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CAPÍTULO 1
CAPÍTULO
1
Fundamentos de ingeniería económica
Fundamentos
de ingeniería económica
La necesidad de la ingeniería económica se encuentra motivada principalmente por el trabajo que llevan a cabo los ingenieros al analizar, sintetizar y obtener conclusiones en proyectos de cualquier envergadura. En otras palabras, la
ingeniería económica es un punto medular en la toma de decisiones. Tales
decisiones implican los elementos básicos de flujos de efectivo, tiempo y tasas
de interés. Este capítulo explica los conceptos fundamentales y la terminología necesarios para que un ingeniero combine esos tres elementos esenciales
y formule técnicas matemáticamente correctas para resolver problemas que lo
llevarán a tomar mejores decisiones. En el presente capítulo se incluyen muchos de los términos comunes que se utilizan en la toma de decisiones económicas, los cuales se emplearán en capítulos subsecuentes de la obra. Los iconos
al margen sirven para remitir al lector a información más elemental y adicional
que aparece antes o después en el libro.
Los estudios de caso incluidos después de los problemas de final de capítulo se concentran en el desarrollo de alternativas en la ingeniería económica.
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OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
Objetivo general: comprender los conceptos fundamentales de la ingeniería económica.
Este capítulo ayudará al lector a:
Preguntas
1. Conocer el tipo de preguntas que la ingeniería económica
puede responder.
Toma de decisiones
2. Determinar el papel que desempeña la ingeniería económica
en el proceso de toma de decisiones.
Enfoque del estudio
3. Identificar los elementos necesarios para llevar a cabo con éxito
un estudio de ingeniería económica.
Tasa de interés
Equivalencia
Interés simple y compuesto
Símbolos
Funciones de la hoja de cálculo
Tasa mínima atractiva
de rendimiento
4. Realizar cálculos sobre tasas de interés y tasas de retorno.
5. Entender el significado de la equivalencia en términos
económicos.
6. Calcular el interés simple y el interés compuesto para uno o
más periodos de interés.
7. Identificar y aplicar la terminología y simbología en la ingeniería
económica.
8. Identificar las funciones de la hoja de cálculo de Excel© que se
emplean comúnmente para resolver problemas de ingeniería
económica.
9. Comprender el significado y aplicar el concepto de tasa mínima
atractiva de rendimiento (TMAR).
Flujos de efectivo
10. Entender el concepto de flujos de efectivo, su estimación y
representación gráfica.
Tiempo de duplicación
11. Aplicar la regla del 72 para estimar una tasa de interés
compuesto o el número de años para que se duplique una
cantidad en valor presente.
Hojas de cálculo
12. Crear una hoja de cálculo que incluya el interés simple y el
interés compuesto, incorporando el análisis de sensibilidad.
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CAPÍTULO 1
Fundamentos de ingeniería económica
1.1 ¿POR QUÉ ES IMPORTANTE LA INGENIERÍA ECONÓMICA
PARA LOS INGENIEROS (y otros profesionales)?
Las decisiones que toman ingenieros, gerentes, presidentes de corporaciones e individuos, por lo general son el resultado de elegir una alternativa sobre otra. A menudo
las decisiones reflejan la elección fundamentada de una persona sobre cómo invertir
mejor fondos, también llamados capital. Con frecuencia el monto del capital está
restringido, así como el efectivo disponible de una persona a menudo se encuentra
limitado. La decisión sobre cómo invertir capital indudablemente cambiará el futuro, con esperanza de mejorar; es decir, que se le agregará valor. Los ingenieros
desempeñan un papel esencial en las decisiones que tienen que ver con la inversión
de capital, basadas en sus esfuerzos de análisis, síntesis y diseño. Los factores que
se toman en cuenta en la toma de decisiones constituyen una combinación tanto de
factores económicos como no económicos. Otros factores pueden ser de naturaleza
intangible, como la conveniencia, la buena voluntad, la amistad y otros.
Fundamentalmente la ingeniería económica implica formular, estimar y
evaluar los resultados económicos cuando existan alternativas disponibles
para llevar a cabo un propósito definido. Otra forma de definir la ingeniería económica consiste en describirla como un conjunto de técnicas matemáticas que simplifican las comparaciones económicas.
Para numerosas corporaciones, en especial las más grandes, muchos de sus proyectos
y servicios tienen alcance internacional: pueden desarrollarse en un país para aplicarse
en otro, el personal y las plantas ubicadas en diversos sitios de todo el mundo separan
en forma rutinaria el diseño del producto de su manufactura, así como de los consumidores que lo adquieren. Los enfoques que se presentan aquí se implantan sin dificultad
tanto en empresas multinacionales como dentro de un país o localidad únicos. El
uso correcto de las técnicas de ingeniería económica tiene una importancia especial
porque virtualmente cualquier proyecto —local, nacional o internacional— afectará
los costos y/o los ingresos.
Algunas de las preguntas típicas que puede suscitar el material de este libro se
plantean a continuación.
Actividades de la ingeniería
•
•
•
•
•
¿Debería incorporarse una nueva técnica de financiamiento en la fabricación
de cojinetes para frenos de automóvil?
Si un sistema de visión computarizada sustituye al inspector en lo que se refiere
a llevar a cabo pruebas de calidad en una línea de ensamble de automóviles,
¿disminuirán los costos de operación en un periodo de cinco años?
¿Puede una decisión económicamente adecuada mejorar el centro de producción de material estructural con agentes reforzadores de una fábrica de aviones
con el objetivo de reducir costos 20%?
¿Debería construirse un paso a desnivel debajo de una vía rápida en una ciudad
de 25 000 habitantes, o debería ampliarse la vía rápida a lo largo de la ciudad?
¿Se conseguirá la tasa de retorno requerida si instalamos la nueva tecnología
del mercado en nuestra línea de fabricación del láser médico?
Proyectos del sector público y agencias gubernamentales
•
¿Cuánto dinero debe recaudarse con el nuevo impuesto en la ciudad para mejorar el sistema de distribución de electricidad?
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SECCIÓN 1.2
•
Papel de la ingeniería económica en la toma de decisiones
¿En este punto los beneficios superan a los costos en la construcción de un
puente sobre un canal intracostero?
¿Es efectivo para el Estado compartir el costo de la construcción de una nueva
ruta de peaje con un contratista?
¿Debería la universidad estatal contratar a una institución privada para que ésta
imparta cursos universitarios propedéuticos o debería impartirlos el personal
docente de la propia universidad?
•
•
Individuos
•
•
¿Debo pagar el saldo de mi tarjeta de crédito con dinero prestado?
¿Qué representan mis estudios universitarios en mi carrera profesional en términos financieros?
¿Constituyen un buen negocio las deducciones federales del impuesto sobre la
renta para la hipoteca de mi casa o debería agilizar los pagos de la hipoteca?
¿Qué tasa de retorno obtuvimos en nuestra inversión en acciones?
¿Debería comprar o financiar mi próximo automóvil, o conservar el que tengo
ahora y continuar pagando el crédito?
•
•
•
EJEMPLO
1.1
Dos ingenieros directivos de una compañía de diseño mecánico y una empresa de análisis
estructural a menudo laboran conjuntamente. Han decidido que, en virtud de que con
frecuencia realizan viajes comerciales juntos por la región, deberían considerar la posibilidad de comprar un avión del cual sean copropietarias las dos compañías. ¿Cuáles son
algunas de las preguntas de naturaleza económica que los ingenieros deberían responder
al evaluar las alternativas de 1. poseer un avión en común o 2. continuar realizando viajes
en aviones comerciales?
Solución
Algunas preguntas (y lo que se requiere para responderlas) para cada alternativa son las
siguientes:
•
•
•
•
•
•
1.2
¿Cuánto costará el avión cada año? (Se necesitan estimaciones de costos.)
¿Cuánto costará el avión? (Se requiere un plan de financiamiento.)
¿Reportan ventajas los impuestos? (Se necesita información sobre la ley fiscal y las
tasas de impuestos.)
¿En qué se basa la elección de una alternativa? (Se requiere un criterio de selección.)
¿Qué se espera de la tasa de retorno? (Se necesitan ecuaciones.)
¿Qué sucederá si llegamos a volar más o menos de lo que calculamos hoy? (Se requiere un análisis de sensibilidad.)
PAPEL DE LA INGENIERÍA ECONÓMICA
EN LA TOMA DE DECISIONES
La gente toma decisiones; ni las computadoras, las matemáticas u otras herramientas
lo hacen. Las técnicas y modelos de la ingeniería económica ayudan a la gente a
tomar decisiones. Como las decisiones influyen en lo que se hará, el marco de referencia temporal de la ingeniería económica es básicamente el futuro. Por lo tanto, en
un análisis de ingeniería económica los números constituyen las mejores estimaciones
de lo que se espera que ocurrirá. Dichas estimaciones a menudo implican los tres
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8
CAPÍTULO 1
Análisis
de sensibilidad
Ejemplo 1.18
Cap.
18
Fundamentos de ingeniería económica
elementos esenciales ya mencionados: flujos de efectivo, su tiempo de ocurrencia y
las tasas de interés, los cuales se estiman a futuro y serán de alguna manera diferentes
de lo que realmente ocurra, principalmente como consecuencia de las circunstancias
cambiantes y no planeadas de los eventos. En otras palabras, la naturaleza estocástica
de las estimaciones probablemente hará que el valor observado para el futuro difiera
de la estimación actual.
Por lo general, el análisis de sensibilidad se lleva a cabo durante el estudio de
ingeniería económica, para determinar cómo podría cambiar la decisión de acuerdo
con estimaciones variables, en especial aquellas que podrían variar de manera significativa. Por ejemplo, un ingeniero que espera que los costos iniciales de desarrollo de algún programa computacional varíen ±20%, de un costo estimado de $250 000
(dólares), podría llevar a cabo el análisis económico para estimaciones iniciales de
costos de $200 000, $250 000 y $300 000. Otras estimaciones inciertas referentes
al proyecto pueden “sondearse” aplicando un análisis de sensibilidad. (El análisis
de sensibilidad es fácil de llevar a cabo utilizando hojas de cálculo electrónicas. Las
presentaciones tabulares y gráficas hacen posible el análisis sencillamente cambiando los valores estimados. A lo largo de la obra y en los sitios web de apoyo
aprovechamos las ventajas que proporciona el poder de las hojas de cálculo.)
La ingeniería económica se aplica, asimismo, para analizar los resultados del
pasado. Los datos observados se evalúan para determinar si los resultados satisficieron el criterio especificado, como, por ejemplo, la tasa de retorno requerida. Por
ejemplo, supongamos que hace cinco años una compañía de ingeniería estadounidense dedicada al diseño inició un servicio de diseño detallado de chasis para automóvil en Asia. Ahora el presidente de la compañía desea saber si el rendimiento real
sobre la inversión ha superado el 15% anual.
Existe un procedimiento importante para abordar la cuestión del desarrollo y
elección de alternativas. Los pasos de este enfoque, comúnmente denominado enfoque de solución de problemas o proceso de toma de decisiones, son los siguientes.
1. Comprensión del problema y definición del objetivo.
2. Recopilación de información relevante.
3. Definición de posibles soluciones alternativas y realización de estimaciones realistas.
4. Identificación de criterios para la toma de decisiones empleando uno o
más atributos.
5. Evaluación de cada alternativa aplicando un análisis de sensibilidad
para reforzar la evaluación.
6. Elección de la mejor alternativa.
7. Implantar la solución.
8. Vigilar los resultados.
La ingeniería económica desempeña el papel principal en todos los pasos y es fundamental en los pasos 2 a 6. Los pasos 2 y 3 establecen las alternativas y permiten
hacer las estimaciones para cada una de ellas. El paso 4 requiere que el analista
identifique los atributos para la elección alternativa. Este paso determina la etapa
para la aplicación de la técnica. El paso 5 utiliza modelos de ingeniería económica
para completar la evaluación y realizar cualquier análisis de sensibilidad sobre el
cual se base una decisión (paso 6).
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SECCIÓN 1.2
EJEMPLO
9
Papel de la ingeniería económica en la toma de decisiones
1.2
Reconsidere las preguntas planteadas a los ingenieros en el ejemplo anterior, relativas a la
copropiedad del avión. Indique algunas formas en las que la ingeniería económica contribuye a la toma de decisiones entre dos alternativas.
Solución
Supongamos que el objetivo es el mismo en el caso de cada ingeniero (transportación
disponible y confiable que minimice el costo total). Aplique los pasos anteriores.
Pasos 2 y 3: El esquema de un estudio de ingeniería económica permite identificar lo
que debería estimarse o recopilarse. Para la alternativa 1 (la compra del avión), se estima
el costo de compra, el método de financiamiento y la tasa de interés, los costos anuales de
operación, el posible incremento en los ingresos por ventas anuales y las deducciones del
impuesto sobre la renta. Para la alternativa 2 (el vuelo comercial) se estiman los costos de
transportación comercial, la cantidad de viajes, los ingresos anuales por ventas y otros
datos relevantes.
Paso 4: El criterio de selección es un atributo evaluado numéricamente denominado
medida de valor. Algunas medidas de valor son:
Valor presente (VP)
Valor anual (VA)
Razón beneficio/costo (B/C)
Valor futuro (VF)
Periodo de recuperación
Tasa de retorno (TR)
Valor económico agregado
Costo capitalizado (CC)
Al determinar una medida de valor, se considera el hecho de que el dinero de hoy tendrá
un valor diferente en el futuro; es decir, que se toma en cuenta el valor del dinero en el
tiempo.
Existen muchos atributos no económicos (sociales, ambientales, legales, políticos,
personales, por nombrar sólo unos cuantos). Este ambiente de múltiples atributos puede
dar como resultado el hecho de que se tenga menos confianza en los resultados económicos del paso 6. Sin embargo, ésta es exactamente la razón por la cual quien toma las
decisiones debe tener información adecuada para todos los factores —económicos y no
económicos— para hacer una elección informada. En el caso que nos ocupa, el análisis
económico puede favorecer la alternativa de la copropiedad del avión (alternativa 1); pero
como consecuencia de factores no económicos, uno o ambos ingenieros quizás elijan la
alternativa 2.
Pasos 5 y 6: Los cálculos reales, el análisis de sensibilidad y la elección de alternativas se llevan a cabo en este punto.
El concepto de valor del dinero en el tiempo se mencionó anteriormente. A
menudo se dice que dinero llama dinero. De hecho, la afirmación es cierta, porque
si hoy decidimos invertir dinero, intrínsecamente esperamos tener más dinero en el
futuro. Si una persona o empresa solicita un crédito hoy, mañana deberá más que
el capital del préstamo original. Este hecho también se explica por medio del valor
del dinero en el tiempo.
La variación de la cantidad del dinero en un periodo de tiempo dado recibe el nombre de valor de dinero en el tiempo; éste es el concepto más importante de la ingeniería económica.
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Atributos múltiples
Seccs.
10.7 y 10.8
10
CAPÍTULO 1
Fundamentos de ingeniería económica
1.3 REALIZACIÓN DE UN ESTUDIO DE INGENIERÍA
ECONÓMICA
A lo largo de este libro, los términos ingeniería económica, análisis de ingeniería
económica, toma de decisiones económicas, estudio de asignación de capital, análisis económico y otros semejantes se consideran sinónimos. Existe un enfoque general, denominado enfoque de estudio de ingeniería económica, que ofrece una
perspectiva general del estudio de ingeniería económica. Dicho enfoque se
esquematiza en la figura 1.1 para dos alternativas. En la figura 1.1 se describen los
pasos del proceso de toma de decisiones.
Pasos del proceso
de toma de decisiones
Paso 1
Problema identificado; objetivo definido
Alternativa 1
Alternativa 2
Equipo
nuevo
Mejoramiento
del equipo antiguo
Paso 2
Descripción
e información
Descripción
e información
Paso 3
Flujos de efectivo
durante algún
periodo de tiempo
Paso 4
Paso 5
Flujos de efectivo
durante algún
periodo de tiempo
• Estimaciones de egresos e ingresos
• Estrategias de financiamiento
• Leyes tributarias
Análisis mediante
un modelo de
ingeniería económica
• Valor del dinero en el tiempo
• Tasa de interés
• Medida de valor
Análisis mediante
un modelo de
ingeniería económica
Alternativa 1
evaluada
• Cálculo de la medida
de valor
Alternativa 2
evaluada
Atributos no económicos por considerar
Elijo la alternativa 1
Paso 6
Implementación
de la alternativa 1
Figura 1.1
Enfoque de estudio de
ingeniería económica.
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SECCIÓN 1.3
11
Realización de un estudio de ingeniería económica
Descripción de las alternativas El resultado del paso 1 del proceso de toma de
decisiones consiste en un entendimiento básico de lo que requiere el problema para
darle solución. Al principio llegan a presentarse diversas alternativas; pero sólo unas
cuantas serán viables y evaluadas realmente. Si se han identificado las alternativas
A, B y C para el análisis, cuando el método D, aunque no se le reconoce como una
alternativa, es el más atractivo, seguramente se tomará la decisión equivocada.
Las alternativas son opciones independientes que implican una descripción
verbal y las mejores estimaciones de parámetros, tales como el costo inicial (incluyendo precio de compra, desarrollo, instalación), vida útil, ingresos y egresos
anuales estimados, valor de salvamento (valor de reventa o canje), una tasa de
interés (tasa de rendimiento) y posiblemente inflación y efectos del impuesto sobre
la renta. Por lo general, las estimaciones de los gastos anuales se agrupan y reciben
el nombre de costos anuales de operación (CAO) o costos de mantenimiento y operación (CMO).
Flujos de efectivo Las entradas (ingresos) y salidas (costos) estimadas de dinero
reciben el nombre de flujos de efectivo. Dichas estimaciones se realizan para cada
alternativa (paso 3). Sin estimaciones del flujo de efectivo durante un periodo establecido resulta imposible llevar a cabo un estudio de ingeniería económica. La variación esperada de los flujos de efectivo indica una necesidad real de un análisis de
sensibilidad en el paso 5.
Análisis mediante un modelo de ingeniería económica Los cálculos que consideran el valor del dinero en el tiempo se realizan sobre los flujos de efectivo de cada
alternativa para obtener la medida de valor.
Elección de alternativa Se comparan los valores de la medida de valor y se elige
una alternativa. Esto es el resultado del análisis de ingeniería económica. Por ejemplo, el resultado de un análisis de tasa de rendimiento puede ser el siguiente: se
elige la alternativa 1, donde se estima una tasa de rendimiento de 18.4% anual,
sobre la alternativa 2, cuya tasa de rendimiento anual esperada es de 10%. Se puede
aplicar una combinación de criterios económicos utilizando la medida de valor, así
como los factores no económicos e intangibles, para facilitar la elección de una
alternativa.
Si sólo se define una alternativa viable, hay una segunda alternativa presente en
la forma de alternativa de no hacer algo. Es una alternativa llamada también dejar
como está o statu quo. Se puede elegir no hacer algo si ninguna alternativa posee
una medida de valor favorable.
Estemos o no conscientes, a diario empleamos criterios para elegir entre diversas alternativas. Por ejemplo, cuando nos dirigimos a la universidad en automóvil,
decidimos tomar la mejor ruta. Pero, ¿cómo definimos lo mejor? ¿La mejor ruta es
la más segura, la más corta, la más rápida, la más barata, la que tiene mejor paisaje,
o cuál? Es obvio que, dependiendo del criterio o combinación de criterios que se
aplique para identificar la mejor, cada vez podría elegirse una ruta diferente. En el
análisis económico, las unidades financieras (dólares u otra moneda) generalmente
sirven de base tangible para realizar la evaluación. Por consiguiente, cuando exis-
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No hacer algo
Cap.
5
12
CAPÍTULO 1
Análisis después
de impuestos
Cap.
17
Fundamentos de ingeniería económica
ten diversas formas de conseguir un objetivo establecido, se elegirá la alternativa
con el costo global menor o la utilidad neta global mayor.
Un análisis después de impuestos se lleva a cabo durante el proyecto de evaluación, por lo general con efectos significativos sólo sobre la depreciación de activos
y los impuestos sobre la renta que se consideren. Los impuestos establecidos por
los gobiernos locales, estatales, federales e internacionales normalmente adquieren
la forma de un impuesto sobre la renta por ingresos, un impuesto al valor agregado
(IVA), impuestos de importación, impuestos sobre la venta, impuestos prediales y
otros. Los impuestos influyen sobre las estimaciones de los flujos de efectivo de las
alternativas; tienden a mejorar las estimaciones del flujo de efectivo en cuanto a
costos, ahorros en gastos y depreciación de activos, y al mismo tiempo reducen las
estimaciones del flujo de efectivo del ingreso y de la utilidad neta después de impuestos. Pospondremos los detalles del análisis después de impuestos hasta que se
hayan estudiado las herramientas y técnicas fundamentales de la ingeniería económica. Hasta entonces, consideraremos que todas las alternativas tienen el mismo
impuesto gravado por las leyes tributarias en vigor. (Si es necesario estudiar antes
los efectos de los impuestos, se recomienda revisar los capítulos 16 y 17 después
de los capítulos 6, 8 u 11.)
Ahora volvamos a algunos fundamentos de la ingeniería económica que se aplican en la práctica diaria de la ingeniería, así como en la toma individual de decisiones.
1.4 TASA DE INTERÉS Y TASA DE RENDIMIENTO
Tasa de interés
de un préstamo
El interés es la manifestación del valor del dinero en el tiempo. Desde una perspectiva de cálculo, el interés es la diferencia entre una cantidad final de dinero y la
cantidad original. Si la diferencia es nula o negativa, no hay interés. Existen dos
variantes del interés: el interés pagado y el interés ganado. El interés se paga cuando una persona u organización pide dinero prestado (obtiene un préstamo) y paga
una cantidad mayor. El interés se gana cuando una persona u organización ahorra,
invierte o presta dinero y recibe una cantidad mayor. En seguida se muestra que los
cálculos y los valores numéricos para ambas variantes son, en esencia, los mismos,
aunque las interpretaciones difieren.
El interés que se paga por fondos que se piden prestados (préstamo) se determina mediante la relación
Interés = cantidad que se debe ahora – cantidad original
Prestatario
Banco
[1.1]
Cuando el interés pagado con respecto a una unidad de tiempo específica se expresa
como porcentaje de la suma original (principal), el resultado recibe el nombre de
tasa de interés.
Tasa de interés (%) =
interés acumulado por unidad de tiempo ×
100% [1.2]
suma original
La unidad de tiempo de la tasa recibe el nombre de periodo de interés. Por ahora, el
periodo de interés más comúnmente utilizado para fijar una tasa de interés es de
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SECCIÓN 1.4
Tasa de interés y tasa de rendimiento
un año. Es posible considerar periodos de tiempo más cortos, como 1% mensual.
Por lo tanto, siempre debería incluirse el periodo de interés de la tasa de interés. Si
tan sólo se fija la tasa, por ejemplo, 8.5%, se dará por supuesto un periodo de interés
de un año.
EJEMPLO
1.3
Un empleado de LaserKinetics.com solicita un préstamo de $10 000 el 1 de mayo y debe
pagar un total de $10 700 exactamente un año después. Determine el interés y la tasa de
interés pagada.
Solución
Aquí el problema se analiza desde la perspectiva del prestatario en virtud de que los $10 700
pagan un préstamo. Aplique la ecuación [1.1] para calcular el interés pagado.
Interés = $10 700 – $10 000 = $700
La ecuación [1.2] nos permite establecer la tasa de interés pagada durante un año.
Tasa porcentual de interés =
EJEMPLO
$700
× 100% = 7% anual
$10 000
1.4
Stereophonics, Inc., tiene planes de solicitar un préstamo bancario de $20 000 durante un
año al 9% de interés para adquirir un equipo nuevo de grabación. a) Calcule el interés y la
cantidad total debida después de un año. b) Construya una gráfica de barras que muestre
las cantidades original y total debida después de un año, utilizadas para calcular la tasa de
interés del préstamo del 9% anual.
Solución
a) Calcule el interés total causado resolviendo la ecuación [1.2] para el interés causado.
Interés = $20 000(0.09) = $1 800
La cantidad total a pagar es la suma del principal y el interés.
Total a pagar = $20 000 + $1 800 = $21 800
b)
La figura 1.2 muestra los valores utilizados en la ecuación [1.2]: interés de $1 800,
principal original del préstamo de $20 000, y periodo de interés de un año.
Comentario
Observe que en el inciso a), la cantidad total a pagar también se calcula de la siguiente
manera:
Adeudo total = principal(1 + tasa de interés) = $20 000(1.09) = $21 800
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13
14
CAPÍTULO 1
Fundamentos de ingeniería económica
$
$21 800
Interés = $1 800
$20 000
Cantidad
original del
préstamo
Tasa de interés
$1 800
100%
$20 000
= 9% anual
Ahora
1 año
después
El periodo
de interés
es un año
Figura 1.2
Valores utilizados para calcular la tasa de interés del 9% anual (ejemplo 1.4).
Este método se usará posteriormente para determinar las cantidades futuras para periodos
de tiempo mayores dentro de un periodo de interés.
Tasa de rendimiento
de la inversión
Desde la perspectiva de un ahorrador, un prestamista, o un inversionista, el
interés ganado es la cantidad final menos la cantidad inicial, o principal.
Interés generado = cantidad total actual – cantidad original
[1.3]
El interés generado durante un periodo específico de tiempo se expresa como porcentaje de la cantidad original y se denomina tasa de rendimiento (TR).
Ahorrador
Banco
Tasa de rendimiento
Caps.
7y8
interés acumulado
por unidad de tiempo
Tasa de rendimiento (%) =
× 100%
cantidad original
[1.4]
La unidad de tiempo para la tasa de retorno recibe el nombre de periodo de interés,
el mismo nombre que cuando se ve desde la perspectiva del prestatario. De nueva
cuenta, el periodo más común es de un año.
En diversas industrias y escenarios, el término rendimiento sobre la inversión
(RSI) se emplea como sinónimo de TR, en particular cuando se asignan grandes
fondos de capital a programas orientados a la ingeniería.
Aunque los valores numéricos de las ecuaciones [1.2] y [1.4] son los mismos,
el término tasa de interés pagada es más adecuado para la perspectiva del prestatario, y tasa de retorno ganada es mejor desde la perspectiva del inversionista.
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SECCIÓN 1.4
EJEMPLO
a)
b)
15
Tasa de interés y tasa de rendimiento
1.5
Calcule la cantidad depositada hace un año si ahora se tienen $1 000 a una tasa de
interés del 5% anual.
Determine la cantidad por intereses ganados durante este periodo.
Solución
a) La cantidad total acumulada es la suma del depósito original y del interés ganado. Si
X es el depósito original,
Total acumulado = original + original (tasa de interés)
$1 000 = X + X(0.05) = X(1 + 0.05) = 1.05X
El depósito original es
X=
b)
1 000
= $952.38
1.05
Aplique la ecuación [1.3] para determinar el interés ganado.
Interés = $1 000 – 952.38 = $47.62
En los ejemplos 1.3 a 1.5 el periodo de interés era de un año, y los intereses se
calcularon al final de un periodo. Cuando se considera más de un periodo de interés
(por ejemplo, si quisiéramos calcular los intereses que se pagarán después de 3 años
en el ejemplo 1.4), es necesario definir si la naturaleza de la acumulación de los
intereses de un periodo al siguiente es simple o compuesta.
Una consideración económica adicional para cualquier estudio de ingeniería
económica es la inflación. Hay varios comentarios imprescindibles en esta etapa
inicial sobre los fundamentos de la inflación: en primer lugar, ésta representa una
disminución del valor de una moneda determinada. Es decir, $1 de hoy no comprará
el mismo número de manzanas (o de otras cosas) que $1 de hace 20 años. El cambio
en el valor de la moneda afecta las tasas de interés del mercado. En palabras sencillas,
las tasas de interés bancario reflejan dos cosas: la llamada tasa real de rendimiento
más la tasa de inflación esperada. La tasa real de rendimiento posibilita que el
inversionista compre más de lo que hubiera podido comprar antes de invertir. Es común
que las inversiones más seguras (tales como los bonos del gobierno de los Estados
Unidos) tengan un 3 o un 4% de tasa real de rendimiento incluida en sus tasas
conjuntas de interés. Entonces, una tasa de interés de, digamos, 9% anual de un
bono del gobierno de los Estados Unidos significa que los inversionistas esperan
que la tasa de inflación esté dentro de un rango de entre 5 y 6% anual. Así, queda
claro que la inflación ocasiona que las tasas de interés se eleven.
Desde el punto de vista de quien recibe un préstamo, la tasa de inflación tan
sólo es otra tasa implícita en la tasa real de interés. Por otra parte, desde el punto de
vista del ahorrador o inversionista en una cuenta de interés fijo, la inflación reduce
la tasa real de rendimiento sobre la inversión. La inflación significa que el costo y
la ganancia estimados de un flujo de efectivo aumentan con el tiempo. Este
incremento se debe al valor cambiante del dinero que la inflación fuerza en la moneda
de un país, lo que hace que el poder adquisitivo de una unidad monetaria (un dólar,
por ejemplo) sea menor respecto a su valor en una época anterior. El efecto de la
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Tasas de interés
Secc. 1.6
Cap.
4
Inflación
Cap.
14
16
CAPÍTULO 1
Fundamentos de ingeniería económica
inflación se observa en que la moneda compra menos hoy que antes. La inflación
contribuye a que ocurra lo siguiente:
•
•
•
•
•
La reducción del poder de compra.
El incremento en el IPC (índice de precios al consumidor).
El incremento en el costo del equipo y su mantenimiento.
El incremento en el costo de los profesionales asalariados y empleados contratados por horas.
La reducción en la tasa de retorno real sobre los ahorros personales y las inversiones corporativas.
En otras palabras, la inflación puede contribuir materialmente a modificar el análisis económico individual y empresarial.
Por lo general, los estudios de ingeniería económica suponen que la inflación
afecta por igual a todos los valores estimados. De acuerdo con esta postura, una tasa
de interés o una tasa de retorno del 8% anual se aplicaría a lo largo del análisis sin
tomar en cuenta una tasa de inflación adicional. No obstante, si la inflación se
tomara en cuenta de manera explícita, y si ésta estuviera reduciendo el valor del
dinero en un promedio de, por ejemplo, 4% anual, sería necesario llevar a cabo el
análisis económico aplicando una tasa de interés total del 12.32% anual. (Las relaciones importantes se deducen en el capítulo 14.) Por otra parte, si la TR establecida
sobre una inversión es 8% con la inflación incluida, la misma tasa de inflación de
4% anual daría como resultado una tasa de retorno real de sólo el 3.85% anual.
1.5 EQUIVALENCIA
Los términos equivalentes se utilizan muy a menudo para pasar de una escala a otra.
Algunas equivalencias comunes o conversiones son las siguientes:
Longitud: 100 centímetros = 1 metro
1 000 metros = 1 kilómetro
12 pulgadas = 1 pie
3 pies = 1 yarda
39.370 pulgadas = 1 metro
Presión: 1 atmósfera = 1 newton/metro2
1 atmósfera = 103 pascales = 1 kilopascal
Muchas medidas equivalentes son una combinación de dos o más escalas. Por ejemplo,
110 kilómetros por hora (kph) equivalen a 68 millas por hora (mph), o a 1.133
millas por minuto, con base en que 1 milla = 1.6093 kilómetros y en que 1 hora = 60
minutos. Puede concluirse, además, que conducir a 68 mph durante dos horas
equivale a viajar aproximadamente un total de 220 kilómetros o 136 millas. Se
combinaron tres escalas —el tiempo expresado en horas, la distancia en millas y
también en kilómetros— para elaborar enunciados equivalentes. Un uso adicional
de estas equivalencias consiste en calcular el tiempo en horas de manejo entre dos
ciudades por medio del empleo de dos mapas, uno que indique la distancia en millas
y otro que la exprese en kilómetros. Obsérvese que durante estos análisis se usó la
relación fundamental de que 1 milla = 1.6093 kilómetros. Si esta relación cambiara,
entonces las demás equivalencias serían erróneas.
Cuando se consideran juntos, el valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés permiten formular el concepto de equivalencia económica, que implica que dos
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SECCIÓN 1.5
Tasa de interés de 6% anual
$94.34
$5.66
$6.00
$100.00
$6.00
$106.00
Hace un año
Ahora
Un año
después
sumas diferentes de dinero en diferentes tiempos tienen el mismo valor económico.
Por ejemplo, si la tasa de interés es de 6% anual, $100 hoy (tiempo presente) equivalen a $106 un año después.
Cantidad acumulada = 100 + 100(0.06) = 100(1 + 0.06) = $106
Así, si un amigo nos ofreciera un regalo con un valor de $100 el día de hoy o uno
de $106 un año después, no habría diferencia entre una oferta y otra. En cualquier
caso tendríamos $106 después de un año. Sin embargo, las dos sumas de dinero
son equivalentes entre sí cuando la tasa de interés es de 6% anual. Si la tasa de
interés fuera superior o inferior, $100 el día de hoy no equivaldrían a $106 un año
después.
Además de la equivalencia futura, se puede aplicar la misma lógica para calcular la equivalencia para años anteriores. Un total de $100 ahora equivale a $100/
1.06 = $94.34 hace un año a una tasa de interés de 6% anual. De estos ejemplos se
afirma lo siguiente: $94.34 el año pasado, $100 ahora y $106 un año después son
equivalentes a una tasa de interés de 6% anual. La equivalencia de estas cantidades
se verifica calculando las dos tasas de interés para periodos de interés de un año.
$6
× 100% = 6% anual
$100
y
$5.66
× 100% = 6% anual
$94.34
La figura 1.3 indica la cantidad de intereses necesaria cada año para que estas tres
diferentes sumas sean equivalentes al 6% anual.
EJEMPLO
1.6
AC-Delco fabrica baterías automotrices para los concesionarios de General Motors a través de distribuidores particulares. En general, las baterías se almacenan un año, y se agrega un 5% anual al costo para cubrir el cargo del manejo de inventario para el dueño del
contrato de distribución. Supongamos que usted es dueño de las instalaciones de Delco
ubicadas en el centro de la ciudad. Realice los cálculos necesarios con una tasa de interés
de 5% anual para demostrar cuáles de las siguientes declaraciones, referentes a los costos
de las baterías, son verdaderas o falsas.
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17
Equivalencia
Figura 1.3
Equivalencia de tres
cantidades a una tasa de
interés de 6% anual.
18
CAPÍTULO 1
a)
b)
c)
d)
e)
Fundamentos de ingeniería económica
La cantidad de $98 hoy equivale a un costo de $105.60 un año después.
El costo de $200 de una batería para camión hace un año equivale a $205 ahora.
Un costo de $38 ahora equivale a $39.90 un año después.
Un costo de $3 000 ahora es equivalente a $2 887.14 hace un año.
El cargo por manejo de inventario acumulado en un año sobre una inversión en baterías con un valor de $2 000 es de $100.
Solución
a) Suma total acumulada = 98(1.05) = $102.90 ≠ $105.60; por lo tanto, la declaración
es falsa. Otra forma de resolver este problema es la siguiente: el costo original es de
105.60/1.05 = $100.57 ≠ $98.
b) El costo anterior es de 205.00/1.05 = $195.24 ≠ $200; por lo tanto, es falsa.
c) El costo dentro de 1 año será de $38(1.05) = $39.90; verdadera.
d) El costo actual es de 2 887.14(1.05) = $3 031.50 ≠ $3 000; falsa.
e) El cargo es de 5% de interés anual, o 2 000(0.05) = $100; verdadera.
1.6 INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO
Secc. 1.4
Interés
Los términos interés, periodo de interés y tasa de interés (sección 1.4) son útiles en
el cálculo de sumas de dinero equivalentes para un periodo de interés en el pasado
y un periodo de interés en el futuro. Sin embargo, para más de un periodo de interés,
los términos interés simple e interés compuesto se tornan importantes.
El interés simple se calcula utilizando exclusivamente el principal e ignorando
cualquier interés generado en los periodos de interés precedentes. El interés simple
total durante varios periodos se calcula de la siguiente manera:
Interés = (principal)(número de periodos)(tasa de interés)
Ejemplo 1.18
[1.5]
donde la tasa de interés se expresa en forma decimal.
EJEMPLO
1.7
Pacific Telephone Credit Union otorgó un préstamo a un miembro del personal de ingeniería para que éste adquiriera un avión a escala dirigido por un radio controlador. El
préstamo asciende a $1 000 por tres años con un interés simple de 5% anual. ¿Cuánto
debe pagar el ingeniero al final de los tres años? Tabule los resultados.
Solución
El interés para cada uno de los tres años es:
Interés anual = 1 000(0.05) = $50
El interés total de los tres años de acuerdo con la ecuación [1.5] es:
Interés total = 1 000(3)(0.05) = $150
El monto adeudado después de tres años es:
Adeudo total = $1 000 + 150 = $1 150
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SECCIÓN 1.6
Interés simple y compuesto
El interés acumulado de $50 en el primer año y el interés acumulado de $50 en el
segundo año no generan intereses. El interés que se adeuda cada año se calcula exclusivamente sobre el principal de $1 000.
Los detalles de los pagos del préstamo se tabulan en la tabla 1.1 desde el punto de
vista del prestatario. El tiempo cero representa el presente, es decir, cuando se otorga el
préstamo. No se hacen pagos sino hasta que concluya el tercer año. El monto que se
adeuda cada año se incrementa uniformemente $50, en virtud de que el interés simple
se calcula sólo sobre el principal del préstamo.
TABLA
1.1
(1)
Cálculos de interés simple
(3)
(4)
(5)
Final
del año
(2)
Cantidad
obtenida
en préstamo
Interés
Adeudo
Suma
pagada
0
1
2
3
$1 000
—
—
—
$50
50
50
$1 050
1 100
1 150
$
0
0
1 150
En el caso del interés compuesto, el interés generado durante cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos
los periodos anteriores. Así, el interés compuesto es un interés sobre el interés.
También refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo sobre el interés. El interés para un periodo ahora se calcula de la siguiente manera:
Interés = (principal + todos los intereses acumulados)(tasa de interés) [1.6]
EJEMPLO
1.8
Un ingeniero solicita a la cooperativa de crédito de la empresa un préstamo de $1 000 con
un interés anual compuesto de 5%. Calcule el adeudo total después de tres años. Elabore
una gráfica y compare los resultados de este ejemplo y del anterior.
Solución
El interés y el adeudo total de cada año se calcula por separado mediante la ecuación [1.6].
Interés del primer año:
Adeudo total después del primer año:
Interés del segundo año:
Adeudo total después del segundo año:
Interés del tercer año:
Adeudo total después del tercer año:
$1 000(0.05) = $50.00
$1 000 + 50.00 = $1 050.00
$1 050(0.05) = $52.50
$1 050 + 52.50 = $1 102.50
$1 102.50(0.05) = $55.13
$1 102.50 + 55.13 = $1 157.63
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19
CAPÍTULO 1
TABLA
Fundamentos de ingeniería económica
1.2 Cálculos del interés compuesto (ejemplo 1.8)
(1)
(3)
(4)
(5)
Final
del año
(2)
Cantidad
obtenida
en préstamo
Interés
Adeudo
Suma
pagada
0
1
2
3
$1 000
—
—
—
$50.00
52.50
55.13
$1 050.00
1 102.50
1 157.63
$
0
0
1 157.63
$50
$1 150
S C
S C
S C
S C
1
2
Final del año
S – Interés
simple
C – Interés
compuesto
$55.13
S C
$50
$52.50
$1 100
$1 102.50
S C
$50
$50
Adeudo total, $
$1 050
$1 050
$1 157.63
Los detalles aparecen en la tabla 1.2. El plan de pagos es el mismo que el del ejemplo del
interés simple: el pago único es el principal más los intereses acumulados al final de los
tres años.
La figura 1.4 muestra el adeudo al final de cada uno de los tres años. En el caso del
interés compuesto, se reconoce la diferencia debida al valor del dinero en el tiempo. Aquí
se paga un interés adicional de $1 157.63 – $1 150 = $7.63 en comparación con el interés
simple durante el periodo de 3 años.
Interés por año, $
20
3
Figura 1.4
Comparación de los cálculos del interés simple y el interés compuesto (ejemplos 1.7 y 1.8).
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SECCIÓN 1.6
Interés simple y compuesto
Comentario
La diferencia entre el interés simple y el compuesto se incrementa cada año. Si se continúan haciendo cálculos para más años, 10, por ejemplo, la diferencia es de $128.90; después de 20 años el interés compuesto es de $653.30 más que el interés simple.
Si $7.63 no parece una diferencia significativa en sólo 3 años, recordemos que la
cantidad inicial es $1 000. Si estos mismos cálculos se hacen para una cantidad inicial de
$100 000 o $1 000 000, hay que multiplicar la diferencia por 100 o por 1 000, y se tendrá
dinero real. Esto indica que el poder del cálculo del interés compuesto es de vital importancia en todos los análisis de tipo económico.
Otra forma más breve de calcular el adeudo total después de 3 años en el ejemplo 1.8 consiste en combinar los cálculos en lugar de llevarlos a cabo año por año.
El adeudo total por año es el siguiente:
Año 1:
Año 2:
Año 3:
$1 000(1.05)1 = $1 050.00
$1 000(1.05)2 = $1 102.50
$1 000(1.05)3 = $1 157.63
El total del año 3 se calcula directamente; no se requiere del total del año 2. Expresado de una manera general, el cálculo tendría la siguiente forma:
Adeudo total después de cierta cantidad de años =
principal(1 + tasa de interés)número de años
Esta relación fundamental se utilizará repetidas veces en los capítulos posteriores.
Para demostrar que los diferentes planes de pago de préstamos pueden ser equivalentes, aunque difieran sustancialmente en cuanto a monto de un año a otro, se
combinan los conceptos de tasa de interés, interés simple, interés compuesto y equivalencia. Esto también muestra que existen varias formas de tomar en cuenta el
valor del dinero en el tiempo. El siguiente ejemplo ilustra la idea de equivalencia en
sí con diferentes planes de pago del préstamo.
EJEMPLO
a)
1.9
Demuestre el concepto de equivalencia con los diferentes planes de pago de préstamos descritos en seguida. En cada plan se reembolsa un préstamo de $5 000 en 5
años al 8% de interés anual.
•
Plan 1: Interés simple; pago del total al final. No hay pago de intereses ni del
principal hasta el final del año 5. Los intereses se generan cada año exclusivamente sobre el principal.
• Plan 2: Interés compuesto; pago del total al final. No hay pago de intereses ni
del principal hasta el final del año 5. Los intereses se generan cada año sobre el
total del principal y todos los intereses acumulados.
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21
22
CAPÍTULO 1
Fundamentos de ingeniería económica
• Plan 3: Pago anual del interés simple; reembolso del principal al final. Los
intereses acumulados se pagan cada año y todo el principal se reembolsa al final
del año 5.
• Plan 4: Pago anual del interés compuesto y de parte del principal. Los intereses generados y una quinta parte del principal ($1 000) se reembolsa cada año. El
saldo vigente del préstamo se reduce cada año, de manera que el interés de cada
año disminuye.
• Plan 5: Pagos anuales iguales del interés compuesto y del principal. Se hacen
pagos iguales cada año; una parte se destina al reembolso del principal y el resto
cubre los intereses generados. Como el saldo del préstamo disminuye a un ritmo
menor que en el plan 4, como consecuencia de los pagos iguales de fin de año, el
interés disminuye, aunque a un ritmo más lento.
b)
Hacer algún comentario sobre la equivalencia de cada plan al 8% de interés simple o
compuesto, según convenga.
Solución
a) La tabla 1.3 muestra el interés, la cantidad del pago, el adeudo total al final de cada
año y el monto total pagado durante el periodo de cinco años (totales de la columna 4).
TABLA
1.3
(1)
Final
del año
Diferentes planes de pago de $5 000 durante 5 años
con un interés anual del 8%
(2)
Interés
a pagar
por el año
(3)
Adeudo
total al
final del año
(4)
Pago de
fin de año
Plan 1: Interés simple; pago total al final
0
1
$400.00
$5 400.00
2
400.00
5 800.00
3
400.00
6 200.00
4
400.00
6 600.00
5
400.00
7 000.00
Totales
—
—
—
—
$7 000.00
$7 000.00
Plan 2: Interés compuesto; pago del total al final
0
1
$400.00
$5 400.00
2
432.00
5 832.00
3
466.56
6 298.56
4
503.88
6 802.44
5
544.20
7 346.64
Totales
—
—
—
—
$7 346.64
$7 346.64
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(5)
Adeudo
total después
del pago
$5 000.00
5 400.00
5 800.00
6 200.00
6 600.00
$5 000.00
5 400.00
5 832.00
6 298.56
6 802.44
SECCIÓN 1.6
TABLA
1.3
(1)
Final
del año
23
Interés simple y compuesto
(Continuación)
(2)
Interés
a pagar
por el año
(3)
Adeudo
total al
final del año
(4)
Pago de
fin de año
(5)
Adeudo
total después
del pago
Plan 3: Pago anual del interés simple; reembolso del principal al final
0
1
$400.00
$5 400.00
$400.00
2
400.00
5 400.00
400.00
3
400.00
5 400.00
400.00
4
400.00
5 400.00
400.00
5
400.00
5 400.00
5 400.00
Totales
$7 000.00
Plan 4: Pago anual del interés compuesto y de parte del principal
0
1
$400.00
$5 400.00
$1 400.00
2
320.00
4 320.00
1 320.00
3
240.00
3 240.00
1 240.00
4
160.00
2 160.00
1 160.00
5
80.00
1 080.00
1 080.00
Totales
$6 200.00
Plan 5: Pagos anuales iguales del interés compuesto y del principal
0
1
$400.00
$5 400.00
$1 252.28
2
331.82
4 479.54
1 252.28
3
258.18
3 485.43
1 252.28
4
178.65
2 411.80
1 252.28
5
92.76
1 252.28
1 252.28
Totales
$6 261.41
$5 000.00
5 000.00
5 000.00
5 000.00
5 000.00
$5 000.00
4 000.00
3 000.00
2 000.00
1 000.00
$5 000.00
4 147.72
3 227.25
2 233.15
1 159.52
Los intereses (columna 2) se determinan de la siguiente manera:
Plan 1
Plan 2
Plan 3
Plan 4
Plan 5
Interés simple = (principal original)(0.08)
Interés compuesto = (adeudo total del año anterior)(0.08)
Interés simple = (principal original)(0.08)
Interés compuesto = (adeudo total del año anterior)(0.08)
Interés compuesto = (adeudo total del año anterior)(0.08)
Observe que los montos de los pagos anuales son diferentes en cada esquema de reembolso y que los pagos totales en la mayoría de los planes son diferentes; aunque cada plan de
reembolso requiere exactamente 5 años. La diferencia en los pagos totales puede explicarse 1. por el valor del dinero en el tiempo, 2. por el interés simple o compuesto, y 3. por el
reembolso parcial del principal antes del año 5.
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Pagos iguales
Secc. 2.2
24
CAPÍTULO 1
b)
Fundamentos de ingeniería económica
La tabla 1.3 muestra que los $5 000 en el tiempo cero equivalen a cada una de las
siguientes cantidades:
Plan 1
Plan 2
Plan 3
Plan 4
Plan 5
$7 000 al final del año 5 al 8% de interés simple.
$7 346.64 al final del año 5 al 8% de interés compuesto.
$4 000 anuales durante 4 años y $5 400 al final del año 5 al 8% de interés
simple.
Pagos decrecientes del interés y parciales del principal en los años 1 ($1 400)
a 5 ($1 080) al 8% de interés compuesto.
$1 252.28 anuales por 5 años al 8% de interés compuesto.
Un estudio de ingeniería económica emplea el plan 5, el interés es compuesto y la cantidad que se paga es constante en cada periodo. Esta cantidad cubre el interés generado y un
monto parcial del reembolso del principal.
1.7 TERMINOLOGÍA Y SÍMBOLOS
Las ecuaciones y procedimientos de la ingeniería económica emplean los siguientes términos y símbolos. Incluyen unidades de muestra.
P = valor o cantidad de dinero en un momento denotado como presente o tiempo 0. También P recibe el nombre de valor presente (VP), valor presente
neto (VPN), flujo de efectivo descontado (FED) y costo capitalizado (CC);
unidades monetarias
F = valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro. F también recibe el nombre
de valor futuro (VF); unidades monetarias
A = serie de cantidades de dinero consecutivas, iguales y del final del periodo.
A también se denomina valor anual (VA) y valor anual uniforme equivalente (VAUE); unidades monetarias por año, unidades monetarias por mes
n = número de periodos de interés; años, meses, días
i = tasa de interés o tasa de retorno por periodo; porcentaje anual, porcentaje
mensual; por ciento diario
t = tiempo expresado en periodos; años, meses, días
Los símbolos P y F indican valores que se presentan una sola vez en el tiempo: A
tiene el mismo valor una vez en cada periodo de interés durante un número específico de periodos. Debe quedar claro que el valor presente P representa una sola
suma de dinero en algún momento anterior a un valor futuro F, o antes de que se
presente por primera vez un monto equivalente de la serie A.
Es importante notar que el símbolo A siempre representa una cantidad uniforme (es decir, la misma cantidad cada periodo), la cual se extiende a través de periodos de interés consecutivos. Ambas condiciones deben darse antes de que la serie
pueda quedar representada por A.
Se da por supuesto que la tasa de interés i corresponde a una tasa de interés
compuesto, a menos que específicamente se indique que se trata de una tasa de
interés simple. La tasa i se expresa como porcentaje por periodo de interés; por
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SECCIÓN 1.7
Terminología y símbolos
ejemplo, 12% anual. A menos que se indique lo contrario, se supondrá que la tasa se
aplica durante los n años o periodos de interés. En los cálculos que se realizan en
ingeniería económica siempre se utiliza el equivalente decimal de i.
Todos los problemas de la ingeniería económica incluyen el elemento de tiempo t.
De los cinco restantes (P, F, A, n, i), cada problema incluirá por lo menos cuatro
símbolos, P, F, A, n e i, cuando menos tres de los cuales están estimados o se conocen.
EJEMPLO
1.10
Una recién graduada de la universidad trabaja en Boeing Aerospace. Tiene planes de solicitar un préstamo de $10 000 ahora para adquirir un automóvil. Decide que reembolsará
todo el principal más 8% de intereses anuales después de 5 años. Identifique los símbolos
de ingeniería económica necesarios para resolver el problema, así como los valores que
tienen para el adeudo total después de 5 años.
Solución
En este caso, están involucradas P y F, ya que todas las cantidades son pagos únicos, así
como i y n. El tiempo está expresado en años.
P = $10 000
i = 8% anual
n = 5 años
F=?
Se desconoce la cantidad futura F.
EJEMPLO
1.11
Suponga que obtiene un préstamo de $2 000 ahora al 7% anual durante 10 años, y debe
reembolsarlo en pagos anuales iguales. Determine los símbolos que se requieren para
resolver el problema y sus valores.
Solución
El tiempo se expresa en años.
P
A
i
n
= $2 000
= ? anuales durante 5 años
= 7% anual
= 10 años
En los ejemplos 1.10 y 1.11, el valor P es una entrada para el prestatario, y F o
A representan un desembolso para él. También es correcto invertir la función de
estos símbolos.
EJEMPLO
1.12
El 1 de julio de 2002, su nuevo empleador, Ford Motor Company, deposita $5 000 en su
cuenta bancaria como parte de su bono de empleo. La cuenta paga un interés del 5%
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25
26
CAPÍTULO 1
Fundamentos de ingeniería económica
anual. Usted espera retirar una cantidad anual igual durante los siguientes 10 años. Identifique los símbolos y sus valores.
Solución
El tiempo se expresa en años.
P = $5 000
A = ? anuales
i = 5% anual
n = 10 años
EJEMPLO
1.13
Usted planea hacer un depósito único de $5 000 ahora en una cuenta de inversión que
paga el 6% anual, y desea retirar una cantidad igual de $1 000 a fin de año durante 5 años,
comenzando el siguiente año. Al final del sexto año, usted piensa cerrar la cuenta retirando el saldo. Defina los símbolos de ingeniería económica que implica el problema.
Solución
El tiempo se expresa en años.
P
A
F
i
n
EJEMPLO
= $5 000
= $1 000 anuales durante 5 años
= ? al final del año 6
= 6% anual
= 5 años para la serie A y 6 para el valor F
1.14
El año pasado la abuela de Jane ofreció depositar suficiente dinero en una cuenta de ahorros que generará $1 000 este año para ayudar a Jane con los gastos de la universidad. a)
Identifique los símbolos, y b) calcule la cantidad que se depositó hace exactamente un año
para ganar $1 000 de intereses ahora, si la tasa de retorno es de 6% anual.
Solución
a) El tiempo se expresa en años.
P
i
n
F
b)
=?
= 6% anual
= 1 año
= P + interés
= ? + $1 000
Remitiéndose a las ecuaciones [1.3] y [1.4], sea F = monto total hoy y P = cantidad
original. Sabemos que F – P = $1 000 es el interés acumulado. Ahora se determina P
para Jane y su abuela.
F = P + P(tasa de interés)
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SECCIÓN 1.8
Introducción a las soluciones por computadora
Los $1 000 de interés pueden expresarse de la siguiente manera:
Interés = F – P = [P + P(tasa de interés)] – P
= P(tasa de interés)
$1 000 = P(0.06)
1 000
P=
= $16 666.67
0.06
1.8
INTRODUCCIÓN A LAS SOLUCIONES
POR COMPUTADORA
Las funciones en una hoja de cálculo de computadora llegan a reducir considerablemente el trabajo a mano o por calculadora de los cálculos equivalentes del interés
compuesto y los términos P, F, A, i y n. El poder de la hoja de cálculo electrónica a
menudo permite introducir una función predefinida de la hoja de cálculo en una
celda y obtener de inmediato la respuesta final. Se puede utilizar cualquier sistema
de hoja de cálculo: uno disponible, como Microsoft Excel©, o cualquier sistema
diseñado especialmente con funciones y operadores financieros incorporados. A lo
largo de esta obra utilizaremos Excel por su disponibilidad y facilidad de uso.
El apéndice A constituye un sencillo manual sobre el empleo de hojas de cálculo y Excel, donde las funciones que se utilizan en la ingeniería económica se describen detalladamente, con explicaciones de todos los parámetros (denominados argumentos) ubicados entre paréntesis después del identificador de función. La función
de ayuda en línea de Excel proporciona información similar. El apéndice A también
incluye una sección sobre composición de hojas de cálculo, que resulta útil cuando
se presenta un informe de análisis económico a alguien: un compañero de trabajo,
un jefe o un profesor.
Un total de seis funciones de Excel pueden llevar a cabo la mayoría de los
cálculos básicos de la ingeniería económica. Sin embargo, tales funciones no eliminan la necesidad de conocer las funciones del valor del dinero en el tiempo y del
interés compuesto. Las funciones constituyen herramientas complementarias importantes; aunque no sustituyen el conocimiento de las relaciones, supuestos y técnicas de la ingeniería económica.
En conformidad con los símbolos P, F, A, i y n según se definieron en la sección
anterior, las funciones de Excel más utilizadas en un análisis de ingeniería económica se formulan de la siguiente manera:
Para
Para
Para
Para
Para
Para
Para
calcular el valor presente P: VP(i%,n,A,F)
calcular el valor futuro F: VF(i%,n,A,P)
calcular el valor periódico igual A: PMT(i%n,P,F)
calcular el número de periodos n: NPER(i%,A,P,F)
calcular la tasa de interés compuesto i: TASA(n,A,P,F)
calcular la tasa de interés compuesto i: TIR(primera_celda:última_celda)
calcular el valor presente P de cualquier serie: VPN(i%,
segunda_celda:última_celda) + primera_celda
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27
28
CAPÍTULO 1
Sol-R
Fundamentos de ingeniería económica
Si alguno de los parámetros no se relaciona con un problema específico, se le puede
omitir y se le supondrá un valor de cero. Si el parámetro omitido es uno anterior, se
debe introducir una coma. Las últimas dos funciones requieren que se introduzca
una serie de números en celdas contiguas de la hoja de cálculo; no obstante, las
primeras 5 se pueden emplear sin datos de apoyo. En todos los casos, la función
debe ir precedida por un signo de igual (=) en la celda donde aparecerá la respuesta.
Cada una de estas funciones se explicará y ejemplificará en la parte del texto
donde resulte más útil. Sin embargo, para obtener una idea de la manera en que
funcionan, el lector puede remitirse a los ejemplos 1.10 y 1.11. En el ejemplo 1.10,
se desconoce el valor futuro F, como lo indica F = ? que aparece en la solución. En
el siguiente capítulo aprenderemos a utilizar el valor del dinero en el tiempo para
calcular F, dados P, i y n. Para determinar F en este ejemplo utilizando una hoja de
cálculo, tan sólo se introduce en cualquier celda la función VF precedida por un
signo de igual. El formato es el siguiente: VF(Tasa, nper,,va) o VF(8%,5,,10000).
La coma se introduce en virtud de que no hay valor para A. La figura 1.5a es una
imagen de pantalla de la hoja de cálculo de Excel en la función VF que se incorpora
a la celda B2. La respuesta de $–14,693.28 aparece en la pantalla. La respuesta está
en color rojo en la pantalla real de Excel para indicar una cantidad negativa desde la
perspectiva del prestatario, con la cual se reembolsará el préstamo después de 5
años. La función VF aparece en la barra de fórmulas en la parte superior de la hoja
de cálculo. Además, hemos añadido una etiqueta de celda para mostrar el formato
de la función VF.
En el ejemplo 1.11 se busca el valor del monto anual uniforme A y se conocen los
valores de P, i y n. Determine A utilizando la función PAGO(i%,n,P); en este caso,
PAGO(7%,10,2000). La figura 1.5b muestra el resultado en la celda C4. El formato
de la función VF aparece en la barra de fórmulas junto con la etiqueta de la celda.
Como estas funciones son rápidas y fáciles de usar, las veremos con detalle en
diversos ejemplos a lo largo del texto. Cuando sólo una función proporciona la
respuesta, aparece un icono especial con dos banderas: Sol-R (solución rápida). En
los capítulos iniciales del nivel 1 se muestran las funciones generales y específicas
de la hoja de cálculo. En los capítulos siguientes, el icono Sol-R aparece al margen
y se indica la función de la hoja de cálculo en la solución del ejemplo.
Cuando se utiliza el poder de la computadora para resolver problemas más
complejos que incluyen varias funciones y quizá un diagrama (gráfica) de Excel, al
margen aparece un icono con un relámpago con la leyenda Sol-E. Estas hojas de
cálculo son mucho más complejas y contienen más información y cálculos, en particular cuando se realiza un análisis de sensibilidad. La solución por computadora
para un ejemplo siempre aparece después de la solución a mano. Como se mencionó antes, la función de la hoja de cálculo no representa un sustituto de la comprensión y aplicación adecuadas de las relaciones de la ingeniería económica. Por lo
tanto, las soluciones a mano y por computadora se complementan entre sí.
1.9 TASA MÍNIMA ATRACTIVA DE RENDIMIENTO
Para que una inversión sea rentable, el inversionista (una corporación o individuo)
espera recibir una cantidad de dinero mayor de la que originalmente invirtió. En
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SECCIÓN 1.9
29
Tasa mínima atractiva de rendimiento
Figura 1.5
Funciones de la hoja de
cálculo de Excel para a)
el ejemplo 1.10 y b) el
ejemplo 1.11.
VF(8%,5,,10000)
a)
PAGO(7%,10,2000)
PAGO(7%,10,2000)
b)
otras palabras, debe ser posible obtener una tasa de retorno o rendimiento sobre la
inversión atractivos. En esta explicación se utilizará la definición de TR de la ecuación [2.4], es decir, la cantidad obtenida como ganancia dividida entre la cantidad
original.
En ingeniería, las alternativas se evalúan con base en un pronóstico de una TR
razonable. Por consiguiente, se debe establecer una tasa razonable para la fase de
elección de criterios en un estudio de ingeniería económica (figura 1.1). La tasa
razonable recibe el nombre de tasa mínima atractiva de retorno (TMAR) y es superior a la tasa que ofrece un banco o alguna inversión segura que implique un riesgo
mínimo. La figura 1.6 muestra las relaciones entre diferentes valores de la tasa de
retorno. En Estados Unidos, la tasa actual de los bonos del tesoro a veces se utiliza
como tasa segura de referencia.
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Seccs.
1.1 y 1.4
TMAR
Caps.
5a8
Cap.
10
30
Figura 1.6
Magnitud de la TMAR
con respecto a otros
valores de tasas de
rendimiento.
CAPÍTULO 1
Fundamentos de ingeniería económica
Tasa de rendimiento,
porcentaje
Tasa de rendimiento esperada
de una nueva propuesta
Rango para la tasa de rendimiento
en propuestas aceptadas, en
caso de que otras propuestas
fueran rechazadas por alguna
razón
Todas las propuestas
deben ofrecer al menos
la TMAR a fin de que
sean consideradas
TMAR
Tasa de rendimiento en una
“inversión segura”
La TMAR también recibe el nombre de tasa base para proyectos; es decir, que
para que se considere viable desde el punto de vista financiero, la TR esperada debe
ser igual o superior a la TMAR o tasa base. Observe que la TMAR no es una tasa
que se calcule como una TR. La TMAR es establecida por dirección (financiera) y
se utiliza como criterio para valorar la TR de una alternativa, en el momento de
tomar decisiones de aceptación o rechazo.
Para comprender fundamentalmente cómo se fija y aplica un valor para la
TMAR, debemos volver al término capital que se presentó en la sección 1.1. La
palabra capital también recibe el nombre de fondos de capital y de inversión de
capital. En general el obtener capital siempre cuesta dinero en la forma de interés.
El interés, establecido en la forma de tasa de porcentaje, recibe el nombre de costo
del capital. Por ejemplo, si usted desea comprar un nuevo equipo de sonido, pero
no cuenta con suficiente dinero (capital), podría obtener un préstamo de una sociedad de crédito con alguna tasa de interés, digamos, del 9% anual, y pagar en efectivo ahora al comerciante. O quizás utilice su recién adquirida tarjeta de crédito y
pagar el saldo mensualmente. Esta elección probablemente le costará por lo menos
18% anual. O bien, podría utilizar los fondos de su cuenta de ahorros, que obtiene
un rendimiento de 5% anual, y pagar en efectivo. Las tasas de 9, 18 y 5% constituyen
sus estimaciones del costo del capital para incrementar el capital y adquirir el sistema
por diferentes métodos de financiamiento. Asimismo, las corporaciones calculan el
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SECCIÓN 1.9
31
Tasa mínima atractiva de rendimiento
costo del capital proveniente de diferentes fuentes para obtener los fondos y llevar
a cabo proyectos de ingeniería y de otros tipos.
En general, el capital se obtiene de dos formas: por financiamiento de patrimonio y por financiamiento de deuda. Para la mayoría de los proyectos, se acostumbra
hacer una combinación de ambos. El capítulo 10 analiza este tema con detalle,
aunque aquí haremos una breve descripción de él.
Financiamiento de patrimonio. La corporación utiliza sus propios fondos de
efectivo a mano, ventas de existencias o utilidades acumuladas. Un individuo puede utilizar su propio efectivo, ahorros o inversiones. En el ejemplo
anterior, la utilización del dinero de la cuenta de ahorros con el 5% constituye un financiamiento de patrimonio.
Financiamiento de deuda. La corporación obtiene préstamos de fuentes externas y reembolsa el principal y los intereses de acuerdo con un programa
semejante al de los planes de la tabla 1.3. Las fuentes del capital que se
adeuda pueden ser bonos, préstamos, hipotecas, fondos comunes de capital
riesgoso y muchos más. Asimismo, los individuos pueden utilizar fuentes
de préstamos, tal como la tarjeta de crédito y las sociedades de crédito
descritas en el ejemplo del equipo de sonido.
De la combinación del financiamiento de deuda y el financiamiento de patrimonio
resulta un costo promedio ponderado del capital (CPPC). Si el equipo de sonido se
compra con 40% del dinero de la tarjeta de crédito al 18% anual, y el 60% de los
fondos de la cuenta de ahorros, que obtienen un crecimiento de 5% anual, el costo
promedio ponderado del capital es 0.4(18) + 0.6(5) = 10.2% anual.
Para una corporación, la TMAR establecida utilizada como criterio para aceptar o rechazar una alternativa siempre será superior al costo promedio ponderado
del capital con el que la corporación debe cargar para obtener los fondos de capital
necesarios. Por lo tanto, la desigualdad
TIR ≥ TMAR > costo del capital
[1.7]
debe satisfacerse para un proyecto aceptado. Algunas excepciones serían los requerimientos por la regulación gubernamental (seguridad, protección ambiental, legislación, etc.), empresas de alto riesgo y muy lucrativas, etc. Los proyectos de ingeniería de valor agregado por lo común cumplen la ecuación [1.7].
Es frecuente que haya muchas alternativas de las que se espera tengan una TIR
que exceda la TMAR, como se aprecia en la figura 1.6, pero podría no haber capital
suficiente para emprender todas, o quizá se estime que el riesgo del proyecto es
demasiado alto para efectuar la inversión. Por tanto, los proyectos nuevos que se
emprenden generalmente son aquellos que tienen al menos una tasa de rendimiento
esperada tan alta como la de otra alternativa a la que aún no se destinan fondos. Un
proyecto nuevo de este tipo sería como la propuesta con TIR representada por la
flecha superior. Por ejemplo, suponga que la TMAR = 12% y que no pueden asignarse
fondos para la propuesta 1 con TIR = 13% debido a la carencia de capital. Al mismo
tiempo, la propuesta 2 tiene una TIR = 14.5% y cuenta con fondos procedentes del
capital disponible. Como la propuesta 1 no se acepta debido a la falta de capital, su
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CPPC
Cap.
10
32
CAPÍTULO 1
Fundamentos de ingeniería económica
TIR estimada de 13% se conoce como el costo de oportunidad; es decir, se deja
pasar la oportunidad de obtener un rendimiento adicional de 13%.
1.10
Estimación de costos
Cap.
15
FLUJOS DE EFECTIVO: ESTIMACIÓN Y DIAGRAMACIÓN
En la sección 1.3 se describieron los flujos de efectivo como las entradas y salidas de
dinero. Estos flujos pueden ser estimaciones o valores observados. Cada individuo o
empresa cuenta con entradas de efectivo —rendimientos e ingresos (entradas)—; y
desembolsos de efectivo —gastos y costos (salidas)—. Estas entradas y desembolsos constituyen los flujos de efectivo; con un signo más representa las entradas de
efectivo y con un signo menos representa las salidas de efectivo. Los flujos de efectivo
ocurren durante periodos específicos, tales como un mes o un año.
De todos los elementos del enfoque de estudio de ingeniería económica (figura
1.1), la estimación de flujos de efectivo es probablemente la más difícil e inexacta.
Las estimaciones de flujos de efectivo son sólo eso: estimaciones relativas a un
futuro incierto. Una vez estimadas, las técnicas de este libro orientan en el proceso
de toma de decisiones. Sin embargo, la exactitud probada con el tiempo de la estimación de entradas y salidas de efectivo de una alternativa claramente determina la
calidad del análisis económico y su conclusión.
Las entradas de efectivo, o ingresos, pueden constar de los siguientes elementos, dependiendo de la naturaleza de la actividad propuesta y de la clase de negocio
que se emprenda.
Ejemplos de entradas de efectivo (estimación)
Ingresos (por lo general incrementales provenientes de una alternativa).
Reducciones en los costos de operación (atribuibles a una alternativa).
Valor de salvamento de activos.
Recepción del principal de un préstamo.
Ahorros en impuesto sobre la renta.
Ingresos provenientes de la venta de acciones y bonos.
Ahorros en costos de construcción e instalaciones.
Ahorros o rendimiento de los fondos de capital corporativo.
Las salidas de efectivo, o desembolsos, pueden estar constituidas por los siguientes
elementos, dependiendo, de nueva cuenta, de la naturaleza de la actividad y del tipo
de negocio.
Ejemplos de salidas de efectivo (estimación)
Costo de adquisición de activos.
Costos de diseño de ingeniería.
Costos de operación (anual e incremental).
Costos de mantenimiento periódico y de remodelación.
Pagos del interés y del principal de un préstamo.
Costo de actualización (esperados o no esperados).
Impuestos sobre la renta.
Gasto de fondos de capital corporativos.
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SECCIÓN 1.10
33
Flujos de efectivo: estimación y diagramación
La información necesaria para llevar a cabo las estimaciones puede estar disponible
en departamentos tales como contabilidad, finanzas, mercadotecnia, ventas, ingeniería, diseño, manufactura, producción, servicios de campo y servicios computacionales. La exactitud de las estimaciones depende en gran medida de la experiencia de la persona que realiza la estimación con situaciones similares. Generalmente
se efectúan estimaciones puntuales; es decir, que se obtiene la estimación de un valor único para cada elemento económico de una alternativa. Si se adopta un enfoque
estadístico para el estudio de la ingeniería económica, puede realizarse una estimación de rango o estimación de distribución. Aunque sus cálculos son más complicados, un estudio estadístico ofrece resultados más completos cuando se espera que las
estimaciones clave varíen ampliamente. En gran parte de este libro utilizaremos estimaciones puntuales. En los últimos capítulos estudiaremos la toma de decisiones
bajo riesgo.
Una vez que se llevan a cabo las estimaciones de entradas y salidas de efectivo,
es posible determinar el flujo de efectivo neto.
Flujo de efectivo neto = ingresos – desembolsos
= entradas de efectivo – salidas de efectivo
[1.8]
Puesto que los flujos de efectivo normalmente tienen lugar en puntos variables del
tiempo dentro de un periodo de interés, se adopta un supuesto que simplifica el
análisis.
La convención de final de periodo implica la suposición de que todos los
flujos de efectivo ocurren al final de un periodo de interés. Si varios ingresos y desembolsos se llevan a cabo dentro de un periodo de interés determinado, se da por supuesto que el flujo de efectivo neto ocurre al final del
periodo de interés.
Sin embargo, debe quedar claro que aunque las cantidades F o A por convención se
localizan al final del periodo de interés, el final del periodo no necesariamente es el
31 de diciembre. En el ejemplo 1.12, el depósito se hizo el 1 de julio de 2002, y los
retiros se harían el 1 de julio de cada uno de los siguientes 10 años. Así, fin de periodo significa fin del periodo de interés, no fin del año calendario.
El diagrama de flujo de efectivo constituye una herramienta muy importante en
un análisis económico, en particular cuando la serie del flujo de efectivo es compleja. Se trata de una representación gráfica de los flujos de efectivo trazados sobre
una escala de tiempo. El diagrama incluye los datos conocidos, los datos estimados
y la información que se necesita. Es decir, que una vez que el diagrama de flujo de
efectivo se encuentra completo, otra persona debería ser capaz de abordar el problema a partir del mismo.
El tiempo del diagrama de flujo t = 0 es el presente, y t = 1 es el final del
periodo 1. Por ahora, supondremos que los periodos se expresan en años. La escala
de tiempo de la figura 1.7 abarca 5 años. Ya que la convención de final de año ubica
los flujos de efectivo al final de cada año, el “1” indica el final del año 1.
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Variación y riesgo
Caps.
18 y 19
34
CAPÍTULO 1
Figura 1.7
Escala típica de tiempo
de flujo de efectivo
durante 5 años.
Fundamentos de ingeniería económica
Año 1
0
Año 5
1
2
3
4
5
Tiempo
Aunque no es necesario trazar una escala exacta en el diagrama de flujo de
efectivo, probablemente se evitarán muchos errores si se elabora un diagrama claro
para aproximar la escala del tiempo y de las magnitudes relativas de los flujos de
efectivo.
La dirección de las flechas del diagrama de flujo de efectivo resulta importante.
Una flecha vertical que apunta hacia arriba indica un flujo de efectivo positivo. Por
el contrario, una flecha que apunta hacia abajo indica un flujo de efectivo negativo.
La figura 1.8 ilustra un ingreso (entrada de efectivo) al final del año 1 y desembolsos iguales (salidas de efectivo) al final de los años 2 y 3.
Antes de dibujar un diagrama de flujo de efectivo y colocar un signo en él, es
necesario determinar la perspectiva o punto de vista. Como ejemplo, si una persona
obtiene un préstamo de $2 500 para comprar en efectivo una Harley-Davidson usada de $2 000 y utiliza el resto para pagar un trabajo de pintura, pueden adoptarse
diferentes perspectivas. Las perspectivas, los signos del flujo de efectivo y las cantidades son las siguientes.
Perspectiva
Flujo de efectivo, $
Sociedad de crédito
La persona como
prestatario
La persona como
comprador de la
motocicleta,
y como
cliente del servicio
de pintura
Distribuidor de
motocicletas usadas
Propietario del taller
de pintura
+
Ejemplo de flujos de
efectivo positivo y
negativo.
Flujo de efectivo, $
Figura 1.8
1
2
3
Tiempo
–
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–2 500
+2 500
–2 000
–500
+2 000
+500
SECCIÓN 1.10
EJEMPLO
35
Flujos de efectivo: estimación y diagramación
1.15
Reconsidere el ejemplo 1.10, donde se solicita un préstamo P = $10 000 al 8% anual y se
pretende determinar F después de 5 años. Construya el diagrama de flujo de efectivo.
Solución
La figura 1.9 muestra el diagrama de flujo de efectivo desde el punto de vista del prestatario. La suma actual P constituye una entrada de efectivo del principal del préstamo en el
año 0, y la cantidad futura F es la salida de efectivo correspondiente al pago de la deuda al
final del año 5. La tasa de interés debe indicarse en el diagrama.
Flujo de efectivo, $
+
P = $10 000
i = 8%
0
4
3
2
1
–
5
F=?
Figura 1.9
Diagrama de flujo de efectivo (ejemplo 1.15).
EJEMPLO
1.16
Cada año Exxon-Mobil gasta cantidades de dinero importantes en sistemas mecánicos de
seguridad en sus operaciones alrededor del mundo. Carla Ramos, ingeniera industrial
para las operaciones que se llevan a cabo en México y América Central, programa gastos
de un millón de dólares ahora y en cada uno de los siguientes cuatro años, exclusivamente
para el mejoramiento de válvulas de alivio de presión industriales. Construya el diagrama
de flujo de efectivo para determinar el valor equivalente de dichos gastos al final del año
4, utilizando un costo del capital estimado para fondos seguros al 12% anual.
Solución
La figura 1.10 muestra la serie de flujos de efectivo negativos y uniformes (gastos) durante 5 periodos, así como el valor desconocido de F (flujo de efectivo positivo equivalente)
exactamente en el mismo momento que el quinto gasto. Como los gastos comienzan a
i = 12%
1
0
1
2
F=?
3
4
A = $1 000 000
Figura 1.10
Diagrama de flujo de efectivo (ejemplo 1.16).
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Año
Año
36
CAPÍTULO 1
Fundamentos de ingeniería económica
hacerse de inmediato, el primer millón de dólares aparece en el tiempo cero, no en el
tiempo 1. Por lo tanto, el último flujo de efectivo negativo aparece al final del cuarto año,
cuando también se presenta F. Para que este diagrama se asemeje al de la figura 1.9, con
cinco años completos en la escala del tiempo, se agrega el año –1 antes del año 0 para
completar el diagrama con 5 años completos. Esta adición demuestra que el año 0 es el
punto que representa el final del periodo del año –1.
EJEMPLO
1.17
Un padre desea depositar una cantidad única desconocida en una oportunidad de inversión 2 años después de hoy, suficiente como para retirar $4 000 anuales que destinará para
pagar la universidad durante 5 años comenzando dentro de 3 años. Si se estima que la tasa
de rendimiento es de 15.5% anual, construya el diagrama de flujo de efectivo.
Solución
La figura 1.11 muestra los flujos de efectivo desde la perspectiva del padre. El valor
presente P es una salida de efectivo dentro de 2 años por determinar (P = ?). Note que este
valor presente no ocurre en el tiempo t = 0, sino en un periodo anterior al primer valor A de
$4 000, que constituye la entrada de efectivo del padre.
1
A = $4 000
i = 15 2 %
0
1
2
3
4
5
6
7
Año
P=?
Figura 1.11
Diagrama de flujo de efectivo (ejemplo 1.17).
Ejemplos adicionales 1.19 y 1.20.
1.11
REGLA DEL 72: ESTIMACIONES DEL TIEMPO Y TASA
DE INTERÉS PARA DUPLICAR UNA CANTIDAD DE DINERO
A veces resulta útil calcular el número de años n o la tasa de retorno i que se requiere para duplicar una cantidad de flujo de efectivo única. Para calcular i o n, dado
uno de los valores, se puede aplicar la regla del 72 para tasas de interés compuesto.
Los cálculos son sencillos. El tiempo que se requiere para que una única cantidad
inicial se duplique con un interés compuesto es aproximadamente igual a 72 dividido entre la tasa de retorno expresada como porcentaje.
n estimado =
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72
i
[1.9]
SECCIÓN 1.12
TABLA
1.4
Aplicación de la hoja de cálculo: interés simple y compuesto
Estimaciones de tiempos para duplicación aplicando la regla
del 72 y el tiempo real con cálculos de interés compuesto
Tiempo para duplicación (años)
Tasa de retorno,
% anual
Estimación por la
regla del 72
Años
reales
1
2
5
10
20
40
72
36
14.4
7.2
3.6
1.8
70
35.3
14.3
7.5
3.9
2.0
Por ejemplo, una cantidad actual tardaría en duplicarse aproximadamente 72/5 =
14.4 años a una tasa de interés del 5% anual. (El tiempo real que se requiere es de
14.3 años, como se demostrará en el capítulo 2.) En la tabla 1.4 se comparan los
tiempos estimados a partir de la regla del 72 con los tiempos reales que se requieren
para llevar a cabo la duplicación a diferentes tasas compuestas. Como puede verse,
se obtienen buenas estimaciones.
Por otra parte, la tasa compuesta i, expresada en porcentaje, necesaria para que
el dinero se duplique en un periodo específico n se calcula dividiendo 72 entre el
valor conocido de n.
i estimada =
72
n
[1.10]
Por ejemplo, para duplicar cierta cantidad de dinero en un periodo de 12 años, se
requeriría una tasa de retorno compuesta de aproximadamente 72/12 = 6% anual.
La respuesta exacta es 5.946% anual.
Si la tasa de interés es simple, se puede utilizar de forma análoga una regla del
100. En tal caso, las respuestas que se obtienen siempre serán exactas. Como ejemplo, el dinero se duplica exactamente en 12 años al 100/12 = 8.33% de interés
simple; o bien, se duplica exactamente en 100/5 = 20 años al 5% de interés simple.
1.12
APLICACIÓN DE LA HOJA DE CÁLCULO:
INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO Y ESTIMACIONES
DE FLUJOS DE EFECTIVO VARIABLES
El ejemplo siguiente demuestra la forma en que se aplica la hoja de cálculo de
Excel para obtener valores futuros equivalentes. Un elemento clave consiste en el
empleo de relaciones matemáticas desarrolladas en las celdas para llevar a cabo un
análisis de sensibilidad con estimaciones variables de flujo de efectivo y de tasas de
interés. Responder estas preguntas básicas con cálculos hechos a mano consumen
demasiado tiempo; la hoja de cálculo facilita el trabajo.
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37
38
CAPÍTULO 1
EJEMPLO
Fundamentos de ingeniería económica
1.18
Una empresa de arquitectura ubicada en Japón pidió a un grupo de ingeniería de programas de computadora en Estados Unidos, que infunda la capacidad sensora del SIG (sistema de información geográfica) vía satélite a los programas de vigilancia de estructuras altas, con el fin de detectar movimientos horizontales con una intensidad superior a
la esperada. Este programa de cómputo podría resultar muy beneficioso para advertir
contra movimientos telúricos serios en las áreas propensas a temblores en Japón y Estados Unidos. Se estima que la inclusión de datos exactos del SIG incrementa los ingresos
anuales sobre los ingresos actuales del sistema en $200 000 por cada uno de los siguientes
2 años, y $300 000 por cada uno de los años 3 y 4. Las perspectivas del proyecto abarcan apenas 4 años debido a los rápidos avances mundiales en los programas de software
para vigilancia de edificios. Elabore las hojas de cálculo para responder las siguientes
preguntas.
a)
b)
c)
Determine el valor futuro equivalente en el año 4 de los flujos de efectivo incrementados con una tasa de retorno de 8% anual. Proporcione respuestas tanto para el
interés simple como para el interés compuesto.
Repita las instrucciones del inciso a) si las estimaciones del flujo de efectivo en los
años 3 y 4 se incrementan de $300 000 a $600 000.
El gerente de finanzas de la compañía estadounidense desea contemplar los efectos de
una inflación de 4% anual en el análisis del inciso a). Como se señaló en la sección
1.4, la inflación reduce la tasa de rendimiento real. Para una tasa de rendimiento del
8%, una tasa de inflación compuesta de 4% anual reduce el rendimiento a 3.85% anual.
Solución por computadora
Las figuras 1.12a-c muestran las soluciones. Las tres hojas de cálculo contienen la misma
información; pero los valores de las celdas se han alterado según lo requiera la pregunta.
(En realidad, todas las preguntas planteadas aquí se pueden contestar en una sola hoja de
cálculo simplemente cambiando cantidades. Las tres hojas de cálculo se muestran exclusivamente con fines explicativos.)
Las funciones de Excel se construyen tomando como referencia las celdas, no los
valores mismos, de tal manera que el análisis de sensibilidad se lleve a cabo sin necesidad
de modificar la función. Este enfoque considera el valor en una celda como una variable
global para la hoja de cálculo. Por ejemplo, en todas las funciones, la tasa del 8% (de
interés simple o compuesto) en la celda B4 se designará con B4, no con 8%. Por consiguiente, un cambio en la tasa sólo requiere una modificación en la entrada de la celda B4,
no en cada relación y función de la hoja de cálculo donde se utilice el 8%. Las relaciones
clave de Excel se especifican en las etiquetas de las celdas.
a)
8% de interés simple. Las respuestas aparecen en las columnas C y D de la figura
1.12a. El interés simple ganado cada año (columna C) incorpora la ecuación [1.15]
un año a la vez, en la relación de interés, utilizando exclusivamente las cantidades de
flujo de efectivo al fin de año (FA) ($200,000 o $300,000) para determinar el interés
para el próximo año. Dicho interés se suma al interés de todos los años anteriores. En
unidades de $1,000,
Año 2:
Año 3:
C13 = B12*B4 = $200(0.08) = $16 (véase la etiqueta de la celda)
C14 = C13 + B13*B4 = $16 + 200(0.08) = $32
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SECCIÓN 1.12
Aplicación de la hoja de cálculo: interés simple y compuesto
Ejemplo 1.18 (contiene tres hojas de cálculo)
Parte a) – Determine F en el año 4
Tasa de rendimiento
Final del año
(FA)
Flujo de efectivo
Interés simple
Flujo de efectivo
Interés ganado
FA equivalente
durante el año
acumulado
Interés compuesto
Flujo de efectivo
FA equivalente
Interés ganado
acumulado
durante el año
B15E15F14
F14*B4
B12*B4
C14B14*B4
SUM(B15:C15)D14
b) Determine F con las columnas de flujo de efectivo incrementadas
Tasa de rendimiento
Interés compuesto
Interés simple
Final del año
(FA)
Flujo de efectivo
Interés ganado
durante el año
Flujo de efectivo
FA equivalente
acumulado
Interés ganado
durante el año
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Flujo de efectivo
FA equivalente
acumulado
39
40
CAPÍTULO 1
Fundamentos de ingeniería económica
c) Determine F con una inflación del 4% anual
Tasa de rendimiento
Final del año
(FA)
Flujo de efectivo
Interés simple
Flujo de efectivo
FA equivalente
Interés ganado
acumulado
durante el año
Interés compuesto
Flujo de efectivo
Interés ganado
FA equivalente
durante el año
acumulado
Figura 1.12
Solución en hoja de cálculo incluyendo un análisis de sensibilidad (ejemplo 1.18a-c).
Año 4:
C15 = C14 + B14*B4 = $32 + 300(0.08) = $56 (véase la etiqueta de la
celda)
Recordemos que un signo = debe preceder a cada relación o función de la hoja de
cálculo. La celda C16 contiene la función SUM(C12:C15), la cual presenta el interés
simple total de $104,000 durante los cuatro años. El valor futuro se encuentra en
D15, y es de F = $1,104,000, el cual incluye la cantidad acumulada de todos los
flujos de efectivo y todos los intereses simples. En unidades de $1,000, las funciones
del ejemplo son:
Año 2:
Año 4:
D13 = SUM(B13:C13) + D12 = ($200 + 16) + 200 = $416
D15 = SUM(B15:C15) + D14 = ($300 + 56) + 748 = $1 104
8% de interés compuesto. Consulte las columnas E y F de la figura 1.12a. La estructura de la hoja de cálculo es la misma, salvo por el hecho de que la ecuación [1.6] se
encuentra incorporada en los valores del interés compuesto de la columna E; de esta
manera, el interés se añade al interés ganado. El interés de 8% se basa en un flujo de
efectivo acumulado al final del año anterior. En unidades de $1,000,
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EJEMPLOS ADICIONALES
Interés del año 2:
E13 = F12*B4 = $200(0.08) = $16
Flujo de efectivo acumulado: F13 = B13 + E13 + F12 = $200 + 16 + 200 = $416
Interés del año 4:
E15 = F14*B4 = $749.28(0.08) = $59.942
(véase la etiqueta de la celda)
Flujo de efectivo acumulado: F15 = B15 + E15 + F14
= $300 + 59.942 + 749.280 = $1,109.222
b)
c)
El valor futuro equivalente se encuentra en la celda F15, donde F = $1,109,222 aparece en la pantalla.
Los flujos de efectivo equivalen a $1,104,000 a una tasa de interés simple de
8%, y a $1,109,222 a una tasa de interés compuesto de 8%. Si se utiliza una tasa de
interés compuesto, el valor de F se incrementa por $5,222.
Observe que no es posible utilizar la función VF en este caso, en virtud de que
los valores de A no son los mismos durante los 4 años. En los siguientes capítulos
aprenderemos cómo utilizar todas las funciones básicas de forma más versátil.
Consulte la figura 1.12b. Con el objetivo de inicializar la hoja de cálculo con las dos
estimaciones de flujo de efectivo incrementadas, se reemplazan los valores de
$300,000 en B14 y B15 con $600,000. Todas las relaciones con la hoja de cálculo
son idénticas; los nuevos valores del flujo de efectivo acumulado y de interés aparecen inmediatamente. Los valores equivalentes de F para el cuarto año se han incrementado para las tasas de interés simple y compuesto al 8% (D15 y F15, respectivamente).
La figura 1.12c es idéntica a la hoja de cálculo de la figura 1.12a, salvo por el hecho
de que la celda B4 ahora contiene una tasa de 3.85%. El valor correspondiente de F
para el interés compuesto en F15 ha disminuido a $1,051,247 de $1,109,222 al 8%.
Esto representa un efecto de la inflación de $57,975 en sólo 4 años. No sorprende
que los gobiernos, empresas, ingenieros e individuos se preocupen cuando la inflación se eleva y la moneda vale menos con el paso del tiempo.
Comentario
Cuando se trabaja con una hoja de cálculo de Excel, es posible desplegar en pantalla todas
las entradas y funciones oprimiendo simultáneamente <Control> y <`>, que puede localizarse en la parte superior izquierda del teclado en la tecla <~>. Además, quizá resulte
necesario ampliar algunas columnas para que aparezca todo el contenido de las funciones.
EJEMPLOS ADICIONALES
EJEMPLO
1.19
DIAGRAMAS DE FLUJO DE EFECTIVO
Una empresa dedicada al alquiler de equipo gastó $2 500 en una nueva compresora de
aire hace 7 años. El ingreso anual por concepto del alquiler de la compresora fue de $750.
Además, los $100 gastados en mantenimiento durante el primer año aumentaron $25 cada
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41
42
CAPÍTULO 1
Fundamentos de ingeniería económica
año. La empresa tiene planes de vender la compresora al final del año siguiente en $150.
Construya el diagrama de flujo desde la perspectiva de la empresa.
Solución
Denote ahora como el tiempo t = 0. Los ingresos y costos para los años –7 a 1 (próximo
año) aparecen en la siguiente tabla con los cálculos de flujo de efectivo neto efectuados
mediante la ecuación [1.8]. Los flujos de efectivo neto (1 negativo y 8 positivos) aparecen
en el diagrama de la figura 1.13.
Final
del año
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
$
$650
–7 –6
Ingresos
Costos
Flujo de
efectivo neto
0
750
750
750
750
750
750
750
750 + 150
$2 500
100
125
150
175
200
225
250
275
$–2 500
650
625
600
575
550
525
500
625
$625
–5
$600
–4
$625
$575
–3
$550
$525
–2
–1
$500
0
1 Año
P = $2 500
Figura 1.13
Diagrama de flujo de efectivo (ejemplo 1.19).
EJEMPLO
1.20
DIAGRAMAS DE FLUJO DE EFECTIVO
Claudia desea depositar una cantidad P de dinero ahora, de tal manera que pueda retirar
una cantidad anual igual a A1 = $2 000 anuales durante los primeros 5 años, empezando un
año después del depósito, y desea retirar una cantidad anual diferente de A2 = $3 000 los
siguientes 3 años. ¿Cómo se vería el diagrama de flujo de efectivo si i = 8.5% anual?
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RESUMEN DEL CAPÍTULO
Solución
La figura 1.14 muestra los diagramas de flujo de efectivo. El flujo de efectivo negativo de
salida P se presenta ahora. El primer retiro (flujo de efectivo positivo de entrada) para la
serie A1 ocurre al final del año 1, y A2 ocurre en los años 6 a 8.
A2 = $3 000
A1 = $2 000
0
1
2
3
4
5
6
7
8 Año
i = 8.5%
P=?
Figura 1.14
Diagrama de flujo de efectivo con dos diferentes series A (ejemplo 1.20).
RESUMEN DEL CAPÍTULO
La ingeniería económica es la aplicación de factores económicos y criterios para la
evaluación de alternativas, tomando en cuenta el valor del dinero en el tiempo. El
estudio de ingeniería económica implica el cálculo de una medida específica de
valor económico de flujos de efectivo estimados durante un periodo determinado.
El concepto de equivalencia permite entender en términos económicos la igualdad de diferentes sumas de dinero en tiempos distintos. La diferencia entre interés simple (basado exclusivamente en el principal) e interés compuesto (basado en
el principal y en el interés sobre el interés) se describió por medio de fórmulas,
tablas y gráficas. Este poder de cálculo compuesto se nota particularmente a lo
largo de periodos prolongados, como en el caso del efecto de la inflación aquí expuesto.
La TMAR constituye una tasa de rendimiento razonable establecida como tasa
base para determinar si una alternativa es económicamente viable. La TMAR siempre es superior al rendimiento de una inversión segura.
Asimismo, también aprendimos lo siguiente respecto de los flujos de efectivo:
Las dificultades relativas a su estimación.
La diferencia entre el valor estimado y el valor real.
La convención de final de año para la ubicación de flujos de efectivo.
El cálculo del flujo de efectivo neto.
Las diferentes perspectivas para determinar el signo del flujo de efectivo.
La construcción de un diagrama de flujo efectivo.
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43
44
CAPÍTULO 1
Fundamentos de ingeniería económica
PROBLEMAS
Conceptos básicos
1.1 ¿Qué significa el término valor del dinero
en el tiempo?
1.2 Mencione tres factores intangibles.
1.3 a) ¿Qué quiere decir criterio de evaluación?
b) ¿Cuál es el criterio de evaluación principal que se usa en el análisis económico?
1.4 Liste tres criterios de evaluación, además del
económico, para seleccionar el mejor restaurante.
1.5 Analice la importancia de identificar las
alternativas en el proceso de la ingeniería
económica.
1.6 ¿Cuál es la diferencia entre el interés simple
y el compuesto?
1.7 ¿Qué significa tasa mínima aceptable de
rendimiento?
1.8 ¿Cuál es la diferencia entre financiamiento
con deuda y con capital propio? Dé un ejemplo de cada uno.
Tasa de interés y tasa de rendimiento
1.9 La compañía Trucking Giant Yellow Corp.
acordó comprar a la empresa rival Roadway
en $966 millones a fin de reducir los costos
denominados indirectos de oficina, por
ejemplo los costos por nómina y seguros
que tienen un monto de $45 millones al año.
Si los ahorros fueran los que se planearon,
¿cuál sería la tasa de rendimiento de la
inversión?
1.10 Si las utilidades por cada acción de Ford
Motor Company se incrementaron de 22 a
29 centavos en el trimestre entre abril y junio
en comparación con el trimestre anterior,
¿cuál fue la tasa de incremento en las utilidades de dicho trimestre?
1.11 Una compañía que ofrece una gran variedad
de servicios recibió un préstamo de $2
millones para adquirir equipo nuevo y pagó
el monto principal del crédito más $275 000
de intereses después de un año. ¿Cuál fue
la tasa de interés del préstamo?
1.12 Cierta empresa de ingeniería que diseña construcciones terminó el proyecto de un ducto por
el que obtuvo una utilidad de $2.3 millones
en un año. Si la cantidad de dinero que invirtió
la compañía fue de $6 millones, ¿cuál fue la
tasa de rendimiento de la inversión?
1.13 La compañía US Filter celebró un contrato,
para una planta pequeña que desala agua,
con el que espera obtener una tasa de
rendimiento de 28% sobre su inversión. Si
la empresa invirtió $8 millones en equipo
durante el primer año, ¿cuál fue el monto
de la utilidad en dicho año?
1.14 Una compañía constructora que cotiza al
público reportó que acababa de pagar un
préstamo recibido un año antes. Si la cantidad total de dinero que pagó la empresa fue de
$1.6 millones y la tasa de interés sobre el préstamo fue de 10% anual, ¿cuánto dinero recibió
en préstamo la compañía un año antes?
1.15 Una compañía química que comienza a
operar se fijó la meta de obtener una tasa de
rendimiento de al menos 35% anual sobre
su inversión. Si la empresa adquirió $50
millones como capital de riesgo, ¿cuánto
debe percibir en el primer año?
Equivalencia
1.16 Con una tasa de interés de 8% por año, ¿a
cuánto equivalen $10 000 de hoy, a) dentro
de un año, y b) hace un año?
1.17 Una empresa mediana de consultoría en
ingeniería trata de decidir si debe reemplazar
su mobiliario de oficina ahora o esperar un
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PROBLEMAS
año para hacerlo. Si espera un año, se piensa
que el costo será de $16 000. Con una tasa
de interés de 10% por año, ¿cuál sería el
costo equivalente hoy?
1.18 ¿Con qué tasa de interés son equivalentes
una inversión de $40 000 hace un año y otra
de $50 000 hoy?
1.19 ¿Con qué tasa de interés equivalen $100 000
de ahora a $80 000 de hace un año?
Interés simple e interés compuesto
1.20 Ciertos certificados de depósito acumulan
un interés simple de 10% anual. Si una
compañía invierte ahora $240 000 en dichos
certificados para la adquisición dentro de
tres años de una máquina nueva, ¿cuánto
tendrá la empresa al final de ese periodo de
tiempo?
1.21 Un banco local ofrece pagar un interés
compuesto de 7% anual sobre las cuentas
de ahorro nuevas. Un banco electrónico
ofrece 7.5% de interés simple anual por un
certificado de depósito a cinco años. ¿Cuál
oferta resulta más atractiva para una empresa que desea invertir ahora $1 000 000
para la expansión dentro de cinco años de
una planta?
1.22 Badger Pump Company invirtió $500 000
hace cinco años en una nueva línea de productos que ahora reditúa $1 000 000. ¿Qué
tasa de rendimiento percibió la empresa sobre la base de a) interés simple, y b) interés
compuesto?
45
1.25 Es frecuente que las empresas reciban
préstamos de dinero con acuerdos que
requieren pagos periódicos exclusivamente
por concepto de interés, para después pagar el monto principal del préstamo en una
sola exhibición. Con un arreglo como éste,
una compañía que manufactura productos químicos para control de olores obtuvo
$400 000 a pagar durante tres años al 10%
de interés compuesto anual. ¿Cuál es la diferencia en la cantidad total pagada entre
dicho acuerdo (identificado como plan 1) y
el plan 2, con el cual la compañía no paga
intereses mientras adeude el préstamo y lo
paga después en una sola exhibición?
1.26 Cierta empresa que manufactura a granel
mezcladores en línea planea solicitar un
préstamo de $1.75 millones para actualizar
una línea de producción. Si obtiene el dinero
ahora, puede hacerlo con una tasa de 7.5%
de interés simple anual por cinco años. Si
lo obtiene el año próximo, la tasa de interés
será de 8% de interés compuesto anual, pero
sólo será por cuatro años. a) ¿Cuánto interés
(total) pagará en cada escenario, y b) ¿la
empresa debe tomar el préstamo ahora o
dentro de un año? Suponga que la cantidad
total que se adeude se pagará cuando el
préstamo venza, en cualquier caso.
Símbolos y hojas de cálculo
1.23 ¿Cuánto tiempo tomará para que una inversión se duplique con 5% por año, con a) interés simple, y b) interés compuesto.
1.27 Defina los símbolos que se involucran si una
compañía de construcción quiere saber
cuánto dinero puede gastar dentro de tres
años en lugar de gastar $50 000 para adquirir
un camión nuevo hoy, cuando la tasa es de
15% de interés compuesto anual.
1.24 Una empresa que manufactura oxidantes
termales regenerativos hizo una inversión
hace diez años que ahora reditúa $1 300 000.
¿De cuánto fue la inversión inicial con una
tasa de 15% anual de a) interés simple, y b)
interés compuesto?
1.28 Diga la finalidad de cada una de las siguientes funciones disponibles en Excel.
a) FV(i%,n,A,P)
b) IRR(first_cell:last_cell)
c) PMT(i%,n,P,F)
d) PV(i%,n,A,F)
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46
CAPÍTULO 1
Fundamentos de ingeniería económica
1.29 ¿Cuáles son los valores de los símbolos de
ingeniería económica P, F, A, i y n, en las
funciones de Excel siguientes? Use a? para
el símbolo por determinar.
a) FV(7%,10, 2 000, 9 000)
b) PMT(11%,20, 14 000)
c) PV(8%,15, 1 000, 800)
1.35 Califique de mayor a menor las tasas de
interés que siguen: costo de capital, tasa de
rendimiento aceptable sobre una inversión
riesgosa, tasa mínima aceptable de rendimiento, tasa de rendimiento sobre una inversión segura, interés sobre una cuenta de
cheques, interés sobre una cuenta de ahorros.
1.30 Escriba el símbolo de ingeniería económica
correspondiente a cada una de las funciones
de Excel siguientes.
a) PV
b) PMT
c) NPER
d) IRR
e) FV
1.36 Cinco proyectos diferentes tienen tasas de
rendimiento calculadas de 8, 11, 12.4, 14 y
19% por año. Una ingeniera quiere saber
cuáles proyectos aceptar sobre la base de la
tasa de rendimiento. Ella sabe gracias al
departamento de finanzas que por lo general
se usan fondos de la compañía, lo cual tiene
un costo de capital de 18% por año, para
financiar el 25% del capital de todos los
proyectos. Después se le comunicó que el
dinero obtenido por préstamos cuesta actualmente 10% por año. Si la TMAR se establece exactamente con el costo promedio
ponderado del capital, ¿cuáles proyectos debieran aceptarse?
1.31 ¿En qué circunstancias puede quedar en
blanco cierto parámetro que no se aplica en
una función disponible en Excel? ¿Cuándo
debe colocarse una coma en su lugar?
TMAR y costo de capital
1.32 Clasifique como segura o riesgosa cada una
de las inversiones siguientes.
a) Negocio de restaurante nuevo
b) Cuenta de ahorros en un banco
c) Certificado de depósito
d) Bono del gobierno
e) Idea de un pariente para hacerse rico
rápido.
1.33 Clasifique cada uno de los financiamientos
que siguen como capital propio o con deuda.
a) Dinero de ahorros
b) Dinero de un certificado de depósito
c) Dinero de un familiar que es socio del
negocio
d) Préstamo bancario
e) Tarjeta de crédito
1.34 Ordene de mayor a menor las siguientes
tasas de rendimiento o interés: bono del gobierno, bono corporativo, tarjeta de crédito,
préstamo bancario para negocio nuevo,
interés sobre cuenta de cheques.
Flujos de efectivo
1.37 ¿Qué significa la convención del final del
periodo?
1.38 Identifique los siguientes flujos de entrada
o salida de efectivo para Daimler-Chrysler:
impuesto sobre la renta, interés sobre un
préstamo, valor de rescate, reembolsos a los
distribuidores, ingresos por ventas, servicios
de contabilidad, reducciones de costo.
1.39 Construya un diagrama de flujo para los
siguientes flujos de efectivo: flujo de salida
de $10 000 en el tiempo cero, flujo de salida
de $3 000 anual entre los años 1 y 3, y flujo
de entrada de $9 000 entre los años 4 y 8
con una tasa de interés de 10% anual y un
monto futuro desconocido en el año 8.
1.40 Construya un diagrama de flujo para encontrar el valor presente de un flujo de salida
futuro de $40 000 en el año 5, con una tasa
de interés de 15% anual.
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EJERCICIO AMPLIADO
Duplicación del valor
1.41 Use la regla del 72 para calcular el tiempo
que tomaría para que una inversión inicial
de $10 000 creciera a $20 000, con una tasa
de interés compuesto de 8% anual.
1.42 Calcule el tiempo que se requiere (de
acuerdo con la regla del 72) para que el
dinero se cuadruplique con una tasa de
interés compuesto de 9% anual.
47
1.43 Utilice la regla del 72 para estimar la tasa
de interés que se necesitaría para que $5 000
se convirtieran en $10 000 en cuatro años.
1.44 Si usted tiene ahora $62 500 en su cuenta
de ahorros para el retiro y quiere jubilarse
cuando en ésta haya $2 000 000, calcule la
tasa de rendimiento que debe ganar la cuenta
para retirarse dentro de 20 años sin agregar
más dinero a la cuenta.
PROBLEMAS DE REPASO FI
1.45 Un ejemplo de factor intangible es
a) Impuestos
b) Costo de materiales
c) Moral
d) Renta
1.46 El tiempo que tomaría que el dinero se
duplicara con una tasa de interés simple de
5% anual es muy cercano a
a) 10 años
b) 12 años
c) 15 años
d) 20 años
1.47 Con una tasa de interés compuesto de 10%
anual, $10 000 de hace un año ahora
equivalen a
a) $8 264
b) $9 091
c) $11 000
d) $12 100
1.48 Una inversión de $10 000 de hace nueve
años acumuló $20 000 de ahora. La tasa de
interés compuesto ganada sobre la inversión
está muy próxima a
a) 6%
b) 8%
c) 10%
d) 12%
1.49 En la mayor parte de los estudios de ingeniería económica, la mejor alternativa es
aquella que
a) Durará el mayor tiempo
b) Es más fácil de implantar
c) Cuesta menos
d) Es más correcta políticamente
1.50 El costo de la colegiatura en cierta universidad
pública fue de $160 por hora-crédito hace
cinco años. El costo actual (cinco años exactos
después) es de $235. La tasa anual de incremento se encuentra muy próxima a
a) 4%
b) 6%
c) 8%
d) 10%
EJERCICIO AMPLIADO
EFECTOS DEL INTERÉS COMPUESTO
En un esfuerzo por mantenerse dentro de las normas de emisión de ruidos en el
área de procesos, National Semiconductors necesita utilizar instrumentos de medición de ruidos. La compañía tiene planes de comprar nuevos sistemas portátiles al
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48
CAPÍTULO 1
Fundamentos de ingeniería económica
final del próximo año a un costo de $9 000 cada uno. National estima que el costo
de mantenimiento será de $500 anuales durante 3 años, después de los cuales los
sistemas se desecharán a un costo de $2 000.
Preguntas
1. Construya el diagrama de flujo de efectivo. Calcule el valor equivalente F después de 4 años, mediante cálculos a mano, para una tasa de interés compuesto
de 8% anual.
2. Determine el valor de F en la pregunta 1 utilizando una hoja de cálculo.
3. Determine el valor de F si los costos de mantenimiento son de $300, $500 y
$1 000, en cada uno de los 3 años. ¿Cuánto ha cambiado el valor de F?
4. Calcule el valor de F en la pregunta 1 en términos de los dólares que se necesitarán en el futuro con un ajuste de inflación del 4% anual. Esto incrementa la
tasa de interés del 8% a 12.32% anual.
ESTUDIO DE CASO
DESCRIPCIÓN DE LAS ALTERNATIVAS PARA LA FABRICACIÓN
DE REVESTIMIENTOS PARA REFRIGERADOR
Planteamiento del problema
Las fábricas grandes de refrigeradores como Whirlpool,
General Electric, Frigidaire y otras pueden subcontratar
el moldeo de sus revestimientos de plástico y tableros
de puerta. Una de las principales empresas subcontratistas nacionales es Innovations Plastics. Se espera
que aproximadamente en 2 años el mejoramiento de
las propiedades mecánicas permita que el plástico moldeado soporte cargas verticales y horizontales cada vez
mayores, lo cual reduciría significativamente la necesidad de las bisagras metálicas en alguna estantería. Sin
embargo, para ingresar al mercado se requerirá equipo
de moldeo de mejor calidad. El presidente de la compañía desea una recomendación sobre si Innovations
debería pensar en ofrecer la nueva tecnología a los principales fabricantes, así como una estimación de la inversión de capital necesaria para entrar al mercado tempranamente.
Usted trabaja como ingeniero para Innovations. En
esta etapa, no se espera que usted lleve a cabo un análisis económico de ingeniería completo, en virtud de
que no hay suficiente información disponible. Se le pide
que formule alternativas razonables, que determine los
datos y estimaciones necesarios para cada alternativa y
establezca los criterios (económicos y no económicos)
que deben aplicarse para tomar la decisión final.
Información
Alguna información útil en este momento es la siguiente:
• Se espera que la tecnología y el equipo continúen
vigentes aproximadamente 10 años antes de que se
desarrollen nuevos métodos.
• La inflación y los impuestos sobre la renta no se
tomarán en cuenta en el análisis.
• Los rendimientos esperados sobre el capital de inversión utilizados para los últimos tres proyectos
tecnológicos fueron las tasas de interés compuesto
del 15, 5 y 18%. La tasa de 5% fue el criterio para
mejorar un sistema de seguridad para empleados en
un proceso existente de preparación de químicos.
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ESTUDIO DE CASO
• Un financiamiento de capital de patrimonio superior a los $5 millones resulta imposible. La cantidad del financiamiento de deuda y su costo se desconocen.
• Los costos anuales de operación han promediado
un 8% del costo inicial del equipo principal.
• El incremento de los costos anuales de capacitación
y los requerimientos de salario para el manejo de
los nuevos plásticos y del nuevo equipo de operación pueden variar de $800 000 a $1.2 millones de
dólares.
Hay dos fábricas trabajando en la nueva generación de
equipos. Estas dos opciones se designan como las alternativas A y B.
Ejercicios del estudio de caso
1. Aplique los primeros cuatro pasos del proceso de
toma de decisiones para describir en líneas generales las alternativas e identifique los cálculos de na-
turaleza económica que se requerirán para elaborar
un análisis de ingeniería económica para el presidente.
2. Identifique los factores y criterios no económicos
que deben considerarse en el momento de elegir alternativa.
3. Durante la investigación que lleva a cabo con respecto a la alternativa B con el fabricante, usted se
entera de que esta compañía ya ha diseñado el prototipo de una máquina de moldeo que ha vendido a
una compañía en Alemania por $3 millones (de dólares). En su investigación, usted descubre, además,
que la empresa alemana no aprovecha toda la capacidad del equipo para fabricar revestimientos plásticos. La compañía quiere vender tiempo de uso del
equipo a Innovations, para que ésta fabrique sus propios revestimientos y los distribuya en Estados Unidos. Esto podría facilitar una entrada temprana en
el mercado de Estados Unidos. Considere ésta como
la alternativa C y formule las estimaciones necesarias para evaluar C al mismo tiempo que las alternativas A y B.
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