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CAPÍTULO
12
Selección de proyectos
independientes
con limitaciones
presupuestales
En la mayoría de las comparaciones económicas anteriores, las alternativas
fueron mutuamente excluyentes: sólo podría elegirse una. Si los proyectos no
son mutuamente excluyentes, son clasificados como independientes entre sí,
tal como se analizó al principio del capítulo 5. Ahora aprenderemos técnicas
para seleccionar de entre varios proyectos independientes. Es posible seleccionar cualquier número de proyectos desde ninguno (no hacer nada) hasta
todos los proyectos viables.
Virtualmente siempre existe algún límite superior sobre la cantidad de capital disponible para invertir en nuevos proyectos. Dicho límite se considera
conforme se evalúa económicamente cada proyecto independiente. La técnica aplicada se denomina método de elaboración de presupuesto de capital,
también conocido como racionamiento de capital, que determina el mejor
racionamiento económico de la inversión inicial de capital entre los proyectos
independientes. El método de elaboración de presupuesto de capital es una
aplicación del método del valor presente.
En el estudio de caso se echa un vistazo a los dilemas de selección de
proyectos que tiene una asociación profesional de ingeniería, que se esfuerza
por atender las necesidades de sus miembros con un presupuesto limitado en
un mundo tecnológicamente cambiante.
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OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
Objetivo general: seleccionar entre diversos proyectos independientes cuando hay un límite
a la inversión de capital.
Este capítulo ayudará al lector a:
Racionamiento de capital
Proyectos con vidas iguales
1. Explicar el razonamiento utilizado en el racionamiento del
capital entre proyectos independientes.
2. Utilizar el análisis VP para seleccionar entre diversos proyectos
independientes con vidas iguales.
Proyectos con vidas desiguales
3. Emplear el análisis VP para seleccionar entre diversos proyectos
independientes con vidas diferentes.
Modelo de programación lineal
4. Resolver el problema de presupuesto de capital utilizando
programación lineal tanto a mano como por medio de
computadora.
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446
CAPÍTULO 12
12.1
Secc. 5.1
Mutuamente
excluyentes
e independientes
Selección de proyectos independientes con limitaciones presupuestales
PANORAMA GENERAL DEL RACIONAMIENTO
DE CAPITAL ENTRE PROYECTOS
El capital de inversión es un recurso escaso para todas las corporaciones; en consecuencia, virtualmente siempre existe una cantidad limitada para distribuirse entre
las oportunidades de inversión que compiten. Cuando una corporación tiene varias
opciones para colocar su capital de inversión, se debe tomar una decisión de “rechazo o aceptación” para cada proyecto. Efectivamente, cada opción es independiente de las otras, de manera que la evaluación se realiza sobre la base de proyecto
por proyecto. La selección de un proyecto no impacta la decisión de selección para
cualquier otro proyecto. Ésta es la diferencia fundamental entre las alternativas
mutuamente excluyentes y los proyectos independientes.
El término proyecto sirve para identificar cada opción independiente. Usamos
el término conjunto para identificar una colección de proyectos independientes. El
término alternativa mutuamente excluyente continúa identificando un proyecto cuando sólo puede elegirse uno entre varios.
Existen dos excepciones para los proyectos puramente independientes: un proyecto contingente es aquel que tiene una condición respecto de su aceptación o
rechazo. Dos ejemplos de proyectos contingentes A y B serían los siguientes: A no
puede aceptarse a menos que se acepte B; y A puede aceptarse en lugar de B, pero
ambos no son necesarios. Un proyecto dependiente es aquel que debe aceptarse o
rechazarse con base en la decisión acerca de otro(s) proyecto(s). Por ejemplo, B
debe aceptarse si tanto A como C se aceptan. En la práctica, estas condiciones de
complejidad pueden simplificarse mediante la formación de paquetes de proyectos relacionados, que sean económicamente evaluados por sí mismos como proyectos independientes con los proyectos restantes no condicionados.
El problema de elaboración del presupuesto de capital tiene las siguientes características:
1. Se identifican diversos proyectos independientes y están disponibles las estimaciones del flujo de efectivo neto.
2. Cada proyecto se selecciona o se rechaza totalmente; es decir, no es posible la
inversión parcial en un proyecto.
3. Una limitante presupuestal establecida restringe la cantidad total invertida. Pueden existir varias limitantes presupuestales solamente durante el primer año o
durante varios años. Este límite en la inversión se simboliza mediante b.
4. El objetivo es maximizar el retorno sobre las inversiones utilizando alguna
medida de valor, usualmente el valor VP.
Por naturaleza, en general, los proyectos independientes son bastante diferentes
entre sí. Por ejemplo, en el sector público, el gobierno de una ciudad puede desarrollar diversos proyectos para escoger: un proyecto de drenaje, un parque citadino, la
ampliación de calles y el mejoramiento del sistema de autobuses públicos. En el
sector privado puede haber diversos proyectos: una nueva instalación de bodegas,
la expansión de la base de productos, la mejora en el programa de calidad, un nuevo
sistema de información o la adquisición de otra compañía. El problema típico de la
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SECCIÓN 12.1
447
Panorama general del racionamiento de capital entre proyectos
elaboración del presupuesto de capital se ilustra en la figura 12.1. Para cada proyecto
independiente hay una inversión inicial, una vida del proyecto y flujos de efectivo
netos estimados, que pueden incluir un valor de salvamento.
Se recomienda el método de análisis de valor presente para seleccionar proyectos. El lineamiento de selección es el siguiente:
Acepte proyectos con los mejores valores VP determinados a la TMAR
sobre la vida del proyecto, siempre que no se exceda el límite de capital
para invertir.
Este lineamiento no es diferente del usado en la selección para proyectos independientes de los capítulos anteriores. Entonces, cada proyecto se compara con el proyecto no hacer nada; es decir, no es necesario el análisis incremental entre proyec-
Figura 12.1
Proyectos
independientes
Inversión
inicial
Características básicas
de un problema de
elaboración de
presupuesto de capital.
Flujos de efectivo
neto estimados
A.
Vida
Límite
de inversión
de capital
Inversión
B.
Vida
(no puede
invertir más
que esto)
C.
Vida
Elija de 0 a los 3 proyectos
Objetivo: Maximizar
el valor VP de la selección
dentro del límite de capital
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448
CAPÍTULO 12
Secc. 5.2
Análisis VP
Selección de proyectos independientes con limitaciones presupuestales
tos. Ahora la diferencia principal radica en que la cantidad de dinero disponible
para invertir está limitada. Por ende, se requiere un procedimiento de solución específico que incorpore dicha restricción.
Con anterioridad, el análisis VP requirió la suposición de servicio igual entre
las alternativas. Tal suposición no es válida para el racionamiento de capital, toda
vez que no hay ciclo de vida de un proyecto más allá de su vida estimada. Sin
embargo, la directriz de la selección se basa en el VP sobre la vida respectiva de
cada proyecto independiente. Esto significa que existe una suposición implícita de
reinversión, que es el siguiente:
Todos los flujos de efectivo neto positivos de un proyecto se reinvierten a la
TMAR desde el momento en que se realizan hasta el final del proyecto con
vida más larga.
Al final de la sección 12.3 se demuestra que esta suposición fundamental es correcta, cuando se trata el racionamiento de capital con base en VP para proyectos con
vidas diferentes.
Otro dilema del racionamiento de capital entre proyectos independientes tiene
relación con la flexibilidad del límite b de inversión de capital. El límite llega a
deshabilitar marginalmente un proyecto aceptable que se encuentra inmediatamente después de la línea de aceptación. Por ejemplo, suponga que el proyecto A tiene
un valor VP positivo a la TMAR. Si A provocará que el límite de capital de $5 000 000
se exceda por sólo $1 000, ¿A debería incluirse en el análisis VP? Por lo general, un
límite en la inversión de capital es algo flexible, de manera que el proyecto A debería incluirse. En los ejemplos contenidos en el capítulo no se excederán los límites
de inversión establecidos.
Es posible usar un análisis TR para elegir entre proyectos independientes. Como
se estudió en los capítulos anteriores, la técnica TR quizá no seleccione los mismos
proyectos que el análisis VP, a menos que se desarrolle análisis TR incremental
sobre el MCM de las vidas. Lo mismo es cierto en el caso del racionamiento de
capital. Por lo tanto, se recomienda el método VP para el racionamiento de capital
entre proyectos independientes.
12.2
RACIONAMIENTO DEL CAPITAL UTILIZANDO
EL ANÁLISIS VP PARA PROYECTOS
CON VIDA IGUAL
Para seleccionar entre proyectos que tienen la misma vida esperada y para no invertir más allá del límite b, es necesario formular, en un principio, todos los conjuntos
mutuamente excluyentes: un proyecto a la vez, dos a la vez, etcétera. Cada paquete
factible debe tener una inversión total que no exceda b. Uno de tales paquetes es el
proyecto de no hacer nada (NHN). El número total de conjuntos para m proyectos
se calcula usando la relación 2m. El número aumenta rápidamente con m. Para m =
4 existen 24 = 16 paquetes, y para m = 6, 26 = 64 paquetes. Luego se determina el VP
de cada paquete a la TMAR. Se selecciona el paquete con el mayor VP.
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SECCIÓN 12.2
Racionamiento del capital utilizando el análisis VP para proyectos con vida igual
Para ilustrar el desarrollo de los paquetes mutuamente excluyentes, considere
estos cuatro proyectos con vidas iguales.
Proyecto
A
B
C
D
Inversión inicial
$–10 000
–5 000
–8 000
–15 000
Si el límite de inversión es b = $25 000, de los 16 conjuntos, hay 12 posibles para
evaluar. Los paquetes ABD, ACD, BCD y ABCD tienen inversiones totales que
exceden $25 000. Los conjuntos aceptables son:
Proyectos
A
B
C
D
AB
AC
Inversión
total inicial
$–10 000
–5 000
–8 000
–15 000
–15 000
–18 000
Proyectos
AD
BC
BD
CD
ABC
No hacer nada
Inversión
total inicial
$–25 000
–13 000
–20 000
–23 000
–23 000
0
El procedimiento para resolver un problema de elaboración del presupuesto de capital utilizando el análisis VP es como sigue:
1. Desarrolle todos los conjuntos mutuamente excluyentes que tengan una inversión inicial total que no exceda el límite de capital b.
2. Sume los flujos de efectivo netos FENjt para todos los proyectos en cada conjunto j y cada año t desde 1 hasta la vida esperada del proyecto nj. Remítase a la
inversión inicial para el paquete j en el momento t = 0 como FENj0.
3. Calcule el valor presente, VPj, para cada paquete a la TMAR.
VPj = VP de los flujos de efectivo netos del conjunto – la inversión inicial
VP j =
t = nj
∑ FEN jt ( P/F, i , t ) − FEN j 0
[12.1]
t =1
4. Seleccione el conjunto con el valor VPj (numéricamente) mayor.
La selección de un valor de paquete VPj máximo significa que este paquete genera un retorno mayor que cualquier otro paquete. Se descarta todo conjunto con
VPj < 0, ya que éste no produce un retorno de la TMAR.
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CAPÍTULO 12
EJEMPLO
Selección de proyectos independientes con limitaciones presupuestales
12.1
El comité de revisión de proyectos de Microsoft tiene $20 millones para asignar el próximo año al desarrollo de nuevos productos de software. Cualquiera de (o todos) los cinco
proyectos en la tabla 12.1 pueden aceptarse. Todas las cantidades están en unidades de
$1 000. Cada proyecto tiene una vida esperada de 9 años. Seleccione el proyecto si se
espera un retorno de 15%.
TABLA
12.1
Cinco proyectos independientes de vida igual
(unidades de $1 000)
Proyecto
Inversión
inicial
Flujo de efectivo
neto anual
Vida del
proyecto, años
A
B
C
D
E
$–10 000
–15 000
–8 000
–6 000
–21 000
$2 870
2 930
2 680
2 540
9 500
9
9
9
9
9
Solución
Utilice el procedimiento anterior con b = $20 000 para seleccionar un paquete que maximice
el valor presente. Recuerde que las unidades representan $1 000.
1.
Hay 25 = 32 paquetes posibles. Los ocho paquetes que no requieren inversiones iniciales mayores de $20 000 se identifican en las columnas 2 y 3 de la tabla 12.2. La
inversión de $21 000 elimina el proyecto E de todos los paquetes.
TABLA
12.2
Resumen del análisis de valor presente de proyectos
independientes de vida igual
Paquete
j
(1)
Proyectos
incluidos
(2)
Inversión
inicial,
FENj0
(3)
Flujo de
efectivo neto
anual, FENj
(4)
Valor
presente,
VPj
(5)
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
D
AC
AD
CD
No hacer nada
$–10 000
–15 000
–8 000
–6 000
–18 000
–16 000
–14 000
0
$2 870
2 930
2 680
2 540
5 550
5 410
5 220
0
$ +3 694
–1 019
+4 788
+6 120
+8 482
+9 814
+10 908
0
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SECCIÓN 12.3
2.
Racionamiento de capital utilizando el análisis VP para proyectos de vida diferente
Los flujos de efectivo netos de paquete, columna 4, son la suma de los flujos de
efectivo netos del proyecto individual.
Utilice la ecuación [12.1] para calcular el valor presente de cada conjunto. Puesto
que el FEN anual y las estimaciones de vida son los mismos en un conjunto, VPj se
reduce a
3.
VPj = FENj(P/A,15%,9) – FENj0
4.
La columna 5 de la tabla 12.2 resume los valores VPj con i = 15%. El conjunto 2 no
genera el 15%, puesto que VP2 < 0. La medida de valor más grande es VP7 = $10 908;
por consiguiente, invierta $14 millones en C y D. Esto deja $6 millones sin invertir.
Comentario
Este análisis supone que los $6 millones no utilizados en esta inversión inicial producirán
la TMAR en alguna otra oportunidad de inversión no especificada. El retorno sobre el
conjunto 7 excede el 15% anual. La tasa real de rendimiento, utilizando la relación 0 =
–14 000 + 5 220(P/A,i*,9) es i* = 34.8%, que excede considerablemente la TMAR = 15%.
12.3
RACIONAMIENTO DE CAPITAL UTILIZANDO EL ANÁLISIS
VP PARA PROYECTOS DE VIDA DIFERENTE
Generalmente, los proyectos independientes no tienen la misma vida esperada. Como
se estableció en la sección 12.1, el método VP para la solución del problema de
elaboración de presupuesto de capital supone que cada proyecto durará el periodo
del proyecto con la vida más larga, nL. Adicionalmente, se supone que la reinversión
de todos los flujos de efectivo netos positivos es a la TMAR, desde el momento en
que ocurren hasta el final del proyecto con vida más larga, es decir, desde el año nj
hasta el año nL. Por consiguiente, no es necesario el empleo del mínimo común
múltiplo de las vidas y es correcto utilizar la ecuación [12.1], con la finalidad de
seleccionar conjuntos de proyectos de vida diferentes mediante el análisis VP con
el procedimiento de la selección anterior.
EJEMPLO
12.2
Para una TMAR = 15% por año y b = $20 000, seleccione entre los siguientes proyectos
independientes. Resuelva a mano y por computadora.
Proyecto
Inversión
inicial
Flujo de efectivo
neto anual
Vida del
proyecto, años
A
B
C
D
$–8 000
–15 000
–8 000
–8 000
$3 870
2 930
2 680
2 540
6
9
5
4
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452
CAPÍTULO 12
Selección de proyectos independientes con limitaciones presupuestales
Solución a mano
Los valores de vida diferente hacen que los flujos de efectivo netos cambien durante la
vida del conjunto; no obstante, el procedimiento de selección es el mismo que el anterior.
De los 24 = 16 conjuntos, ocho son económicamente factibles. Sus valores VP con la
ecuación [12.1] se resumen en la tabla 12.3. Como ilustración, para el paquete 7:
VP7 = –16 000 + 5 220(P/A,15%,4) + 2 680(P/F,15%,5) = $235
Seleccione el conjunto 5 (propuestas A y C) para una inversión de $16 000.
TABLA
12.3 Análisis del valor presente para propuestas
independientes con vidas diferentes,
ejemplo 12.2
Conjunto,
j
(1)
Proyecto
(2)
Inversión
inicial,
FENj0
(3)
1
2
3
4
5
A
B
C
D
AC
$–8 000
–15 000
–8 000
–8 000
–16 000
6
AD
–16 000
7
CD
–16 000
8
No hacer nada
0
Flujos
de efectivo
netos
Año, t
(4)
FENjt
(5)
1-6
1-9
1-5
1-4
1-5
6
1-4
5-6
1-4
5
$3 870
2 930
2 680
2 540
6 550
3 870
6 410
3 870
5 220
2 680
0
Valor
presente,
VPj
(6)
$+6 646
–1 019
+984
–748
+7 630
+5 898
+235
0
Solución por computadora
La figura 12.2 presenta una hoja de cálculo con la misma información que la de la
tabla 12.3. Es necesario iniciar con el desarrollo de los conjuntos mutuamente excluyentes y los flujos de efectivo netos totales para cada año. El conjunto 5 (proyectos
A y C) tiene el mayor VP (celdas de la fila 16). La función VPN se utiliza para
determinar VP para cada paquete j sobre su vida respectiva, usando el formato
VPN(TMAR,FEN_año_1:FEN_año_nj)+inversión.
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SECCIÓN 12.3
Racionamiento de capital utilizando el análisis VP para proyectos de vida diferente
TMAR = 15%
Conjunto
Proyectos
Año
No hacer nada
Flujos de efectivo neto, FEN ( j, t)
⫽D7⫹E7
Mayor VP
⫽VNA($B$1,C7:C15)⫹C6
⫽VNA($B$1,H7:H15)⫹H6
Figura 12.2
Análisis de hoja de cálculo para seleccionar de entre proyectos independientes con vida diferente,
usando el método VP de racionamiento de capital, ejemplo 12.2.
Es importante comprender por qué es correcta la solución del problema de elaboración de presupuesto de capital, mediante la evaluación VP usando la ecuación
[12.1]. La siguiente lógica verifica la suposición de reinversión a la TMAR para
todos los flujos de efectivo positivos netos, cuando las vidas de los proyectos son
diferentes. Remítase a la figura 13.3 que utiliza la presentación general de un conjunto de dos proyectos. Suponga que cada proyecto tiene los mismos flujos de efectivo netos cada año. Se utiliza el factor P/A para el cálculo VP. Defina nL como la
vida del proyecto de vida más larga. Al final del proyecto de vida más corta, el
conjunto tiene un valor futuro total de FENj(F/A,TMAR,nj) como se ha determinado para cada proyecto. Ahora se debe suponer una reinversión a la TMAR desde el
año nj + 1 hasta el año nL (un total de nL – nj años). El supuesto del rendimiento a la
TMAR es importante; este enfoque VP no necesariamente selecciona los proyectos
correctos si el rendimiento no se calcula a la TMAR. Los resultados son las dos
flechas de valor futuro en el año nL de la figura 12.3. Por último, se debe calcular el
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454
CAPÍTULO 12
Selección de proyectos independientes con limitaciones presupuestales
Figura 12.3
Flujos de efectivo
representativos usados
para calcular VP para un
conjunto de dos
proyectos independientes
de vida diferente
mediante la ecuación
[12.1].
VFB
VPB
nB = nL
Proyecto B
Inversión
para B
VFA
VPA
Valor futuro
Periodo
de reinversión
a la TMAR
nA
Proyecto A
nL
Inversión
para A
VP del conjunto = VPA + VPB
valor VP del conjunto en el año inicial. Éste es el conjunto VP del conjunto = VPA +
VPB. En forma general, el valor presente del paquete j es:
VPj = FENj(F/A,TMAR,nj)(F/P,TMAR,nL – nj)(P/F,TMAR,nL)
[12.2]
Ahora se sustituye el símbolo i para la TMAR y se utilizan las fórmulas de factor
para simplificar.
n
1
(1 + i ) j − 1
n −n
VPj = FEN j
(1 + i ) L j
i
(1 + i ) nL
⎡ (1 + i ) n j − 1 ⎤
= FEN j ⎢
nj ⎥
⎣ i(1 + i ) ⎦
= FEN j ( P/ A, i, n j )
[12.3]
Puesto que la expresión entre corchetes de la ecuación [12.3] es el factor (P/
A,i,nj), el cálculo del VPj durante nj años supone reinversión a la TMAR de todos los
flujos de efectivo netos positivos hasta completar el proyecto de vida mayor en el
año nL.
Para demostrarlo numéricamente, considere el paquete j = 7 en el ejemplo 12.2.
La evaluación está en la tabla 12.3 y el flujo de efectivo neto se ilustra en la figura
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SECCIÓN 12.4
Formulación de problemas en la elaboración del presupuesto de gastos de capital
VF = $57 111
VP = $235
$2 680
1
2
3
4
5
6
7
8
9
$16 000
12.4. Al valor futuro de 15% en el año 9, la vida de B, el proyecto con vida más
larga de los cuatro, es
VF = 5 220(F/A,15%,4)(F/P,15%,5) + 2 680(F/P,15%,4) = $57 111
El valor presente en el momento de la inversión inicial es
VP = –16 000 + 57 111 (P/F,15%,9) = $235
El valor VP es el mismo que VP7 en la tabla 12.3 y la figura 12.2. Esto demuestra el
supuesto de reinversión para flujos de efectivo netos positivos. Si tal suposición no
es realista, debe realizarse el análisis VP utilizando el MCM de todas las vidas de
las propuestas.
Asimismo, la selección de proyectos se logra utilizando el procedimiento de tasa
de rendimiento incremental. Una vez que se desarrollan todos los paquetes factibles
mutuamente excluyentes, éstos se ordenan por inversión inicial creciente. Determine la tasa de rendimiento incremental sobre el primer paquete relativo al conjunto
de no hacer nada y el rendimiento para cada inversión incremental y la secuencia del
flujo de efectivo neto incremental en todos los demás conjuntos. Si cualquier conjunto tiene un rendimiento incremental menor que la TMAR, se elimina. El último
incremento justificado indica el mejor conjunto. Este enfoque producirá la misma
respuesta que el procedimiento de valor presente. Hay diversas formas incorrectas
de aplicar el método de la tasa de rendimiento, aunque el procedimiento de análisis
incremental de paquetes mutuamente excluyentes asegura un resultado correcto, como
en las aplicaciones previas de la tasa de rendimiento incremental.
12.4
Figura 12.4
Inversión inicial y flujos
de efectivo para el
paquete 7, proyectos C
y D, ejemplo 12.2.
$5 220
0
455
FORMULACIÓN DE PROBLEMAS EN LA ELABORACIÓN
DEL PRESUPUESTO DE GASTOS DE CAPITAL UTILIZANDO
PROGRAMACIÓN LINEAL
El problema de elaboración del presupuesto de capital se establece en la forma de
un modelo de programación lineal. El problema se formula utilizando un modelo
de programación lineal entera (PLE), que simplemente quiere decir que todas las
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456
CAPÍTULO 12
Selección de proyectos independientes con limitaciones presupuestales
relaciones son lineales y que la variable desconocida, x, puede tomar sólo valores
enteros. En tal caso, las variables pueden tomar solamente los valores 0 o 1, lo cual
hace de éste un caso especial denominado modelo PLE 0 o 1. A continuación se
describe el modelo en palabras.
Maximizar: Suma del VP de los flujos de efectivo netos de proyectos independientes.
Restricciones:
•
•
La restricción de inversión de capital es que la suma de las inversiones iniciales
no debe exceder un límite específico.
Cada proyecto se selecciona o se descarta por completo.
Para la formulación matemática, defina b como el límite de inversión de capital, y
sea xk (k = 1 hasta m proyectos) la variable que se busca determinar. Si xk = 1, el
proyecto k se selecciona completamente; si xk = 0, el proyecto k no se elige. Observe que el subíndice k representa cada proyecto independiente, no un conjunto mutuamente excluyente.
Si la suma del VP de los flujos de efectivo netos es Z, la formulación de programación matemática es:
k=m
∑ VPk xk = Z
Maximizar:
k=1
k=m
∑ FEN k0 xk ≤ b
Restricciones:
[12.4]
k=1
xk = 0 o 1
para k = 1, 2, …... , m
El VPk de cada proyecto se calcula utilizando la ecuación [12.1] a una TMAR = i.
VPk = VP de los flujos de efectivo neto del proyecto para nk años
=
t = nk
∑ FEN kt ( P/F, i, t ) − FEN k 0
t =1
[12.5]
La solución por computadora se logra con un paquete de software de programación
lineal que considere el modelo PLE. También se pueden usar Excel y su herramienta de optimización SOLVER para desarrollar la formulación y seleccionar los proyectos, como se ilustra en el ejemplo 12.3.
EJEMPLO
12.3
Para el ejemplo 12.2, a) formule el problema de elaboración del presupuesto de capital
utilizando el modelo de programación matemática que se presenta en la ecuación [12.4], e
inserte la solución en el modelo para verificar que efectivamente éste maximiza el valor
presente. b) Establezca y resuelva el problema usando Excel.
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SECCIÓN 12.4
Formulación de problemas en la elaboración del presupuesto de gastos de capital
Solución
a) Defina el subíndice k = 1 hasta 4 para los cuatro proyectos, los cuales se renombran
como 1, 2, 3 y 4. El límite de inversión de capital es b = $20 000 en la ecuación
[12.4].
k=4
∑ VP x
Maximizar:
k
k
=Z
k0
xk ≤ 20 000
k =1
k=4
∑ FEN
Restricciones:
k =1
xk = 0 o 1
para k = 1 hasta 4
Calcule el VPk para los flujos de efectivo netos estimados utilizando i = 15% y la
ecuación [12.5].
Proyecto
k
Flujo de
efectivo
neto, FENkt
Vida,
nk
Factor,
(P/A,15%,nk)
Inversión
inicial,
FENk0
Proyecto
VPk
1
2
3
4
$3 870
2 930
2 680
2 540
6
9
5
4
3.7845
4.7716
3.3522
2.8550
$–8 000
–15 000
–8 000
–8 000
$+6 646
–1 019
+984
–748
Ahora, sustituya los valores VPk en el modelo y coloque las inversiones iniciales en
la restricción de presupuesto. Se usan signos positivos para todos los valores en la
restricción de inversión de capital. Se tiene la formulación PLE 0 o 1 completa.
Maximizar:
6 646x1 – 1 019x2 + 984x3 – 748x4 = Z
Restricciones:
8 000x1 + 15 000x2 + 8 000x3 + 8 000x4 < 20 000
x1, x2, x3 y x4 = 0 o 1
La solución para seleccionar los proyectos 1 y 3 se escribe como:
x1 = 1
b)
x2 = 0
x3 = 1
x4 = 0
para un valor VP de $7 630.
La figura 12.5 presenta una plantilla de hoja de cálculo desarrollada para seleccionar
de entre seis o menos proyectos independientes, con 12 años o menos de flujo de
efectivo neto estimado por proyecto. La plantilla de hoja de cálculo se expande en
cualquier dirección, de ser necesario. La figura 12.6 muestra los parámetros SOLVER
para solucionar este problema para cuatro proyectos y un límite de inversión de
$20 000. Las descripciones siguientes y las etiquetas de celda identifican los contenidos de filas y celdas en la figura 12.5, así como su vinculación con los parámetros
SOLVER.
Filas 4 y 5: Los proyectos se identifican con números para distinguirlos de las letras
de columna en la hoja de cálculo. La celda I5 es la expresión para Z, la suma de
los valores VP para los proyectos. Es la celda que debe maximizar SOLVER
(véase la figura 12.6).
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457
458
CAPÍTULO 12
Selección de proyectos independientes con limitaciones presupuestales
TMAR = 15%
⫽SUMA($B21:$G21)
Proyectos
Año
Flujos de efectivo neto, FEN
Máxima Z =
⫽VNA($B$1,D7:D18)⫹D6
⫽D19*D20
⫽⫺D19*D6
Proyectos seleccionados
Valor VP a la TMAR
Contribuci ó n a Z
Inversió n
⫽SUMA($B22:$G22)
Figura 12.5
Hoja de cálculo de Excel configurada para resolver un problema de elaboración de presupuesto de capital, ejemplo 12.3.
Figura 12.6
Parámetros SOLVER establecidos para resolver el problema de elaboración de presupuesto de capital en el ejemplo 12.3.
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459
RESUMEN DEL CAPÍTULO
Filas 6 a 18: Éstas son las inversiones iniciales y las estimaciones de flujo de efectivo
neto para cada proyecto. Los valores cero que ocurren después de la vida de un
proyecto no necesitan ingresarse; no obstante, sí debe ingresarse cualquier estimación $0 que ocurra durante la vida de un proyecto.
Fila 19: La entrada en cada celda es 1 para un proyecto seleccionado y 0 si no se
selecciona. Éstas son las celdas cambiantes para SOLVER. Puesto que cada
entrada debe ser 0 o 1, en todas las celdas de la fila 19 de SOLVER se coloca
una restricción binaria, como se muestra en la figura 12.6. Cuando un problema
debe resolverse, es mejor iniciar la hoja de cálculo con ceros para todos los
proyectos. SOLVER encontrará la solución para maximizar Z.
Fila 20: Se usa la función VNA para encontrar el VP de cada serie de flujo de efectivo neto. Las etiquetas de celda, que detallan las funciones VNA, se colocan
para cualquier proyecto con una vida de hasta 12 años a la TMAR ingresada en
la celda B1.
Fila 21: La contribución a la función Z ocurre cuando se selecciona un proyecto. No
se realiza contribución donde la fila 19 tiene una entrada 0 para un proyecto.
Fila 22: Esta fila muestra la inversión inicial para los proyectos seleccionados. La
celda I22 es la inversión total. Esta celda tiene la limitación presupuestaria colocada por la restricción en SOLVER. En este ejemplo, la restricción es I22 < =
$20,000.
Para usar la hoja de cálculo en la resolución del ejemplo, establezca en 0 todos
los valores de la fila 19, fije los parámetros SOLVER como antes se describió y pulse
el botón “Resolver”. (Puesto que éste es un modelo lineal, la opción SOLVER “Suponga Modelo Lineal” puede marcarse, si se desea.) De ser necesario, más directrices acerca de guardar la solución, efectuar cambios, etcétera, se encuentran disponibles en el apéndice A, sección A.4, y en la función de ayuda de Excel.
Para este problema, la selección son los proyectos 1 y 3 (celdas B19 y D19) con
Z = $7,630, la misma que se determinó con anterioridad. Ahora se puede realizar un
análisis de sensibilidad sobre cualquier estimación efectuada para los proyectos.
RESUMEN DEL CAPÍTULO
El capital de inversión es siempre un recurso escaso y debe racionarse entre diversos proyectos que compiten utilizando criterios específicos, económicos y no económicos. La elaboración del presupuesto de capital involucra alternativas propuestas, cada una con una inversión inicial y flujos de efectivo neto estimados durante la
vida del proyecto. Las vidas pueden ser iguales o diferentes. El problema fundamental en la elaboración del presupuesto de capital tiene algunas características
específicas (figura 12.1).
•
•
•
•
Se realiza una selección entre proyectos independientes.
Cada proyecto debe seleccionarse o rechazarse por completo.
El objetivo es la maximización del valor presente de los flujos de efectivo neto.
La inversión inicial total está limitada a un máximo específico.
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SOLVER
Apén.
A
460
CAPÍTULO 12
Selección de proyectos independientes con limitaciones presupuestales
El método del valor presente se utiliza para la evaluación. Para iniciar el procedimiento, formule todos los conjuntos mutuamente excluyentes que no excedan el
límite de la inversión, incluyendo el conjunto de no hacer nada. Hay un máximo de
2m conjuntos para m proyectos. Calcule el VP a la TMAR de cada conjunto y elija el
conjunto con el mayor valor VP. Se supone la reinversión de los flujos de efectivo
positivos netos a la TMAR para todos los proyectos con vidas menores que el proyecto con vida más larga.
El problema de elaboración de presupuesto de gastos de capital puede formularse como un problema de programación lineal para seleccionar proyectos directamente con la finalidad de maximizar el VP total. Los conjuntos mutuamente excluyentes no se desarrollan usando este enfoque de solución. Para resolver este problema
por computadora, se emplea Excel y SOLVER.
PROBLEMAS
Comprensión del racionamiento de capital
en la selección de proyectos: el proyecto 1
puede seleccionarse únicamente si también
los proyectos 3 y 4 se eligen.
12.1 Escriba un párrafo corto en que explique el
problema del racionamiento de capital de
inversión entre varios proyectos independientes unos de otros.
Proyecto
1
2
3
4
12.2 Enuncie la suposición de la reinversión sobre flujos de efectivo de proyectos, que se
hace para resolver el problema de la elaboración de presupuestos de capital.
12.3 Perfect Manufacturing va a evaluar cuatro
proyectos (1, 2, 3 y 4) con fines de inversión.
Desarrolle todos los grupos aceptables mutuamente excluyentes con base en la siguiente restricción para seleccionarlos, desarrollada por el departamento de ingeniería de
producción:
El proyecto 2 puede seleccionarse sólo
si se elige el 3.
Los proyectos 1 y 4 no deben seleccionarse juntos; en esencia se duplican.
12.4 Desarrolle todos los agrupamientos mutuamente excluyentes que sean aceptables para
los cuatro proyectos independientes descritos a continuación, si el límite de inversión
es $400 y se aplica la restricción siguiente
Inversión inicial, $
–250
–150
–75
–235
Selección entre proyectos independientes
12.5 a) Determine cuál de los siguientes proyectos independientes debería elegirse para invertir si están disponibles
$325 000 a la TMAR de 10% anual.
Para realizar la selección, use el método VP para evaluar las alternativas
mutuamente excluyentes.
Proyecto
A
B
C
D
E
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Inversión
inicial, $
–100 000
–125 000
–120 000
–220 000
–200 000
Flujo de
efectivo
neto, $/año
Vida,
años
50 000
24 000
75 000
39 000
82 000
8
8
8
8
8
461
PROBLEMAS
b) Si los cinco proyectos son alternativas
mutuamente excluyentes, realice el
análisis de valor presente y seleccione
la mejor alternativa.
12.6 Resuelva el problema 12.5 a) por medio de
una hoja de cálculo.
12.7 El departamento de ingeniería de General
Tire tiene para este año $900 000 para no
más de dos proyectos en mejoría de capital.
Con el uso de un análisis de VP basado en
una hoja de cálculo y un rendimiento
mínimo de 12% anual, conteste lo siguiente:
a) ¿Cuáles proyectos son aceptables de los
tres descritos abajo?
b) ¿Cuál es el flujo de efectivo neto mínimo necesario requerido para seleccionar
el grupo que gaste tanto como sea posible, sin violar ni el límite presupuestal
o la restricción de dos proyectos máximo?
Proyecto
Inversión
inicial
FEN,
$/año
Vida,
años
Valor de
rescate, $
A
B
C
–400 000
–200 000
–700 000
120 000
90 000
200 000
4
4
4
40 000
30 000
20 000
12.8 Jesse quiere elegir exactamente dos proyectos independientes de entre cuatro. Cada proyecto tiene una inversión inicial de $300 000
y una vida de 5 años. Se dispone de las estimaciones de FEN para los tres primeros,
pero no se ha preparado una estimación
detallada para el cuarto. Con el empleo de
una TMAR = 9% anual, determine el FEN
mínimo para el proyecto número cuatro (Z),
lo cual garantiza que formará parte de la
pareja que se elija.
Proyecto
FEN anual, $/año
W
X
Y
Z
90 000
50 000
130 000
Al menos 50 000
12.9 Un ingeniero de Clean Water Engineering
ha establecido un límite de $80 000 para el
capital de inversión para el año próximo,
destinado a proyectos que procuren la
recuperación mejorada de agua subterránea
muy confinada. Seleccione entre cualquiera
o todos los proyectos siguientes, con el uso
de una TMAR de 10% anual. Encuentre la
solución con cálculos hechos a mano, no con
Excel.
Proyecto
Inversión
inicial, $
FEN,
$/año
A
B
C
–250 000
–300 000
–550 000
50 000
90 000
150 000
Vida, Valor de
años rescate, $
4
4
4
45 000
–10 000
100 000
12.10 Desarrolle una hoja de cálculo de Excel para
los tres proyectos del problema 12.9. Suponga que el ingeniero desea que el proyecto C sea el único que se seleccione.
Considere las opciones viables de proyectos
y b = $800 000, determine a) la inversión
inicial más grande para C, y b) la TMAR
más grande que se permita para garantizar
que C resulte seleccionado.
12.11 En Hum Vee Motors hay ocho proyectos
disponibles para elegir. Los valores de VP
que siguen se determinaron con la TMAR
corporativa de 10% anual y están redondeados a $1 000, la cantidad más cercana.
Las vidas de los proyectos varían entre 5 y
15 años.
Proyecto
Inversión
inicial, $
Monto del VP
al 10%, $
1
2
3
4
5
6
7
8
–1 500 000
–300 000
–95 000
–400 000
–195 000
–175 000
–100 000
–400 000
–50 000
+35 000
–9 000
+75 000
+125 000
–27 000
+62 000
+110 000
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462
CAPÍTULO 12
Selección de proyectos independientes con limitaciones presupuestales
Los lineamientos para seleccionar proyectos
son los siguientes:
1. No se dispone de más de $400 000 para
inversión de capital.
2. Ningún proyecto con VP negativo puede
ser seleccionado.
3. Debe seleccionarse al menos un proyecto, pero no más de tres.
4. Se aplican las restricciones siguientes
en la selección de proyectos específicos:
• El proyecto 4 puede seleccionarse
sólo si el 1 también lo es.
• Los proyectos 1 y 2 se duplican; no
se deben elegir juntos.
• Los proyectos 8 y 4 también se duplican.
• El proyecto 7 requiere que el 2
también se elija.
a) Identifique los grupos de proyectos
viables y seleccione aquellos que se
justifiquen mejor económicamente.
¿Cuál es la suposición de inversión
para cualquiera de los fondos de
capital restantes?
b) Si debe invertirse tanto como sea
posible de los $400 000, use las mismas restricciones y determine el (los)
proyecto(s) a seleccionar. ¿Esta es
una segunda opción viable para invertir los $400 000? ¿Por qué?
12.12 Use el análisis que sigue de cinco proyectos
independientes para seleccionar el mejor,
si la limitación de capital es: a) $30 000,
b) $60 000, y c) ilimitada.
Proyecto
Inversión
inicial, $
Vida,
años
VP al 12%
anual, $
S
A
M
E
H
–15 000
–25 000
–10 000
–25 000
–40 000
6
8
6
4
12
8 540
12 325
3 000
10
15 350
12.13 El proyecto independiente estimado a
continuación fue desarrollado por los directores de ingeniería y finanzas. La TMAR
corporativa es de 15% anual, y el límite en
la inversión de capital es de $4 millones.
a) Use el método VP y solución manual
para seleccionar los mejores proyectos
en términos económicos.
b) Use el método VP y solución por
computadora para seleccionar los mejores proyectos en términos económicos.
Proyecto
Costo del
proyecto, en
millones de $
Vida,
años
FEN, $
por año
1
2
3
4
–1.5
–3.0
–1.8
–2.0
8
10
5
4
360 000
600 000
520 000
820 000
12.14 Se define el problema que sigue sobre racionamiento de capital. Se van a evaluar tres
proyectos con una TMAR de 12.5% anual.
No es posible invertir más de $3 millones.
a) Use una hoja de cálculo para seleccionar
entre los proyectos independientes.
b) Use SOLVER para determinar el FEN
mínimo del año 1 sólo para el proyecto
3, a fin de tener el mismo VP que el mejor agrupamiento del inciso anterior, si
la vida del proyecto 3 puede incrementarse a 10 años para la misma inversión
de $1 millón. Todas las estimaciones
restantes permanecen sin cambio. Con
este FEN y vida incrementados, ¿cuáles
son los mejores proyectos para invertir?
Proyecto
Inversión,
millones
de $
Vida,
años
1
2
3
–0.9
–2.1
–1.0
6
10
5
FEN estimado, $/año
Gradiente
después
Año 1
del año 1
250 000
485 000
200 000
–5 000
+5 000
+10%
12.15 Use el método del VP para evaluar cuatro
proyectos independientes y seleccione tres
de ellos. La TMAR es de 12% anual y existe
un límite de $16 000 para el capital de
inversión disponible.
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ESTUDIO DE CASO
Proyecto
1
Inversión, $
Vida, años
Año
1
2
3
4
5
2
3
4
–5 000 –8 000 –9 000 –10 000
5
5
3
4
463
12.19 Para el problema 12.5, use Excel y SOLVER
con la finalidad de: a) responder la pregunta
del primer inciso, y b) seleccionar los proyectos si la TMAR = 12% anual y el límite
de inversión se incrementa a $500 000.
Estimaciones de FEN, $
1 000
500 5 000
0
1 700
500 5 000
0
2 400
500 2 000
0
3 000
500
17 000
3 800 10 500
12.20 Utilice SOLVER para resolver el problema
12.10.
12.16 Resuelva el problema 12.15 por medio de
una hoja de cálculo.
12.22 Emplee programación lineal y una técnica
de solución basada en hoja de cálculo para
seleccionar entre los proyectos independientes de vidas desiguales del problema
12.13.
12.17 Con las estimaciones de FEN del problema
12.15 para los proyectos 3 y 4, demuestre
la suposición de reinversión cuando se
resuelve el problema de elaborar presupuestos de capital para los cuatro proyectos por
medio del método del VP (recomendación:
consulte la ecuación [12.2]).
Programación lineal y elaboración
de presupuestos de gastos de capital
12.18 Formule el modelo de programación lineal,
desarrolle una hoja de cálculo y resuelva el problema de racionamiento de capital del ejemplo 12.1, a) como está presentado, y b) con
el uso de un límite de $13 millones para la
inversión.
12.21 Use SOLVER para encontrar el FEN mínimo que se requiere para el proyecto Z, según
lo detalla Jesse en el problema 12.8.
12.23 Resuelva el problema de elaborar presupuestos de capital del problema 12.14, inciso
a), por medio de un modelo de programación lineal y Excel.
12.24 Solucione la elaboración de presupuestos de
capital presentado en el problema 12.15, con
el uso de un modelo de programación lineal
y Excel.
12.25 Con los datos del problema 12.15 y soluciones de Excel para situaciones con límites
de presupuesto de capital que varían entre
b = $5 000 y b = $25 000, desarrolle una
gráfica en Excel de b versus el valor de Z.
ESTUDIO DE CASO
EDUCACIÓN EN INGENIERÍA PARA TODA LA VIDA EN UN AMBIENTE WEB
El informe
IME es una sociedad de ingeniería sin fines de lucro,
con oficinas centrales en Nueva York y oficinas en varios países del mundo. El año pasado se estableció una
fuerza de tarea con el encargo de sugerir formas de
mejorar los servicios a los miembros en el área de aprendizaje para toda la vida. Las ventas totales a personas,
bibliotecas y negocios de periódicos, revistas, libros,
monografías, CD y videos técnicos han disminuido en
35% durante los últimos 3 años. IME, como virtualmente todas las corporaciones no lucrativas, está reci-
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464
CAPÍTULO 12
Selección de proyectos independientes con limitaciones presupuestales
biendo un impacto negativo por parte del comercio electrónico. El recién publicado informe de la fuerza de
tarea contiene las siguientes conclusiones y recomendaciones:
Resulta esencial que IME tome rápidas medidas
proactivas para iniciar materiales de aprendizaje con
base en la web, por sí misma y/o en conjunción con
otras organizaciones. De manera general, estos materiales deberán concentrarse en áreas como:
Certificación y licenciamiento de profesionales en
ingeniería.
Temas técnicos de vanguardia.
Temas de actualización en el manejo de herramientas para ingenieros expertos.
Herramientas básicas para individuos que realizan
análisis de ingeniería con entrenamiento o educación
inadecuados.
Los proyectos deberán iniciar de inmediato y evaluarse durante los próximos tres años, para determinar
las futuras direcciones de los materiales de aprendizaje
electrónico para IME.
Los proyectos propuestos
En la sección de Líneas de Acción del informe se identifican cuatro proyectos, junto con los estimados de
costos e ingresos netos efectuados sobre una base de 6
meses. Los resúmenes de los proyectos que se presentan a continuación requieren desarrollo y mercadotecnia de materiales de aprendizaje en línea.
Proyecto A, mercados nicho. IME identifica varias áreas
técnicas nuevas y ofrece materiales de aprendizaje a
los miembros y a quienes no lo son. Se requieren una
inversión inicial de $500 000 y una inversión de seguimiento de otros $500 000 después de 18 meses.
Proyecto B, asociación. IME se une con otras sociedades profesionales para ofrecer materiales en un espectro relativamente amplio. Dicha estrategia de negocios podría brindar una mayor inversión en lo que
atañe a materiales de aprendizaje para toda la vida.
IME necesita realizar una inversión inicial de $2
millones. Este proyecto requerirá que se lleve a cabo
un pequeño proyecto para mejora en la red. Éste es
el proyecto C, que sigue a continuación.
Proyecto C, motor de búsqueda web. Con una inversión de sólo $200 000 dentro de seis meses, IME
puede ofrecer a sus miembros un motor de búsqueda web para tener acceso a publicaciones actuales
de IME. Un contratista externo puede instalar rápidamente esta capacidad en el equipo actual. Este
punto de entrada al aprendizaje con base en la web
es una medida temporal, que puede aumentar los
servicios y los ingresos sólo durante el corto plazo.
Este proyecto es necesario si se aspira a llevar a cabo
el proyecto B, pero el proyecto C puede instaurarse
separadamente de cualquier otro proyecto.
Proyecto D, mejora del servicio. Este proyecto es un
sustituto completo del proyecto B. Se trata de un
esfuerzo a largo plazo para mejorar la publicación
electrónica y continuar los ofrecimientos de educación de IME. Serán necesarias inversiones de
$300 000 ahora, $400 000 en 6 meses y otros
$300 000 después de otros 6 meses. El proyecto D
es de más lento movimiento, aunque desarrollará
una base firme para la mayoría de futuros servicios
de aprendizaje basados en la web de IME.
Los flujos de efectivo neto estimados (en $1 000) en
periodos de 6 meses para IME se resumen a continuación.
Proyecto
Periodo
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
$0
100
200
400
400
0
$500
500
600
700
800
1 000
$0
50
100
150
0
0
$100
200
300
300
300
300
El Comité de Finanzas ha respondido que no se pueden
asignar más de $3.5 millones a estos proyectos. También ha establecido que la cantidad total por proyecto
deberá asignarse desde ahora, sin importar en realidad
cuándo ocurrirán los flujos de efectivo de las inversiones inicial y de seguimiento. El Comité de Finanzas y
un comité directivo revisarán los progresos cada 3 me-
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ESTUDIO DE CASO
ses para determinar si deberían continuarse, expandirse o descontinuarse los proyectos seleccionados. El capital de IME, principalmente en inversiones de capital
propio, rinde un promedio de 10% semestral durante
los últimos 5 años. No existe deuda arrastrada por IME
en este momento.
Ejercicios del estudio de caso
1. Formule todas las oportunidades de inversión para
IME y los perfiles de flujo de efectivo, dada la información en el reporte de la fuerza de tarea.
2. ¿Qué proyectos debería recomendar el Comité de
Finanzas sobre una base puramente económica?
465
3. El director ejecutivo de IME tiene gran interés en
realizar el proyecto D debido a los efectos positivos de larga duración que percibe sobre el tamaño
de la membresía del Instituto y los futuros servicios ofrecidos a los miembros nuevos y actuales.
Usando una hoja de cálculo que detalle los estimados de flujo de efectivo neto del proyecto, determine algunos de los cambios que el director puede
llevar a cabo para asegurar que se acepte el proyecto D. No debe colocar restricciones en este análisis; por ejemplo, pueden cambiar las inversiones
y los flujos de efectivo, y eliminarse las restricciones entre los proyectos que se describen en el reporte de la fuerza de tarea.
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