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Enseñanza de las
Matemáticas
con Tecnología
para la Educación Secundaria
PROPUESTA HIDALGO
3
er
grado
Ma. Guadalupe Flores Barrera
Andrés Rivera Díaz
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación
Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), ha sido desarrollado
e implementado por la Coordinación Estatal del Programa EMAyCITHidalgo, con el apoyo de la Subsecretaría de Educación Básica de la
Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo y, sobre todo, del
Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico
Nacional, particularmente del Departamento de Matemática Educativa,
del cual surge la Propuesta Nacional.
Autores de EMAT-Hidalgo
Ma. Guadalupe Flores Barrera
Andrés Rivera Díaz
[email protected]
[email protected]
Este material ha sido implementado en las escuelas secundarias del Estado de Hidalgo, en sus tres modalidades: Generales, Técnicas y Telesecundarias con apoyo de las Direcciones, Supervisiones y Jefaturas de Sector,
pero sobre todo por los Coordinadores de Zona Escolar EMAT-Hidalgo.
Coordinadores de Zona Escolar EMAT-Hidalgo
Enseñanza de las Matemáticas
con Tecnología
para la Educación Secundaria
Propuesta Hidalgo
3er. grado
Revisión: Ramón Guerrero Leyva
Formación y diseño: Ana Garza
© EMAT Hidalgo 2008
© Ángeles Editores, S.A. de C.V. 2011
Campanario 26
San Pedro Mártir, Tlalpan
México, D.F. 14650
e-mail [email protected]
www.angeleseditores.com
Primera edición: agosto de 2011
Segunda edición: agosto de 2012
ISBN 978-607-9151-11-9
Miembro de la Cámara Nacional
de la Industria Editorial
Reg. Núm. 2608
Impreso en México
Alfaro Vera Gonzalo
Ángeles Ruíz Alfonso
Arroyo Rendón Martha Patricia
Arteaga Romero Damián
Azuara Sánchez Arturo
Badillo Ordoñez Filiberto
Bautista Montaño Maximino
Bibiano Santiago Edgar
Calva Badillo Jacobo
Castañeda Ahumada Héctor Hugo
Colín Pretel Alfonso
Cruz Bustos Marina
de la Cruz Reyes Rodrigo
Delgado Granados Nicasio
Díaz Badillo Ma. del Carmen
Espinoza Soto Juan Carlos
Flores Barrera Joel
Franco Moedano Aniceto Alejo
García Callejas Maricela Ma. del Carmen
García Mayorga Víctor
González Funes Cecilia Iliana
Hernández Ángeles Juan
Hernández Hernández Honorio
Hernández Hernández José Luis
Hernández Hidalgo Magdiel
Hernández Reyes Ernesto
Herrera Tapia Andrey
Islas Arciniega Silvia
Juárez Rojas Iván Ramsés
López Castellanos Verónica
López Lugo Silvia
López Miranda Rigoberto
Lozano Mendoza Rubén
Maqueda Lora Oscar Daniel
Mayorga Hernández Raúl =
Mendoza Paredes Maximino
Mendoza Ruíz Francisco
Meza Arellanos Ma. del Refugio
Mora Martín Teresa
Moreno Alcántara Alfonso
Moreno Martínez Ericka Sofía
Mota Aguilar Gloria
Naranjo Calderón Josué Arturo
Noble Monterrubio Guillermo
Nolasco Orta Edgar Arturo
Paredes Larios Hugo Alberto
Pedraza Sánchez Jaen Maximiliano
Pérez Pacheco Set Isaí
Pérez Salas Jesús Enrique
Recéndiz Medina Juan Carlos
Robles Feregrino María Teresa
Rodríguez Escudero María Teresa
Trejo Reyes Jesús
Ugarte Morán Sergio
Vargas Rivera Rafael
Vázquez Hernández Juan Andrés
Veloz Vega María Esther
Contenido
Introducción.............................................................................................. 5
Cómo está organizado este libro .............................................................. 7
Programación del Tercer Grado, EMAT-Hidalgo . ...................................... 9
Septiembre
Programas equivalentes ......................................................................... 13
“Deshacer” operaciones . ....................................................................... 14
Criterios de congruencia de triángulos . ................................................. 15
Figuras directa o inversamente congruentes . ........................................ 17
Octubre
La circunferencia: radios, cuerdas y tangentes . ..................................... 19
Ángulos en la circunferencia . ................................................................. 25
¿Grados Fahrenheit o Celsius? ............................................................... 27
¿No podría ir más rápido? ...................................................................... 29
Noviembre
Problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado ......... 30
Resolviendo ecuaciones de segundo grado . .......................................... 31
Idea de triángulos semejantes ............................................................... 33
Polígonos regulares ................................................................................ 35
Diciembre y Enero
Simulación con el modelo de urna (I) ..................................................... 39
Simulación con el modelo de urna (II) .................................................... 40
Analizando gráficas de rectas ................................................................. 42
Construyendo varias gráficas de funciones con Geometría dinámica .... 43
Comprobación de la fórmula general de la ecuación
de segundo grado ................................................................................... 44
Funciones cuadráticas ............................................................................ 45
EMAT-Hidalgo
Febrero
Teorema de Thales ................................................................................
Recíproco del teorema de Thales...........................................................
Razón y proporción . ..............................................................................
La homotecia como aplicación del teorema de Thales .........................
47
49
51
58
Marzo y Abril
¿Una ecuación para desalojar la escuela?..............................................
Números poligonales..............................................................................
Teorema de Pitágoras.............................................................................
Triángulos...............................................................................................
Explosión demográfica...........................................................................
Inflación contra salario...........................................................................
Interés compuesto..................................................................................
Tiempos de duplicación en el crecimiento compuesto..........................
62
63
64
66
71
72
74
76
Mayo
Construyendo algunos cuerpos geométricos.........................................
Uso de fórmulas de área y volumen de sólidos......................................
Problemas de optimización (I)................................................................
Problemas de optimización (II)...............................................................
78
79
81
82
Junio
Lanzamiento de dados (I)....................................................................... 83
Lanzamiento de dados (II)...................................................................... 85
Bibliografía............................................................................................. 87
Directorio............................................................................................... 88
Introducción
Las Herramientas Computacionales (HC) suponen un revolucionario avance
en nuestra sociedad. Presenciamos una era de cambio y de modificaciones
constantes que influyen significativamente en nuestras vidas. Mantenernos
expectantes o tomar las riendas de los procesos de cambio que nos pueden
ayudar a construir un mundo sin barreras, un mundo mejor, es una elección
a realizar de forma particular por cada uno de nosotros.
En el ámbito educativo las HC constituyen una importantísima ayuda para
favorecer los aprendizajes escolares, particularmente de las matemáticas y de
las ciencias, pues son un reforzador didáctico, un medio para la enseñanza
individualizada y una herramienta fundamental de trabajo para el profesor.
En definitiva pudiéramos preguntarnos: ¿Qué aspectos caracterizan a las
HC que las hacen tan especiales en la educación? Una reflexión alrededor
de esta pregunta nos conduce a definir un grupo de aspectos que las podrían
caracterizar:
1. Fomentan el aprendizaje continuo por parte del profesor, pues éste
tendrá que estar actualizado para planificar con éxito las actividades
que realizarán los estudiantes.
2. Las HC no sólo pueden ser objeto de estudio sino que deben ser
herramientas indispensables para el alumno, tienen que ser integradas
al entorno educativo.
3. Garantizan el desarrollo de una enseñanza significativa y forman parte
de una educación integral.
4. Dinamizan el papel del profesor y del alumno. Este último, de sujeto
pasivo dentro del proceso didáctico, pasa a ser protagonista del
mismo junto al profesor, el cual tendrá como función rectora la
orientación en el uso de las herramientas tecnológicas que sean
utilizadas en el proceso.
5. Humanizan el trabajo de los profesores, pues ellos desarrollarán sus
actividades con el apoyo de las tecnologías, economizando tiempo y
energía.
Propuesta Hidalgo  3er Grado
5
Además de estas ventajas que nos proporcionan las Herramientas
Computacionales en el proceso de enseñanza, es bueno destacar que también
permiten lograr una mejor interdisciplinariedad, es decir, se puede relacionar
el contenido con el de otras asignaturas contribuyendo así a una formación
más eficiente y de carácter integral de nuestros estudiantes, particularmente
el de las ciencias.
Por lo anterior, la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo ha
implementado el Programa Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología
para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo) a través
de la Coordinación Estatal de los profesores Ma. Guadalupe Flores Barrera
y Andrés Rivera Díaz. Para dar continuidad al programa, dichos profesores
imparten un curso-taller programado, un día al mes durante el ciclo escolar, al
equipo de Coordinadores de las Zonas Escolares del Estado, para que a su vez
ellos lo multipliquen, también un día al mes, con los profesores que imparten
ciencias en sus zonas correspondientes.
Las reuniones mensuales son un espacio de formación y actualización docente
para el intercambio de experiencias, metodologías y conocimientos sobre la
Hoja electrónica de cálculo, herramienta tecnológica que forma parte de la
propuesta original elaborada por la Subsecretaría de Educación Básica de
la Secretaría de Educación Pública (SEP), en colaboración con el Instituto
Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE). Como producto de ello
se han diseñado y compilado los textos EMAT-Hidalgo, para cada grado escolar
de educación secundaria.
Por último, sabedores de que contamos con una comunidad educativa
comprometida, utilizaremos el presente material para beneficio de nuestros
alumnos.
Profr. Joel Guerrero Juárez
Secretario de Educación Pública
SEPH
6
Cómo está
organizado este libro
 PRESENTACIÓN
El libro Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación
Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), es una compilación y
diseño de actividades que contemplan el uso de cuatro piezas de tecnología,
estrechamente relacionadas cada una con las áreas específicas de geometría,
álgebra, aritmética, resolución de problemas y modelación matemática. El texto
cumple, en forma paralela, con los planes y programas de estudio vigentes de
matemáticas para las modalidades de Educación Secundaria (General, Técnica
y Telesecundaria).
En la mayoría de las actividades seleccionadas, la construcción y el uso de
estas cuatro piezas de tecnología cuentan con un sustento teórico y/o empírico,
que respaldan su valor como herramientas mediadoras del aprendizaje en lo
cognitivo y en lo epistemológico.
La Propuesta Hidalgo plantea trabajar una sesión a la semana en el aula de
medios o espacio asignado con equipos de cómputo, complementando las
sesiones previas en el salón de clase. Esto implica que desde la planeación del
curso escolar, los directivos deben asignar en los horarios, de forma explícita,
la sesión EMAT-Hidalgo a cada grupo.
En el libro se incluye el uso de software de geometría dinámica para temas
de geometría euclidiana; calculadora con manipulación simbólica para la
introducción a la sintaxis algebraica, la graficación y la resolución de problemas;
lenguaje de programación LOGO para la programación con representación
geométrica y la hoja electrónica de cálculo para la enseñanza del álgebra, la
resolución de problemas aritmético-algebraicos, y temas de probabilidad y de
tratamiento de la información.
En el espacio para desarrollar el Programa EMAT-Hidalgo, el profesor guía a
los estudiantes en su trabajo con el ambiente computacional y con las hojas
de actividades programadas semanalmente en el texto.
Propuesta Hidalgo  3er Grado
7
Con las actividades se pretende que los alumnos alcancen cada vez mayores
niveles de conceptualización matemática, para ello la programación de las
actividades se hace como en el siguiente ejemplo:
Semana
1
Bloque UNO
3. Resuelvan problemas que implican
relacionar ángulos inscritos y centrales
de una circunferencia.
Herramienta
Geometría
dinámica
OCTUBRE
Actividad
La circunferencia: radios,
cuerdas y tangentes
En general, en el espacio EMAT-Hidalgo el profesor debe motivar a los alumnos a:
• Explorar
• Formular y validar hipótesis
• Expresar y debatir ideas
• Aprender comenzando con el análisis de sus propios errores
Las sesiones EMAT-Hidalgo se organizan a partir de actividades en las cuales
los alumnos reflexionan sobre lo que han realizado con la herramienta
computacional, y lo sintetizan para comunicarlo; por otro lado, estas actividades
ya contestadas proporcionan información al profesor acerca de la comprensión
que los alumnos tienen de los conceptos matemáticos involucrados.
Finalmente, una reflexión:
La educación es la base del progreso en cualquier parte del mundo y en la
medida que el compromiso de los profesores se haga más expreso y se recupere
la vocación profesional, podremos tener aspiraciones de superación sustentadas
en hechos y no en sueños.
Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz
Coordinadores Estatales del Programa EMAyCIT-Hidalgo
8
Pág.
19
Programación Tercer Grado
EMAT-HIDALGO
Semana
1
2
3
4
Bloque UNO
1. Transformen expresiones algebraicas en
otras equivalentes al efectuar cálculos.
2. Apliquen los criterios de congruencia
de triángulos en la justificación de
propiedades de figuras geométricas.
Semana
Bloque UNO
1
3. Resuelvan problemas que implican
relacionar ángulos inscritos y centrales
de una circunferencia.
2
3
4
Semana
1
2
3
4
4. Resuelvan problemas que implican
determinar una razón de cambio,
expresarla algebraicamente y
representarla gráficamente.
Bloque DOS
1. Resuelvan problemas que implican el
uso de ecuaciones de segundo grado,
asumiendo que éstas pueden
resolverse mediante procedimientos
personales o canónicos.
2. Resuelvan problemas que implican
utilizar las propiedades de la
semejanza en triángulos y en
general en cualquier figura.
Herramienta
SEPTIEMBRE
Actividad
Calculadora
Programas equivalentes
13
Calculadora
“Deshacer” operaciones
14
Geometría
dinámica
Criterios de
congruencia de triángulos
15
Geometría
dinámica
Figuras directa o
inversamente congruentes
17
Herramienta
OCTUBRE
Actividad
Pág.
Pág.
Geometría
dinámica
La circunferencia: radios,
cuerdas y tangentes
19
Geometría
dinámica
Ángulos en la
circunferencia
25
Calculadora
¿Grados
Fahrenheit o Celsius?
27
Calculadora
¿No podría ir más rápido?
29
Herramienta
Hoja de cálculo
Calculadora
NOVIEMBRE
Actividad
Problemas que implican
el uso de ecuaciones de
segundo grado
Resolviendo ecuaciones de
segundo grado
Pág.
30
31
Geometría
dinámica
Idea de triángulos
semejantes
33
LOGO
Polígonos regulares
35
Propuesta Hidalgo  3er Grado
9
Semana
1
2
Semana
3
4
5
6
Semana
1
2
3
4
10
Bloque DOS
3. Resuelvan problemas de probabilidad
que impliquen utilizar la simulación.
Bloque TRES
1. Interpreten y representen, gráfica y
algebraicamente, relaciones lineales y
no lineales.
2. Utilicen adecuadamente la fórmula
general para resolver ecuaciones de
segundo grado.
Bloque TRES
3. Resuelvan problemas geométricos que
implican el uso del teorema de Tales.
4. Conozcan las condiciones que generan
dos o más figuras homotéticas, así
como las propiedades que se conservan
y las que cambian.
DICIEMBRE Y ENERO
Herramienta
Actividad
Pág.
Hoja de cálculo
Simulación con el
modelo de urna (I)
39
Hoja de cálculo
Simulación con el
modelo de urna (II)
40
Herramienta
Actividad
Hoja de cálculo
Analizando gráficas
de rectas
Geometría
dinámica
Calculadora
Hoja de cálculo
Herramienta
Construyendo varias
gráficas de funciones
con Geometría dinámica
Comprobación de la
fórmula general de
segundo grado
Funciones cuadráticas
FEBRERO
Actividad
42
43
44
45
Pág.
Geometría
dinámica
Teorema de Thales
47
Geometría
dinámica
Recíproco del
teorema de Thales
49
LOGO
Razón y proporción
51
Geometría
dinámica
La homotecia como
aplicación del
teorema de Thales
58
Programación Tercer Grado
EMAT-HIDALGO
MARZO Y ABRIL
Actividad
Semana
Bloque CUATRO
Herramienta
1
1. Representen algebraicamente el
término general, lineal o cuadrático, de
una sucesión numérica o con figuras.
Calculadora
¿Una ecuación para
desalojar la escuela?
62
Hoja de cálculo
Números poligonales
63
Geometría
dinámica
Teorema de Pitágoras
64
LOGO
Triángulos
66
Hoja de cálculo
Explosión demográfica
Inflación contra salario
71
72
Interés compuesto
74
Tiempos de duplicación en
el crecimiento compuesto
76
2
3
4
5
6
Semana
2. Resuelvan problemas que implican el
uso del teorema de Pitágoras y
razones trigonométricas.
3. Resuelvan problemas que implican el
uso de procedimientos recursivos, tales
como el crecimiento poblacional o
el interés sobre saldos insolutos.
Bloque CINCO
1
2
3
1. Resuelvan problemas que impliquen
calcular el volumen de cilindros y conos
o cualquier término de las fórmulas que
se utilicen. Anticipen cómo cambia el
volumen al aumentar o disminuir
alguna de las dimensiones.
4
Semana
Bloque CINCO
1
2
2. Describan la información que contiene
una gráfica del tipo caja‐brazos.
Hoja de cálculo
Herramienta
MAYO
Actividad
Pág.
Pág.
Geometría
dinámica
Construyendo algunos
cuerpos geométricos
78
Hoja de cálculo
Uso de fórmulas de área
y volumen de sólidos
79
Geometría
dinámica
Problemas de
optimización (I)
81
Geometría
dinámica
Problemas de
optimización (II)
82
Herramienta
JUNIO
Actividad
Pág.
Hoja de cálculo
Lanzamiento de dados (I)
83
Hoja de cálculo
Lanzamiento de dados (II)
85
3
Propuesta Hidalgo  3er Grado
11
Iconos
Al inicio de cada actividad aparece, a
la derecha del tema, un elemento que
muestra el nombre de archivo a utilizar
después del icono que indica qué
recurso tecnológico debe usarse para
su realización. Los iconos usados y su
significado son los siguientes.
NombreDeArchivo
Significa que para esta actividad se requiere
el uso de la hoja de cálculo.
Quiere decir que para esta actividad
se necesita la calculadora.
Significa que en esta actividad se requiere el
uso de un software de geometría dinámica.
Quiere decir que para la realización de esta actividad
es indispensable el uso del lenguaje LOGO.
12
Bloque Uno
ProgramEquivalent
Programas equivalentes
Llamaremos programas equivalentes a los programas que producen los mismos resultados.
1. Escribe sobre la línea dos programas que sean equivalentes al programa A x 1
2. Un alumno dice que el programa A x 1 es equivalente al programa A. ¿Estás de acuerdo con
él?
Escribe en tu calculadora el programa A y compara los resultados con el
programa A x 1. Escribe tus conclusiones a continuación
3. Construye tres programas equivalentes al programa 3 x B. Pruébalos en tu calculadora y, si
producen los mismos resultados, escríbelos a continuación.
1)
2)
3)
4. De la siguiente lista de programas, subraya los que sean equivalentes al programa B. No debes
tener errores. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas.
A ÷ 2 + A ÷ 2
4 × B – 4 × B
5 × C – 4 × C
B + B
1×D×1
5. Comprueba cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son equivalentes. Usa la
calculadora para comprobar tus respuestas.
(3a + 15) - b(a + 5) = (a + 5)(3 - b)
x 2 + 10x + 25 = (x - 5)2
x 3 - 4x 2 + x + 6 = (x - 1)(x 2 - 5x + 6)
x 3 - 4x + 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)
2x - 6
1
=
, si x ≠ -3
2
2x - 18
x+3
x2 - 4
x+2
=
, si x ≠ 2
2
x - 4 (x - 1)
x-2
Propuesta Hidalgo  3er Grado
13
“Deshacer” operaciones
DeshacerOperacion
Gerardo y Silvia resolvieron la ecuación 5(a + 2) + 4 = 59 “deshaciendo” operaciones. Su estrategia
consistió en usar operaciones inversas a las que se muestran en la ecuación. La manera en que
razonaron se describe a continuación.
Primero notaron que si 5(a + 2) + 4 = 59, entonces podían obtener el valor de 5(a + 2) “deshaciendo
sumar 4” a través de restar 4. Esto los condujo a la ecuación 5(a + 2) = 55.
Para hacer la ecuación 5(a + 2) = 55 más sencilla “deshicieron” multiplicar por 5, dividiendo
entre 5. Con esto obtuvieron la ecuación a + 2 = 11, porque a + 2 es la quinta parte de 5(a + 2) y
la quinta parte de 55 es 11.
Por último resolvieron la ecuación a + 2 = 11, decidieron “deshacer” sumar 2, restando 2. Así
encontraron que a = 9, esto es la solución de la ecuación 5(a + 2) + 4 = 59.
¿Esá clara la estrategia que usaron Gerardo y Silvia? Si tu respuesta es afirmativa, resuelve las
siguientes ecuaciones como ellos lo hicieron. Usa tu calculadora para realizar esta actividad.
Verifica las respuestas, recuerda que sólo debes escribir respuestas correctas.
a) 7(a - 8) + 25 = 39
c)
2
52
+ 5(b - 1) =
5
5
e) 15 +
g)
14
y + 12
= 22
3
4(x - 5)
- 6 = -2
3
b) 18 + 8(b + 4) = 94
d)
x-8
-2=5
2
f)
x - 0.5
93
+5=
8
16
h)
5(x - 3)
+ 12 = 17
7
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Criterios de congruencia
de triángulos
CriterCongruenTri
Para este tema vamos a hacer uso de Geometría dinámica, para ello tendrás que usar
las herramientas edición numérica, semirrecta, transferencia de medida, circunferencia,
rotación, triángulo, distancia y longitud, marca de ángulo, ángulo.
Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son; sin embargo
puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes
correspondientes son HOMÓLOGAS.
Las condiciones que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan
CRITERIOS DE CONGRUENCIA, los cuales son:
1. Criterio LLL: si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los de otro,
entonces los triángulos son congruentes.
Construye un triángulo cuyos lados midan 8.7, 9 y 5.5.
C
8,7
9
5,5
0
68,9
A
5,50 cm
9,00 cm
74,9 cm
36,20
8,70 cm
B
Propuesta Hidalgo  3er Grado
15
2. Criterio LAL: Si en un triángulo dos lados y el ángulo que forman son iguales a dos lados y el
ángulo comprendido por éstos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Construye un triángulo en el que dos lados midan 7.3 y 4.7, y el ángulo que forman sea de 120
grados.
7,3
120
4,7
C
37,10
4,70 cm
10,47 cm
120,00
22,90
7,30 cm
A
B
3. Criterio ALA: Si en un triángulo dos ángulos y su lado común son iguales a dos ángulos y su
lado común de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Construye un triángulo en el que dos ángulos midan 100° y 47°, y el lado entre ellos mida 4.60 cm.
C
100
4,6
-47
330
8,32 cm
6,18 cm
100,00
A
16
47,00
4,60 cm
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
B
Figuras directa o
inversamente congruentes
Direc/InverCongruen
 Triángulos y cuadriláteros
Propósito: Distinguir cuando dos figuras
son directamente congruentes o
inversamente congruentes.
I
II
IV
III
¿Cómo son entre sí los triángulos
formados por las diagonales que
atraviesan el rombo de arriba?
Algunos son directamente congruentes, mientras
otros son inversamente congruentes.
Si el punto de intersección de las
diagonales es el vértice común de
los cuatro triángulos, ¿qué valor
tiene el ángulo en este vértice
común, en cada uno de los cuatro
triángulos?
Por lo tanto, para clasificar los
triángulos como directamente
o inversamente congruentes,
bastará una rotación o una
reflexión, respectivamente.
Propuesta Hidalgo  3er Grado
17
¿Cuáles son los triángulos directamente congruentes?
Demuestra lo anterior utilizando el comando ROTACIÓN y
describe lo que pasa.
¿Cuáles son los triángulos inversamente congruentes?
Demuestra lo anterior utilizando el comando Refleja objeto en
recta y describe lo que pasa.
18
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
La circunferencia:
Radios, cuerdas y tangentes
LineasCircunferencia
 Radios
B
Propósito: descubrir
propiedades de la
circunferencia.
A
O
Elige dos puntos, A y B, sobre la circunferencia de centro O.
Propuesta Hidalgo  3er Grado
19
El triángulo AOB, ¿tiene alguna característica particular?
Ahora, si desplazas el punto B sobre la circunferencia,
¿qué ocurre con el triángulo AOB?
Desde
O
traza
una
perpendicular a la cuerda
AB, y llama L al punto en
que intersecta a la cuerda.
Al mover B o A sobre
la circunferencia, ¿qué
relación se tiene entre las
longitudes de AL y LB?
20
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
 Cuerdas
Propósito: descubrir propiedades
de las cuerdas en la circunferencia.
A
M
B
O
Sobre una circunferencia de centro O elige dos puntos A y B;
traza la cuerda que los une y encuentra su punto medio M. Une
M y O por medio de un segmento (trazo punteado).
¿Cuánto mide el ángulo AMO?
Ahora desplaza el punto A sobre la circunferencia. ¿Cambia
el ángulo AMO? ¿A qué atribuyes lo anterior?
Propuesta Hidalgo  3er Grado
21
Traza el punto diametralmente opuesto a B y llámalo
B’. BB’ es un diámetro de la circunferencia. Si trazas el
segmento B’A, ¿qué posición tiene respecto al segmento OM?
Desplaza el punto A sobre la circunferencia. ¿Sigue
manteniéndose la propiedad entre B’A y OM?
22
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
 Tangentes
Propósito: descubrir qué propiedades caracterizan
a la recta tangente a la circunferencia.
Nombre
Edad
Escuela
Fecha
M
N
P
65,70
O
P es un punto exterior a la circunferencia desde el cual
se traza un segmento que la intersecta en dos puntos: M
y N.
¿Qué particularidad tiene el triángulo OMN?
¿Cómo son los ángulos OMN y ONM?
Propuesta Hidalgo  3er Grado
23
¿Cómo se llama la semirrecta PM (o PN) con respecto a
la circunferencia?
Al mover la semirrecta PM, ¿qué le ocurre al ángulo OMN?
¿Qué valor toma el ángulo OMN si M coincide con N?
En este caso, ¿cómo se le llama a la semirrecta PM?
¿Y el triángulo OMP?
Escribe los pasos a seguir para trazar la tangente desde un
punto P exterior a una circunferencia dada.
24
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Ángulos en la
circunferencia
AngulosCircunf
Con el uso de Geometría dinámica, corrobora las definiciones y las
construcciones.
Ángulo central
Es el ángulo formado por dos radios
de una circunferencia. Su medida
es proporcional al arco que sostiene
y la razón de proporcionalidad es el
radio.
Ángulo inscrito
Llamaremos ángulo inscrito en una
circunferencia a aquel que tiene su
vértice sobre la circunferencia y sus
lados son rectas secantes. Su medida
es la mitad del arco que abarca.
A
113,90
A
O
V
B
63,20
O
Ángulo semiinscrito
Es aquel ángulo que tiene su vértice
sobre la circunferencia, un lado
tangente y el otro secante. Su medida
es la mitad del arco que subtiende.
T
126,40
B
53,40
106,80
R
O
Propuesta Hidalgo  3er Grado
25
Ángulo exinscrito
Se llama así al ángulo que tiene su
vértice sobre la circunferencia, un
lado es secante y el otro exterior a
la circunferencia. Su medida es la
semisuma de los arcos comprendidos
entre los lados del ángulo y entre los
lados del opuesto por el vértice.
Ángulo interior
Es aquel que tiene el vértice en el
interior de la circunferencia. Su
medida es igual a la semisuma de los
arcos interceptados por él y por su
opuesto por el vértice.
E
113,80
T
120,60
107,0
D
U
C
0
O
V
58,60
S
B
Ángulo exterior
Su vértice esta fuera de la
circunferencia
y
sus
lados
son secantes. Su medida es la
semidiferencia entre las amplitudes
de los arcos que abarca.
A
E
B
45,6
0
D
32,70
123,90
O
C
26
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
73,60
88,60
O
A
¿Grados
Fahrenheit o Celsius?
Fahrenheit/Celsius
En México se usa la escala en grados Celsius (centígrados) para medir la temperatura y en otros
países se usa la escala Fahrenheit. La siguiente tabla muestra algunas equivalencias entre esas
escalas.
FAHRENHEIT
-13
-4
5
32
100
CELSIUS
-25
-20
-15
0
37.77
1. Usa los datos de la tabla para hacer una gráfica de puntos. En el eje x representa los valores
en grados Fahrenheit y en el eje y los valores en grados Celsius.
2. ¿Puedes construir una gráfica que pase exactamente por esos puntos o se aproxime a ellos? ¿Qué tipo de gráfica construirías?
¿Qué ecuación usaste para construir tu gráfica?
3. Usa la ecuación que construiste para completar la siguiente tabla y compara los valores que
obtuviste con la tabla de valores dados.
X (FAHRENHEIT)
-13
-4
5
32
100
Y (CELSIUS)
Si encontraste diferencias importantes entre los valores de tu tabla y los de la tabla que se te dio,
ajusta la ecuación hasta que obtengas una mejor aproximación.
¿Obtuviste una nueva ecuación?
¿Cuál es?
4. Usa la gráfica que construiste para contestar lo que se pide en cada caso.
a) ¿A cuántos grados Celsius equivalen 60 grados Fahrenheit?
b) ¿A cuántos grados Celsius equivalen -12 grados Fahrenheit?
c) ¿A cuántos Fahrenheit equivalen 24 grados Celsius?
d) El agua hierve a 100° C, ¿a qué temperatura hierve si la medimos en grados Fahrenheit?
Propuesta Hidalgo  3er Grado
27
5. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Encuentras diferencias notables?
¿A qué crees que se deban?
6. ¿Podrías usar los datos de la tabla que se te dio al inicio de esta actividad para encontrar
una fórmula que te permita obtener la equivalencia de grados Fahrenheit a grados Celsius?
¿Cómo lo harías?
28
Si pudiste hacerlo, completa la siguiente fórmula: °F =
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
¿No podría ir más rápido?
Un automóvil viaja a velocidad constante.
En el eje y se muestra la distancia en metros
que recorre. En el eje x se registró el tiempo
del recorrido en intervalos de 2 segundos.
VelocidadConstante
y
Escala en el eje x: 2 tiempo
Escala en el eje y: 1 distancia
x
Contesta lo que se pide en cada caso usando la información que da esa gráfica.
1. ¿Durante cuánto tiempo se registró el movimiento del automóvil?
2. ¿Cuántos metros ha recorrido el automóvil después de 2 segundos?
3. ¿Qué distancia recorrió el automóvil al término de 6 segundos?
¿Y de 7 segundos?
4. ¿Cuánto tiempo empleó el automóvil en recorrer 100 metros?
¿Cuánto en recorrer 110 metros?
5. Construye una gráfica que pase por esos puntos. ¿Qué ecuación utilizaste para construirla?
¿Qué hiciste para encontrar la ecuación?
6. Usa la ecuación que encontraste para contestar las siguientes preguntas.
a) Si el automóvil se mantiene a la misma velocidad, ¿qué distancia recorrerá durante 2
minutos?
¿En una hora?
¿En
una hora y 20 minutos?
b) ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer dos kilómetros?
c) ¿A qué velocidad se está moviendo el automóvil?
¿Qué hiciste para responder esta pregunta?
7. Un alumno dice que la ecuación y = 20x le permite representar el movimiento del automóvil.
¿Estás de acuerdo con lo que dice?
Propuesta Hidalgo  3er Grado
29
Bloque Dos
Problemas que implican el uso
de ecuaciones de segundo grado
Problem2doGrado
Para poder resolver los siguientes problemas haremos uso de la hoja de cálculo,
en donde se modelará cada problema y mediante estimación y cálculo mental,
se irán acotando la o las soluciones.
a) Encontrar dos números cuya diferencia es 8 y su producto sea 48.
b) La suma de un número con su recíproco es 26/5. Encontrar el número.
c) Una sala rectangular cuya longitud excede a su ancho en 3 m requiere 54 m2 de alfombra de
pared a pared. ¿Cuáles son las dimensiones de la sala?
d) Un estudiante universitario se encontraba a 4 km del edificio donde tenía la siguiente clase
una hora más tarde. Primero caminó un kilómetro y luego tomó un transporte cuya velocidad
media fué 12 km/hr mayor que su velocidad a pie.
Encontrar la velocidad con la que caminó si llegó a la hora de su clase.
e) Una bandera tiene una cruz blanca, de anchura uniforme, sobre fondo rojo. Encuentra
el ancho de la cruz, que ocupe exactamente la mitad del área total de la bandera, si ésta
mide 4m x 3m.
f) Encuéntrese un número negativo tal que la suma de su cuadrado con el quíntuplo del mismo
sea igual a 6.
g) El área de un triángulo es 42 m2. Encuentre la base y la altura si la última excede a la
primera en 5 m.
h) El costo de la fiesta anual de un club se divide entre los miembros que asisten. En 2 años
consecutivos, el costo total fue $500.00 y $570.00, respectivamente, pero el costo por miembro
fue $ 0.50 menor el segundo año. Calcúlese el número de miembros que asistieron a cada
fiesta, si la asistencia en el segundo año fue de 10 miembros más que en el primero.
i) Varias personas planearon un viaje, contribuyendo cada uno con $600.00, pero luego
calcularon que con un grupo más grande, podrían reducir sus gastos en $30.00 diarios por
persona y alargar el viaje un día más con la misma contribución de $600.00. Calcule el costo
diario por persona que habían planeado para el grupo original.
30
Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Resolviendo ecuaciones de
segundo grado
Ecua2doGrado
Una ecuación cuadrática con una variable es cualquier ecuación que se pueda escribir en la forma
ax 2 + bx + c = 0, donde x es una variable, en tanto que a, b y c son constantes. Nos referiremos
a esta forma como la forma general de la ecuación cuadrática.
Con el uso de la calculadora, aprovechando su manipulación simbólica, comprueba cada
uno de los ejercicios ya resueltos intentando hacer los pasos correspondientes
para lograr el despeje de la variable, además de resolver los ejercicios tipo.
 Raíz cuadrada
Un tipo más sencillo de ecuación cuadrática, por su solución, corresponde al caso especial en que falta
el término con la variable de primer grado, es decir, cuando está en la siguiente forma: ax 2 + c = 0
El método de solución aprovecha directamente la definición de raíz cuadrada. El proceso se ilustra
en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1
Resuelve por medio de
la raíz cuadrada
2x 2 - 3 = 0
Ejercicio tipo:
Solución:
2) 3x 2 - 27 = 0
2x 2 - 3 = 0
1) x 2 - 8 = 0
3) 2x 2 - 8 = x 2 - 4
2x 2 = 3
x2 = ±
x=
/3
√ 2
± √6
2
 Factorización
Si los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 son tales que la expresión
ax 2 + bx + c = 0 puede escribirse como el producto de dos factores de primer grado con coeficientes
enteros, dicha ecuación cuadrática podrá resolverse rápida y fácilmente. El método de solución
por factorización se basa en la siguiente propiedad de los números reales:
Si a y b son números reales, entonces:
ab = 0 si y sólo si a = 0 o b = 0 (o ambos valen cero).
Propuesta Hidalgo  3er Grado
31
Esta propiedad se demuestra con facilidad: si a = 0, hemos concluido. Si a ≠ 0, multiplicamos
ambos miembros de ab = 0 por 1/a, para obtener: b = 0.
Ejemplo 1
Resuelve por factorización
2x 2 = 3x
Solución:
Ejercicio tipo:
1) x 2 + 2x - 15 = 0
2) x 2 + 20x + 35 = 35x - 21
2x 2 = 3x
(2x 2 - 3x) = 0
3) 8x 2 - 7x = 5x 2 +10x
x (2x - 3) = 0
x = 0 ó 2x - 3 = 0
x=0 ó x=
3
2
 Completando el trinomio cuadrado perfecto
El método de compleción del cuadrado se basa en el proceso de transformar la ecuación cuadrática
general ax 2 + bx + c = 0 para que quede así: (x + A)2 = B . Donde A y B son constantes.
Ejemplo 1
Resuelve por el método de compleción
del cuadrado
x 2 + 6x - 2 = 0
Ejercicio tipo:
Solución:
x 2 + 6x - 2 = 0 Sumamos 2 a ambos
miembros de la ecuación para eliminar
-2 del miembro izquierdo.
2) x 2 + 20x + 35 = 35x - 21
1) x 2 + 2x - 15 = 0
3) 2x 2 - 4x - 3 = 0
x 2 + 6x = 2 Para completar el cuadrado
del miembro izquierdo, sumamos el
cuadrado del coeficiente de x sobre 2,
en ambos miembros de la ecuación.
x 2 + 6x + 9 = 9 + 2
miembro izquierdo.
Factorizamos el
(x + 3)2 = 11 Resolvemos por medio de
la raíz cuadrada.
x + 3 = ± √11
x = - 3 ± √11
32
Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Idea de triángulos
semejantes
IdeaTriangSemejan
 Semejanza
P
Q
Propósito: Descubrir, a partir
de los triángulos equiláteros,
los triángulos semejantes.
R
Con la opción POLÍGONO REGULAR construye
un triángulo equilátero PQR.
Ahora, mide los ángulos.
¿Cuánto mide cada uno?
Si arrastras el vértice
P, ¿qué le ocurre al
triángulo?
¿La medida de los ángulos cambia o se mantiene?
Propuesta Hidalgo  3er Grado
33
Anota las conclusiones a las que te lleva lo que has
realizado.
Finalmente explica qué se mantiene y qué cambia en todos los
triángulos equiláteros anteriores.
34
Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Polígonos regulares
PoliRegLogo
Escribe el procedimiento para que la tortuga dibuje cuadrados de diferentes tamaños.
PARA CUADRADO
FIN
¿Y triángulos equiláteros?
PARA TRIÁNGULO
FIN
Escribe procedimientos para dibujar tantos polígonos regulares como puedas y llena la tabla de
la siguiente página.
Propuesta Hidalgo  3er Grado
35
POLÍGONO
NÚMERO DE LADOS
ÁNGULO DE ROTACIÓN
Triángulo
120°
Cuadrado
4
Pentágono
Hexágono
6
Octágono
45°
………..
N
Encuentra la relación entre el número de repeticiones y el ángulo.
REPITE
[ AV 20 GD
¿CONEXIONES?
Escribe tus observaciones.
36
Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
]
 Generaliza: Un procedimiento para cualquier polígono regular
¿Cómo escribirías un procedimiento para dibujar cualquier polígono regular?
Si no sabes escribir el procedimiento en Logo, usa tus propias palabras
para explicar cómo crees que podría ser el procedimiento.
Propuesta Hidalgo  3er Grado
37
 De polígonos a circunferencias
Usando tu experiencia en dibujar polígonos regulares:
¿Puedes escribir un procedimiento para dibujar una circunferencia?
PARA CIRCULO
FIN
¿Puedes hacer circunferencias de diferentes tamaños?
Elabora un procedimiento para simular el movimiento de un reloj
38
Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Simulación con el
modelo de urna (I)
ModeUrna01
 Probabilidad
Simula una serie de volados con el archivo ModeUrna01. Escribe en las celdas reservadas para
los colores las palabras águila y sol.
¿Qué debes escribir en las cantidades?
¿Hubiera sido lo mismo escribir en las cantidades 5 y 5 o 10 y 10?
¿Por qué?
En 20 volados, ¿cuántas águilas esperas ver?
Contesta la siguiente pregunta, explicando cómo llegaste a la respuesta.
¿Qué es más probable que salga en los primeros dos tiros: dos águilas o un águila y un sol (en
cualquier orden)?
Propuesta Hidalgo  3er Grado
39
Simulación con el
modelo de urna (II)
ModeUrna02
 Probabilidad
Ahora imagina la siguiente situación.
Cinco amigos toman cinco palillos, uno de ellos partido a la mitad, y acuerdan que el que saque el
palillo corto usará primero la bicicleta que compraron entre todos.
En este caso quien toma el palillo corto no lo regresa sino que se queda con él. A esto en
matemáticas se le llama sin reemplazo. En estos casos, las proporciones cambian conforme se
toman los objetos.
¿Cuál es la probabilidad de que el primero que toma un palillo saque el más corto?
Si el primero que toma un palillo saca uno largo, ¿cuántos largos y cuántos cortos quedan?
¿Cuál es entonces la probabilidad de que el segundo tome el palillo corto?
Si el primero que toma un palillo saca el corto, ¿cuántos largos y cuántos cortos quedan?
¿Cuál es la probabilidad de que el segundo muchacho en turno tome el palillo corto?
Abre el archivo ModeUrna02 para simular esta situación. Cambia los colores por las palabras
largo y corto, con sus cantidades respectivas (4 y 1). Cambia también la celda G3 de Con a Sin,
para indicar que tienes una situación sin reemplazo.
¿En qué extracción apareció el palillo corto?
¿En qué extracción es más probable que aparezca el palillo corto?
¿En qué extracción es menos probable que aparezca el palillo corto?
El experimento que aparece en la siguiente página te ayudará a saber si contestaste correctamente
las preguntas anteriores.
40
Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Oprime la tecla F9 y fíjate en qué número de extracción salió el palillo corto. Marca en la tabla
siguiente con una diagonal (/) el número que corresponda. Sigue oprimiendo la tecla y marcando
en dónde apareció el palillo corto. Después de haber llenado una de las filas, cuenta las diagonales
y escribe el total en la columna correspondiente.
CONTEO DE VECES QUE EL PALILLO
CORTO SALE EN ESTA EXTRACCIÓN
TOTAL
1
2
3
4
5
¿Qué extracción tiene el mayor total?
¿Hay mucha variación con los otros totales o son más o menos similares?
Compara tus resultados con otros equipos de trabajo. Discute con todo el grupo cada uno de los
resultados obtenidos y sumen en el pizarrón los totales de todos los equipos.
¿A qué conclusión puedes llegar?
Considera las siguientes situaciones.
Un maestro califica sus exámenes sacando fichas de una bolsa. En ella tiene siete palomitas
(√) y tres taches (X). Cada vez que saca una ficha de la bolsa evalúa una pregunta y después la
deja afuera hasta que termina de calificar el examen. Modela varias veces esta situación con el
programa (supón que el examen tiene cinco preguntas).
¿Qué combinación de palomitas y taches es la más probable?
Un paquete de 52 barajas tiene cuatro ases. Una persona te dice que puede sacarlos todos en las
primeras 20 cartas que ponga sobre la mesa. ¿Qué tan probable es esto? Simula esta situación y
estudia la frecuencia de que aparezcan los cuatro ases en las primeras 10 extracciones.
Propuesta Hidalgo  3er Grado
41
Bloque Tres
Analizando gráficas
de rectas
AnaGraLin
 Álgebra
¿Sabes que la ecuación de una recta es de la forma: y = mx + b (donde m y b representan dos
números cualesquiera)?
¿Qué significa esto?
Para saberlo, encuentra el significado de los valores de m y b. Abre el archivo AnaGraLin; cambia
a tu gusto los valores de m y b y observa qué sucede. Cambia varias veces el valor de b y observa
el comportamiento de la gráfica.
¿Qué nos indica el valor de b en la gráfica de la recta?
Toma el valor b = 0; cambia varias veces el valor de m y observa el comportamiento de la gráfica.
¿Qué nos indica el valor de m en la gráfica de la recta?
Con la información anterior, encuentra los valores apropiados de b y m para que la recta:
a) Pase por el origen y el punto (2, 2).
b) Corte el eje y en el valor 8 y corte el eje x en el valor –4.
c) Corte el eje y en el valor 4 y baje 2 celdas en y por cada celda en x.
d) Sea horizontal y que corte el eje y en el valor 4.
Por último, introduce en el programa los coeficientes de una línea recta y pide a un compañero
que deduzca la ecuación de la recta estudiando la gráfica. Cuando la haya encontrado, pídele que
determine los coeficientes de una línea recta para que tú los deduzcas.
42
Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Construyendo varias gráficas de
funciones con Geometría dinámica
GrafdeFun
En esta actividad vamos a hacer uso de la Geometría dinámica, para
realizar las gráficas de funciones: lineal, cuadrática, cúbica y recíproca.
Las herramientas que se emplearán en la secuencia para graficar, son:
1.
2.
3.
4.
Mostrar ejes.
Nuevo punto sobre objeto (sobre el eje X).
Ecuación y coordenadas (del punto anterior).
Calcular (para evaluar la función con respecto a la abscisa del punto anterior y arrastrar el
resultado a la hoja de trabajo).
5. Transferencia de medida (del resultado anterior sobre el eje Y).
Si no se nota, mover el punto sobre el eje X hasta visualizarlo
6.
7.
8.
9.
Punto medio (entre los puntos localizados en ambos ejes).
Simetría (del punto origen con respecto al punto medio, y al punto resultante llamarlo P).
Lugar geométrico (del punto P con respecto al punto sobre el eje X).
Puntero (desplazar al punto de la abscisa sobre el eje X).
Los pasos anteriores se tienen que repetir para cada una de las siguientes funciones:
1) y = 3x - 2
Y
P
Resultado: 3,64
1
1
(1,88; 0,00)
2) f(x) = x 2 - x - 6
3) y = x 3 - x 2 - 2x
X
4) f(x) =
1
x
Propuesta Hidalgo  3er Grado
43
Comprobación de la fórmula general
de la ecuación de segundo grado
FormGral2doGrado
Esta aplicación muestra cómo calcular la solución de una ecuación de segundo grado: ax 2 + bx + c = 0.
Para hallar la solución, se va a completar el cuadrado del binomio que represente dicha ecuación,
haciendo uso de la manipulación simbólica de la calculadora.
1. Borra lo que haya en la pantalla principal con F1 y opción 8 y después pulsa la tecla CLEAR.
2. En la pantalla principal, introduce la ecuación general de segundo grado.
3. Resta c de ambos lados de la ecuación.
4. Divide ambos miembros de la ecuación entre el coeficiente principal a.
5. Utiliza la función desarr() para desarrollar el resultado de la última respuesta.
6. Completa el cuadrado añadiendo (b/2a)2 a ambos miembros de la ecuación.
7. Factoriza el resultado anterior, utilizando la función factor().
8. Multiplica ambos lados de la ecuación por 4a 2 .
9. Obtén la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación, aplicando las condiciones a>0, b>0 y x>0.
10.Halla el valor de x restando b a ambos lados y dividiendo entre 2a.
44
Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Funciones cuadráticas
FunCuadrati
 Álgebra
Las llamadas funciones cuadráticas tienen la siguiente ecuación general:
y = ax 2 + bx + c
donde a, b, c pueden ser cualquier número, excepto a = 0.
Abre el archivo FunCuadrati. En el programa de hoja de cálculo puedes introducir los coeficientes
de la ecuación que quieres estudiar y la hoja te dará información sobre ella. Los coeficientes
que están incluidos en el archivo que abriste son a = 2, b = 3 y c = –2, los cuales representan la
ecuación:
y = 2x 2 + 3x – 2.
La primera información que da el programa de hoja de cálculo es el valor del discriminante de la
ecuación. El signo del discriminante nos dice cuántas veces la gráfica de la función corta al eje x.
Estos cortes están dados por los valores x1 y x2.
Cambia varias veces el valor del coeficiente c, como te indica la tabla de abajo. En cada caso
observa el signo del discriminante y su mensaje. Verifica en la gráfica el número de cortes que
tiene con el eje x. También observa que los valores de x1 y x2 dados en el programa corresponden
a estos cortes. Llena la tabla siguiente.
VALOR DE C
DISCRIMINANTE
NÚMERO DE
CORTES
VALOR DE X1
VALOR DE X2
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1.125
Propuesta Hidalgo  3er Grado
45
Notarás que las gráficas tienen la forma de una parábola.
¿Cómo se modificó la forma y la posición de la gráfica con el cambio del valor c?
Forma:
Posición:
Cambia varias veces el valor del coeficiente a y observa su efecto (usa primero los valores 2, 3, 4,
5, 6; y después –2, –3, –4, –5 y –6).
¿A qué conclusiones puedes llegar?
Analiza ahora las siguientes funciones cuadráticas (si es necesario, cambia el valor inicial de la tabla
en la celda A16 a otro más apropiado). Puedes calcular la posición del valor mínimo (o máximo) con
el promedio de x1 y x2, es decir: (x1 + x2)/2, ya que está a la mitad entre estos puntos.
ECUACIÓN
y = 2x 2 + 3x - 2
X1
X2
MÍNIMO O
MÁXIMO
POSICIÓN DEL
MÍNIMO
-2
0.5
mínimo
-0.75
y = x2 - 9
y = x 2 - 14x + 24
y = -2x 2 + 6x
y = x 2 + 3x - 3
Comprueba que en cada caso la posición de mínimo o máximo está dada por: –b/2a. Pídele
a tu profesor que te explique cómo se calculan los cortes de la parábola, dónde aparece el
discriminante y por qué su signo te informa sobre sus cortes.
46
Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Teorema de Thales
TeoreThales
A
P
Propósito: Presentar el resultado
fundamental de la semejanza, es
decir, el teorema de Tales.
Q
B
C
El resultado fundamental de la semejanza se conoce como teorema de Tales y puede enunciarse
así: dado cualquier triángulo ABC, si se traza una recta paralela a uno de los lados del triángulo,
por ejemplo, la recta PQ paralela al lado BC, esta recta intersecta los otros lados del triángulo AB y
AC en los puntos P y Q, respectivamente y los lados quedan divididos en segmentos proporcionales;
esto es, P divide al lado AB en los segmentos AP y PB, mientras que el punto Q divide al lado AC
en los segmentos AQ y QC. Entonces, si dividimos la longitud de AP entre la longitud de PB, este
cociente es el mismo que el obtenido al dividir la longitud de AQ entre la longitud de QC.
Como la recta PQ es paralela a BC, verifica (midiendo) que:
AP AQ
=
BP QC
Es decir, los segmentos AP, PB y AQ, QC son proporcionales.
Traza otras rectas paralelas
al lado BC y escribe en el
espacio qué segmentos son
proporcionales.
Propuesta Hidalgo  3er Grado
47
Traza rectas paralelas a otro de
los lados del triángulo ABC y
explica en el espacio siguiente qué
segmentos son proporcionales.
A
B
C
Ahora, si eliges el punto medio de un lado, por ejemplo
el lado AC, y por éste trazas la paralela al lado AB, ¿en
qué punto intersectará el lado BC?
Describe qué ocurre si arrastras con el puntero el vértice C.
48
Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Recíproco del
teorema de Thales
ReciprocoThales
Propósito: Presentar el recíproco
del teorema de Thales.
El teorema recíproco del teorema de Thales
también es cierto y puede enunciarse así: si sobre
dos lados de cualquier triángulo elegimos puntos,
por ejemplo, L sobre BC y M sobre AC, de manera
que cumplan el enunciado
A
BL AM
=
LC MC
entonces al trazar la recta que pasa por los puntos
L y M, ésta es paralela a AB. Mide los segmentos
BL, LC y AM, MC, para obtener los cocientes
correspondientes.
¿Son iguales?
M
B
L
C
Si tu respuesta fue afirmativa, verifica que la recta
que pasa por L y M sea paralela al lado AB.
En el dibujo de la izquierda, los lados AB y AC están
divididos en siete partes iguales; N es uno de los
puntos de división del lado AB, esto es:
A
N
B
AN
=
NB
C
Localiza sobre AC el punto de división para que el
cociente de los segmentos correspondientes sea el
mismo que acabamos de obtener. Traza la recta por N
y por el punto que elegiste; ¿es paralela al lado BC?
Propuesta Hidalgo  3er Grado
49
Un caso de particular interés es cuando se eligen los puntos
medios de dos lados de cualquier triángulo; veámoslo:
A
M
N
C
B
En el triángulo ABC del dibujo, M y N son puntos medios de los lados AC y AB respectivamente.
¿Cuál es el cociente de AM entre MC?
¿Cuál es el cociente de AN entre NB?
¿Qué posición guarda la recta que pasa por los puntos M y N con respecto al lado BC?
Ahora, localiza el punto medio del lado BC y denótalo por L, ¿qué tipo de cuadrilátero es
LCMN?
Por lo tanto:
NM = LC =
1
BC
2
Finalmente, si consideras el triángulo cuyos vértices
son los puntos medios de los lados de un triángulo
dado, ¿cómo son el triángulo dado y el formado
con los puntos medios? Escribe a continuación las
características que comparten ambos triángulos;
no olvides las relaciones entre perímetro y área.
50
Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Razón y proporción
RazonProporLogo
 Casas y Pueblos otra vez
Construye procedimientos para dibujar letras, personas, familias y árboles.
PARA MICASA
AV 50
GD 60
AV 70
GD 60
AV 70
GD 60
AV 50
GD 90
AV 121
GD 90
FIN
Agrega al procedimiento una puerta y una ventana.
En el procedimiento MICASA, ¿qué instrucciones corresponden a los lados?
Dada MICASA, construye un pueblo con casas iguales de diferentes tamaños.
¿Qué instrucciones cambian en MICASA al hacer una casa más grande?
¿Qué instrucciones no cambian?
Propuesta Hidalgo  3er Grado
51
 Figuras a escala
Escribe un procedimiento para dibujar una letra. Por ejemplo:
PARA ELE
AV 100
RE 100
GD 90
AV 50
RE 50
GI 90
FIN
Luego edita tu procedimiento para multiplicar cada parte por una escala.
PARA ELE : ESCALA
AV 100 * : ESCALA
RE 100 * : ESCALA
GD 90
AV 50 * : ESCALA
RE 50 * : ESCALA
GI 90
FIN
Intenta
ELE 0.5
ELE 1.0
ELE 2.7
ELE 1.9
¿Qué sucede con la letra?
¿Qué tan grande la puedes hacer?
¿Qué tan pequeña?
Elabora la primera letra de tu nombre y explora con diferentes escalas.
52
Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
 Letras
Escribe un solo procedimiento para dibujar las letras E de abajo y otras de cualquier tamaño.
150
PARA LETRA E : ESCALA
100
50
100
75
150
50
50
25
75
225
150
75
150
FIN
225
¿Cuáles son los comandos que varían y cuáles los que permanecen iguales?
Propuesta Hidalgo  3er Grado
53
Haz lo mismo para la letra Z.
PARA LETRA Z : ESCALA
27
30
27
9
10
9
45
gd
148
50
45
FIN
¿Qué entrada de la variable :ESCALA se necesita para crear cada una de las letras?
CHICA
MEDIANA
Letras E
Letras Z
Las respuestas dependen de cómo escribiste tus procedimientos
54
Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
GRANDE
 Personas
Con el procedimiento PERSONA crea personas con cabezas más grandes, con piernas más o
menos largas o como se te ocurra.
PARA PERSONA : TAM
CABEZA : TAM
SALTO : TAM
CUERPO : TAM
FIN
PARA SALTO : TAM
RE : TAM
GD : 90
AV : TAM / 2
GI 90
FIN
PARA BRAZOS : TAM
GI 125
AV : TAM / 2
RE : TAM / 2
GD 250 AV : TAM / 2
RE : TAM / 2
GI 125
FIN
PARA CABEZA : TAM
REPITE 4 [GD 90 AV : TAM]
FIN
PARA CUERPO : TAM
RE : TAM / 3
BRAZOS : TAM
RE : TAM
PIERNAS : TAM
FIN
PARA PIERNAS : TAM
GI 150 AV : TAM * 8
RE : TAM * 8
GD 300 AV : TAM * 8
RE : TAM * 8
GI 150
FIN
Propuesta Hidalgo  3er Grado
55
 Familias
Usando PERSONA y los otros procedimientos que creaste en la actividad anterior, crea familias y
hasta una población.
56
Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
 Árboles
Diseña un solo procedimiento que dibuje estos árboles y otros de diferentes tamaños.
60
60
60
60
80
60
80
30
80
90
100
90
90
100
100
60
30
60
90
90
90
120
120
30
120
PARA ARBOL
FIN
Utiliza ARBOL para crear un bosque con árboles de diferentes tamaños.
Propuesta Hidalgo  3er Grado
57
La homotecia como aplicación
del teorema de Thales
HomoteciayThales
Propósito: Utilizar la homotecia como aplicación
del teorema de Thales y su recíproco.
A’
A
C’
C
O
B
B’
Arriba se ilustra la transformación llamada homotecia, mediante
la cual se obtuvo el triángulo A’B’C’ a partir del triángulo ABC; en
este caso, además del objeto por transformar, se debe establecer
un punto O, llamado centro de homotecia, desde el cual se trazaron
rectas (en nuestro caso con dirección a los vértices del triángulo
ABC) sobre el plano del triángulo; finalmente es necesario indicar
un número llamado razón de homotecia (en nuestro caso el 3).
Activa el comando HOMOTECIA y señala el objeto que
se va a transformar; luego indica el centro de homotecia
y al final señala la razón de homotecia (este número se
escribe utilizando el comando EDICIÓN NUMÉRICA).
58
Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Mide los segmentos OA y OA’; ¿qué relación tienen entre sí?
Ahora mide los segmentos OB y OB’; ¿qué puedes decir de su cociente?
Finalmente, mide los segmentos OC y OC’; ¿cuál es la razón entre ellos?
Arrastra uno de los
vértices del triángulo
ABC. ¿Qué ocurre?
Descríbelo.
¿Qué posición guardan los lados AB y A’B’?
¿Qué posición guardan los lados BC y B’C’?
¿Y los lados CA y C’A’?
Si mides los lados de los triángulos ABC y A’B’C’ y divides entre sí las medidas de
los lados correspondientes del triángulo A’B’C’ al triángulo ABC obtienes:
A’B’
=
AB
; B’C’ =
BC
; C’A’ =
CA
¿Cómo son los ángulos ABC y A’B’C’?
¿Y los ángulos BCA y B’C’A’?
¿Y los ángulos que faltan en cada triángulo?
También aparecen otros ángulos; ¿podrías decir cuáles son?
Propuesta Hidalgo  3er Grado
59
Si comparas el área del triángulo A’B’C’ con la del triángulo ABC, ¿cuál es el
cociente o razón entre ellas?
¿Qué relación tiene el cociente obtenido con la razón de homotecia?
El dibujo ilustra la homotecia del cuadrilátero ABCD,
con centro de homotecia O y razón de homotecia –2.
B’
A’
C
O
D
C’
-2
A
B
Explica lo que observas:
60
Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
D’
Arrastra uno de los vértices
del cuadrilátero ABCD y
describe lo que sucede.
Calcula las áreas de ambos cuadriláteros y
encuentra el cociente.
área A’B’C’D’
4
=
área ABCD
1
¿Qué relación tiene este cociente
con la razón de homotecia?.
Propuesta Hidalgo  3er Grado
61
Bloque Cuatro
¿Una ecuación para
desalojar la escuela?
DesalojEsc
La siguiente ecuación permite calcular el tiempo que tardan los estudiantes en desalojar su escuela
durante un simulacro.
y = -5x + 400
1. Usa esa ecuación para construir una gráfica en la calculadora, ajusta el RANGO de manera
que se puedan ver las intersecciones de la gráfica con los ejes vertical y horizontal del plano
cartesiano, y reprodúcela “a mano” a continuación.
400
Número
de
300
estudiantes
dentro
200
de la
escuela
100
20
40
60
80
Tiempo (segundos)
100
2. Responde las siguientes preguntas y justifica claramente tus respuestas.
a) ¿Cuántos estudiantes había dentro de la escuela antes del simulacro?
Justificación.
b) ¿Cuántos estudiantes estaban aún dentro de la escuela cuando habían transcurrido 30
segundos del simulacro?
Justificación.
c) ¿Cuántos estudiantes estaban dentro de la escuela cuando habían transcurrido 55 segundos
del simulacro?
Justificación.
d) ¿Cuántos segundos habían transcurrido cuando quedaban 325 estudiantes?
Justificación.
e) ¿En cuánto tiempo quedó totalmente desalojada la escuela?
62
Justificación.
Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Números poligonales
NumPoligonales
Los pitagóricos solían representar los números mediante puntos en un pergamino o piedrecillas
en la arena, y los clasificaban según las formas poligonales de estas distribuciones de puntos,
es decir, asociaban los números a figuras geométricas obtenidas por la disposición regular
de puntos, cuya suma determina el número representado.
CUADRADOS
PENTAGONALES
HEXAGONALES
NÚMEROS POLIGONALES
TRIANGULARES
TIPO
Así obtenían los diversos tipos de números poligonales o figurados:
ORDEN
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
3
6
9
12
15
4
10
16
22
28
5
15
25
Los números triangulares
(3, 6, 10, 15, ...)
son enteros del tipo
N = 1 + 2 + 3 + ... + n
Los números cuadrados
(4, 9, 16, 25, ...)
son enteros del tipo
N = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1)
Los números pentagonales
(5, 12, 22, ...)
son enteros del tipo
N = 1 + 4 + 7 + ... +(3n-2)
35
Los números hexagonales
(6, 15, 28, ...)
son enteros del tipo
N = 1 + 5 + 9 + ... + (4n-3)
45
Los números heptagonales
(7, 18, 34, ...)
son enteros del tipo
N = 1 + 6 + 11 + ... + (5n-4)
Representación de los números triangulares, cuadrados, pentagonales y hexagonales
Con la ayuda de Hoja de cálculo, construye columnas que modelen los números poligonales y
trata de deducir la fórmula para cualquier orden.
Propuesta Hidalgo  3er Grado
63
Teorema de Pitágoras
TeoremaPitagoras
 Semejanza y teorema de Pitágoras
Propósito: Usar el programa de cómputo
para verificar el teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras relaciona los tres lados
de un triángulo rectángulo; el lado opuesto al
ángulo recto se llama hipotenusa y los otros
se llaman catetos. La siguiente figura muestra
un triángulo rectángulo (aun cuando pueda
girarse, sigue siendo un triángulo rectángulo) y
tres cuadrados, construidos sobre cada uno de
los lados del triángulo.
B
a
c
C
b
Según se indica en la figura, los
catetos son BC = a y CA = b.
A
La hipotenusa en este caso es
el segmento AB = c.
Reproduce el dibujo.
Anota los pasos que seguiste para realizar el ejercicio anterior.
64
Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Obtén las medidas de
cada uno de los lados
del triángulo.
¿Cuánto mide el área de cada cuadrado?
Indica cuál de las siguientes relaciones se cumple.
a2 + b2 = c2
b2 + c2 = a2
c2 + a2 = b2
Arrastra uno de los vértices del triángulo ABC.
¿Se sigue cumpliendo la relación anterior?
Teorema de Pitágoras generalizado.
1) Dibuja un triángulo rectángulo.
2) Construye sobre cada lado del triángulo un polígono regular, que tenga
el mismo número de lados.
3) Calcula el área de cada polígono regular.
4) Suma las áreas más pequeñas y compara con el área mayor.
5) Arrastra uno de los vértices del triángulo ABC.
¿Se sigue cumpliendo la relación anterior?
Propuesta Hidalgo  3er Grado
65
Triángulos
TriRectLogo
Triángulos rectángulos
 Hipotenusas
Completa el procedimiento para calcular
la hipotenusa de un triángulo rectángulo
(a partir de la medida de sus catetos).
Hipotenusa = ?
Cateto 1
Usa el teorema de Pitágoras:
Cateto 2
Hipotenusa2 = (Cateto 1)2 + (Cateto 2)2
Por lo que:
Hipotenusa = √(Cateto 1)2 + (Cateto 2)2
Te recordamos que existe una primitiva
RAIZ CUADRADA (o RC).
PARA HIPOTENUSA :C1 :C2
Esta es la primitiva
DEVUELVE (DEV) que
da salida a un valor.
Si no la conoces,
consulta la unidad 13.
Funciones pp. 111-121.
DEV RC (.............................. + ..............................)
FIN
¿Cuál sería la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 75 y 50? (Teclea ES
HIPOTENUSA 75 50)
Comprueba tu resultado con calculadora.
Usa el procedimiento HIPOTENUSA para dibujar una o ambas diagonales de un cuadrado.
66
Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
 Catetos
Usando el teorema de Pitágoras, encuentra la fórmula para un cateto, en relación a la hipotenusa y
el otro cateto.
Hipotenusa
Cateto 1
Cateto 2 = ?
Cateto 2 =
Usa la fórmula para escribir un procedimiento que calcule el segundo cateto a partir de la
hipotenusa, el cateto faltante, los dos ángulos agudos y también que dibuje el triángulo.
PARA CATETO2 :H :C1
DEV
FIN
Propuesta Hidalgo  3er Grado
67
 Ángulos
Para calcular los ángulos de un triángulo rectángulo se puede usar la siguiente fórmula
trigonométrica.
Cateto
opuesto
α
Cateto adyacente
Tan α = Cateto opuesto/Cateto adyacente
Por lo que la medida del ángulo α está dada por:
α = arctan (Cateto opuesto/Cateto adyacente)
Escribe un procedimiento que calcule los dos ángulos desconocidos y la hipotenusa a partir de dos
catetos de un triángulo rectángulo, y también que lo dibuje.
PARA ANGULO :OPUESTO :ADYACENTE
Nota: Existe una función
primitiva ARCTAN.
DEV
FIN
Usa tu procedimiento para encontrar el ángulo en la figura, entre la hipotenusa y el cateto que
mide 160.
160
?
100
Completa lo que tienes que teclear:
ES ANGULO
El ángulo mide:
Comprueba tu resultado con calculadora.
68
Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
 Combina todo
Usa las herramientas que construiste en las actividades anteriores (procedimientos HIPOTENUSA,
CATETO, ANGULO) para dibujar los siguientes triángulos rectángulos (intenta terminar con la
tortuga en su posición y rumbo iniciales).
85
β
β
35
76
α
100
α
Completa lo siguiente:
PARA TRI1
AV 35
GD 90
AV .......
GD .......
AV .......
GD (90 + ....................................)
FIN
PARA TRI2
....................
....................
....................
....................
....................
....................
FIN
Completa la siguiente tabla:
TRIÁNGULO
CATETO 1
TRI1
35
CATETO 2
HIPOTENUSA
ÁNGULO
INTERNO α
ÁNGULO
INTERNO β
100
TRI2
Propuesta Hidalgo  3er Grado
69
 Generaliza
Usa las herramientas que construiste en las actividades anteriores (procedimientos HIPOTENUSA y
ANGULO) para escribir un procedimiento que dibuje un triángulo rectángulo cualquiera, a partir del
valor de sus dos catetos.
B
A
HIPOTENUSA
Completa lo siguiente.
PARA TRIRECT :A :B
AV :A
GD ..........
AV ..........
GD (180 - ANGULO ..... .....)
AV HIPOTENUSA :A :B
GD ..........
FIN
70
Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Procura que haya transparencia de
estado (que la tortuga termine en
su posición y rumbo iniciales).
Explosión demográfica
ExploDemografica
 Álgebra y nuevas ideas
En 1990 vivían en nuestro país aproximadamente 80 millones de habitantes. Si consideramos que
el territorio mexicano tiene una extensión de casi dos millones de kilómetros cuadrados, ¿cuántas
personas crees que había en promedio por cada kilómetro cuadrado? Al número de habitantes por
kilómetro cuadrado se le llama densidad de población.
En esta actividad conocerás y aplicarás un método para calcular el crecimiento de la población
mexicana y cómo éste se refleja en su densidad de población.
Para empezar, construye una hoja de cálculo de acuerdo con las siguientes instrucciones:
1. En la celda A2 escribe 1990 y encuentra una fórmula para generar una serie que aumente el
año de diez en diez.
2. En la celda B2 escribe la cantidad de habitantes que había en México en 1990. Para calcular
las poblaciones subsecuentes, establece un porcentaje de crecimiento, digamos 25% (esto se
puede precisar consultando los resultados del censo más reciente). Enseguida, escribe en la
celda B3 la fórmula = B2 + 0.25 * B2 (la población anterior más 25%) y cópiala hacia abajo.
3. En la celda C2 escribe la fórmula =B2/2000000 (población/área) que calcula la densidad
poblacional respectiva y cópiala hacia abajo.
A
B
C
1
AÑO
POBLACIÓN
DENSIDAD
HAB. POR KM2
2
1990
80 000 000
40
3
2000
100 000 000
50
4
2010
125 000 000
63
D
¿Qué densidad habrá en el año 2100?
¿En qué año la densidad llegará a 10000 habitantes por kilómetro cuadrado?
Discute estos resultados y sus implicaciones con tus compañeros.
Propuesta Hidalgo  3er Grado
71
Inflación contra salario
InflaVsSalario
 Álgebra y nuevas ideas
En esta actividad verás cómo la inflación reduce el salario efectivo de una persona.
Primero es necesario establecer un par de referencias. Considera que en 1990 el salario de un
trabajador era de $5 000.00 mensuales y que en ese año un coche costaba $50 000.00.
¿Cuántos salarios del trabajador eran necesarios para pagar el coche? Imagina ahora que la
inflación anual es pequeña, por ejemplo de 5%, y que el salario se mantiene fijo.
Con los datos anteriores elabora una hoja de cálculo. Los pasos siguientes te pueden servir:
1. En la celda A2 escribe 1990 y encuentra una fórmula para generar una serie que aumente el
año de uno en uno.
2. En la celda B2 escribe el salario sin cambio.
3. En la celda C2 escribe el costo inicial del coche. En la celda C3 escribe la fórmula = C2 + 0.05
* C2 para calcular cuánto aumenta el costo del coche anualmente debido a la inflación. Copia
la fórmula hacia abajo.
4. En la celda D2 escribe una fórmula apropiada para calcular la cantidad de salarios que se
requieren para comprar el coche.
A
B
C
D
1
AÑO
SALARIO
COSTO COCHE
SALARIOS PARA
COMPRAR COCHE
2
1990
5 000
50 000
10
3
1991
5 000
52 500
10.5
4
1992
5 000
55 125
11
¿En qué año se necesitarán 20 salarios para pagar el coche?
¿En qué medida se ha reducido efectivamente el salario del trabajador?
Considera ahora la situación en la que el salario crece en la misma proporción que la inflación.
Modifica la columna B para que el salario aumente 5% cada año.
72
Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
¿Qué observas en la columna D?
La situación anterior sería ideal. Por lo general los salarios crecen a una razón menor que la
inflación real. Supón, por ejemplo, que la inflación real es de 30% anual. Aplica este porcentaje
al costo del coche en la columna C. Piensa también que debido a esta inflación, los salarios se
incrementan 20% anualmente. Aplica este aumento al salario en la columna B. Tu hoja debe
mostrar los siguientes resultados:
A
B
C
D
1
AÑO
SALARIO
COSTO COCHE
SALARIOS PARA
COMPRAR COCHE
2
1990
5 000
50 000
10
3
1991
6 000
65 000
10.8
4
1992
7 200
84 500
11.7
De acuerdo con tus resultados, ¿cuánto se habrá reducido el salario efectivamente en 10 años?
¿Cuánto se habrá reducido el salario efectivamente en 20 años?
Comenta los resultados de la actividad con tus compañeros y tu maestro.
Propuesta Hidalgo  3er Grado
73
Interés compuesto
InteresCompuesto
 Álgebra y nuevas ideas
¿Sabes cuál es la diferencia entre interés simple e interés compuesto? A continuación vas a
conocerla.
Si se tiene un capital inicial de $10 000 y al depositarlo en una cuenta de inversión nos dicen que
la tasa de interés anual es de 15%, ¿cuál será la ganancia que se obtenga?
Para saberlo, primero debes determinar cuánto es 15% de $10 000.
Así, en el primer año tendremos un capital de:
10 000 + 1 500 = 11 500 pesos
En el segundo año:
11 500 + 1 500 = 13 000 pesos
¿Y en el tercero?
La manera en que calculaste la ganancia del capital inicial se llama interés simple, porque éste se
mantiene constante.
El interés simple no es muy justo si consideramos que, conforme pasan los años, cada vez se
tiene más dinero y por lo tanto los intereses deberían calcularse sobre las nuevas sumas y no
en función del primer depósito. A este principio se le llama interés compuesto. En el primer año
el capital es el mismo:
10 000 + 1 500 = 11 500
En el segundo año tendremos un interés de:
0.15 * 11 500 = 1 725 (ya que en el banco hay ahora11 500 pesos)
Así, el capital será de:
11 500 + 1 725 = 13 225
¿Cuál será el interés en el tercer año si procedemos de la misma manera, es decir si aplicamos la fórmula
0.15 * 13 225?
¿Cuál será entonces el capital?
74
Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Y así sucesivamente.
La fórmula para calcular el interés compuesto puede escribirse así:
Capital siguiente = Capital anterior + Tasa interés * Capital anterior
Construye una hoja de cálculo que haga las operaciones automáticamente. Copia el modelo de la
siguiente tabla:
A
B
C
D
1
TASA DE INTERÉS
CAPITAL INICIAL
AÑO
CAPITAL
2
0.15
10 000
0
10 000
3
1
11 500
4
2
13 225
¿Qué capital habrá en 10 años?
¿Qué capital habría en 10 años si se calculara con interés simple?
¿Qué capital habrá en 20 años?
¿Qué capital habría en 20 años si se calculara con interés simple?
¿Qué capital tendrá una persona después de 20 años si deposita en el banco $1 000.00 con un
interés anual de 12%?
¿Qué población tendrá un país después de 20 años si actualmente tiene 500 000 habitantes y su
tasa de crecimiento es de 3% anual?
¿Cuánto costará un cuadro famoso después de 20 años si actualmente tiene un valor de 10 000
dólares y la tasa de crecimiento de su valor es de 80% anual?
Propuesta Hidalgo  3er Grado
75
Tiempos de duplicación en
el crecimiento compuesto
TiemposDupli
 Álgebra y nuevas ideas
Primero vamos a construir, en una hoja de cálculo, una tabla de crecimiento compuesto como la
que se muestra abajo.
En la columna A van los años. En la columna B se incrementa la cantidad inicial de 100 al 1%
anual. En la columna C se incrementa la cantidad inicial de 100 al 2% anual. Continúa estas
columnas hasta el 10% (columna K)
= B2 + 0.01 * B2
= C2 + 0.02 * C2
A
B
C
D
E
1
AÑOS
1%
2%
3%
4%
2
0
100
100
100
100
3
1
101
102
103
104
4
2
102.01
101.01
106.09
108.16
5
3
103.03
106.12
109.27
112.49
Comprueba que los valores que se obtienen con las fórmulas son los mismos que los de la tabla
de arriba.
76
Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Extiende cada columna hasta que veas el valor 200. El tiempo correspondiente en la columna A
se llama tiempo de duplicación, ya que empezaste con 100 y se llegó hasta 200. Con los valores
encontrados, llena la tabla siguiente:
TASA DE CRECIMIENTO
TIEMPO DE DUPLICACION
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
Discute con tus compañeros para qué pueden servir estos tiempos en los bancos, al prever
poblaciones y estimar el valor de casas, antigüedades y obras de arte.
Extiende tu hoja de cálculo hasta una tasa de crecimiento de 20% y reprodúcela en una hoja de
papel.
¿Qué le pasa a los tiempos de duplicación conforme la tasa de crecimiento aumenta más y más?
¿Cuál sería el tiempo de duplicación para una tasa de crecimiento de 100% anual?
¿Cuál sería el tiempo de duplicación para una tasa de crecimiento de 200% anual?
Propuesta Hidalgo  3er Grado
77
Bloque Cinco
Construyendo algunos
cuerpos geométricos
ConstruyCuerpos
Definición: Un Sólido o Cuerpo Geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones
(largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen.
Haciendo uso del ambiente de geometría dinámica, construye los siguientes cuerpos geométricos,
aprovechando la propiedad de animación.
 Cuerpos planos
Son sólidos geométricos que tienen superficies planas, tales como:
Paralelepípedo, prisma y pirámide …
 Cuerpos redondos
Son sólidos geométricos que tienen superficies curvas, tales como:
Cilindro, cono y esfera.
78
Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Uso de fórmulas de área y
volumen de sólidos
Area/Vol/Solidos
Un sólido geométrico es una región cerrada del espacio limitada por
ciertas superficies que pueden ser planas o curvas.
Recurriremos a algunos casos bien conocidos para introducir el concepto, así como estudiar los
conceptos de área y volumen de un sólido, mediante el uso de hoja de cálculo.
Paralelepípedo rectangular o caja rectangular
Es aquel sólido que tiene base rectangular y
sus aristas laterales son perpendiculares a la
base. Si tiene todas las aristas iguales se llama
cubo. Su área y volumen están dados de la
siguiente manera:
A = 2ab + 2ac + 2bc ; V = abc
Cilindro
Es el sólido conformado por caras paralelas
circulares y el conjunto de todos los
segmentos de línea recta perpendiculares
a sus caras y comprendidos entre ellas.
El área de su superficie y su volumen,
están dados de la siguiente manera:
Prisma recto
Un prisma es un poliedro con dos caras
que son regiones poligonales congruentes
en planos paralelos y las caras laterales
son rectángulos. La altura h es la
distancia entre las caras paralelas. El
volumen de un prisma es el producto del
área de la base por la altura y el área de
la superficie es la suma de las áreas de
las caras que lo limitan.
A = 2πr2 + 2πrh ; V = πr2h
A = (P*a) + (P*h)
V=
P*a*h
2
Propuesta Hidalgo  3er Grado
79
Cono circular recto
Es el sólido cuya base es un círculo y su superficie lateral
está formada por los segmentos de línea recta que unen un
punto 0, sobre la línea perpendicular al círculo y por el centro
de éste, con los puntos de la circunferencia. Cualquiera de
estos segmentos de línea recta se denomina una generatriz y
su longitud se denota con g. La distancia entre ese punto 0
y el centro del círculo se llama altura. Aquí denotamos con h
a la altura y con r al radio de la base circular. El área de su
superficie y volumen están dados de la siguiente manera:
A = πr2 + 2πrg , donde g = √h2 + r2 ; V = 1/3 πr2h
Esfera
Está determinada por todos los puntos del espacio que se
encuentran a una distancia menor o igual a r de un punto
fijo llamado centro (superficie esférica junto con su interior).
Su área y volumen están dados de la siguiente manera:
A = 4πr2
V=
4
πr3
3
Completa la siguiente tabla haciendo uso de la hoja de cálculo Superficie y volumen.xls:
SÓLIDO
GEOMÉTRICO
Paralelepípedo
rectangular
ÁREA
a = 3 cm
Cilindro
Prisma recto
Cono circular
recto
Esfera
80
No. lados = 5
96 cm3
b=
c = 8 cm
r=4m
h=
251.33 m2
Long. de lado =
h=
7 cm
518.61 cm2
r=
h = 5.3 m
r=
Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
VOLUMEN
64.16 m3
314.16 cm2
Problemas de
optimización (I)
ProblemOptim01
La Geometría dinámica nos permite por un lado realizar “experimentos” geométricos, de manera
que lleguemos a establecer las relaciones adecuadas y obtener conclusiones, y por otro
lado facilita la conexión interna entre distintas representaciones matemáticas.
Uno de los objetivos de la Matemática es encontrar métodos que permitan resolver problemas
donde está presente algún criterio de optimización, lo que se debe entender en el sentido de
que se busca el máximo o el mínimo de cierta cantidad en presencia de algunas restricciones.
Resuelve los siguientes problemas con la ayuda de Geometría dinámica.
1. Con un alambre de 10 cm queremos construir un rectángulo de área máxima. ¿Qué dimensiones
debe tener el rectángulo?
b
a
2. Indica cuál es el triángulo de área máxima de entre todos los isósceles de 9 cm de perímetro.
a
a
b
3. Hallar las dimensiones de un depósito sin tapa, en forma de prisma recto de base cuadrada,
de 250 ml (o 250 cm3) de capacidad, que tenga un revestimiento de costo mínimo.
Propuesta Hidalgo  3er Grado
81
Problemas de
optimización (II)
ProblemOptim02
Uno de los objetivos de la Matemática es encontrar métodos que permitan resolver problemas
donde está presente algún criterio de optimización, lo que se debe entender en el sentido de
que se busca el máximo o el mínimo de cierta cantidad en presencia de algunas restricciones.
Haremos lo anterior con Geometría dinámica.
h
Superficie
lateral
cilíndrica
h
d
πd
y
5. Se desea construir una lata de
conservas en forma de cilindro
circular recto, con área total 150 cm2
y volumen máximo. Determinar su
altura y su radio.
x
4. Una ventana tiene la forma de un
rectángulo que está coronado por una
semicircunferencia. Si el perímetro
de la misma es de 6 m, determinar la
longitud de la base que hace que la
ventana tenga la mayor área.
c
b
a
6. Con una cartulina de 10 x 8 cm se
desea construir una caja sin tapa,
de volumen máximo. Hallar las
dimensiones de dicha caja.
82
Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Lanzamiento de dados (I)
UnoDosTresDados
La teoría de la probabilidad está muy relacionada con juegos de azar, como el lanzamiento de dados.
Antes de participar en cualquiera de estos juegos es conveniente saber cuál es la probabilidad de
que salga un resultado u otro.
Si lanzamos un solo dado, existe la misma probabilidad de que salga cualquiera de los seis
números, es decir, es tan probable que salga 1 como que salga 2, 3, 4, 5 o 6.
Esta probabilidad es 1/6.
Para comprobar la parte teórica, hagamos uso del archivo: UnoDosTresDados, y en la
hoja 1 “Un dado”, se hace la simulación de 2 000 lanzamientos de un solo dado.
Cada vez que pulses la tecla F9, registra el de menor y mayor frecuencia. Hazlo veinte veces.
FRECUENCIA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Menor
Mayor
Compara tus resultados con otro compañero, ¿hay mucha diferencia?
¿Los resultados son equiprobables?
¿Si tuvieras que apostar, a qué número lo harías?
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Uno
Dos
Tres Cuatro Cinco Seis
Propuesta Hidalgo  3er Grado
83
 Ahora con dos dados
Al lanzar dos dados, decimos que el número que cae es la suma de los números que aparecen
en las caras superiores de ambos dados. Por ejemplo, si en uno de los dados hay un 2 y en el
otro un 4, decimos que cayó un seis. Cuando lanzas dos dados no todos los números tienen la
misma probabilidad de caer. Veamos cuáles son los números que pueden caer y cómo podrían
obtenerse.
Fíjate en la siguiente tabla. En la columna de la izquierda hemos colocado las sumas que puedes obtener
al lanzar dos dados. En la columna de la derecha está el número de maneras de obtener esas sumas.
SUMA
MANERA DE OBTENERLA
TOTAL
SUMA
MANERA DE OBTENERLA
TOTAL
2
1 +1
1
8
5
3
1+2
2+1
2
9
4
4
3
10
3
5
4
11
2
6
5
12
1
7
6
Total
36
Para comprobar la parte teórica, hagamos uso del archivo: UnoDosTresDados, en la
hoja 2, “Dos dados”, es donde se hace la simulación de 2 000 lanzamientos de dos dados.
Cada vez que pulses la tecla F9, registra el de menor y mayor frecuencia. Hazlo veinte veces.
FRECUENCIA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Menor
Compara tus resultados con otro compañero.
¿Hay mucha diferencia?
¿Los resultados son equiprobables?
¿Si tuvieras que apostar, a qué suma lo harías?
84
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Dos
Tres
Cuatro
Cinco
Seis
Siete
Ocho
Nueve
Diez
Once
Doce
Mayor
Lanzamiento de dados (II)
UnoDosTresDados
 Ahora con tres dados
¿Qué crees que pase si lanzas 3 dados? ¿Habrá algún número que tenga más probabilidades
que otro?
Fíjate en la siguiente tabla. En la columna de la izquierda hemos colocado las sumas que
puedes obtener al lanzar tres dados. En la columna de la derecha está el número de maneras
de obtener esas sumas.
SUMA
MANERA DE OBTENERLA
TOTAL
SUMA
3
1+1+1
1
11
3
12
6
13
4
5
1+1+2
1+2+1
2+1+1
1+1+3
1+2+2
2+1+2
2+2+1
3+1+1
1+3+1
6
14
7
15
8
16
9
17
10
18
MANERA DE OBTENERLA
Total
TOTAL
216
Propuesta Hidalgo  3er Grado
85
Para comprobar la parte teórica, hagamos uso del archivo: UnoDosTresDados, en la
hoja 3, “Tres dados”, es donde se hace la simulación de 2 000 lanzamientos de tres dados.
Cada vez que pulses la tecla F9, registra el de menor y mayor frecuencia. Hazlo veinte veces.
FRECUENCIA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Menor
Mayor
Compara tus resultados con otro compañero, ¿hay mucha diferencia?
¿Los resultados son equiprobables?
¿Si tuvieras que apostar, a qué suma lo harías?
¿Dónde están los números que tienen más probabilidad de caer?
¿Y los que tienen menos?
¿Se parece a la que se obtiene cuando lo haces con sólo dos dados?
¿Será una coincidencia?
300
250
200
150
100
86
Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Dieciocho
Diecisiete
Dieciseis
Quince
Catorce
Trece
Doce
Once
Diez
Nueve
Ocho
Siete
Seis
Cinco
Cuatro
Tres
0
Dos
50
Bibliografía
EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con
Tecnología. Matemáticas con la hoja de cálculo. México: SEP.
EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con
Tecnología. Geometría dinámica. México: SEP.
EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con
Tecnología. De los números al álgebra en secundaria con el
uso de la calculadora. México: SEP.
EMAT. (2005). Enseñanza de las matemáticas con
Tecnología. Programación computacional para matemáticas
de secundaria. México: SEP.
SEP. (2006). Programas de estudio 2006. Matemáticas.
Educación básica. Secundaria. México: SEP.
SEP. (2006). Fichero de actividades didácticas. Matemáticas.
Educación secundaria, 2a. ed., México: SEP.
SEP. (2006). Secuencia y organización de contenidos.
Matemáticas. Educación secundaria, 2a. ed., México: SEP.
SEP. (2006). Libro para el maestro. Matemáticas.
Secundaria, México.
Ursini, Sonia, Fortino Escareño, Delia Montes, María
Trigueros. (2005). Enseñanza del álgebra elemental. Una
propuesta alternativa, Trillas, México.
Propuesta Hidalgo  3er Grado
87