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ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA PRIMARIA
Perspectivas para la enseñanza de la Matemática
Clase 3
Aportes de la Didáctica de la Matemática para pensar la enseñanza
Los alumnos y
las formas de
apropiación de los contenidos
matemáticos
¡Hola colegas!
Volvemos a encontrarnos en este espacio para compartir nuevos análisis sobre la enseñanza
en la escuela primaria y sobre los niños y niñas que allí aprenden Matemática.
Tal como hemos planteado en las clases anteriores, en las últimas décadas del siglo XX las
investigaciones didácticas delinearon el campo de la Matemática de una nueva manera,
problematizando no solamente el lugar de los actores, maestros y alumnos, sino también el
de la Matemática misma y su particular funcionamiento en el ámbito de la clase, generando
resultados que apuntan a explicar distintos fenómenos de enseñanza y de aprendizaje.
Estos resultados han dado lugar a un conjunto de nociones didácticas fértiles para la
construcción de criterios orientadores para la organización de la enseñanza y flexibles en
términos de adecuación a los sujetos, contextos e instituciones en los que se ponen a
funcionar.
Ahora nos ocuparemos de usar algunas de esas nociones para pensar la clase en la escuela
primaria, poniendo el foco en los alumnos y alumnas, en las formas de apropiación de los
conocimientos matemáticos y en identificar las decisiones para la enseñanza que se pueden
derivar de ellas. Estos análisis resultan centrales a la hora de pensar el origen y los
fundamentos de un enfoque que permite comprender algunos problemas de la enseñanza y
delinear alternativas de acción tanto para los maestros en sus aulas como para los
profesores formadores.
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Para ello abordaremos los fundamentos piagetianos para la construcción del pensamiento
conceptual, en particular los estudios de Gerard Vergnaud y su teoría de los campos
conceptuales, junto a los aportes de Raymond Duval, Michele Artigue y los estudios de
Colette Laborde que toman ideas de la escuela soviética sobre el aprendizaje en interacción
social.
El aprendizaje por resolución de problemas
Decíamos en las clases anteriores que actualmente buscamos en nuestros alumnos la
adquisición de saberes que estén disponibles para ser reutilizados en la resolución de
situaciones diversas, pudiendo decidir en forma autónoma qué conocimientos usar, cuándo
usarlos y cómo hacerlo. Asimismo, nos interesa que esos saberes puedan ser expresados de
manera adecuada y que estén vinculados entre sí de manera organizada.
Afirmamos que, para que esto ocurra, los alumnos deben resolver problemas. Pero, ¿por
qué?, ¿cuál es el origen de esta perspectiva?, ¿qué relación tiene con los principios
constructivistas?
1.a. ¿Qué tipo de problemas? ¿Qué formas de resolución?
En la primera clase estuvimos analizando los problemas a partir de los contextos en los que
se presentan. Nos preguntamos ahora: ¿a través de qué tipo de situaciones adquieren
significado los conceptos y procedimientos matemáticos?; ¿cuáles serían las condiciones que
deben reunir tales situaciones para propiciar la apropiación del saber por quien aprende?
Ya en 1981, Gerard Vergnaud se había formulado estas preguntas. Las explicaciones
piagetianas, muy difundidas por aquella época, eran un punto de partida pero no eran
suficientes para pensar en aprendizajes escolares de contenidos específicos.
El funcionamiento del conocimiento en situaciones que den lugar a nuevos aprendizajes
podía pensarse como adaptación al medio en el sentido piagetiano pero, ¿cómo se puede
caracterizar?
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Vergnaud plantea que la actividad de aprender es una acción en situación. Y que, en
Matemática, la acción en situación se entiende como la que se desarrolla en ocasión de
resolver un problema.
Vergnaud considera que la acción en situación “es la base y el criterio del pensamiento
conceptual”, es decir, la instancia que permite adquirir conceptos y también el modo de
evaluar si se ha aprendido.
No se trata, entonces, de un “saber hacer” sin posibilidad de fundamentar lo que se hace ni
de un “saber teórico” que no pueda ser utilizado cuando es ocasión de hacerlo. Se trata, en
cambio, de un hacer sobre el que se pueden dar explicaciones teóricas, y de unas nociones
teóricas que pueden ser utilizadas cuando resulta necesario hacerlo.
Consideremos un ejemplo, el caso de Ana María, para analizar los tipos de saberes.
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¿Qué relaciones podría establecer Ana María entre lo que leyó en el
Cuaderno para el aula y lo que aprendió durante su escolaridad?
Ana María conoce una técnica para multiplicar por dos cifras (un saber hacer) y conoce la
propiedad distributiva (un saber teórico) bajo una cierta representación, típica de muchos
libros de texto. Pero, para identificar que en el procedimiento de su alumno hay un uso
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implícito de la propiedad distributiva, tendrá que reconocer que al multiplicar un número por
otro y descomponer (uno o ambos) en sumandos, es posible disponer sobre el papel, de
distintas maneras, los resultados parciales de cada producto para luego sumarlos. Así,
entonces, vería que la propiedad distributiva que ella conoce funciona como justificación del
algoritmo.
Si pensamos en la construcción de un concepto o de una propiedad en situación –en ocasión
en la que el concepto sea necesario para resolver la situación- Vergnaud especifica:
“[estas situaciones son aquellas] para las que el sujeto no dispone de todas las
competencias necesarias, lo que lo obliga a un tiempo de reflexión y de exploración,
a dudas, a tentativas abortadas; y lo conduce eventualmente al triunfo, y
eventualmente al fracaso” - (Vergnaud, 1991: 135-136)
Volviendo sobre Ana María y la enseñanza de la cuenta de multiplicar por dos cifras: si ella
presentara ese problema a sus alumnos y les diera lugar a elaborar
procedimientos
propios, originales, los chicos podrían realizar alguno como el que leyó en el Cuaderno para
el aula. Esto le permitiría analizar dos cuestiones:

hacer los dos productos por separado es algo que los niños pueden justificar en el
contexto del problema calculando primero los botones para los puños y luego los del
frente.

la distributividad -si no apareció antes- puede surgir de esa situación como nuevo
conocimiento (“teorema en acto”) que ella podrá retener y pensar cómo seguir
trabajando en nuevos problemas.
Esta idea de situación como instancia de aprendizaje nos hace pensar en que, para que
quien aprende adquiera un concepto nuevo, una propiedad nueva, el problema a resolver ha
de ser nuevo, esto es, debe permitirle encontrar soluciones que antes no conocía, abordarlo
inicialmente con conocimientos que ya domina pero que son insuficientes para completar la
solución y, entonces, producir soluciones originales: “la noción de problema comporta,
pues, la idea de novedad, de algo nunca hecho, de algo aún no comprendido” (Vergnaud,
Actividad y conocimiento operatorio).
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Reconocemos en estos aportes la idea de problema que se sostiene en el
enfoque actual de enseñanza: la de desafío intelectual a la medida de los
conocimientos de quien está resolviendo el problema.
En este sentido, es importante mencionar que una situación puede ser problema para unos
alumnos y no para otros. Si un alumno resuelve la tarea que se le plantea de inmediato,
seguramente ya disponía de los conocimientos necesarios para hacerlo y no aprende algo
nuevo. Lo mismo si la tarea requiere, para ser abordada,
unos conocimientos que el
alumno aún no ha trabajado. En estos casos no hay problema.
Al respecto, en los Cuadernos para el aula se afirma:
“Consideramos que cada actividad constituye un problema matemático para un
alumno en la medida en que involucra un enigma, un desafío a sus conocimientos
matemáticos, es decir, si estos le permiten iniciar la resolución del problema y para
hacerlo, elabora un cierto procedimiento y pone en juego las nociones que tiene
disponibles, modificándolas y estableciendo nuevas relaciones”. (Cuaderno para el
aula 3, pág. 20, MEN, 2006)
También reconocemos en este aporte una primera cuestión asociada a la idea de resolución
de un problema: la necesidad de dar lugar en la clase a una producción original del alumno,
en la que pone en juego lo que sabe. Veamos en el próximo apartado qué otros elementos
incluir al pensar en la resolución.
1.b. ¿Qué más sobre la resolución?
Otra cuestión que aprendimos en estos últimos años, en el marco del enfoque que estamos
presentando, es la importancia de incluir en la clase instancias de trabajo grupal. ¿Cuál es el
origen de esta derivación didáctica? ¿Por qué es importante incluir estas instancias?
Entre los investigadores en Didáctica de la Matemática, Colette Laborde trabajó sobre los
aspectos sociales de las diversas situaciones en las cuales están comprometidos estudiantes
y docentes en la clase. De la escuela soviética y los estudios de Vigotsky sobre la
construcción de conocimientos en instancias de interacción social, surge la idea de que las
experiencias sociales intervienen en la evolución de los conocimientos. Esta escuela
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considera el desarrollo cognitivo de los niños partiendo de procesos interpersonales que
luego se transforman en procesos intrapersonales.
Según
señala
Colette
Laborde,
existen
fundamentalmente
dos
modalidades
de
funcionamiento de procesos interpersonales: por un lado, si el problema propuesto tiene en
sí mismo una dimensión social, y por otro, si se trata de resolver el problema por un grupo
de alumnos y alumnas, al margen de que el problema suponga en sí la resolución de un
problema social.
En el primer caso se trata, por ejemplo, de producir un mensaje para que un compañero
identifique el dibujo de una figura entre varias. Hay un productor y un receptor del mensaje
que tienen que interactuar a propósito de su comprensión (veremos esta cuestión en la
próxima clase).
Centrándonos en un ejemplo del segundo tipo, pensemos nuevamente en la clase de Ana
María y el problema que leyó en el Cuaderno para el aula de tercer grado. Los alumnos
podrán realizar diferentes procedimientos.
Cuando cada alumno desarrolló su procedimiento, el docente puede proponer un debate
analizando si acuerdan con las respuestas obtenidas y a qué elementos del contexto se
refiere cada número, comparando lo producido para establecer cuáles son las semejanzas y
diferencias. El docente espera obtener al finalizar la clase alguna conclusión sobre
procedimientos con sólo sumas y otros con sumas y multiplicaciones y también, entre estas
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últimas, discutir sobre por qué creen que un chico eligió 8 y 4 para descomponer el 12 y
otro 10 y 2. También podrá avanzar preguntando si son posibles otras descomposiciones del
12, pidiendo que escriban cómo contar a otros esta forma de hacer la multiplicación.
Asimismo es central preguntar por qué están seguros de que su respuesta es adecuada.
¿Qué efecto tendrían las interacciones en este caso?
Las interacciones durante el debate implican, para cada niño, volver a pensar en las
relaciones que estableció entre los elementos del problema y explicitarlas, reconocerlas.
También la interacción conlleva a pensar en nuevas relaciones, al intentar comprender lo
que hicieron sus compañeros. Esto último implica una descentración de su propio punto de
vista y un intercambio para negociar en el proceso que lleva a validar o rechazar una
estrategia. Así, las relaciones que habían funcionado en forma implícita en la resolución del
problema se explicitan y pueden ser retomadas por el docente y expresadas de una forma
comprensible para todos los niños y con una cierta cercanía con la forma matemáticamente
adecuada. También es parte del proceso de resolución la respuesta a la pregunta para dar
razones de lo realizado, pues tener oportunidad de validar lo hecho permite avanzar hacia la
autonomía en las respuestas. Volveremos sobre estas cuestiones para ampliarlas en la
próxima clase.
En síntesis, las interacciones con los compañeros y con el docente también contribuyen a la
construcción de conocimientos y forman parte de la resolución del problema.
Al respecto, en los Cuadernos para el aula se dice:
“El trabajo que implica volver sobre lo realizado exige siempre una explicitación, un
reconocimiento y una sistematización del conocimiento implicado en la resolución de
los problemas, las formas de obtenerlo y validarlo. Sin este proceso, los
conocimientos matemáticos aprendidos en la escuela –las nociones y formas de
trabajar en matemática– no tendrán a futuro las mismas posibilidades de
reutilización.” (Cuadernos para el aula, pág. 16)
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Para seguir reflexionando y tomar nota…
Si están dando clase en un aula de primaria, registren un ejemplo de su grupo y si
no tienen un grado a cargo, consulten con un maestro conocido.
De una clase reciente, identifiquen algún problema que los niños hayan resuelto
con distintos procedimientos y reflexionen sobre su propia intervención para
posibilitar esa producción.
¿Cómo elegimos los problemas?
Al pensar -como docentes, maestros y formadores- en que tenemos que enseñar un
conjunto de conocimientos específicos, podemos avanzar con una nueva pregunta: ¿cómo
elegimos el conjunto de problemas ligados a un cierto contenido de enseñanza?
Desde la preocupación por incluir las situaciones en las que funcionan los conceptos que se
quieren enseñar, Vergnaud asume una posición crítica respecto de la habitual fragmentación
o atomización de los contenidos escolares que se realiza en el currículum a fines de
organizar la enseñanza. Propone entonces una nueva noción teórica, la de campo
conceptual, que permite pensar tanto en la interconexión entre los conceptos matemáticos
como en la evolución psicogenética de quien aprende y que rehabilita los contenidos de
conocimiento, demasiado a menudo minimizados por la aproximación estructuralista.
“Un campo conceptual es un espacio de problemas o de situaciones-problemas cuyo
tratamiento implica conceptos y procedimientos de varios tipos en estrecha
conexión. La noción de campo conceptual permite estudiar de manera más integrada
el desarrollo simultáneo y coordinado de los diferentes conceptos necesarios para la
comprensión
de
un
conjunto
organizado
de
clases
de
problemas,
de
los
procedimientos que permiten tratarlos y de los sistemas simbólicos que permiten
representarlos.” (Vergnaud, 1981)
En su libro El niño, la matemática y la realidad (1991) Vergnaud define los dos campos de
problemas que nos interesan para la enseñanza en la escuela primaria:

El campo de las estructuras aditivas como el conjunto de las situaciones cuyo
tratamiento implica una o varias adiciones o sustracciones y el conjunto de los
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conceptos y teoremas que permiten analizar estas situaciones como tareas
matemáticas.

El campo de las estructuras multiplicativas como el conjunto de situaciones cuyo
tratamiento implica una o varias multiplicaciones y divisiones y el conjunto de los
conceptos y teoremas que permiten analizar estas situaciones como tareas
matemáticas.
Los distintos tipos de problemas de cada uno de estos campos se tratarán en profundidad
en las próximas clases. Veamos ahora algunas de las ideas básicas asociadas a la noción
de campo conceptual y los criterios didácticos que podemos derivar de ellas.

Un mismo concepto aparece en una gran variedad de situaciones, es decir
que hay una gran variedad de problemas que pueden resolverse con el
mismo concepto.
Vergnaud mostró que en problemas diferentes, una misma noción adquiere diversos
significados, lo que implica diferentes grados de complejidad para su aprendizaje.
Pensemos, por ejemplo, en dos problemas que se resuelven con la misma suma:

“Tengo 8 caramelos de frutilla y 4 de dulce de leche, ¿cuántos
caramelos tengo?”

“Perdí ayer 8 figuritas y hoy perdí 4, ¿cuántas perdí?”
Si analizamos los problemas mirando los elementos de las colecciones que intervienen,
advertimos que son distintos. En el primer caso, se trata de reunir dos tipos de objetos con
algo en común en una nueva colección –caramelos- pero con algo diferente - de frutilla y de
dulce de leche-. En el segundo caso, son siempre del mismo tipo -figuritas. Si miramos los
problemas considerando una cuestión temporal, vemos que en el primer problema no
interviene la noción de tiempo, las cantidades no se transforman. En cambio, en el segundo
ocurren dos disminuciones de cantidades, dos transformaciones negativas respecto de una
cantidad inicial de objetos que no se especifica.
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¿Cómo influye esto en los niños que resuelven? Cambiar o no el tipo de objetos y que haya
o no una cuestión temporal involucrada en el enunciado, modifica la complejidad del
problema. En efecto, pensar en que la pérdida total se encuentra sumando dos pérdidas
(perder es una acción inicialmente ligada a la resta) es de una complejidad diferente que
pensar en la reunión de dos colecciones.
¿Por qué nos interesa incluir en la enseñanza de un concepto una variedad de problemas
con sus significados distintos? Porque, si al aprender un concepto, los alumnos y alumnas
recorren un conjunto variado de problemas, podrán tener a futuro más posibilidades de
reutilizar el concepto en nuevas resoluciones.

En una misma situación coexisten varios conceptos.
Así, por ejemplo, los conceptos de multiplicación, división, fracción, número, función lineal y
otros, aparecen frecuentemente vinculados en los problemas de tipo multiplicativo a los que
se enfrentan los niños y niñas.
¿Cómo influye esto en nuestra planificación? Al anticipar el funcionamiento de un problema
en la clase es importante prever la realización de intervenciones propias que guíen y
permitan a los alumnos establecer relaciones entre los conceptos de un mismo campo
involucrados en ese problema.
Consideremos, por ejemplo, un problema donde hay que “Formar frisos rectangulares con
24 azulejos sin que sobre ninguno”. En este caso, la respuesta no es única. Una de las
posibilidades es pensar en filas de 6 azulejos y buscar cuántas filas se pueden hacer y para
ello podrían escribir 6x--- = 24, buscando qué número x6 da 24 o pensar 24:6=---. Esto
mismo podría ocurrir para varias de las alternativas (2x12; 3x8; 4x6 y 1x24). Se podrá
entonces plantear qué divisiones se pueden escribir para 6x4, para 2x12, etc. y luego, se
podrá argumentar si es cierto que para cualquier cálculo de multiplicar se pueden escribir
dos divisiones y por qué. Se tendría, entonces, la posibilidad de establecer una relación
entre las nociones de multiplicación y división.

Dado que las nociones matemáticas se construyen poco a poco, se
sostiene que el aprendizaje se logra a largo plazo.
Tal es el caso, por ejemplo, de: suma y resta, fracciones, proporcionalidad y otros. En
efecto, las investigaciones de Vergnaud, entre otras, han probado que entre las primeras
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adquisiciones intelectuales en un campo determinado y las adquisiciones que harán que el
sujeto se enfrente cómodo ante cualquier otra situación de dicho campo, transcurren varios
años.
¿Cómo influye esto en la enseñanza? Al organizar los contenidos a lo largo de un ciclo, de
un nivel, en el pasaje de un nivel a otro, es importante considerar las adquisiciones
sucesivas de cada uno de los conceptos y articularlas en un mismo año y de un año al
siguiente. Así, no será posible afirmar, por ejemplo: “ya aprendieron fracciones equivalentes
en 4to. y 5to., ahora en 6to. tienen que ver las operaciones”, pues cada vez que se trabaja
con un nuevo aspecto de un concepto, con una nueva propiedad o relación, se vuelve sobre
ellas y estas se enriquecen al vincular lo que ya se sabía con lo nuevo.

Es importante identificar los procedimientos y las reglas que los
estudiantes ponen en marcha al resolver los problemas.
Cuando damos lugar a la producción de ideas espontáneas, propias de los alumnos frente al
problema, suelen aparecer algunos procedimientos con gran regularidad, lo que permite
identificar un cierto conjunto limitado de procedimientos distintos para cada tipo de
problema. Tanto Vergnaud, inicialmente, como otros investigadores han estudiado una
diversidad de procedimientos que arriban a una respuesta adecuada y también otros
erróneos que dan cuenta de otras maneras de pensar el problema.
¿Por qué nos interesa esto como docentes?
Conocer los procedimientos acertados tanto como los erróneos nos posibilita identificar los
conocimientos involucrados en cada uno y anticipar la intervención para considerar si
permiten responder a la pregunta del problema y dar lugar a su comparación de modo que
podamos arribar, con el conjunto de la clase, a conclusiones matemáticas compartidas.

Las representaciones posibles para un mismo concepto son diversas y los
alumnos pueden usar en sus procedimientos, para ir acompañando su
pensamiento, algunas aceptadas en matemática y otras originales que
producen ellos mismos.
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En el momento de producir una solución al problema planteado, los alumnos usan una
diversidad de marcas, incluyendo tanto algunas propias de la Matemática, como números o
signos, como otras originales a través de formulaciones verbales, dibujos o escrituras, tanto
de tipo lingüístico como simbólico. Por ejemplo, los primeros problemas de multiplicar, de
proporcionalidad simple y con números pequeños, son frecuentemente resueltos utilizando
dibujos y contando, con números sin marcas de operación o con cálculos de suma con el
signo.
¿Cuál es la relevancia de dar lugar a una diversidad de representaciones?
Pasar por representaciones propias antes de las convencionales tiene un papel relevante en
la conceptualización de las nociones, dado que pueden funcionar como “antecedentes” -a los
que pueden dar sentido- de las convencionales que el docente introducirá.
Para avanzar un poco más en la consideración de las representaciones, nos preguntamos:
¿qué otras cuestiones es necesario incluir en el trabajo escolar con ellas? La pregunta deriva
de un problema que observamos al analizar las producciones de muchos alumnos y
alumnas, quienes suelen confundir los objetos y sus representaciones.
¿Qué actividades proponer con las representaciones?
Raymond Duval (1995) quien estudió el vínculo entre la adquisición de un concepto y sus
diversas representaciones, señala una cuestión central al pensar la enseñanza:
“Por un lado, la aprehensión de los objetos matemáticos no puede ser otra cosa que
una aprehensión conceptual y por otro, solamente por medio de la producción de
representaciones semióticas es posible realizar una actividad sobre los objetos
matemáticos.”
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Esta paradoja de no poder “trabajar” con los conocimientos matemáticos de otra manera
más que a través de una diversidad de “marcas”, llevó a Duval a un análisis del tipo de
actividades cognitivas que se realiza con las representaciones.
Una de ellas, como ya hemos planteado, es la de producir escrituras para acompañar el
proceso de nuestro pensamiento. Vergnaud ya había planteado que la representación
cumple la función de “auxiliar del pensamiento y a la organización de la acción”. Esto se
manifiesta cuando observamos que un niño o un adolescente, al enfrentarse a un problema
nuevo, lo reformula con sus palabras y puede representar de diversas maneras la
información, es decir, acompaña su tarea con una actividad lingüística y simbólica, a veces
interiorizada.
Duval avanza en el análisis incorporando la idea de registros de representación,
distinguiendo diferentes registros, cada uno con sus propios símbolos y reglas. Por ejemplo,
un número decimal puede escribirse en registro fraccionario que incluye la línea que separa
numerador y denominador y también en registro decimal usando coma y las reglas del
sistema de numeración decimal.
Esta diferenciación nos permite a su vez considerar dos nuevos tipos de actividades
cognitivas, trabajar en un mismo registro y cambiar de un registro a otro. Por ejemplo, si
para sumar dos fracciones usamos la regla de escribir fracciones equivalentes, al sumar
1/5+¾ anotamos 4/20+15/20=19/20, trabajamos con reglas dentro del mismo registro
fraccionario. Si la suma estuviera en un problema en el que se requiere comprar alambre
para una instalación eléctrica, para la misma suma cambiamos de registro y escribimos
0,20+0,75=0,95 pues la escritura decimal es la que usamos de manera corriente para
expresar medidas de longitud.
Según señala Duval, incluir en la enseñanza ambos tipos de actividades, de trabajo en el
mismo registro y de cambio de registro, aumenta las capacidades cognitivas de los sujetos
y por tanto de sus representaciones mentales.
¿Qué criterio podemos derivar al pensar en la enseñanza?
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Sabemos que en la escuela son más frecuentes las actividades que proponen trabajar en
cada registro de manera independiente, en relación con lo numérico, básicamente en su
tratamiento para operar. Sin embargo, no tiene la misma frecuencia el trabajo sobre la
conversión de un registro a otro ligado al análisis de la pertinencia de cada uno en la
situación que se está resolviendo. Por eso, esta última cuestión se destaca muy
especialmente en los diferentes documentos curriculares de estos últimos años, dado que
identificar
con
los
alumnos
semejanzas
y
diferencias
entre
las
representaciones,
transformarlas cuando convenga, les permitirá asociar una misma noción con diferentes
representaciones y así diferenciar la noción de su representación.
¿Cómo se van construyendo los conceptos? ¿Qué decisiones para la
enseñanza?
En este último apartado queremos poner el foco en los componentes de las ideas de los
chicos y chicas sobre los diferentes conceptos matemáticos. Si tenemos en cuenta estos
componentes cuando tomamos decisiones de enseñanza -tanto para nuestra aula, si somos
maestros, o con los estudiantes de formación docente cuando van a dar sus prácticaspodemos hacer avanzar a nuestros alumnos y alumnas en una forma de apropiación de los
conocimientos que les permita arribar a conceptualizaciones cada vez más potentes y
disponibles para interactuar con las diversas situaciones que se les presenten.
Los conceptos, ¿van cambiando?
Para responder esta pregunta, recurrimos a la bibliografía didáctica. Allí encontramos que
para referirse a las ideas de un sujeto –niño o no- sobre un cierto concepto matemático, se
habla de concepciones. Este término es introducido por Vergnaud para identificar las formas
en las que los sujetos piensan los conceptos. Para él, la forma en que un sujeto -o variosconstruye un concepto, cambia con el tiempo y en tal sentido, resulta ser un estado
cognitivo global de dicho/s sujeto/s referido a un objeto matemático determinado.
Del mismo modo en que, en su desarrollo histórico, se describen las diversas formas en
que fueron pensados los conceptos, esto es, en la creación y recreación de los conceptos
matemáticos al plantear y resolver diversos problemas, de esa misma manera se describe la
construcción que hacen quienes aprenden nuevos conceptos, puesto que van modificando
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su estado cargándolos de nuevas propiedades y relaciones a medida que van resolviendo
problemas dentro o fuera de la escuela, reconstruyendo para ellos los conocimientos
matemáticos socialmente aceptados.
Considerar diferentes formas posibles para un mismo concepto nos permite distanciarnos de
la comprensión -muchas veces inducida por la enseñanza tradicional- de éstos como únicos,
inmutables y universales. Pensar en concepciones sucesivas sobre un mismo concepto
matemático pone en evidencia la pluralidad de puntos de vista posibles.
En este enfoque es fundamental la importancia de concebir “estados sucesivos” en los
conocimientos ligados a las concepciones que van construyendo los alumnos y alumnas a
partir de nuevas situaciones que resuelven. Estos estados de conocimiento se manifiestan
en las producciones que realizan y, desde esta perspectiva, es posible interpretar los errores
no como una falta de conocimientos, sino como la presencia de otros conocimientos,
incompletos, diferentes y poco articulados.
¿Cuáles son entonces los factores o componentes de una concepción?
La idea original de Vergnaud tomaba tres componentes de un concepto, a saber:

El conjunto de las situaciones que dan sentido al concepto.

El conjunto de las formas del lenguaje y del no lenguaje que permiten representar
simbólicamente el concepto, sus propiedades y los procedimientos de tratamiento.

El conjunto de propiedades y relaciones que permiten el carácter operatorio.
Michele Artigue reafirma esta idea en los componentes de una concepción de un sujeto y
distingue:

“la clase de situaciones-problema que dan sentido al concepto para el alumno;

el conjunto de representaciones simbólicas e icónicas que él es capaz de asociarle,
en particular las imágenes mentales, las expresiones simbólicas;
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
las herramientas, útiles, teoremas, algoritmos de los cuales dispone para manipular
el concepto”. (Artigue, 1984: 36)
¿Cómo tomamos estos componentes cuando pensamos la enseñanza?
Al elegir la clase del problema
Sabemos que podemos considerar para cada noción diferentes grupos de problemas y que
cada grupo aporta los significados particulares al concepto. Así, por ejemplo, la división
puede tener un significado de “reparto” en un grupo de problemas y, en otro, un significado
de partición. Más allá de que en ambos casos sean problemas donde funciona una relación
de proporcionalidad, la información dada y la pregunta son diferentes y por eso, para quien
resuelve son problemas con diferentes significados de la división. Al resolver distintos
conjuntos de problemas que comparten el mismo significado de un concepto, los alumnos y
alumnas irán estableciendo relaciones entre ellos y, luego, nuevas relaciones entre los
diferentes significados.
Esta cuestión es central al elegir los problemas para enseñar una noción, pues durante su
escolaridad los alumnos deberían tener la oportunidad de resolver problemas con sus
diferentes significados. En los Cuadernos para el aula se explicitan los significados de las
operaciones básicas con números naturales que se indican para trabajar en cada grado.
Al decidir y anticipar las representaciones
Tanto al elegir qué representación del concepto vamos a incluir en cada uno de los
problemas que presentamos como al considerar las diversas “marcas” que producen los
chicos y chicas al resolver, iremos recorriendo el conjunto que está señalado para cada
noción en cada grado.
Al considerar las propiedades y relaciones que se ponen en juego
Al decidir cuáles son las nociones matemáticas que queremos que se construyan en el aula
–propiedad
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distributiva
de
la
multiplicación,
propiedades
de
las
relaciones
de
proporcionalidad, formas de calcular un cociente, etc.- elegimos situaciones problema en las
que estas nociones se puedan poner en juego. También consideramos cuáles son las
nociones que cada situación requiere como punto de partida, como apoyo para poder
elaborar una estrategia de resolución.
Por último, leamos en la cita de Guy Brousseau la estrecha relación entre las concepciones
del sujeto y las situaciones de enseñanza que claramente pone de manifiesto la orientación
constructivista de la perspectiva educativa que venimos presentando:
“Las concepciones de los alumnos son el resultado de un intercambio
permanente con las situaciones-problema en las cuales están situados y en el
curso de las cuales sus conocimientos anteriores son movilizados para ser
modificados,
completados
o
rechazados.
[En
este
sentido,]
el
alumno
construirá
progresivamente sus conocimientos pasando por
concepciones
sucesivas.
[…] Un mismo alumno puede utilizar numerosas concepciones
ignorando sus relaciones, o bien al contrario, relacionándolas con un objeto
más general”. (Brousseau, 1983, en Ruiz Higueras, 1998: 37)
ACTIVIDADES
A continuación les proponemos las actividades para esta clase:

Leer el texto “Discusiones en las clases de matemática: Qué, para
qué y cómo se discute” de Quaranta, M.E. y Wolman, S

Registrar y guardar sus notas, van a ser de mucha utilidad para la
elaboración del Trabajo Final.
Trabajo en grupo Obligatorio:

Presentarse en el Foro correspondiente a su grupo de discusión.

Intervenir en el foro de su grupo resolviendo problemas.
Desde el rol de alumno los invitamos a resolver uno de los problemas propuestos
con distintos procedimientos (un procedimiento por intervención).
Desde el rol de maestro les solicitamos realizar un breve análisis considerando
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cuál es el conocimiento matemático puesto en juego en la resolución y enunciar el
NAP al que corresponde.
Resulta necesario señalar que no se trata sólo de aportes individuales sino que
debe evidenciarse el intercambio de ideas y variedad de procedimientos, evitando
la reiteración.
Participar en el Foro optativo “Discusiones en la clase de Matemática”

Intervenir en el foro compartiendo el valor que Uds le otorgan al momento
del debate en la clase y los desafíos que su gestión conlleva.

Fundamentar desde el texto leído de Quaranta, M. y Wolman, S.
“Discusiones en las clases de matemática. Qué, para qué y cómo se
discute”, en Enseñar matemática en el nivel inicial y primer ciclo de la EGB,
Paidós, 2003.
Foro de Consultas
Este foro estará abierto durante toda la cursada, aquí podrán hacer todo
tipo de preguntas sobre las clases, las actividades, los trabajos prácticos y final
y en general, sobre cualquier temática en la que necesiten ayuda y que no
estén encuadrados en los otros foros habilitados para cada clase.
Recuerden: el foro es un punto de encuentro que posibilita socializar las dudas
y, de esta manera, aprender con otros y de otros.
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La lectura del artículo “Reflexiones generales acerca de la enseñanza de la
matemática” en Panizza, Mabel (comp) (2003) Cap 1. "Enseñar Matemática en
el Nivel Inicial y el primer ciclo de la EGB. Análisis y propuestas" . Paidós,
contribuye fuertemente a la comprensión de la perspectiva que hoy sostenemos,
centrándose particularmente en dos cuestiones: la interrogación de la noción de
sentido y las relaciones entre los objetos de conocimiento y sus representaciones.
Recomendamos su lectura.

Agrasar, M; Crippa, A; Chara, S; y Chemello, G. (2010) “Ciclo de formación en
enseñanza de la Matemática en el Nivel Primario”, Dirección de gestión educativa,
Ministerio de Educación de la Nación.

Brousseau, Guy, “Los obstáculos epistemológicos y los problemas en Matemática”,
en: Recherches en Didactique des Mathématiques, 7/2, Grenoble, traducción de
circulación interna, 1983.

Chamorro, María del Carmen (1998) “El aprendizaje de la matemática” en Revista
UNO Nro. 3, Editorial Síntesis.
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Cómo citar este texto:
Instituto Nacional de Formación Docente (2016). Clase 03: Aportes de la Didáctica de la
Matemática para pensar la enseñanza. Los alumnos y las formas de apropiación de los
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Especialización Docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Escuela
Primaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación y Deportes de la Nación.
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