1. Educación

¿C´
omo calcular el producto de dos permutaciones?
¿C´
omo calcular el signo de una permutaci´
on?
Ejercicios
Objetivos. Aprender a multiplicar permutaciones y calcular su signo.
Requisitos. Permutaciones, composici´on de funciones, permutaciones c´ıclicas.
Producto de dos permutaciones
1. Ejemplo: el producto de dos permutaciones. Consideremos dos permutaciones
del conjunto {1, . . . , 6}, es decir dos elementos de S6 :
ϕ=
1 2 3 4 5 6
3 1 6 4 2 5
,
ψ=
1 2 3 4 5 6
6 3 5 1 2 4
.
,
ϕ(6) =
Esta notaci´on significa que
ϕ(1) = 3,
ϕ(2) = 1,
ϕ(3) =
,
ϕ(4) =
?
ϕ(5) =
?
,
?
?
y
ψ(1) = 6,
ψ(2) = 3,
ψ(3) =
,
ψ(4) =
,
?
ψ(5) =
?
,
ψ(6) =
?
.
?
El producto ϕψ se define como la composici´
on ϕ ◦ ψ.
Esto significa que para todo j ∈ {1, . . . , n},
(ϕψ)(j) :=
.
?
Para calcular (ϕψ)(j) con alg´
un j ∈ {1, . . . , n} primero aplicamos al n´
umero j la permu, luego aplicamos al resultado la permutaci´on
:
taci´on
?
?
(ϕψ)(1) = ϕ(ψ(1)) = ϕ(6) = 5;
(ϕψ)(2) = ϕ(ψ(2)) = ϕ(3) = 6;
(ϕψ)(3) = ϕ(ψ( )) = ϕ( ) =
;
(ϕψ)(4) = ϕ(ψ( )) = ϕ( ) =
?
(ϕψ)(5) = ϕ(ψ( )) = ϕ( ) =
;
?
;
(ϕψ)(6) = ϕ(ψ( )) = ϕ( ) =
?
.
?
Respuesta:
ϕψ =
1 2 3 4 5 6
5
.
¿C´omo multiplicar permutaciones y calcular sus signos? Ejercicios, p´agina 1 de 4
2. El mismo ejemplo sin escribir c´
alculos intermedios. Seguimos trabajando con
las permutaciones ϕ y ψ del ejemplo anterior:
ϕ=
1 2 3 4 5 6
3 1 6 4 2 5
,
ψ=
1 2 3 4 5 6
6 3 5 1 2 4
.
Otra vez calculemos el mismo producto ϕψ, pero ahora sin escribir los c´alculos intermedios.
Por ejemplo, para calcular (ϕψ)(3), uno puede pensar seg´
un el siguiente diagrama:
1
ϕ
2
ϕ
3
3
ϕ
1
4
ϕ
6
5
ϕ
4
6
1
ϕ
2
2
ψ
5
ψ
6
3
ψ
3
4
5
ψ
5
ψ
1
6
ψ
2
4
Procediendo de esta manera, otra vez calcule ϕψ:
ϕψ =
1 2 3 4 5 6
2
.
3. Producto de las mismas permutaciones, pero en otro orden. Seguimos trabajando con las permutaciones ϕ y ψ del ejemplo anterior:
ψ=
1 2 3 4 5 6
6 3 5 1 2 4
,
ϕ=
1 2 3 4 5 6
3 1 6 4 2 5
.
Calculemos el producto ψϕ. Por ejemplo,
(ψϕ)(6) = ψ(ϕ(6)) = ψ(5) = 2.
Calcule el producto ψϕ:
ψϕ =
1 2 3 4 5 6
2
.
4. Conclusi´
on acerca de la conmutatividad de la multiplicaci´
on de permutaciones. Compare los productos ϕψ y ψϕ de los Ejercicios 2 y 3: ¿son iguales o no?.
¿Qu´e conclusi´on se puede hacer de este ejemplo acerca de la conmutatividad de la multiplicaci´on en S6 ?.
La multiplicaci´on en S6 es conmutativa, es decir, siempre se cumple la igualdad
ϕψ = ψϕ.
La multiplicaci´on en S6 no es conmutativa, es decir, no siempre se cumple la igualdad
ϕψ = ψϕ.
Este ejemplo no es suficiente para hacer la conclusi´on.
¿C´omo multiplicar permutaciones y calcular sus signos? Ejercicios, p´agina 2 de 4
Descomposici´
on de una permutaci´
on en ciclos disjuntos
5. Ejemplo. Use el siguiente ejemplo para comprender el procedimiento:

5
7

1 2 3 4 5 6 7 8
ϕ= ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ =
3 6 7 4 2 8 1 5
1
2
8
3
4
6
Los mismos ciclos se pueden dibujar de manera “lineal”:
ϕ=
1
3
7
2
6
8
5
4
De aqu´ı proviene una notaci´on m´as breve:
ϕ = c(1, 3, 7) c(2, 6, 8, 5) c(4).
6. Otro ejemplo.
1 2 3 4 5 6 7
6 2 7 1 5 4 3
ϕ=
.
Escriba la descomposici´on en ciclos disjuntos con flechitas:
ϕ=
1
2
3
Ahora en notaci´on breve:
ϕ= c
,
,
c
c
,
c
.
7. Otro ejemplo.
ϕ=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 9 2 7 3 1 4 5 8
.
Escriba la descomposici´on de ϕ en ciclos disjuntos.
¿C´omo multiplicar permutaciones y calcular sus signos? Ejercicios, p´agina 3 de 4
C´
alculo del signo de una permutaci´
on
A cada permutaci´on ϕ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} le corresponde un n´
umero 1 o −1 llamado
el signo o la signatura de ϕ y denotado por sgn(ϕ). Se dice que ϕ es par si sgn(ϕ) = 1;
es impar si sgn(ϕ) = −1.
Hay varias maneras de definir y calcular sgn(ϕ). La definici´on escrita abajo nos permite
calcular sgn(ϕ) de manera la m´as eficiente (es decir, la m´as r´apida). Luego vamos a analizar
esta definici´on con m´as detalles.
8. Definici´
on del signo de una permutaci´
on. Sea ϕ una permutaci´on que se descompone en p ciclos de longitudes r1 , r2 , . . . , rp . Entonces el signo de ϕ se define como
sgn(ϕ) := (−1)(r1 −1)+(r2 −1)+...+(rp −1) .
Consideremos la permutaci´on del Ejemplo 5:
ϕ = c(1, 3, 7) c(2, 6, 8, 5) c(4)
Aqu´ı tenemos 3 ciclos de longitudes 3, 4, 1 (es decir, p = 3, r1 = 3, r2 = 4, r3 = 1), as´ı que
sgn(ϕ) = (−1)(3−1)+(4−1)+(1−1) = (−1)2+3+0 = (−1)5 = −1.
En otras palabras, la permutaci´on ϕ del Ejemplo 5 es impar.
9. Ejercicio. Calcule el signo de la permutaci´on del Ejemplo 6 usando su descomposici´on
en ciclos disjuntos:
ϕ=
1 2 3 4 5 6 7
6 2 7 1 5 4 3
=
sgn(ϕ) =
10. Ejercicio. Calcule el signo de la permutaci´on del Ejemplo 7:
ϕ=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 9 2 7 3 1 4 5 8
=
sgn(ϕ) =
¿C´omo multiplicar permutaciones y calcular sus signos? Ejercicios, p´agina 4 de 4