)
30 640:000
21. Exprese en notación cientí…ca cada una de las cantidades dadas y realice el cálculo utilizando las
propiedades de los exponentes sin utilizar calculadora. Dé la respuesta en notación cientí…ca.
a)
0; 004 2:900
0; 00011
b)
10 920:000 0; 0015
0; 00032 45:000
c)
0; 18 20:000
300 0; 0004
d)
28 0; 0045
140 1500
22. Determine si cada una de las siguientes a…rmaciones es verdadera o falsa. En cada caso justi…que su
respuesta.
a) Algunos números irracionales tienen representación decimal in…nita y periódica.
b) Ningún decimal in…nito es un número irracional.
c) Algunos racionales tienen representación decimal in…nita no periódica.
d) Todo decimal periódico es racional.
e) Existen algunos números que no son ni enteros ni racionales.
f ) El producto de dos números irracionales siempre es irracional.
g) El cociente de dos números irracionales siempre es irracional.
23. a) ¿Cuántos números irracionales hay entre 0 y 1? Si es posible, muestre tres.
b) ¿Cuántos números irracionales hay entre 2; 9 y 3? Si es posible, muestre tres.
c) ¿Cuántos números irracionales hay entre 7; 9999 y 8? Si es posible, muestre tres.
2
3
d) Construya tres irracionales y tres racionales entre
y .
7
7
24. Efectúe las siguientes operaciones:
a) 13; 42442444244442::: + 6; 12112111211112:::
b) 21; 01001000100001::: + 7; 32332333233332:::
p
p
p p
c) 2
2
d) 2 3
e) 1; 45 + 3; 71
f ) 1; 45 3; 71
25. Sabiendo que r es un número racional y que t y s son números irracionales, qué puede decir de los
siguientes números: (justi…que sus respuestas)
a) r + t
b) r t
c) t + s
d) t s
e) t 1 .
26. Encuentre el inverso aditivo y el inverso multiplicativo de:
p
p
1
7
a)
b)
c) 2
d) 1; 45
e) 5
7
5
3
27. Demuestre usando un contraejemplo que:
a) la resta o diferencia en R no es una operación conmutativa.
b) la división en R f0g no es una operación conmutativa.
c) la división en R f0g no es una operación asociativa.
28. Sean w un número irracional arbitrario y z un número racional arbitrario distinto de 0. Considere
las siguientes a…rmaciones:
p
I. 2w es irracional y 2z es racional.
II. (w + z) es irracional y z es irracional.
Es correcto decir que:
a) I y II son verdaderas
b) I es verdadera y II es falsa
c) I es falsa y II es verdadera
d) I y II son falsas.
29. ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso?
a) La suma de dos números racionales es racional.
b) Cero es un número racional.
c) La raíz cuadrada de todo número natural es irracional.
d) Todo número natural es entero.
30. Suponga que a es un número real tal que 0 < a < 1 y considere los números:
1
1
1
(v) a2
(vi) 3
(i) 2
(ii) a3
(iii) a
(iv)
a
a
a
El orden correcto de menor a mayor es:
a) (iii),(ii),(v),(iv),(i),(vi)
b) (i),(ii),(iii),(iv),(v),(vi)
c) (ii),(v),(iv),(i),(vi),(iii)
d) (ii),(v),(iii),(iv),(i),(vi).