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Física I
Mención Tecnología, UNGS
Ondas. Función de onda
1) Dé ejemplos de ondas que pueden considerarse que se propagan en 1, 2 y 3 dimensiones.
2) Indique cómo pueden generarse ondas transversales y longitudinales en una varilla
metálica.
3) ¿Pueden generarse ondas longitudinales en un gas? ¿Y en un líquido? Justifique sus
respuestas.
4) Un murciélago puede detectar pequeños objetos, como un insecto cuyo tamaño es
aproximadamente igual a una longitud de onda del sonido que el murciélago emite. Si
estos animales emiten un chirrido a una frecuencia de 60 kHz y si la velocidad del sonido
en el aire es de 340 m-s–1 (a 20 ºC), ¿cuál es el insecto más pequeño que un murciélago
puede detectar?
5) La rapidez de las ondas de radio en el vacío (igual a la de la luz) es de 3 x 108 m-s–1.
Calcule λ para: a) una estación de radio AM con f = 1.000 kHz, b) una estación de radio
FM con f = 100 MHz.
6) Si la amplitud es suficientemente alta, el oído humano puede responder a ondas
longitudinales en una gama de frecuencias de 20 Hz a 20.000 Hz. Calcule las longitudes
de onda correspondientes a estas frecuencias para ondas a) en aire (v = 344 m-s–1), b) en
agua (v = 1480 m-s–1). ¿Por qué la onda de sonido viaja más rápido en el agua?
7) En t = 0, un pulso de onda transversal en un alambre se describe por medio de la función
y=
6
x2 + 3
donde x y y están en metros. Escriba la función y(x, t) que represente esta onda si ésta
viaja en la dirección x positiva con una velocidad de 4,5 m-s–1.
8) Una onda que se mueve a lo largo del eje x se describe por medio de
y ( x, t ) = 5e − ( x +5 t )
2
donde x está en metros y t se mide en segundos. Determine la dirección del movimiento
de la onda y la velocidad de la onda.
9) Un tren de onda senoidal se describe por medio de
y = 0,25 sen (0,3x − 40t )
donde x y y se miden en metros y t en segundos. Determine para esta onda: la amplitud, la
frecuencia angular, el número de onda, la longitud de onda, la velocidad de onda y la
dirección de movimiento.
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10) a) Escriba la expresión de y(x, t) de una onda senoidal que se propaga a lo largo de una
cuerda en la dirección –x, con las siguientes características: amplitud A = 8 cm, longitud
de onda λ = 80 cm, frecuencia f = 3 Hz y y(0, 0) = 0.
b) Escriba la expresión de y(x, t) para la onda del inciso a) sabiendo que y(x, 0) = 0
cuando x = 10 cm.
11) Las ondas en el océano con una distancia entre cresta a cresta de 10 m pueden describirse
mediante
y ( x, t ) = 0,80 sen[0,63( x − vt )]
donde y se mide en metros y v = 1,2 m-s–1. Dibuje y(x, t) en t = 0 y t = 2 s.
12) En la Figura A se muestra una onda que viaja por una cuerda en la dirección +x. El
desplazamiento de un punto de la cuerda se muestra en la Figura B.
a) Determine la amplitud de la onda que viaja por la cuerda, la frecuencia angular, el
número de onda y la rapidez de la onda.
b) Escriba la función de onda.
Figura A
Figura B
13) Superposición de ondas: Dos pulsos que viajan en la misma cuerda se describen por
medio de
y1 =
5
(3x − 4t )2 + 2
y
y2 = −
5
(3x + 4t − 6)2 + 2
a) ¿En qué dirección viaja cada pulso?
b) ¿En qué tiempo se cancelan los dos?
.
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Ondas en cuerdas
1) Una persona ata un extremo de una cuerda de 10 m y 0,2 kg a un poste, y tira del otro
extremo para estirar la cuerda horizontalmente con una tensión de 80 N.
a) Calcule la rapidez de las ondas transversales en la cuerda.
b) Si la persona sube y baja el extremo con una frecuencia de 6 Hz, qué longitud
de onda tienen las ondas transversales en la cuerda.
c) La persona tira con más fuerza, duplicando la tensión. ¿Con qué frecuencia
debe subir y bajar el extremo libre para producir ondas transversales con la
misma longitud de onda que en a)?
2) Un astronauta en la Luna desea encontrar el valor local de g midiendo el tiempo entre
pulsos transversales que viajan por un alambre que tiene una gran masa suspendida de él.
Suponga que usa un alambre de 4 g de masa y 1,60 m de largo, y que tiene una masa
suspendida de 3 kg. Un pulso tarda 36,1 ms para recorrer la longitud del alambre. Muestre
cómo el astronauta puede obtener g a partir de estos datos. (¿Se puede ignorar la masa del
alambre?)
3) Calcule la velocidad de propagación de la onda transversal que viaja por el alambre del
problema anterior considerando la masa del alambre.
4) Una cuerda ligera de masa m y largo L tiene sus extremos sujetos a dos paredes separadas
por una distancia D. Dos masas, cada una de masa M, están suspendidas de esa cuerda,
como se ve en la figura. Si un pulso de onda se desvía desde el punto A, ¿cuánto tarda en
viajar hasta el punto B?
D
L/4
L/4
A
M
L/2
B
M
5) Una onda en una cuerda se describe mediante la función de onda
y = (0,10 m) sen(0,5 x − 20t )
a) Muestre que una partícula en la cuerda en x = 2 m ejecuta un movimiento
armónico.
b) Determine la frecuencia de oscilación de este punto particular.
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6) Considere un alambre de densidad ρ y con una sección transversal que varía con x de
acuerdo con
A = (1,0 x 10 −3 x + 0,010) cm 2 .
a) Si el alambre se somete a una tensión F, obtenga una relación para la velocidad
de onda como una función de la posición.
b) Si el alambre es de aluminio y se somete a una tensión de 24 N, determine la
velocidad en el origen y en x = 10 m.
c) Determine el tiempo que tarda un pulso en viajar por el alambre desde x = 0
hasta x = 1 m. Ayuda: dx = v(x) dt.
7) Un bloque de masa M = 2,0 kg, soportado por una cuerda, descansa sobre un plano
inclinado un ángulo θ = 45º con la horizontal. La longitud de la cuerda es L = 0,5 m y su
masa es m = 2,0 g, por lo que ésta es mucho menor que M. Determine el tiempo que tarda
una onda transversal en viajar de un extremo de la cuerda a otro.
m, L
M
θ
8) Un bloque de 2,0 kg cuelga de una cuerda de hule y se sostiene de modo que la cuerda no
se estire. La longitud de la cuerda sin estirar es de 0,50 m y su masa es igual a 5,0 g. La
“constante de la cuerda” es de 100,0 N-m–1.
a) Determine la tensión en la cuerda cuando el bloque se suelta y se detiene en el
punto más bajo.
b) ¿Cuál es la longitud de la cuerda en esta posición “alargada”?
c) Encuentre la velocidad de una onda transversal en la cuerda si el bloque se
mantiene en esta posición más baja.
9) Una cuerda de longitud L consta de dos secciones. La mitad izquierda tiene una masa por
unidad de longitud µ1 = µ0 / 2, en tanto que la mitad derecha tiene una masa por unidad de
longitud µ2 = 3 µ1 = 3 µ0 / 2. La tensión en la cuerda es F0.
a) Muestre que esta cuerda tiene la misma masa total que una cuerda uniforme de
longitud L y masa por unidad de longitud µ0.
b) Encuentre las velocidades v1 y v2 a la cual los pulsos de una onda transversal
viajan en las dos secciones. Exprese las velocidades en términos de F0 y µ0, y
también como múltiplos de la velocidad v 0 = F0 / µ 0 .
c) Encuentre el tiempo necesario para que un pulso viaje de un extremo al otro de
la cuerda. Brinde su resultado como un múltiplo de T0 = L / v 0 .
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10) Dos cuerdas, una con masa por unidad de longitud µ1 y otra con µ2, están unidas y sujetas
tensas entre dos paredes, como se muestra en la figura. Considere dos pulsos que se
emiten simultáneamente: uno desde A hacia la derecha y el otro desde B hacia la
izquierda. Encuentre la relación que debe haber entre µ1 y µ2, y entre las masa m1 y m2 de
cada cuerda, para que los pulsos se encuentren en el nudo.
L/4
B
A
L
Sitio recomendado para consultar sobre el tema de ondas:
http://colossrv.fcu.um.es/ondas/cursoondas.htm
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Potencia transmitida por una onda
La potencia transmitida por cualquier onda sinusoidal es proporcional al cuadrado de la
frecuencia angular ω y al cuadrado de la amplitud A. En particular, para una onda sinusoidal
que se propaga con rapidez v por una cuerda tensa de masa por unidad de longitud µ, la
potencia transmitida es:
1
P = µω2 A 2 v
2
1) Una cuerda tensa tiene una masa por unidad de longitud de 0,20 kg y una longitud de 4 m.
¿Qué potencia debe proporcionarse para generar en la cuerda una onda sinusoidal con una
amplitud de 0,10 m y una longitud de onda de 0,50 m, y cuya velocidad sea de 30 m-s–1?
2) Se generan ondas en una cuerda sometida a tensión constante. ¿En qué factor la potencia
requerida aumenta o disminuye si: a) la longitud de la cuerda se duplica y la frecuencia
angular permanece constante, b) la amplitud se duplica y la frecuencia se reduce a la
mitad, c) tanto la longitud de onda como la amplitud se duplican, y d) tanto la longitud de
onda como la amplitud se reducen a la mitad?
3) Se desea transmitir ondas de 5,00 cm de amplitud a lo largo de una cuerda que tiene una
densidad lineal de 4,00 x 10–2 kg/m. Si la máxima potencia entregada por la fuente es de
300 W y la cuerda está sometida a una tensión de 100 N, ¿cuál es la frecuencia de
vibración más alta a la cual puede operar la fuente?
4) Una onda sinusoidal sobre una cuerda se describe por medio de la ecuación
y = (0,15 m) sen (0,80 x – 50 t)
donde x y y están metros y t en segundos. Si la masa por longitud unitaria de esta cuerda
es 12 g/m,, determine la potencia transmitida por la onda.
5) Una cuerda horizontal puede transmitir una potencia máxima P (sin romperse) si viaja por
ella una onda con amplitud A y frecuencia angular ω. Con el fin de aumentar esta potencia
máxima, un estudiante decide doblar la cuerda y utilizar esta “cuerda doble” como un
transmisor. Analice la opción del estudiante y si la considera adecuada determine la
potencia máxima que puede transmitirse a lo largo de la “cuerda doble”.
6) Un pulso de onda que viaja a lo largo de una cuerda de densidad de masa lineal µ se
describe por medio de la relación
[
]
y ( x, t ) = Ae − bx sen (kx − ωt )
donde los factores entre corchetes antes del seno corresponden a la amplitud.
a) ¿Cuál es la potencia P(x) que transporta esta onda en el punto x?
b) ¿Cuál es la potencia que transporta esta onda en el origen?
c) Calcule la razón P(x) / P(0).