1. Healthcare

GUÍA 1 - III° B
Unidad: Probabilidad
Prof.: Orlando Maldonado Muñoz
CONCEPTOS BASICOS:
Se llama experimento determinístico a aquel en el cual el resultado se puede predecir, es decir,
siempre que se realice en condiciones semejantes se obtendrá el mismo resultado.
Un experimento aleatorio es aquel en el cual no es posible predecir el resultado aunque
éste se realice en las mismas condiciones.
Al conjunto de resultados posibles de obtener a partir de un experimento aleatorio se
llama espacio muestral.
Cualquier subconjunto del espacio muestral se denomina evento o suceso, éstos se pueden
clasificar en:
a) Evento cierto o seguro: es aquel que está formado por todo el espacio muestral. Tiene
probabilidad 1.
b) Evento imposible: es el subconjunto vacio del espacio muestral. Tiene probabilidad 0.
Un suceso A tiene
0  P( A)  1
c) Eventos incompatibles o mutuamente excluyentes: son aquellos que no pueden suceder
simultáneamente.
d) Eventos complementarios: son aquellos cuya unión es el espacio muestral y cuya
intersección es el conjunto vacío.
Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia
aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).
 Espacio muestral de una moneda:
E = {C, S},
 Espacio muestral de un dado:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
 Espacio muestral del lanzamiento de dos dados:
DIAGRAMA DEL ARBOL:
Ej: Determinar es Espacio Muestral del lanzamiento de una moneda tres veces seguida
(o tres monedas de una vez):
Resultados favorables: 8
 (CCC – CCS – CSC – CSS – SCC – SCS – SSC – SSS)
TRIANGULO DE PASCAL: Triángulo que representa una regularidad numérica.
Ejemplo: lanzar cuatro veces seguidas una moneda, ( o cuatro monedas una vez)
Por potencias del binomio ( C + S ):
( C + S )1 =
(C+S)
2
(C+S)
3
(C+S)
4
1C + 1S
=
C
=
=
C
C
4
2
1
+ 2CS + S
3
2
+ 3C S + 3CS
3
2
+ 4C S + 6C S
2
2
2
1
+ S
+ 4CS
3
3
+S
1
4
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
1
0
1
1
4
1
0
5
PROBABILIDAD CLASICA:
Cuando la ocurrencia de un suceso (A) es igualmente posible que la ocurrencia de los demás. La
probabilidad de que un evento o suceso ocurra es el cuociente entre el números de casos
favorables y el número de casos posibles, (llamada Regla de Laplace )
P( A) 
n o de casos favorables
n o de casos posibles
Ejemplos:
1) Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 4?
P( A) 
3 1

6 2
2) Se barajan 4 tarjetas marcadas con las letras A, H, L ,O y se ponen en fila vueltas hacia
abajo en una mesa. Calcular la probabilidad de que quedasen ordenada de modo que se
lea la palabra HOLA
P4  4! 24
 P( A) 
1
24
3) Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar un dado dos veces:
  36 ,
(3,5); (6,2); 5,3); (2,6); (4,4)
P( A) 
5
36
1
GUÍA 1 - III° B
Unidad: Probabilidad
Prof.: Orlando Maldonado Muñoz
4) Tú formas parte de un grupo de 12 alumnos que debe ser evaluado de manera oral. El
profesor va a sortear un grupo de 3 alumnos para la evaluación. Calcular la probabilidad
de que seas elegido.
P( A) 
C11  C 211
C312

1
 25%
4
PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES:
1) La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario, ( complemento) es 1, por tanto
la probabilidad del suceso contrario es:
P( A)  1  P( A)
Ejemplo: De un naipe de 52 cartas, sacamos una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la
carta
extraída no sea de trébol?


13 1

52 4
1 3
P( A)  1  P( A)  1  
4 4
A  sea de trébol

2) Dado dos eventos A y B, subconjuntos de  , la probabilidad de que ocurra A o B o ambas
está expresado en la siguiente ley de probabilidad total:
P (A U B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B)
Si A y B son conjuntos disjuntos, ( que no se intersectan), es decir
entonces
se cumple que:
P (A U B) = P(A) + P(B)
A B  Ø,
Ejemplo: Una ruleta tiene como resultados posibles los números del 1 al 10. Si el evento A: que
salga un número menor que 8 y el evento B: que salga un número múltiplo de 3. Calcular la
probabilidad de que salga un número múltiplo de 3 o un número menor que 8.






2
P( A  B)  
10 
7
10
3
P( B) 
10
P( A) 

P( A  B) 
7
3 2
8 4
  

10 10 10 10 5
¿Cuál es la probabilidad de que en la misma ruleta salga un número menor o igual que 3 o que
sea múltiplo de 4?
P ( A  B) 
3 2
5 1



10 10 10 2
3) Probabilidad condicionada: Es el valor de la Probabilidad de que ocurra B después de
 A
ocurrido A. Se denota como: P B
4) Dados dos eventos A y B, subconjuntos de  , la probabilidad de que ocurra B después de
haber sucedido A, está expresada en la siguiente ley de probabilidad compuesta:
 A
P( A  B)  P( A)  P B
 A  P(B) , es decir que
Si P B
la ocurrencia de B no está condicionada por la ocurrencia
de A, se dice que los eventos son independientes.
A y B son independientes

P( A  B)  P( A)  P( B)
Ejemplos:
a) Una bolsa contiene 3 fichas rojas y 4 blancas. Si se sacan 2 fichas al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que ambas sean rojas?
CON REPOSICIÓN
A=1a ficha roja
B= 2a ficha roja
P( A  B) 
3
7
que
es
3 3 9
 
7 7 49
el
valor
SIN REPOSICIÓN
A=1a ficha roja
B= 2a ficha roja
P( A  B) 
de
la probabilidad de
ocurra B independientemente del evento A
2
6
3 2 6
 
7 6 42
Es el valor de la probabilidad de que
ocurra B después de ocurrido A.
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Unidad: Probabilidad
Prof.: Orlando Maldonado Muñoz
b) De un naipe de 52 cartas se extraen 2 de ellas. Calcular la probabilidad de que ambas
cartas sean ases, con y sin reposición.
CON REPOSICIÓN
A=1a As
B= 2a As
P ( A  B) 
P( A  B) 
4 4
16


52 52 2704
C 24
C 252

1
169
SIN REPOSICIÓN
A=1a As
B= 2a As
P( A  B) 
P( A  B) 
4 3
12
1
 

52 51 2652 221
C14
C 252

C13
C 251

1
221
EJERCICIOS PROPUESTOS – PARTE 1
1) Si se lanza un dado, calcula la probabilidad de:
a) Que salga un número menor que 5 o número par.
b) Que se obtenga un número impar o número múltiplo de tres.
2) Se extrae una carta de un naipe de 52 cartas. Calcule la probabilidad de que ocurra:
a) Que sea un rey o sea roja.
b) Que sea negra o un número del 4 al 8.
3) En el lanzamiento de dos dados, calcula la probabilidad de que ocurra:
a) Que uno de los números o ambos sean 3
b) Que la suma sea 4 o bien que uno o ambos números sean 6.
4) Determine la probabilidad para cada uno de los siguientes casos:
a) Obtener rey, as, jota de tréboles o reina de diamante de un naipe bien barajado al sacar
una sola carta.
b) Obtener 8 en la suma del lanzamiento de dos dados balanceados.
c) Obtener al menos una cara en tres lanzamientos de una moneda balanceada.
5) Se saca al azar una ficha de una caja que contiene 10 fichas rojas, 30 blancas, 20 azules y
15 anaranjadas. Encontrar la probabilidad de que la ficha sea:
a) Anaranjada o roja:
b) No roja o azul:
c) No azul:
d) Blanca:
e) Roja, blanca o azul:
6) Una caja contiene 2 bolitas rojas y 3 azules. Encuentre la probabilidad de que si se sacan
dos bolitas al azar ( sin reemplazo):
a) Ambas sean azules:
b) Ambas sean rojas:
c) Una sea roja y la otra azul:
7) Encuentre la probabilidad de obtener un 4 en dos lanzamientos de un dado balanceado.
8) Una bolsa contiene 4 bolitas blancas y 2 negras; otra bolsa contiene 3 bolitas blancas y 5
negras. Si se saca una bolita de cada bolsa, encuentre la probabilidad de que:
a) Ambas sean blancas:
b) Ambas sean negras:
c) Una sea blanca y la otra negra:
9) Las probabilidades de que un marido y su esposa estén vivos durante 20 años a partir de
ahora es 0,8 y 0,9 respectivamente. Encuentre la probabilidad de que en 20 años estén
vivos:
a) Ambos:
b) Ninguno:
c) Al menos uno:
10) Una caja contiene 8 bolitas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se extraen 3 bolitas al azar y sin
reemplazo, determine la probabilidad de que:
a) Las tres sean rojas:
b) Las tres sean blancas:
c) 2 sean rojas y una blanca:
d) Se saque una de cada color:
e) Se saquen en el siguiente orden: roja, blanca, azul:
11) La probabilidad que tiene A de ganar a B en una partida de ajedrez es igual a 1/3. ¿Cuál es
la probabilidad que tiene A de ganar al menos una de tres jugadas?
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Prof.: Orlando Maldonado Muñoz
12) En una caja, hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Si se extraen dos al azar, ¿cuál es la
probabilidad de obtener:
a) Dos números impares:
b) Dos números pares:
c) Un número par y un número impar:
d) Los números 2 y 5:
13) De 200 personas, el 40% fuma, 164 saben manejar y sólo el 5% no fuma y no sabe
manejar. Si se elige una persona al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que fume y maneje?
b) ¿y de que fume pero no maneje?
14) Una caja contiene 3 esferas verdes y 2 amarillas. Si se sacan sucesivamente 2 esferas,
¿cuál es la probabilidad de que éstas sean alternativamente de distinto color?
15) Álvaro y Carola deciden tener 4 hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que sean 2 mujeres y dos
hombres?
16) De un grupo de 7 hombres y 4 mujeres vamos a elegir una comisión de tres personas.
Calcular la probabilidad de que la comisión esté formada por:
a) 3 hombres:
b) 2 hombres y una mujer:
c) Al menos un hombre:
17) Las probabilidades que tienen A, B y C de resolver un mismo problema son 4/5, 2/3 y 3/7
respectivamente. Si intentan hacerlo los tres, determinar la probabilidad de que el problema
sea resuelto.
18) Once libros, de los cuales 5 son de ingeniería, 4 de matemáticas y dos de química, se
colocan al azar en una estantería. Hallar la probabilidad de que los libros de cada materia
estén todos juntos.
19) En dos lanzamientos de un par de dados balanceados, encuentre la probabilidad de obtener
un puntaje 7:
a) Una vez:
b) Al menos una vez:
c) Dos veces:
20) Se sacan una tras otra dos cartas de un naipe común y bien barajado de 52 cartas.
Determine la probabilidad de que:
a) La 1a carta sea no sea un diez de trébol o un As:
b) La 1a carta sea un As, pero la segunda no:
c) Al menos una carta sea de diamantes:
d) Las cartas no sean del mismo palo:
e) No más de una carta sea figura:
RESPUESTAS
1) a) 5/6 b) 2/3 2) a) 7/13 b) 9/13 3) a) 11/36 b) 7/18 4) a) 5/26 b) 5/36 c) 7/8
5) a) 1/3 b) 13/15 c) 11/15 d) 2/5 e) 4/5 6) a) 3/10 b) 1/10 c) 3/10 7) 11/36 8) a)
1/4 b) 5/24 c) 13/24 9) a) 0.72 b) 0.02 c) 0.98 10) a) 14/285 b) 1/1440 c) 3/95 d) 18/95
e) 3/95 11) 19/27 12) a) 5/18 b) 1/6 c) 5/9 d) 1/36 13) a) 41/125 b) 1/50 14) 3/5 15)
3/8 16) a) 7/33 = 21% b) 84/165=50% c) 61/165=97% 17) 101/105 18) 1/1155 19)
a) 1/6 b) 11/36 c) 1/36 20) a) 47/52 b) 16/221 c) 15/14 d) 13/17 e) 210/221