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Guía N° 4 de CIRCUNFERENCIA
II° Medio A y B
Prof.: Orlando Maldonado Muñoz
CIRCUNFERENCIA
Lugar geométrico de todos los puntos que están a una distancia r de un punto llamado
centro.
Elementos de una circunferencia:
- Radio: Trazo (segmento) que une el centro de la
circunferencia con un punto cualquiera de ella.
- Cuerda: Trazo (segmento) que une dos puntos cualquiera
de la circunferencia.
- Diámetro: Es la mayor de las cuerdas. Pasa por el
centro de la circunferencia.
- Arco: Porción de circunferencia.
- Recta Secante: Recta que intersecta a la circunferencia
en dos puntos.
- Recta Tangente: Recta que intersecta a la circunferencia
en un solo punto.
Observación 1:
Una circunferencia tiene infinitos radios, infinitas cuerdas, infinitos diámetros, arcos, rectas tangentes
y rectas secantes.
Observación 2:
- La medida de un diámetro es dos veces la medida de un radio o la medida de un radio es la mitad de la
medida de un diámetro.
- La recta tangente a la circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA:
I. Ángulo del centro
Está formado por dos radios. Se llama ángulo del centro porque su vértice es el centro de la
circunferencia. El ángulo del centro tiene asociada la misma medida, en grados, que la medida del arco que
subtiende.
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
II. Ángulo Inscrito
Está formado por dos cuerdas. Su vértice está sobre la circunferencia. El ángulo inscrito tiene asociada la
mitad de la medida, en grados, que la medida del arco que intersecta.
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
Teorema 1: Si dos o más ángulos inscritos subtienden el mismo arco entonces los ángulos tienen la misma
medida.
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
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Teorema 2: Si un ángulo del centro y un ángulo inscrito subtienden el mismo arco, entonces el ángulo
inscrito mide la mitad del ángulo del centro
Ejemplos:
a)
b)
c)
Teorema 3: Si un ángulo está inscrito en una semicircunferencia, entonces es un ángulo recto.
Ejemplos:
a)
b)
EJERCICIOS
Determina la medida de los ángulos y/o arcos pedidos en cada caso
a)
b)
c)
d)
o
 = _______
f)
o
o
 = _______
 = _______
g)
o
o
 = _______
k)
l)
 = _______
 = _______
 = _______
 = _______
o
 = _______
 = _______
 = _______
 = _______
o
 = _______
n)
r)
 = _______
j)
 = _______
 = _______
 = _______
o
 = _______
i)
m)
q)
o
o
 = _______
 = _______
 = _______
p)
h)
e)
 = _______
o)
 = _______
 = _______
s)
 = _______
 = _______
 = _______
t)
 = _______
 = _______
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u)
v)
 = _______
 = _______
u)
w)
 = _______
 = _______
v)
 = _______
 = _______
 = _______
x)
 = _______
 = _______
w)
 = _______
 = _______
 = _______
 = _______
 = _______
y)
 = _______
 = _______
 = _______
 = _______
 = _______
x)
y)
 = _______
 = _______
 = _______
 = _______
 = _______
 = _______
Cuadrilátero inscrito en una circunferencia:
Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices son puntos de la
circunferencia. En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia sus ángulos opuestos son
suplementarios (suman 180o).
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
Ejercicios:
Determina, en cada caso, la medida del ángulo pedido.
a)
b)
c)
x = ________
y = ________
x = ________
y = ________
d)
x = ________
y = ________
x = ________
y = ________
III. Ángulo Semi-Inscrito
Este ángulo está formado por una cuerda y una recta tangente, su vértice está sobre la circunferencia.
Asociamos al ángulo semi-inscrito la mitad de la medida, en grados, que la medida del arco que intersecta.
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
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Ejercicios:
Determina, en cada caso, la medida del ángulo y/o arcos pedidos.
a)
b)
c)
x = ________
e)
x = ________
f)
x = ________
x = ________
g)
x = ________
y = ________
z = ________
d)
x = ________
h)
x = ________
y = ________
z = ________
x = ________
y = ________
z = ________
IV. Ángulo Interior
Este ángulo está formado por dos cuerdas que se intersectan en la región interior de la circunferencia.
Asociamos al ángulo interior y a su opuesto la semisuma de los arcos interceptados por él y por su opuesto.
Ejemplos:
a)
b)
c)
Ejercicios:
a)
x = ________
y = ________
b)
x = ________
y = ________
c)
x = ________
y = ________
d)
x = ________
y = ________
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V. Ángulo Exterior
Este ángulo está formado por dos rectas secantes, una recta secante y una tangente ó dos rectas
tangentes que se intersectan en la región exterior de la circunferencia. Asociamos al ángulo exterior la
semidiferencia de los arcos interceptados.
Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
Dos rectas secantes Una recta secante y una tangente
Dos rectas tangentes
EJERCICIOS
Determina, en cada caso, la medida del ángulo que se pide:
a)
b)
x = _______
e)
x = _______
f)
x = _______
c)
x = _______
g)
x = _______
x = _______
d)
x = _______
h)
x = _______