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¿Cómo se podría enseñar la factorización de polinomios
integrando calculadoras simbólicas y lápiz/papel?
María Fernanda Mejía Palomino*
RESUMEN
En las prácticas de enseñanza es común factorizar polinomios usando un
conjunto de reglas para manipular
expresiones algebraicas con lápiz/
papel. Esto lleva a encasillar a la factorización a una sola representación
matemática, la algebraica, y a un
proceso matemático, la formulación,
comparación y ejercitación de procedimientos. Por lo que el tiempo de
trabajo requerido por un estudiante
para expresar un polinomio en su
forma factorizada con lápiz/papel no
*
sea corto. Lo anterior puede incidir
en las escasas conexiones que se dan
entre la factorización y otros conceptos. Sin embargo, la integración de
calculadoras simbólicas podría dar
paso a mirar cómo lograr otras situaciones de enseñanza que fortalezcan
las conexiones de la factorización con
otros conceptos, como los ceros de un
polinomio.
Palabras clave: factorización de
polinomios, técnicas, calculadoras
simbólicas.
Escuela Normal Superior Farallones de Cali. Universidad del Valle. Dirección electrónica:
[email protected].
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M ARÍA F ERNANDA M EJÍA PALOMINO
CONTEXTUALIZACIÓN
A mediados del año 2000 el Ministerio de Educación Nacional donó a varias
instituciones educativas públicas del país un equipo de calculadoras simbólicas y otros artefactos, con el objetivo de mejorar la calidad en la educación
en Colombia al incorporar Tecnologías de la Comunicación e Información
(TIC). Por esta época varios profesores en ejercicio y en formación aprendieron sobre el uso de estas calculadoras para la enseñanza de las matemáticas
(Ministerio de Educación Nacional, 2004).
Por lo anterior, la autora de este trabajo se ha interesado en construir
algunas situaciones de enseñanza para la factorización de polinomios con las
calculadoras simbólicas (particularmente con el uso del sistema de álgebra
computacional (en adelante CAS)) y lápiz/papel (L/P), para ser aplicadas en
la institución educativa en la que labora (Mejía, 2004; Mejía, 2011).
Por otra parte, este trabajo toma algunos referentes de la ingeniería
didáctica. Esta metodología la define Douady (1995) como el conjunto de
secuencias de clase, diseñadas, organizadas y articuladas por el profesor
“ingeniero”, para lograr que sus estudiantes aprendan.
La ingeniería didáctica se caracteriza porque sus productos son construidos
a partir de un esquema experimental basado en las realizaciones didácticas
en clase, es decir, sobre la concepción, realización, observación y análisis
de secuencias de enseñanza. A diferencia de otras metodologías basadas
en la experimentación, en esta se recurre al registro de estudios de caso y
su validación es, en esencia, interna, basada en la confrontación entre los
análisis a priori y a posteriori (Artigue, 1995).
La experimentación se realizó con 36 estudiantes de un curso de grado
noveno, se destinaron tres semanas, 15 horas de clase, se inició el 30 de
junio de 2009 y se finalizó el 15 de julio de 2009.
REFERENTES TEÓRICOS
En este apartado se van a presentar dos aspectos centrales en relación con
la integración de calculadoras simbólicas, los fenómenos didácticos en ambientes de álgebra computacional y la génesis instrumental.
– Fenómenos didácticos en ambientes de álgebra computacional.
La introducción de los ambientes informáticos conduce al estudio de las restricciones y fenómenos didácticos ligados a los saberes matemáticos (transƒ 1172
¿CÓMO SE PODRÍA ENSEÑAR LA FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS INTEGRANDO CALCULADORAS SIMBÓLICAS...
posición computacional). Estas restricciones tienen dos niveles: la representación y tratamiento interno de los saberes en la máquina y la representación
y tratamiento en la interfaz. Este trabajo analítico de identificación de las
restricciones es fundamental para comprender las funcionalidades del saber
puesto en juego en el software (Artigue, 1997), y por otra parte, el conocimiento y prevención de los fenómenos didácticos puede generar situaciones
que promuevan las actividades transformacionales como las presentadas por
Mounier y Aldon (1996; citado por Lagrange, 2000).
Algunos fenómenos didácticos desde un CAS han sido identificados por
Artigue (1997) y por Trouche (2005) como:
‡ (OIHQyPHQRGHSVHXGRWUDQVSDUHQFLDTXHHVHOFRQIOLFWRTXHVHJHQHUD
entre lo que se ingresa y lo que se ve en la interfaz del software. Son los
cambios que ocurren en las maneras de representar los objetos (desde lo
interno y la interfaz). Contrariamente a lo que podría pensar, estos desfases
perturban más el funcionamiento didáctico que lo que parece.
‡ (OIHQyPHQRGHGREOHUHIHUHQFLDVHUHODFLRQDFRQODGREOHLQWHUSUHWDFLyQ
de un problema, dependiendo del ambiente de trabajo, por ejemplo, el
tratamiento en lápiz/papel y un CAS de las actividades de factorización de
los polinomios propuestas por Mounier y Aldon (1996; citado por Lagrange,
2000) muestran resultados diferentes que conllevan a la confrontación de
las técnicas usadas en cada ambiente.
Los fenómenos didácticos generalmente han surgido en experimentos de
bastante tiempo, donde los estudiantes tienen calculadoras a su disposición
(tanto en la escuela como en casa). Este parámetro es importante, porque
los estudiantes se apropian del manejo de la calculadora y logran obtener
un dominio de las técnicas que requieren para realizar las tareas (Trouche,
2005).
En cuanto a la integración de CAS es imposible eludir los fenómenos
didácticos que se ligan a los procesos mencionados. Sin embargo, es necesario que el docente los conozca y determine las condiciones favorables para
volverlos productivos.
– La génesis instrumental
La génesis instrumental es un proceso de construcción de un instrumento
por un sujeto, que va desde la utilización de un artefacto a la construcción
de esquemas para realizar un tipo de tarea. Un artefacto puede ser material
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o abstracto, ayuda o sustenta toda actividad humana al hacer un tipo de tarea (las calculadoras o un algoritmo para hallar la solución de una ecuación
cuadrática son artefactos), mientras que el instrumento es lo que el sujeto
construye desde el artefacto (Trouche, 2005).
Es necesario aclarar que los instrumentos no le están dados al sujeto desde un primer momento; este los elabora a través de actividades de génesis
instrumental, en el proceso de instrumentalización y de instrumentación.
El proceso de instrumentalización está dirigido hacia el artefacto como: selección, agrupación, descubrimiento, producción e institución de funciones,
usos desviados, atribución de propiedades, personalización, transformaciones
del artefacto, de su estructura, de su funcionamiento.
El proceso de instrumentación está relacionado con el sujeto, en donde se
da la emergencia y la evolución de los esquemas de utilización: su constitución,
su evolución por acomodación, coordinación, y asimilación recíproca, la asimilación de artefactos nuevos a los esquemas ya constituidos (Rabardel, s. f.).
Logros y dificultades evidenciadas
Algunas dificultades surgieron en los diseños de las situaciones didácticas
porque se dejaron de considerar algunos aspectos a priori que solo en la práctica se evidenciaron. Algunos relacionados con la estructura de las preguntas,
el tipo de variables, los conocimientos previos, entre otros. Esto determina
que los diseños se nutren cada vez que se confrontan con la práctica.
Por ejemplo, en todas las preguntas los estudiantes hacen uso de la lengua natural. Si bien, los estudiantes se arriesgan a hablar y escribir de las
matemáticas, esta tarea no es fácil, porque necesitan de una lengua natural
especializada.
A diferencia de otras investigaciones, en el desarrollo de las tareas se
necesita que los estudiantes previamente hayan trabajado las técnicas L/P
porque el propósito es usarlas para entender o poder usar las técnicas CAS
que son nuevas para ellos. No se descarta que en el uso de ambas, se dé mutuamente una mejoría, en algunos episodios se observa cómo los estudiantes
rectifican sus resultados en L/P al ver los resultados de aplicar una técnica
CAS. De alguna manera la complementariedad de ambas técnicas lleva al
surgimiento de una explicación teórica que da cuenta, en parte, de qué es lo
que hace esta técnica y para qué sirve, esto propende al mejoramiento del
uso de las técnicas (ver tabla 1).
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Tabla 1. Diálogo: 30 de junio de 2009 en t1: [13: 33 a 13:42 min.] y t2: [0:00 a 3:00
min.] en relación a la situación 1.
Tarea. La expresión dada es
pero al ingresarla en la calculadora y dar [ENTER]
− +
−
de la aplicación Home de la Calculadora se obtiene −
¿qué fue lo que realizó la calculadora?
−
✁
✂
✝
✄
✁
✝
☎
✁
✝
✂
✄
✆
✝
☛
☛
✞
✟
✠
✡
Juan: la séptima tampoco sé.
Olga: parece que se hubieran reunido términos semejantes
Juan: parece que 3 o 2 hubiesen sido negativos, y que 3x y 2x nos quedará menos una x.
Juan: ahora no sé, parece que la calculadora lo hizo mal (no dudan de sus procedimientos L/P si no
de los resultados de la calculadora). Si multiplico los paréntesis y luego los sumo, multiplico esto por
esto (señala en la calculadora los términos que se multiplican). Esto da 3x–2x. Espérate un segundo
(escribe el procedimiento en su hoja de respuestas, realiza los productos indicados). Esto más esto
da 6x y esto más esto da –6x, entonces da cero (parece que realizó de manera incorrecta el producto porque todos los términos son lineales).
María: menos de dónde sale.
Juan: sabes qué, espérate. Tal vez multiplicó solamente uno. Puedo haber hecho esto. Multiplicó
esto por esto. Ya sé, multiplicó un solo paréntesis, se reúne aquí y queda (x – 1) por 2x más 3x porque – 4x y da 2x negativo (borra lo que escribió 2x + 3x) luego escribe (x – 1)(3x– 2x) y esto aquí
da menos uno, digo da uno. Algo da negativo por ahí, una mayor tiene que dar negativo, para que
dé menos x. No sé el proceso.
Análisis:
Juan ha escrito en su hoja de respuesta el siguiente procedimiento para mirar qué es lo que ha hecho
la calculadora y escribir la explicación en la columna C de la tabla de la situación 1.
2x(x– 1) + (3x(1– x)
2x(x– 1) + 3x– 4x
(x– 1) 3x – 2x
En un inicio del diálogo, Juan efectúa los dos productos y esto lo habría llevado a la siguiente expre✌
✌
✍
✍
sión
− + −
= − + y al tomar la expresión reducida y al sacar como factor común habían obtenido la respuesta dada por la calculadora. Pero el argumento se desvía porque han
efectuado incorrectamente los productos, al realizar la multiplicación de (3x(1– x) obtienen 3x– 4x,
esto nos indica que efectuaron una suma entre 3x y x, y no una multiplicación. También reducen 2x
con –4x y deberían multiplicar 2x con (x– 1) .
✎
✎
☞
✎
✎
✎
☞
✎
☞
Al revisarse su hoja de respuesta la justificación que dan es la siguiente: “se invirtieron los signos
en el segundo paréntesis y se unió términos semejantes”. Parece que al final lograron encontrar el
procedimiento solicitado porque la descripción se relaciona con la aplicación de una técnica de factorización (factor común por agrupación de términos). Sin embargo, no se muestra el procedimiento
de factorización en las pregunta 1.2.b. o 1.2.e.
En cuanto a las técnicas L/P, las de mayor dificultad son las relacionadas
con la factorización de polinomios, y la ejecución de una regla vinculada a
la forma de la expresión algebraica; muchos estudiantes no distinguían qué
técnica seleccionar y cómo usarla, mientras que para realizar los gráficos
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en L/P no tuvieron inconvenientes en determinar algunas variables visuales que facilitaban hacer un dibujo semejante al obtenido en la calculadora
simbólica.
REFLEXIÓN FINAL
Finalmente, estas experiencias han permitido refutar algunas afirmaciones
que niegan la posibilidad de trabajo complementario de las calculadoras
simbólicas y Lápiz/Papel, los vínculos conceptuales de la factorización de
polinomios con otros conceptos y la importancia del trabajo técnico para el
desarrollo de la conceptualización. Se hace la invitación, para que los profesores en ejercicio y con acceso con las calculadoras simbólicas hagan uso
del sistema de álgebra computacional (CAS) y generen nuevas situaciones
de aprendizaje.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Gómez (Eds.), Ingeniería Didáctica en Educación Matemática (pp. 33-59). Bogotá,
Colombia: Grupo Editorial Iberoamericana.
Douady, R. (1995). La ingeniería didáctica y la evolución y su relación con el conocimiento. En: M. Artigue, R. Douady, L. Moreno & P. Gómez (Eds.), Ingeniería
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Iberoamericana.
Mejía, M. (2004). Análisis didáctico de la factorización de expresiones polinómicas
cuadráticas. (Tesis de pregrado no publicada). Universidad del Valle, Cali, Colombia.
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publicada). Universidad del Valle, Cali, Colombia.
Ministerio de Educación Nacional. (2004). Tecnología informática: innovación en el
currículo de matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media. Bogotá,
Colombia: Enlace Editores.
Lagrange, J-B. (2000). L’intégration d’instruments informatiques dans l’enseignement:
une approche par les techniques. Educational Studies in Mathematics, 43 (1),
pp. 1-30.
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¿CÓMO SE PODRÍA ENSEÑAR LA FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS INTEGRANDO CALCULADORAS SIMBÓLICAS...
Trouche, L. (2005). An instrumental approach to mathematics learning in symbolic
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Rabardel, P. (s.f). Los hombres y las tecnologías II. Perspectiva cognitiva de los instrumentos contemporáneos. (M. Aslanides, Trad.) (Trabajo original publicado en
1995). Recuperado el 6 de enero de 2010 en http://www.ergonomia.cl/0103a.html
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