1. Educación

UNIVERSIDAD TECNÓLOGICA DEL CHOCÓ
“DIEGO LUIS CORDOBA”
FACULTAD DE EDUCACIÓN
PROGRAMA DE MATEMÁTICAS Y FISICA
CURSO DE FISICA III
“Oscilaciones – Ondas ”
Dirigido a: Estudiantes de Licenciatura en matemáticas y física y carreras afines.
Duración: 1 semestre
Clases magistrales: 15 semanas
Preparado por: JESUS MARIA CUESTA PORRAS
Docente Universitario – Categoría asociado
Quibdo, Febrero de 2010
CURSO DE FÍSICA (III)
“OSCILACIONES – ONDAS ”
Objetivo general.
Lograr que los alumnos y alumnas comprendan las temáticas relacionadas con las oscilaciones, las
ondas y la óptica geométrica y física y las puedan aplicar en su vida profesional.
TABLA DE CONTENIDO
EJES TEMÁTICOS
1
2
3
4
5
NONBRE
Nº SEMANAS
Oscilaciones
3
Ondas Mecánicas
3
Ondas Sonoras
3
Fenómenos de las Ondas
4
Ondas de Fourier
4
Metodología.
El curso se desarrollará mediante la siguiente metodología:
Clases magistrales presénciales por parte del docente.
Actividades complementarias ejecutadas por alumnos y alumnas.
Evaluación.
Se realizaran dos parciales y un examen final de la manera siguiente:
1er parcial: 30%, Comprende las temáticas 1 y 2.
2do parcial: 30%, comprende las temáticas 3 y 4.
Examen final: 40%, Comprende las temáticas 4 y 5.
Bibliografía:
Física I y II: Raymond – Serway
Física I y II: Alonso Finn
Física clásica y moderna: Gettys – Keller
Física I y II: Fisbone - Thornton
Física I y II: Resnick – Halliday
Física I y II: Tippler
Física I y II: Sears - Zemansky
Óptica: Macht – Zajac.
-2Jesús Mª Cuesta Porras
EJE TEMATICO (1)
“OSCILACIONES”
CONDUCTA DE ENTRADA
Para comprender los contenidos de esta temática usted debe poseer los siguientes conocimientos:
Sección (A): Área de la física.
1. La figura muestra la trayectoria de una partícula en movimiento circular uniforme (ver figura); en
el punto (A) dibuje la velocidad y aceleración. Complete las siguientes ecuaciones.
y
A
R
x
W=
¿En que se expresa (unidades)?-¿Cómo se denomina?
V=
¿En que se expresa (unidades)?-¿Cómo se llama?
a=
¿En que se expresa (unidades)?-¿Cómo se denomina?
2. Cual es la relación entre el periodo y la frecuencia en este movimiento.
Sección (B): Área de matemática.
1. Establecer las relaciones entre grados y radianes.
2. Construir un triangulo rectángulo y defina las funciones: Seno, Coseno y Tangente.
3. Hallar las derivadas en función de (t) en las siguientes expresiones: x = Sen (wt), x = Cos (wt) y
x = Tan (wt).
4. Dibujar las graficas de: y = Sen x, y = Cos x; en el intervalo 0
30º.
x
360º tomando puntos cada
5. Resolver las siguientes identidades trigonometrícas:
a. Sen ( ± ); Cos (α ± )
b. Sen ( ) ± Sen ( ); Cos (α)
Cos ( ); Cos ( )
Cos ( ).
c. Sen ( ± π/2); Cos ( ± π/2).
-3Jesús Mª Cuesta Porras
Logros
Cuando termine el estudio de esta temática:
Identifico los movimientos oscilatorios (vibratorios) en la naturaleza.
Reconozco la cinemática, dinámica y energía del M.A.S.
Relaciono el M.C.U. y el M.A.S.
Identifico la energía mecánica en el M.A.S.
Reconozco el movimiento armónico amortiguado.
Resuelvo problemas de las oscilaciones.
Contenido
1.1 Introducción.
1.2 Movimiento armónico simple.
1.3 Péndulo simple.
1.4 Movimiento armotigüado.
1.5 Talleres sobre oscilaciones.
BIBLIOGRAFÍA
Física I: Raymond – Serway
Física I: Alonso Finn
Física clásica y moderna: Gettys – Keller
Física I: Fisbone - Thornton
-4Jesús Mª Cuesta Porras
EJE TEMÁTICO (1)
“OSCILACIONES”
1.1 Introducción.
Circular
Clasaes M.A.S.
Ondulatorio
Movimiento
oscilatorio
Latidos del corazón
Estaciones del año
Ejemplos:
Sistemas (Masa - Resorte)
Movimiento pendular
Se le denomina también Vibratorio o Periódico y se define como aquel que se repite a lado y lado de
su posición de equilibrio con las mismas propiedades.
1.2 Movimiento armónico simple.
Cinemática del M.A.S.
Consideremos una partícula en movimiento circular uniforme como lo ilustra la figura (1) (ver figura)
de ello obtenemos:
y
V
dx
= Vx
dt
ac
A Sen( t
)
A
Wt+
x
X
x
ACos( t
Son las ecuaciones cinemáticas
del M.A.S.
)
d 2x
= ax
dt 2
Figura (1)
ax
Aw 2 Cos(wt
)
w2 x
x(solo en el M.A.S.)
-5Jesús Mª Cuesta Porras
Definiciones del M.A.S.
1. Cinemática: El desplazamiento (x) se expresa en función seno o coseno. El M.A.S. no es uniforme
ni uniformente acelerado, su trayectoria siempre es una línea recta.
2. Geométrica: Es la proyección del M.C.U. sobre los ejes coordenados.
t
2
T
: se denomina fase
es la frecuencia angular
del M.A.S.
: es la fase inicial
Nota (1):
A : se denomina amplitud
x0
2 f
ACos
Tag
-
v0
x0
Son las condiciones iniciales
del M.A.S.
Observación: Si t = 0
v0
A Sen
A
v0
x 02
v max
Centro x
1
2
A
0
ax
v <0
ax >0
2
0
v >0
Nota (2):
X -A
-x
0 -x
Centro
A+
xax < 0
vx
0
Extremos a max
x
A
2
A
-6Jesús Mª Cuesta Porras
Advertencia: Gráficos de la cinemática del M.A.S.
x
T
A
t
T/2
0
T/4
3T/4
-A
ax
T
-A
W2A
T/4
3T/4
0
X=f(t)
T
t
T/2
-W2A
-W2A
vx
ax=f(x)
wA
T/4
t
T
0
T/2
3T/4
-wA
vx=f(t)
Dinámica del M.A.S.
Del sistema (masa-resorte) ilustrado en la figura (2) (ver figura) se obtiene:
y
Fe
Fe
k
ax
ax
m
0
Kx (Ley de Hooke)
d x2
d x2
dt 2
dt 2
se denomina ecuación
k
x 0
m
diferencial del M.A.S.
x
x
Fe
ma x (Ley de Newton)
k
m
es la relación entre
, k y m en el M.A.S.
Figura (2)
d 2x
dt 2
-
Observación: a x
-
2
2
x
k
x
m
0
x
-7Jesús Mª Cuesta Porras
Energía en el M.A.S.
Consideremos el sistema (masa-resorte) de la figura (2) de ella resulta:
k
U
E
U k
1
2
1
2
mv x2
1
2
mA 2
kx 2
1
2
kA2 Cos 2 ( t
1
2
m
2
x2
1
2
2
Sen2 ( t
2
m
( A2
1
2
)
1
2
)
x2 )
2
m
1
2
2
m
m
x2
2
( A2
Es la energia cinetica
en el M.A.S.
x2 )
Es la energia potencial
en el M.A.S.
(x 2
A2
x2 )
1
2
kA2
Es la energia
total del M.A.S.
Observación: La figura (3) muestra el diagrama de energía en el M.A.S. (ver figura). De ella resulta:
U,K
U
E
k
U
-A
0
A
Figura (3)
U
0 (mínima)
K
1
2
KA 2 (máxima )
U
1
2
KA 2 (máxima)
K
0(mínima)
X
K
en el centro
en los extremos
Pregunta (1).
Obtenga la ecuación de la cinemática del M.A.S. si el M.C.U. de la partícula se proyecta en el eje (y).
Dibuje las graficas de y = f (t), Vy = f (t) y ay = f (t), indicando los puntos de máxima y mínimo de y,
Vy y ay en 0 t T, tomando puntos cada t T s,
0
4
Pregunta (2).
Usando la cinemática del M.A.S. en un solo diagrama obtenga las graficas de U = f (t) y K = f (t) en
0 t T, tomando puntos cada t T s,
0 , Analice la energía E en cada punto.
4
-8Jesús Mª Cuesta Porras
Problemas resueltos (I)
(Para el aula de clase)
Problema (1). (Hacer gráficos).
a. Un objeto ejecuta un M.A.S. con una amplitud de 0,17 m y un periodo de 0,84 s. determinar:
i.
La frecuencia y la frecuencia angular del movimiento.
ii.
Las expresiones de x = f (t), vx = f (t) y ax = f (t) cuando = 0.
b. La posición de una partícula viene dada por y = 0,20Sen(47,1t), donde y se expresa en m y t en s.
Hallar:
i.
La amplitud y la frecuencia, el periodo y la fase inicial.
ii.
Hallar las expresiones de la velocidad y la aceleración.
Problema (2). (Hacer grafico).
a. Una masa efectúa un M.A.S. con centro en su posición de equilibrio (x = 0). La amplitud de las
oscilaciones es 0,15 m, La frecuencia es 85 Hertz. Cuando t = 0 el desplazamiento es y = 0,060 m,
Escribir las ecuaciones cinéticas del movimiento en función del tiempo.
b. Una partícula gira en sentido contrario a las manecillas del reloj en un círculo de 3 m de radio con
una velocidad angular constante de 8 rad/s. En t = 0 la partícula tiene una coordenada x = 2 m.
Determinar:
i.
x = f(t), vx = f(t) y ax = f(t)
ii.
La velocidad máxima y aceleración máxima.
Problema (3). (Hacer gráficos).
Un sistema (masa-resorte) horizontalmente tiene 0,50 Kg. de masa y realiza una oscilación completa
en 2 s. Si la amplitud de oscilación es de 0,40 m y el sistema tiene una velocidad cero cuando t = 0 s.
Encontrar:
i.
La frecuencia, la frecuencia angular y la constante del resorte.
ii.
x = f (t), vx = f (t) y ax = f (t).
iii.
La velocidad máxima y la aceleración máxima.
-9Jesús Mª Cuesta Porras
Problema (4).
En el oscilador de la figura (ver figura) m = 50 Kg. y el muelle se deforma y0 = 180 mm. Si el bloque se
estira hacia abajo una distancia adicional de 75 mm y se libera partiendo del reposo. Calcular:
a. La constante elástica del muelle y la amplitud del
movimiento.
k
b. El periodo del movimiento y la energía potencial elástica del
muelle en el instante que se libera el cuerpo.
m
Problema (5).
En el sistema (masa-resorte) de la figura (ver figura) K = 18 nt/m, m = 0,17 Kg. y A = 54 mm. Hallar:
a. La frecuencia angular.
k
b.
vx
en x = 34 mm.
c.
X Cuando vx = 0,18 m/s.
m
x
0
1.3 Péndulo Simple.
El sistema (cuerda-esfera) ilustrado en la figura (5), constituye el denominado péndulo simple (ver
figura). De ella obtenemos:
d 2x
dt 2
aT
L
x L
m
m
x
m
FT
Fn
d2 x
dt 2
ma C
Luego:
d2
L 2
dt
de donde resulta:
FT
Ft
mg
Sen
mg
Figura (5)
0
d2
dt 2
g
L
Cos( t
)
Es el desplazami ento
circular del pendulo.
0
g
L
T
2
L
g
Es el periodo
del pendulo
- 10 Jesús Mª Cuesta Porras
1.4 Movimiento amortiguado.
Son movimientos que se presentan en osciladores sometidos a fricción como lo ilustra la figura (6) (ver
figura). Del sistema obtenemos:
Fe
k
Fn
Fe
a
m
kx Ley de Hooke
d 2 x Aceleración del
dt movimiento
Fr
m.a.
dx
Fuerza de fricción
dt
Fr
Liquido
F Fe
Figura (6)
Sustituyendo resulta:
x
m
d2x
dt 2
dx
dt
Ae
2m
Ae
2m
t
cos(wt
) son soluciones
de la ecuación
)
t
sen( wt
kx 0
es la ecuación diferencial
del movimiento
w
k
m
2
2m
1
2
es la frecuencia angular
del movimiento
: es la constante de amortiguamiento
Nota:
k
Si
2m
k
m
la amortización es critica
2m
el movimiento es sobre amortiguado
Advertencia: Otra forma de identificar el movimiento amortiguado es por la grafica de x = f (t), donde
su amplitud decrece con el tiempo (ver grafica).
A
Ae
b
t
2m
Envolvente
t
-A
Ae
b
t
2m
- 11 Jesús Mª Cuesta Porras
X = f (t)
Problemas resueltos (II)
(Para el aula de clase)
Problema (1)
Calcular la longitud de un columpio cuyo periodo es de 5 s de amplitud pequeñas.
Problema (2)
Usted tiene un péndulo simple de longitud 1,76 m en su cuarto y con un reloj en mano determina que el
péndulo efectúa 25 pequeñas oscilaciones en 66,4 s. Determine:
i) El valor de la gravedad para esta información.
ii) El periodo del péndulo si la amplitud se reduce a la mitad.
- 12 Jesús Mª Cuesta Porras
1.5 Talleres sobre oscilaciones.
TALLER (1)
OSCILACIONES
Institución educativa: _______________________________________Programa:_______________
Participantes: ______________________________________Nivel:__________Fecha:___________
Problemas propuestos
Problema (1)
La posición de un cuerpo que se mueve con M.A.S. viene dada por x=0,15 Sen (53,4t+0,41) m.
Determine:
a. La amplitud, el periodo, la frecuencia y la fase inicial.
b. Las expresiones de vx=f (t) y ax=f(x).
c. El valor de la velocidad máxima y aceleración máxima.
Problema (2) (Hacer grafico).
Un cuerpo de 1,50 Kg. se encuentra sobre una superficie horizontal sin fricción sujeta a un resorte de
constante 75 N/m con x=0 como posición de equilibrio de la masa. En t = 0 la masa se libera en x = 0,2
m con una velocidad inicial de (-0,5m/s)i. Hallar:
a. Las constantes w, A y , f y T.
b. Construir las graficas de x=f(t), vx=f(t), ax=f(t) en 0
t
1,78 s tomando puntos cada 0,2 s.
c. La velocidad máxima y aceleración máxima y la posición máxima.
Problema (3)
Los resortes de la figura están conectados en paralelo (ver figura). Demostrar que la frecuencia del
cuerpo de masa (m) es:
1
m
K1
K2
f
1
2
k 1k 2
(k1 k 2 )
2
Sugerencia: El sistema es análogo a los capacitores conectados en paralelos, consultar como se halla el
capacitor resultante (Física II Seark-Zemansky).
- 13 Jesús Mª Cuesta Porras
Problema (4) (Hacer grafica).
Una partícula cuya masa es 1 g vibra con M.A.S. de 2 mm de amplitud. Su aceleración en el extremo
de su recorrido es de 8x103 m/s2 Determine:
a. La frecuencia del movimiento y la velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de
equilibrio cuando la elongación es de 1,2 mm.
b. La velocidad de la partícula cuando la elongación es de 1,2 mm.
c. Las ecuaciones F = f(x) y F = f(t), donde F es la fuerza que Actúa sobre la partícula.
Problema (5) (Hacer grafico)
a. El periodo de un péndulo simple es T=2π(l/g)1/2. Si la longitud se aumenta en ΔL=dl el periodo
también se aumenta en ΔT=dl .
-
Demostrar que dT
dl
1
gl 2
Si la longitud del péndulo es de 1 m y se incrementa 1 cm. Cual es el cambio del periodo.
b. La posición de un oscilador amortiguado esta dad por x
Ae
2m
t
Coswt Demostrar que el
2m
ln 2 .
intervalo para que la amplitud disminuya la mitad de su valor inicial cuando t=0 es:
- 14 Jesús Mª Cuesta Porras
TALLER (2)
OSCILACIONES
Institución educativa:________________________________________Programa:_______________
Participantes:_______________________________________Nivel:__________Fecha:___________
Problemas propuestos
Problema (1)
Una partícula esta situada en el extremo de un vibrador perpendicular que pasa por su posición de
equilibrio con una velocidad de 2 m/s. Si la amplitud es de 10-3 m.
a. Cual es la frecuencia y periodo del vibrador.
b. Hallar las expresiones de x=f(t), v=f(t) y a=f(t).
c. Construir las graficas de x=f(t), v=f(t) y a=f(t) Para 0
t
2T s tomando puntos cada T/4 s.
Problema (2) (Hacer grafico)
Una masa de 1,50 Kg. sobre una superficie horizontal sin fricción esta sujeta a un resorte horizontal
con constante k=200 nt/m. la masa se encuentra en equilibrio en x=0 y se libera la masa cuando t=0
en x=0,100 m con una velocidad inicial de 2m/s.
a. Determine las constantes A, w, y T.
b. Halle vmáxima y amáxima
c. Trace las graficas de x = f(t), vx = f(t), y ax = f(t) en 0
T
1,6 s tomando puntos cada 0,1 s.
Problema (3)
Los resortes de la figura están conectados en serie (ver figura). Demostrar que:
K2
K2
1 k1 k 2
2
m
Sugerencia: El sistema es análogo a los capacitores conectados en paralelos, consultar como se halla el
capacitor resultante (Física II Seark-Zemansky).
m
f
Problema (4)
Una partícula de masa 0,5 Kg. se mueve verticalmente con M.A.S. de amplitud 0,10 m y periodo 2 s
(suponer la fase inicial cero).
a. Calcular las energías cinética, potencial y total en los instantes t=0, T/2, T, 3T/2, 2T.
¿Que observa?
b. En un solo diagrama construya las graficas de k=f(t) y u=f(t). ¿Qué sucede?
c. Hacer en un solo diagrama las graficas de k=f(x) y u=f(x). ¿Qué sucede?
Problema (5)
El periodo de un péndulo es de 3 s. ¿Cuál será su periodo si su longitud aumenta en un 60%?
- 15 Jesús Mª Cuesta Porras
TALLER (3)
OSCILACIONES
Institución educativa:________________________________________Programa:_______________
Participantes:_______________________________________Nivel:__________Fecha:___________
Problemas propuestos
Problema (1)
La velocidad de un objeto viene dada por v x 1,8m / sSen 7,1rad / s .t .
a. Cuanto vale A, w, T y .
b. Cuanto vale x=f(t), vx=(t) y ax=f(t) en t=0,25 s.
c. Construir las graficas de la sección (b) en 0
t
2 s, tomando puntos cada 0,25 s.
Problema (2) (Hacer gráficos)
Una masa de 2 Kg. efectúa una oscilación armónica simple con una amplitud de 5 cm. La velocidad
máxima de la masa es de 2m/s.
a. Determine: w, f,
y T.
b. Determine: x=f(t), vx=(t) y ax=f(t) cuando t = 1 s.
Problema (3) (Hacer gráficos)
El movimiento de un péndulo simple lo da la ecuación x 0,050mCos
2
rad / s t
6
Calcular: La frecuencia, período y longitud del péndulo.
Problema (4) (Hacer gráficos)
Para un oscilador armónico horizontal k=31 nt/m y m=0,74 Kg. si el bloque se libera desde el reposo
a t=0 en x=39 mm.
a. Escriba las expresiones para u=f(t) y k=f(t).
b. Construir las graficas de u=f(t) y v=f(t) en un solo diagrama para 0
T/2. ¿Qué concluye?
t
2T tomando puntos cada
Problema (5) (Hacer gráficos)
Un bloque de masa 2,5 Kg. se conecta a un muelle con constante elástica 1.250 nt/m. El bloque se
libera desde el reposo a t=0 en una posición situada a 28 mm. de la posición de equilibrio y el
movimiento se amortigua con =20 Kg./s.
a. Determine: w, A y
para este movimiento (precaución
0).
- 16 Jesús Mª Cuesta Porras
b. Determine: x, vx y ax en t = π/5.
TALLER (4)
OSCILACIONES
Institución educativa:________________________________________Programa:_______________
Participantes:_______________________________________Nivel:__________Fecha:___________
Problemas propuestos
Problema (1) (Hacer gráficos)
Una partícula se mueve con una velocidad cuyo modulo es constante e igual a 12 m/s describiendo una
circunferencia de radio 0,5 m considerando su proyección sobre el eje (x). Determine:
a. El Período, la frecuencia, y la amplitud.
b. Los módulos vmáxima y amáxima
Problema (2) (Hacer gráficos)
Una lata de cerveza de masa m=0,250 Kg. sobre una superficie horizontal sin fricción esta sujeta al
extremo de un resorte horizontal de constante k=15 nt/m que se libera en la posición de equilibrio
x=0 m cuando t=0 s con una velocidad inicial v0i=(0,500 m/s)i.
a. Hallar w, T, A y .
b. Hallar las expresiones de x=f(t), vx=(t) y ax=f(t).
c. Trazar las graficas de x=f(t), vx=(t) y ax=f(t) en 0
t
2T tomando puntos cada T/2.
Problema (3) (Hacer gráficos)
Un oscilador armónico (tipo bloque-muelle) oscila de tal forma que la amplitud del bloque es A y su
velocidad máxima es vmáxima.
a. A que distancia del centro (en función de A) se encuentra el bloque cuando su velocidad es
1/2vmáxima.
b. Cual es la velocidad del bloque cuando (en función de vmáxima) cuando la distancia al centro es
1/2A.
Problema (4)
Demostrar que la ecuación: x
m
d 2x
dt 2
dx
dt
e
t
ACos wt
, donde
2m
es una solución de la ecuación
kx 0
Problema (5) (Hacer gráficos)
Un reloj regulado por un péndulo simple de periodo 0,11 s se coloca en un ascensor. ¿Cuál es el
período?
a. Cuando el ascensor es acelerado hacia arriba con una aceleración de ½ g.
b. Con una velocidad constante de modulo igual a 5,2 m/s.
- 17 Jesús Mª Cuesta Porras
c. Cuando el ascensor baja con una aceleración de 1/2 g.
TALLER (5)
OSCILACIONES
Institución educativa:________________________________________Programa:_______________
Participantes:_______________________________________Nivel:__________Fecha:___________
Problemas propuestos
Problema (1) (Hacer gráficos)
Un M.A.S. vertical tiene una amplitud de 8 cm. y un periodo de 4 s. Hallar la velocidad y aceleración
0,5 s después que la partícula pasa por el extremo de su trayectoria.
Problema (2)
Una masa de 500 gr. sometida a una oscilación armónica simple describe la siguiente ecuación
x(t )
0,50 m Cos 6 rad/s t
6
rad .
a. Calcular: A, w, f, T y k.
b. Determine vx máxima y ax máxima
c. En que momento (t > 0) se encuentra el oscilador en su máxima distancia.
d. Construya las graficas de x(t), vx(t) y ax(t) en 0
t
2,5 s tomando puntos cada 0,5 s.
Problema (3) (Hacer gráficos)
Una partícula de 0,50 Kg. se mueve con M.A.S. Si el período es de 0,15 s y la amplitud del
movimiento es 10 cm. y la partícula esta a 5 cm. de su posición de equilibrio. Calcular:
a. La aceleración y la fuerza aplicada a la partícula.
b. La energía cinética y potencial de la partícula.
Problema (4) (Hacer gráficos)
El péndulo de un reloj tiene un período de 2 s cuando g=9,8 m/s2. Si la longitud se aumenta en 1 mm.
¿Cuánto se habrá atrasado el reloj después de 24 horas?
Problema (5)
Verificar que x(t)=Ae- tCos(wt+ ), donde =3/2m es una solución del movimiento amortiguado.
- 18 Jesús Mª Cuesta Porras
EJE TEMATICO (1)
“Oscilaciones”
Institución educativa: ____________________________________Programa:_______________
Participantes: ___________________________________Nivel:__________Fecha:___________
EVALUACIÓN (1)
Sección (A): Pregunta de selección única (Valor 2.00).
Nota: Escoja la respuesta que usted considere verdadera en los siguientes casos.
Pregunta (1).
Un M.A.S. viene dado por y
a) 2 s.
3Sen( .t ) m en donde t se da en segundos. El período del sistema es:
b) 2 hertz.
c) 3 m
d) 0,5 s.
Pregunta (2).
La energía de un sistema (masa – resorte) es proporcional a:
a)
b)
c)
d)
La amplitud de la vibración.
El cuadrado de la masa.
El cuadrado de la frecuencia.
El cuadrado del producto de la amplitud y constante del resorte.
Pregunta (3).
Dos sistemas (masa–resorte) A y B oscilan con frecuencia f A
fB
y constantes elásticas K
2
K,
entonces las masas mA y mB están relacionadas mediante:
a) m A
mB
4
b) m A
mB
2
c) m A
.m B
2
d) m A
4mB
Pregunta (4).
Se tienen dos péndulos simples A y B con las siguientes condiciones mA = 2mB, LA = LB y las
amplitudes de vibración son iguales, entonces:
a) TA
b) T A
c) TA
d) TA
TB
TB
2
TB
TB
y son iguales las energías de los péndulos.
y las energías de los péndulos son iguales.
y A tiene mayor energía que B.
y A tiene menor energía que B.
- 19 Jesús Mª Cuesta Porras
Sección (B). Tipo problema (Valor 3.00).
Problema (1).
Un sistema ejecuta un M.A.S. a lo largo de la dirección x la amplitud de las oscilaciones es 5 cm. y el
periodo 0,80 s, Escribir la ecuación del desplazamiento para t = 0,20 s y hallar vx y ax en el centro y
los extremos de oscilación.
Problema (2). (Hacer grafico).
Una masa se fija a un resorte cuya constante k = 400 nt/m. si a esta masa se le desplaza 4 cm. de su
punto de equilibrio y se suelta cuando t = 0 oscila con frecuencia de 15,6 Hz. Escribir las ecuaciones de
x = f(t), vx = f(t) y ax = f(t). ¿Cuánto vale la masa para este sistema?
- 20 Jesús Mª Cuesta Porras
EJE TEMATICO (1)
“Oscilaciones”
Institución educativa: ____________________________________Programa:_______________
Participantes: ___________________________________Nivel:__________Fecha:___________
EVALUACIÓN (2)
Sección (A): Pregunta de selección única (Valor 2.00).
Nota: Escoja la respuesta que usted considere verdadera en los siguientes casos.
Pregunta (1).
Un sistema (masa-resorte) con masa (m) vibra con una energía de 4 j cuando la amplitud de vibración
es de 5 cm. Si se sustituye la masa por otro valor m/2 y el sistema se pone a vibrar con una amplitud de
5 cm. La energía será:
a) 4 j.
b) 2 j.
c) 1 j.
d) Ninguna de las anteriores.
Pregunta (2).
Si la longitud de un péndulo aumenta al doble, su frecuencia de oscilación cambia por un factor de:
a) 2
b)
c)
2
1
d) 1/4
2
Pregunta (3).
Dos sistemas (masa–resorte) A y B oscilan de tal forma que sus energías son iguales y la masa
m A 2mB . Luego las amplitudes de oscilaciones se relacionan mediante:
a) AA
AB
4
b) AA
AB
2
c) AA
AB
d) Ninguna de las anteriores.
Pregunta (4).
Dos relojes de péndulo simple de longitudes idénticas (L), se observa que el reloj (A) camina más
despacio que el reloj (B). Por tanto el péndulo del reloj (A):
a) Oscila en un arco mayor que el del reloj (B).
b) Oscila en un arco menor que el del reloj (B).
c) Es más masivo que el del reloj (B).
d) Es menos masivo que el del reloj (B).
- 21 Jesús Mª Cuesta Porras
Sección (B). Tipo problema (Valor 3.00).
Problema (1).
Un objeto ejecuta un M.A.S. sobre el eje x a una frecuencia de 12 Hz la amplitud de desplazamiento es
8 cm. Hallar las ecuaciones de x = f(t), vx = f(t) y ax = f(t). Cuando t = 0 y x = 4 cm.
Problema (2). (Hacer grafico).
Una masa de 0,50 Kg. esta sostenida mediante un resorte. El sistema se pone a vibrar a una frecuencia
natural de 4 Hz y una amplitud de 5 cm. Determine la constante del resorte y la velocidad máxima.
- 22 Jesús Mª Cuesta Porras
EJE TEMATICO (1)
“Oscilaciones”
Institución educativa: ____________________________________Programa:_______________
Participantes: ___________________________________Nivel:__________Fecha:___________
EVALUACIÓN (3)
Sección (A): Pregunta de selección única (Valor 2.00).
Nota: Escoja la respuesta que usted considere verdadera en los siguientes casos.
Pregunta (1).
El Movimiento Armónico Simple se caracteriza porque:
a) La velocidad y el desplazamiento están en la misma dirección.
b) La velocidad y la aceleración están en la misma dirección.
c) El desplazamiento y la aceleración están en la misma dirección.
d) Ninguna de las anteriores.
Pregunta (2).
Un péndulo (A) tiene un periodo doble de un péndulo (B). Entonces se puede afirmar:
a) L A
2 LB y m A
b) L A
2 LB
2mB
c) L A
y la masa no aumenta
2 LB y m A
mB
2
d) Ninguna de las anteriores es correcta.
Pregunta (3).
Dos péndulos (A y B) se caracterizan porque L A
vibración. De ello se tiene que:
2 LB , m A
mB y además tienen idéntica energía de
a) Sus amplitudes angulares son iguales
c) B tiene mayor amplitud angular que A
b) Sus periodos de oscilación son iguales
d) Ninguna de las anteriores es correcta
Pregunta (4).
La figura muestra un péndulo simple oscilando (ver figura). De ello se tiene:
θ
m
θ
m
a) Aceleración es nula en los extremos.
b) Velocidad máxima en los extremos.
c) Energía cinética máxima en los extremos.
- 23 Jesús Mª Cuesta Porras
m
d) Aceleración máxima y velocidad cero en los extremos.
Sección (B). Tipo problema (Valor 3.00).
Problema (1).
La velocidad de un objeto viene dada por v X
1,8Sen 7,1rad .t .
a) Cuanto vale A, w, α y T
c) Hallar x, vx y ax cuando t = 0,25 s
b) Escribir las expresiones de x = f(t) y ax = f(t)
d) Hallar x, vx y ax cuando t = 0,25 s
Problema (2). (Hacer grafico).
Un oscilador armónico (bloque-muelle) con k = 23 nt/m y m = 0,47 Kg. tiene una energía mecánica
de 25 j.
a) ¿Cuál es la amplitud del movimiento?
b) ¿Cuál es la velocidad máxima del bloque?
c) ¿Cuál es la velocidad del bloque cuando x = 11 mm?
d) ¿Cuál es la distancia del bloque al centro cuando el modulo de su velocidad es de 0,25 m/s?
- 24 Jesús Mª Cuesta Porras
EJE TEMATICO (1)
“Oscilaciones”
Institución educativa: ____________________________________Programa:_______________
Participantes: ___________________________________Nivel:__________Fecha:___________
EVALUACIÓN (4)
Sección (A): Pregunta de selección única (Valor 2.00).
Nota: Escoja la respuesta que usted considere verdadera en los siguientes casos.
Pregunta (1).
La energía total de un oscilador armónico simple es (E):
a) Cuando x = A entonces U = K
c) Cuando x = A entones E = U y K = 0
b) Cuando x = 0 entonces U = E
d) Cuando x = 0 entonces E = U y K = 0
Pregunta (2).
Si la frecuencia angular de un M.A.S. se duplica entonces:
a) La frecuencia se duplica
c) La amplitud se triplica
b) El periodo se reduce a la mitad
d) Ninguna de las anteriores
Pregunta (3).
En los péndulos simples ilustrados en la figura (ver figura). De ellas se tiene:
a)
b)
c)
d)
θ
θ
m
m
m
X1
axmáx en (+A) hacia la derecha.
axmáx en (-A) hacia la derecha.
K es máxima en (+A)
vmáx en (-A)
X
-A
0
A+
Pregunta (4).
Cuando un oscilador armónico (masa-resorte) pasa por x = 0 se cumple:
a) vmáx y K = 0 (energía cinética)
c) a = 0 y Kmáx (energía cinética)
b) vx = 0 y Kmáx (energía cinética)
d) Ninguna de las anteriores
- 25 Jesús Mª Cuesta Porras
Sección (B). Tipo problema (Valor 3.00).
Problema (1). (Hacer grafico).
Una partícula se mueve hacia la derecha a lo largo del eje (x) en un movimiento armónico simple a
partir del origen en t = 0. Si la amplitud de su movimiento es de 2 cm. y la frecuencia es 1,5 Hz.
a) Determine la expresión de x = f(t) en términos del seno.
b) Hallar la velocidad máxima y el tiempo para adquirirla.
c) Calcular la aceleración máxima y el tiempo para adquirirla.
Problema (2).
Una masa de 50 g conectada a un resorte de constante (K = 35 nt/m) oscila sobre una superficie
horizontal sin fricción con una amplitud de 4 cm. encontrar:
a) La energía total del sistema.
b) La velocidad de la masa cuando el desplazamiento es: x = 1 cm. y x = 3 cm.
c) La energía cinética y potencial en dichos puntos.
- 26 Jesús Mª Cuesta Porras
EJE TEMATICO (2)
“ONDAS MECÁNCAS”
CONDUCTA DE ENTRADA
Para comprender los contenidos de este eje temático usted debe responder con claridad las siguientes
preguntas relacionadas con el M.A.S.
Pregunta (1).
¿Por qué al M.A.S. se le denomina armónico?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Pregunta (2).
Las figuras muestran las posiciones de un oscilador (sistema masa-resorte). En cada caso obtenga el
signo (+, -, 0) de las magnitudes presente.
Vx
0
0
m
a)
x=
vx=
ax= Fx=
Vx
0
m
m
b)
x=
vx=
ax= Fx=
Vx
c)
x=
vx=
ax= Fx=
Vx
0
Vx
m
d)
x=
vx=
ax= Fx=
0
m
e)
x=
ax=
vx=
Fx=
Pregunta (3).
Dibuja las graficas correspondientes a la cinemática del M.A.S. (x = f(t), Vx = f(t), ax = f(t)).
¿Qué tipo de grafica te representa?
Pregunta (4).
Las figuras muestran las configuraciones de una cuerda y un muelle helicoidal (resorte) (ver figuras).
Movimiento
A
Movimiento
B
a) Cuerda
b) Resorte
En cada caso responda lo siguiente:
a. ¿En los sistemas hay transporte de materia y energía? ¿Qué es una onda?
b. ¿En que sentido se mueven las partículas del sistema?
_______________________________________________________ ¿Qué nombre reciben?
_______________________________________________________ ¿Qué nombre reciben?
- 27 Jesús Mª Cuesta Porras
Pregunta (5).
La figura muestra la configuración de una cuerda oscilando (ver figura).
c : ¿ Como se deno min a ? .......... ...
N : ¿ Como se deno min a ? .......... ..
C
+
N1
ψ0
N3
N2
-
ψ0
Elementos :
N 1 N 3 : ¿ Con que nombre se conoce ?
D
Tiempo para recorrer N 1 N 3 :
¿ Como se deno min a ?
a. Es la velocidad de la onda ¿constante o variable? Escriba una ecuación que relacione a: V, N1N3 y
el tiempo para N1N3.
b. Según la configuración de la cuerda oscilante ilustrada arriba escriba una ecuación matemática
para x = f(t).
- 28 Jesús Mª Cuesta Porras
Logros:
Cuando termine el estudio de las ondas mecánicas:
Diferencio el estudio de las ondas mecánicas.
Reconozco los elementos de una onda.
Comprendo los fenómenos ondulatorios.
Resuelvo problemas sobre ondas.
Contenido:
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Introducción.
Ondas viajeras – ondas armónicas.
Energía y potencia en las ondas.
Fenómenos ondulatorios.
Talleres sobre ondas.
BIBLIOGRAFÍA
Física I: Raymond – Serway
Física II: Alonso Finn
Física clásica y moderna: Gettys – Keller
Física I: Fisbone - Thornton
- 29 Jesús Mª Cuesta Porras
Eje temático (2)
“Ondas mecánicas”
2.1 Introducción.
Las ondas son perturbaciones que transportan energía y momentun, pero no materia al propagarse. El
esquema conceptual ilustrado nos muestra la clasificación de las ondas mecánicas según el movimiento
de las partículas del medio (ver esquema).
Partícula
Las partículas delmedio se mueven
paralelamente a la dirección del
Longituginales
movimiento de la onda
vp
Ondas
mecánicas
Tranversales
Las partículas del medio se mueven
perpendicularmente a la dirección de
vp
propagación de la onda
v
Las ondas mecánicas necesitan un medio elástico para propagarse, se caracterizan porque al propagarse
transportan energía cinética y potencial; pertenecen a este grupo las ondas en el agua, las ondas en
cuerdas, ondas sonoras, etc.
C : Cresta : Punto de amplitud (
C
Elementos
de una onda
N
0
V : Valle : Punto de amplitud (-
C
v
N
N
0
N
0
0
0
)
)
N : Nodo : Punto de amplitud (0)
: Longitud de onda : Distancia entre C y c
v : f : Velocidad de propagación
2
w:
v Frecuencia angular
V
Observación:
La figura (1) muestra las configuraciones de algunas ondas mecánicas que reciben nombres específicos
(ver figura).
a)
Figura(1)
: Se denomina pulso
b)
: Recibe el nombre de tren de ondas
- 30 Jesús Mª Cuesta Porras
2.2 Ondas viajeras – armónicas.
Onda viajera.
La configuración de una onda viajera se ilustra en la figura (2a) (ver figura). De ello obtenemos:
( x.t )
f ( x, t )
V
+Vt
-Vt
f ( x vt)(es la función de onda)
V
Se caracteriza porque no se
distorciona al propagerse
X
t
Pulso
t=0
t
2
Figura 2a
t
v2
2
2
Es la ecuación dferencial
2
de onda
x
Ondas armónicas.
Las ondas armónicas se caracterizan porque sus configuraciones son curvas senos o cósenos como lo
muestra la figura (2b) (ver figura).
( x, t )
0
x
( x, t )
0
0
Sen(kx wt
)
0
Sen( wt
)
kx
Son las expresiones de
las ondas armonicas
( x, t )
0
0
x
( x, t )
0
0
Cos(kx wt
)
0
Cos( wt
)
kx
Figura (2b)
k
Advertencia:
w
2
2
: Es el número de ondas
v
kv : Frecuencia angular
kx wt
wt kx : Fase de la onda
: Fase inicial
- 31 Jesús Mª Cuesta Porras
Problemas resueltos (I)
(Para el aula de clase)
Problema (1).
a. Una onda tiene una frecuencia de 60 Hz y una longitud de onda de 2 m ¿Cuáles son el periodo
y la velocidad de propagación de la onda?
b. Cuando una persona se para sobre un muelle observa que la cresta de una ola pasa cada 1,5 s, Si
la distancia entre crestas es de 4 m. ¿Cuál es la velocidad de las ondas superficiales?
Problema (2).
2
, Donde x, ψ(x,t) se expresan en cm. y t en segundos
( x 3t ) 2 1
representa un pulso que se mueve hacia la derecha a lo largo del eje x, Dibujar la forma de la onda en t
= 0, t = 1 s y t= 2 s.
La función de ondas
( x, t )
Problema (3).
Una onda senoidal que viaja en la dirección del eje (-x) tiene una amplitud de 20 cm., una longitud de
onda 35 cm. y una frecuencia de 12 Hz. El desplazamiento de la onda en t = 0 , x = 0 es ψ(x,t) = -3
cm.
a. Encontrar el número de ondas, el periodo, la frecuencia angular y la velocidad de fase.
b. Escriba una expresión para la función de ondas.
Problema (4).
Una onda se describe por medio de ψ(x,t)=(15 cm.)Cos(0,157x-50,3t), Determine para esta onda:
a. La amplitud y frecuencia angular.
b. Número de onda y longitud de onda.
c. Velocidad de onda y dirección del movimiento.
Problema (5).
Demostrar que ψ(x,t) = ψ0Sen(kx-wt) se puede escribir como:
a.
( x, t )
0
Sen k ( x vt)
b.
( x, t )
0
Sen
2
(
x
f .t )
- 32 Jesús Mª Cuesta Porras
Ondas transversales armónicas.
La figura (3) nos muestra el perfil de una onda transversal armónica (ver figura) de ella resulta:
vp
wt )
0 wCos ( kx
t
es la velocidad de la particula
( x, t )
v
P
( x, t )
x
0
Sen(kx wt )
es la función de onda
VP
Figura (3)
d (v p )
ap
2
dt
t2
2
wt )
0 w Sen( kx
es la aceleración de la particula
(v p ) máx
0
es la velocidad máxima
de la particula
w
Nota:
(
)
p máx
0
es la aceleración máxima
de la particula
w2
Ondas transversales en una cuerda.
Consideremos el pulso formado en la cuerda tensa en A y B ilustrada en la figura (4) (ver figura). De
ella tenemos:
T y1
y
T
B
Tx
A
2
1
T
0
x
Ty
1
Tx1
2
son pequeños
Tag
ε
Tag
x
m
densidad lineal; a y
dx
x
dx
Sen
2
t2
Figura (4)
De lo anterior resulta:
Fy
T (Tag
2
Tag 1 ) T .d (Tag )
2
T
x2
T
t2
dx
x2
2
dx
2
2
dx
t2
T
2
.
x2
2
Fy
ma y
t2
dx
- 33 Jesús Mª Cuesta Porras
2
T
t2
2
.
Comparando
x2
T es la velocidad de las ondas
transversales en una cuerda
Obtenemos v
2
2
t2
v2
x2
2.3 Energía y potencia en las ondas transversales.
Consideremos la onda transversal armónica de la figura (5) (ver figura). De ella tenemos:
( x, t )
V
VP
VP
0
0
0
0
VP
Figura (5)
E
m
dx
0
1
2
mv 2
1
2
dx( w
0
)2
es la energia de la onda
Sen(kx wt )
d E 1 dx
(w 0 ) 2
2
dt
dt
es la potenciade la onda
P
1
2
v( w
0
)2
Problemas resueltos (II)
(Para el aula de clase)
Problema (1).
a. Cuál es la velocidad de las ondas transversales en una cuerda de 2 m de longitud y 100 gr. de masa
sometida a una tensión de 80 nt.
b. Cuál es la masa de una cuerda de 10 m de longitud cuando sometida a una tensión de 80 nt la
velocidad de la onda transversal es de 20 m/s.
Problema (2).
Una barra que se mueve hacia arriba y hacia abajo una distancia de 0,50 cm. genera en el extremo de
una cuerda larga horizontal una onda armónica transversal. El movimiento es continuo y se repite
regularmente 120 veces por segundos. Si la cuerda tiene una densidad lineal de 0,25 Kg./m y se
mantiene bajo una tensión de 90 nt.
a. Determina v, ψ0 y .
b. Escriba la expresión de la onda suponiendo que se mueve en el eje (+x).
c. Encontrar las ecuaciones de la velocidad y aceleración de una partícula situada a 62 cm. del
extremo de la cuerda.
d. La velocidad máxima y aceleración máxima de la partícula.
Problema (3).
Una cuerda tensada tiene =5x10-2 Kg./m y esta sometida a una tensión de 80 nt. ¿Cuánta potencia
debe aplicarse a la cuerda para generar ondas senoidales a una frecuencia de 60 Hz y una amplitud de 6
cm.
- 34 Jesús Mª Cuesta Porras
2.4 Fenómenos ondulatorios.
En las ondas se presentan los siguientes fenómenos a saber: reflexión, refracción, interferencia,
polarización y difracción. En esta sección solamente analizaremos los fenómenos de reflexión,
refracción e interferencia en las ondas transversales armónicas.
Reflexión de ondas.
La figura (6) nos ilustra la configuración del pulso incidente y reflejado en una cuerda cuando en ella se
presenta el fenómeno de reflexión (ver figuras).
la onda refleja se invierte
conservendo su configuración
Extremo fijo
Onda incidente
ondas reflejadas
Pared
la onda reflejada no se invierte
y conserva su configuración
Extremo libre
Figura (6)
Refracción de ondas.
Observemos la configuración de lasa ondas incidente y trasmitida (refractada) cuando en dos cuerdas
de densidades ( 1 y 2) se presenta el fenómeno de refracción (ver figura (7)).
1
i
r1
2
r1
r
ondas reflejada y
trasmitida
Si
2
1
2
Frontera -unión
1
r
ondas reflejada y
trasmitida
Figura (7)
2
2v 2
v1 v 2
0r
1
0i
0i
i
Nota (1):
2
son las amplitudes de las ondas reflejadas y trasmitida
0r
T
v 2 v1
v1 v 2
1
0r
1
2
i
2
0i
0i
se denomina coeficiente de refraccióno transmición
0i
Nota (2):
R
0 r1
se denomina coeficiente de reflexión
0i
T
0 siempre
y
0i
0r
tienen el mismo signo
Observación:
R
0
R
0
depende si
1
u2
2
u2
i
y
r
pueden estar en fase
o en oposición de fase
- 35 Jesús Mª Cuesta Porras
Interferencia de ondas.
Este fenómeno se presenta cuando dos o más ondas se cruzan o superponen en un mismo lugar o
medio. Analizaremos dos casos de interferencia, a saber:
Caso (1): Ondas de igual frecuencia.
La figura (8) nos muestra las configuraciones de las ondas armónicas componentes y la onda armónica
resultante cuando se superponen (ver figura).
x
0
2
1
Superposición de ondas en fase
Figura (8 a)
1
01
Interferencia
constructivas
valle - valle;
0
Sen( wt
Sen( wt
2
2
0
)
2
01
2
02
2
01
02
Cos(
2
1
)
)
cresta - cresta
2
02
Sen( wt
2
)
Sen
01Cos
01
Tag
1
1
Sen
02 Cos
02
2
2
2
x
0
1
Superposición de ondas desfasadas
“Interferencia destructivas”
Valle-cresta; cresta-valle
Figura (8 b)
0,
2
01
02
Cos(
Adv.: es el termino
de interfase
2
1
2 , 4 ,......... ..
0
es máxima y
" las ondas estan en fase"
)
Si: = (
2-
1)
, 3 , 5 .........
0
es mínma " las ondas
estan desfasadas en
- 36 Jesús Mª Cuesta Porras
Caso (2): Ondas de diferentes frecuencias angular.
El perfil de las ondas componentes y su onda resultante para este caso se ilustra en la figura (9) (ver
figura).
w1t )
1
01Cos ( k1 x
2
x
0
0
Cos(k 2 x w2 t )
2
1
Cos(k x wt ) onda resultante
01
Figura (9)
w
1
2
( w1
1
2
wm
w2 ) : frecuencia ángular promedio
( w1
w2 ) : frecuencia de modulación
Donde:
2
0
k
km
1
2
( k1
1
2
( k1
01
Cos(k m x wm t ) amplitud de
k 2 ) : número de ondas promedio
k 2 ) : número de ondas de modulación
Ondas estacionarias.
Estas ondas resultan de la superposición de dos ondas idénticas pero de dirección opuestas como se
muestra en la figura (10) (ver figura).
A
A
N
N
incidente
i
A
N
Elementos
x
N
A : antinodo o vientre
Puntos de amplitud máxima
N : Nodos
Puntos de amplitud cero
r reflejada
resultan te
2
Figura (10)
i
0
Sen kx wt
i
Observación: Si
0
SenkxCoswt
Se denomina onda estacionaria
r1
2
2
2
0
0
Sen kx wt
Senkx : es la amplitud de la onda
1
Nota:
2
0
Senkx 2
0
Amplitud máxima de la onda
Si: Sen(kx)=
0 2 0 SEnkx 0 Amplitud mínima de la onda
3 5
3 5
n
kx
, , .......
x
, ,
x
; n 1,3,5,....
2 2 2,
4 4 4
4
Son las posiciones (puntos) de los antinodos(vientre)
Adv.: k
2
: Si
3
2
2
Son las posiciones de los nodos
kx
,2 ,3 ,......
x
, ,
x
n
;n
2
0,1,2,3,....
- 37 Jesús Mª Cuesta Porras
Ondas estacionarias en una cuerda.
Caso (1): Extremos fijos.
La figura (11) nos muestra una cuerda de longitud (L) fija en sus extremos, y los nodos normales
(armónicos) que se forman en ella cuando se pone a vibrar (ver figura). Del fenómeno obtenemos:
Fija
L
2
n 1
L
Fija
0
L
Figura (11)
Advertencia: Como
fn
L
n
2
Son las condiciones
de frontera
Armónicos
2L
n
T
v
x
n 2
L 3 2
n 3
Cuerda fija-fija
n
x
n : son las armonicas en
n T
, Para n 1,2,3,....
u
las ondas fija - fija
2L
fn
u
v
n
f1
Se denomina frecuencia fundamenta l
1 T
, n 1
u
es la frecuencia más baja
2L
Nota:
f 2 , f 3 , f 4 ,......... ...
Se les llama sobretonos
son multiplos de f1
Caso (2): Un extremo libre y el otro fijo.
La configuración de los armónicos que se forman en una cuerda del caso (2) se ilustra en la figura (12)
(ver figura).
A
N
Fijo
Libre
A
N
L
N
A
Cuerda fija-libre
N
N
N
Armónicos
Figura (12)
n
Advertencia: Como
f1
L
4
n 1
L 3
n 3
L 5
n 5
x
4
x
L
n
4
Son loas condiciones
de frontera
4
4L
n
fn
v
v
T
n
fn
n : Son los armónicos
n T
; Con n 1,3,5.....
u
en la cuerda fija - libre
4L
u
1 T
, Pero : n 1 Es la frecuencia fundamenta l
u
4L
Nota:
f1 , f 3 , f 3 , f 7 ,......... Se presentan en las razones 1 : 3 : 5 : 7 : ..........
- 38 Jesús Mª Cuesta Porras
Problemas resueltos (III)
(Para el aula de clase).
Problema (1).
Un alambre de cobre de radio 1 mm se suelda a otro alambre del mismo material de radio 0,80 mm.
Hallar T y R en la unión, para ondas que se propaguen en el sistema del primero al segundo alambre.
Problema (2).
Dadas las ondas
3Sen wt
1
3
y
3Sen wt
2
2
:
a. Hallar la onda resultante.
b. Hacer el grafico de cada onda y la onda resultante en 0
t
2T tomando puntos cada T/2.
Problema (3).
I. Dos ondas de la misma amplitud y velocidad pero de frecuencias 1.000 y 1.010 Hz
respectivamente viajan en la misma dirección a 10 m/s.
a. Escribir las ecuaciones de las ondas separadas y la de su suma.
b. Dibujar la onda resultante.
2
II. Demostrar que
2
1
x2
1
v2
c1
2
2
1
t2
y
2
x2
1
c2
1
v0
satisface la ecuación de onda
2
t
1
2
2
1
v2
x2
2
t2
, si:
.
Problema (4).
Una onda estacionaria en una cuerda
x, t
0,024m Sen 52,3m 1 x Cos 480s 1t .
fija
por
sus
dos
extremos
viene
dada
por
a. Determinar la velocidad de las ondas sobre la cuerda y la distancia entre nodos.
b. Dos ondas que viajan en direcciones opuestas producen una onda estacionaria, las funciones de
ondas individuales son: 1 4cm Sen 3x 2t y 2 4cm Sen 3x 2t :
I. Encontrar el desplazamiento máximo del desplazamiento en x= 2,3 cm.
II. Determinar las posiciones de los nodos y antinodos.
Problema (5).
La nota Do en un piano tiene una frecuencia fundamental de 246 Hz y la nota La una frecuencia
fundamental de 440 Hz. Si se supone que las cuerdas para la nota Do y La tienen la misma densidad de
masa y la misma longitud. Determinar:
a. Las frecuencias de los dos siguientes armónicos de la nota Do.
b. La relación de las tensiones en las dos notas.
- 39 Jesús Mª Cuesta Porras
2.5 Talleres sobre ondas.
TALLER (1)
ONDAS MECÁNICAS
Institución educativa: _______________________________________Programa:_______________
Participantes: ______________________________________Nivel:__________Fecha:___________
Problemas propuestos
Problema (1).
a. Las ondas en el océano con una distancia cresta-cresta de 10 m pueden describir mediante
x, t 0,80mSen 0,63 x vt , donde v=2 m/s. Dibuje en un solo sistema
x, t en t = 0 y
x, t en t = 2 s.
x, t e b x vt es una solución de la ecuación diferencial de las ondas, donde
b. Compruebe que
b es una constante.
Problema (2).
Una onda transversal que viaja por un alambre tenso de densidad de masa 4,10 g/m tiene una amplitud
de 0,200 mm y una frecuencia de 500 Hz y viaja con una velocidad de 196 m/s.
a. Escriba la ecuación de la onda en unidades (SI) en la forma
b. Calcular la tensión en el alambre.
x, t
0
Sen kx wt .
Problema (3).
Dos ondas que se mueven por una cuerda en la misma dirección y sentido tienen la misma frecuencia
de 100 Hz, una longitud de onda de 2 cm. y una amplitud de 0,02 m. Determine las ondas
componentes y la onda resultantes (analítica y gráficamente), si las ondas difieren en fase en los casos
siguientes: i) π/6, y ii) π/3.
Problema (4).
Una masa de 12 Kg. cuelga en equilibrio de una cuerda de longitud total L= 5m y densidad lineal de
masa =0,001 Kg./m. La cuerda pasa por dos poleas ligeras sin rozamiento que estén separadas una
distancia d= 20 m (ver figura a):
d
m
d
a. Determine la tensión en la cuerda en a.
m
b. ¿A que frecuencia debe vibrar la cuerda para
que se formen el patrón de ondas estacionarias
mostrado en la figura (b)?
a)
b)
Problema (5).
La función de onda para una onda estacionaria en una cuerda es
donde x esta en m y t en s:
x, t
0,30m Sen 0,25x Cos 12 t ,
a. Determinar: la longitud de onda y la frecuencia de las ondas viajeras que interfieren.
b. Escribir las ecuaciones de las ondas que interfieren.
- 40 Jesús Mª Cuesta Porras
TALLER (2)
ONDAS MECÁNICAS
Institución educativa: _______________________________________Programa:_______________
Participantes: ______________________________________Nivel:__________Fecha:___________
Problemas propuestos
Problema (1).
a. En t=0, un pulso de onda transversal en un alambre se describe por medio de la función
6
, donde ψ y x se dan en metros:
x, t
2
x 3
i.
Escriba la ecuación de
x, t que represente esta onda si esta viaja en la dirección (x+) con
una velocidad de 4,5 m/s.
ii.
Dibuje el pulso para t = 0 y t = 1 s.
b. Demostrar que
x, t ln b x vt es una solución de la ecuación diferencial de las ondas (b es
una constante).
Problema (2).
La función de onda para una onda polarizada lineal en una cuerda tensada en unidades (SI), es:
.
x, t
0,35m Sen 10 t 3 x
4
a. ¿Cuáles son la velocidad y dirección de la onda?
b. ¿Cuál es el desplazamiento vertical de la cuerda cuando x=0,10 m y t=0 s.?
c. La magnitud máxima de la velocidad transversal de la cuerda.
d. ¿Cuáles son la longitud de onda y la frecuencia de la onda?
Problema (3).
Dos alambres, uno de cobre y el otro de acero, el mismo radio, se unen formando u alambre más largo.
Encontrar T y R en el punto de unión para ondas que se propaguen alo largo del alambre. Sea 1 mm el
radio común. Suponiendo que la onda incidente tiene una frecuencia de 10 Hz y que su amplitud es de
2 cm. y la tensión en la cuerda es 5 nt, Escribir las ecuaciones de las ondas reflejada y transportada (la
densidad del cobre es 8,89x103 Kg./m3 y la del acero es 7,8x103 Kg./m3).
Problema (4).
Un alambre de cobre que tiene un radio de 1 mm y una longitud de 1 m esta sujeto a una tensión de
10.000 nt. Hallar:
a. La frecuencia fundamental y los dos números armónicos.
b. Las longitudes de ondas correspondientes.
c. Hacer un grafico de estado de vibración del alambre en cada caso.
d. Escribir la ecuación que describe las ondas estacionarias para cada frecuencia.
Problema (5).
a. Dos ondas de igual amplitud, velocidad y frecuencia, pero con desfase de π/4, viajan en la misma
dirección en una cuerda. hacer grafica y analíticamente la onda resultante.
b. Dos ondas armónicas que se propagan en direcciones opuestas interfieren para producir una onda
x, t
1,5m Sen 0,4 x Cos 200t , donde x esta en metros y t en
estacionaria descrita por
segundos. Determine:
i. La longitud de onda, la frecuencia y la velocidad de las ondas que intervienen.
ii. Las ecuaciones de las ondas que intervienen.
- 41 Jesús Mª Cuesta Porras
TALLER (3)
ONDAS MECÁNICAS
Institución educativa: _______________________________________Programa:_______________
Participantes: ______________________________________Nivel:__________Fecha:___________
Problemas propuestos
Problema (1).
a. Los pulsos de la figura (ver figura) se mueven en direcciones opuestas, la amplitud del pulso A es
el doble de la amplitud del pulso B. Dibuje la forma de los pulsos en T=1, 1.5, 2, 2.5 y 3 s.
( x, t )
4
V=2cm/s
V=-2cm/s
X(cm.)
2
0
2
4
b. Demostrar que la función
ondas.
6
8
x, t
x2
10
12
14
16
v 2 t 2 , es una solución de la ecuación diferencial de las
Problema (2).
x
Cos4 t , donde x esta en metros y t en segundos.
3
a. ¿Cuál es la amplitud, velocidad de las ondas componentes cuya superposición da origen a esta
vibración?
b. ¿Cuál es la distancia entre nodos?
c. ¿Cuál es la velocidad de una partícula de la cuerda que esta en la posición x = 1,5 cm.?
Una cuerda según la función
x, t
0,5Sen
Problema (3). (Hacer grafico).
La densidad lineal de una cuerda vibrante es de 1,3x10-4 Kg./m, una onda transversal se propaga por
dicha cuerda, esta descrita por la función
x, t 0,021Sen x 30t , donde x esta dada en metros y t
en segundos. ¿Cuál es la tensión en la cuerda?
Problema (4).
La figura muestra una onda transversal propagándose en una cuerda hacia la izquierda (ver figura).
En t = 0 s la tensión de la cuerda es 3,6 nt y = 25 g/m. Calcular:
4
2
0
-2
-4
( x, t )(cm)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
a. La amplitud, periodo y longitud de onda.
b. La rapidez de la onda y la velocidad máxima de
X(cm.)
una partícula de la cuerda.
c. Escribir la función que describe esta onda
viajera.
Problema (5).
x, t para una onda estacionaria en una cuerda fija por ambos extremos,
a. La función de onda
viene dada por x, t 4,2Sen0,20xCos300t con x en centímetros y t en segundos.
i. ¿Cuáles son la longitud de onda y la frecuencia de esta onda?
ii. ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en esta cuerda?
iii. Si la cuerda esta vibrando en su cuarto armónico. ¿Cuál es su longitud?
b. Dos ondas tienen la misma frecuencia, longitud de onda y amplitud, se están moviendo en la misma
dirección y sentido, pero difieren en fase en π/2 y cada una de ella tiene una amplitud de 0,05 m.
Hallar (analíticamente y gráficamente) la onda resultante.
- 42 Jesús Mª Cuesta Porras
TALLER (4)
ONDAS MECÁNICAS
Institución educativa: _______________________________________Programa:_______________
Participantes: ______________________________________Nivel:__________Fecha:___________
Problemas propuestos
Problema (1).
a. La figura muestra dos pulsos rectangulares en t = 0 s, Dibujar las funciones de onda para
t = 1, 2 y 3 s.
b.
10 cm./s
10 cm./s
15cm
c. Escribir la ecuación
x, t
0
30cm
5cm
Sen kx wt , en términos de: i) k y v, ii)
Problema (2).
La función de onda de una armónica que se mueve
x, t
0,03 Sen 2,2m 1 x 3,5s 1 t , ¿En que sentido se mueve la onda?
y f, iii) f y .
en
una
cuerda
es
a. ¿Cuál es la velocidad de la onda y la longitud de onda?
b. ¿Cuál es la frecuencia y el periodo de la onda?
c. ¿Cual es el desplazamiento máximo y velocidad máxima del cualquier segmento de la cuerda?
Problema (3) (Hacer grafico).
Una onda armónica de =25 cm., 0 1,2cm , se mueve a lo largo de un segmento de 15 m de una
cuerda de 60 m de longitud y 320 g de masa que esta sometida a una tensión de 12 nt. Determinar:
a. La velocidad y frecuencia angular de la onda.
b. La energía total media de la onda.
Problema (4). (Hacer grafico).
a. Una onda estacionaria en una cuerda fija por sus dos extremos viene dada por
x, t
0,024 Sen 52,3m 1 xCos 480s 1 t . Hallar:
i.
La velocidad de las ondas sobre la cuerda.
ii.
La distancia entre los nodos para las ondas estacionarias.
iii.
Escribir las ecuaciones de las ondas componentes.
- 43 Jesús Mª Cuesta Porras
b. Una onda sinusoidal continúa esta viajando por una cuerda con una velocidad de 80 cm./s. Se
encuentra que el desplazamiento de la partícula de la cuerda situada en x= 10 cm. varia con el
tiempo según la ecuación
x, t 5Sen 1 4t en cm. La densidad lineal de la cuerda es
de 4 g/cm.
i.
¿Cuál es la frecuencia de la onda?
ii.
¿Cuál es la longitud de onda?
iii.
Escribir la ecuación general del desplazamiento transversal de la partícula de la cuerda como
una función de la posición y el tiempo.
iv.
Calcular la tensión de la cuerda.
Problema (5).
a. Las ondas 1 x, t
3,2 Sen 2 0,04x 20t y 2 x, t
por una cuerda donde x esta en cm. y t en s. Determine:
i.
ii.
iii.
La onda estacionaria resultante
(Sugerencia: use Sen
Sen
2Sen 1 2
Cos
1
2
3,2 Sen 2 0,04x 20t 0,25
viajan
).
Localice el nodo de la onda estacionaria resultante que este mas cerca de x=0.
(Sugerencia: Dibuje la onda estacionaria).
Calcule la distancia entre nodos adyacentes.
b. Una cuerda que vibra con una frecuencia de 600 Hz tiene cuatro nodos incluyendo a los de los
extremos (dibujar grafico) fijos. Si la longitud de la cuerda es 120 cm. ¿Cuál es la velocidad de la
onda viajera?
- 44 Jesús Mª Cuesta Porras
TALLER (5)
ONDAS MECÁNICAS
Institución educativa: _______________________________________Programa:_______________
Participantes: ______________________________________Nivel:__________Fecha:___________
Problemas propuestos
Problema (1).
a. En el instante t = 0, la forma de un pulso de onda en una cuerda viene dada por la función
0,12m 3
; en donde x esta en metros.
x,0
2
2m
x2
i. Dibujo
x,0 en función de x.
ii.
Exprese la función de onda
x, t en un instante t cualquiera si se mueve con velocidad
+
v = 10 m/s en el sentido (x ) y en sentido (x-).
b. Demostrar que
x, t
0
Sen kx wt se puede escribir de las siguientes formas:
i.
x, t
0
Senw
ii.
x, t
0
Sen2
x
v
t
x
t
T
Problema (2).
Una onda de frecuencia 1.200 Hz se propaga alo largo de un alambre que esta bajo una tensión de 800
nt. La longitud de onda de la onda es de 24 cm. ¿Cuál será la longitud de onda si la tensión decrece a
600 nt y la frecuencia se mantiene constante?
Problema (3).
Una onda transversal en una cuerda se describe por medio de
x, t
0,12m Sen
x
8
4t .
x,0 .
i.
Dibuje la grafica de
ii.
Hallar la velocidad y aceleración transversal de la cuerda en t = 0,20 s para el punto sobre la
cuerda localizada en x = 1,6 m.
iii.
¿Cuáles son , T y v de esta onda?
- 45 Jesús Mª Cuesta Porras
Problema (4).
Dos
ondas
x, t
2
armónicas
6m Sen
6
x
se
describen por
0,0050
medio
de
1
x, t
6m Sen
15
x
0,0050
t
y
; donde x se expresa en metros y t en segundos.
t
i.
¿Cuál es la onda resultante cuando
ii.
Para que valores de
6
?
la amplitud de la onda resultante tendrá su valor máximo.
a b
a b
.Sen
Sugerencia: Utilice Sen a Sen b 2Cos
.
2
2
Problema (5).
a. Una onda estacionaria se forma por medio de la interferencia de dos ondas viajeras, cada una de las
cuales tiene
cm. , k
cm
1
i.
y w 10 rad./s
2
Escribir la función de onda estacionaria
x, t .
ii.
Dibujar la onda estacionaria
iii.
Hallar la amplitud de la onda en x = 0,25 cm.
iv.
Calcular la distancia entre los dos primeros antinodos.
0
x,0 .
b. En el sistema de la figura (ver figura):
Vibrador
= 0,0020 Kg./m, L = 2 m y M = 25 Kg.:
L
i.
¿Cual es la frecuencia del vibrador?
ii.
¿Cual es la masa de la cuerda?
Polea
m
- 46 Jesús Mª Cuesta Porras
EJE TEMATICO (2)
“Ondas mecánicas”
Institución educativa: ____________________________________Programa:_______________
Participantes: ___________________________________Nivel:__________Fecha:___________
EVALUACIÓN (1)
Sección (A): Pregunta de selección única (Valor 2.00).
Nota: Escoja la respuesta que usted considere verdadera en los siguientes casos.
Pregunta (1).
Una onda armónica descrita por
0,04Sen 16 .t 4 .x en donde x se expresa en m y t en
x ,t
segundos; la frecuencia y la amplitud de la onda se expresan en:
a) 16π Hz
b) 8 Hz, 4 cm.
c) 8 π y 4 cm.
d) 4 Hz, 2,5 cm.
Pregunta (2).
Cuando dos ondas de igual amplitud
0 , igual frecuencia (f) e igual velocidad (v) se propaga a lo
largo de una cuerda, la amplitud de la onda resultante es:
a) 2ψ0
b) ψ0
c) Cero
d) Puede ser cualquiera de las anteriores
Pregunta (3).
Una cuerda fija en ambos extremos resuena con una frecuencia fundamental de 120 Hz, si se reduce la
frecuencia fundamental a 60 Hz entonces el ajuste necesarío en la cuerda es:
a) Doblar la tensión y la longitud
b) Reducir la tensión a la mitad, manteniendo fija la longitud
c) Reducir la tensión la mitad y doblar la longitud
d) Mantener fija la tensión y reducir la longitud a la mitad
e) Ninguna de las anteriores
Pregunta (4).
Una onda transversal viaja a lo largo de una cuerda de masa (m), longitud (L) y tensión (T), luego:
a) La λ es proporcional a L.
c) La velocidad de la onda depende de m, L y T
b) La f es proporcional a λ
d) La energía de la onda es proporcional a
1
2
0
- 47 Jesús Mª Cuesta Porras
Sección (B). Tipo problema (Valor 3.00).
Problema (1).
La amplitud de una onda es 17 mm, el número de onda es 5,3 rad/m, la frecuencia angular 19 rad/s y
se mueve en la dirección (-x).
a) Escribir la ecuación de x = f(t)
b) ¿Cuál es la velocidad de la onda?
c) ¿Cuál es la velocidad máxima y aceleración máxima de un elemento de la cuerda?
Problema (2).
Dos ondas presentes en una cuerda al mismo tiempo vienen dadas por las ecuaciones:
14mm Sen 4,8rad / m x 29rad / s t 0,21rad
1
14mm Sen 4,8rad / m x 29rad / s t 0,35rad
2
a) ¿Cuál es la dirección de fase e esta onda?
b) ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante?
c) ¿Cuál es la expresión de la onda resultante?
- 48 Jesús Mª Cuesta Porras
EJE TEMATICO (2)
“Ondas mecánicas”
Institución educativa: ____________________________________Programa:_______________
Participantes: ___________________________________Nivel:__________Fecha:___________
EVALUACIÓN (2)
Sección (A): Pregunta de selección única (Valor 2.00).
Nota: Escoja la respuesta que usted considere verdadera en los siguientes casos.
Pregunta (1).
Una cuerda cuelga verticalmente del techo. Cuando las ondas se mueven de abajo hacia arriba por la
cuerda, entonces las ondas que se mueven de arriba hacia abajo.
a) Lo hacen más rápidamente
c) Lo hacen a igual velocidad
b) Loasen más lentamente
d) Ninguna e las anteriores
Pregunta (2).
Un tren de ondas atraviesa un punto de observación. En este punto, el tiempo entre crestas sucesivas es
0,2 s, entonces se tiene que:
a) λ = 5 m
b) f = 5 Hz
e) No hay suficiente información
c) v = 5m/s
d) La longitud de onda es 0,2 m
Pregunta (3).
Las ondas estacionarias se producen por la superposición de las ondas que cumplen la siguiente
condición:
a) La misma amplitud, frecuencia y sentido de propagación
b) La misma amplitud, frecuencia y sentido opuesto de propagación
c) La misma amplitud, frecuencia ligeramente distintas y el mismo sentido de
propagación
d) La misma amplitud, frecuencia ligeramente distintas y el mismo sentido opuesto de
propagación
Pregunta (4).
Una cuerda fija por ambos extremos resuena con una frecuencia fundamental de 180 Hz. Cuál de las
acciones siguientes relaciona la frecuencia fundamental a 90 Hz.
a) Duplicar la tensión y la longitud de onda
b) Reducir a la mitad la tensión, mantener fija la longitud de onda.
c) Mantener fija la tensión y reducir a la mitad la longitud de onda
d) Mantener fija la tensión y duplicar la longitud de onda
- 49 Jesús Mª Cuesta Porras
Sección (B). Tipo problema (Valor 3.00).
Problema (1). (Hacer grafico).
Una cuerda de 4 m de longitud se fija por un extremo y se liga por el otro a una cuerda ligera de modo
que pueda moverse libremente en dicho extremo. La velocidad de la onda en la cuerda es 20 m/s.
Hallar:
a) La frecuencia fundamental
b) La frecuencia del segundo y tercer armónico
Problema (2). (Hacer grafico).
Dos ondas presentes en una cuerda vienen dada por:
35mm Sen 8,4rad / m x 15,7rad / s .t .
2
1
35mm Sen 8,4rad / m x
15,7rad / s .t
y
a) Hallar la onda resultante en forma de onda estacionaria
b) Hallar los puntos de los dos primeros antinodos
c) Hallar el punto del nodo que esta entre los antinodos del apartado (b)
d) ¿Cuál es la distancia entre los antinodos?
- 50 Jesús Mª Cuesta Porras
EJE TEMATICO (2)
“Ondas mecánicas”
Institución educativa: ____________________________________Programa:_______________
Participantes: ___________________________________Nivel:__________Fecha:___________
EVALUACIÓN (3)
Sección (A): Pregunta de selección única (Valor 2.00)
Nota: Escoja la respuesta que usted considere verdadera en los siguientes casos.
Pregunta (1).
La ecuación x,t
0,04mm, Sen 16 .t 4 x m, donde t se expresa en segundo, describe una onda
armónica viajera. De ella se deduce que la longitud de onda y propagación de la onda son:
a) 4π m y la dirección es x+
c) 0,5 m y la dirección es x-
b) 0,5 m y la dirección es x+
d) 2 m y la dirección es x-
Pregunta (2).
La relación entre λ, f, y la velocidad (v) de propagación de una onda es:
a) v
f
b)
f
v
c) f
v
d) v
.f
e) Ninguna de las anteriores
Pregunta (3).
Una onda viajera pasa por un punto de observación. En este punto, el intervalo entre crestas sucesivas
es de 0,2 s. Entonces:
a) La longitud de onda es de 5 m
c) La velocidad de propagación s de 5 m/s
b) La longitud de onda es de 2 m
d) La frecuencia es de 5 Hz
Pregunta (4).
La figura (ver figura) muestra los modos de vibración de una cuerda fija en sus extremos. Si la
frecuencia fundamental es 100 Hz, entonces la frecuencia de los modos de vibración ilustrado es:
a) 300 Hz b) 200 Hz
c) 150 Hz d) 67 Hz e) 33 Hz
- 51 Jesús Mª Cuesta Porras
Sección (B). Tipo problema (Valor 3.00).
Problema (1).
Una
onda
armónica
en
una
cuerda
viene
6,8mm Sen 1,47rad / m x 4,18rad / s .t . Determine:
x ,t
a) La velocidad de propagación de la onda
dada
por
la
expresión:
c) vxmáx y axmáx para un elemento e cuerda
b) Las expresiones de vx para un elemento de la cuerda
Problema (2).
2
La potencia de una onda viene dada por P
x ,t
0
1
2
t
2
1
2
T
Sen kx wt . Demostrar por sustitución directa que P
x
v , Si la función de ondas es :
.w2
2
0
vCos 2 kx wt .
- 52 Jesús Mª Cuesta Porras
EJE TEMATICO (2)
“Ondas mecánicas”
Institución educativa: ____________________________________Programa:_______________
Participantes: ___________________________________Nivel:__________Fecha:___________
EVALUACIÓN (4)
Sección (A): Pregunta de selección única (Valor 2.00).
Nota: Escoja la respuesta que usted considere verdadera en los siguientes casos.
Pregunta (1).
La ecuación
x ,t
8cm Sen 2
x
cm
20
t
s
2
1
1
, describe una onda armónica, luego se puede
llegar a la conclusión de que:
a) La amplitud es de 4cm.
c) El periodo es de 2 s
b) La longitud de onda es 10/π cm.
d) La onda viaja hacia el eje (x-)
Pregunta (2).
Se producen tremola por la sobre posición de dos ondas si:
a) Sus amplitudes y frecuencias son iguales
b) Sus amplitudes son iguales, pero sus frecuencias difieren un poco
c) Sus amplitudes varían ligeramente, pero sus frecuencias son iguales
d) Sus amplitudes y frecuencias difieren un poco
Pregunta (3).
Un instrumento tiene dos cuerdas. Ambas tienen la misma longitud y son uniformes. Un de las cuerdas
tiene el doble de tensión y masa que la otra.
a) La cuerda de mayor masa tiene una frecuencia de resonancia que es igual a 2 veces la
frecuencia que la otra
b) La cuerda de mayor masa tiene una longitud de onda menor y una mayor frecuencia
c) Las dos cuerdas vibran con la misma frecuencia, pero la de mayor masa es de mayor longitud de
onda
d) Las dos cuerdas vibran con la misma frecuencia, tienen igual longitud de onda y velocidad de
propagación
Pregunta (4).
La configuración geométrica de la onda resultante de las ondas estacionarias ilustradas en la figura (ver
figura) es:
a)
d) Ningunas de las anteriores
b)
c)
- 53 Jesús Mª Cuesta Porras
Sección (B). Tipo problema (Valor 3.00).
Problema (1).
Dos ondas armónicas se describen por
Donde x esta en cm. y t en segundos.
1
3cm Sen x 0,60t
y
2
3cm Sen x 0,60t .
a) Hallar el desplazamiento máximo de la onda resultante en x = 0,25 cm. y x = 0,5 cm.
b) Halle las posiciones de los tres primeros antinodos
Problema (2).
La cuerda La de un chelo vibra en su modo fundamental con una frecuencia de 220 vibr/s. El
segmento en vibración es de 70 cm. de largo y tiene una masa de 1,2 g.
a) Encuentre la tensión en la cuerda
b) Determine la frecuencia del armónico que hace que la cuerda vibre en tres segmentos
- 54 Jesús Mª Cuesta Porras
EJE TEMÁTICO (3)
“ONDAS SONORAS”
CONDUCTA DE ENTRADA
Usted tendrá éxito en el estudio de esta temática si responde las siguientes preguntas:
Pregunta (1).
¿Qué sucede cuando usted realiza las siguientes experiencias?
Golpear un libro con el lapicero. R/ta.________________________________________________
Hace vibrar las cuerdas de una guitarra. R/ta.__________________________________________
Arrastrar una caja sobre el piso. R/ta.________________________________________________
Soplar un instrumento de viento. R/ta.________________________________________________
a. ¿Cuáles experiencia son agradable al oído y cuales no?
b. ¿Como se denomina cada una de estas ondas?
c. ¿Cuál es el límite de las frecuencias audibles del ser humano?
Pregunta (2).
¿Qué son ondas longitudinales? ¿A que grupo de las ondas mecánicas pertenece el sonido? ¿En que
medio se propaga el sonido? ¿Cuáles son las características del sonido?
Pregunta (3).
Responda lo que sucede a la frecuencia escuchada por usted cuando oye el sonido de la sirena de una
ambulancia en los casos siguientes: (Hacer figuras).
a. Usted esta en reposo y la ambulancia se acerca. ¿Aumenta o disminuye la frecuencia? y si la
ambulancia se aleja de usted ¿Aumenta o disminuye la frecuencia?
b. Cuando usted y la ambulancia se mueven en sentido contrario. ¿Qué sucede con la frecuencia
audible?
c. ¿Cómo se denomina los fenómenos estudiados?
Pregunta (4).
Dibuje la configuración de la interferencia de ondas constructivas y destructivas señalando en cada
caso sus respectivas características.
Pregunta (5).
Dibuje una cuerda fija por ambos extremos y otra con un extremo libre. En cada caso escriba la
ecuación que determina la frecuencia de los armónicos.
- 55 Jesús Mª Cuesta Porras
LOGROS
Al terminar el estudio de esta temática podré:
Calcular la velocidad del sonido en medios diferentes.
Hallar el nivel de intensidad de las ondas.
Observar la frecuencia en los tubos (abiertos-semiabiertos).
Analizar el efecto Doppler.
CONTENIDO
3.1 Introducción.
3.2 Ondas longitudinales.
3.3 Efecto Doppler.
3.4 Ondas sonoras estacionarias en un tubo.
3.5 Talleres sobre ondas sonoras.
BIBLIOGRAFÍA
Física (I): Raymond – Serway
Física (I): Resnick – Halliday
Física (II): Tippler
- 56 Jesús Mª Cuesta Porras
EJE TEMÁTICO (3)
“ONDAS SONORAS”
3.1 INTRODUCCIÓN
Ondas sonoras ( Audibles) : 20Hz
Ondas mecanicas
f
Ondas inf rasonicas (no audible) : f
" Según gama de frecuencia"
2 x10 4 Hz
20Hz
Ondas ultrasonica (desagradables) : f
2 x10 4 Hz
Sólidos
Medio de propagación Líquidos
Ondas
Gases
Sonoras
Son Longituginales
Pr opiedades
Se originan por la vibración de cualquier objeto
Nota: El sonido se define como una alteración ondulatoria que evoca la sensación de escuchar.
3.2
Ondas longitudinales
Caso (1): En un sólido
Consideremos las fuerzas que participan en el sólido ilustrado en la figura (1). De ella se deduce: (ver
figura).
F
A
0
A1
F1
X
x
Figura (1)
F
x
F
x
2
2
A
t
2
(1)
2
A
x2
t
2
2
x
2
( 2)
t2
(3)
2
Comparando
(1) y (2)
2
v
2
Ecuación
( 4)
de onda
x
v
Es la velocidad de
la onda sonora en
sólidos
: Es el mod ulo de Youn)
Donde:
: Es la densidad del material
- 57 Jesús Mª Cuesta Porras
Caso (2): En un fluido.
La figura (2) muestra el movimiento de un pulso a través de un fluido confinado en un tubo con embolo
(ver figura). De esto se tiene:
V
v
Es ls velocidad del sonido en un liquido
" B : Es el módulo volumetrico"
B
P
v
Fluido (gas-líquido)
Es la velocidad del sonido en un gas
RT
M
Figura (2)
: Cons tan te de proporcionalidad
de los gases ideales.
P : Es la presión del gas.
Observación:
PT
M
Nota:
20,055 m s º K
v
Tº K
Es la velocidad del sonido en el aire en
función de la temperatura absoluta
Ondas sonoras armónicas.
La figura (3) muestra la configuración de las ondas de desplazamiento y de presión que se forman
cuando un gas comprimido se mueve en un tubo (ver Figura).
S(x,t)
S0
S ( x, t )
+S0
X" Es la onda de desplazamiento"
-S0
S ( x, t ) y P ( Es tan desfasadas
P
en
P0
Gas
S 0 Cos(kx wt )
P0
X
-P0
2
P
)
P0 Sen(kx wt )
" Es la onda de presión"
Figura (3)
Nota: P0
vwS 0 Es la amplitud de presión
- 58 Jesús Mª Cuesta Porras
Advertencia:
m
1. Si :
E
1
0
S0
v
2. Si:
.dx
V
2
v
.dxw2
I
I0
I
Es el nivel
sonoro
Nota: Para
E
V
1
2
A
w 2 S 02
1
2
vw2 S 02
Es la densidad de energia
media de la onda sonora
Es la potencia de las ondas sonoras
P02
2 v
Se llama intensidad de las ondas sonoras
vatios
Es la intensidad de referencia
m2
vatios
Es la intensidad en
en el nivelsonoro
m2
1x10
12
vatio
m2
vatios
I 10-12
m2
I 1
(Se expresa en
decibeles (dB))
m
2
P1
2 2
2 vw S 0
A
I
I0
3.
E
t
P
x
t
A. x
10Log
1
2
0
Expresa la energía de las
ondas sonoras
Vw 2 S 02
E
10Log
I
I0
10Log
120 dB Corresponde al umbral de dolor
I
I0
0 dB Corresponde al umbral aiditivo
90 dB pueden producir daños en el oído.
Efecto Doppler
Este principio relaciona las frecuencias de la (fuente y observador) cuando se encuentran en
movimiento relativo. En esta sección analizaremos los siguientes casos a saber:
Caso (1). El observador se mueve (figura (4a))
Observador
v0
f
Vf=0
f0
(Frentes de ondas circulares)
Figura (4a)
v1
v v0
Velocidad relativa
f0
v0
f0
f
v1
Observador
v1
v v0
v
f
v0
f 1
v
Frecuencia
del
observador
v Onda sonora
fuente
- 59 Jesús Mª Cuesta Porras
Caso (2). La fuente se mueve (figura (4b))
0
vf
V0=0 f F
B
f0
0
V0=0
f0
A
Vf ±
v
0
v
f9
(Frente de onda más cerca de A)
v
vf
f
Frecuencia
del
observador
v
v vf
Observador (A)
0
v
Figura (4b)
f
Caso (3). Fuente y observador se mueven
v  vf
Para la fuente
f
f0
f0
Nota:
Para el observador
v0
Fuente y observador
vf
se acercan
- v0
Fuente y observador
vf
Observación:
v v0
v v0
f
v  vf
se alejan
f0
f La fuente se aleja
f0
f La fuente se acerca
Es la frecuencia
del
observador
f 0 aumenta
f 0 disminuye
Ondas de choque(ver figura 5)
Condición
S1
S2
Sn
Vf.t
v
ondas de
choque
vf
Sen
se denomina
v
; donde vvf
número de macho
vf
(frente de ondas son esferico)
Frente de ondas
S0,S1,…Sn (son las posiciones de la fuente)
(en t = 0, la fuente esta S0)
Figura 5
- 60 Jesús Mª Cuesta Porras
Problemas resueltos (I)
“Para el aula de clase”
Problema (1).
a) Encontrar la velocidad del sonido en una barra de acero y
b) Hallar la velocidad del sonido en el agua B
2,1x109
nt
m2
2x1011 mnt2 ,
,
7,8x103 Kg m3 .
103 Kg m3 .
Problema (2).
a) Calcular la velocidad del sonido en el aire a temperatura de 0ºc y 20ºc.
b) Cuál es la velocidad de las ondas sonoras en el helio a 20ºc M
4x10-3 Kg mol , y
1,67
Problema (3).
El diafragma de una alta voz de 30 cm. de diámetro vibra con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud
de 0,020 mm. Suponiendo que las moléculas de aire próximas al diafragma tienen esta misma amplitud
1,29 Kg m3 , v 340 m s , Determinar:
de vibración para el aire
a) La amplitud de presión justo al frente del diafragma.
b) La intensidad sonora en esta posición.
c) La potencia acústica irradiada.
d) Si el sonido se irradia uniformemente en la esfera anterior.
Problema (4).
El ladrido de un perro supone alrededor de 1 m vatios de potencia.
a) Si esta potencia se disminuye uniformemente en todas las direcciones. ¿Cuál es el
nivel de intensidad sonora a una distancia de 5 m?
b) Cuál seria el nivel de intensidad de dos perros ladrando al mismo tiempo, si cada uno
de ellos desarrolla una potencia de 1 m vatios.
- 61 Jesús Mª Cuesta Porras
Ondas estacionarias en un tubo.
La configuración de nodos y antinodos que se forman en un tubo de gas cuando una onda sonora
estacionaria se propaga en él se muestra en la figura (6) (ver figura). De ella se deduce:
L
L
N
A
A n=1 N
N
A
A
N
N
N
A n=1
N
A n=2 N
N A n=3 N
a.
N
Figura (6)
(Tubos abiertos)
(Ambos extremos)
L
fn
nv
, n 1,2,3,.....
2L
b).
L
fn
nv
, n 1,3,5,...
4L
2
v
f
Tubos abiertos
A n=3
N
a).
4
v
f
Tubos semiabiertos
A n=5
b.
(Tubos semiabiertos)
(Cerrado en un extremo)
a : f1
son frecuencias de los
v es la frecuencia Tubos
,2 f1 ,3 f1 ,4 f1 ,......
abiertos
armonicos más altos
2 L fundamenta l
b : f1
son frecuencias de los
v es la frecuencia Tubos
,3 f1 ,5 f1 ,7 f1 ,......
semiabiertos
armonicos más altos
4 L fundamenta l
Nota:
Interferencia sonora
La figura (7) muestra el fenómeno de interferencia en el punto P de las ondas sonoras procedente de las
fuentes (f1 y f2) (ver figura). De ella obtenemos:
Y
F1
X1
a/2
Condiciones
P
Y
X
a/2
X2
F2
interferencia
constructiva
P0
2 P(amplitud de presión)
x
x2
r
y
Sen
ΔX
x1
n , n 1,2,3,
diferencia
de trayectos
n
a
Interferencia constructiva
(valle-valle-cresta-cresta)
Y
F1
a/2
X1
Condiciones
P
Y
X
a/2
F2
X2
ΔX
interferencia
destructiva
P0
0 amplitud de presión
x
x2
Sen
x1
r
y
diferencia
n
, n 1,3,5,..
de trayectos
2
n
2a
Interferencia destructiva
(valle-cresta-cresta-valle)
(desfasados en π)
Figura (7)
- 62 Jesús Mª Cuesta Porras
P1
Observación:
k
P0 Sen(kx1
2
wt )(Onda de presión de F1 )
(kx2
wt ) (kx1
wt )
k x
2
x
Expresa la relación entre
el ángulo de fase y la
diferencia de trayecto
P
P2
2P0 Cos 12
Amplitud de la onda resultante
P0 Sen(kx2
x
2x
n
Nota: Si
Sen
n
a
0, 1, 2, 3,....
de las ondas sonoras
n
2
2x
n
se obtiene la máxima intensidad
n
a
Sen
x
wt ) Onda de presión de F2
n
1, 3, 5,.....
se obtiene la mínima
intensidad del sonido
- 63 Jesús Mª Cuesta Porras
Problemas resueltos (II)
Problema (1).
a) La sirena de una patrulla emite un sonido con frecuencia de 1.200 Hz. Si esta patrulla se acerca a
un cruce a una velocidad de 80Km/s. ¿Cuál es la frecuencia del sonido que oye un peatón en el
cruce? (tome como velocidad del sonido 343 m/s).
b) La frecuencia de un silbato de un tren que el operador, es 800 Hz. Si en un cruce una persona oye el
silbato con una frecuencia de 760 Hz. ¿Se acerca o se aleja el tren? ¿A que velocidad va el tren?
(Use como velocidad el sonido 340 m/s).
Problema (2).
a) Si la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s. ¿Cuáles son las frecuencias y longitudes de
ondas permitías en el caso de las ondas estacionarias en un tubo abierto por los dos lados cuya
longitud esférica es 1 m?
b) En el sistema de la figura (diapasón-tubo) aparecen resonancias, cuando la frecuencia del diapasón
es 500 Hz y el nivel del agua esta a distancias L= 16, 50, 85 y 119,5 cm. de la parte superior del
tubo ¿Cuál es la velocidad del sonido en el aire? ¿A que distancia del extremo del tubo esta el
antitodo de desplazamiento?
L
Agua
Problema (3).
Dos fuentes sonoras oscilan en fase. En un punto a 5 m de una fuente y a 5,17 m de la otra fuente, la
amplitud procedente de cada foco por separado es P0. Hallar la amplitud de la onda resultante, si la
frecuencia de la onda sonora es 1.000 Hz. (utilizar 340 m/s como velocidad del sonido en el aire).
Problema (4).
Dos altavoces enfrentados entre si una distancia de 180 cm. están accionados por un oscilador común
de audio a 680 Hz. Localizar los puntos entre los altavoces a lo largo que la línea que los une, para que
la intensidad del sonido sea: a. Máxima, b. Mínima. (Usar v=340 m/s).
Problema (5).
Dos fuentes sonoras idénticas emiten en fase a una frecuencia de 3430 Hz en el aire a 20 ºC y se
localizan en y = ± 0,5 m. Encontrar las coordenadas (x, y) de tres lugares donde se debería colocar un
observador cuya distancia del origen sea 100 m para que la intensidad sonora que oiga sea: a. Máxima,
b. Mínima.
- 64 Jesús Mª Cuesta Porras
Talleres sobre ondas sonoras
Taller (1)
“Ondas sonoras”
Institución educativa: __________________________________Programa:_______________
Participantes: ______________________________________Nivel:________Fecha:_________
“Problemas propuestos”
Problema (1).
Calcular la velocidad del sonido en el hidrogeno, nitrógeno y oxigeno. (Tomar γ =1,40 para los tres
gases).
Problema (2).
El cambio en la onda de presión en una columna de gas viene dado por P P0
P0 Sen2 (
x
t
).
P
a) Obtener las expresiones de las ondas de desplazamiento y densidad utilizando las ecuaciones
P P0
K
P0
y P P0
.
x
x
b) Construir las graficas de las tres ondas en función de x para un instante dado, extendiendo a
varias longitudes de onda.
Problema (3).
I. Dos ondas sonoras, una en el aire y la otra en el agua, tienen la misma intensidad.
a. ¿Cuál es el cociente entre las amplitudes de la onda en el agua y el aire?
b. ¿Cuál seria la razón de sus intensidades si las amplitudes de las ondas de presión son las mismas?
II. Dos fuentes sonoras están separadas 0,20 m emiten en fase una frecuencia de 6.800 Hz ¿A que
ángulo con respecto a la mediatriz será la intensidad sonora?
a) Máxima.
b) Mínima.
(Sugerencia: Use v = 340 m/s).
Problema (4). (Hacer figura).
Cuales son las frecuencias de resonancia menores de un tubo abierto de 0,50 m de longitud en el aire a
20 ºC. Si se cierra un extremo del tubo ¿Cuál serán entonces las tres frecuencias menores de
resonancia?
Problema (5). (Hacer figura).
a. Dos fuentes sonoras que radian en fase a una frecuencia de 510 Hz interfieren de tal modo que los
máximos en la intensidad del sonido se oye en ángulo de 0 y 25º. Determine la separación entre las
dos fuentes, ¿A que ángulo, además de 0 y 25º será máxima la intensidad del sonido? (Use v = 340
m/s).
b. Un silbato emite un sonido de 700 Hz un pasajero en un automóvil que viaja alejándose de esta
fuente se sonido oye una frecuencia de 650 Hz. ¿A que velocidad va el automóvil? (Use v = 340
m/s).
- 65 Jesús Mª Cuesta Porras
Taller (2)
“Ondas sonoras”
Institución educativa: __________________________________Programa:_______________
Participantes: ______________________________________Nivel:________Fecha:_________
“Problemas propuestos”
Problema (1).
a. La velocidad del sonido en un gas diátomico se mide a 20ºC y se obtiene 215 m/s, ¿Cuál es el peso
molecular de este gas? ¿Cuál es este gas?
b. Dos ondas dan lugar a una variación de la presión en un cierto punto del espacio determinado
).
por: P1 P0 Sen(2 . f .t ) y P2 P0 Sen2 ( f .t
i.
Hallar la onda resultante en este punto cuando
ii.
Dibujar la onda resultante y sus componentes.
0 rad. ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante?
Problema (2). (Hacer grafico).
Un cierto altavoz produce un sonido cuya frecuencia 2.000 Hz y una intensidad de 1,2x10-7 hp/pies2. a
una distancia de 20 pies. Supóngase que no hay reflexiones y que el altavoz emite por igual en todas las
direcciones a la temperatura de 0º.
a. ¿Cuál seria la intensidad a 100 pies?
b. ¿Cuál es la amplitud del desplazamiento y la amplitud de la presión a 20 pies?
Problema (3). (Hacer grafico).
Dos altavoces S1 y S2 emiten sonidos en todas las direcciones de frecuencia 200 Hz a temperatura de
0º. S1 tiene una potencia acústica de 1,2x10-3 watt y S2 tiene una de 1,8x10-3 watt. Los altavoces están
separados por 7 m. Considere un punto P que esta a 4 m enfrente de S1 y a 3 m de S2.
a. Como están relacionadas las fases de las ondas que llegan a P?
b. ¿Cuál es la intensidad del sonido cuando:
i.
Se desconecta (S2).
ii. Se desconecta (S1).
iii. S1 y S2 funcionan conjuntamente.
Problema (4). (Hacer grafico).
Un silbato con una frecuencia de 540 Hz gira en un circulo de 2 pies de radio con un rapidez angular
de 15 rad/s. (tomar v = 340 m/s). Cuáles son:
a. La menor frecuencia.
b. La mayor frecuencia, Oída por una persona que esta en reposo y a una
gran distancia del centro del circulo.
Problema (5). (Hacer grafico).
Un tubo de órgano abierto en sus dos extremos tiene 0,60 m de longitud. ¿Cuál es la frecuencia
fundamental de resonancia y del primer sobretodo a la temperatura de 20ºC?
- 66 Jesús Mª Cuesta Porras
Taller (3)
“Ondas sonoras”
Institución educativa: __________________________________Programa:_______________
Participantes: ______________________________________Nivel:________Fecha:_________
“Problemas propuestos”
Problema (1).
a. ¿A que temperatura será la velocidad del sonido en el aire es igual a 280 m/s y a 380 m/s?
b. Una onda sonora armónica plana, en el aire a 20ºC y presión normal tiene una frecuencia de 500
Hz y una amplitud de 10-8.
i.
Escribir las expresiones que describe la onda de desplazamiento y la onda de presión.
ii.
Dibujar las ondas anteriores para t = 0.
iii.
Hallar el nivel de intensidad de la onda de presión en dB.
Problema (2). El sonido más claro que puede oírse tiene una amplitud de presión de cerca de 2x105
nt/m-2 y el más alto que puede oírse sin dolor tiene una amplitud de presión de 28 nt/m2. Determine en
cada caso la intensidad del sonido y el nivel de intensidad, lo mismo que la amplitud de las
oscilaciones. Si la frecuencia es 500 Hz (suponer que la densidad del aire es 1,29 Kg./m2 y que la
velocidad del sonido es 345 m/s).
Problema (3). (Hacer grafico). Un tubo cuya longitud es de 0,60 m esta (a) abierto en ambos extremos
y (b) cerrado en uno y abierto en el otro. Hallar la frecuencia fundamental y el primer armónico si la
temperatura del aire es de 27ºC.
Problema (4). (Hacer grafico). Dos fuentes sonoras emiten sonidos de frecuencia 680 Hz la persona
que escucha el sonido camina a lo largo de una paralela al eje (y) a una distancia de 100 m de las
fuentes percibe que el primer mínimo aparece cuando ha caminado 16 m del punto x=100 m y y=0 m.
(use v = 340 m/s).
a. ¿Cuál es la separación entre las fuentes?
b. ¿Cuánto más tiene que caminar para obtener otro mínimo de intensidad?
Problema (5). (Hacer grafico). El silbato de un tren (f=400 Hz) suena más alto o más bajo de tono
dependiendo de si:
a. Demuestre que la diferencia de frecuencia entre el silbato del tren conforme se acerca y se aleja es
vf
2f
v
f
.
v 2f
1
v2
b. Calcule esta diferencia para un tren que se mueve a una velocidad de 130 km/h (Use v=340 m/s).
- 67 Jesús Mª Cuesta Porras
Taller (4)
“Ondas sonoras”
Institución educativa: __________________________________Programa:_______________
Participantes: ______________________________________Nivel:________Fecha:_________
“Problemas propuestos”
Problema (1).
a. Calcular la velocidad del sonido en el aire en las siguientes condiciones: P=1 atm, ρ= 1,29 Kg./m3
y γ=7/5.
b. Mientras usted observa la construcción de un muelle en la orilla lejana de un estuario ocurre una
explosión. Escucha el sonido en el agua 4,5 s después antes de que llegue a usted por el aire. ¿Cuál
es la anchura del estuario? (supóngase que la temperatura del aire es 20ºC).
Problema (2).
Una onda sonora senoidal se describe por el desplazamiento:
x, t
2 mCos 15,7 m
1
x
858s
1
t
i.
Encontrar la amplitud, la longitud de onda y la velocidad de esta onda.
ii.
Determine el desplazamiento instantáneo de las moléculas en x = 0,05 m y t = 3 ms.
iii.
Hallar la velocidad máxima del movimiento oscilatorio de las moléculas.
iv.
Hallar la ecuación de la onda de presión.
Problema (3). (Hacer grafico) (use v=330 m/s).
Dos altavoces se excitan mediante el mismo oscilador de 200 Hz de frecuencia. Están localizados sobre
un poste vertical a una distancia de 4 m el uno del otro. Un hombre camina hacia uno de los altavoces
en una dirección perpendicular al poste.
a. Cuantas veces escuchara un mínimo en la intensidad sonora.
b. ¿A que distancia se encuentra él de la pared en estos momentos?
Problema (4). (Hacer grafico) (use v=344 m/s).
Un tubo abierto de 0,40 m de largo se coloca verticalmente en una cubeta cilíndrica que tiene un área
en el fondo de 0,10 m2. Se vierte agua dentro de la cubeta hasta que un diapasón vibrando de 440 Hz
de frecuencia situado sobre el tubo produce una resonancia. Encontrar la masa de la cubeta en ese
momento.
Problema (5). (Hacer grafico) (use v=343 m/s).
Un tren se mueve a 20 m/s paralelo a una autopista. Un auto viaja en la misma dirección que la del tren
a 40 m/s. la bocina del auto suena a 510 Hz y el silbato del tren a 320 Hz.
a. Cuando el carro esta detrás del tren ¿Qué frecuencia del silbato del tren percibe un ocupante del
automóvil?
b. Cuando el carro esta frente al tren ¿Qué frecuencia percibe un pasajero en el tren del claxon del
carro cuando acaba de pasarlo?
- 68 Jesús Mª Cuesta Porras
Taller (5)
“Ondas sonoras”
Institución educativa: __________________________________Programa:_______________
Participantes: ______________________________________Nivel:________Fecha:_________
“Problemas propuestos”
Problema (1).
a. Cuanto tardara el sonido desde un avión que vuela a 9.000 m en llegar al suelo en un día en que la
temperatura del aire es de 30ºC.
b. Un investigador desea generar en el aire una onda sonora que tenga una amplitud de
desplazamiento igual a 5,5x10-6 m. La amplitud de presión estará limitada a 8,4x10-1 pas (use
v=343 m/s).
i.
¿Cuál es la longitud de onda mínima que la onda sonora puede tener?
ii.
Dibuje las ondas de desplazamiento y de presión de esta onda para t=0.
Problema (2).
Los altavoces de la figura (ver figura) emiten ondas sonoras de diferentes frecuencias, A tiene una
salida de 1 m vatios y B una salida de 1,5 m vatios. Determine la intensidad sonora en dB en el punto
P.
A
a. Si solo emite sonido (A).
3m
b. Si solo emite sonido (B).
4m
P
c. Si ambos altavoces emiten sonido.
2m
B
Problema (3). (Use v=343 m/s).
El diapasón de la figura (ver figura) tiene una frecuencia de 512 Hz. El nivel de agua se reduce de
modo que la longitud (L) aumenta lentamente desde un valor inicial de 20 cm. Determine los dos
siguientes valores de L que corresponden a modos de resonancia (Hacer grafico).
L
Agua
- 69 Jesús Mª Cuesta Porras
Problema (4).
Un diapasón que vibra a 512 Hz cae desde el reposo y se acelera a 9,8 m/s2. ¿A que distancia abajo del
punto donde se suelta el diapasón llegan ondas de 485 Hz de frecuencia del punto de partida? (Use
v=340 m/s), para velocidad del sonido en el aire).
Problema (5). (Hacer grafico) (Use v=340 m/s del sonido).
Dos fuentes sonoras separadas 0,20 m emiten en fase a una frecuencia de 6.800 Hz. ¿A que ángulo con
respecto de la mediatriz será la intensidad sonora? a. Máxima, b. Mínima.
- 70 Jesús Mª Cuesta Porras
Taller (6)
“Ondas sonoras”
Institución educativa: __________________________________Programa:_______________
Participantes: ______________________________________Nivel:________Fecha:_________
“Problemas resueltos”
Problema (1).
a. Durante una tempestad cuando la temperatura del aire es de 20ºC el tiempo transcurrido entre
observar el rayo y el ruido del trueno es 2,5 s. ¿A que distancia del observador esta el punto donde
cayo el rayo?
b. Un sonido de 200 Hz de frecuencia y otro de 800 Hz tienen la misma intensidad en punto
c. dada. ¿Cuál es la relación de las amplitudes de presión en un punto dado? (Use v=340 m/s).
Problema (2). (Hacer grafico) (Tome v=340 m/s y ρ=1,29 Kg./m3 para el sonido en el aire).
Una onda sonora en el aire tiene una amplitud de presión igual a 4x10-3 pas y una frecuencia de 10
kHz.
i.
Hallar las ondas de presión y desplazamiento.
ii.
Dibujar dichas ondas en t=0.
Problema (3). (Hacer grafico).
Un altavoz se coloca entre dos observadores separados una distancia de 110 m a lo largo de la línea que
los une. Si un observador registra un nivel de intensidad 60 dB y el otro un nivel de intensidad de 80
dB. ¿A que distancia esta el altavoz de cada observador?
Problema (4). (Hacer grafico).
Un tubo de órgano abierto en ambos extremos esta vibrando en un tercer armónico con una frecuencia
de 748 Hz. La longitud de la tubería es de 0,70 m determine la velocidad del sonido dentro del tubo.
Problema (5). (Use v=343 m/s para el sonido en el aire).
En el sistema de carros de la figura la bocina del bombero suena a 500 Hz (ver figura). Determine:
Vb=40m/s
Va=30 m/s
Vc=0
a. La frecuencia escuchada por los pasajeros
en el auto.
Bombero
Auto
b. La frecuencia escuchada en la camioneta.
Camioneta
- 71 Jesús Mª Cuesta Porras
EJE TEMATICO (3)
“Ondas Sonoras”
Institución educativa: ____________________________________Programa:_______________
Participantes: ___________________________________Nivel:__________Fecha:___________
EVALUACIÓN (1)
Sección (A): Pregunta de selección única (Valor 2.00).
Nota: Escoja la respuesta que usted considere verdadera en los siguientes casos.
Pregunta (1).
Un tubo abierto en un extremo y cerrado en el otro, resuena a 100 Hz y a una temperatura de 150 ºK
en el aire a presión atmosférica. A una temperatura de 300 ºK en el aire a presión atmosférica, la
frecuencia de resonancia será:
a) 50 Hz
b) 141 Hz,
c) 100 Hz
d) 70,7 Hz
Pregunta (2).
Una fuente sonora radia uniformemente en todas las direcciones a una distancia de 100 m, la intensidad
del sonido es:
a) 80 dB
b) 70 dB
c) 50 dB
d) Ninguna de las anteriores
Pregunta (3).
Un sistema en resonancia tiene una frecuencia fundamental de 100 Hz. Si las frecuencias de
resonancias más altas que siguen son 300 y 500 Hz el sistema podría ser:
a) Un tubo cerrado en ambos extremos
d) Una cuerda vibrante entre dos puntos fijos
b) Un tubo abierto en ambos extremos e) Un tubo abierto en un extremo y cerrado en el otro
c) Ninguna de las anteriores
Pregunta (4).
Un camión y una motocicleta viajan en una carretera en la misma dirección. El camión viaja al doble
de la velocidad del motociclista y lo rebasa. Después de haber rebosado el camión, el motociclista toca
su bocina para avisar al conductor del camión que puede regresar al carril de afuera. La frecuencia de la
bocina de la motocicleta es de 400 Hz.
a) ¿El conductor del camión y el motociclista oyen la misma frecuencia de 400 Hz?
b) ¿El conductor del camión escucha una frecuencia mayor de la que percibe el motociclista?
c) ¿El conductor oye una frecuencia menor de 400 Hz?
d) ¿El conductor oye una frecuencia mayor de 400 Hz?
- 72 Jesús Mª Cuesta Porras
Sección (B). Tipo problema (Valor 3.00).
Problema (1).
Los altavoces de la figura (ver figura) emiten ondas sonoras de frecuencias diferentes la salida de A es
1 m voltios y la de B es 1,5 m voltios. Determine el nivel de intensidad sonora.
A
a) En el altavoz
3m
4m
C
2m
b) En el altavoz B
c) En ambos altavoces
B
Problema (2).
Al estar parado en el cruce de una calle usted escucha una frecuencia de 560 Hz proveniente de la
sirena de un carro de la policía que se acerca. Después de que este vehiculo pasa la frecuencia
observada de la sirena es de 480 Hz. Determine la velocidad del carro para esta observación
(Sugerencia: Velocidad del sonido en el aire es 343 m/s).
- 73 Jesús Mª Cuesta Porras
EJE TEMATICO (3)
“Ondas Sonoras”
Institución educativa: ____________________________________Programa:_______________
Participantes: ___________________________________Nivel:__________Fecha:___________
EVALUACIÓN (2)
Sección (A): Pregunta de selección única (Valor 2.00).
Nota: Escoja la respuesta que usted considere verdadera en los siguientes casos.
Pregunta (1).
A presión atmosférica la frecuencia de resonancia de un tubo es de 100 Hz. Si la presión del gas en el
tubo se eleva isotermicamente a 2 atm la frecuencia será de:
a) 50 Hz
b) 141 Hz
c) 100 Hz
d) 70,7 Hz
e) 200 Hz
Pregunta (2).
La amplitud de presión de una fuente de sonido es tal que la intensidad a una distancia de 10 m de la
fuente la intensidad es de 80 dB. Si la amplitud de la presión se reduce por un factor de 10 la intensidad
a una distancia de 10 m es entonces:
a) 70 dB
b) 60 dB
c) 40 dB
d) 20 dB e) Ninguna de las anteriores
Pregunta (3).
Un tubo de órgano abierto por ambos extremos tiene una frecuencia fundamental de 400 Hz. Si ahora
se cierra un extremo de este tubo, la frecuencia fundamental será:
a) 200 Hz
b) 400 Hz
c) 546 Hz
d) 800 Hz
Pregunta (4).
La frecuencia de la bocina de un coche es f0. La frecuencia que se observa si tanto el observador como
el coche están en reposo, pero si un viento sopla hacia el observador, la frecuencia es:
a) Igual a f0
b) Mayor a f0
c) Menor a f0
d) Puede ser > o < a f0
e) Puede ser ≥ f0 (Según los valores relativos de la velocidad del viento y la velocidad del sonido).
- 74 Jesús Mª Cuesta Porras
Sección (B). Tipo problema (Valor 3.00).
Problema (1). (Hacer grafico).
Un tubo de longitud (L) se coloca verticalmente en una cubeta hasta que un diapasón vibrando de
frecuencia (f), situado sobre el tubo, produce resonancia. Encuentre la masa del agua en la cubeta en
este momento.
Problema (2).
Un silbato emite un sonido de 700 Hz. Un pasajero en un automóvil que viaja alejándose de esta fuente
de sonido oye una frecuencia de 650 Hz. ¿A que velocidad va el automóvil? (Sugerencia: Tome como
velocidad del sonido 340 m/s).
- 75 Jesús Mª Cuesta Porras