1. Ciencia

SISTEMAS DINÁMICOS
SISTEMAS DINÁMICOS
CAÓTICOS
El concepto de Caos
Se dice que un sistema dinámico (X,f) es caótico si
•es sensible respecto a las condiciones iniciales,
•es topológicamente transitivo,
•sus puntos periódicos son densos en X.
El concepto de Caos
•(X,f) es sensible respecto a las condiciones iniciales si
existe un número δ>0 (la constante de sensibilidad) tal
que para todo x∈X y todo ε>0 existe y∈X con
d(x,y)<ε y existe n∈N tales que d(fn(x),fn(y))>δ
Por ejemplo, para f(x)=4x(1-x)
x=0.75000001
x=0.75
El concepto de Caos
•(X,f) es topológicamente transitivo si dados dos
subconjuntos abiertos cualesquiera U y V de X, existe
k∈N tal que fk(U)∩V≠∅,
Por ejemplo, para
f(x)=4x(1-x)
V
U
El concepto de Caos
• Los puntos periódicos de (X,f) son densos si para
cualquier subconjunto abierto U de X, siempre existe un
punto periódico en U.
Por ejemplo, para
f(x)=4x(1-x)
El concepto de Caos
Si (X,f) es sensible respecto a las condiciones iniciales,
pequeños errores en la estimación de valores de la función
se pueden ampliar considerablemente al iterarla.
Si (X,f) es topológicamente transitivo, X no puede
descomponerse en dos subconjuntos disjuntos invariantes
con interior no vacío. (Si f posee una órbita densa entonces
(X,f) es topológicamente transitivo).
Por tanto, si un sistema dinámico es caótico, tiene una
componente de impredicibilidad, una componente de
irreducibilidad pero aun así tiene una tercera
componente de regularidad (puntos periódicos densos).
El concepto de Caos
Recientemente, en 1994, se ha demostrado que todo
sistema dinámico definido en un intervalo por una función
f topológicamente transitiva es caótico.
Anteriormente, en 1992, ya se había probado que en
cualquier espacio métrico, la sensibilidad a las condiciones
iniciales se deduce de las otras dos propiedades.
En 1997 se ha probado que un sistema dinámico es caótico
si y solo si para cualesquiera conjuntos abiertos U y V
existe una órbita periódica que visita ambos.
El sistema dinámico “shift”
Sea S: [0,1]→[0,1]
tal que
1
⎧
0≤ x<
⎪ 2x
2
S ( x) = ⎨
1
⎪2 x − 1
≤ x ≤1
2
⎩
El sistema dinámico “shift”
Calculemos la iteración
de un punto arbitrario
La iteración de un
punto arbitrario
racional siempre es
periódica.
Como los puntos que
maneja el ordenador
son racionales no se
puede experimentar
el comportamiento
de esta función.
El sistema dinámico “shift”
En codificación binaria:
S(0.0a2a3a4 ...) = 0.a2a3a4 ...
S(0.1a2a3a4 ...) = 1.a2a3a4... - 1=0.a2a3a4 ...
Así, S(0.a1a2a3a4 ...) = 0.a2a3a4 ...
Con esta expresión, se ve que los puntos periódicos son
los que tienen expresión binaria periódica.
Los periódicos y preperiódicos son los números
racionales. De éstos los periódicos son aquellos cuya
fracción irreducible tiene denominador impar.
El sistema dinámico “shift”
Teorema. El sistema dinámico ([0,1],S) es caótico.
Dem. Solo tenemos que comprobar que para cualesquiera
U y V abiertos de [0,1] existe una órbita periódica que
visita ambos.
Sean x=(0.a1a2a3a4 ...)∈U e y=(0.b1b2b3b4 ...)∈V. Como
U y V son abiertos existe n suficientemente grande tal
que x'=(0.a1a2 ...anb1b2 ...bna1a2 ...anb1b2 ...bn...)∈U y
Sn(x')=(0.b1b2 ...bna1a2 ...anb1b2 ...bna1a2 ...an...)∈V.
El sistema dinámico “tienda”
Sea T: [0,1]→[0,1]
tal que
1
⎧
0≤ x<
⎪ 2x
2
T ( x) = ⎨
1
⎪2 − 2 x
≤ x ≤1
2
⎩
El sistema dinámico “tienda”
Calculemos la iteración
de un punto arbitrario
La iteración de un
punto arbitrario
racional siempre es
periódica.
Como los puntos que
maneja el ordenador
son racionales no se
puede experimentar
el comportamiento
de esta función.
El sistema dinámico “tienda”
En codificación binaria
T(0.0a2a3a4 ...) = 0.a2a3a4 ...,
T(0.1a2a3a4 ...) = 0.(1-a2)(1-a3)(1-a4) ...
Por la
Lema. Se cumple que Tk+1=T Sk.
simetría
Dem. T S (0.0a2a3a4 ...) = T (0.a2a3a4 ...)
=
de T
T T (0.0a2a3a4 ...) = T (0.a2a3a4 ...)
=
T S (0.1a2a3a4 ...) = T (0.a2a3a4 ...)
=
T T (0.1a2a3a4 ...) = T (0.(1-a2)(1-a3)(1-a4) ...)
=
En general Tk+1= T T ...T T T = T T ...T T S
= T T ... T S S = ... = T S ... S S S = T Sk.
El sistema dinámico “tienda”
Teorema. El sistema dinámico ([0,1],T) es caótico.
Dem. Tenemos que ver que si U y V son abiertos de [0,1],
existe una órbita periódica que visita ambos.
Sean x=(0. a1 a2 a3 a4 ...)∈U e y=(0. b1 b2 b3 b4 ...)∈V.
Como U y V son abiertos existe n suficientemente grande
tal que
x'=(0.a1 a2 ...an 0 b1 b2 ...bn 0 a1 a2 ...an 0 b1 b2 ...bn...)∈U y
Tn+1(x')=TSn(x')=(0.b1b2 ...bn0a1a2...an0b1b2...bn...)∈V.
Además,
T2n+2 (x')=TS2n+1(x')=(0.a1a2...an0b1b2...bn0a1a2...an...)=x',
y por tanto x' es periódico.
La curva logística
Sea f: [0,1]→[0,1]
tal que
f(x)=4x(1-x)
La curva logística
Calculemos la
iteración de un
punto arbitrario
La iteración de un
punto arbitrario es
ahora “densa” en
(0,1)
La curva logística
Lema. Sea h:[0,1]→[0,1] dada por h(t)=sen2((π/2) x).
Entonces f h=h T.
Por tanto, como h
es homeomorfismo,
f y h son
topológicamente
conjugadas
Luego fkh=hTk
para todo k∈N,
y h y h-1 mandan
órbitas en órbitas.
La curva logística
Teorema. El sistema dinámico ([0,1],f) es caótico.
Dem. Se tiene que x es un punto n-periódico de T si y solo
si Tn(x)=x si y solo si f(h(x))=hTn(x)=h(x) si y solo si h(x)
es n-periódico para f.
Esto implica que como T cumple que para cualesquiera
U y V abiertos de [0,1] existe una órbita periódica que
visita ambos, también lo cumplirá f.