Análisis 2016 ln π₯+1 βπ·π ππ π₯ +π₯·cos β‘ (3π₯) π₯2 1.1A (junio) [2'5 puntos] Sabiendo que limπ₯β0 límite (ln denota logaritmo neperiano). Solución: El valor de a es 2 y el valor del límite es -1/2. es finito, calcula βaβ y el valor del 1.2A (junio) [2'5 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f en el punto de abscisa x = 1 sabiendo que f(0) = 0 y f β(x) = (π₯β1)2 π₯+1 para x > - 1. 5 2 Solución: La ecuación de la recta tangente es: π¦ = β + ππ16 π₯ 1.1B (junio) Sea f: R β R la función definida por f(x) = π₯ 2 +1 . a) [0β75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de f. b) [1β25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) [0β5 puntos] Esboza la gráfica de f. Solución: a) Asíntota horizontal y = 0. No tiene asíntotas verticales ni oblicuas. b) Es creciente en el 1 intervalo (-1, 1) y decreciente en ββ, β1 βͺ 1, +β . Mínimo relativo β1, β 2 y máximo relativo en 1 1, 2 . c) 1.2B (junio) Sea f: (0,+β) β R la función dada por f(x) = ln(x) (ln representa logaritmo neperiano). (a) [0β5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. (b) [2 puntos] Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de f, la recta y = x - 1 y la recta x = 3. Calcula su área. Solución: a) y = x β 1. b) Área = 4 β 3 · ln 3 π’2 2.1A (junio colisiones) [2'5 puntos] Sabiendo que limπ₯β0 límite. Solución: El valor de a es -1 y el límite vale cos ππ₯ ·(1+π·cos ππ₯ ) finito, π ππ π₯ 2 calcula βaβ y el valor del π2 2 ln β‘ (π₯) 2.2A (junio colisiones) Considera la función f dada por f(x) = π₯ + para x > 0. π₯ a) [1β5 puntos] Halla todas las primitivas de f. 3 b) [0β5 puntos] Halla 1 π π₯ · ππ₯ c) [0β5 puntos] Determina la primitiva de f que toma el valor 3 para x = 1. Solución: a) F(x) = 2 π₯3 3 + ln β‘ (π₯) 2 2 + π. b) F(x) = 2 π₯3 3 + ln β‘ (π₯) 2 2 2 β 3. c) F(x) = 2 π₯3 3 + ln β‘ (π₯) 2 2 7 + 3. 2.1B (junio colisiones) [2'5 puntos] Se dispone de un cartón cuadrado de 50 cm de lado para construir una caja sin tapadera a partir del cartón. Para ello, se corta un cuadrado de x cm de lado en cada una de las esquinas. Halla el valor de x para que el volumen de la caja sea máximo y calcula dicho volumen. 25 250000 Solución: x= 3 cm. El volumen es 27 ππ3 2.2B (junio colisiones) [2'5 puntos] Sea f: R β R la función dada por f(x) = 2π₯ π₯ 2 +1 2 . Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = 1. 1 Solución: Área = 2 π’2 3.1A (septiembre) [2'5 puntos] Sabiendo que limπ₯ββ0 Solución: El valor de m es 2 y el límite vale β1 2 1 π π₯ β1 π β 2π₯ es finito, calcula βmβ y el valor del límite. 3.2A (septiembre) [2'5 puntos] Sea f: R β R la función definida por f(x) = π₯ 4 . Encuentra la recta horizontal 8 que corta a la gráfica de f formando con ella un recinto con área 5. Solución: La recta es y = 1. 2 3.1B (septiembre) Sea f: R β R la función definida por f(x) = π₯ 2 · π βπ₯ . a) [0β75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) [1β25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) [0β5 puntos] Esboza la gráfica de f. Solución: a) Asíntota horizontal y = 0 cuando π₯ β ±β. b) f es creciente en ββ, β1 βͺ 0, 1 y decreciente en β1, 0 βͺ 1, +β . Tiene un mínimo relativo en (0. 0) y máximo relativo en β1, 1 π π¦ ππ 1, 1 π , 3.2B (septiembre) [2β5 puntos] Calcula 2 3 π₯ 1+ π₯ · ππ₯ (sugerencia t = π₯ ). Solución: F8x) = · π₯ 3 β π₯ + 2 · π₯ β 2 · ππ π₯ + 1 + πΆ 4.1A 4.2A 4.1B 4.2B 5.1A 5.2A 5.1B 5.2B 6.1A 6.2A 6.1B 6.2B
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