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Temario para olimpiadas de matemáticas
El siguiente es una especie de temario para las primeras etapas de la olimpiada de matemáticas.
La mayoría son temas que se estudian o se estudiaban en la secundaria, pero con un enfoque
distinto. Así, en principio los libros de texto que llevan en los cursos regulares deben de serles
útiles. Al final recomiendo algunos libros en los cuáles pueden encontrar ejercicios para resolver.
Muchos de estos están en inglés, pero afortunadamente leer matemáticas en inglés es sencillo.
Los temas con asterisco son menos comunes en la educación básica.
Álgebra En [7, 2] puede encontrar múltiples ejercicios. Existe la versión en español de [7] bajo el
título Pŕacticas para Resolver Problemas de Matemáticas. Álgebra y Trigonometría publicada
por la misma editorial.
1. Propiedades de campo de los números reales.
1.1. Adición, multiplicación y factorización de expresiones con letras.
1.2. Operaciones aritméticas con cocientes de expresiones matemáticas.
2. Resolución de ecuaciones.
2.1. Ecuaciones lineales.
2.2. Ecuaciones cuadráticas.
2.3. Sistemas de ecuaciones. Principalmente sistemas lineales.
3. Propiedades de orden de los números reales (Los números reales son un campo ordenado).
3.1. Definiciones y propiedades elementales.
3.2. Valor absoluto (y desigualdad del triángulo*).
3.3. Función cuadrática.
Geometría Se ha vuelto muy inusual que estos temas se cubran durante la educación básica, pero
hace algunos años era posible encontrar libros de secundaria donde se estudiaban los temas.
Consulte [1, 6] para mayor información. El presente temario es cubierto, en su mayoría,
en el primer capítulo de [1]. Existe la versión para hispano parlantes de [6] bajo el título
Prácticas para Resolver Problemas de Matemáticas. Geometría.
1. Geometría euclidiana
1.1. Postulados de la geometría euclidiana*1
1.2. Líneas paralelas y ángulos.
1.3. Congruencia de triángulos.
1.4. Teorema de Tales.
1.5. Teorema de Pitágoras.
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Puede consultar en Wikipedia buscando Geometría euclidiana y leer el apartado Postulados.
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1.6. Ángulos en el círculo.
1.7. Líneas del triángulo: alturas, medianas, bisectrices y mediatrices.
1.8. Construcciones geométricas.
Teoría de números o aritmética A pesar de que se cubre o cubrían algunos aspectos, muchos
no se mencionan o al menos no se les presta la atención adecuada a las partes más importantes, mientras que a otras menos importantes si. Consulte [2, 3] para mayor información.
1. Divisibilidad en los números enteros.
1.1. Propiedades de divisibilidad y algortimo de la división.
1.2. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
1.3. Teorema fundamental de la aritmética.
Probabilidad y estadística* Dentro de los temas de probabilidad se incluye combinatoria. Dentro del área, combinatoria es lo más popular en las olimpiadas. De hecho es poco común ver
un problema de probabilidad. Consulte [4, 5, 3] para mayor información. Existe la edición
en español de [5] bajo el título ¿De cuántas formas? publicado por la misma editorial.
1. Conteo.
1.1. Principios de conteo, permutaciones y combinaciones.
1.2. Ejemplos de inclusión y exclusión.
2. Probabilidad. Basta con la definición (clásica) de la probabilidad de un evento y ejemplos.
Problemas de creatividad* Estos son problemas que (casi) no necesitan mayor conocimiento
que el de la primaria, pero si bastante práctica y conocer algunas ideas para resolver problemas, o bastante ingenio y paciencia. Los temas que incluyen son: Invarianza, paridad,
gráficas, juegos y ejemplos sencillos del principio de la caja o de las palomas o de Dirichlet. Este tipo de problemas se engloba dentro de lo que la olimpiada llama Combinatoria.
Consulte [4, 3] para mayor información.
Existen otros temas adicionales en álgebra, que aunque no son indispensables para la primer
etapa son útiles en etapas posteriores o inclusive en la primera. Por indispensable me refiero
a que los problemas pueden resolverse usando la creatividad y sin necesidad de recurrir a este
conocimiento o ideas. Estos temas son: Principio de inducción, Teorema del binomio, definiciones
elementales de conjuntos y práctica con sistemas númericos en otras bases distintas a 10 como el
sistema binario.
Referencias
[1] Radmila Bulajich and José Antonio Gómez. Geometría. Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas. Instituto de Matemáticas de la UNAM, 2002.
[2] Shklyarsky D. O., Chentsov N. N., and Yaglom I. M. Selected Problems and Theorems in
Elementary Mathematics. Mir Publishers, 1979.
[3] Fomin Dimitri, Genkin Sergey, and Itenberg Ilia V. Mathematical Circles: Russian Experience,
volume 7 of Mathematical World. American Mathematical Society, 1996.
[4] Pérez Seguí M. L. Combinatoria. Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas. Instituto de
Matemáticas de la UNAM, 2000.
[5] Vilenkin N. Combinatorial Mathematics for Recreations. Mir Publishers, 1972.
[6] Gusev V., Litvinenko V. N., and Mordkovich A. G. Problem Solving in Geometry. Mir Publishers, 1988.
[7] Litvinenko V. N. and Mordkovich A. G. Solving Problems in Algebra and Trigonometry. Mir
Publishers, 1987.