Análisis 2007 - matematicaspadresuarez

Análisis 2016
ln π‘₯+1 βˆ’π‘Ž·π‘ π‘’𝑛 π‘₯ +π‘₯·cos ⁑
(3π‘₯)
π‘₯2
1.1A (junio) [2'5 puntos] Sabiendo que limπ‘₯β†’0
límite (ln denota logaritmo neperiano).
Solución: El valor de a es 2 y el valor del límite es -1/2.
es finito, calcula β€œa” y el valor del
1.2A (junio) [2'5 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f en el punto de
abscisa x = 1 sabiendo que f(0) = 0 y f β€ž(x) =
(π‘₯βˆ’1)2
π‘₯+1
para x > - 1.
5
2
Solución: La ecuación de la recta tangente es: 𝑦 = βˆ’ + 𝑙𝑛16
π‘₯
1.1B (junio) Sea f: R β†’ R la función definida por f(x) = π‘₯ 2 +1 .
a) [0β€Ÿ75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Calcula los puntos de corte de dichas
asíntotas con la gráfica de f.
b) [1β€Ÿ25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisas
donde se obtienen y valores que se alcanzan).
c) [0β€Ÿ5 puntos] Esboza la gráfica de f.
Solución: a) Asíntota horizontal y = 0. No tiene asíntotas verticales ni oblicuas. b) Es creciente en el
1
intervalo (-1, 1) y decreciente en βˆ’βˆž, βˆ’1 βˆͺ 1, +∞ . Mínimo relativo βˆ’1, βˆ’ 2 y máximo relativo en
1
1, 2 .
c)
1.2B (junio) Sea f: (0,+∞) β†’ R la función dada por f(x) = ln(x) (ln representa logaritmo neperiano). (a) [0β€Ÿ5
puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa
x = 1.
(b) [2 puntos] Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de f, la recta y = x - 1 y la recta x = 3. Calcula
su área.
Solución: a) y = x – 1. b) Área = 4 βˆ’ 3 · ln 3 𝑒2
2.1A (junio colisiones) [2'5 puntos] Sabiendo que limπ‘₯β†’0
límite.
Solución: El valor de a es -1 y el límite vale
cos πœ‹π‘₯ ·(1+π‘Ž·cos πœ‹π‘₯ )
finito,
𝑠𝑒𝑛 π‘₯ 2
calcula β€œa” y el valor del
πœ‹2
2
ln ⁑
(π‘₯)
2.2A (junio colisiones) Considera la función f dada por f(x) = π‘₯ +
para x > 0.
π‘₯
a) [1β€Ÿ5 puntos] Halla todas las primitivas de f.
3
b) [0β€Ÿ5 puntos] Halla 1 𝑓 π‘₯ · 𝑑π‘₯
c) [0β€Ÿ5 puntos] Determina la primitiva de f que toma el valor 3 para x = 1.
Solución: a) F(x) =
2 π‘₯3
3
+
ln ⁑
(π‘₯) 2
2
+ π‘˜. b) F(x) =
2 π‘₯3
3
+
ln ⁑
(π‘₯) 2
2
2
βˆ’ 3. c) F(x) =
2 π‘₯3
3
+
ln ⁑
(π‘₯) 2
2
7
+ 3.
2.1B (junio colisiones) [2'5 puntos] Se dispone de un cartón cuadrado de 50 cm de lado para construir una
caja sin tapadera a partir del cartón. Para ello, se corta un cuadrado de x cm de lado en cada una de las
esquinas. Halla el valor de x para que el volumen de la caja sea máximo y calcula dicho volumen.
25
250000
Solución: x= 3 cm. El volumen es 27 π‘π‘š3
2.2B (junio colisiones) [2'5 puntos] Sea f: R β†’ R la función dada por f(x) =
2π‘₯
π‘₯ 2 +1 2
. Calcula el área del
recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = 1.
1
Solución: Área = 2 𝑒2
3.1A (septiembre) [2'5 puntos] Sabiendo que limπ‘₯βˆ€β†’0
Solución: El valor de m es 2 y el límite vale βˆ’1 2
1
𝑒 π‘₯ βˆ’1
π‘š
βˆ’ 2π‘₯ es finito, calcula β€œm” y el valor del límite.
3.2A (septiembre) [2'5 puntos] Sea f: R β†’ R la función definida por f(x) = π‘₯ 4 . Encuentra la recta horizontal
8
que corta a la gráfica de f formando con ella un recinto con área 5.
Solución: La recta es y = 1.
2
3.1B (septiembre) Sea f: R β†’ R la función definida por f(x) = π‘₯ 2 · 𝑒 βˆ’π‘₯ .
a) [0β€Ÿ75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.
b) [1β€Ÿ25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos
(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
c) [0β€Ÿ5 puntos] Esboza la gráfica de f.
Solución: a) Asíntota horizontal y = 0 cuando π‘₯ β†’ ±βˆž. b) f es creciente en βˆ’βˆž, βˆ’1 βˆͺ 0, 1 y decreciente
en βˆ’1, 0 βˆͺ 1, +∞ . Tiene un mínimo relativo en (0. 0) y máximo relativo en βˆ’1, 1 𝑒 𝑦 𝑒𝑛 1, 1 𝑒 ,
3.2B (septiembre) [2β€Ÿ5 puntos] Calcula
2
3
π‘₯
1+ π‘₯
· 𝑑π‘₯ (sugerencia t = π‘₯ ).
Solución: F8x) = · π‘₯ 3 βˆ’ π‘₯ + 2 · π‘₯ βˆ’ 2 · 𝑙𝑛 π‘₯ + 1 + 𝐢
4.1A
4.2A
4.1B
4.2B
5.1A
5.2A
5.1B
5.2B
6.1A
6.2A
6.1B
6.2B