Cálculo Fraccionario - Diferenciación e Integración de Orden Arbitrario
Cálculo Fraccionario Diferenciación e Integración de Orden Arbitrario Anthony Torres Hernandez1 Dr. Fernando Brambila Paz2 2 1 Facultad de Ciencias - UNAM Departamento de Matemáticas - UNAM 1 [email protected] 2 [email protected] Cálculo Fraccionario Índice 1 2 Introducción Historia Función Gamma Derivada Fraccionaria de un Monomio xm Derivada Fraccionaria de las Funciones Seno y Coseno Derivada Fraccionaria de la Función Exponencial Integral y Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Fórmula de Cauchy para la Integración Iterada Integral Fraccionaria de Riemann-Liouville Ejemplo: Integral Fraccionaria de Riemann-Liouville Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Ejemplo: Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville 3 Otras Derivadas Fraccionarias Derivada Fraccionaria de Caputo Derivada Fraccionaria de Grünwald-Letnikov Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 2 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Introducción • El concepto de diferenciación e integración de orden fraccionario no es nuevo. El interés en este tema fue evidente casi tan pronto como se dieron a conocer las ideas del cálculo convencional. • El cálculo diferencial que todos conocemos fue inventado de forma independiente por Newton y Leibniz en el siglo XVII. • Newton usaba la notación x, ẋ, ẍ, · · · (1) Mientras que Leibniz usaba y, Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) dy , dx d2 y , ..., dx2 Cálculo Fraccionario dn y . dxn (2) 3 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Introducción • Leibniz menciona el cálculo fraccionario en una carta a L’Hopital en 1695. Se encontraban discutiendo el recién desarrollado cálculo de Leibniz cuando L’Hopital pregunto: “· · · y si n fuera 12 ?” • A lo que Leibniz respondió: “ Esto llevará a una paradoja, desde la cual algún dı́a consecuencias útiles serán extraı́das ” Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 4 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Historia Historia • (1729) Euler contribuyo de forma indirecta en el desarrollo del cálculo fraccionario con la función Gamma Z Γ(z) = ∞ tz−1 e−t dt, (3) 0 que es definida para todo z ∈ C(Re(z) > 0). Un año más tarde (1730), publicó algunas ideas para el cálculo fraccionario usando la función Gamma de una manera natural. Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 5 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Historia Historia • (1772) La contribución de Legendre en el cálculo fraccionario es la ley de los exponentes para los operadores de orden entero dm dn dm+n y = y. dxm dxn dxm+n (4) • (1819) Lacroix desarrolla una fórmula para la diferenciación fraccionaria para la derivada enésima de v m por inducción. Él 1 reemplazó √ n con la fracción 2 , junto con el hecho de que 1 Γ 2 = π, obteniendo 1 2 1 v = √ v2. π dx d2 1 2 Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario (5) 6 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Historia Historia • (1822) Fourier hace la siguiente generalización: du 1 f (x) = dxu 2π Z +∞ Z +∞ f (α)dα −∞ −∞ h π i pu cos p(x − α) + u dp. 2 (6) y afirma: ”El número u será considera como cualquier cantidad que sea, positiva o negativa”. Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 7 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Historia Historia • (1823) Abel establece la primera aplicación practica para el cálculo fraccionario. • Estaba interesado en el problema de la tautócrona, i.e., determinar la curva para la cual el tiempo requerido por una partı́cula en deslizarse por ella hasta su punto mas bajo fuera independiente del punto de partida de la partı́cula. Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 8 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Historia Historia • Abel llego a que la curva f (x) que buscaba satisfacı́a la ecuación integral Z x (x − t)−1/2 f (t)dt = K, (7) 0 el termino a la izquierda de la ecuación anterior es, salvo1 la constante 1 −1 multiplicativa Γ 2 , la integral fraccionaria de orden 2 de la función f (x). Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 9 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Historia Historia • (1835) Liouville da la definición de una derivada fraccional como una serie infinita de funciones exponenciales X du y= Am emx mu , u dx m (8) donde u puede ser un número racional, real o imaginario. Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 10 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Historia Historia De los trabajos de Liouville surgen diferentes definiciones alternativas para las derivadas e integrales fraccionarias • La integral fraccionaria de Grünwald-Letnikov (1867-1868). • Derivada e integral fraccionarias de Riemann-Liouville (1870-1884). • La integral fraccionaria de Weyl (1917). • La integral fraccionaria de Riesz (1936). • La Derivada fraccionaria de Caputo (1967). Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 11 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Historia Historia • Después de transcurrir más de 300 años desde su primera mención el cálculo fraccionario pasa de ser una rama del análisis puramente teórica a una rama con aplicaciones matemáticas de materiales porosos, viscoelásticos, etc. • Los modelos de orden fraccionario presentan propiedades de no localidad y memoria. Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 12 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Función Gamma Función Gamma • Legendre (1752-1833) propuso, en 1814, llamar Función Gamma y representar con la letra correspondiente, Γ, a una función que habı́a sido introducida por primera vez en una carta que escribió Euler (1707-1783) a Goldbach (1690-1764) en el año 1729. • Esta función fue escrita inicialmente en forma infinitesimal, como el lı́mite de una expresión discreta. Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 13 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Función Gamma Función Gamma • De forma discreta es conocida como el lı́mite Infinito de Euler Γ(z) = lı́mn→∞ n! nz z(z + 1)(z + 2) · · · (z + n) (9) = lı́mn→∞ n!(z − 1)! z n , (z + n)! con Re(z) > 0. Más tarde se obtuvieron expresiones integrales. Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 14 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Función Gamma Función Gamma • La primera de estas integrales fue deducida por el mismo Euler, fue introducida para generalizar la noción de z!, con z ∈ C(Re(z) > 0) Z ∞ Γ(z) = e−t tz−1 dt, (10) 0 que suele aparecer en otras formas Z ∞ Γ(z) = 2 2 e−t t2z−1 dt, (11) 0 Z Γ(z) = ln 0 Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) 1 1 t z−1 Cálculo Fraccionario dt. (12) 15 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Función Gamma Gráfica de la Función Gamma Figura 1: Gráfica de la función Γ(x). Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 16 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Derivada Fraccionaria de un Monomio xm Derivada Fraccionaria de un Monomio xm Comencemos con (x − a)m , m ∈ Z d (x − a)m dx = m(x − a)m−1 , d2 (x − a)m dx2 = m(m − 1)(x − a)m−2 , = .. . m−3 d3 (x − a)m dx3 dn (x − a)m dxn (13) m(m − 1)(m − 2)x , = m(m − 1)(m − 2) · · · [m − (n − 1)](x − a)m−n . Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 17 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Derivada Fraccionaria de un Monomio xm Derivada Fraccionaria de un Monomio xm Multiplicando el numerador y el denominador de la ultima expresión por (m − n)! se obtiene dn (m − n)! (x − a)m−n , (x − a)m = m(m − 1)(m − 2) · · · [m − (n − 1)] n dx (m − n)! dn m! m (x − a) = (x − a)m−n , dxn (m − n)! (14) para reemplazar los enteros m y n por números arbitrarios µ y ν se usa la función Gamma Γ(z) dν Γ(µ + 1) (x − a)µ = (x − a)µ−ν . ν dx Γ(µ − ν + 1) Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario (15) 18 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Derivada Fraccionaria de un Monomio xm 1 Gráfica de la Derivada Fraccionaria de x 2 Figura 2: Evolución de las derivadas fraccionarias Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 1 dµ 2 dxµ x , con µ ∈ [0, 0.5]. 19 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Derivada Fraccionaria de un Monomio xm Gráfica de la Derivada Fraccionaria de x Figura 3: Evolución de las derivadas fraccionarias Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario dµ dxµ x, con µ ∈ [0, 1]. 20 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Derivada Fraccionaria de un Monomio xm Gráfica de la Derivada Fraccionaria de x2 Figura 4: Evolución de las derivadas fraccionarias Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario dµ 2 dxµ x , con µ ∈ [0, 2]. 21 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Derivada Fraccionaria de un Monomio xm Gráfica de la Derivada Fraccionaria de x3 Figura 5: Evolución de las derivadas fraccionarias Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario dµ 3 dxµ x , con µ ∈ [0, 3]. 22 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Derivada Fraccionaria de las Funciones Seno y Coseno Derivada Fraccionaria de las Funciones Seno y Coseno Sin perdida de generalidad analicemos el comportamiento de las derivadas de la función seno d sin(ax) = a cos(ax) = dx d2 sin(ax) = −a2 sin(ax) = dx2 d3 dx3 ! π a sin ax + , 2 a2 sin (ax + π) , (16) ! sin(ax) = −a3 cos(ax) = a3 sin ax + d4 sin(ax) = dx4 Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) a4 sin(ax) = Cálculo Fraccionario 3π , 2 a4 sin (ax + 2π) . 23 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Derivada Fraccionaria de las Funciones Seno y Coseno Derivada Fraccionaria de las Funciones Seno y Coseno Podemos concluir que para n ∈ N ! dn nπ , sin(ax) = an sin ax + dxn 2 (17) de manera análoga en el caso de la función coseno se tendrı́a ! nπ dn n cos(ax) = a cos ax + . dxn 2 Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario (18) 24 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Derivada Fraccionaria de las Funciones Seno y Coseno Derivada Fraccionaria de las Funciones Seno y Coseno Igual que en el caso de los monomios podrı́amos remplazar n por un γ entero, irracional o real y escribir ! dγ γπ sin(ax) = aγ sin ax + , dxγ 2 (19) de manera análoga en el caso de la función coseno se tendrı́a ! γπ dγ γ cos(ax) = a cos ax + . dxγ 2 Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario (20) 25 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Derivada Fraccionaria de las Funciones Seno y Coseno Gráfica de la Derivada Fraccionaria de sin(x) Figura 6: Evolución de las derivadas fraccionarias Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario dµ dxµ sin(x), con µ ∈ [0, 1]. 26 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Derivada Fraccionaria de las Funciones Seno y Coseno Gráfica de la Derivada Fraccionaria de cos(x) Figura 7: Evolución de las derivadas fraccionarias Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario dµ dxµ cos(x), con µ ∈ [0, 1]. 27 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Derivada Fraccionaria de la Función Exponencial Derivada Fraccionaria de la Función Exponencial Comencemos examinando las derivada n-ésima de la función exponencial eax debido a su simplicidad dn ax e = an eax , dxn (21) donde n ∈ N. Podrı́amos remplazar n por un γ entero, irracional o complejo y escribir dγ ax e = aγ eax . dxγ Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario (22) 28 / 50 Cálculo Fraccionario Introducción Derivada Fraccionaria de la Función Exponencial Gráfica de la Derivada Fraccionaria de e2x Figura 8: Evolución de las derivadas fraccionarias Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario dµ 2x dxµ e , con µ ∈ [0, 1] 29 / 50 Cálculo Fraccionario Integral y Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Fórmula de Cauchy para la Integración Iterada Fórmula de Cauchy para la Integración Iterada • La integral n-ésima de una función f , es conocida como la fórmula de Cauchy de la Integración Iterada (Ian f ) (x) = Rx a dt1 R t1 1 dt2 |{z} ··· R tn−1 a f (tn )dtn n = 1 (n−1)! Rx a (23) (x − t)n−1 f (t)dt, n ∈ N. Utilizando la función Gamma la expresión anterior se puede generalizar para valores no enteros. Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 30 / 50 Cálculo Fraccionario Integral y Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Integral Fraccionaria de Riemann-Liouville Integral Fraccionaria de Riemann-Liouville • Sea f ∈ L1 (a, b). La integral fraccionaria de Riemann-Liouville de orden γ ∈ C(Re(γ) > 0) de f se define como (Iaγ f ) (x) Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) 1 = Γ(γ) Z x (x − t)γ−1 f (t)dt. (24) a Cálculo Fraccionario 31 / 50 Cálculo Fraccionario Integral y Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Integral Fraccionaria de Riemann-Liouville Integral Fraccionaria de Riemann-Liouville Propiedades • Linealidad: Sean f, g ∈ L1 (a, b); λ, µ ∈ R y γ ∈ C(Re(γ) > 0) Iaγ (λf + µg) = λIaγ f + µIaγ g, (25) • Semigrupo y Conmutatividad Sea f ∈ L1 (a, b) y β, γ ∈ C(Re(β), Re(γ) > 0) Iaβ Iaγ f = Iaγ Iaβ f = Iaβ+γ f. Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario (26) 32 / 50 Cálculo Fraccionario Integral y Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Integral Fraccionaria de Riemann-Liouville Ejemplo: Integral Fraccionaria de Riemann-Liouville • f (t) = tk , k > −1 D−µ f (t) = 1 Γ(µ) Z t (t − u)µ−1 uk du, (27) 0 tomando el cambio de variable u = tv ⇒ du = tdv, Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario (28) 33 / 50 Cálculo Fraccionario Integral y Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Integral Fraccionaria de Riemann-Liouville Ejemplo: Integral Fraccionaria de Riemann-Liouville • Z t Z µ−1 k (t − u) u du = 0 1 (t − tv)µ−1 (tv)k tdv 0 Z 1 tµ−1 (1 − v)µ−1 tk+1 (v)k dv = 0 =t µ+k Z 1 (1 − v)µ−1 (v)k dv 0 = tµ+k Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Γ(k + 1)Γ(µ) . Γ(k + ν + 1) Cálculo Fraccionario 34 / 50 Cálculo Fraccionario Integral y Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Integral Fraccionaria de Riemann-Liouville Ejemplo: Integral Fraccionaria de Riemann-Liouville • D 1 µ+k Γ(k + 1)Γ(µ) t = t , Γ(µ) Γ(k + µ + 1) −µ k ∴ D−µ tk = Γ(k + 1) µ+k t . Γ(µ + k + 1) (29) Γ(1) µ t . Γ(µ + 1) (30) • f (t) = 1 = t0 ∴ D−µ t0 = Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 35 / 50 Cálculo Fraccionario Integral y Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville • La derivada y la integral en general no son operaciones inversas [Dn Ian f ] (x) 6= [Ian Dn f ] (x), (31) tómese como ejemplo el caso de un polinomio de orden (n − 1). • La derivada de orden entero es la inversa por la izquierda de la integral. • Un operador fraccionario debe heredar esta propiedad [Dγ Iaγ f ] (x) = f (x). Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario (32) 36 / 50 Cálculo Fraccionario Integral y Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville • Sea f ∈ L1 (a, b). La derivada fraccionaria de Riemann-Liouville de orden γ ∈ C(Re(γ) > 0) se define como (Daγ f ) (x) = Dn Ian−γ f (x), (Daγ f ) (x) 1 dn = Γ(n − γ) dxn Z x (x − t)n−γ−1 f (t)dt, (33) a donde n = [Re(γ)] + 1. Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 37 / 50 Cálculo Fraccionario Integral y Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville • La derivada fraccionaria de Riemann-Liouville permite ordenes imaginarios puros, a excepción del caso de la integral fraccionaria Daiθ f (x) = d 1 Γ(1 − iθ) dx Z x (x − t)−iθ f (t)dt, (34) a donde n = 1, θ ∈ R \ {0}. Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 38 / 50 Cálculo Fraccionario Integral y Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville • Cuando γ ∈ N, entonces n = γ + 1 (γ+1)−γ (Daγ ) (x) = Dγ+1 Ia f (x) = Dγ DIa f (x) = Dγ f (x), (35) la derivada de Riemann-Liouville coincide con la derivada usual. Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 39 / 50 Cálculo Fraccionario Integral y Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville • La derivada fraccionaria de Riemann-Liouville al igual que otros operadores fraccionarios, es un operador no local. • La derivada queda definida por medio de una integral que depende de los valores que toma la función a lo largo de un intervalo. • Solo cuando γ ∈ N la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville se convierte en un operador local. Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 40 / 50 Cálculo Fraccionario Integral y Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Propiedades • Linealidad Sean f, g ∈ L1 (a, b); λ, µ ∈ R y γ ∈ C(Re(γ) > 0) Daγ [λf + µg] = λDaγ f + µDaγ g, (36) • Sean f ∈ L1 (a, b); β, γ ∈ C(Re(β), Re(γ) > 0) Daβ Iaβ f (x) = f (x), Daβ Iaγ f (x) = Daβ Iaγ f (x) = Daβ−γ f (x), β > γ. Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Iaγ−β f (x), β ≤ γ, Cálculo Fraccionario (37) 41 / 50 Cálculo Fraccionario Integral y Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville Ejemplo: Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville • f (t) = tk Dµ f (t) = Γ(k + 1) k−µ t . Γ(k − µ + 1) (38) Γ(1) t−µ . Γ(−µ + 1) (39) • f (t) = 1 = t0 Dµ f (t) = Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 42 / 50 Cálculo Fraccionario Otras Derivadas Fraccionarias Derivada Fraccionaria de Caputo Derivada Fraccionaria de Caputo • La derivada fraccionaria de Riemann-Liouville fue determinante para el desarrollo del cálculo fraccionario, pero su aplicación fue estrictamente en el campo de la matemática teórica. • Al tratar modelos de problemas fı́sicos surgió el problema de introducir condiciones iniciales de orden fraccionario. • Las condiciones iniciales de orden fraccionario no son fı́sicamente interpretables y resultaron ser un problema para llevar el cálculo fraccionario al campo de las aplicaciones . Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 43 / 50 Cálculo Fraccionario Otras Derivadas Fraccionarias Derivada Fraccionaria de Caputo Derivada Fraccionaria de Caputo • El operador diferencial de Caputo permite el uso de condiciones iniciales de orden entero. • Este operador permitió un avance del cálculo fraccionario en el estudio de los fenómenos fı́sicos. Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 44 / 50 Cálculo Fraccionario Otras Derivadas Fraccionarias Derivada Fraccionaria de Caputo Derivada Fraccionaria de Caputo • Sea γ ∈ C(Re(γ) ≥ 0), n = [Re(γ)] + 1 C Cγf a (x) = Ian−γ Dn f (x) (40) = Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) 1 Γ(n−γ) Rx a (x − Cálculo Fraccionario dn t)n−γ−1 dt n f (t)dt. 45 / 50 Cálculo Fraccionario Otras Derivadas Fraccionarias Derivada Fraccionaria de Grünwald-Letnikov Derivada Fraccionaria de Grünwald-Letnikov • El enfoque de Grünwald-Letnikov toma como punto de partida la formula para la n-ésima derivada n dn 1 X k n f (x) = lı́m n (−1) f (x − kh). k dxn h→0+ h (41) k=0 • La expresión anterior se puede generalizar para valores no enteros usando la función Gamma, para valores de γ > 0, podemos tomar Γ(γ + 1) γ . = k (k!)Γ(γ − k + 1) Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario (42) 46 / 50 Cálculo Fraccionario Otras Derivadas Fraccionarias Derivada Fraccionaria de Grünwald-Letnikov Derivada Fraccionaria de Grünwald-Letnikov • Considerando una serie infinita y utilizando la expresión anterior se obtiene ∞ dγ 1 X k γ f (x) ≈ lı́m γ (−1) f (x − kh). k dxγ h→0+ h (43) k=0 • Dado x−aun h, no tiene sentido tomar los términos de la serie superiores a h ya que en este caso f (x) tomarı́a valores fuera del intervalo [a, b]. Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 47 / 50 Cálculo Fraccionario Otras Derivadas Fraccionarias Derivada Fraccionaria de Grünwald-Letnikov Derivada Fraccionaria de Grünwald-Letnikov • Sea f una función acotada en [a, b]. La derivada fraccionaria de Gründwal-Letnikov de orden γ ∈ R+ , se define si existe por d dx x−a [X h ] 1 (γ) k γ f (x) = fa (x) = lı́m γ (−1) f (x − kh). k h→0+ h a γ k=0 (44) • La derivada de Grünwald-Letnikov sólo está definida para ordenes reales. Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 48 / 50 Cálculo Fraccionario Otras Derivadas Fraccionarias Derivada Fraccionaria de Grünwald-Letnikov • Los modelos fraccionarios han manifestado ser más eficientes que los modelos enteros en áreas como: • • • • • Teorı́a de Materiales Teorı́a de Transporte Electromagnetismo Teorı́a del Caos Teorı́a de los Fractales • El primer libro dedicado al estudio del cálculo fraccionario es publicado en 1974 por Oldham y Spanier. Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 49 / 50 Cálculo Fraccionario Otras Derivadas Fraccionarias Derivada Fraccionaria de Grünwald-Letnikov Referencias [1] Kenneth S. Miller - Bertram Ross, “An Intoduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations”, 1st ed., John Wiley & Sons, Inc. (1993). [2] Keith B. Oldham - Jerome Spanier, “The Fractional Calculus”, 1st ed., Academic Press, Inc. (1974). [3] Antón Lomberdero, “Cálculo Fraccionario y Dinámica Newtoniana” . Pensamiento Matemático 077 2174-0410 (2014). Anthony Torres \ Dr. Brambila (UNAM) Cálculo Fraccionario 50 / 50
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