1. Educación

´ ticas.
Geometr´ıa de Curvas y Superficies. 2o Matema
´ ticas, UAM.
Departamento de Matema
Curso 2014-15.
Hoja 1
Instrucciones: Durante la clase de problemas del jueves, 22 de enero, y del viernes, 23 de
enero, se dedicar´a un tiempo a la resoluci´on del primer problema, que se entregar´a al final de
la clase. Los problemas 2, 3, 4 y 5 se traer´an hechos el d´ıa 29 de enero, los grupos 721 y 726 a
clase de teor´ıa, el grupo 730 a clase de problemas. El grupo 730 har´a y entregar´a los problemas
6 y 7 en la clase de problemas del d´ıa 29 de enero y traer´a hechos los problemas 8, 9, 10 y 11 a
la clase de problemas del d´ıa 5 de febrero. Los grupos 721 y 726 traer´an hechos los problemas
6 y 7 a la clase de teor´ıa del d´ıa 2 de febrero y traer´an hechos los problemas 8, 9, 10 y 11 a la
clase de problemas del d´ıa 6 de febrero.
1. (20 puntos) De los siguientes ejercicios, haz el congruente m´odulo 3 con tu DNI.
(1) Cisoide de Diocles. Dada la circunferencia C de centro ( 12 , 0) y radio 21 , y la
recta L tangente a ella en el punto (1, 0), trazamos las rectas que pasan por el punto
(0, 0); cada una de estas rectas corta a la circunferencia en un punto R y a L en un
punto Q. La cisoide de Diocles es el lugar geom´etrico de los puntos P sobre estas
rectas con el vector P Q igual al vector OR.
Encuentra una parametrizaci´on y una ecuaci´on impl´ıcita para la cisoide. Di b´
ujala.
Esta curva se llama as´ı porque tiene la forma del borde de una hoja de hiedra. En
griego “hiedra” es κισσoς (kiss´os).
(2) Concoide de Nic´
omedes. Fijamos > 0. Trazamos las rectas que pasan por
(0, 0) y consideramos el punto M de corte con la recta {x = 1}. La concoide de
Nic´omedes es el lugar geom´etrico de los puntos P sobre estas rectas que est´an a
distancia de M (dos puntos para cada recta).
Elegimos el valor = 1. Traza las dos componentes conexas de esa concoide mediante
parametrizaciones. Encuentra una ecuaci´on impl´ıcita para la curva entera. Dib´
ujala.
“Concoide” quiere decir “en forma de concha”.
(3) Versiera, o bruja de Agnesi. Dada la circunferencia C, de centro (0, 12 ) y
radio 12 , y la recta {y = 1} tangente a ella, trazamos las rectas que pasan por el
punto (0, 0) diametralmente opuesto al de tangencia; cada una de estas estas rectas
corta a la circunferencia C en un punto R y a la recta {y = 1} en un punto Q,
determinando un punto P como el corte entre la horizontal que pasa por R y la
vertical que pasa por Q. La versiera, o bruja de Agnesi, es el lugar geom´etrico de
los puntos P .
Encuentra una parametrizaci´on y una ecuaci´on impl´ıcita para la versiera. Dib´
ujala.
Mar´ıa Agnesi fue una mujer matem´atica de principios del siglo XVIII.
2. (5 puntos) Consideramos la cicloide engendrada por un disco de radio 1 que rueda sin
resbalar por una horizontal. Demuestra que se la puede parametrizar por:
α(t) =
t − sen t , − cos t
.
(5 puntos) Dib´
ujala. Comprueba que tiene retrocesos queratoides.
(10 puntos) Calcula la longitud del arco de cicloide entre dos retrocesos.
1
3. (10 puntos) Encuentra una parametrizaci´on por longitud de arco de la siguiente par´
abola
semic´
ubica:
α(t) ≡ t , (3/2) t2/3
, t > 0.
Indicaci´
on: Observa que
√
√
1 + t−2/3 = t−1/3 t2/3 + 1.
(5 puntos) Sea b constante no nula. Halla una parametrizaci´on por longitud de arco de
la h´
elice:
α(t) ≡ ( a cos t , a sen t , bt) .
4. (20 puntos) Tractriz: es la curva que describe un esquiador acu´atico cuando la lancha
remolcadora sigue una l´ınea recta, y la fricci´on del l´ıquido es tan importante que en vez
de la ley de Newton (fuerza = masa · aceleraci´on) se cumple la “ley” de Arist´oteles (fuerza
= constante · velocidad). Este ser´ıa el caso si, por ejemplo, el l´ıquido fuera melaza en vez
de agua.
Supongamos que la lancha se mueve por el semieje Oy positivo, que la cuerda de arrastre
tiene longitud 1 y que el esquiador parte del punto (1, 0). Sea γ(s) ≡ x(s) , y(s) ,
0 ≤ s < ∞, la parametrizaci´on por longitud de arco de la trayectoria del esquiador, con
γ(0) = (1, 0). Seg´
un la ley de Arist´oteles, la cuerda de arrastre es siempre tangente a
la trayectoria del esquiador; usa esto para hallar γ(s) (deja y(s) expresada como una
integral) y haz un dibujo de la tractriz.
5. (10 puntos) (Tacnodo horizontal) Sea C la curva definida impl´ıcitamente por y 2 =
x4 (x + 1) en todo el plano xy.
(a) Demuestra que C es la uni´on {(−1, 0)} ∪ {y = h1 (x)} ∪ {y = h2 (x)} de un punto
con los grafos de dos funciones suaves h1 , h2 : (−1, ∞) → R, siendo x = 0 m´ınimo
local de h1 y m´aximo local de h2 .
(b) Dibuja C, y demuestra que tambi´en es suave en el punto con x = −1.
(10 puntos) (Tacnodo vertical) Sea C la curva definida impl´ıcitamente por y 4 =
x2 (x + 1) en todo el plano xy.
(a) Demuestra que la parte de C cercana al punto (0, 0) es la uni´on
{x = h1 (y)} ∪ {x = h2 (y)} ,
de los grafos de dos funciones suaves h1 (y), h2 (y), definidas en −ε < y < ε y tales
que y = 0 es m´ınimo local de h1 √
y m´aximo local de h2 .
Indicaci´
on: estudia si ϕ(x) ≡ x x + 1 tiene inversa cerca de x = 0.
(b) Dibuja C, y demuestra que C ∩ R2 \ {(0, 0)} es suave y sin autointersecciones.
2
6. Sea S = { (x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 = 1 } la esfera unidad. Consideramos la aplicaci´on
φ : R2 → S definida de la manera siguiente. La recta que une (u, v, 0) con el polo norte
n = (0, 0, 1) corta a la esfera en dos puntos: uno es el polo norte, el otro es φ(u, v). Esta
φ es la parametrizaci´
on estereogr´
afica.
(a) (10 puntos) Determina las ecuaciones de φ y prueba que define una parametrizaci´on
regular de la esfera, con imagen S 2 \ {n}.
(b) (10 puntos) La inversa φ−1 : S \ {n} → R2 se llama proyecci´
on esterogr´
afica
3
desde el polo norte. Encuentra una aplicaci´on diferenciable ψ : R \{z = 1} → R2
tal que su restricci´on a S 2 \ {n} sea la inversa φ−1 .
7. Este ejercicio muestra superficies que pueden reglarse de dos maneras diferentes.
(a) (5 puntos) Parametriza la silla {z = xy} como un grafo, y comprueba que todas las
l´ıneas coordenadas son rectas (la silla es reglada de dos maneras diferentes).
(b) (10 puntos) Dadas las parametrizaciones
√
√
1 + t2 cos θ , 1 + t2 sen θ , t ,
Φ(t, θ) ≡
Ψ(u, v) ≡
cos v − u sen v , senv + u cos v , u ,
comprueba que tienen la siguiente periodicidad:
Φ(t, θ + 2π) ≡ Φ(t, θ) ,
Ψ(u, v + 2π) ≡ Ψ(u, v) ,
y que ambas tienen por imagen el hiperboloide de una hoja
S = { (x, y, z) : x2 + y 2 = z 2 + 1 } .
Explica por qu´e Φ exhibe S como superfice de revoluci´on, mientras que Ψ la exhibe como
superficie reglada.
(5 puntos) Comprueba que la reflexi´on (x, y, z) → (x, −y, z) lleva S a s´ı misma, pero
cambia el reglado de S definido por Ψ a otro reglado distinto (Por lo tanto, este hiperboloide es reglado de dos maneras diferentes).
8. (a) (10 puntos) Sea α curva regular en el plano.
– Demuestra que α es un segmento de recta si y s´olo si todas sus tangentes afines
pasan por un mismo punto.
– Demuestra que α es un arco de circunferencia si y s´olo si todas sus normales afines
pasan por un mismo punto.
(plant´ealas como EDOs de primer orden en el plano).
(b) (10 puntos) Sea S ⊂ R3 una superficie cuyos planos tangentes afines pasan todos
por un punto fijado p. Demuestra que S est´a contenida en un cono (Indicaci´on: estudia
el corte de S con los planos que pasan por p).
3
9. Dada una familia uniparam´etrica αλ (t) de curvas regulares en el plano, consideramos la
aplicaci´on:
Φ(t, λ) : un abierto del plano tλ −→ R2
,
Φ(t, λ) ≡ αλ (t) .
en el apartado 1.11 de los apuntes se explica que la envolvente (curva que toca cada
αλ tangentemente) puede calcularse como el lugar geom´etrico de los valores singulares
de Φ.
(a) (10 puntos) Considera la siguiente familia de circunferencias:
αλ (t) ≡ (λ, λ) + λ sen t, cos t
, λ>0.
Halla la envolvente y haz un dibujo conjunto de la√envolvente y la familia de circunferencias. [Pista: Utiliza la identidad sen t + cos t ≡ 2 sen t + π4 .]
(b) (5 puntos) Halla la envolvente de la siguiente familia de par´abolas:
t , (t − λ)2 .
αλ (t) ≡
(10 puntos) Halla la envolvente de la siguiente familia de c´
ubicas:
t , (t − λ)3 .
αλ (t) ≡
Dibuja la familia de curvas y su envolvente en ambos casos. Comprueba que Φ(t, λ)
no es inyectiva para la familia de par´abolas, mientras que para la familia de c´
ubicas es
biyectiva y bicontinua (un homeomorfismo suave) pero no es un difeomorfismo porque
tiene valores singulares.
10. (5 puntos) Sean a, b constantes positivas. Demuestra que la parametrizaci´on
Φ(u, v) ≡
au cos v , bu sen v , u2
tiene por imagen el paraboloide S = {z = (x/a)2 + (y/b)2 }.
(10 puntos) Recuerda que una superficie es de revoluci´on si es uni´on de una famillia
coaxial de circunferencias. Demuestra que si el paraboloide S es de revoluci´on entonces
el eje de revoluci´on tiene que ser vertical; deduce que S es de revoluci´on s´olo cuando a = b.
11. (10 puntos) Llamamos superficies de traslaci´
on a las que tienen una parametrizaci´on
como sigue:
Φ(u, v) ≡ α(u) + β(v) ,
siendo α(u), β(v) dos curvas param´etricas espaciales. Demuestra que, a lo largo de
cualquier l´ınea coordenada de Φ, los planos tangentes a la superficie son paralelos a
una misma recta vectorial.
4