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59
CAPÍTULO V
Análisis de estabilidad de taludes y factor de
seguridad
La aplicabilidad de los métodos se ha hecho con el cálculo manual, con la ayuda de un
ordenador y la elaboración de una hoja de cálculo para mayor agilidad; sin embargo para
mayor rapidez en la obtención de resultados, en nuestro medio y con la ayuda de la
investigación en Internet encontramos diversos programas aplicables al cálculo de Factores
de seguridad, como el caso de SLOPE/w que es una herramienta muy útil que ha contribuido
a nuestra investigación.
Siendo así, hemos usado este programa en Versión educativa (ó demo y que es la única
disponible en la red en forma gratuita) accesible a todo el público, cuyo sitio en Internet es
www.geo-slope.com, para comparar los resultados obtenidos mediante el cálculo manual. El
manejo de este programa se presenta en el anexo A-25 con la explicación del ingreso de
datos, obtención de resultados y gráficas.
Los métodos de análisis de taludes y su estabilidad en los problemas de deslizamiento de
tierra, incluyen factores tales como: la geología, parámetros geotécnicos, geometría, presencia
de grietas de tensión, cargas dinámicas por acción de sismos, flujos de agua, etc. Determinar
su solución implica que su factor de seguridad debe expresarse con la mayor precisión y
exactitud. Sin embargo la solución a una inestabilidad no implica la intervención de una
persona sino de un grupo interdisciplinario de personas con ideas amplias y criterios vastos
para dar una solución o soluciones técnicas, económicas y sustentables. El propósito de
analizar la estabilidad de un talud es llegar al cálculo del factor de seguridad, parámetro que
constituye una primera pauta para formular el tipo de solución que se le dará al talud.
Nivel Freático
La localización del nivel freático corresponde a la línea de presión de poros igual a cero,
equivalente a que la presión neta en el sitio es igual a la presión atmosférica. El nivel de agua
determina los niveles de presiones hidrostáticas sobre una superficie localizada por debajo de
ese nivel o los valores de presión negativa o de succión para el suelo por encima (Fig. 5.1),
(Suárez, 1998).
En taludes naturales de laderas, la línea de nivel freático general sigue una línea
aproximadamente paralela a la superficie del terreno y ésta sube por el recargue debido a la
infiltración.
El agua subsuperficial puede dividirse entre zonas de presión de poros positiva y negativa.
Las presiones de poro positivas son superiores y las negativas son inferiores a la presión
atmosférica. La línea divisoria es el nivel freático donde la presión es igual a la presión
atmosférica, la cual se designa como presión cero.
Por debajo del nivel freático el suelo se encuentra saturado, lo cual equivale a que el agua
llena todos los poros de los suelos y todas las cavidades de los materiales.
60
a) Completamente drenado 0% saturado
b) Saturado
c) Saturado 50%
d) Saturado 80%
e) Totalmente saturado
Fig. 5.1 Saturación y niveles freáticos
La elevación del nivel freático de una localidad determinada depende de varios factores, tales
como las fluctuaciones de las precipitaciones y de los caudales y fugas de los cuerpos de
agua. El nivel de agua puede tener como base el pie del talud o puede estar suspendido por
un manto impermeable dentro del talud. En el primer caso las fallas a producirse serán
preferentemente de pie, mientras en el caso segundo las fallas tienden a ser a mitad del talud.
El nivel freático y en general la presencia de agua en los materiales en la proximidad de la
superficie de falla, desempeñan un papel fundamental en la estabilidad y de hecho, hacen
algo más complejo el mecanismo para la generación de las fallas.
Presión de poros o presión hidrostática:
La presión de poros es la presión interna del agua de saturación. La presión de poros dentro
del suelo depende de la localización de los niveles freáticos, presiones internas de los
acuíferos y las características geológicas del sitio (Fig. 5.2), (Suárez, 1998).
Grieta de tensión
V
H
Superficie
de falla
hw
U
Presión
de poros
Fig. 5.2 Presión de poros sobre una superficie de falla potencial
61
La presión de poros varía de acuerdo a las variaciones del régimen de aguas subterráneas.
Los incrementos de presión pueden ocurrir rápidamente en el momento de una lluvia,
dependiendo de la intensidad de la lluvia, de la tasa de infiltración del área tributaria, etc. Un
incremento en la presión de poros positiva o una disminución de la presión negativa, equivale
a una reducción de resistencia al cortante y de la estabilidad.
5.1
Concepto de factor de seguridad
“Es una medida para conocer cual es el factor de amenaza de que el talud falle en las peores
condiciones de comportamiento para el cual se diseña. Fellenius (1927) presenta al factor de
seguridad como la relación entre la resistencia al corte real, calculada del material en el talud
y los esfuerzos de corte críticos que tratan de producir la falla, a lo largo de una superficie
supuesta de posible falla” (Suárez, -1998).
F .S =
Re sistencia _ al _ corte
Esfuerzo _ al _ corte
En superficies circulares donde existe un centro de giro y momentos resistentes y actuantes,
FS es:
Momento _ resistente
MR = MD
F .S =
Momento _ Actuante
∑
∑
Otro criterio es el de dividir las masa a estudiar en una serie de rodajas, dovelas o bloques y
considerar el equilibrio de cada dovela por separado. Una vez realizado el análisis de cada
una se evalúan las condiciones de equilibrio de la sumatoria de fuerzas o de momentos.
∑ Re sistencia _ al _ corte
F .S =
∑ Esfuerzos _ al _ cor tan te
i=n
M D = r ∑ (Wi * senα i )
i=n


M R = = r ∑ (c + σ i * tan φ )∆li = r  cL + tan φ ∑ N i 
i =1
i =1


Donde ( r ) es el radio,( W ) peso de la dovela, ( α ) es el ángulo del radio del círculo de falla
con la vertical bajo el centro de cada dovela, ( ∆L ) es la longitud del arco de deslizamiento
interceptado por la dovela, ( L ) es longitud total del arco, ( c ) y ( φ ) la cohesión y fricción
del suelo respectivamente, y Ni la resultante de las fuerzas normales efectivas.
i=n
Fs =
cL + tan φ * ∑ N i
i =1
i=n
∑W * senα
i =1
i
i
Finalmente al estimar el factor de seguridad mínimo para un problema particular es necesario
considerar algunos factores como los señala Jaime Suárez Díaz – (1998):
a.
b.
c.
d.
Las consecuencias del evento respecto al cual se está aplicando el FS.
El efecto numérico en el valor de factor de seguridad debido a variaciones en los
parámetros implicados.
La confiabilidad de los valores medidos o supuestos de los parámetros implicados.
El aspecto económico del problema, debe tratarse en forma individual. Ejemplo.
62
e.
5.2
Después de un abatimiento repentino:
Talud natural muy antiguo:
Condiciones de infiltración en régimen establecido:
Al final de la construcción (Terraplenes y Cortes):
Pilas de escombros:
Problemas con edificios:
Un criterio amplio para evaluar FS considera lo siguiente:
Si puede ocurrir la pérdida de vidas humanas al fallar el talud
Si la falla puede producir la pérdida de más del 30% de la inversión
de la obra específica o pérdidas económicas considerables.
Si se pueden producir pérdidas económicas no muy importantes
Si la falla del talud no causa daños
1.20
1.10 a 1.20
1.25
1.30
1.50
2.0
1.7
1.5
1.3
1.2
Métodos de análisis
Los métodos empleados para este análisis se fundamentan en que sólo son aplicables para
superficies de fallas rotacionales. Esta es una limitante pues no siempre se va encontrar con
este tipo específico de deslizamiento. El método de Fellenius y de Bishop Simplificado se
emplea para superficies circulares, al contrario del método de Janbú aplicable a todo tipo de
superficies curvas no necesariamente circulares.
En el presente trabajo de investigación se pudo observar que el tipo de falla es de tipo
rotacional por la orientación de los árboles y su deslizamiento forma una superficie cóncava
en forma de cuchara, ocasionado por la influencia de aguas superficiales y subterráneas.
Siendo esta falla de tipo rotacional, conviene aplicar el análisis de superficies de falla en
forma rotacional llamado círculo de deslizamiento. El siguiente diagrama recoge los
diferentes métodos de cálculo. Para efectuar el cálculo de estabilidad de un talud lo primero
que hay que hacer es suponer qué forma presentará la superficie de rotura, para posteriormente
establecer en ella las ecuaciones de equilibrio (ΣX=0; ΣY=0; ΣM=0).
63
En la Tabla 5.1 Tipos de fallas y sus métodos de análisis.
TIPO DE ROTURA
METODO DE ANALISIS
OBSERVACIONES
Rotura Plana
• Métodos
gráfico-analíticos
(Hoek y Bray. 1981)
Rotura en Cuña
• Ábacos de estabilidad
(Hoek y Bray. 1981)
Permite efectuar una estimación rápida del
factor de Seguridad; aunque realmente ocurre
en taludes rocosos.
Válido solo para diaclasas fricciónales.
• Métodos analíticos
(Hoek y Bray. 1988)
Rotura Circular
(Raramente ocurre en
taludes rocosos;
normalmente se produce
en materiales blandos
como rocas intensamente
fracturadas y
meteorizadas, en
terraplenes y escombreras
de residuos mineros y en
suelos)
Rotura No Circular
Válido para geometrías complejas con
superficies planares.
• Abacos de Estabilidad
(Janbú, 1973; (Hoek y Bray.
1981; Duncan et al. 1987)
Adecuado para muchos fines: rápido pero
requiere interpolación.
• Método Ordinario de
Rebanadas (Fellenius,1927)
No satisface el equilibrio de fuerzas,
solamente satisface el equilibrio de
momentos.
Satisface el equilibrio de momentos y el de
fuerzas verticales, no satisface el equilibrio de
fuerzas horizontales.
• Método Modificado de
Bishop (1935).
• Método de Janbú Generalizado
(1973).
Satisface todas las condiciones de equilibrio.
Satisface todas las condiciones de equilibrio.
• Método de Morgenstein y
Price (1965).
Rotura por Vuelco
• Método de Spencer (1967)
• Método de Goodman y Bray
(1976).
Satisface todas las condiciones de equilibrio,
supone que fuerzas laterales son paralelas.
Válido para bloques apoyados sobre bases
inclinadas.
Vuelco de Bloques
Vuelco por Flexión
• Método
de
Aydan
y
Kawamoto, 1992; Adhikary et al.
1996)
Satisface toda condición, pero precisa
calibración de campo.
Los métodos de análisis y desarrollados por el método de las dovelas son los más difundidos,
varios autores han desarrollado sus propios procedimientos de cálculo, siendo los más
relevantes: Fellenius, Bishop, y Janbú. La diferencia entre los métodos de análisis radica en
el análisis de fuerzas horizontales y verticales, siguiendo la teoría del equilibrio límite.
Localización de Centro de la superficie de falla y Grieta de Tensión
Una vez determinado el nivel de agua presente en el talud, la localización del círculo crítico y
la grieta de tensión no es particularmente sensible a la posición de la superficie freática.
Los métodos más sofisticados para la localización de fallas circulares con factores mínimos de
seguridad, constituyen los métodos iterativos, sin embargo un modo de localizar manualmente
el centro de esta falla constituye el empleo de las siguientes gráficas (Fig. 5.3 y Fig. 5.4).
HOEK Evert y BRAY John. Rock Slope Engineering. Chapter 9. Page. 240-241
64
x
Localización del centro
crítico del círculo
b
Y
Grieta de
tensión
H
Falla por pie del talud
Fig. 5.3. Localización de la superficie de falla critica y grieta de tensión critica para suelos drenados1
1 HOEK Evert y BRAY John. Rock Slope Engineering. Chapter 9. Page. 240-241
65
Fig. 5. 4. Localización de la superficie de falla critica y grieta de tensión critica para suelos con
presencia de agua1.
1 HOEK Evert y BRAY John. Rock Slope Engineering. Chapter 9. Page. 240-241
66
Ejemplo: Si el ángulo de fricción es φ = 10º y el ángulo del talud es 26º, se tiene que las
coordenadas de la ubicación del radio para este talud son:
X = 0.95 * H = 0.95 (70.24) = 66.78 m.
Y = 1.50 * H = 1.50 (70.24) = 105.36 m.
Procedimiento general para el análisis de dovelas
1.
2.
3.
Dividir la masa deslizante en dovelas. El ancho de cada dovela (∆x o b) debe
seleccionarse para tomar en cuenta los cambios en las propiedades de los materiales,
geometría del talud y distribución de la presión de agua. Los cálculos se simplifican si se
usa anchos de dovelas iguales pero, si las condiciones lo ameritan se debe tomar anchos
de dovela desiguales. Se mide la inclinación α del centro de la base de cada dovela con
respecto a la horizontal y el ancho ∆x de cada dovela. Calcular los valores de α, ∆x, c y
Tan φ para cada dovela.
Calcular el peso la dovela ∆W y el peso promedio de cada dovela por unidad de área γ *
Zm. Si la geometría de la rodaja es razonablemente regular, el peso ∆W = γ *Zm * ∆X.
Ingresar a la hoja de calculo, hm (Z1, Z2, …..) y ∆W.
Calcular la presión de agua en la base de cada dovela y entrar estos valores en la hoja de
cálculo. Si hay una grieta de tensión vertical en la última dovela se debe calcularse la
fuerza horizontal de agua Q debido al agua en la grieta de tensión.
Q=
4.
5.
1
a
* γ W * Zw 2 *  
2
R
Donde, a = Brazo de momento para la fuerza Q, desde el centro de la superficie de
falla, R = Radio
Calcular la fuerza resistente debido a la cohesión del material: C * b * Sec α
Calcular la fuerza resistente debido a la fricción del material
((W * Cos α ) − ( µ * b * Secα ) ) * Tanφ
Donde:
6.
7.
8.
W * Cos α
Componente normal del peso en cada dovela
µ * b * Sec α)
Fuerza debido a la presión de agua en cada dovela
Determinar la fuerza (W * Senα) correspondiente al peso de cada dovela que actúa
como deslizante.
Calcular el factor de seguridad FS aplicando la fórmula.
F .S =
∑ [(C '*b * secα ) + (W * cosα − µ * b * Secα ) * Tanφ ]
∑ (W * senα ) + Q
Si Q es cero entonces FS es:
F .S =
∑ [(C '*b * secα ) + (W * cosα − µ * b * Secα ) * Tanφ ]
∑W * senα
67
5.3
Método de las dovelas de Fellenius
Este método asume superficies de falla circulares, divide el área de falla en dovelas
verticales, se obtiene las fuerzas actuantes y resultantes para cada dovela y con la sumatoria
de estas fuerzas se obtiene el factor de seguridad. “Las fuerzas que actúan sobre una dovela
son (Fig. 5.5)” (Jaime Suárez Díaz – 1998).
a.
b.
c.
El peso o fuerza de gravedad, la cual se puede descomponer en una tangente y una
normal a la superficie de falla.
Las fuerzas resistentes de cohesión y fricción que actúan en forma tangente a la
superficie de falla.
Las fuerzas de presión de tierra y cortante en las paredes entre dovelas, las cuales no
son consideradas por Fellenius, pero sí son tenidas en cuenta en otros métodos.
F .S =
∑ [(C '*b * secα ) + (W * cosα − µ * b * Secα ) * Tanφ ]
∑ (W * senα ) + Q
En donde:
α = Ángulo del radio del círculo de falla con la vertical bajo el centro de cada dovela.
W = Peso total de cada dovela
µ = Presión de poros
b = Ancho de la dovela
C’ = Parámetros de resistencia del suelo (Cohesión efectiva)
φ = Parámetros de resistencia del suelo (Ángulo de fricción interna).
Q = Fuerza horizontal de agua debido a una grieta de tensión
Si Q = 0
∑ [(C '*b * secα ) + (W * cosα − µ * b * Secα ) * Tanφ ]
F .S =
∑ (W * senα )
Este método no tiene en cuenta las fuerzas entre las dovelas y no satisface el equilibrio de
fuerzas, tanto para la masa deslizada como para dovelas individuales. Asume que las fuerzas
normales ínter dovelas E1 = E2 y fuerzas tangenciales ínter dovelas X1 = X2 son iguales,
por lo que es necesario resolver las fuerzas que actúan en la base de la dovela. Sin embargo,
este método es muy utilizado por su procedimiento simple. Muy impreciso para taludes
planos con alta presión de poros su empleo nos da Factores de seguridad bajos.
68
0
R
θ
b
R
B
R Sen a
R
x2
x1
E2
E1
α
h
R1
W
T
α
=N
A
base que se supone
recta con
una longitud
N´
W
R2
l
-u
(a)
(b)
Fig.5.5 Método de las Dovelas.
Procedimiento de Cálculo manual de FS según el método de Fellenius
A. Realizar el análisis gráfico:
1. Se dibuja el perfil del terreno, líneas de división de estratos de suelo y el nivel freático
(Ver figura 5.6).
2. Luego de realizar una inspección en el campo, se puede asumir ya la trayectoria de la
superficie de falla definida por un radio R = 105 m. y centro O (100, 125).
3. Se traza una circunferencia de radio R y centro O con los datos anteriores.
4. Se procede a dividir la sección de la masa de suelo definida por la superficie de falla
en dovelas de un ancho constante b = 10 m. (columna 2), y las numeramos para su
tabulación (columna 1).
Elevación (m)
10
20
30
10
Z=
20
30
40
Eje Vía
Loja-Malacatos
50
Nivel Piezometrico
altura de la dovela
70
80
-2
100
10
110
1
120
Z4
130
3
140
4
m.
150
5
105
Distancia Horizontal (m)
90
-1
0
2
Z3
b
X
R=
19,23
160
6
170
7
Z1
Z2 = 0
9
10
OH
180
200
210
220
Escala 1:1500
190
SC -SM
8
Fig. 5.6 Análisis gráfico para el calculo manual del F.S
60
-3
O
14,21
40
50
ancho de la dovela
b=
O = centro del círculo
distancia horizontal del centro de
gravedad de la dovela al centro del círculo
X=
R = radio del círculo
R = 105 m. Centro de radio = (100, 125)
5,25
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
230
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Análisis del movimiento de masas en la Vía Loja - Malacatos
Abscisa 8 + 280
69
70
B. Realizar el análisis matemático:
1. Definir las propiedades de los suelos (peso específico del suelo natural y saturado,
cohesión y ángulo de fricción interna) y el peso específico del agua.
Suelo 1
Suelo 2
OH
105
m
12.16 KN/m²
16.48 KN/m²
58.86
Kpa
6
º
0.1052
10
KN/m²
SC - SM
DATOS:
Radio
Peso específico
Peso específico saturado
Cohesión
Ang. Fric. Int
Tan < fric
Peso específico agua
r=
γ=
γs =
C=
φ=
Tan φ =
γw =
18.44 KN/m²
20.70 KN/m²
34.34
Kpa
10
º
0.176
1. Procedemos a calcular los brazos de momento x de cada dovela respecto al centro O
(columna 3).
Dovela 10
4,35
1,45
8,62
Suelo: OH Limos de alta plasticidad
Peso especifico = 12.16 Kn/m2
Peso especifico Saturado = 12.16
Kn/m2
Angulo de fricción = 6'
Cohesión = 58.86 KPa
W
X 10 = X +
X 10 = 95 +
∑ A* X
∑A
(8.62 * 4.35 / 2) * (4.35 / 3)
(8.62 * 4.35 / 2)
X10 = 95+1.45 = 96.45 m.
2. Se calcula el ángulo α formado entre la horizontal y el arco de dovela semejante a una
línea (columna 4). A continuación calculamos Sen α (columna 5), Cos α (columna 6)
y Sec α (columna 7).
X
 96.45 
α = sen −1   = Sen −1 

R
 105 
α = 66.718º
71
Senα = sen(66.718) = 0.919
Cosα = cos(66.718) = 0.395
Secα =
1
 1 
=
 = 2.532
cos α  0.395 
3. Se calcula la longitud de la dovela (columna 8) L = b * Sec α.
L = 4.35 * 2.532 = 11.01m.
4. Se determina las alturas en la dovela correspondientes a la división entre estratos de
suelo seco Z1 (columna 9), Z3 (columna14) y saturado Z2 (columna 11), Z4
(columna16) definido por el nivel freático.
Z1 = 8.62 m.
Z2 = 0.00 m. Z3 = 0.00 m.
Z4 = 0.00 m.
5.
Se calcula el peso de la dovela W (columna 19) como la sumatoria de pesos W1
(columna 10), W2 (columna12), W3 (columna 15) y W4 (columna 17) para sus
respectivas alturas Z1 a Z4 y su correspondiente peso específico, con la fórmula.
W1 = γ * Z * B
W = W1 + W2 + W3 + W4
W = (12.16 * (4.35 * 8.62 / 2)) + (16.48 * 4.35 * 0.0) + (18.44 *4.35 * 0.0) + (20.70 *
4.35 * 0.00) = 227.98 KN/m
6. Se calcula la presión de poros µ (columna 20) como la sumatoria de presión de poros
para cada estrato µ1 (columna 13) y µ2 (columna 18) afectados por el nivel freático y
por su correspondiente altura Z, así: µ = γW * Z.
µ = µ1 + µ 2
µ= (10 * 0.00)+ (10* 0.00) = 0
7. Se calcula la fuerza normal debida al peso W*Cos α (columna 21).
W * cos α = 227.98 * 0.395
W * cos α = 90.05
8. Se calcula la fuerza desestabilizadora resistente tangencial debida a la presión de poros
(columna 22) con la fórmula.
Fu = µ * b * sec α
Fu = 0 * 2.532 = 0.00 KN / m
9. Calcular la resultante de las fuerzas normales efectivas a la superficie de cada dovela
(columna 23).
N ' = (W * cos α ) − Fu
N ' = 90.05 − 0.00 = 90.05 KN / m.
10. Luego calculamos la fuerza resistente debida a la fricción del suelo (columna24) con
la fórmula.
Fφ = N '*tagφ
Fφ = 90.05 * 0.105 = 9.48 KN / m
72
11. Se calcula la fuerza debida a la cohesión (columna 25) con la fórmula.
Fc = C '*b * Secα
Fc = 58.86 * 4.35 * 2.532 = 648.28 KN / m.
12. Finalmente se calcula la fuerza desestabilizadora (columna 26) con la fórmula.
T = W * Sen α
T = 227.98 * 0.919 = 209.52
13. Proceder a calcular los datos para cada una de las dovelas restantes, siguiendo los
pasos anteriores del 1 a 12 con la única diferencia de considerar la forma de la figura
geométrica para calcular el brazo de momento x.
DOVELA 5
Z1
2,49
5,25
10
37,05
Z3
39,98
14,21
Z2 = 0
19,19
Suelo: SC-SM Arenas Arcillosas
Peso especifico = 18.44 Kn/m2
Peso especifico Saturado = 20.70 Kn/m2
Angulo de fricción = 10'
Cohesión = 34.34 KPa
Z4 = hw
5,43
Suelo: OH Limos de alta plasticidad
Peso especifico = 12.16 Kn/m2
Peso especifico Saturado = 12.16 Kn/m2
Angulo de fricción = 6'
Cohesión = 58.86 KPa
S
α
N = W* cos α - µ * b
W
Ejemplo.
T = W* sen α
X5 = X +
∑ A* X
∑A
X 5 = 45 +
((2.49 *10 / 2) * (10 * 2 / 3)) + ((34.55 *10) * (10 / 2)) + ((5.43 *10 / 2) * (10 / 3))
(2.49 *10 / 2) + (34.55 *10) + (5.43 *10 / 2)
X5 = 45 + 4.94 = 49.94m.
∴ El brazo de momento para la dovela Nº 5 es: X = 49.88 m. ≈ 50.0 m.
Z1 = 5.27 m. Z2 = 0.00 m. Z3 = 14.21 m.
Z4 = 19.19 m.
73
14. Elaborar con todos los datos calculados en los pasos 1 a 13 una tabla como la siguiente
(Tabla 5.2).
15. Calcular el factor de seguridad (FS) con la fórmula:
F .S = ∑
[(C '*b * Secα ) + (W * Cosα − µ * b * Secα )* tan φ ']
∑ (W * senα )
F .S =
∑ (Fc + Fφ )
∑T
F .S =
6458.67 + 7075.84
= 0.65
20905.46
FS = 0.65
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
1
Nº Datos Nº Dovela
Radio
Densidad
Densidad sat
Cohesión
Ang. Fric. Int
Tan < fric
Ym
96.45
89.31
79.74
69.87
59.90
49.94
39.97
30.11
20.13
10.19
0.19
-9.79
-19.65
-29.26
(m)
3
(m)
2
4.35
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
12.1
x
Suelo 1
OH
105
12.16
16.48
58.86
6
0.105
10
b
r=
γ=
γs =
C=
φ=
Tan φ =
Ym =
DATOS:
66.72
58.28
49.42
41.72
34.79
28.40
22.38
16.67
11.06
5.57
0.11
-5.35
-10.79
-16.19
grados
4
α = arsen (x/r)
KN/m²
m
KN/m²
KN/m²
Kpa
º
0.919
0.851
0.759
0.665
0.571
0.476
0.381
0.287
0.192
0.097
0.002
-0.093
-0.187
-0.279
5
Sen α
18.44
20.70
34.34
10
0.176
0.395
0.526
0.651
0.746
0.821
0.880
0.925
0.958
0.981
0.995
1.000
0.996
0.982
0.960
6
Cos α
KN/m²
KN/m²
Kpa
º
Suelo 2
SC - SM
2.532
1.901
1.536
1.340
1.218
1.136
1.081
1.044
1.019
1.005
1.000
1.004
1.018
1.042
7
Sec α
11.01
19.01
15.36
13.40
12.18
11.36
10.81
10.44
10.19
10.05
10.00
10.04
10.18
12.61
8
5.00
15.56
15.92
12.12
8.11
5.27
1.47
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
(m)
9
Z1
264.48
1892.10
1935.87
1473.79
986.18
640.83
178.75
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
KN/m
10
W1 = γ ∗ Z1* b
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
(m)
11
Z2
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
KN/m
12
W2 = γ ∗ Z2* b
SUELO 1: OH
∑ W * Senα
0.65
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
KN/m²
13
µ1 = Yw * Z2
[(C'*b * Secα ) + ((W * Cosα − μ * b * Secα ) * Tanφa)]
L = b * Sec α
FS = ∑
F.S. Fellenius =
RESULTADO:
TABLA 4.2 CÁLCULO POR EL METODO DE FELLENIUS
0.00
0.00
2.80
5.97
9.92
14.21
19.43
19.17
16.76
11.48
12.15
13.69
11.59
8.50
(m)
14
Z3
0.00
0.00
516.32
1100.87
1829.25
2620.32
3582.89
3534.95
3090.54
2116.91
2240.46
2524.44
2137.20
1896.55
KN/m
15
0.00
0.00
6.22
12.95
16.98
19.23
20.05
19.28
17.42
11.26
9.54
4.11
0.00
0.00
(m)
16
Z4
0.00
0.00
1287.54
2680.65
3514.86
3980.61
4150.35
3990.96
3605.94
2330.82
1974.78
850.77
0.00
0.00
KN/m
17
W4 = γs * Z4 * b
SUELO 2: SC - SM
W3 = γ * Z3 * b
0.00
0.00
62.20
129.50
169.80
192.30
200.50
192.80
174.20
112.60
95.40
41.10
0.00
0.00
KN/m²
18
µ2 = Yw * Z4
74
µ = µ1 + µ2
KN/m²
20
0.00
0.00
62.20
129.50
169.80
192.30
200.50
192.80
174.20
112.60
95.40
41.10
0.00
0.00
KN/m
19
264.48
1892.10
3739.73
5255.31
6330.29
7241.76
7911.99
7525.91
6696.48
4447.73
4215.24
3375.21
2137.20
1896.55
TOTALES
W = W1+W2+W3+W4
104.47
995.24
2434.56
3920.46
5197.17
6372.75
7318.59
7209.82
6569.25
4425.49
4215.24
3361.71
2098.73
1820.69
21
KN/m
N = W ∗ Cos α
0.00
0.00
955.39
1735.30
2068.16
2184.53
2167.41
2012.83
1775.10
1131.63
954.00
412.64
0.00
0.00
22
KN/m
Fu = µ * b * Sec α
104.47
995.24
1479.17
2185.16
3129.01
4188.22
5151.18
5196.99
4794.15
3293.86
3261.24
2949.07
2098.73
1820.69
Sumatoria
23
KN/m
N' =( W*Cos α) - Fu
10.97
104.5
260.33
384.59
550.71
737.13
906.61
914.67
843.77
579.72
573.98
519.04
369.38
320.44
7075.84
24
KN/m
Fφ = N' ∗ tag φ
648.28
1118.93
527.46
460.16
418.26
390.10
371.22
358.51
349.92
345.12
343.40
344.77
349.58
432.96
6458.67
25
KN/m
Fc = C' * b * Sec α
243.06
1610.18
2838.46
3494.78
3614.60
3447.08
3014.47
2159.94
1285.72
431.43
8.43
-313.89
-399.66
-529.14
20905.46
26
KN/m
T = W * Sen α
75
76
5.4
Método de A. W. BISHOP
En este método además de resolver las fuerzas que actúan en la base de la dovela considera
el efecto de las fuerzas entre las dovelas; se puede suponer que las fuerzas ínter dovelas
tangenciales (fuerzas de cortante) son iguales y opuestas, esto es, X1 = X2, pero que E1 ≠
E2, es decir las fuerzas normales ínter dovelas son desiguales (Fig. 5.6). Para expresar las
fuerzas tangenciales se debe asumir un factor de seguridad inicial al cálculo, característica
que convierte al método en iterativo por estar presente FS en ambos lados de la ecuación.
La solución rigurosa de BISHOP es muy compleja y por esta razón se utiliza una solución
simplificada de su método, de acuerdo a la expresión.
F .S = ∑
[(C '*b ) + (W − µ * b ) * tan φ ' / η ]
∑ (W * senα ) + Q
Donde:


η = Cosα * 1 +
tan α * tan φ 

F .S

Q=
1
a
* γ W * Zw 2 *  
2
R
b = Ancho de la dovela
W = Peso de cada dovela
C’, φ = Parámetros de resistencia del suelo (cohesión, ángulo de fricción interna)
µ = Presión de poros en la base de cada dovela = µ = γw * hw
α = Ángulo del radio y la vertical en cada dovela.
Q = Fuerza horizontal de agua debido a una grieta de tensión
Si Q = cero,
F .S = ∑
[(C '*b ) + (W − µ * b ) * tan φ ' / η ]
∑ (W * senα )
Fig. 5.6 Interpretación gráfica del Método de Bishop.
77
Este método es un método de tanteos el cual se comienza asumiendo un factor de seguridad
hasta igualar la ecuación. Este método es muy aceptado por la mayoría de profesionales, su
rango de error con respecto a métodos más exactos como el de Spencer y Morgenstern –
Price es del 3 %, con excepción en casos muy ocasionales y raros con círculos de falla de
base profunda y FS menor que la unidad (Roy Whitlow (1998).
Procedimiento de Cálculo manual de FS según el método de Bishop
A. Realizar el análisis gráfico:
El análisis gráfico a realizar, es el mismo procedimiento descrito en Método de Fellenius
(pág. 77) y la figura 4.6.
B. Realizar el análisis matemático:
1. Definir las propiedades de los suelos (Peso específico del suelo natural y saturado,
cohesión y ángulo de fricción interna) y el peso específico del agua.
Suelo 1
Suelo 2
OH
SC - SM
105
m
12.16 KN/m²
16.48 KN/m²
58.86
Kpa
6
º
0.1052
10
KN/m²
18.44 KN/m²
20.70 KN/m²
34.34
Kpa
10
º
0.176
DATOS:
Radio
Peso específico
Peso específico saturado
Cohesión
Ang. Fric. Int
Tan < fric
Peso específico agua
r=
γ=
γs =
C=
φ=
Tan φ =
γw =
2. Procedemos a calcular los brazos de momento x de cada dovela respecto al centro O
(columna 3).
Dovela 10
4,35
1,45
8,62
Suelo: OH Limos de alta plasticidad
Peso especifico = 12.16 Kn/m2
Peso especifico Saturado = 12.16
Kn/m2
Angulo de fricción = 6'
Cohesión = 58.86 KPa
W
X 10 = X +
X 10 = 95 +
∑ A* X
∑A
(8.62 * 4.35 / 2) * (4.35 / 3)
(8.62 * 4.35 / 2)
X10 = 95+1.45 = 96.45 m.
78
3. Calcular el ángulo α formado entre la horizontal y el arco de dovela semejante a una
línea (columna 4). A continuación calculamos Sen α (columna 5), Cos α (columna 6),
Sec α (columna 7) y Tan α (columna 8).
 96.45 
X
α = sen −1   = Sen −1 

 105 
R
α = 66.718º
Senα = sen(66.718) = 0.919
Cosα = cos(66.718) = 0.395
Secα =
1
 1 
=
 = 2.532
cos α  0.395 
Tanα = Tan(66.718) = 2.324
4. Calcular la longitud de la dovela (columna 9) L = b * Sec α.
L = 4.35 * 2.532 = 11.01m.
5. Se determina las alturas en la dovela correspondientes a la división entre estratos de
suelo seco Z1 (columna 10), Z3 (columna 15) y saturado Z2 (columna 12), Z4
(columna 17) definido por el nivel freático.
Z1 = 8.62 m.
Z2 = 0.00 m. Z3 = 0.00 m.
Z4 = 0.00 m.
6. Calcular el peso de la dovela W (20) como la sumatoria de pesos W1 (11), W2
(columna 13), W3 (columna 16) y W4 (columna 18) para sus respectivas alturas Z1 a
Z4 y su correspondiente peso específico, con la fórmula.
W1 = γ * Z * B
W = W1 + W2 + W3 + W4
W = (12.16 * (4.35 * 8.62 / 2)) + (16.48 * 4.35 * 0.0) + (18.44 *4.35 * 0.0) + (20.70 *
4.35 * 0.00) = 227.98 KN/m
7. Calcular la presión de poros µ (columna 21) como la sumatoria de presión de poros
para cada estrato µ1 (columna 14) y µ2 (columna 19) afectados por el nivel freático y
por su correspondiente altura Z, así: µ = γ w * Z w
µ = µ1 + µ 2
µ= (10 * 0.00)+ (10* 0.00) = 0
8. Calcular la fuerza Fu (columna 22) debido a la presión de poros con la fórmula.
Fu = µ * b = 0.00 * 4.35
Fu = 0.00 KN / m
79
9.
Calcular la resultante de las fuerzas correspondientes al peso menos la presión de
poros (columna 23) con la formula: W − (µ * b )
W − (µ * b ) = 227.99 − 0.00 = 227.98 KN / m.
10. Calcular la fuerza estabilizadora Fφ (columna 24) debido a la fricción con la fórmula:
Fφ = (W − (µ * b )) * tan φ
Fφ = 227.98 * 0.105 = 23.94 KN / m.
11. Calcular la fuerza estabilizadora Fc (columna 25) debido a la cohesión del suelo con
la fórmula:
Fc = C '*b
Fc = 58.86 * 4.35 = 256.04 KN / m.
12. Calcular la fuerza total estabilizadora (columna 26) debido a las propiedades de
resistencia del suelo con la formula.
Fc + Fφ = 256.04 + 23.94 = 279.98 KN / m.
13. Calcular el producto de la tangente entre el ángulo de fricción del suelo y el ángulo α
(columna 27).
tan α * tan φ = 2.324 * 0.105 = 0.244
14. Calcular η (columna 28) para un Factor de seguridad inicial Fs = 1 con la fórmula.


η = cos α * 1 +
Tanα * Tanφ ' 

Fs



η = 0.395 * 1 +
0.244 
 = 0.491
1 
15. Calcular (Fc + Fφ) / η (columna 29) con la fórmula.
Fc + Fφ
η
=
279.98
= 570.22
0.491
16. Calcular la fuerza tangencial desestabilizadora debida al peso T (columna 30) con la
formula.
T = W * senα
T = 227.98 * 0.919 = 209.52 KN / m
17. Proceder a calcular los datos para cada una de las dovelas restantes, siguiendo los
pasos anteriores del 1 a 16 con la única diferencia, de consideran la forma de la figura
geométrica para calcular el brazo de momento x.
80
Ejemplo.
X5 = X +
∑ A* X
∑A
X 5 = 45 +
((2.49 *10 / 2) * (10 * 2 / 3)) + ((34.55 *10) * (10 / 2)) + ((5.43 *10 / 2) * (10 / 3))
(2.49 *10 / 2) + (34.55 *10) + (5.43 *10 / 2)
X5 = 45 + 4.94 = 49.94m.
DOVELA 5
Z1
2,49
5,25
10
37,05
Z3
39,98
14,21
Z2 = 0
19,19
Suelo: SC-SM Arenas Arcillosas
Peso especifico = 18.44 Kn/m2
Peso especifico Saturado = 20.70 Kn/m2
Angulo de fricción = 10'
Cohesión = 34.34 KPa
Z4 = hw
5,43
Suelo: OH Limos de alta plasticidad
Peso especifico = 12.16 Kn/m2
Peso especifico Saturado = 12.16 Kn/m2
Angulo de fricción = 6'
Cohesión = 58.86 KPa
S
α
N = W* cos α - µ * b
W
Ejemplo.
T = W* sen α
X5 = X +
∑ A* X
∑A
X 5 = 45 +
((2.49 *10 / 2) * (10 * 2 / 3)) + ((34.55 *10) * (10 / 2)) + ((5.43 *10 / 2) * (10 / 3))
(2.49 *10 / 2) + (34.55 *10) + (5.43 *10 / 2)
X5 = 45 + 4.94 = 49.94m.
∴ El brazo de momento para la dovela Nº 5 es: X = 49.88 m. ≈ 50.0 m.
Z1 = 5.27 m. Z2 = 0.00 m. Z3 = 14.21 m.
Z4 = 19.19 m.
18. Elaborar con todos los datos calculados en los pasos 1 a 17 una tabla (Tabla 5.3).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Nº Datos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
1
Nº Dovela
Radio
Densidad
Densidad sat
Cohesión
Ang. Fric. Int
Tan < fric
Ym
4.35
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
12.1
96.45
89.31
79.74
69.87
59.90
49.94
39.97
30.11
20.13
10.19
0.19
-9.79
-19.65
-29.26
3
(m)
(m)
2
x
b
DATOS: Suelo 1
OH
r=
105
γ=
12.16
γs =
16.48
C=
58.86
φ=
6
Tan φ =
0.105
Ym =
10
66.718
58.274
49.414
41.715
34.783
28.400
22.375
16.664
11.053
5.569
0.104
-5.350
-10.786
-16.181
4
grados
α = arsen (x/r)
KN/m²
m
KN/m²
KN/m²
Kpa
º
0.919
0.851
0.759
0.665
0.570
0.476
0.381
0.287
0.192
0.097
0.002
-0.093
-0.187
-0.279
5
Sen α
18.44
20.70
34.34
10
0.176
0.395
0.526
0.651
0.746
0.821
0.880
0.925
0.958
0.981
0.995
1.000
0.996
0.982
0.960
6
Cos α
KN/m²
KN/m²
Kpa
º
Suelo 2
SC - SM
2.532
1.901
1.536
1.340
1.218
1.136
1.081
1.044
1.019
1.005
1.000
1.004
1.018
1.042
7
Sec α
2.324
1.617
1.167
0.891
0.695
0.541
0.412
0.299
0.195
0.098
0.002
-0.094
-0.191
-0.290
8
10
(m)
Z1
11.01 5.00
19.01 15.56
15.36 15.92
13.40 12.12
12.18 8.11
11.36 5.27
10.81 1.47
10.44 0.00
10.19 0.00
10.05 0.00
10.00 0.00
10.04 0.00
10.18 0.00
12.60 0.00
9
Tan α L = b/cos
α
F.S. Bishop =
RESULTADO:
264.48
1892.10
1935.87
1473.79
986.18
640.83
178.75
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
11
KN/m
F.S =
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
12
(m)
Z2
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
13
KN/m
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
14
KN/m²
µ1 = Yw * Z2
0.00
0.00
2.80
5.97
9.92
14.21
19.43
19.17
16.76
11.48
12.15
13.69
11.59
8.50
15
(m)
Z3
0.00
0.00
516.32
1100.87
1829.25
2620.32
3582.89
3534.95
3090.54
2116.91
2240.46
2524.44
2137.20
1896.55
16
KN/m
W3 = γ * Z3 * b
0.00
0.00
6.22
12.95
16.98
19.23
20.05
19.28
17.42
11.26
9.54
4.11
0.00
0.00
17
(m)
Z4
0.00
0.00
1287.54
2680.65
3514.86
3980.61
4150.35
3990.96
3605.94
2330.82
1974.78
850.77
0.00
0.00
18
KN/m
W4= γs* Z4 * b
SUELO 2: SC - SM
[(C'*b) + (W − μ * b ) * tanφa/η]
∑ (W * senα )
∑ (Fc + Fφ )/η
∑T
W2 = γs* Z2 * b
SUELO 1: OH
W1 = γ * Z1 * b
0.70
F.S = ∑
TABLA 4.3 CÁLCULO POR EL METODO DE BISHOP
0
0
62.2
129.5
169.8
192.3
200.5
192.8
174.2
112.6
95.4
41.1
0
0
19
KN/m²
µ2 = Yw * Z4
81
µ = µ1 + µ2
KN/m²
21
0.00
0.00
62.20
129.50
169.80
192.30
200.50
192.80
174.20
112.60
95.40
41.10
0.00
0.00
W = W1+W2+W3+W4
KN/m
20
264.48
1892.10
3739.73
5255.31
6330.29
7241.76
7911.99
7525.91
6696.48
4447.73
4215.24
3375.21
2137.20
1896.55
TOTALES
0
0
622
1295
1698
1923
2005
1928
1742
1126
954
411
0
0
22
KN/m
Fu =µ * b
264.48
1892.10
3117.73
3960.31
4632.29
5318.76
5906.99
5597.91
4954.48
3321.73
3261.24
2964.21
2137.20
1896.55
23
KN/m
W − (µ * b)
Tanα * Tanφa

η = cosα * 1 +

Fs


27.77
198.67
548.72
697.01
815.28
936.10
1039.63
985.23
871.99
584.62
573.98
521.70
376.15
333.79
24
KN/m
Fφ =W − (µ * b)*tag φ
256.04
588.60
343.40
343.40
343.40
343.40
343.40
343.40
343.40
343.40
343.40
343.40
343.40
415.51
25
KN/m
Fc =C' * b
283.81
787.27
892.12
1040.41
1158.68
1279.50
1383.03
1328.63
1215.39
928.02
917.38
865.10
719.55
749.30
26
KN/m
Fc + Fφ
0.244
0.17
0.205
0.157
0.122
0.095
0.073
0.053
0.034
0.017
0.000
-0.017
-0.034
-0.051
27
Tan α * Tan φ
0.533
0.654
0.842
0.913
0.964
0.999
1.021
1.031
1.029
1.019
1.000
0.972
0.934
0.89
Sumatoria
28
η
532.48
1203.78
1059.52
1139.55
1201.95
1280.78
1354.58
1288.68
1181.14
910.72
917.38
890.02
770.40
841.91
14572.89
29
(Fc+Fφ)/η
Supuesto Fs =
0.70
243.06
1610.18
2838.46
3494.78
3608.27
3447.08
3014.47
2159.94
1285.72
431.43
8.43
-313.89
-399.66
-529.14
20899.13
30
KN/m
T = W * Sen α
82
83
19.
Calcular el factor de seguridad FS con la fórmula:
F .S = ∑
[(C '*b ) + (W − µ * b )* tan φ ' /η ]
∑ (W * senα )
F .S =
∑ (Fc + Fφ ) /η
∑T
F .S =
14572.89
= 0.70
20899.13
0.70 ≠ 1
Comparamos: FSCalculado = FSimpuesto.
20. Repetir el procedimiento los pasos 14 y 15 para un nuevo FS = 0.72 y comprobar su
Factor de seguridad calculado, de ser el caso repetir la tabla las columnas 28, 29 y 30.
En caso de no igualarse el valor del factor de seguridad calculado con el impuesto
repetir los pasos 14 y 15 para el último factor calculado hasta que se iguale sus
valores.
Supuesto FS =
η
0.76
(Fc+Fφ)/η
T = W * Sen α
(KN/m)
28
29
30
0.522
0.644
0.827
0.9
0.953
0.99
1.014
1.025
1.025
1.017
1.000
0.974
0.938
0.896
Sumatoria
536.36
1068.23
872.74
1011.91
1124.76
1235.46
1348.42
1296.22
1185.75
912.51
917.38
888.19
767.11
685.73
13850.77
209.51
805.09
2103.80
3004.75
3327.20
3294.56
2980.42
2159.94
1285.72
431.43
8.43
-313.89
-399.66
-315.30
18582.00
21. El factor de seguridad calculado es:
FS = (13850.77/18582.00) = 0.75
FSCalculado = FSimpuesto.
0.70 ≠ 0.75
∴ Realizar un nuevo cálculo para el último FS.
22. Si FS = 0.70:
84
Supuesto Fs =
η
0.70
(Fc+Fφ)/η
T = W * Sen α
(KN/m)
28
29
30
0.533
0.654
0.842
0.913
0.964
0.999
1.021
1.031
1.029
1.019
1.000
0.972
0.934
0.89
Sumatoria
532.48
1203.78
1059.52
1139.55
1201.95
1280.78
1354.58
1288.68
1181.14
910.72
917.38
890.02
770.40
841.91
14572.89
243.06
1610.18
2838.46
3494.78
3608.27
3447.08
3014.47
2159.94
1285.72
431.43
8.43
-313.89
-399.66
-529.14
20899.13
El factor de seguridad calculado es. FS = (14572.89/20899.13) = 0.70
FSCalculado = FSimpuesto.
0.70 = 0.70
∴ Respuesta: FS = 0.70
5.5 Método de Janbú
Janbú (1973) presenta un método de dovelas para superficies de fallas curvas, no
necesariamente circulares. Cuando las propiedades del suelo o masa de roca deslizada varían
a lo largo del talud o cuando la forma de la superficie de falla no es circular (Fig. 5.8), como
el resultado de alguna falla estructural de la interfaz del suelo/roca se puede aplicar este
método. El método de análisis de Janbú para superficies de falla curvas en taludes es uno de
los métodos más versátil disponibles, presenta facilidad para la solución de problemas en el
cálculo manual.
Al igual que Bishop este método asume que no hay fuerza de cortante entre dovelas, y su
solución no satisface completamente las condiciones de equilibrio de momentos. Sin
embargo, Janbú utiliza un factor de corrección fo (Fig. 5.7) para tener en cuenta este posible
error. Los valores de factores de seguridad obtenidos mediante este método son bajos.
85
Fig.5.7 Interpretación gráfica del Método de Janbú.
Fuente: www.aimecuador.org/capacitacion/archivos_pdf/Estabilidad_de_taludes.pdf
Su deducción matemática esta representada por la siguiente fórmula:
1


fo * [C '*b + (W − µ * b ) * tan φ ]*

cos α * ma 

F .S =
∑ (W * tan α ) + Q
ò
F .S =
Donde η =
fo * {[C '*b + (W − µ * b ) * tan φ ] * η }
∑ (W * tan α ) + Q
 Tanα * Tanφ ' 
ma = cos α * 1 +

Fs


1
cos α * ma
fo = depende de la curvatura de la superficie de falla.
2
d
 d  
Para c’ = 0 ⇒ k = 0.31

fo =1 + k
− 1.4 

L
Para c’ > 0, φ’>0 ⇒ k = 0.50
L
  

Q = fuerza horizontal de agua debido a una grieta de tensión.
Q=
Si Q = 0, entonces:
F .S =
1
a
* γ W * Zw 2 *  
2
R
fo * {[C '*b + (W − µ * b ) * tan φ ] * η }
∑ (W * tan α )
86
L
d
Superficie curvo no circular
1.2
Suelos Cohesivos
f=0
Suelos Mixtos
C= f
f o 1.1
Suelos granulares
C=0
1.0
0.2
0.1
0
0.4
0.3
d/L
Fig. 5.8 Diagrama para determinar el factor fo para el método de Janbú.
Generalmente el método de Janbú con respecto a métodos más precisos como Spencer y
Morgenstern – Price difieren en FS, es así que en ocasiones subestima el factor de seguridad
en un 30 % y en algunos casos sobreestima hasta en un 5 % (Suárez Días – 1998).
Procedimiento de Cálculo manual de FS según el método de Janbú
A. Realizar el análisis gráfico:
El análisis gráfico a realizar, es el mismo procedimiento descrito para el Método de
Fellenius.
B. Realizar el análisis matemático:
1. Definir las propiedades de los suelos (peso específico del suelo natural y saturado,
cohesión y ángulo de fricción interna) y el peso específico del agua.
DATOS:
Radio
Peso específico
Peso específico saturado
Cohesión
Ang. Fric. Int
Tan < fric
Peso específico agua
r=
γ=
γs =
C=
φ=
Tan φ =
γw =
Suelo 1
Suelo 2
OH
SC - SM
105
m
12.16 KN/m²
16.48 KN/m²
58.86
Kpa
6
º
0.1052
10
KN/m²
18.44 KN/m²
20.70 KN/m²
34.34
Kpa
10
º
0.176
87
2. Procedemos a calcular los brazos de momento x de cada dovela respecto al centro O
(columna 3).
4,35
1,45
Dovela 10
8,62
Suelo: OH Limos de alta plasticidad
Peso especifico = 12.16 Kn/m2
Peso especifico Saturado = 12.16
Kn/m2
Angulo de fricción = 6'
Cohesión = 58.86 KPa
W
X 10 = X +
X 10 = 95 +
∑ A* X
∑A
(8.62 * 4.35 / 2) * (4.35 / 3)
(8.62 * 4.35 / 2)
X10 = 95+1.45 = 96.45 m.
3. Calcular el ángulo α formado entre la horizontal y el arco de dovela semejante a una
línea (columna 4). A continuación calculamos Sen α (columna 5), Cos α (columna 6),
Sec α (columna 7) y Tan α (columna 8).
X
 96.45 
α = sen −1   = Sen −1 

R
 105 
α = 66.718º
Senα = sen(66.718) = 0.919
Cosα = cos(66.718) = 0.395
Secα =
1
 1 
=
 = 2.532
cos α  0.395 
Tanα = Tan(66.718) = 2.324
4. Calcular la longitud de la dovela (columna 9) L = b * Sec α.
L = 4.35 * 2.532 = 11.01m.
5. Se determina las alturas en la dovela correspondientes a la división entre estratos de
suelo seco Z1 (columna 10), Z3 (columna 15) y saturado Z2 (columna 12), Z4
(columna 17) definido por el nivel freático.
Z1 = 8.62 m.
Z2 = 0.00 m. Z3 = 0.00 m.
Z4 = 0.00 m.
88
6. Calcular el peso de la dovela W (20) como la sumatoria de pesos W1 (11), W2
(columna 13), W3 (columna 16) y W4 (columna 18) para sus respectivas alturas Z1 a
Z4 y su correspondiente peso específico, con la fórmula.
W1 = γ * Z * B
W = W1 + W2 + W3 + W4
W = (12.16 * (4.35 * 8.62 / 2)) + (16.48 * 4.35 * 0.0) + (18.44 *4.35 * 0.0) + (20.70 *
4.35 * 0.00) = 227.98 KN/m
7. Calcular la presión de poros µ (columna 21) como la sumatoria de presión de poros
para cada estrato µ1 (columna 14) y µ2 (columna 19) afectados por el nivel freático y
por su correspondiente altura Z, así: µ = γ w * Z w
µ = µ1 + µ 2
µ= (10 * 0.00)+ (10* 0.00) = 0
8. Calcular la fuerza Fu (columna 22) debido a la presión de poros con la fórmula.
Fu = µ * b = 0.00 * 4.35
Fu = 0.00 KN / m
9.
Calcular la resultante de las fuerzas correspondientes al peso menos presión de poros
(columna 23) con la fórmula: W − (µ * b )
W − (µ * b ) = 227.99 − 0.00 = 227.98KN / m.
10. Calcular la fuerza estabilizadora Fφ (columna 24) debido a la fricción con la fórmula:
Fφ = (W − (µ * b )) * tan φ
Fφ = 227.98 * 0.105 = 23.94 KN / m.
11. Calcular la fuerza estabilizadora Fc (columna 25) debido a la cohesión del suelo con la
fórmula:
Fc = C '*b
Fc = 58.86 * 4.35 = 256.04 KN / m.
12. Calcular la fuerza total estabilizadora (columna 26) debido a las propiedades de
resistencia del suelo con la fórmula.
Fc + Fφ = 256.04 + 23.94 = 279.98 KN / m.
13. Calcular el producto de la tangente entre el ángulo de fricción del suelo y el ángulo α
(columna 27).
tan α * tan φ = 2.324 * 0.105 = 0.244
14. Calcular ma (columna 28) para un factor de seguridad inicial Fs = 1 con la fórmula.
 Tanα * Tanφ ' 
 0.244 
ma = cos α * 1 +
ma = 0.395 * 1 +

 = 0.491
1 
Fs



15. Calcular η (columna 29) con la fórmula.
1
η=
cos α * ma
η=
1
= 5.17
0.395 * 0.491
89
16. Calcular (Fc + Fφ) * η (columna 30) con la fórmula.
(Fc + Fφ ) *η = 279.98 * 5.17 = 1447.50
17. Calcular la fuerza tangencial desestabilizadora debida al peso T (columna 31) con la
fórmula.
T = W * Tanα
T = 227.98 * 2.324 = 529.83KN / m2
18. Proceder a calcular los datos para cada una de las dovelas restantes, siguiendo los
pasos anteriores del 1 a 17 con la única diferencia, de considerar la forma de la figura
geométrica para calcular el brazo de momento x.
DOVELA 5
2,49
5,25
10
Z1
37,05
Z3
39,98
14,21
Z2 = 0
19,19
Suelo: SC-SM Arenas Arcillosas
Peso especifico = 18.44 Kn/m2
Peso especifico Saturado = 20.70 Kn/m2
Angulo de fricción = 10'
Cohesión = 34.34 KPa
Z4 = hw
5,43
Suelo: OH Limos de alta plasticidad
Peso especifico = 12.16 Kn/m2
Peso especifico Saturado = 12.16 Kn/m2
Angulo de fricción = 6'
Cohesión = 58.86 KPa
S
α
N = W* cos α - µ * b
W
Ejemplo.
T = W* sen α
X5 = X +
∑ A* X
∑A
X 5 = 45 +
((2.49 *10 / 2) * (10 * 2 / 3)) + ((34.55 *10) * (10 / 2)) + ((5.43 *10 / 2) * (10 / 3))
(2.49 *10 / 2) + (34.55 *10) + (5.43 *10 / 2)
X5 = 45 + 4.94 = 49.94m.
90
Para calcular el brazo de momento X de las dovelas
B
H
X
AREA
A*X
m.
m.
m.
m2.
10.00
2.49
6.67
24.90
166.00
10.00 34.55
5.00
345.50
1727.50
10.00
5.43
3.33
54.30
181.00
Suma:
424.70
2074.50
X=
4.88 m.
∴ El brazo de momento para la dovela Nº 5 es: X = 49.88 m. ≈ 50.0 m.
Z1 = 5.27 m. Z2 = 0.00 m. Z3 = 14.21 m.
Z4 = 19.19 m.
19. Elaborar con todos los datos calculados en los pasos 1 a 18 una tabla (Tabla 5.4).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Nº Datos
Radio
Densidad
Densidad sat
Cohesión
Ang. Fric. Int
Tan < fric
Ym
96.45
89.31
79.74
69.87
59.90
49.94
39.97
30.11
20.13
10.19
0.19
-9.79
-19.65
-29.26
1
4.35
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
12.1
(m)
3
(m)
2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
x
b
Nº Dovela
DATOS: Suelo 1
OH
r=
105
γ=
12.16
γs =
16.48
C=
58.86
φ=
6
Tan φ =
0.105
Ym =
10
66.72
58.27
49.41
41.72
34.78
28.40
22.37
16.66
11.05
5.57
0.10
-5.35
-10.79
-16.18
grados
4
α = arsen (x/r)
KN/m²
m
KN/m²
KN/m²
Kpa
º
0.395
0.526
0.651
0.746
0.821
0.880
0.925
0.958
0.981
0.995
1.000
0.996
0.982
0.960
6
Cos α
18.44
20.70
34.34
10
0.176
8
Tan α
2.532 2.324
1.901 1.617
1.536 1.167
1.340 0.892
1.218 0.695
1.136 0.541
1.081 0.412
1.044 0.299
1.019 0.195
1.005 0.098
1.000 0.002
1.004 -0.094
1.018 -0.191
1.042 -0.290
7
Sec α
KN/m²
KN/m²
Kpa
º
Suelo 2
SC - SM
11.01
19.01
15.36
13.40
12.18
11.36
10.81
10.44
10.19
10.05
10.00
10.04
10.18
12.60
9
l = b/cos α
5.00
15.56
15.92
12.12
8.11
5.27
1.47
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Z1
(m)
10
264.48
1892.10
1935.87
1473.79
986.18
640.83
178.75
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
KN/m
11
W1 = γ * Z1 * b
RESULTADO:
F.S. Jambu =
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Z2
(m)
12
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
KN/m
13
W2 = γs* Z2 * b
SUELO 1: OH
0.67
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
KN/m²
14
0.00
0.00
2.80
5.97
9.92
14.21
19.43
19.17
16.76
11.48
12.15
13.69
11.59
8.50
Z3
(m)
15
0.00
0.00
516.32
1100.87
1829.25
2620.32
3582.89
3534.95
3090.54
2116.91
2240.46
2524.44
2137.20
1896.55
KN/m
16
W3 = γ * Z3 * b
0.00
0.00
6.22
12.95
16.98
19.23
20.05
19.28
17.42
11.26
9.54
4.11
0.00
0.00
Z4
(m)
17
0.00
0.00
1287.54
2680.65
3514.86
3980.61
4150.35
3990.96
3605.94
2330.82
1974.78
850.77
0.00
0.00
KN/m
18
W4= γs* Z4 * b
SUELO 2: SC - SM
fo * {[C'*b + (W − μ * b ) * tanφ]* η}
∑ (W * tanα ) + Q
µ1 = Yw * Z2
F.S =
TABLA 4.4 CÁLCULO POR EL METODO DE JANBÚ
0
0
62.2
129.5
169.8
192.3
200.5
192.8
174.2
112.6
95.4
41.1
0
0
KN/m²
19
µ2 = Yw * Z4
91
1
Cosα * ma
KN/m
22
KN/m²
21
0.00
0.00
62.20
129.50
169.80
192.30
200.50
192.80
174.20
112.60
95.40
41.10
0.00
0.00
264.48
1892.10
3739.73
5255.31
6330.29
7241.76
7911.99
7525.91
6696.48
4447.73
4215.24
3375.21
2137.20
1896.55
0
0
622
1295
1698
1923
2005
1928
1742
1126
954
411
0
0
Fu = µ * b
µ = µ1 * µ2
W = W1+W2+W3+W4
KN/m
20
TOTALES
264.48
1892.10
3117.73
3960.31
4632.29
5318.76
5906.99
5597.91
4954.48
3321.73
3261.24
2964.21
2137.20
1896.55
KN/m
23
W − (µ * b)
27.77
198.67
548.72
697.01
815.28
936.10
1039.63
985.23
871.99
584.62
573.98
521.70
376.15
333.79
KN/m
24
Fφ = [W − (µ * b)]*tag φ
Tanα * Tanφ 

ma = Cosα * 1 +

Fs


η=
256.04
588.60
343.40
343.40
343.40
343.40
343.40
343.40
343.40
343.40
343.40
343.40
343.40
415.51
Fc = C' * b
KN/m
25
283.81
787.27
892.12
1040.41
1158.68
1279.50
1383.03
1328.63
1215.39
928.02
917.38
865.10
719.55
749.30
KN/m
26
(Fc + Fφ)
K=
d=
L=
fo =
F.S Final =
0.244
0.170
0.205
0.157
0.122
0.095
0.073
0.053
0.034
0.017
0.000
-0.017
-0.034
-0.051
27
Tan α * Tan φ
0.50
13.00
164.56
1.035
0.69
0.54
0.66
0.85
0.92
0.97
1.00
1.02
1.03
1.03
1.02
1.00
0.97
0.93
0.89
28
ma
4.69
2.88
1.81
1.46
1.26
1.14
1.06
1.01
0.99
0.99
1.00
1.04
1.09
1.17
Sumatoria
29
η
Supuesto Fs =
m.
m.
2
d
 d   Para c’ = 0 ⇒ k = 0.31
f o = 1 + k  − 1.4  
L
 L   Para c’ > 0, φ’>0 ⇒ k = 0.50

1331.07
2267.34
1614.74
1519.00
1459.94
1458.63
1466.01
1341.92
1203.24
918.74
917.38
899.70
784.31
876.68
18058.70
30
(Fc + Fφ) ∗ η
0.68
614.65
3059.53
4364.26
4687.74
4399.55
3917.79
3259.74
2250.25
1305.81
435.88
8.43
-317.27
-408.21
-550.00
27028.15
KN/m
31
T = W * Tan α
92
93
Calcular el factor de seguridad Fs con la fórmula:
[(C '*b ) + (W − µ * b )* tan φ ']*η
F .S = ∑
∑ (W * Tanα )
F .S =
∑ (Fc + Fφ )*η
∑T
F .S =
18032.08
= 0.67
27028.15
Comparamos: FSCalculado = FSimpuesto.
0.66 ≠ 1
20. Repetir el procedimiento los pasos 14 a 17 para un nuevo FS = 0.68 y comprobar su
Factor de seguridad calculado, de ser el caso repetir la tabla las columnas 28, 29 y 30.
En caso de no igualarse el valor del factor de seguridad calculado con el impuesto
repetir los pasos 14 y 15 para el último factor calculado hasta que se iguale sus
valores.
Supuesto Fs =
ma
28
0.540
0.650
0.850
0.920
0.970
1.000
1.020
1.030
1.030
1.020
1.000
0.970
0.930
0.890
0.68
(Fc + Fφ) ∗ η
η
29
4.69
2.98
1.82
1.46
1.26
1.14
1.06
1.01
0.99
0.98
1.00
1.04
1.09
1.17
Sumatoria
30
T = W * Tan α
KN/m
26
1313.11
2346.06
1623.66
1519.00
1459.94
1458.63
1466.01
1341.92
1203.24
909.46
917.38
899.70
784.31
718.86
17961.28
529.83
3150.35
4401.66
4703.50
4412.21
3917.79
3267.65
2250.25
1305.81
426.98
0.00
-324.02
-416.75
-325.47
27299.79
21. El factor de seguridad calculado es. FS = (17961.28 / 27299.79) = 0.66
FSCalculado = FSimpuesto.
0.66 ≠ 0.68.
∴ Realizar un nuevo cálculo para el último FS.
94
22. Si FS = 0.67
Supuesto Fs =
0.66
(Fc + Fφ) ∗ η
28
29
30
T = W * Tan α
KN/m
26
0.540
4.69
1313.11
529.83
2346.06
1623.66
1519.00
1459.94
1445.84
1452.18
1328.63
1203.24
909.46
917.38
899.70
784.31
718.86
17921.37
3150.35
4401.66
4703.50
4412.21
3917.79
3267.65
2250.25
1305.81
426.98
0.00
-324.02
-416.75
-325.47
27299.79
ma
0.650
0.850
0.920
0.970
1.010
1.030
1.040
1.030
1.020
1.000
0.970
0.930
0.890
η
2.98
1.82
1.46
1.26
1.13
1.05
1.00
0.99
0.98
1.00
1.04
1.09
1.17
Sumatoria
El factor de seguridad calculado es. FS = (17921.37/27299.79) = 0.66
FSCalculado = FSimpuesto.
0.66 = 0.66
Entonces: FS = 0.66.
23. Finalmente se aplica un factor de corrección fo igual a la siguiente fórmula para las
condiciones descritas:
2
d
d  
Para c’ = 0 ⇒ k = 0.31
f o = 1 + k  − 1.4  
L

Para c’ > 0, φ’>0 ⇒ k = 0.50
L 

Donde:
K = 0.50
d=
13.00 m
L=
164.56 m
2
 13.00

13
.
00


 = 1.035
− 1.4
f o = 1 + 0.50

 164.56

164
.
56




F .S = f o * F .S = 1.035 * 0.67 = 0.69
∴ FS Final = 0.69
5.6 COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS ESTUDIADOS
Para iniciar el análisis de comparación entre los métodos propuestos es necesario conocer los
parámetros geotécnicos resultantes de los ensayos de laboratorio. Así mismo es necesario
identificar el tipo de ensayo que se utilizó para la determinación de los parámetros
95
geotécnicos, pues este simple hecho de selección puede ser una de las causas más comunes
de error y de variación de resultados.
Una vez realizados los cálculos por los diferentes métodos empleados, los resultados
obtenidos al aplicar las hojas de cálculo. Los resultados de valores de factor de seguridad
calculados se presentan en la Tabla 5.5.
Tabla 5.5 Presentación de resultados mediante el cálculo manual.
FACTORES DE SEGURIDAD
VALORES FS
Métodos
Bishop
Fellenius
Casos
simplificado
Caso 1
R = 95 m
0.77
0.80
C (100,125)
Caso 2
R = 100 m
0.70
0.74
C (100,125)
Caso 3
R = 105 m
0.65
0.70
C (100,125)
Caso 4
R = 85 m
0.72
0.74
C (105,115)
Caso 5
R = 90 m
0.69
0.74
C (105,115)
Caso 6
R = 95 m
0.64
0.69
C (105,115)
Caso 7
R = 95 m
0.74
0.78
C (120,125)
Caso 8
R = 100 m
0.69
0.74
C (120,125)
Caso 9
R = 105 m
0.65
0.70
C (120,125)
Caso 10
R = 95 m
0.70
0.75
C (100,120)
Caso 11
R = 95 m
0.70
0.75
C (110,120)
Caso 12
R = 85 m
0.71
0.75
C (100,110)
Caso 13
R = 85 m
0.69
0.74
C (110,110)
Janbú
0.81
0.76
0.70
0.76
0.72
0.71
0.79
0.73
0.72
0.78
0.76
0.76
0.73
Los métodos de estabilización de taludes aproximados son los más utilizados y dentro de
ellos se destaca el método de Bishop como el más confiable y el más difundido entre los
profesionales
96
Por tanto, en la tabla anterior se representan los casos más probables escogidos para el
análisis de taludes y en particular para la evaluación de los métodos en nuestro proyecto
respecto al método de Bishop. De esta tabla podemos apreciar:
1. La variación de los valores de FS dentro de un mismo método depende de la exactitud y
de que tan dispersos estén los puntos de prueba para la inmensa gama de superficies de
falla.
2. Como se puede observar en la misma tabla, cuando se incrementa el radio desde un
mismo centro de la superficie de falla, el valor de FS disminuye, por cuanto se aumenta
las fuerzas desestabilizadoras representadas por la masa del suelo.
Con la ayuda del Internet encontramos el programa aplicable al cálculo de Factores de
seguridad, como el caso de SLOPE/W. Los valores se presentan en la Tabla 5.6.
Tabla 5.6 Presentación de resultados mediante el programa SLOPE/W
Factores mínimos de Seguridad
Momentos
Fuerzas
Fellenius
0.640
Bishop
0.706
Janbú
0.670
Los factores de seguridad obtenidos por los métodos manual y por el programa SLOPE/W se
verifica que se obtiene valores menores a uno (1).
El factor de seguridad mínimo contra la falla por capacidad de carga de un terraplén, talud o
muro sobre un suelo blando, a corto plazo, debe ser mayor que uno (FS ≥ 1).
El sistema de equilibrio límite supone que en el caso de una falla, las fuerzas actuantes y
resistentes son iguales a lo largo de una superficie de falla equivalentes a un factor de
seguridad de 1.0
97
98
99
100