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Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
2
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
CONJUNTOS
Presentación
Lord Kelvin (W. Thomson) ilustre físico inglés resaltaba los conocimientos cuantitativos: “Suelo decir
con frecuencia que cuando se puede medir aquello de que se habla y expresarlo en números, se sabe algo
acerca de ello; pero nuestro saber es insuficiente e insatisfactorio mientras no somos capaces de expresarlo en
números; lo demás puede significar el comienzo del conocimiento, pero nuestros conceptos apenas habrán
avanzado en el camino de la ciencia, y esto cualquiera que sea la materia de que se trate“.
Mediciones y números, hay mediciones directas, con un instrumento de medición, y mediciones indirectas, mediante el cálculo con fórmulas; en fin, mediciones, números, formas y relaciones son los que dan
vida a la matemática y son conceptos relacionados con el quehacer de las personas en su vida cotidiana.
Por ello, los conocimientos matemáticos se organizan en “Número, relaciones y funciones“, “Geometría y
medición“ y “Estadística y probabilidad“.
El texto de Matemática Serie COVEMATIC para el nivel secundaria presenta un “Texto de grado“ y un
“Libro de actividades“.
En el Texto de grado se exponen los temas de cada unidad con una didáctica de acuerdo al grado de
estudio. Cada unidad presenta las siguientes secciones:
a. Activo mis saberes.
b. Desarrollo de los contenidos.
c. Ejercicios y problemas resueltos.
d. Actividad para la investigación.
e. Tema transversal.
f. Juicio crítico - Reflexión - Amplío mis conocimientos.
El Libro de actividades presenta las actividades que el alumno debe resolver para desarrollar las capacidades del área de Matemática: “Razonamiento y demostración“, “Comunicación matemática“ y “Resolución
de problemas“. Cada unidad presenta las siguientes secciones:
a. Manolito te reta.
b. Actividad para la clase.
c. Actividad para la casa.
d. Aplico mis aprendizajes
e. Pongo a prueba mis aprendizajes.
f. Autoevaluación. Metacognición
El texto de Matemática SERIE COVEMATIC brinda abundante información teórica y numerosos problemas, resueltos con estrategias sencillas, que ayudan a los alumnos a comprender, afianzar y ampliar sus
conocimientos teóricos.
Además, el texto presenta situaciones problemáticas que incitan al pensamiento creativo, que es la
capacidad que permite a los estudiantes generar ideas novedosas para resolver problemas relacionados
con sus estudios y también de su vida cotidiana, de manera interesante y con originalidad. El pensamiento
creativo complementa al pensamiento lógico generando nuevas ideas, que éste las desarrolla.
Todo lo expuesto ha encaminado mis voluntades y esfuerzos en bien de la “Educación matemática
escolar“ de mi país.
El Autor.
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
3
Indice
Capitulo 1 Teoría del conjuntos .................................................................... 7
Manolito te Reta
Crucimática
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 2 Números naturales………………………………………………… 33
Manolito te Reta
Crucimática
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 3 Sistema de numeración .............................................................. 65
Manolito te Reta
Crucimática
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capitulo 4
Divisibilidad .............................................................................. 87
Manolito te Reta
Crucimática
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capitulo 5
Números enteros ....................................................................... 121
Manolito te Reta
Crucimática
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 6
Números racionales ................................................................... 161
Manolito te Reta
Crucimática
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capitulo 7 Funciones y proporcionalidad .................................................... 207
Manolito te Reta
Crucimática
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capitulo 8 Razones proporciones ................................................................ 229
Manolito te Reta
Crucimática
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 9 Tanto por ciento y porcentaje ..................................................... 247
Manolito te Reta
Crucimática
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 10
Expresión algebraicas .............................................................. 265
Manolito te Reta
Crucimática
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 11
Ecuaciones e inecuaciones ...................................................... 305
Manolito te Reta
Crucimática
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 12
Geometría Plana ..................................................................... 333
Manolito te Reta
Crucimática
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 13
Transformaciones geométricas ............................................... 395
Manolito te Reta
Crucimática
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 14
Sólidos geométricos................................................................. 415
Manolito te Reta
Crucimática
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 15
Sistema internacional de unidades S.I................................... 433
Manolito te Reta
Crucimática
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 16
Estadística y probabilidades ................................................... 451
Manolito te Reta
Crucimática
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Conjuntos
2.
Resuelve problemas de contexto real y matemático que implican la organización de datos
utilizando todo sobre conjuntos.
las estrategias y los procesos para re1. Organiza
solver problemas relacionados con conjuntos.
Resolución de problemas
conjuntos.
2. símbolos utilizados en las operaciones con
Interpreta el significado matemático de los
gráfica y simbólicamente conjuntos
1. Representa
y sus operaciones.
Comunicación Matemática
conjuntos.
las herramientas adecuadas en
2. Selecciona
cada situación para resolver problemas entre
procesos matemáticos para resolver
1. Aplica
operaciones con conjuntos.
Razonamiento y demostración
Aprendizajes esperados
Desde hace mucho se ha tratado de tener a la teoría de conjuntos como el pilar fundamental de ese frondoso árbol que
denominamos Matemática . Por ello se ha trabajado con mucho
afán en su completa elaboración. Fue Georg Cantor quien sembró
esta por allá en el siglo XIX y desde entonces un gran número de
muy buenos matemáticos han desfilado por ella haciendo nuevos
e interesantes aportes.
1
Unidad
Muestra
seguridad
y
perseverancia
al
resolver
problemas
preguntas de sus tareas.
2. Toma la iniciativa para resolver
1.
Actitudes ante al Área
Responsabilidad
Solidaridad
Valores
Educación de calidad para
el bien comun
Tema Transversal
Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
En el siguiente SUDOKU el objetivo es rellenar una cuadricula de 9 x 9 celdas (81 cuadriculas)
dividido en sub cuadriculas de 3 x 3 (también llamada cajas o regiones) con las cifras del 1 al 9
de tal manera que puedan desarróllalo y hallar las letras que faltan.
Luego indicar en el diagrama de Venus el número de elementos de
1. n(A)
2. n(A
B)
3. n(A
B
6
9
a
8
h
6
9
1
8
5. n( )
d
9
Si: D={ ; 5; θ}
G={5; 8; }
son llamados conjuntos...
Si: A={1; 3; 5}
B={3; 5; 6}
el n (A-B) es...
3
es unitario, el valor de
(x; y
)
Si:
A={1;2;3}
B={1;2;4;6}
C={0;1;2;5}
n(A B C) es:
A) El ... de un
conjunto es el
número de elementos
que posee un conjunto.
B) P={2;2;2;2}; es un
conjunto...
4
2
6
8
7
5
7
La notación A B se
lee:
“A diferencia...B”
Si:
A={ }
B=
AyB
representan
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
9
3
5
6
6
2
9
1
4
1
6
7
5
Las notaciones:
se leen:”.......... del
conjunto A”
8
el cardinal de A es...
1
A es un conjunto ...
5
entonces
P(C) tiene ... elementos.
8
f
e
Es verdadero o
falso ¿ c ?
8
1
Conjuntos... son aquellos
que no tienen elemento
común.
El conjunto B={7x+3; 17; y2+1}
Si Z={ },
n[P(Z)] es ...
7
b
1
8
2
c
C)
4. n(A' – B')
3
g
CONJUNTOS
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
2
Dado el conjunto:
A = {1; 2; 3; {4}; {5}}
Indica si es verdadero(V) o falso (F).
1
1∈A
... ( V )
4∈A
... ( F )
2∈A
... ( V )
{4} ∈ A
... ( V )
4∉A
... ( V )
{5} ∈ A
... ( F )
5∈A
... ( F )
3∈A
... ( F )
φ∈A
... ( F )
{1;2} ∈ A ... ( F )
B = {3x-1/x ∈
; 2 < x ≤ 7}
Si: 2 < x ≤ 7 & x = {3; 4; 5; 6; 7}
Por la condición:
3x – 1= {8; 11; 14; 17; 20}
∴ B = {8; 11; 14; 17; 20}
Determina por extensión el siguiente conjunto.
3
Determina por extensión el siguiente conjunto.
4
Determina por comprensión los siguientes
conjuntos.
•
M = {9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17}
M = {x + 8 / x ∈ ; 1 ≤ x ≤ 9}
Si: 5 < x < 15
Entonces: x ∈{6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}
Por la condición:
•
N = {5; 6; 7; 8; ... ; 99}
N = {x + 4 / x ∈ ; 1 ≤ x ≤ 95}
x–1
∈
2
•
P = {1; 4; 9; 16; 25; ... ; 100}
x–1
5 6 7 8 9 10 11 12 13
=
; ; ; ; ; ; ; ;
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
P = {x2 / x ∈ ; 1 ≤ x ≤ 10}
•
∴ C = {3; 4; 5; 6}
5
Q = {12; 15; 18; 21; 24; 27; 30}
Q = {3x / x ∈ ; 4 ≤ x ≤ 10}
Determina por extensión el conjunto:
L = {x3 - x/x ∈ ∧ x < 4}
y dar como respuesta la suma de sus elementos.
Determina el cardinal del siguiente conjunto:
Si:
Si:
x < 4 & x = {0; 1; 2; 3}
Por condición:
x3 – x ∈ {0; 0; 6; 24}
Se deduce que:
∴La suma de elementos será:
6 + 24 = 30
Rpta.
6
4 < x < 30 ∧
x
∈
5
Se deduce que: x = 5
x ∈ { 5;...; 10;...; 15;...; 20;..., 25 }
5 10 15 20 25
; ; ; ;
5 5 5 5 5
x = { 1; 2; 3; 4; 5 }
∴ n (D) = 5
D=
30
Rpta.
5
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
9
Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
7 Si los conjuntos A y B son iguales, calcula x ⋅ y.
A = {x + 5 ; 16}
B = {3y – 2 ; 9}
8 El siguiente conjunto es unitario:
A = {5a - 3 ; 7 ; b + 1}
Calcula: a+b
Si A es un conjunto unitario
Si son conjuntos iguales:
3y – 2 = 16
3y = 18
y=6
5a – 3 = 7
5a = 10
a=2
x+5=9
x=4
b+1=7
b=6
∴ a+b=2+6=8
∴ x ∙ y = 4 ∙ 6 = 24
Rpta.
24
9 ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son unitarios?
Rpta.
10 ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son vacíos?
M = {x/x es vocal de la palabra CATARATA}
D = {x/5x – 3 = 20 ; x ∈ }
N = {x/x ∈ ; 5 < x < 7}
E=
P = {5; 5; 5}
Q = {2x/x ∈
R = {x ∈
F = {x/x ∈
; x2 = 25}
8
; 5 < x2 < 10}
G=
/3x – 1 = 8}
H=
Rpta. 5
11 Con respecto a los conjuntos A y B se sabe lo
siguiente:
• A tiene 32 subconjuntos.
• B tiene 127 subconjuntos propios.
Calcula: n(A) + n(B)
Si: A tiene 32 subconjuntos.
2n(A) = 32
2n(A) = 25 & n(A) = 5
y: B tiene 127 subconjuntos propios.
2n(B) – 1= 127
2n(B) = 128
2n(B) = 27 & n(B) = 7
∴ n(A) + n(B) = 12
10
Rpta.
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
Rpta. 3
12 Dados los siguientes conjuntos iguales:
A = {3a+b ; 27}
B = {3a - b ; 243}
Calcula: a ⋅ b.
Si son conjuntos iguales, se tiene:
3a – b = 27
3a – b = 33
&a–b=3
12
a– b=5
a+b=3
2a = 8
a=4
&4–b=5
b=1
3a + b = 243
3a + b = 35
&a+b=5
∴ a ∙ b = (4) (1) = 4
Rpta. 4
CONJUNTOS
Sol. 9
M = {x/x es vocal de la palabra CATARATA}
∴ M = {A}
N = {x/x ∈ ; 5 < x < 7}
∴ N = {6}
P = { 5, 5, 5 }
conjunto unitario
∴ P = {5}
conjunto unitario
Q = {2x/x ∈ ; x2 = 25}
Si x2 = 25
conjunto unitario
R = { x ∈ ; 3x – 1= 8}
Si 3x – 1 = 8
3x = 9
x=3
∴ R = {3}
conjunto unitario
Hay 5 conjuntos unitarios
Sol. 10
D = {x/5x – 3 = 20; x ∈ }
Si: 5x – 3 = 20
5x = 23
x=
& n = {2; 3; 4; 5}
De la condición:
x=5
&
n +1
/n∈ ;1<n<6
n–1
Si: 1 < n < 6
conjunto unitario
∴ Q = {10}
G=
23
∉
5
∴ D={}
x
∈ / x ∈ ; 2 < x < 4}
E={
2
Si n = 2
2 +1
3
=
= 3∈
2–1
1
n=3
3 +1
4
=
= 2∈
3–1
2
n=4
4 +1
5
=
=∉
4–1
3
n=5
5 +1
6
=
=∉
5–1
4
∴ G = {2; 3} ≠ {}
G=
n
/ n ∈ N; 2 < n < 7
n+1
Si: 2 < n < 7 & n = 3; 4; 5; 6
3
3
=
=∉N
3+1
4
4
4
=
=∉N
5
4+1
5
5
=
=∉N
6
5+1
6
6
=
= ∉N
7
6+1
∴ H={}
Existen 3 conjuntos vacios.
Si: 2 < x < 4 & x = 3
3
x
=
∉
2
2
∴ E={}
F = { x/x ∈ ; 5 < x2 < 10}
Si: 5 < x2 < 10
& x=3
∴ F={3}≠{}
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
11
Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
ACTIVIDADES
Ser lider es promover las buenas relaciones
entre los demas”
1
Dado el conjunto:
J = {a, b, {c}, {d},{e, f}}
PARA LA CASA
2
Evalúa el siguiente conjunto por extensión:
A ={2x/x ∈ ∧2 ≤ x ≤ 10}
Indica verdadero (V) o falso (F)
Resolución:
a⊂J
... ( F )
φ⊂J
... ( V )
Si: 2 ≤ x ≤ 10 & x = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
{a} ⊂ J
... ( V )
{e,f} ⊂ J
... ( F )
Entonces 2x ∈ {4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}
{c} ⊂ J
... ( F )
{{e,f}} ⊂ J
... ( V )
{{d}} ⊂ J ... ( V )
{b,{c}} ⊄ J ... ( F )
{a,b} ⊂ J ... ( V )
{d} ⊄ J
A = {4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}
... ( V )
Rpta. A={4,6,8,10,12,14,16,18,20}
4
Evalúa por comprensión el conjunto:
3
Evalúa por comprensión el conjunto
F = {4; 9; 16; 25; 36; 49}
Resolución:
Resolución:
3
1 2 3 4
; ; ;
Si: 1 =
& A=
3
3 3 3 3
∴ A=
Se observa que:
4 = 22; 9 = 32; 16 = 42; 25 = 52; 36 = 62; 49 = 72;
∴ F = {x2 / x ∈ ; 2 ≤ x ≤ 7}
n
/n∈ ;1≤n≤4
3
Rpta.
Rpta.
5
6
Sean los conjuntos
A = {x/x ∈
; 3 < x < 7}
2
B = {x / x ∈ A}
Calcula la suma de los elementos de B
Q={2x/x ∈
12
∧ 0 ≤ x ≤ 5}
Resolución:
Si: 0 ≤ x ≤ 5 & x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5}
De la condisión: 2x; se deduce:
Resolución:
Del conjunto A: x ∈ {4; 5; 6}
Se deduce:
B = {x2 / x ∈ A}
B = {42, 52, 62} = {16; 25; 36}
∴ La suma de elementos de B es:
Rpta.
Evalúa el siguiente conjunto por extensión:
Q = {20, 21, 22, 23, 24, 25}
∴ Q = {1; 2; 4; 8; 16; 32}
77
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
Rpta.
Q={1,2,4,8,16,32}
CONJUNTOS
ACTIVIDADES
Ser lider es promover las buenas relaciones
entre los demas”
1
Se sabe que:
n(M) = 20
n(N) = 17
n(M∩N) = 12
¿Cuántos elementos tiene M∪N?
Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 5; 8; 10}
B = {2; 3; 4; 5; 6}
C = {x/x ∈ A ; x2 < 50}
Calcula: (B ∪ C) ∩A
Resolución:
2
Resolución:
M
N
8 12 5
PARA LA CLASE
C = {x/x ∈ A; x2 < 50}
puede ser: 1, 2, 5 & C ={1; 2; 5}
calculando:
(B C) ∩ A
[{2;3;4;5;6} {1;2;5}] ∩ {1;2;5;8;10}
{ 1 ; 2 ;3 ;4 ; 5 ; 6} ∩ { 1 ; 2 ; 5 ;8 ;10 }
∴ (B C) A = {1; 2; 5}
n(MUN) = 8+12+5
∴ n(MUN) = 25
Rpta.
Rpta.
3
Sean los conjuntos:
M = {x/x es letra de la palabra popeye}
N = {x/x es vocal de la palabra pepino}
Calcula: M ∪N
Operando con los conjuntos:
U = {1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13}
F = {3 ; 5 ; 7 ; 9}
G = {7; 9 ; 11 ; 13}
Efectúa: (F' ∩ G') ∆ (F'∩G)
Resolución:
4
Resolución:
Si: F = {3;5;7;9} & F' = {1;2;11;13}
y: G = {7;9;11;13} & G' = {1;2;3;5}
Calculando: (F' ∩ G') ∆(F' ∩ G)
[{1 ;2;11;13} ∩ {1 ; 2 ;3;5}] ∆ [{1;2;11;13} ∩ {7;9;11;13}]
M = {p; o; e; y}
N = {e; i; o}
Calculando
∴ MUN = {p; o; e; i; y}
{1;2} ∆ [{11;13}
∴
(F' ∩ G') ∆(F' ∩ G) = {1; 2; 11; 13}
Rpta.
5
Rpta.
Observa el diagrama siguiente:
6
Observa el siguiente diagrama:
¿Cuántos elementos tiene el conjunto [(A C)
B]
Resolución:
Se observa que: A= {3;5;7;9}, B= {1;3;4;6} y C= {6;8;10}
Calcula:
Resolución:
R
[(A ∆C) ∩B] = [{3; 5; 7; 9} ∆ {6; 8; 10} ∩ {1; 3; 4; 6}
CP
{ 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10} ∩ { 1 ; 3 ; 4 ; 6 }
∴
∴
n[(A ∆C) ∩B] = 2
Rpta. 2
(Q – R) = {3; 8; 23 } ∩ { 23 ; 28 ; 33; 38}
R
CP
(Q – R) = {23}
Rpta.
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
13
Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
7
Con los conjuntos:
A = {x ∈ /x es divisor de 28}
B = {x ∈ /5x – 6 = 29}
C = {x ∈ /
= 1}
Calcula: (A∪B)∩C
Resolución:
x–1
= 1 ∴x = 7
6
(A ∪B) ∩ C
= {1;2;4;7;14;28} ∩ {7}
= {7}
Rpta.
9
F = {2; 3; 4; 5}
G = {x + 1/ x ∈ ; x = 3;4;5;6;7;8;9}
& G = {4; 5; 6; 7; 8; 9;10}
H = {6; 8; 10}
(G – F) ∩ H = {6;7;8;9;10} ∩ {6;8;10}
∴ (G – F) ∩ H = {6;8;10}
Rpta.
A
Rpta. A' ∩B' = {0; 1; 2; 3; 11}
10 Sean los conjuntos:
A = {x/x ∈ ; 4 < x < 14}
B = {2x+1/x ∈ ; 2 ≤ x < 7}
Calcula: A ∩B.
Resolución:
A = {x / x ∈ ; x = {5;6;7;8;9;10;11;12;13}
∴ A = {5;6;7;8;9;10;11;12;13}
De B = 2 ≤ x < 7 & x = {2;3;4; 5; 6}
& B = {2x + 1 / x ∈ ; x = 2 ≤ x < 7}
∴ B = {5; 7; 9; 11; 13}
A ∩ B = {5; 7; 9; 11; 13}
Rpta.
A ∩B = {5; 7; 9; 11; 13}
(G – F) ∩H = {6; 8; 10}
11 Expresa en un diagrama lineal el siguiente
diagrama de Venn - Euler
C
B
U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}
A = {6; 7; 8; 9; 10}
B = {4; 5; 6; 7}
A' = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 11}
B' = {0; 1; 2; 3; 8; 9; 10; 11}
Entonces: A' ∩ B' = {0; 1; 2; 3; 11}
(A∪B)∩C = {7}
Considerando los conjuntos:
F = {x/x ∈ ; 4 ≤ x2 < 30}
G = {x+1/x ∈ ; 2 < x < 10}
H = {x/x es un número par mayor que 5 y menor
que 12}
Calcula: (G – F) ∩H
Resolución:
U
Sean los conjuntos:
U = {x/x ∈ ; x < 12}
A = {x/x ∈ ; 5 < x 10}
B = {x/x ∈ ; 3 < x < 8}
Calcula: A' ∩B'.
Resolución:
A = {1; 2; 4 ; 7 ; 14 ; 28}
B = {7} ya que: 5x – 6 = 29 ∴ x = 7
C = {7} ya que:
8
12 Dados los conjuntos:
D = {a ; b ; c ; d ; e ; f}
E = {c ; d ; e ; h ; g}
F = {d ; e ; f ; h ; i}
∩(F – D)
Calcula:
Resolución:
D ∩ E ∩ F = {d; e}
E ∪ F = {c; d; e; f; h; g; i}
Resolución:
D∩E∩F
C
U
A
E∪F
C
F – D = {h; i}
D∩E∩F
∴ C
E∪F
B
14
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
= {c; f; h; g; i}
∩(F – D)= {h; i}
∩E∩F ∩(F – D) = {h; i}
Rpta. CD
E∪F
CONJUNTOS
ACTIVIDADES
Ser lider es promover las buenas relaciones
entre los demas”
1
Sean los conjuntos:
A = {1; 2; 3; 4}
B = {1; 3; 5; 7}
C = {4; 5; 6; 7; 8}
Encuentra la suma de los elementos de (A ∆ B) ∩C.
PARA LA CASA
2
¿Qué operación representa la región sombreada?
Resolución:
[{1; 2; 3 ;4} ∆{1; 3; 5 ;7}] ∩ {4; 5; 6; 7; 8}
{2; 4; 5; 7} ∩ {4; 5 ; 6; 7; 8}
{4; 5; 7}
La suma de elementos:
4 + 5 +7 = 16
Rpta.
3
Rpta.
16
Observa e indica la operación que representa
cada conjunto:
4
a) {d, e}
b) {a, d}
c) {c, d, e}
d) {a, c, g}
e) {g, h}
Resolución:
Resolución:
a) P ∩R
b) P – Q
c) [Q – (P R)] (P ∩R)
d) [P Q R] – [(P ∩R) (P Q)
e) (P Q R)' [R – (P Q)
5
Si: P = {x/x ∈ ; 3 < x 6},
Q = {x/x ∈ ; x2 = 25} y R = {x/x ∈ ; x < 6}
Calcula: (P ∪Q) ∩R.
P = {4; 5; 6}, Q = {5}, R = {0;1;2;3;4;5}
(P ∪Q) ∩ R = {4; 5; 6} ∩ {0; 1; 2; 3; 4; 5}
∴ (P ∪Q) ∩ R = {4; 5}
(Q R)]
Dados los conjuntos
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} , B = {3, 4, 5, 6, 7}
y C = {2, 4, 5, 6, 8, 9}
Grafica y calcula:
Rpta. {4, 5}
6
Expresa en un diagrama lineal el siguiente
diagrama de Venn.
Resolución:
{1; 2} ∪{2;4;5;6;8;9} – {8; 9} ∪{3;4;5;6;7}
{1;2;4;5;6;8;9} – {3;4;5;6;7;8;9}
A
B {1; 2}
1
3 7
45
2 6
8
9
C
Resolución:
Rpta. {1;2}
A
B
C
U
F
E
D
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
15
Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
ACTIVIDADES
Ser lider es promover las buenas relaciones
entre los demas”
1 En una encuesta realizada a 120 personas: 40 leen
solamente la revista “Gente”; 60 leen solamente
la revista “Caretas” y 12 no leen ninguna de estas
revistas. ¿Cuántos leen las dos revistas?
Resolución:
C
G
U = 120
40
8
PARA LA CLASE
2 En una olimpiada deportiva participaron 74 alumnos de
primero de secundaria de las secciones A, B y C. En total
fueron 24 estudiantes de 1°A de los cuales 14 eran varones;
23 estudiantes de 1°C de los cuales 11 eran mujeres.
Si en total participaron 41 varones, se pide averiguar
I. El número de mujeres que participaron
II. El número de varones de 1°B
III. El número de mujeres de 1°A
Resolución:
60
Varones
12
IA
IB
IC
Total
14
15
12
41
Mujeres
10
12
11
33
Total
24
27
23
74
Rpta. 8
3
En un salón de 100 alumnos: 65 aprobaron Raz.
Matemático; 25 aprobaron Raz. Matemático
y Raz. Verbal y 15 aprobaron solamente
Raz. Verbal.
¿Cuántos no aprobaron ninguno de los cursos
mencionados?
Resolución:
4
RV
RM
U = 100
Rpta. I. 33 II. 15 III. 10
40 25
15
20
En una fiesta de promoción participaron 78
jóvenes. En un momento determinado 17 chicos
bailaban y 31 chicas no bailaban.
¿Cuántos chicos y chicas participaron en la
fiesta?
Resolución:
Chicos
Chicas
Total
Bailan
17
17
34
No Bailan
13
31
44
Total
30
48
78
Rpta. 20
5
De 60 deportistas se observa que 24 de ellos
practican fútbol, 26 practican básquet y 25
practican voleibol; 13 practican fútbol y básquet;
10 practican básquet y voleibol, 9 practican
fútbol y voleibol.
Si 6 practican los tres deportes, ¿cuántos no
practican ninguno de estos deportes?
Resolución:
B
3
7
6
12
16
6
En un colegio funcionan dos secciones de 1°
grado de secundaria: A y B. Hay 12 mujeres en
1°A y 8 varones en 1°B; el total de estudiantes
en 1°B es 25 y el total de varones en ambas
secciones es 18.
Halle el número total de estudiantes en 1° grado
de secundaria.
Resolución:
F
8
Rpta. 30 chicos y 48 chicas
U = 60
9
4
11
Rpta. 11
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
Varones
Mujeres
Total
1° A
10
12
22
2° B
8
17
25
18
29
47
Rpta. 47
CONJUNTOS
7 De un grupo de estudiantes que llevan por lo
menos uno de los tres cursos que se indican,
se sabe que: 70 estudian Inglés; 40 estudian
química; 40 estudian matemática; 15 estudian
matemática y química; 20 estudian matemática
e inglés; 25 estudian inglés y química; 5 estudian
los tres cursos. ¿Cuántos son los alumnos en total?
8 Una sección de 1ro. de secundaria está formada por 35
alumnos entre hombres y mujeres, se sabe que: 7 hombres
aprobaron matemáticas; 6 hombres aprobaron lenguaje;
5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ninguno de los dos
cursos; 11 aprobaron sólo matemáticas; 7 aprobaron
solo lenguaje y 16 hombres hay en la sección. ¿Cuántas
mujeres aprobaron sólo lenguaje?
Resolución:
Resolución:
M
Q
I
30
20 5
5
15 10
10
L
Total
5 2 4
5
16
M
6 2 3
8
19
Total
11 4 7
13
35
U = 95
M
M
H
U = 30+20+5+15+5+10+10
∴
L
Rpta. 95
9 Durante el mes de diciembre, Rafael va a misa
o al teatro. Si 18 días va a misa y 20 días va al
teatro, ¿cuántos días va solamente a misa?
Resolución:
U = 31
M=18
Rpta. 3
10 Se conoce que un grupo de 80 señoritas tienen las siguientes
actividades: 50 juegan futbol, 32 básquet y 23 voley.
Además 6 juegan en los tres deportes y 10 no practican
ningún deporte.
Si "w" es el total de personas que practican exactamente
dos deportes y "z" un sólo deporte.Hallar: z - w
Resolución:
T=20
B
F
11
7
z1 w1
w 6
13
2
10
M
z3
z2
z 1 +w 1 +w 2 +6= 50 & z 1 +w 1 +w 2 = 44
z 2 +w 1 +w 3 +6= 32 & z 2 +w 2 +w 3 = 26
z3+w2+w3+6= 23 & z3+w2+w3= 17
z1+z2+z3+2(w1+w2+w3) = 87
z1+z2+z3+w1+w2+w3 = 64
w3
∴ w1+w2+w3 = 23
z1+z2+z3 = 64 – 23= 41
V
Me piden: z – w = 41 – 23 = 18
T = 18 + 20 – 31 = 7
Rpta. 11
11 De un grupo de 200 consumidores de “pollo a
la brasa” a 120 no les gusta la mostaza; a 130
no les gusta el ketchup; a 80 no les gusta ni la
mostaza ni el ketchup.
¿A cuántas personas les gusta ambas salsas?
Rpta. 18
12 De un grupo de 45 estudiantes, se sabe que 14 alumnos no tienen 17 años no tienen 17 años, 20 alumnos
no tienen 16 años; 8 alumnos y 3 alumnas no tienen
ni 16 ni 17 años. ¿Cuantos alumnas tienen 16 o 17
Resolución:
14
Resolución:
U = 200
M
Alumnos 26
K
6
20
12
Alumnos 19
50
30
(–)
3
16 años 17 años
40
8
Otras
Edades
Total = 45
Alumnas 16 o 17 años = (19 – 3) = 16
80
Rpta. 30
Rpta. 16
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
17
Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
ACTIVIDADES
Ser lider es promover las buenas relaciones
entre los demas”
1
En un taller de matemática recreativa participan
50 alumnos de primero de secundaria. Todos
tienen entre 12 y 13 años de edad. En total son
20 mujeres; 15 varones tienen 13 años y hay
23 estudiantes de 12 años.
I. ¿Cuántos varones tienen 12 años?
II. ¿Cuántas mujeres tienen 13 años?
Resolución:
Varones
Mujeres
Total
12 años
15
08
23
13 años
15
12
27
Total
30
20
50
PARA LA CASA
2
A una función de cine asistieron 650 personas;
380 son mayores de edad; 410 son varones y
60 mujeres son menores de edad. ¿Cuántos
varones mayores de edad asistieron a la función?
Resolución:
Varones Mujeres
Mayores de edad
200
180
380
Menores de edad
210
60
270
Total
410
240
650
Rpta. I. 15 II. 12
3
De un grupo de 40 personas se sabe que 15
de ellas no estudian ni trabajan; 10 personas
estudian y 3 personas estudian y trabajan.
¿Cuántas de ellas realizan sólo una de las dos
actividades?
Resolución:
U = 40
T
E
7
3
Rpta. 200
4 En una campaña publicitaria participaron 110 jóvenes
de entre 15, 16 y 17 años. Hay en total 60 varones de
los cuales 20 tienen 15 años y 18 tienen 17 años. Si 27
son mujeres de 16 años y en total son 35 los jóvenes de
15 años, se desea saber:
I. ¿Cuántos jóvenes de 16 años participaron?
II. ¿Cuántas mujeres de 17 años participaron?
Resolución:
15
15
Sólo una de 2 actividades = 15 + 7= 22
15 años
16 años
17 años
total
Varones
Mujeres
Total
20
22
18
60
15
27
8
50
35
49
26
110
Rpta. 22
5
De 400 alumnos, se sabe con certeza que: 110
estudian matemática; 240 estudian geografía;
190 estudian literatura; 80 estudian matemática
y geografía; 100 estudian geografía y literatura;
50 estudian matemática y literatura; 40 estudian
los tres cursos. ¿Cuántos alumnos estudian por
lo menos dos de los cursos mencionados?
Resolución:
U = 400
M
G
Por lo menos
2 cursos:
20 40 100
40+10+60+40
40
= 150
10
60
80
L
18
Rpta. 150
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
Total
Rpta. I. 49 II. 8
6 A una fiesta asistieron 150 personas, el número
de hombres es el doble del número de mujeres.
De los hombres; 23 no usan reloj pero si tienen
terno y 42 tienen reloj. De las mujeres; las que no
usan minifaldas son tantas como los hombres que
no usan terno ni reloj y 8 tienen minifalda y reloj.
¿Cuantas mujeres usan minifaldas pero no reloj?
Resolución:
Terno
Hombres
100
Mujeres
50
Total = 150
Reloj
23 a
7
Mini
b
a + b = 42
7 mujeres usan
minifalda pero
no reloj.
8 35
Reloj
Rpta. 7
CONJUNTOS
APLICO MIS
Ser lider es promover las buenas relaciones
entre los demas”
Razonamiento y demostración
1 El conjunto:
A = {3x/x ∈
Por extensión es:
; 5 < x < 9}
A) {6; 7; 8}
B) {5; 6; 7; 8; 9}
D) {6; 9; 12; 15} E) {3; 4; 5}
2 Dado el conjunto:
B ={x/x ∈
Calcula n[P(B)]
A) 16
B) 32
D) 8
E) 24
A){4; 6; 8; 10; 12; 14; 18; 20}
B){2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 18; 20}
C){1; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}
D){4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}
E){6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}
C) {2; 4; 8; 16; 32} D) {1; 2; 4; 16; 32}
E) {0; 2; 4; 8; 16}
5 Dado el conjunto:
B = {x2/x ≤ 5 ; x ∈ }
Calcula la suma de sus elementos
D) 60
E) 62
6 Dados los conjuntos unitarios:
A = {x + 7; 2x + 5} ∧ B = {y - 3 ; 5y - 15}
Calcula el valor de “x + y”
A) 5
B) 6
7 Traducir a un diagrama lineal el siguiente
diagrama de VennEuler.
C) 7
E) Ninguna.
C)
D) 8
A) 7 y 7
D) 7 y 12
B) 7 y 6
E) N.A.
C) 6 y 5
9 Si los conjuntos A y B son iguales, calcula la suma
de los elementos del conjunto “C”, tal que:
A = {5a-1 ; 4b+2}; B={125; 64} ∧
C = {x3/x ∈ ∧ b ≤ x ≤ a}
B) 27
C) 100
D) 80
E) 90
10 Resuelva por comprensión el siguiente conjunto:
A) {1; 2; 4; 8; 16; 32}B) {1; 2; 4; 8; 16}
C) 45
D) A) 36
4 Resuelva el siguiente conjunto por extensión:
Q={2x/x ∈
∧ 0 ≤ x ≤ 5}
B) 30
B) 8 Calcula cuántos elementos tienen A y B, respectivamente sabiendo que:
a) n P(A) = 128
b) n P(B) = 163
3 Resuelva el siguiente conjunto por extensión:
A ={2x/x ∈ ∧ 2 ≤ x ≤ 10}
A) 55
A) C){18;21;24;}
∧ 0 < x ≤ 5}
C) 64
APRENDIZAJES
E) 9
P = {4; 6; 8; 10; 12; 14; 16}
A)P = {x/x ∈
; 4 ≤ x ≤ 16} B)P = {2x/x ∈
; 4 ≤ x ≤ 16}
C) P = {x/x es número par menor que 17}
D)P = {x2/x ∈
; 2 ≤ x ≤ 16}
E) P = {2x/x ∈
; 2 ≤ x ≤ 8}
11 Si A ={3x/x ∈ ; 2< x ≤ 6}, entonces por extensión
será:
A) A ={3;4;5;6}
B) A = {3;3;3;3}
C) A ={9;12;15;18} D) A = {9;12;15}
E) Ninguna
12 Si B ={x2 - 3/x ∈ ; 3 ≤ x < 6},
entonces por extensión será:
A) B = {3; 4; 5}
B) B = {3; 4; 5; 6}
C) B = {6; 13; 22} D) B = {6; 13; 22; 33}
E) Ninguna
13 Resuelva por comprensión el siguiente conjunto:
D ={1; 3; 5; 7; 9; 11}
A) D = {x/x ∈ ∧ x ≤ 11}
B) D = {2x + 1/x ∈ ∧ x ≤ 11}
C) D = {2x - 1/x ∈ ∧ 0< x ≤ 6}
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
19
Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
D) D = {2x - 1/x ∈
E) D = {x + 1/x ∈
∧ 2 ≤ x ≤ 6}
∧0≤ x < 10}
20 Si:
14 Dados los conjuntos:
A = {x/5 < x < 7; “x” es número natural}
B = {x/3x - 1= 8; “x” es número natural}
De ellos ¿cuál o cuáles son unitarios?.
A) A
B) B
C) A y B
D) Nulos E)N.A.
15 Si los siguientes conjuntos:
A = {a + b ; 13}
B = {a - b ; 7}
Son unitarios.
Calcula el cardinal del conjunto C.
{
C = a, b2 + 1, a + b,
A) 1
B) 2
21 Dados los conjuntos:
A = {x ∈ / 3 ≤ x ≤ 9}
B = {x ∈ /5 < x < 11}
Calcula: (A ∩ B)∩ C
}
a
,b+2
2
C) 3
D) 4
E) 5
16 Resuelva por comprensión el conjunto:
M = {7; 9; 11; 13; 15}
A) M = {x/x ∈
C) M = {2x/x ∈
; 3 < x < 7}
; 2 < x < 8}
E) M = {x+1/x ∈
; 5 < x < 15}
D = {2x–3/ 4 < x < 10 ; x ∈ }
B) 7
C) 31
D) 15
E) 63
D) 5
E) 6
19 Dados los siguientes conjuntos:
A = {x/x es letra de la palabra “teléfono”}
B = {x/x es letra de la palabra “elefante”}
Calcula: A ∩ B
A) {e; l; f}
D) {l; f}
20
B) 7
E) 15
C) 10
/x2 = 9} ∧ C = {x ∈ N /x - 2 = 4}
Calcula: (B ∪ C) ∩ A
B) {3; 4; 5}
C) {3; 6}
D) {2; 3; 4; 5; 6} E) N.A.
Calcula: n(A) + n(B)
C) 4
C) {8; 9}
23 Dados los conjuntos:
A = {x/x es dígito y 2 ≤ x ≤ 6}
A) {2; 4; 5}
A = {x ∈ / x tiene suma de sus cifras igual a 5}
B = {x ∈ / x tiene producto de su cifras igual a 3}
B) 3
E) N.A.
B = {x ∈
18 Dado el conjunto universal:
U = {x/x ∈ ; 10 < x < 40}
y los conjuntos:
A) 2
D) {7; 8; 9}
A) 11
D) 9
17 Calcula el número de subconjuntos propios que
tiene el siguiente conjunto
A) 3
B) {6; 7}
B = {x ∈ /x es múltiplo de 4 y 3 < x < 30}
¿Cuántos elementos tiene el conjunto: A ∪ B?
; 4 < x < 10}
D) M = {2x+1/x ∈
A) {6; 7; 8}
C = {7; 8; 9}
22 Dados los conjuntos:
A = {x ∈ /x es múltiplo de 5 y 4 < x < 21}
; 6 < x < 16}
B) M = {2x-1/x ∈
A = {1; 2; 3; 7}, B= {2; 5; 6; 7}, C = {3; 4; 5; 7},
entonces, ¿cuáles son los elementos que deben estar
en las partes coloreadas del diagrama?
A) 2, 5 y 7
B) 2, 3 y 7
C) 2 y 3
D) 3, 5 y 7
E) 2, 5, 6 y 7
B) {e; f; n}
C) {e; l; f; n}
E) {e; l; f; n; t}
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
24 Del siguiente diagrama:
Calcula: “(P ∪ R) ∩ Q”
A) {2; 4; 6}
B) {2; 4; 5; 6}
C) {5; 6}
D) {2; 3; 4; 5; 6}
E) N.A.
25 ¿Cuál es el máximo número de elementos
que puede tener:
(P ∪ Q) ∩ R?
Si n(P) = 5; n(Q) = 3 y n(R) = 8 (Q,R y P son conjuntos).
CONJUNTOS
A) 13
D) 8
B) 14
E) 11
C) 16
26 ¿Cuál es el mínimo número de elementos que
puede tener:
(A ∩ B) ∪ C; si n(A)=5, n(B) = 4 y n(C) = 3?
(A,B y C son conjuntos, además: n(A) significa el
número de elementos del conjunto A).
A) 3
D) 6
B) 4
E) 12
C) 5
27 Dados los conjuntos:
A = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} B = {4; 6; 8}
C = {2; 4; 6; 7}.
Calcula el valor de “A - (C - B)”.
A) {2; 5; 7}
D) {4; 6; 8}
B) {3; 4; 5; 6; 8}
E) N.A.
C) {2; 4; 6; 8}
28 Del siguiente diagrama:
Calcula “(A - B) ∪ (B - C)”
A) {1; 2; 4; 6}
B) {2; 3; 4; 5; 6}
C) {1; 2; 3; 4}
D) {1; 2; 3; 5}
E) {1; 2; 3; 4; 5; 6}
32 Dado el conjunto universal:
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} y los conjuntos:
A = {1; 3; 5; 7; 9} ∧ B = {2; 3; 4}. Hallar (A - B)'.
A) {1; 5; 7; 9}
C) {3; 4; 6; 8}
33 Si A es el conjunto de adultos y B es el conjunto de
todas las personas que beben Coca Cola, ¿cómo
expresaríamos en el lenguaje de conjuntos: “No
adultos que no beben Coca Cola”?
A) A ∩ B
D) A' ∩ B'
A = {3; 5; 7; 9};
B = {1; 2; 4; 6; 8} ∧
C = {3; 4; 7; 8; 9; 10}.
Calcula (A ∪ B) ∆ C.
A) {3; 5; 7; 9} B) {1; 2; 4; 6; 9}C) {2; 3; 4; 5; 6}
D) {1; 2; 5; 6; 10} E) N.A.
30 En la figura A, B y C son conjuntos no vacíos. ¿Cuál
de las siguientes expresiones representa el área
pintada?
A) (A ∩ C) ∪ B
B) (A - C) ∩ B
C) (A ∩ C) - B
D) (A ∩ B) - C
E) (A ∪ C) - B
31 Dados los conjuntos:
A = {x ∈
B = {x ∈
C = {x ∈
/x es múltiplo de 4 y 3 <x<17}
/x es múltiplo de 6 y 5 <x ≤ 30}
/x ≤ 15}. Calcula (A ∆ B) ∩ (B ∆ C).
A) {4; 8; 12} B) {6; 12; 18; 24; 30}
C) {4; 8; 18; 24}
D) {4; 8; 18; 24; 30}
B) A' ∩ B
E) (A ∩ B)'
C) A ∩ B'
34 Dados los conjuntos:
A = {x/x ∈
; x < 10}
; x < 5}
B = {x2/x ∈
C = {2x/x ∈
; x < 6}
Calcula (A − B) ∩ C.
A){2; 6; 8} B) {1; 4; 9}
D) {0; 2; 4}
E) {1; 2; 3; 4}
35Si:
A = {x/x ∈
B = {x/x ∈
; 5 < x < 10}
; 7 < x < 13}
29 Dados los conjuntos:
B) {2; 3; 4; 6; 8; 10}
D) {1; 5; 9; 3; 6} E) N.A.
Calcula el número de subconjuntos de (A ∆ B).
A) 4 B) 8
D) 32
E) 64
36Si:
C){2;3;5;6;7;8}
C) 16
A = {a, b, c, d, e}
B = {c, d, e, f}
Calcula n(A ∪ B) - n(A ∩ B).
A) 1 B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
37 Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 3; 4; 5}
B = {2; 4; 6; 8}
Calcula (A - B) ∪ (A ∆ B).
A) {2; 4; 6; 8} D) {2; 4}
B) {1; 2; 3; 4; 5} E) {1; 3; 5; 6; 8}
C) {1; 3; 5}
38 Dados los conjuntos:
A = {x/x ∈
; 5 < x < 16}
B = {x/x ∈ A ; x < 10}
Calcula el número de subconjuntos propios que
tiene el conjunto (A ∩ B).
A) 1023 B) 511
C) 255
D) 64
E) 15
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
21
Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
Calcula : A ∩ B
39 ¿Qué operación corresponde al diagrama?
A) {41; 71}
B) {55; 51; 61}
C) {41; 51}
D) {61; 71}
E) φ
45 Dado que:
= {0; 1; 2; 3; 4; ....}
A = {x/x ∈
B = {x/x ∈
C = {x/x ∈
A) (A ∩ B)' B) (A ∪ B)'
D) (A − B)'
E) A' ∪ B'
C) (A ∆ B)'
Calcula n [A ∩ B ∩ C].
A) 6
40 Calcula n[(A ∪ B) – C ] ; si:
; x es múltiplo de 3}
; x es múltiplo de 4}
; x <25}
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
46 Calcula la suma de elementos del conjunto A
A ={1; 2; 3; 4; 5; 6};B = {2; 4; 6; 8; 10}
C = {n/n = 2k+1 ∧ 0 <k<5; k∈ }
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
41 U = {1; 2; 3 ; … ; 12}
A ={2; 4; 6; 9; 10; 12} ∧ B = {1; 2; 5; 6; 8; 10; 11}
¿Cuántos elementos tiene: A' - B?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
42 Si:
Calcula : n (A ∪ B ∪ C).
A) 3
B) 4
D) 6
 = {x ∈
A = {x ∈  / x es múltiplo de 2}
B = {x ∈  / x es múltiplo de 3}
C = {x ∈  / x es múltiplo de 6}
Calcula : (A ∩ B) ∆ C '.
A) A
B) B
D) 60
C) C
D) U
E) φ
Dados los conjuntos:
A = {x2-3x+1/x ∈
B = {10x+1/x ∈
; 50 ≤ x2 ≤ 100}
; 3 < x < 8}
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
E) 67
a y b ∈ . Indica el valor de a+b.
A) 12
B) 16
C) 10
D) 9
48 Si:
A={a, b, c, x, y, z}
B={x, y, z, w}
(A
Calcula n[(A  B)'
B) 4
C) 5
E) 14
B)].
D) 6
E) 7
Clave de
Respuestas
/ 1 ≤ x ≤ 30}
44
E) 7
Dados los conjuntos:
43
22
C) 5
C) 65
Calcula la suma de elementos del conjunto A; si
A = B.
;A=B
A) 3
C = {x/4x – 5 = 19}
B) 66
47
A) 61
E) 9
1. C
11. C
21. D
31. D
41. E
2. B
12. C
22. C
32. B
42. D
3. D
13. C
23. C
33. D
43. D
4. A
14. C
24. D
34. A
44. A
5. A
15. C
25. D
35. D
45. C
6. A
16. D
26. A
36. C
46. C
7. D
17. C
27. B
37. E
47. B
8. D
18. D
28. D
38. E
48. A
9. C
19. E
29. D
39. C
10. E
20. C
30. C
40. B
CONJUNTOS
APLICO MIS
Ser lider es promover las buenas relaciones
entre los demas”
APRENDIZAJES
Comunicacion Matemática
1 Dado el diagrama y las proposiciones: Indicar
cuáles son verdaderas y cuáles son falsas:
7 Si A={2; 8; {9}}, ¿cuántas de las afirmaciones son
ciertas?
I. 2 ⊂ A II. {8} ∈ A III. {2;8} ⊂ A IV. {9} ∈ A
I.8 ∈ A
II.4 ∈ C
III.3 ∉ B
IV. 1 ∈ B
V.5 ∉ A
VI.9 ∉ C
A) VVFVVF
B) VFVVFF
D) VVVFVV
E) VFFVFV
8 Dado el diagrama y las proposiciones:
I. C ⊂ A
II. B ⊂ A
III.C ⊂ B
C) VVVVFV
2 Si A= {{a};b;{c};{d;e}}, ¿cuál de las siguientes
relaciones es verdadera?
A) {c} ⊂ A D) {d;e} ⊂ A
B) a ⊂ A
C) b ⊂ A
E) {{d;e}} ⊂ A
; 4 < x ≤ 7}
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) 3 ∈ A
D) 1 ∈ A
B) 7 ∈ A
E) 5 ∈ A
C) 2 ∈ A
E) N.A.
9 Si P ={2;4;6;8;10}, al transformar el conjunto por
comprensión tenemos:
I. P = {x/x ∈ ∧ x < 9}
II.P = {(2x + 2)/x ∈ ∧ 0 ≤ x < 5}
III. P = {2x/x ∈ ∧ 0 ≤ x ≤ 5}
A) Sólo I D) Sólo III
3 Dado el conjunto:
M = {x-1/x ∈
Indicar cuál o cuáles son verdaderas.
A) Sólo IB) I y III C) Sólo II D) Los tres
B) Sólo II
E) II y III
C) I y II
10 Traducir a un diagrama lineal el siguiente diagrama
de Venn-Euler.
4 Dado el siguiente conjunto:
R = {a ; b ; {c} ; d ; e}
I. a ∧ b ∈ R
II. {{c}} ⊂ R
Cuáles son falsas.
A) Sólo I
D) I y II
B) Sólo II
E) II y III
III. {e} ∈ R
B) C)
C) Sólo III
5 Dados los conjuntos:
A)
D)E) Ninguna
A = φ ; B = {0} ; C = {φ}, indique lo correcto.
A) A = B
D) n(B) = 0
B) B = C
C) n(B) = n(C)
E) Todos son iguales.
6 Si M={3; 5; 7; 9; 11} al transformar el conjunto
por comprensión, tenemos que:
I. M = {x/x ∈ ∧ x < 6}
II. M = {(2x+1)/x ∈ ∧ 1 ≤ x<6}
III. M = {(2x-1)/x ∈ ∧ 1 < x<6}
11Si:
A = {x/“x” es un número natural mayor que 5}
B = {x/“x” es una fiera}
C = {x/“x”es un mamífero}
De ellos cuál es conjunto o cuál no, de acuerdo a ello
marque F, si es falso, y V si es verdadero, según corresponda.
A) VFV B) VFF C) VVV D) FFF
E) FFV
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
23
Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
12 Observa el diagrama:
Indicar cuál es la respuesta correcta.
A
.1
B
.2
A) M={1;3;4;5;6;7}
C) P={2;3;4;6}
.4
D) N={4;5;7}
.5
E) Ninguna.
13 Si A={4x/x ∈ ; 3<x ≤ 6} ∧ B = {5x/x∈ ; 3<x ≤ 5},
cuál de las siguientes relaciones es falsa.
A) B ⊂ A
C) 20 y 25 ∈ {20;25}
B) 20 ∈ {16;20;24}
D) {20} ⊂ {20;25}
E) B ⊄ A
14 Dado el conjunto:
B ={x/x ∈ ∧ 0 < x ≤ 5}
Calcula el valor de: n[P(B)]
A) 16
B) 32
C) 64
D) 8
15 Según el diagrama, evaluar las proposiciones como
verdaderas (V) o falsas (F).
I. A ⊂ M
II. B ⊂ M
A) VVVV
D) VFFF
III. D ⊂ B
IV. A ⊂ B
M
B
C
B) VVVF
E) VFVF
C) VVFF
A = {x2–10/x ∈
; 3 < x < 8}
Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
I. La suma de los elementos de A es 22.
II.
n(A) = 4
III. A tiene 16 subconjuntos
B) VVV
E) FFF
C) FFV
I. (A - B) ∩ (C – B) II. (A ∩ C) – B
III. (A ∩ B) – C
A) Sólo I
B) Sólo II
C) I y II
D) II y III
E) Todas
20 La parte coloreada corresponde a:
A) VFVF
D) FFVV
B) VVFF
E) FVFV
C) VVVV
A) (B ∩ C) – A
B) (A ∩ C) – B
C) (A ∩ B) – C
D) (A ∪ C) – B
E) (B ∪ C) – A
16 Si A = {1; 2; {3}; 4} ¿Cuál de las afirmaciones es
falsa?
A) 1 ∈ A
D) {3} ∈ A
B) 4 ∈ A
E) {3} ⊂ A
C) {1; 2} ⊂ A
17 Dado el diagrama, indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F)
I. 3 ∈ B II. 2 ∈ A III. 6 ∉ C IV. 4 ∉ A
24
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
19 La operación que corresponde al diagrama es:
D
A
18 Dado el conjunto:
A) FVV
D) VFF
E) 24
.6
.3
B) N={4;5;6;7}
Clave de
Respuestas
1. D
6. A
11. C
16. E
2. E
7. B
12. D
17. B
3. E
8. B
13. A
18. A
4. C
9. B
14. B
19. C
5. C
10. B
15. A
20. B
CONJUNTOS
Ser lider es promover las buenas relaciones
entre los demas”
Resolución de Problemas
1
En una encuesta de mercado sobre el consumo
de pescado y pollo se encontró que de los 1000
encuestados:
200 no consumen ninguno de estos productos;
500 no consumen pollo; 600 no consumen pescado.
¿Cuántos consumen pescado y pollo?
A) 50
B) 60
C) 80
D) 100
E) 120
2 A 60 alumnos de un salón les preguntaron por el
deporte que practican y respondieron:
40 juegan fútbol;
36 juegan voleibol
¿Cuántos alumnos practican los dos deportes?
A) 20
B) 14
C) 18
D) 12
E) 16
3 En una reunión de profesores de ciencias:
B) 70
C) 100
D) 91
E) 87
4 En una encuesta realizada a un grupo de deportistas:
115 practican básquet; 35 practican básquet y ajedrez; 90 practican sólo ajedrez y 105 no practican
básquet. ¿A cuántos deportistas se encuestó?
A) 220
B) 230
C) 210
D) 200
E) 190
5 En una fiesta donde había 100 personas, se observó
que se bailaba la salsa o el rock. Si:
65 personas bailaban la salsa;
60 personas bailaban el rock;
¿cuántas personas no bailaban el rock, sabiendo
que todos bailaban por lo menos uno de estos tipos
de baile?
A) 40
B) 25
C) 35
D) 15
E) 30
6 De 200 lectores: 80 leen las revistas A y B; 110 son
lectores de la revista B. ¿Cuántos leen sólo la revista
A? Todas leen al menos una de estas 2 revistas
A) 30
B) 90
C) 60
D) 50
E) 70
7 En una asamblea de 70 integrantes de un club:
45 son estudiantes; 48 trabajan; 8 no trabajan ni
estudian. ¿Cuántos trabajan, pero no estudian?
A) 31
B) 14
C) 1 7
D) 39
APRENDIZAJES
8 En una peña criolla trabajan 32 artistas, de estos: 16
bailan; 25 cantan y 12 cantan y bailan. El número
de artistas que no cantan ni bailan son:
A) 1
E) 25
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
9 De un grupo de 110 personas:
70 hablan Inglés, 20 no hablan ni Inglés ni francés; el
número de los que hablan francés es el doble de los
que hablan solamente inglés. ¿Cuántos hablan inglés
y francés?
A) 10
B) 20
C) 25
D) 30
E) 40
10 En una reunión de 58 caballeros se observó que los
que usan corbata y anteojos representan la tercera
parte de los que usan corbata; los que usan anteojos
son el doble de los que usan corbata y anteojos;
si 10 personas no usan ni corbata, ni anteojos,
¿cuántos usan corbata, pero no anteojos?
A) 12
47 eran de matemática; 40 eran sólo de física y 4
no enseñaban ninguno de estos cursos.
¿Cuántos profesores integraban la reunión?
A) 83
APLICO MIS
B) 24
C) 36
D) 18
E) 10
11 De 75 alumnos de un aula.
los 3/5 usa reloj; 1/3 de los alumnos sólo usa anteojos; los 2/5 usa anteojos y reloj.
¿Cuántos no usan anteojos ni reloj?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
12 Un conjunto A tienen 42 elementos y otro conjunto
B tienen 24 elementos, si A ∪ B tiene 52 elementos,
¿cuántos elementos tiene A ∩ B?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
13 Si 20 personas usan anteojos solamente; 90 personas no usan anteojos; 70 no usan sombrero; los
que usan sombrero y anteojos son los 3/4 del total,
¿cuántas personas usan sombreros y anteojos?
A) 100
B) 110
C) 220
D) 330
E) 300
14 A una reunión asistieron 80 personas de las cuales
32 no cantan, pero sí bailan y 24 no bailan, pero sí
cantan. Si el número de personas que no cantan ni
bailan es el doble del número de personas que cantan
y bailan, ¿cuántas personas no cantan ni bailan?
A) 8
B) 32
C) 16
D) 24
E) 64
15 En una ciudad de 120 personas: a 1/4 de la población no les gusta la carne ni el pescado; a 1/2 de la
población les gusta la carne y a los 5/12 les gusta el
pescado.
¿A cuántas personas no les gusta el pescado?
A) 40
B) 60
C) 50
D) 70
E) N.A.
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
25
Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
16 De un grupo de 90 personas: 20 estudian y trabajan;
el número de los que solamente trabajan es el doble
de los que solamente estudian. El número de los
que no estudian ni trabajan es la mitad de los que
trabajan. ¿Cuántas personas no estudian?
A) 30
D) 50
B) 55
E) N.A.
C) 45
17 En una encuesta realizada a un grupo de lectores
de revistas:
40 personas leen la revista A;
60 personas leen la revista B; los que no leen ninguna de estas revistas son el triple de los que leen
ambas revistas; si 80 personas no leen la revista A,
¿cuántas personas leen ambas revistas?
A) 10
D) 15
B) 20
E) 25
C) 30
18 En una reunión de profesores: 23 usan corbata; 16
usan anteojos y 10 usan solamente anteojos. Los
que no usan corbata son el triple de los que usan
solamente corbata. ¿Cuántos profesores están reunidos?
A) 77
D) 74
B) 83
E) 90
C) 51
19 De 120 personas: 30 conocen sólo Argentina; 40 no
conocen Brasil; el número de personas que conocen Brasil es el cuádruple del número de personas
que conocen Brasil y Argentina. ¿Cuántas personas
conocen sólo Brasil?
A) 80
D) 50
B) 70
E) 40
C) 60
20 En una biblioteca están estudiando 62 alumnos: Hay
12 alumnos que les gusta matemática y Lenguaje; el
número de alumnos que les gusta matemática es el
doble del número de alumnos que les gusta lenguaje;
el número de alumnos que no les gusta ni matemática ni lenguaje es la mitad del número de los que les
gusta sólo matemática. ¿A cuántos alumnos les gusta
lenguaje?
A) 20
D) 12
B) 8
E) 14
C) 15
21 Para ir a trabajar a una fábrica, de un grupo de 100
obreros 30 van con polo y 40 con camisa de obrero.
Si 60 van con polo o camisa, ¿cuántos obreros van
con polo y camisa, si hay obreros que van con otro
tipo de ropa?
A) 5
D) 10
26
B) 7
E) 40
C) 9
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
22 En una clase de 30 alumnos, 14 han sido aprobados
en matemática, 10 en física y 5 en ambos cursos.
¿Cuántos alumnos han sido aprobados en un curso
por lo menos?
A) 11
B) 15
C) 17
D) 19
E) 20
23 Se encuesta a 45 televidentes acerca de su preferencia por los canales A o B: 12 televidentes ven
el canal A, pero no el B; 18 ven el canal B, pero no
el A; el número de personas que no ven ninguno de
los dos canales es el doble del número de personas
que ven ambos canales.
¿Cuántos no ven el canal B?
A) 15
B) 22
C) 17
D) 23
E) 28
24 De un total de 100 estudiantes que postulan a la
Universidad de San Marcos o a la Universidad Católica se conoce que:
Los que postulan a San Marcos son el cuádruple de
los que postulan a Católica solamente; 70 postulan
exclusivamente a San Marcos. ¿Cuántos estudiantes
intentarán las 2 posibilidades?
A) 70
B) 10
C) 20
D) 30
E) 40
25 En una encuesta realizada a 141 amas de casa sobre
sus preferencias por los productos A y B se obtuvo
el siguiente resultado:
40 amas de casa consumen “A” solamente; 90 amas
de casa no consumen el producto “B”; las que consumen B son el triple de las que consumen A y B.
¿Cuántas amas de casa no consumen el producto A?
A) 34
B) 17
C) 51
D) 84
E) 90
26 De 80 alumnos que participaron en una olimpiada
escolar:
30 participaron en natación; 20 participaron en
atletismo; el número de alumnos que participaron
en otros deportes son el doble de los que participaron en
natación solamente. ¿Cuántos alumnos
participaron en los dos deportes mencionados?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
27 Se reúnen 110 personas que son actores y/o cantantes;
40 son solamente actores; hay tantos cantantes como
actores, ¿cuántos son actores y también cantantes?
A) 40
B) 30
C) 15
D) 10
E) 70
28 En un club donde solamente hay deportistas que practican fútbol y/o básquet, el número de futbolistas es
el doble del número de basquetbolistas; 10 personas
practican ambos deportes y 90 personas no saben jugar
básquet. ¿Cuántos deportistas hay en dicho club?
A) 170
B) 130
C) 150
D) 100
E) 140
CONJUNTOS
29 Una encuesta realizada entre 82 madres de familia
arrojó el siguiente resultado:
43 saben costura;
47 saben repostería;
58 saben tejido;
19 saben costura y repostería;
28 saben costura y tejido; 30 saben repostería y
tejido;
11 saben las tres ocupaciones. ¿Cuántas amas de
casa saben sólo una de las tres especialidades?
A) 25
B) 27
C) 29
D) 30
E) 31
30 De un grupo de 59 personas se observa lo siguiente:
8 personas leen sólo el “Comercio”;
16 personas leen sólo la “República”;
20 personas leen sólo el “Expreso”;
7 personas leen el “Comercio” y la “República”;
8 personas leen el “Comercio” y el “Expreso”;
3 personas leen la “República” , el “Expreso” y el
“Comercio”;
2 personas no leen ninguno de estos diarios.
¿Cuántas personas leen el “Expreso”?
A) 25
B) 28
C) 29
D) 20
E) 24
17 ven los canales 5 y 2
40 no ven los canales 4, 5 ni 2
¿Cuántos televidentes ven los canales 4; 5 y 2?
A) 15
B) 17
C) 8
D) 20
E) 10
Las preguntas que se formulan a continuación se
refieren al siguiente problema:
Entre 150 personas que consumen hamburguesas
se observaron las siguientes preferencias en cuanto
al consumo de las salsas de mayonesa, ketchup y
mostaza:
80 consumen mayonesa;
70 consumen ketchup;
90 consumen mostaza;
50 consumen mayonesa y ketchup;
35 consumen ketchup y mostaza;
40 consumen mayonesa y mostaza;
30 consumen las tres salsas.
34 ¿Cuántas personas no consumen ninguna de estas
tres salsas?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
31 En una encuesta realizada a un grupo de 100 estudiantes de un instituto de idiomas se obtuvo el
siguiente resultado:
28 estudian español;
30 estudian alemán;
42 estudian francés;
8 estudian español y alemán;
10 estudian español y francés;
5 estudian alemán y francés;
3 estudian los tres idiomas.
35 ¿Cuántas personas consumen solamente ketchup?
¿Cuántos estudiantes toman el francés como único
idioma de estudio?
38 ¿Cuántas personas consumen mostaza, pero no
ketchup?
A) 20
B) 30
C) 13
D) 32
E) 28
32 De 38 estudiantes que desfilaron en un batallón:
18 usaban anteojos;
19 llevaban saco;
20 usaban corbata;
11 estudiantes usaban exactamente dos de estas
prendas.
¿Cuántos estudiantes usaban anteojos, saco y corbata?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
33 En una encuesta realizada a 129 televidentes:
37 ven el canal 4;
34 ven el canal 5;
52 ven el canal 2;
12 ven los canales 4 y 5;
15 ven los canales 4 y 2
A) 10
B) 20
C) 70
D) 15
E) 45
36 ¿Cuántas personas consumen solamente mostaza?
A) 90
B) 45
C) 30
D) 40
E) 35
37 ¿Cuántas personas consumen sólo una de estas tres
salsas?
A) 60
A) 55
B) 70
B) 45
C) 80
C) 50
D) 90
D) 70
E) 100
E) 30
39 ¿Cuántas personas consumen mayonesa y ketchup,
pero no mostaza?
A) 15
B) 25
C) 18
D) 20
E) 10
40 ¿Cuántas personas consumen ketchup o mostaza,
pero no mayonesa?
A) 50
B) 60
C) 65
D) 55
E) 70
41 ¿Cuántas personas consumen exactamente dos
salsas?
A) 20
B) 30
C) 35
D) 25
E) 40
42 ¿Cuántas personas consumen por lo menos dos
salsas?
A) 70
B) 65
C) 80
D) 40
E) 50
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
27
Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
43 ¿Cuántas personas no consumen ni mayonesa, ni
ketchup?
A) 45
B) 50
C) 55
D) 60
E) 65
44 ¿Cuántas personas no consumen mayonesa?
A) 65
B) 60
C) 50
D) 70
E) 75
45 ¿Cuántas personas no consumen mostaza?
A) 60
B) 70
C) 45
D) 85
E) 80
46 De 150 personas que fueron encuestadas se obtuvo
los siguientes resultados.
70 son mujeres
85 personas beben café
18 mujeres no beben café
¿Cuántos hombres no beben café?
A) 35
B) 51
C) 33
D) 29
E) 47
47 En un salón se encuentran 52 alumnos de los cuales
30 son hombres , 12 mujeres no tienen 18 años.
Si 30 personas tienen 18 años: ¿Cuántos hombres
tienen 18 años?
A)10
B) 12
C) 22
D) 20
E) 30
48 De una muestra recogida a 200 turistas se determinó lo siguiente: 64 eran norteamericanos, 86 eran
europeos y 90 eran ingenieros, de estos últimos 30
eran norteamericanos y 36 europeos. De los no
ingenieros ¿cuántos no son europeos ni norteamericanos?
A) 22
B) 24
C) 26
D) 25
E) 23
49 En un salón de clases de 60 alumnos se observa que
a 40 alumnos les gusta matemática a 30 les gusta
lenguaje y a 12 alumnos no les gusta ninguno de
estos cursos. ¿A cuántos alumnos les gusta solamente matemática?
A) 16
B) 22
C) 20
D) 18
E) 24
50 Se realizó una encuesta a 150 alumnos sobre la
preferencia de 4 cursos: A; x; G y T obteniéndose
los siguientes datos:
Ninguno que prefiere G, prefiere T.
20 sólo A; 20 sólo G; 20 sólo X ; 20 A y G, pero no
X; 6 sólo con G y X; 4 sólo A y T; 24 T y X; 28 sólo
T.
¿Cuántos prefieren x, si 6 no prefieren alguno de
estos cursos?
A) 48
28
B) 50
C) 52
D) 54
E) 58
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
51 En un salón de 36 alumnos, se nota que 20 son mujeres, de las cuales 3 no estudian matemática. Si del
total de alumnos del salón 24 estudian matemática,
¿cuántos hombres no estudian matemática?
A) 6
B) 9
C) 8
D) 7
E) 10
52 Se reunieron 80 estudiantes para hacer deporte, de
los cuales 25 juegan fútbol, 45 juegan básquet y 20
juegan a "las escondidas" solamente. ¿Cuántos son
los que juegan fútbol y básquet si solo hay 3 juegos
y todos participan?.
A) 9 B) 12
C) 10
D) 13
E) 15
53 De un grupo de 30 personas, se sabe; que 13 conocen el español, 15 el inglés y 26 el alemán. También
se sabe que 10 personas hablan sólo un idioma,
mientras que hay 12 que conocen exactamente
2 idiomas. ¿Cuántas personas desconocen estos
idiomas?
A) 1 B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
54 Cierto número de medallas de oro, plata y bronce es
distribuido entre 100 atletas en un festival deportivo.
Se sabe que 45 atletas reciben medallas de oro, 45
reciben medallas de plata, 60 reciben de bronce, 15
reciben medallas de oro como de plata, 25 atletas
reciben medallas de plata y bronce, 20 reciben
medallas de oro y bronce, 5 reciben de oro, plata
y bronce. ¿Cuántos atletas no recibieron medallas?.
A) 1 B) 5
C) 2
D) 7
E) 6
Clave de
Respuestas
1. D
12. C
23. B
34. A
45. A
2. E
13. D
24. B
35. D
46. E
3. D
14. C
25. D
36. B
47. D
4. A
15. D
26. A
37. C
48. C
5. A
16. B
27. B
38. A
49. B
6. B
17. A
28. E
39. D
50. E
7. C
18. D
29. B
40. C
51. B
8. C
19. C
30. C
41. C
52.C
9. E
20. A
31. B
42. B
53.B
10. B
21. D
32. D
43. B
54.B
22. D
33. E
44. D
11. C
CONJUNTOS
APLICO MIS
Ser lider es promover las buenas relaciones
entre los demas”
APRENDIZAJES
Razonamiento y demostración
Sol. 1
Si A = {3x / x ∈ ; 5 < x < 9}
x = {6; 7; 8}
& A = {18; 21; 24}
Sol. 7
U
B
A
C
⊂B⊂U
C
Sol. 2
Si B = {x / x ∈ /; 0 < x ≤ 5}
x = 1; 2; 3; 4; 5
& B = {1; 2; 3; 4; 5}
n[P(B)] = 25 = 32
Aquí : D ⊂ A ⊂ U
D
Sol. 8
a) P(A) = 128 ⇒ 2n(A) = 27 ⇒ n(A) = 7
b) P(B) = 163 ⇒ 2n(B) = 163 = n(24)3
⇒ 2n(B) = 212 = n(B) = 12
∴ n(A) y n(B) = 7 y 12
Sol. 3
Si A = {2x / x ∈ / 2 ≤ x ≤ 10}
x = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
& B = {4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}
Sol. 9
A = {5a–1 ; 4b+2}
B = {125 ; 64}
Como: A = B
Sol. 4
Q = {2x / x ∈ / 0 ≤ x ≤ 5}
x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5}
& Q = {20; 21; 22; 23; 24; 25}
∴ Q = {1; 2; 4; 8; 16; 32}
Sol. 5
B = {x2 / x ≤ 5; x ∈ }
x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5}
& Q = {02; 12; 22; 32; 42; 52}
Q = {0; 1; 4; 9; 16; 25}
La suma de elementos: 1 + 4 +9 + 16 +25
∴ ∑ elementos = 55
Sol. 6 Tenemos; los conjuntos unitarios:
A = {x + 7; 2x + 5}
& x + 7 = 2x + 5 & x = 2
B = {y – 3; 5y – 15}
& y – 3 = 5y – 15
12 = 4y & y = 3
Me piden: x + y = 2 + 3 = 5
⇒
5a–1 = 125 = 53
4b+2 = 64 = 43
Ademas:
C = {x3 / x ∈ ∧ b ≤ x ≤ a}
⇒ C = {x3 / x ∈ ∧ 1 ≤ x ≤ 4}
⇒ x ∈ ∧ 1 ≤ x ≤ 4 ⇒ x = {1; 2; 3; 4}
⇒ x3 = {1; 8; 27; 64}
∴ C = {1; 8; 27; 64}
Me piden:
∑ elementos (C) = 1 + 8 + 27 + 64 = 100
Sol. 10
P = {4; 6; 8; 10; 12; 14; 16}
P = {2(2); 2(3); 2(4); 2(5); 2(6); 2(7); 2(8)}
∴ P = {2x / x ∈ ; 2 ≤ x ≤ 8}
Sol. 11 Tenemos:
A = {3x / x ∈ ; 2 < x ≤ 6}
2< x ≤ 6 → x ∈ {3; 4; 5; 6}
3x ∈ {9; 12; 15; 18} → A = {9; 12; 15; 18}
Me piden:
Conjunto "A"
= A = {9; 12; 15; 18}
por extensión
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
29
Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
Sol. 12 Tenemos:
B = {x2 – 3 / x ∈ ; 3 ≤ x < 6}
⇒ 3 ≤ x < 6 ⇒ x = {3; 4; 5}
⇒ x2 – 3 = {6; 13; 22}
∴ B = {6; 13; 22}
Sol. 13 Tenemos:
D = {1; 3; 5; 7; 9; 11}
Sea:
x ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6} ⇒ 0 < x ≤ 6 ∧ x ∈
Ademas:
2x – 1 ∈ {1; 3; 5; 7; 9; 11} = D
∴ D = {2x – 1/ x ∈ / 0 < x ≤ 6}
Sol. 14 Veamos:
A = {x / 5 < x < 7; "x" es un número natural}
⇒ 5< x < 7 → x = 6 → A = {6}
B = {x / 3x – 1 = 8; "x" es un número natural}
⇒ 3x – 1 = 8 → x = 3 → B = {3}
∴ A y B son conjuntos Unitarios
Sol. 15
a + b = 13
a–b=7
Resolviendo: a = 13 + 7 = 10 ; b = 13 – 7 = 3
2
2
Reemplazando en:
C = {a; b2 + 1; a + b ; a ; b + 2}
2
C = {10, 10; 13; 5; 5}
C = {10; 13; 5}
∴ n(C) = 3
Sol. 16
M = {7; 9; 11; 13; 15}
M = {6+1; 8+1; 10+1; 12+1; 14+1}
M = {2(3)+1; 2(4)+1; 2(5)+1; 2(6)+1; 2(7)+1}
∴ M = {2x+1 / x ∈ ; 2 < x < 8}
Sol. 17
x ∈ {5; 6; 7; 8; 9}
→ (2x – 3) ∈ {7; 9; 11; 13; 15}
D = {7; 9; 11; 13; 15}
n(D) = 5
N° de subconjuntos propios = 25 – 1 = 31
30
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
Sol. 18
U = {11; 12; 13; ...; 39}
A = {14; 23; 32} → n(A) = 3
B = { 13; 31} → n(B) = 2
∴ n(A) + n(B) = 5
Sol. 19
A = { t ; e; l ; f ; o ; n }
B = { e ; l; f ; a ; n ; t }
A ∩ B = {e ; l ; f ; n ; t }
Sol. 20
.1
.2
.6
.7
.3
C
B
5
.4
Están en la parte coloreada: 2 y 3
Sol. 21
A = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
B = {6; 7; 8; 9; 10}
C = { 7; 8; 9}
∴ (A ∩ B) ∩ C = {7; 8; 9}
Sol. 22
A = {5; 10; 15; 20}
B = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28}
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
∴ n(A ∪ B) = 4 + 7 – 1 = 10
Sol. 23
A = {2; 3; 4; 5; 6}
B = {3} ; C = {6}
(B ∪ C) ∩ A = {3; 6}
Sol. 24
P ∪ R = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 9}
Q = {1; 2; 3; 4; 5; 6;8}
(P ∪ R) ∩ Q = {2; 3; 4; 5; 6}
Sol. 25
El máximo número de elementos de (P ∪ Q) ∩ R
se da cuando R es un subconjunto de (P ∪ Q) y en
consecuencia:
(P ∪ Q) ∩ R = R
Luego:
Máximo n° de elementos = n(R) = 8
CONJUNTOS
Sol. 26
Sol. 34
El mínimo número de elementos de (A ∩ B) ∪ C se da
cuando A ∩ B = ∅
Luego:
(A ∩ B) ∪ C = C
Mínimo n° de elementos = n(C) = 3
Sol. 27
A={2;3;4;5;6;7;8}
C–B={2;7}
A – (C – B) = { 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 }
Sol. 28
A–B={1}
B–C={2;3;5}
(A – B) ∪ (B – C) = { 1 ; 2 ; 3 ; 5 }
Sol. 29
A ∪ B = { 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 }
C = { 3 ; 4 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 }
(A ∪ B) ∆ C= { 1 ; 2 ; 5 ; 6 ; 10 }
Sol. 30
La región pintada corresponde a:
(A ∩ C) – B
Sol. 31 Por extensión:
A = {4 ; 8 ; 12 ; 16 }
B = { 6; 12 ; 18 ; 24 ; 30 }
C = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... ; 15 }
A∆B = {4 ; 8 ; 6 ; 16 ; 18 ; 24 ; 30 }
B∆C = {0;1;2;3;4;5;7;8;9;10;11;13;14;15;18;24;30}
(A ∆ B) ∩ (B ∆ C) = {4; 8; 18; 24; 30}
A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
B = {0; 1; 4; 9; 16}
C = {0; 2; 4; 6; 8; 10}
(A – B) = {2; 3; 5; 6; 7; 8}
(A – B) ∩ C = {2; 6; 8}
Sol. 35 Por extensión:
A = {6; 7; 8; 9}
B = {8; 9; 10; 11; 12}
(A ∆ B) = {6; 7; 10; 11; 12}
N° de subconjuntos de (A ∆ B) = 25 = 32
Sol. 36 Por extensión:
A ∪ B = {a; b; c; d; e; f}
A ∩ B = {c; d; e}
n(A ∪ B) – n(A ∩ B) = 6 – 3 = 3
Sol. 37
A – B = {1; 3; 5}
A ∆ B = {1; 3; 5; 6; 8}
(A – B) ∪ (A ∆ B) = {1; 3; 5; 6; 8}
Sol. 38 Por extensión:
A = {6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15}
B = {6; 7; 8; 9}
A ∩ B = {6;7; 8; 9} → n(A ∩ B) = 4
N° de subconjuntos propios de (A ∩ B) = 24 – 1 = 15
Sol. 39
La parte que no está sombreada corresponde
al conjunto A ∆ B; luego la parte sombreada
correspondende a:
∴ (A ∆ B)'
Sol. 32
Sol. 40
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
A – B = {1; 5; 7; 9}
(A – B)' = {2; 3; 4; 6; 8; 10}
A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10}
C = {3; 5; 7; 9}
(A ∪ B) – C = {1;2; 4; 6; 8; 10}
n[(A ∪ B)– C] = 6'
Sol. 33
A = Conjunto de adultos
⇒ A' = Conjunto de no adultos
B = Conjunto bebedores de Coca cola
⇒ B' = Conjunto no beben Coca cola
∴ No adultos que no deben Coca cola = A' ∩ B'
Sol. 41
A' = {1; 3; 5; 7; 8; 11}
B = {1; 2; 5; 6; 8; 10; 11}
A' – B = {3; 7}
∴ n(A' – B) = 2
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
31
Sol. 42
Sol. 47
A = {1; 2}
B = {2; 3; 4; 5; 6}
C = {6}
A ∪ B ∪ C = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
∴ n(A ∪ B ∪ C) = 6
A = { a2 + 3 ; / b + 1 }
B = { 19 ; 13 }
Si son:
a2 + 3 = 19 ⇒ a2 = 16
b + 1 = 13 ⇒
b = 12
∴ a + b = 4 + 12 = 16
Sol. 43
U = {1; 2; 3; 4; ... ; 30}
A = {2; 4; 6; 8; ... ; 30}
B = {3; 6; 9; 12; ... ; 30}
C = {6; 12; 18; 24; 30}
A ∩ B = {6; 12; 18; 24; 30} = C
∴ (A ∩ B) ∆ C' = C ∆ C' = U
Sol. 48
A
x ∈
A = {41; 55; 71}
Sol. 1
10(4) + 1 = 41
10(5) + 1 = 51
10(6) + 1 = 61
10(7) + 1 = 71
B = {41; 51; 61; 71}
A
7.
9.
2.
8.
3.
A = {0; 3; 6; 9; 12; ...}
B = {0; 4; 8; 12; 16; ... }
C = {0; 1; 2; 3; 4; ... ; 24}
A ∩ B ∩ C = {0; 12; 24}
∴ n(A ∩ B ∩ C) = 3
Sol. 46
A = {x2 – 4 / x ∈ , 4 ≤ x ≤ 6}
x = { 4; 5 ; 6 }
A = {42 – 4; 52 – 4; 62 – 4}
A = {12; 21; 32}
∑ elementos
A = 12 + 21 +32 = 65
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
4.
Ahora:
A = {1; 3; 8; 9; 4}
B = {2; 6; 7; 8; 9}
C = {5; 6; 8; 4}
Luego:
I. 8 ∈ A ← (V)
II. 4 ∈ C ← (V)
III. 3 ∉ B ← (V)
IV. 1 ∈ B ← (F)
V. 5 ∉ A ← (V)
VI. 9 ∉ C ← (V)
32
B
1.
Sol. 45
w
Comunicacion Matemática
/ 3 < x < 8 → x ∈ {4; 5; 6; 7}
A ∩ B = {41; 71}
B
(A ∆ B)' ∪ (A ∩ B)
( a, b, c, w)' ∪ ( x , y , z )
{x , y , z} ∪ {x , y , z}
{x, y, z}
n[(A ∆ B)' ∪ (A ∩ B)] = 3
x ∈ / 50 ≤ x2 ≤ 100
x ∈ { 8; 9; 10 }
x
y
z
a
b
c
Sol. 44
82 – 3(8) + 1 = 41
92 – 3(9) + 1 = 55
102 – 3(10) + 1 = 71
∴ a=4
∴ Tenemos: VVVFVV
C
6.
5.
CONJUNTOS
Sol. 2
Sol. 7
A = {{a}; b; {c}; {d; e}}
Luego:
A) {c} ⊂ A
B) a ⊂ A
C) b ⊂ A
D) {d; e} ⊂ A
E) {{d; e}} ⊂ A
←
←
←
←
←
(F)
(F)
(F)
(F)
(V) ; {d; e} ∈ A
A = {2; 8 ; {9}}
I.2 ⊂ A
II.{8} ∈ A
III.{2; 8} ⊂ A
IV.{9} ∈ A
Son ciertas 2 afirmaciones
Sol. 8
B
Sol. 3
A
x ∈ {5; 6; 7}
→ (x – 1) ∈ {4; 5; 6}
∴ A = {4; 5; 6}
5 ∈ A es verdadera
Sol. 4 C
R = {a; b; {c}; d; e}
Luego:
I. a / b ∈ R .... (V)
porque a ∈ R / b ∈ R
II. {{c}} ⊂ R .... (V)
porque {{c}} ∈ P(R) & {{c}} ⊂ R
III. {e} ∈ R .... (F)
porque {e} ⊂ R
∴
Son falsas solo III
A = f
&n(A) = 0
B = {0}
& n(B) = 1
C = {f}
& n(C) = 1
∴ n(B) = n(C)
Luego:
I.C ⊂ A ... (V)
II.B ∈ A ... (F)
III.C ⊂ B ... (V)
Son verdaderas I y II
Sol. 9
P = {2; 4; 6; 8; 10}
P = {2(1); 2(2); 2(3); 2(4); 2(5)}
P = {2(0)+2; 2(1)+2; 2(2)+2; 2(3)+2; 2(4)+2}
P = {2x + 2 / x ∈ / 0 ≤ x < 5}
∴ Sólo II
Sol. 5
... (F)
... (F)
... (V)
... (V)
Sol. 10
(=s)
Sol. 6 M = {3; 5; 7; 9; 11}
Luego:
I. M = {x / x ∈ / x < 6}
⇒ x ∈ / x < 6 → x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5}
∴ M = {0; 1; 2; 3; 4; 5} ............ (F)
II. M = {(2x + 1)/ x ∈ / 1 ≤ x < 6}
⇒ x ∈ {1; 2; 3; 4; 5}
⇒ (2x + 1) = {3; 5; 7; 9; 11}
∴ M = {3; 5; 7; 9; 11} ............ (V)
III. M = {(2x + 1)/ x ∈ / 1 < x < 6}
x ∈ {2; 3; 4; 5}
⇒ (2x – 1) = {3; 5; 7; 9}
∴ M = {3; 5; 7; 9} ............ (F)
∴ Cumple: solo II
U
A
B
C
* Aquí: C ⊂ B ⊂ A ⊂ U
* Luego:
U
A
B
C
Sol. 11
A = {x / "x" es un número natural mayor que 5}
⇒ A = {6; 7; 8; 9....}
← Conjunto
B = {x / "x" es una fiera}
⇒ B = {tigre, ...}
← Conjunto
C = {x / "x" es mamífero}
⇒ C = {vaca; carnero; ...} ← Conjunto
∴ Tenemos: VVV
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
33
Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
Sol. 12
Sol. 15
M
4. 5.
3. 6.
P
I.A ⊂ M
II.B ⊂ M
III.D ⊂ B
IV.A ⊂ B
N
1.
7.
2.
Sol. 16
{3} ⊂ A es FALSA
Lo correcto es {3} ∈ A
Sol. 17
I.3 ∈ B
II.2 ∈ A
III.6 ∉ C
IV.4 ∉ A
A = {4x / x ∈ ; 3 < x ≤ 6}
⇒ 3 < x ≤ 6 → x ∈ {4; 5; 6}
⇒ 4x ∈ {16; 20; 24} → A = {16; 20; 24}
B = {5x / x ∈ ; 3 < x ≤ 5}
⇒ 3 < x ≤ 5 → x ∈ {4; 5}
⇒ 5x ∈ {20; 25} → B = {20; 25}
Graficando:
A
16.
B
20.
25.
24.
Luego:
A) B ⊂ A ............................... (F)
B) 20 ∈ {16; 20; 24} ............ (V)
C) 20 y 25 ∈ {20; 25} .......... (V)
D) {20} ⊂ {16; 20; 24} ....... (V)
E) B ⊄ A ................................ (V)
∴ Es falso (A)
Sol. 14 Por extensión
B = {1; 2; 3; 4; 5}
n(B) = 5
n(P(B)) = 2n(B) = 25 = 32
34
... (V)
... (V)
... (V)
... (F)
Sol. 18
Sol. 13
∴ VFVF
Luego:
M = {1; 3; 4; 5; 6}
N = {4; 5; 7}
P = {2; 3; 4}
Ahora:
A) M = {1; 3; 4; 5; 6; 7} (F)
B) N = {4; 5; 6; 7}
(F)
C) P = {2; 3; 4; 6}
(F)
D) N = {4; 5; 7}
(V)
E) Ninguna
... (V)
... (F)
... (V)
... (F)
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
x ∈ {4; 5; 6; 7}
x2 ∈ {16; 25; 36; 49}
(x2 – 10) ∈ {6; 15; 26; 39}
A = {6; 15; 26; 39}
I. Suma de elementos de A es 22 ... (F) Lo verdadero
es: 6 + 15 + 26 + 39 = 86
II.n(A) = 4 ... (V)
III.A tiene 16 subconjuntos ... (V)
Sol. 19
I. (A – B) ∩ (C – B) ... (V)
... (V)
II.(A ∩ C) – B
III.(A ∩ B) – C
... (F)
∴ Sólo I y II
Sol. 20
(A ∩ C) – B
CONJUNTOS
Resolución de Problemas
Sol. 3
U
M = 47
Sol. 1
F = x + 40
47 – x
1 000
x
z
Donde:
y
M : Profesores de matemática
F : profesores de física
200
Pe : consumen pescado
Po : consumen pollo
Segun el enunciado:
500 no consumen pollo, o sea:
Consumen sólo pescado, o no consumen ninguno de los
dos.
Entonces:
500 = x + 200
x = 300
⇒ Consumen sólo pescado 300 encuestados
600 no consumen pescado, o sea:
Consumen sólo pollo o no consumen ninguno de los dos.
Entonces:
600 = y + 200
y = 400
Consumen sólo pollo: 400 encuestados, luego:
Sea "x" el número de profesores que enseñan ambos
cursos.
Del gráfico:
U = (47 – x) + x + 40 + 4 ⇒ U = 91
Sol. 4
U
B = 115
Po= 400+y
300
z
A = 125
80
90
35
15
Graficamos:
B : practican basquet
A : practican ajedrez
80 + 35 + 90 + 15 = U
U = 220
1 000
Pe= 300+z
40
4
Po= z + y
Pe = x + z
x
∴ Se encuestó a 220 deportistas
Sol. 5
400
100
S = 65
200
Del gráfico:
R = 60
65 – x
300 + z + 400 + 200 = 1 000
900 + z = 1 000
z = 100
∴ Consume pescado y pollo 100 personas.
x 60 – x
# de personas que no bailan rock
S : bailan salsa
R : bailan rock
Sea "x" el número de personas que bailan salsa y rock
Entonces:
Sol. 2
60
(65 – x) + x + (60 – x) = 100
125 – x = 100
x = 25
V = 36
F = 40
40 – x
x
36 – x
∴ No bailan rock: 65 – 25 = 40 personas
200
Practican los dos deportes
F : Juegan fútbol
Sol. 6
200
A = x+80
V : Juegan voleibol
x
Sea "x" el número de alumnos que practican los 2
deportes.
Del gráfico:
(40 – x) + x + (36 – x) = 60
76 – x = 60
x = 16
∴ 16 alumnos practican los 2 deportes
B = 110
80
30
110 – 80 = 30
# de lectores sólo de la revista A
Sea x el número de lectores sólo de la revista A.
Del gráfico:
x + 80 + 30 = 200
x + 110 = 200
x = 90
∴ Leen sólo la revista "A" 90 lectores.
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
35
Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
Sol. 7
Sea x el número de caballeros que usan corbata y anteojos
al mismo tiempo.
70
E = 45
T = 48
45 – x
x
Según el enunciado veamos que:
48 – x
x=
8
1
(x + y)
3
E : estudian
T : trabajan
Sea x el número de personas que trabajan y estudian.
Entonces:
8 + (45 – x) + x + (48 – x) = 70
101 – x = 70
x = 31
Entonces:
z=x
58
C
2x
A
x
x
Del gráfico:
32
B = 16
2x + x + x + 10 = 58
4x + 10 = 58
4x = 48
x = 12
C = 25
12
25 – 12
13
# de personas que no
bailan ni cantan
Luego:
Usan corbata, pero no anteojos:
Del gráfico:
2x = 2(12) = 24
32 = 4 + 12 + 13 + x
32 = 29 + x
x=3
∴ 24 personas usan corbarta, pero no anteojos
∴ El número de artistas que no bailan ni cantan es 3
Sol. 11
El total de los alumnos es 75, luego:
Sol. 9
Sea x el número de personas que hablan ambos idiomas,
inglés y francés.
110
I = 70
F = 2(70 – x)
70 – x
x
2(70–x) – x
20
3
(75) = 45
5
1
Usan sólo anteojos: (75) = 25
3
2
Usan anteojos y reloj : (75) = 30
5
Usan reloj:
Graficando:
Del gráfico:
(70 – x) + x + +[2(70 – x) – x] + 20 = 110
70 + (140 – 2x – x) + 20 = 110
70 + 140 – 3x + 20 = 110
230 – 3x = 110
120 = 3x
x = 40
∴ 40 personas hablan inglés y francés
C
A
y
x
75
R = 45
15
A = 55
25
30
x
Sea "x" el número de alumnos que no usan anteojos ni
reloj.
Del gráfico:
15 + 30 + 25 + x = 75
x=5
70 + x = 75
∴ 5 alumnos no usan anteojos ni reloj
Sea el diagrama
58
Sol. 12
A = 42
z
10
C : usan corbata
A : usan anteojos
36
1
y
3
1
y
3
10
4
Sol. 10 1
x+
3
2
x=
3
2x = y
x + z = 2x
∴ Trabajan, pero no estudian: 48 – 31 = 17 personas
Sol. 8
x=
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
42 – x
B = 24
x
24 – x
A∩B
CONJUNTOS
Si A ∪ B tiene 52 elementos
80
C
⇒ (42 – x) + x + (24 – x) = 52
66 – x = 52
x = 14
B
24
x
32
2x
∴ A ∩ B tiene 14 elementos
Sean "x" el número de personas que cantan y bailan
Sol. 13
Entonces:
U
A
n° de personas que no cantan ni bailan: 2x
S
20
Del gráfico:
y
x
24 + x + 32 + 2x = 80
56 + 3x = 80
3x = 24
x=8
z
A : usan anteojos
S : usan sombrero
Tenemos que:
∴ No cantan ni bailan: 2(8) = 16 personas
n° de personas que usan solamente anteojos: 20
n° de personas que usan solamente sombrero: y
n° de personas que usan solamente anteojos y sombrero: x
n° de personas que no usan ninguno de los dos objetos: z
C: n° de personas que les gusta la carne:
P: n° de personas que les gusta el pollo:
z = 50
Si 90 personas no usan anteojos
- No les gusta la carne ni el pescado:
⇒ y + z = 90
3
(120) = 30
4
↓
y + 50 = 90
Población = 120 personas
Sean:
Si 70 personas no usan sombreros
⇒ 20 + z = 70
Sol. 15
1
(120) = 60
2
5
(120) = 50
- Les gusta el pescado:
12
y = 40
- Les gusta la carne:
Los que usan sombreros y anteojos son:
3
3
U⇒x= U
4
4
Graficamos:
El gráfico será:
120
C = 60
U
A
S
20
3
U
4
60 – x
40
3
U + 40 + 50 = U
4
3
110 + U = U
4
U
20 +
110 =
4
U = 440
∴ Usan sombrero y anteojos:
Sol. 14 3
(440) = 330
4
Sabemos que:
50 – x
Sea "x" el número de personas que gusta del pescado y la
carne.
Entonces:
(60 – x) + x + (50 – x) + 30 = 120
140 – x = 120
x = 20
∴ No les gusta el pescado
30 + 60 – 20 = 70 personas
Sol. 16
90
E
32 personas no cantan, pero sí bailan
T
x
⇒ Sólo bailan 32 personas
20
y
z
24 personas no bailan, pero sí cantan:
⇒ Sólo cantan 24 personas
x
30
50
Del gráfico:
P = 50
E : estudian
T : trabajan
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
37
Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
Donde:
Sol. 19
Personas que sólo estudian: x
El gráfico será:
120
A = 30+x
90
E
30
T
x
B = 110
4x – x
3x
x
10
2x
20
x + 10
Del gráfico:
x + 20 +2x + (x + 10) = 90
30 + 4x = 90
4x = 60
x = 15
Luego:
Las personas que no estudian: sólo trabajan o no
estudian ni trabajan.
∴ No estudian:
Sea "x" el número de personas que conocen Argentina y
Brasil.
Entonces:
30 + x + 3x + 10 = 120
40 + 4x = 120
4x = 80
x = 20
⇒ 3x = 3(20) = 60
∴ 60 personas conocen sólo Brasil
Sol. 20
62
2x + (x +10) = 3x + 10 = 3(15) + 10 = 55
M = x + 12
L = y + 12
personas
x
Sol. 17
A = 40
x
Del enunciado:
60 – x
x + 12 = 2(y + 12)
x
x + 12
= y + 12 ⇒ +6 = y + 12
2
2
x
–6=y
2
x
Del gráfico: x + 12 + y + = 62
2
x
x
– 6 + = 62
x + 12 +
2
2
2x + 6 = 62
2x = 56
x = 28
Además:
3x
Sea "x" el número de personas que leen la revista A y B.
Si 80 personas no leen "A"
⇒ 80 = (60 – x) + 3x
80 = 60 + 2x
20 = 2x
x = 10
∴ Leen ambas revistas 10 personas
Sol. 18
U
A = 16
10
n° de alumnos que les gusta lenguaje
C = 23
6
= y + 12
x
x
=
– 6 + 12 ⇒ = + 6
2
2
28
+ 6 = 20
=
2
17
x
Sea " x" el número de personas que no usan corbata no
anteojos
∴ A 20 alumnos les gusta lenguaje
Entonces:
Los que no usan corbatas son los que sólo usan anteojos
o los que no usan ni corbata, ni anteojos.
Sol. 21
⇒ 10 + x = 3(17)
10 + x =51
x =41
U = 10 + 6 + 17 + x
↓
U = 10 + 6 + 17 + 41
U = 74
∴ Hay 74 profesores reunidos
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
100
P = 30
30 – x
C = 40
x
40 – x
y
Del gráfico:
38
x
2
B = 60
40 – x
y
12
# de obreros que van con
polo o con camisa
Sea "x" el número de obreros que van con polo y camisa.
"60 van con polo o camisa"
x + 30 – x + 40 – x = 60
70 – x = 60
x = 10
∴ 5 obreros van con polo y camisa
CONJUNTOS
Del gráfico:
Sol. 22
30
M = 14
14 – 5
40 + x + 2x + 50 = 141
90 + 3x = 141
3x = 51
x = 17
F = 10
9
5
5
10 – 5
no consumen A: 2x + 50 = 2(17) + 50 = 84
9 + 5 + 5 = 19
Sol. 26
∴ 19 alumnos han sido aprobados en por lo menos 1 curso
Sol. 23
80
N = 30
30 – x
45
A
18
x
Sea "x" el número de alumnos participantes en natación y
atletismo.
Sea "x" el número de personas que ven ambos canales.
(30 – x) + x + (20 – x) + 2(30 – x) = 80
110 – 3x = 80
12 + x + 18 + 2x = 45
30 + 3x = 45
3x = 15
x=5
No ven el canal "B"
x = 10
30 = 3x
∴ 10 alumnos participaron en natación y atletismo
Sol. 27
12 +2x = 12 + 2(5) = 22
110
40
100
C
70
x
Sea "x" el número de estudiantes que sólo postulan a
Católica (C).
Entonces:
70 + (4x – 70) + x = 100
5x = 100
x = 20
x = 20 en
4(20) – 70 = 10
∴ 10 estudiantes intentarán las 2 posibilidades
141
A = 40 + x
40
40
40 + x + 40 = 110
80 + x = 110
∴ x = 30
Sol. 28
Sabemos que:
⇒ n° de personas que practican sólo fútbol = 90
Si 10 personas practican ambos deportes, entonces:
⇒ n° de personas que practican fútbol = 90 + 10 = 100
Si "El número de futbolistas es el doble de número de
basquetbolistas"
100
= 50
⇒ n° de basquetbolistas =
2
Graficando:
F = 100
B = 3x
x
x
Sea "x" el número de personas que son actores y cantantes
4x – 70
Reemplazamos:
4x – 70
C = 40 + x
A = 40 + x
SM = 4x
20 – x
2(30 – x)
2x
Sol. 25
x
B
12
Sol. 24
A = 20
90
2x
90 – 40 = 50
No consumen el producto "B"
Sea "x" el número de personas que consumen A y B
Entonces:
B = 50
10
40
50 – 10
Del gráfico:
n° de deportistas = 90 + 10 + 40 = 140
∴
En dicho club hay 140 deportistas
# de personas que consumen "B" = 3x
# de personas que consumen sólo "B = 3x – x = 2x
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
39
Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
Sol. 29
Sol. 32
82
C = 43
U = 38
A
R = 47
8 9
11
17 19
2
11
S
y
7
b
a
x
Del gráfico:
n° de madres que sólo saben costura: 7
n° de madres que sólo saben repostería: 9
n° de madres que sólo saben tejido: 11
x + y + a + b = 18
x + z + a + c = 19
x + w + b + c = 20
3x + y + z + w + 2(a + b + c) = 57
x + y + z + w + a + b + c = 38
2x + a + b + c = 19
2x + 11 = 19
Piden: 7 + 9 + 11 = 27 madres
∴ x=4
Sol. 33
C
R
8
C4 = 37
C: n° de madres que leen el "Comercio"
R: n° de madres que leen la "República"
T: n° de madres que leen el "Expreso"
Del gráfico:
x
15–x 17–x
C2 = 52
40
Del gráfico:
52 + 10 + x + 12 – x + 5 + x + 40 = 129
119 + x = 129
x = 10
El n° de Televidentes que ven los 3 canales es 10
8 + 4 + 5 + 3 + 16 + x + 20 + 2 = 59
58 + x = 59
x=1
Ma = 80
K = 70
20 20 15
30
10 5
x
45
Me piden:
# de personas que leen el "Expreso":
5 + 3 + x + 20 = 29 personas
M = 90
Del gráfico:
100
E = 28
90 + 20 + 20 + 15 + x = 150
145 + x = 150
x=5
A = 30
7
5
3
2
x
F = 42
E: estudiantes que estudian español
A: estudiantes que estudian alemán
F: estudiantes que estudian francés
Me piden:
# de estudiantes que sólo estudian francés: x
Del gráfico, tenemos:
7 + 3 + 2 + x = 42
x = 30
40
C5 = 34
10+x 12–x 5+x
4 16
3
x
5
2
20
E
Sol. 31
2
C
C: n° de personas que saben costura
R: n° de personas que saben repostería
E: n° de personas que saben tejido
59
c
w
T = 58
Sol. 30
z
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
Sol. 34
El n° de personas que no consumen ninguna salsa es 5
Rpta  A
Sol. 35
El n° de personas que consumen sólo ketchup es 15
Rpta  D
Sol. 36
El n° de personas que consumen solamente mostaza
es 45
Rpta  B
CONJUNTOS
Sol. 37
Sol. 44
Del gráfico:
Del gráfico:
consumen sólo mayonesa: 20
consumen sólo mostaza:
45
consumen sólo ketchup:
15
80
consumen sólo mostaza :
45
consumen sólo ketchup :
15
consumen mostaza y ketchup : 5
no consumen alguna salsa : 5
∴ 80 personas consumen sólo una de las tres salsas
Rpta  B
Por lo tanto:
∴ 70 personas no consumen mayonesa
Sol. 38
Rpta  D
Del gráfico:
consumen sólo mostaza:
45
consumen sólo mostaza y mayonesa:10
Sol. 45
Del gráfico:
consumen sólo mayonesa : 20
consumen sólo ketchup :
15
consumen mayonesa y ketchup : 20
no consumen alguna salsa : 5
∴ 55 personas consumen mostaza pero no ketchup
Rpta  A
Sol. 39
El # de personas que consumen mayonesa y ketchup,
pero no mostaza es 20
Rpta  D
Sol. 40
Por lo tanto:
∴ 60 personas no consumen mostaza
Rpta  A
Sol. 46
El # de personas que consumen ketchup o mostaza,
pero no mayonesa:
Mujeres
15 + 5 + 45 = 65
Rpta  C
Sol. 41
consumen sólo mayonesa y mostaza:10
consumen sólo mayonesa y ketchup:20
consumen sólo mayonesa y mostaza:5
52
18
70
Hombres
33
47
80
85
65
150
47 hombres no beben café
18
∴ 35 personas consumen sólo las 2 salsas
Rpta  C
no 18
total
Hombres
20
10
30
Mujeres
10
12
22
Total
30
22
52
∴
20 hombres tienen 18 años
Sol. 48
Del gráfico:
consumen sólo dos salsas:
consumen tres salsas: 30
total
Sol. 47
Por lo tanto:
Sol. 42
no café
Total
∴
Del gráfico:
café
Norte
No
No Norte
Europeos Europeos
Americanos Americanos
35
Por lo tanto:
∴ 65 personas comunes por lo menos dos salsas
Rpta  B
Total
Ingenieros
36
30
90
No
Ingenieros
50
34
110
Total
86
64
200
110 – (50 + 34) = 26 no eran ingenieros, ni europeos,
ni norteamericanos.
Sol. 43
Del gráfico:
consumen sólo mostaza: 45
no consumen alguna salsa: 5
Por lo tanto:
∴ 50 personas no consumen ni mayonesa, ni ketchup
Rpta  B
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
41
Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
Sol. 49
Sol. 52
U = 80
U = 60
M = 40
L = 30
Se observa
b+a+c = 60 – 12
b
18
a
22
d
12
c
e
20
E=
b + a + c +a = 70 ⇒ 48 + a = 70
a = 22
b = 18
Sol. 50
Por dato:
a + b + c + d = 25
b + c + e + f = 45
Sumando
(a+b+c+d+e+f)+ b + c = 70
miembro a miembro
60 + (b + c) = 70
T
4
b
20
d
X
a
20
b1
b3
A = 26
d
a1 + b1 + b2 + c = 13
a2 + b2 + b3 + c = 15
a3 + b1 + b3 + c = 26
150 = 6 + 20 + 20 + 20 + 4 + 28 + 20 + a + b + c + 6
150 = 124 +a + b + c + d ⇒ c +d = 2
a1 + a2 + a3 + 2(b1 + b2 + b3) + 3c = 54
24
9 + 2(12) + 3c = 54 ⇒ 33 + 3c = 54
x = 20 + 6 + a + b + c + d
= 26 + 24 + 2 = 52
 c=7
a1 + a2 + a3 + b1 + b2 + b3 + c + d = 30
Sol. 51
No
Matemática
Total
Hombres
7
9
16
Mujeres
17
3
20
Total
24
12
36
∴ No estuadian Matemática 9 hombres.
9
+
+
c + d = 30
7+d=9
 d = 2
Sol. 54
U = 100
Plata
Oro
10
15
5
10
20
No reciben = 100 – (15+10+10+15+5+20+20)
medalla
 No reciben medalla 5
20
Bronce
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
12
15
42
b1 + b2 + b3 = 12...(2)
a2
a3
G
Matemática
c
Por dato
a1 + a2 + a3 = 9 ...(1)
b2
6
6
I = 15
a1
20
Me piden
U = 30
E = 13
a + b = 24
c
20
Sol. 53
Se sabe por
dato:
28
 b + c = 10
U = 150
A
 a+b+c+d+e+f=60
f
M y L = a ⇒ b + a = 40
a + c = 30
Se observa:
a+b+c+d+e+f+20=80
b
a
⇒ b+a+c = 48
c
8
B=45
F=25
= 100 – 95
CONJUNTOS
Ser lider es promover las buenas relaciones
PONGO
A PRUEBA MIS APRENDIZAJES
entre los demas”
Razonamiento y demostración
1 Dados los conjuntos:
A = {m; n; p; q; r; s; t}
B = {j; l; n; q; s; u; v}
y el diagrama de A y B mostrando las zonas I, II y III.
m
p
r
q
s
n
t
j
l
u
v
a) ¿Qué elementos deben estar en la zona I?
{m; p; r; t}
..............................................................
b) ¿Qué elementos deben estar en la zona II?
2 Dados los conjuntos:
M = {x ∈ / x3 = x, x ≠ 0} y
N = {y ∈ / (y+1)(y–1) = 0}
Demuestra que el conjunto M es igual que el
conjunto N.
M: x3 = x & x(x2 – 1) = 0
...................................................................
x = 0 x = –1 x = 1 ∈
...................................................................
∴ M = {1}
...................................................................
N: y + 1 = 0 & y = –1 ∉
...................................................................
y–1=0 & y=1∈
...................................................................
∴ N = {1}
...................................................................
Se deduce que:
{q; s; n}
..............................................................
M=N
c) ¿Qué elementos deben estar en la zona III?
{j; l; u; r}
..............................................................
3 Si {a}, {b}, {c} y {d} son elementos del conjunto
A y a, b, c, d, son elementos del conjunto B,
4 Con respecto a los conjuntos P, Q y R se sabe
que:
P∩Q=Q
y Q ∩ R= R
a) ¿Los elementos a, b, c, d del conjunto B son también
elementos del conjunto A? ¿Por qué?
No porque {a}, {b}, {c}, {d}.
Son elementos de A y no ab, c, d de A, mientras
que a, b, c, d son elementos de B.
Demuestra que CPR = (CQR) ∪ (CPQ)
Resolución:
Q
b) ¿Son iguales los conjuntos A y B? ¿Por qué?
No son iguales por que B tiene elementos y A tiene
subconjuntos.
R
2
P
3
1
c) ¿Es {a} un subconjunto del conjunto A? ¿Por qué?
Si es subconjunto de A.
Por que esta entre llaves.
CPR = CQR ∪ CPQ
{2; 3} = {2} ∪ {3}
{2; 3} = {2; 3}
L.q.q.d
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
43
Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
Ser lider es promover las buenas relaciones
PONGO
A PRUEBA MIS APRENDIZAJES
entre los demas”
Comunicación matemática
2 Observe el siguiente diagrama de Venn:
1 De la siguiente información:
U
50 estudiantes desfilaron en un batallón, de los
cuales:
•
•
•
•
•
•
•
18 usaban anteojos.
19 llevaban saco.
20 usaban corbata.
9 usaban anteojos y saco.
7 usaban saco y corbata.
7 usaban anteojos y corbata.
4 usaban anteojos, saco y corbata.
A
C
B
y escriba verdadero o falso en cada recuadro, según
corresponda.
F
V
e) A – C = B
a) A B = A
b)
A
B=A
F
f) A
Un diagrama que indica los números de elementos es:
c)
A
C=U
V
g) A ∆ C = A
Total =
d)
B
A=B
V
h)
50
estudiantes.
Anteojos
En cada recuadro escriba el
número que corresponde.
3
C
=A–B
V
V
Saco
5
6
V
C=φ
3 Con respecto al diagrama
7
4
mostrado:
3
10
12
Corbata
Se deduce que:
12 estudiantes no usaban anteojos, ni sacos, ni
corbatas.
b) 6 estudiantes usaban solamente anteojos.
a)
c)
7
estudiantes usaban solamente saco.
d) 10 estudiantes usaban solamente corbata.
e) 23 estudiantes usaban solo una de las prendas.
f)
13 estudiantes usaban corbata, pero no saco.
g)
5
estudiantes usaban anteojos y saco, pero no
corbata.
encierre en un recuadro cada proposición siguiente
que sea verdadera.
a) B ∩ C = A ∩ B F d) B ∩ C = C
V
b) A ∩ B = B
V e) A ∪ B = B ∪ C
F
c) B – C = A – B F f) CAC = (CB C) ∪ (CAB) V
4 Se presentan los conjuntos P, Q, R y varias
proposiciones.
En cada paréntesis escriba la palabra
VERDADERA si la proposición es verdadera, y
FALSA si la proposición es falsa.
h) 20 estudiantes usaban saco o corbata, pero no
anteojos.
i) 11 estudiantes usaban exactamente dos prendas.
j)
15 estudiantes usaban por lo menos dos prendas.
k)
22 estudiantes no usaban ni anteojos, ni saco.
l)
32 estudiantes no usaban anteojos.
m) 31 estudiantes no usaban saco.
n) 30 estudiantes no usaban corbata.
44
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
3 ∈ (Q - R)
5 ∈ (P - R)
7 ∈ (Q ∩ R)
6 ∈ (Q ∆ R)
8 ∈ (R - P)
{4; 6; 7} = Q - P
{7; 8; 9} = R - Q
{4; 3; 6; 8; 9} = R ∆ Q
(
(
(
(
(
(
(
(
V
F
V
V
V
V
V
V
)
)
)
)
)
)
)
)
CONJUNTOS
Ser lider es promover las buenas relaciones
PONGO
A PRUEBA MIS APRENDIZAJES
entre los demas”
Resolución de Problemas
1 De una muestra de 120 adolescentes se observó
que el número de varones que usan lentes es
el doble del número de mujeres que no usan
lentes; 78 personas usan lentes y hay tantas
mujeres con lentes como varones sin lentes.
¿Cuántas mujeres no usan lentes?
Resolución:
lentes
sin lentes
Total
Varones
2x
78 – 2x
78
Mujeres
78 – 2x
x
42
78
42
120
Total
2 En un campeonato de atletismo interescolar
participaron 285 personas entre público y atletas.
Todos los atletas recibieron medallas distribuidas
de la siguiente manera:
95 reciben medalla de oro;
60 reciben medalla de plata;
130 reciben medalla de bronce;
40 reciben medalla de oro y plata;
25 reciben medalla de plata y bronce;
65 reciben medalla de oro y bronce;
20 reciben las tres medallas.
¿Qué cantidad de personas estuvieron como
espectadores?
Resolución:
O
Se observa que:
78 – 2x + x = 42
78 – 42 = 2x – x
x = 36
∴ Hay 36 mujeres que no usan lentes.
3
De 185 lectores de revistas:
47 leen la revista “A”; 13 leen las revistas "B" y "C"
53 leen la revista “B”; 5 leen las revistas "A", "B" y "C"
65 leen la revista “C”; 17 leen las revistas "A" y "C"
15 leen las revistas “A” y “B”;
¿Cuántos leen la revista A, pero no la revista B?
10
45
20
20
15
5
110
B
60
4
∴ 110 personas
estuvieron como
espectadores
En una fábrica textil laboran 350 personas entre
obreros y empleados. Las mujeres constituyen
los 2/3 del total de varones. Los 2/7 del total del
personal son mujeres obreras; los 3/10 del total
del personal no son obreros. ¿Cuántos varones
trabajan como empleados?
Resolución:
2
Mujeres = Varones
3
Mujeres + Varones = 350
Resolución:
U = 185
A
20
12
60
P
B
10
5
30
8
40
C
∴ Leen la revista "A", pero no la revista "B": 20 + 12 = 32
2
v + v = 350
3
5v
= 350 ⇒
3
V = 210
M = 140
2
(350) = 100
7
3
(350) = 105
no son obreros =
10
mujeres no obreras = 140 – 100 = 40
varones no obreros = 105 – 40 = 65
Mujeres obreras =
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
45
Libro de Actividades - Primer grado de secundaria
COEVALUACIÓN
Nombre del evaluador: ………………………..............................................
Equipo: ……………….................................................................................
INSTRUCCIONES:
En la primera columna escribe el nombre de cada uno de tus compañeros de equipo
sin incluir el tuyo. Asígnales una puntuación de 0 a 20 en cada uno de los aspectos
a evaluar y si crees necesario puedes colocar un comentario.
ASPECTOS A EVALUAR:
1. Su actitud de apoyo para la elaboración del trabajo.
2. Participó activamente en las diferentes actividades del grupo.
3. Cumplió con lo elaborado.
4. Fue tolerante ante las ideas de otros y tomaba en cuenta sus opiniones.
5. Sus aportes los realizó pensando en beneficio del equipo.
Compañeros
Aspectos a evaluar
1
2
3
4
5
Comentarios
1.
2.
3.
4.
5.
6.
AUTOEVALUACIÓN
Nombre del ALUMNO:…………………………...........................................
Equipo:…………………..............................................................................
INSTRUCCIONES:
N°
1.
2.
3.
4.
5.
Luego de completar tus datos responde los aspectos que señalan tu desempeño en
tu equipo de trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego
completa el recuadro realizando una reflexión sobre tu participación.
Aspectos a evaluar
SI
NO
¿Mostré entusiasmo en la participación de la actividad?
¿Participé de manera activa en las diferentes actividades propuestas por el equipo?
¿Realicé aportaciones que ayudaron al buen desempeño de mi equipo?
¿Fui tolerante ante las ideas de mis compañeros?
¿Cumplí puntualmente con lo acordado por el equipo?
REFLEXIONO SOBRE MI DESEMPEÑO EN EL EQUIPO:
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
46
MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche
CONJUNTOS
HETEROEVALUACIÓN
INSTRUCCIONES:
El profesor responderá los aspectos que señalan tu desempeño en tu equipo de
trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego completará el
recuadro realizando un comentario sobre tu participación.
N°
1.
2.
3.
4.
5.
Aspectos a evaluar
SI
NO
¿Mostró interés en el desarrollo de la actividad?
¿Participó de manera activa en las diferentes tareas propuestas por el equipo?
¿Realizó aportaciones que ayudaron al buen desempeño del equipo?
¿Es tolerante ante las ideas de sus compañeros?
¿Cumplí puntualmente con lo acordado por el equipo?
REFLEXIÓN SOBRE LA PARTICIPACIÓN DEL ALUMNO EN EL EQUIPO DE TRABAJO:
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
METACOGNICIÓN
Responde de manera personal las siguientes preguntas:
1. ¿Qué dificultades he tenido para comprender el tema de conjuntos?
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
2. ¿Cómo he superado estas dificultades?
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
3. ¿Qué aplicaciones tiene lo estudiado?
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
47