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Análisis 2016
ln 𝑥+1 −𝑎·𝑠𝑒𝑛 𝑥 +𝑥·cos ⁡
(3𝑥)
𝑥2
1.1A (junio) [2'5 puntos] Sabiendo que lim𝑥→0
límite (ln denota logaritmo neperiano).
Solución: El valor de a es 2 y el valor del límite es -1/2.
es finito, calcula “a” y el valor del
1.2A (junio) [2'5 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f en el punto de
abscisa x = 1 sabiendo que f(0) = 0 y f „(x) =
(𝑥−1)2
𝑥+1
para x > - 1.
5
2
Solución: La ecuación de la recta tangente es: 𝑦 = − + 𝑙𝑛16
𝑥
1.1B (junio) Sea f: R → R la función definida por f(x) = 𝑥 2 +1 .
a) [0‟75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Calcula los puntos de corte de dichas
asíntotas con la gráfica de f.
b) [1‟25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisas
donde se obtienen y valores que se alcanzan).
c) [0‟5 puntos] Esboza la gráfica de f.
Solución: a) Asíntota horizontal y = 0. No tiene asíntotas verticales ni oblicuas. b) Es creciente en el
1
intervalo (-1, 1) y decreciente en −∞, −1 ∪ 1, +∞ . Mínimo relativo −1, − 2 y máximo relativo en
1
1, 2 .
c)
1.2B (junio) Sea f: (0,+∞) → R la función dada por f(x) = ln(x) (ln representa logaritmo neperiano). (a) [0‟5
puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa
x = 1.
(b) [2 puntos] Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de f, la recta y = x - 1 y la recta x = 3. Calcula
su área.
Solución: a) y = x – 1. b) Área = 4 − 3 · ln 3 𝑢2
2.1A (junio colisiones) [2'5 puntos] Sabiendo que lim𝑥→0
límite.
Solución: El valor de a es -1 y el límite vale
cos 𝜋𝑥 ·(1+𝑎·cos 𝜋𝑥 )
finito,
𝑠𝑒𝑛 𝑥 2
calcula “a” y el valor del
𝜋2
2
ln ⁡
(𝑥)
2.2A (junio colisiones) Considera la función f dada por f(x) = 𝑥 +
para x > 0.
𝑥
a) [1‟5 puntos] Halla todas las primitivas de f.
3
b) [0‟5 puntos] Halla 1 𝑓 𝑥 · 𝑑𝑥
c) [0‟5 puntos] Determina la primitiva de f que toma el valor 3 para x = 1.
Solución: a) F(x) =
2 𝑥3
3
+
ln ⁡
(𝑥) 2
2
+ 𝑘. b) F(x) =
2 𝑥3
3
+
ln ⁡
(𝑥) 2
2
2
− 3. c) F(x) =
2 𝑥3
3
+
ln ⁡
(𝑥) 2
2
7
+ 3.
2.1B (junio colisiones) [2'5 puntos] Se dispone de un cartón cuadrado de 50 cm de lado para construir una
caja sin tapadera a partir del cartón. Para ello, se corta un cuadrado de x cm de lado en cada una de las
esquinas. Halla el valor de x para que el volumen de la caja sea máximo y calcula dicho volumen.
25
250000
Solución: x= 3 cm. El volumen es 27 𝑐𝑚3
2.2B (junio colisiones) [2'5 puntos] Sea f: R → R la función dada por f(x) =
2𝑥
𝑥 2 +1 2
. Calcula el área del
recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = 1.
1
Solución: Área = 2 𝑢2
3.1A (septiembre) [2'5 puntos] Sabiendo que lim𝑥∀→0
Solución: El valor de m es 2 y el límite vale −1 2
1
𝑒 𝑥 −1
𝑚
− 2𝑥 es finito, calcula “m” y el valor del límite.
3.2A (septiembre) [2'5 puntos] Sea f: R → R la función definida por f(x) = 𝑥 4 . Encuentra la recta horizontal
8
que corta a la gráfica de f formando con ella un recinto con área 5.
Solución: La recta es y = 1.
2
3.1B (septiembre) Sea f: R → R la función definida por f(x) = 𝑥 2 · 𝑒 −𝑥 .
a) [0‟75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.
b) [1‟25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos
(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
c) [0‟5 puntos] Esboza la gráfica de f.
Solución: a) Asíntota horizontal y = 0 cuando 𝑥 → ±∞. b) f es creciente en −∞, −1 ∪ 0, 1 y decreciente
en −1, 0 ∪ 1, +∞ . Tiene un mínimo relativo en (0. 0) y máximo relativo en −1, 1 𝑒 𝑦 𝑒𝑛 1, 1 𝑒 ,
3.2B (septiembre) [2‟5 puntos] Calcula
2
3
𝑥
1+ 𝑥
· 𝑑𝑥 (sugerencia t = 𝑥 ).
Solución: F8x) = · 𝑥 3 − 𝑥 + 2 · 𝑥 − 2 · 𝑙𝑛 𝑥 + 1 + 𝐶
4.1A
4.2A
4.1B
4.2B
5.1A
5.2A
5.1B
5.2B
6.1A
6.2A
6.1B
6.2B