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La tecnología en el aula de clase: De las calculadoras
graficadoras a los ambientes virtuales de aprendizaje
Elvia Rosa Ruiz Ledezma
CECyT Wilfrido Massieu, Instituto Politécnico Nacional, Av.de los Maestros 217,
Colonia, Casco de Santo Tomás, C.P. 11340, México D. F.
E-mail: [email protected]
Resumen
En este trabajo queremos mostrar la evolución del uso de la tecnología en diversas situaciones didácticas para la
enseñanza/aprendizaje de las matemáticas. Partimos del punto de que en el aula cada día es más común el uso de las
nuevas tecnologías, aunque en la mayoría de las ocasiones no se muestran ni exhiben razones o evidencia de que su uso
produzca cambios en la forma de aprender o en los resultados escolares de los alumnos. De inicio la introducción de la
tecnología en investigaciones que implementaron calculadoras graficadoras, adoleció de un sustento teórico y en otras
usaron la teoría de los sistemas de representación. Más recientemente se implementaron los sistemas CAS incluyendo
la dimensión instrumental de los procesos de aprendizaje, nació la teoría de la aproximación instrumental, encaminada
al desarrollo de aproximaciones socio-culturales.
Palabras clave: Nuevas tecnologías, software, génesis instrumental, ambientes CAS, aproximación instrumental.
Abstract
In this work, we want to show the evolution of the use of technology in various teaching situations for teaching and
learning mathematics. We start from the point that in the classroom is more common the use of new technologies,
although in the majority of cases they do not show or exhibit reasons or evidence of its use to produce changes in the
way of learning or schooling outcomes of students. At the beginning, the introduction of technology in research
implementing graphing calculators suffered from a lack of theoretical support. In others, they used systems of
representation theory. More recently, the CAS systems including the instrumental dimension of learning processes have
been implemented. The theory of the instrumental approach was born, is aimed at the development of socio-cultural
approaches.
Keywords: New tecnologies, software, Instrumental génesis, CAS enviromen, Instrumental approach.
PACS: 01.40.-d, 01.40.E-, 01.50.H-
ISSN 1870-9095
Computacionales) [2] y también el uso de software de
geometría dinámica como son Cabri-Géomètre y Logo; los
cuales en su momento fueron exitosos como lo demuestran
investigaciones de Tinoco [3] y Sacristán [4].
En el presente siglo y hasta la fecha con la construcción
teórica de la aproximación instrumental se ha profundizado
sobre el uso de la tecnología en las clases de matemáticas,
no siendo solamente adaptaciones de actividades en lápiz y
papel
sino
actividades
encaminadas
hacia
la
conceptualización y la socialización del conocimiento [5].
Otros aspectos que también presentamos son el empleo de
tutoriales en el aula, el empleo de software y las ventajas y
desventajas del uso de estas herramientas tecnológicas y
cómo han adquirido sentido desde la Aproximación
Instrumental.
Además, el desarrollo acelerado de las tecnologías de la
información y comunicaciones (TIC), a las que cada vez
más de nuestros estudiantes tienen acceso [6] y que ha
provocado la producción acelerada de programas que son
utilizados en todos los ámbitos de nuestra vida, transforman
y agilizan muchas tareas. Desde esta perspectiva permiten
I. INTRODUCCIÓN
En este escrito mostramos como el proceso de introducir la
tecnología en la enseñanza de las matemáticas ha sufrido
diversas transformaciones, al mismo tiempo que la
evolución de las herramientas tecnológicas ha influenciado
a las teorías de la Matemática Educativa (ME); lo anterior
ha permitido abordar las diferentes problemáticas surgidas
alrededor del uso de estas herramientas en el aula.
En el último cuarto del siglo pasado se implementaron
diversas propuestas didácticas a realizar con la ayuda de
calculadoras graficadoras, hojas de cálculo, programas
computacionales, etc. A inicios de los años ochentas la
utilización de calculadoras graficadoras permitió al
estudiante visualizar rápidamente comportamientos de
gráficas de funciones que al realizarse con lápiz y papel
eran muy tediosos y difíciles de observar, así la pauta
teórica dentro de la ME la dieron los registros de
representación de Duval [1]. Posteriormente en los
noventas se inició la utilización de programas
computacionales de cálculo formal llamados CAS
(Computer Algebra Systems = Sistemas Algebraico
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estudiar de manera diferente los campos de la ciencia, la
ingeniería y la didáctica [7].
Actualmente nos preguntamos ¿si es posible enseñar
ciencias en línea?, como con el uso de un laboratorio virtual
de física [8], o los entornos virtuales donde participan gran
cantidad de usuarios conectados en red llamados MUD
(Multi- User Dungeon/Domain/Dimension). Dieterle y
Clarke [9] presentan cómo MUVEs (multi-user virtual
environments) se han utilizado en la educación y como
pueden utilizarse para la enseñanza inmersos en un
contexto psicosocial.
permitirá redireccionar el currículum hacia una disminución
del cálculo simbólico y numérico, favoreciendo la
profundización en el aprendizaje conceptual.
Ruthven [12] comparó el desempeño de estudiantes (1518 años) en tareas matemáticas que tenían acceso
permanente a las calculadoras gráficas, con el de
estudiantes con bases similares, pero sin acceso regular a
esa herramienta. El cuestionario tenía 12 elementos gráficos
para que el estudiante encontrara su correspondiente
notación algebraica, esto es, se pretendía observar si los
estudiantes eran capaces de articular la representación
algebraica con la gráfica de la función presentada. Los
resultados proporcionaron una fuerte evidencia tanto de
reconocimiento como de refinamiento superior por parte del
grupo que tenía acceso permanente a las calculadoras
graficadoras.
Sin embargo, hay investigaciones que muestran que el
uso de la calculadora graficadora quizás no facilite el
aprendizaje de temas particulares de precálculo y que el
aprendizaje de muchos conceptos gráficos tampoco es
facilitado por esta herramienta [10]. Aunque estos
investigadores si encontraron que si bien es posible que
suceda lo mencionado, la calculadora graficadora permitió
a los estudiantes la mayoría de las veces tener un mejor
entendimiento al relacionar la expresión algebraica con su
gráfica correspondiente y además ellos tendieron a
conjeturar y generalizar.
Del Puerto y Minnaard [13] también describieron el uso
de la calculadora gráfica en el nivel superior; mencionando
que “Las calculadoras gráficas facilitan la exploración y el
descubrimiento, favoreciendo una activa aproximación al
aprendizaje y no solamente permiten el trabajo individual,
pues las investigaciones indican que promueven la
interacción entre estudiantes y maestros” [13]. Además, la
investigación menciona los obstáculos que se presentaron
en el nivel básico pese a que el nuevo currículum sugiere, a
partir del segundo ciclo de Educación General Básica, el
uso de la calculadora como herramienta para la realización
de cálculos numéricos.
En esta primera etapa las investigaciones presentadas
fueron exitosas, para los objetivos planteados, dado que la
herramienta es portable (puede ser llevada al salón de
clases), permite la visualización de la gráfica, de igual
manera se puede desplegar el registro numérico y podemos
obtener gran cantidad de información de la función que se
está trabajando. Con todas las bondades encontradas,
todavía en las aulas no se ha implementado, habiendo cierto
rechazo de los profesores para su uso y la organización del
currículo en ambientes informáticos [2].
Ese el caso de las dificultades que vieron maestros y
directores [13] para emplear calculadoras en el aula: temor,
no estar disponibles en las instituciones, falta de
capacitación, costo, falta de tiempo, entre otros. Por lo que
se refiere a los maestros de los que habla esta investigación,
coinciden en que su uso intensivo puede tener efectos
negativos sobre el aprendizaje no beneficiando a los
alumnos en la retención e internalización de las
operaciones; por lo que las creencias de los maestros
contribuyen a no estar de acuerdo con la incorporación de
II. CALCULADORAS GRAFICADORAS
A. Introducción de la herramienta
En este primer apartado como antecedentes del uso de la
tecnología, presentamos resultados de investigaciones que
consideramos muestran cómo el uso de las calculadoras
graficadoras y las calculadoras avanzadas (también
llamadas súper-calculadoras) despertaron gran interés entre
los educadores matemáticos. A casi 30 años de la aparición
de la calculadora CASIO fx 7000g recordamos comentarios
de investigadores que las consideraban como una
herramienta que contaba con el potencial para revolucionar
la ME, tanto en la manera en que ésta se enseña como en
los contenidos y énfasis del currículo escolar [10].
Muchas investigaciones como las que mencionaremos,
están dirigidas a su efectividad como una herramienta para
la enseñanza y aprendizaje en cursos de precálculo y
cálculo. Algunos resultados obtenidos sugieren que estos
instrumentos pueden facilitar el aprendizaje de conceptos
sobre funciones y graficación, desarrollar habilidades de
visualización espacial, promover la exploración y provocar
un cambio en el énfasis que se venía haciendo en la
manipulación simbólica y demostración algebraica hacia la
representación gráfica; examinando las relaciones entre
representaciones gráficas, algebraicas y geométricas [10].
Particularmente Dick [11] presentó el caso de un estudiante
universitario en la clase de cálculo, al que una supercalculadora le permitió proyectar una solución a un
problema de manera lógica y directa, pudo tener un acceso
más efectivo a múltiples representaciones, (gráfica,
numérica y simbólica) así también la oportunidad de
verificar su resultado simbólico regresando al registro
gráfico.
Lo anterior pone en evidencia que las calculadoras
graficadoras pueden aportar cambios importantes en la
enseñanza de las matemáticas en el salón de clase. Un
mayor acceso a múltiples representaciones y una mayor
oportunidad para un enfoque en la resolución de problemas.
Sobre la resolución de problemas Dick [11] comenta que el
uso de una calculadora graficadora nos provee de más
tiempo instruccional en el desarrollo del problema, (al
reducir la atención en la manipulación algebraica) más
herramientas de solución y una mayor percepción al hacer
uso del registro gráfico. Por lo que para Dick la utilización
de la calculadora graficadora en el contexto escolar
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la calculadora en el currículum de la escuela básica en
Argentina.
A pesar de estos obstáculos mencionados, otras
investigaciones sobre el uso de la calculadora la
recomiendan comentando que su empleo promueve que los
alumnos generen información acerca de un problema dado,
organicen dicha información a través de su uso, exploren
patrones, entre otros [10]. Lo anterior puede comprenderse
aún más si tomamos en cuenta que implementar esta
herramienta, genera otro tipo de organización didáctica, en
la que hay que diseñar actividades específicas y no triviales;
así como el diseño de una evaluación con el uso de este
instrumento.
Respecto a la evaluación del aprendizaje de los
estudiantes con el uso de la calculadora graficadora se
propone realizar estudios cualitativos de las funciones,
como por ejemplo analizar las gráficas de las funciones en
lugar de solo trazarlas [14]. Así también se debe incorporar
la herramienta en actividades evaluadas como tareas y
exámenes [14].
Debemos señalar que en los últimos 15 años los
investigadores han sido más cuidadosos en los resultados de
su uso [15]. Debido a que estas herramientas no se
convierten de inmediato en instrumentos matemáticos
eficientes ya que se requiere cierta experiencia para su uso
[5]. También debe tomarse en cuenta que la herramienta no
solo facilite una práctica matemática eficiente sino que
permita sentar las bases de una cultura matemática
permeada de valores sociales que determinen las relaciones
con el mundo y su interpretación. Pues como observamos,
los reportes de investigaciones que conformaron la primer
década del uso de esta tecnología no daban respuestas
claras de cómo las calculadoras graficadoras podían ser
usadas para maximizar aprendizajes ni sugerían el tipo de
prácticas o ambientes de aprendizaje que bridaran amplios
beneficios a nuestros estudiantes.
Sin embargo, en este siglo las investigaciones sobre el
impacto de las calculadoras graficadoras en la enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas han madurado y se ha
extendido el uso de esta herramienta. En países como
Inglaterra, Francia, Escocia, Suecia, Noruega y Finlandia
las calculadoras gráficas no simbólicas están permitidas
oficialmente en los exámenes; en Portugal, Francia, Austria
y Eslovenia se recomienda el uso de sistemas de cálculo
simbólico. Según el informe de la Encuesta Nacional de
Ciencia y Educación Matemática 2000, más del 80% de los
profesores de matemáticas de secundaria de Estados Unidos
que fueron entrevistados utilizan calculadoras graficadoras
en sus aulas [16].
En 2002 Texas Instruments en asociación con la
Universidad Estatal de Michigan y bajo la dirección de Gail
burrill ex presidente del National Council of Teachers of
Mathematics (NCTM), hizo una revisión exhaustiva de
investigaciones en todo el mundo sobre el uso de la
calculadora graficadora [16]. Los resultados obtenidos
fueron más de 180, pero solo 43 fueron considerados por
cumplir con estrictos criterios de arbitraje. Los estudios
fueron agrupados alrededor de cinco preguntas:
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1) ¿Cómo usan los profesores las calculadoras graficadoras
y cómo relacionan su conocimiento y creencias con la
tecnología, las matemáticas y la enseñanza de las
matemáticas?
2) ¿Con qué tipo de tareas matemáticas los estudiantes
escogen usar la calculadora graficadora?
3) ¿Qué conocimientos y destrezas matemáticas son
aprendidas por los estudiantes que usan calculadoras
graficadoras?
4) ¿Qué ganan matemáticamente los estudiantes que
utilizan la tecnología de la calculadora graficadora que no
puede ser observado en ambientes no tecnológicos? y
5) ¿esta tecnología tiene efectos similares en el desempeño
de estudiantes de diferente sexo, status socio-económico y
grupos de excelencia?
B. Otras formas de trabajo
Considerando el desarrollo alcanzado por las calculadoras
como los CAS y otros softwares en este bloque de
investigaciones contemplamos otros factores, que en un
principio no fueron tomados en cuenta, como por ejemplo
la argumentación, análisis de comportamientos gráficos,
reforzamiento de explicaciones, etc.
Cedillo [17] reportó una investigación que utilizó al
software Derive, el trabajo fue en México sobre el
desempeño de 800 profesores de matemáticas que
atendieron cerca de 200000 estudiantes (12-15 años) en un
periodo de cuatro años. El estudio incluyó dos aspectos,
uno buscó estudiar lo que ocurre en el proceso enseñanzaaprendizaje de la aritmética y el álgebra en un ambiente
computarizado. Se utilizó la versión Derive instalada en la
calculadora TI 92. Como resultados alentadores se observó
que bajo estas nuevas formas de trabajo en el salón de
clases los estudiantes descubren resultados matemáticos y
generan argumentos sólidos. Sin embargo también se vio
que los profesores no están empleando suficientes recursos
de manipulación simbólica, como los que ofrece un sistema
algebraico computarizado debido a que consideran que los
estudiantes deben dominar primero los algoritmos para la
transformación algebraica mediante técnicas tradicionales
de lápiz y papel.
En 2003 Solis [18] presentó una investigación realizada
en un ambiente gráfico de simulación. El objetivo de su
trabajo se centró en el estudio del entendimiento de las
ecuaciones diferenciales lineales a través de la observación
de situaciones visuales y analíticas que se presentaron en
las estrategias de los estudiantes cuando resuelven
problemas. Para llevar a cabo el estudio creó un ambiente
gráfico acentuando la idea de simulación, usando
calculadoras graficadoras.
Las actividades se implementaron con estudiantes de la
Universidad Autónoma de Chiapas que ya sabían resolver
ecuaciones lineales de primer orden, pero cuando se les
presentó la actividad que contenía las ecuaciones y sus
gráficas no intentaron resolver algebraicamente, su atención
se centró en los comportamientos gráficos. El diseño y la
aplicación se llevó a cabo en dos partes: primeramente un
grupo que cursaba ecuaciones diferenciales respondió un
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cuestionario. En segundo lugar otro grupo distinto participó
en una entrevista clínica donde se tuvieron hojas divididas
en dos columnas; en una de ellas se proponían ecuaciones
diferenciales y en la otra gráficas, para que fueran
relacionadas. Asimismo, en la solución de las actividades se
observó que los estudiantes trasladan las propiedades
geométricas de una curva conocida al contexto de las
ecuaciones diferenciales.
Además encontró que los alumnos refuerzan sus
explicaciones, argumentando a través del registro gráfico,
con el uso de dispositivos tecnológicos, donde las funciones
son graficadas y vistas de manera global, sin poder
analizarse el proceso de construcción. Por otra parte a las
explicaciones que conforman el argumento de los
estudiantes se les llamó comportamiento tendencial de las
funciones convirtiéndose en un organizador de los
contenidos del cálculo.
Otras observaciones importantes que se desprenden de
esta investigación son:
-Las calculadoras y otras herramientas que grafican
funciones hicieron que los estudiantes fijaran su atención en
la forma global de la gráfica, favoreciéndose así estos
argumentos gráficos
-El método estándar de solución para las ecuaciones en
cuestión no favoreció el análisis gráfico
-Los estudiantes pudieron construir un método de solución
de un tipo particular de ecuaciones diferenciales a partir de
reconocer patrones analíticos
En este paso por el uso de la calculadora graficadora nos
damos cuenta que en su evolución, ya no solamente
predomina el registro gráfico donde el estudiante obtenía un
primer acercamiento a la forma de la gráfica; ahora hace
conjeturas, puede pensar recursivamente, su apreciación
numérica aumenta, etc.
En el siguiente apartado incluimos una teoría de la ME
en la que se han basado estudios que también utilizan como
tecnología la calculadora graficadora.
III.
SISTEMAS
REPRESENTACIÓN
SEMIÓTICOS
asíntotas como parte de la gráfica de la función,
proponiendo más intersecciones [15].
Otros estudios relevantes dan pie a reafirmar el uso de la
calculadora graficadora desde la perspectiva de los registros
de representación, por ejemplo Janvier [20] habla de los
procesos de traslación (directo e indirecto), interesándole
las traslaciones indirectas que son en donde se presentan las
mayores dificultades; para subsanarlas propone un puente
de apoyo (registros intermedios) en las conversiones entre
dos registros de representación, como es el caso del paso
del registro gráfico al algebraico en donde es conveniente
usar como intermediario el registro tabular, registro que
explícitamente nos puede proporcionar la calculadora y que
nos hará más fácil la construcción de la expresión
algebraica correspondiente a la gráfica presentada.
Podemos concluir que estas herramientas proporcionan
un ambiente ideal para que los estudiantes integren las
representaciones numérica, gráfica y simbólica de las
relaciones matemáticas; teniendo como soporte actividades
didácticas que favorezcan el aprendizaje conceptual.
IV. USO ESPECÍFICO DE SOFTWARE Y SU
IMPLEMENTACIÓN EN EL USO DE LA
COMPUTADORA
Los investigadores en ME también han utilizado
computadoras y una amplia gama de software de
matemáticas como por ejemplo: Derive, Cabri (incluido en
algunas calculadoras), Logo, etc., para el aprendizaje de las
matemáticas.
En su investigación González [21] desarrolló una
introducción al estudio de las ecuaciones diferenciales
usando como recurso didáctico el paquete matemático
Maple
para
reforzar
definiciones,
teoremas,
comportamiento gráfico de soluciones y que pudieran ser
llevadas a cabo por el estudiante con un mínimo
conocimiento del paquete; haciendo énfasis en la
representación gráfica de soluciones. La experiencia se
realizó en la carrera de Ingeniería informática de la UCLA
en Venezuela. La utilización de Maple se debió a su
potencial de graficación ya que es especialmente versátil
para los efectos de visualización del campo direccional así
como para las particularidades del problema, según las
condiciones iniciales.
Sacristán [4] utilizó Logo en una investigación con el
objetivo estudiar el infinito matemático para ello construyó
un ambiente o micromundo computacional, en donde los
estudiantes, mediante actividades de programación
pudieron construir y explorar diferentes tipos de
representaciones (simbólica, gráfica y numérica) de
procesos infinitos, en específico sucesiones y series
infinitas. La población estuvo conformada por cuatro
parejas de estudiantes (15-18 años) que a través de estudios
de caso, analizó como las herramientas del micromundo
fueron utilizadas en la estructuración de las actividades y a
su vez de cómo dieron sentido a los procesos estudiados. El
marco teórico fue de tipo constructivista enfatizando la
importancia de las representaciones en el proceso de
DE
En el marco de los sistemas semióticos de representación
Hitt [19] analiza la construcción de conceptos desde una
teoría de las representaciones por parte de los estudiantes,
particularmente sobre la problemática del uso de la
calculadora gráfica para la construcción de conceptos en el
aula de matemáticas. Comenta que es necesario hacer un
uso reflexivo de la tecnología y además en el desarrollo de
habilidades matemáticas, el empleo de diferentes
representaciones constituye una herramienta fundamental
para la resolución de problemas. Un grupo de estudiantes
presentó dificultades al tratar de resolver la ecuación
tan(x)=x, esto fue porque los alumnos no tomaban la
pantalla como si fuera una ventana en donde solamente
estaban observando una parte de la gráfica y además
tuvieron dificultad en interpretar lo que percibían en esa
ventana, pues algunos estudiantes consideraron a las
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aprendizaje. La autora comenta que la computadora al
permitir el uso de representaciones simbólicas, numéricas y
visuales dinámicas, puede ser utilizada como un medio de
exploración donde los estudiantes pueden expresar ideas.
Las actividades de construcción en Logo por parte de los
alumnos incluyeron modelos gráficos de algunas sucesiones
infinitas y sus series correspondientes.
Los alumnos pudieron investigar el comportamiento de
procesos infinitos como la velocidad de convergencia y fue
un aspecto importante para que encontraran explicaciones y
construyeran significados del por qué algún proceso era
convergente o divergente. Al explorar la sucesión y serie
armónica
los
estudiantes
observaron
el
lento
comportamiento de convergencia de la sucesión, la
divergencia de la serie y el efecto de la velocidad de
convergencia de la sucesión en el comportamiento de la
serie correspondiente. Coordinaron el elemento visual con
el numérico y lo complementaron con el análisis de la
fórmula matemática.
Díaz [22] desarrolló una propuesta metodológica para la
enseñanza avanzada de la geometría empleando el ambiente
computacional Cabri-Géometrè. En lo teórico se argumentó
que en la currícula tradicional el sujeto interactúa con los
objetos geométricos a través de imágenes fijas, sin ser
posible alterarlas en posición o magnitud dentro de una
misma construcción teniendo que ser reconstruidas para dar
más información gráfica; convirtiéndose este proceso en
laborioso, no pudiéndose apreciar cambios graduales a los
elementos de la imagen.
Bretscher [23] realizó una investigación con 23
estudiantes de una escuela primaria privada, con altos
promedios en matemáticas. Los alumnos trabajaron en
parejas una secuencia con 5 lecciones usando cabrigéometrè. Surgiendo tres estrategias de enseñanza para
facilitar la génesis instrumental de los estudiantes en el
cabri y más generalmente en el software de geometría
dinámica.
En este mismo sentido, Soury-Lavergne [24] mencionó
en su investigación cómo con el uso del modo drag del
cabrí géometrè en un ambiente de geometría dinámica
elaborando y probando actividades se logra la iniciación de
alumnos de 11 años en el razonamiento deductivo.
Trabajándose la identificación de las propiedades
geométricas de las figuras contrariamente a sus propiedades
gráficas. Así mismo comenta que el drag tiene un rol
crucial para el éxito de las actividades, debiéndose tener
mayor atención en el modo que los estudiantes deben
usarlo.
Tinoco [3] diseñó estrategias didácticas para la
enseñanza de la variación lineal, utilizando también cabrigéometrè. Investigó los efectos de la aplicación de las
estrategias en el uso de las gráficas y sobre el nivel de
conceptualización de la variación lineal. Como referente
teórico utilizó los registros semióticos de representación, en
donde para la comprensión del objeto matemático se
requiere de la articulación de al menos dos registros de
representación. En este sentido el estudiante puede
exteriorizar las diferentes representaciones mentales que
tiene del concepto, preservando su significado.
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El estudio se llevó a cabo con un grupo de 38
estudiantes (15-18 años) en Cuautla, México. Se diseñaron
dos construcciones con el software en las que los alumnos
pudieron explorar y descubrir las propiedades de las
gráficas de la variación lineal, relacionándolas con su
expresión algebraica correspondiente. Al final se encontró
en los estudiantes un avance significativo en la deducción
de la expresión algebraica que correspondía a una gráfica
dada, repercutiendo en el nivel de conceptualización de la
variación lineal.
La investigación de Camacho y Depool [25] se centró en
torno a dos aspectos principales: el curricular y el
actitudinal. Previo al estudio del cálculo diferencial los
autores intentaron introducir el concepto de integral
definida como área bajo una curva desde la perspectiva
gráfica y numérica utilizando Derive, analizando la
viabilidad de esta modificación, así como las posibles
dificultades que surgieron en su implementación. En lo
actitudinal se analizaron los posibles cambios de las
actitudes de los estudiantes que desarrollaron secuencias de
aprendizaje utilizando el software. Se usó una adaptación
de la escala de actitudes de Artigue y Lagrange,
conservando la categorización inicial. Se tomó una muestra
de 58 estudiantes que conocían Derive divididos en dos
grupos. Un experimental de 14 alumnos y otro de control
con 44. El primer grupo trabajó en una sala con 15
computadoras y el segundo con métodos tradicionales.
Al finalizar el trabajo los investigadores aplicaron un
cuestionario de 32 preguntas, agrupadas en tres partes y con
sus respectivos indicadores. Después de un análisis
cuantitativo, los autores encontraron lo reportado por otros
investigadores en cuanto a que las creencias de los
estudiantes sobre las matemáticas y sobre si mismos juegan
un papel importante en el desarrollo de respuestas afectivas
a situaciones matemáticas y que las emociones que
experimentan al someterlos a un tratamiento donde se
utilicen nuevas tecnologías son positivas Además el uso de
programas de álgebra simbólica con el empleo de
actividades de enseñanza específicas, crean un entorno de
aprendizaje útil para la enseñanza de las matemáticas y
pueden resultar determinantes para separar los aspectos
actitudinales de los procedimentales.
En O´Farrill, Rodríguez, Durán, Vázquez y Díaz [26] se
muestra un proyecto de investigación pedagógica para
transformar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la
disciplina matemática básica en una carrera de ingeniería
con base en el uso de la informática. El trabajo se centró en
perfeccionar la asignatura Álgebra Lineal para el perfil de
una carrera de Ingeniería informática en Cuba,
introduciendo la tecnología informática como tecnología
educativa para el desarrollo de procesos de enseñanzaaprendizaje que desarrollen en los estudiantes capacidades
para aprender a aprender.
Usaron como indicador del desarrollo de los estudiantes
su desempeño en la resolución de problemas matemáticos.
Por lo que proponen el desarrollo de una enseñanza
sistémica a través de la resolución de problemas,
considerando que de esta manera los estudiantes tienen la
posibilidad de emplear sus estructuras cognitivas. Los
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temas a desarrollar a través de la resolución de problemas
fueron: sistemas de ecuaciones lineales, cambios de base y
aplicaciones lineales, y diagonalización. Propusieron la
discusión de la modelación del problema, usando Derive
desarrollaron un software educativo en el que han estado
trabajando para el rediseño de la asignatura.
De las investigaciones mencionadas en esta sección,
podemos observar que el empleo de la tecnología y los
software usados, no siempre son suficientes y no
necesariamente garantizan el éxito. Balacheff [27] propone
que en el diseño de ambientes tecnológicos para la
educación, se contemple al estudiante como eje central y
tener como objetivo el conocimiento siendo la interacción
la base del diseño de este entorno. Cuando habla de
conocimiento se refiere a las construcciones intelectuales
que la sociedad ha institucionalizado y las construcciones
intelectuales que se producen en el ser humano como
resultado de resolver problemas o realizar tareas.
investigaciones pedagógicas sobre las dificultades en
matemáticas que presentan los estudiantes de nivel medio
que optan por ingresar a carreras universitarias. Dividieron
la realización de tutoriales en cuatro temas centrales:
Preparación para los exámenes de ingreso, introducción al
cálculo Diferencial e Integral, Estadística paramétrica y
Estadística no paramétrica.
Consideraron que un sistema tutorial de enseñanza
necesita representar el conocimiento y modelar tal
estructura a través de principios y estrategias de desarrollo
de hipertextos. Uno de los modelos para el diseño del
contenido de un curso combina tres componentes
fundamentales: exposición, red de preguntas y monitor de
solución de problemas; incluyendo módulos para el
administrador del aprendizaje, el generador del aprendizaje,
la estrategia de aprendizaje, el modelo del estudiante e
historial y perfil del estudiante. Los investigadores
concluyeron que utilizar multimedia e hipermedia en el
proceso de enseñanza/aprendizaje de la matemática, y en
particular el cálculo, benefician al estudiante en cuanto al
incremento de retención, de motivación, mayor
individualización y flexibilidad en los periodos de
formación entre otros.
Otros investigadores [29] realizaron una proyecto cuyo
objetivo fue estructurar clases con el empleo de asistentes
matemáticos y de una colección de tutoriales para la
enseñanza/aprendizaje de las matemáticas, orientados al
trabajo en un ambiente de red. En la elaboración de la
propuesta metodológica de los sistemas de clase se tuvieron
cinco etapas: Análisis de necesidades educativas, selección
del software matemático a utilizar, diseño de los trabajos
científicos a realizar, desarrollo de los trabajos y su
validación. Los temas abordados con el uso de asistentes
matemáticos fueron: Trigonometría, funciones elementales,
métodos numéricos, cálculo, entre otros. Los tutoriales
incluyeron un juego de temarios, textos, gráficos, ejemplos
de soluciones de problemas de tipo tradicional. Los
investigadores concluyeron que la articulación de la
informática en la escuela debe comenzar con la
capacitación de los profesores y las experiencias adquiridas
fueron en el diseño y estructuración de los contenidos a
abordarse en la clase computarizada.
En el mismo rubro Cuevas, Mejía y Andreu [30]
introdujeron y propusieron un Sistema Tutorial Inteligente
(STI), como un colaborador del profesor que comparte con
él las tareas docentes con un planteamiento didáctico
transparente en su diseño. El STI incluyó la creación de un
banco de problemas y está enfocado para apoyar la
enseñanza de un curso tradicional de cálculo diferencial.
Como referente teórico los investigadores mencionaron que
uno de los usos de la computadora es en los sistemas
tutoriales, cuyas ventajas principalmente son: La
instrucción individualizada e interactiva, el poder trasladar
la experiencia de un grupo interdisciplinario de
profesionales y científicos de la enseñanza a un programa
de computadora, eliminar algunos problemas causados por
la comunicación directa entre el alumno y el profesor.
El planteamiento o estructura didáctica del sistema,
siguió el modelo didáctico propuesto por Cuevas, Mejía y
V. APLICACIÓN DE TUTORIALES
En el uso de los tutoriales para la enseñanza de la
matemática tenemos la investigación de Melgarejo [28] que
se centró en el planteamiento de un modelo para la
evaluación del aprendizaje y la propuesta de otro modelo
para la estrategia pedagógica basado en la teoría de la
formación por etapas de las acciones mentales y en la teoría
matemática de los conjuntos de frontera imprecisa. Su
objetivo fue mostrar la utilidad de los anteriores modelos en
la implementación de un tutorial inteligente para el tema de
trazado de curvas.
La investigación se realizó en Cuba con estudiantes
universitarios de ingeniería. De los tutoriales que fueron
estudiados en la investigación, las estrategias pedagógicas
utilizadas se basan en las repuestas de los estudiantes. Se
usó el tutorial Salomón basado en la teoría de la formación
por etapas de las acciones mentales, pero este tutorial solo
es inteligente en la componente pedagógica, el estudio y
profundización en las formas de procesar y modelar el
conocimiento pedagógico. El funcionamiento del tutorial se
explicó teniendo en cuenta la estructuración en: examen
inicial, preguntas de comprobación, dominio, simetría,
extremos, concavidad-convexidad, asíntotas, monotonía y
trazado de curvas.
El tutorial se validó, en lo didáctico, en dos fases: una
como tutorial en donde los alumnos solo tomaron clases en
la computadora. La otra utilizándolo como consulta donde
los alumnos recibieron las clases en el aula. Como
conclusión los investigadores vieron que el uso del tutorial
resulta efectivo en el proceso de enseñanza/aprendizaje de
los alumnos, además que brinda más ventajas con los
alumnos buenos y regulares cuando es usado como tutorial.
También sobre tutoriales, Fernández y Lima [29]
analizaron la tecnología empleada en la enseñanza de las
matemáticas y su tendencia. Así mismo describieron un
modelo combinado para el diseño de un curso y un modelo
de tutoriales para computadoras personales. Los
investigadores tomaron como base resultados de
Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 8, No. 2, June 2014
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La tecnología en el aula de clases: De las calculadoras a los ambientes virtuales de aprendizaje
Andreu [30]. En la propuesta didáctica, se sugirió que cada
vez se enseñe un concepto trascendente en el curso y se
propongan actividades posteriores que involucren al
concepto para la comprensión de otros conceptos más
complejos. Otra parte importante es intentar situar el
concepto en diferentes registros de representación
promoviendo la articulación entre ellos. Al final los autores
recomiendan que para iniciar un tema o dar un concepto
matemático es conveniente hacerlo partiendo de uno o
varios problemas que constituyan el llamado proyecto de
acción y cuya solución lleve a los estudiantes a la
adquisición de los conceptos matemáticos propuestos.
Hasta el momento hemos presentado investigaciones de
diversos tipos, iniciando con calculadoras graficadoras,
pasando por software, utilizando otras herramientas
tecnológicas (computadoras), estudios basados en la teoría
de los sistemas semióticos de representación y la inclusión
de tutoriales; percatándonos que aún hay mucho más que
trabajar con la ayuda de estas herramientas y así
encontramos diversas recomendaciones como menciona
Abraira [31], del por qué las nuevas tecnologías en la
enseñanza de las matemáticas. Abraira toma en cuenta las
consideraciones que el NCTM [32] menciona en relación
con este tema entre las que se encuentran:
Los estudiantes deben disponer de calculadoras
adecuadas.
En todos los salones de clase debe existir una computadora.
Todos los estudiantes deben tener acceso a una
computadora para el trabajo individual y por equipo.
Los estudiantes deben aprender el manejo de la
computadora como herramienta para el proceso de
información y la realización de cálculos en la investigación
y resolución de problemas.
Asimismo, la investigadora comenta que los estudiantes
deben estar en condiciones de usar los recursos
tecnológicos y que los profesores deben tener una amplia
formación para decidir cuándo usar las nuevas tecnologías
y cómo. Por lo que la formación de maestros en las nuevas
tecnologías para la educación matemática debe contemplar
tres líneas:
-Formación general en nuevas tecnologías educativas.
-Formación específica en nuevas tecnologías para el
aprendizaje de las matemáticas.
-Formación específica en nuevas tecnologías para la
enseñanza de las matemáticas.
Como ejemplo Abraira [31] presentó el caso de la
Universidad de León. Donde la única asignatura incluida en
los planes de estudio para maestro es Nuevas tecnologías
aplicadas a la educación que es insuficiente para
proporcionar la formación en matemáticas y su didáctica
que precisan los profesores. Por lo anterior en un primer
intento de investigar sobre este tema, dicha universidad
ofertó una asignatura de libre configuración. La población
con la que se trabajó fue de 30 alumnos, no resultando
significativa para poder recomendar a las autoridades la
inclusión de esta asignatura en los planes de estudio.
Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 8, No. 2, June 2014
VI.
AMBIENTES
INSTRUMENTAL
CAS
Y
GÉNESIS
A continuación presentamos investigaciones que fueron
realizadas con el fundamento teórico de la aproximación
instrumental, entendida como el proceso en el cual el sujeto
transforma y adapta el artefacto a sus necesidades y
circunstancias [33], pasando por las etapas de
descubrimiento,
selección,
personalización
y
transformación [34]. Lo que permite el desarrollo de
esquemas de utilización. Por lo que este proceso puede
enriquecer o empobrecer la herramienta si no hay una tarea
específica. Así mismo se enfatiza la dimensión instrumental
de los procesos de aprendizaje. Primeramente partimos de
investigaciones que reportan beneficios en el aprendizaje de
las matemáticas, con el uso de ambientes CAS.
En este sentido Pierce y Stacey [35] propusieron un
marco común (la terminología y las herramientas) para
mejorar la investigación en el aprendizaje del álgebra en
ambientes CAS. Argumentando la necesidad de construir
una visión algebraica en los estudiantes, especialmente
basada en la manipulación simbólica. La visión algebraica
como competencia se aborda a través de dos aspectos:
Expectativas algebraicas y la capacidad de enlazar
representaciones.
Siguiendo esta evolución sobre el uso de la tecnología,
otros grupos de trabajo [5] encuentran dificultades en el
manejo técnico de la herramienta, lo que conlleva a no
poder integrar eficazmente los CAS en la enseñanza de la
matemáticas, argumentando que había una gran diferencia
entre el discurso de los expertos sobre el potencial de los
CAS para el aprendizaje de las matemáticas y la realidad
que imperaba en las aulas [2], por lo que proponen tener
como sustento teórico la Génesis Instrumental (GI) como
una forma de aproximarse al uso de ambientes virtuales de
enseñanza/aprendizaje en la computadora y/o calculadora
graficadora; por ejemplo:
Camacho
[36]
presentó
dos
investigaciones
desarrolladas en la GI. La primera sobre la enseñanza y
aprendizaje de la integral definida con el CAS Derive,
como mediador en el proceso de enseñanza aprendizaje y la
segunda, utilizando el CAS Maple V, con el objetivo de
operacionalizar algunos resultados teóricos con estudiantes
de primer semestre de universidad sobre la integral
definida. Participaron 31 estudiantes en el curso de Cálculo
I. Se observó un primer nivel de instrumentación donde los
estudiantes descubren los comandos y sus efectos, aunque
no tienen en cuenta otras informaciones. En algunos de los
estudiantes se observó un atisbo de comprensión de la
herramienta y de combinación de los elementos teóricos
con los comandos adquiridos.
En este mismo sentido Briceño y Cordero [37] en su
investigación cuestionaron el papel que juega el uso de la
tecnología en el conocimiento matemático, tratando de
responderse preguntas como: ¿De qué manera afecta la
actividad matemática? ¿Qué tipo de matemática refleja el
uso tecnológico? Para responderse incluyeron la GI en su
marco teórico, pretendiendo evidenciar el papel que juega
la tecnología en el conocimiento matemático. Con ejemplos
351
http://www.lajpe.org
Elvia Rosa Ruiz Ledezma
de investigaciones orientadas al estudio del cálculo
encontraron que sintomáticamente un alto porcentaje de
alumnos responden equivocadamente al usar la calculadora
graficadora.
Apoyándose
en
la
aproximación
socioepistemólogica los investigadores consideran a la
graficación como una práctica social y se proponen
entender como el uso de las gráficas es lo que norma cierta
categoría matemática propia del uso de la calculadora
graficadora.
Estudiaron una situación de modelación del movimiento
en un ambiente tecnológico, con estudiantes de Nivel
Medio Superior del CECyT 8, de primero, tercero y quinto
semestre. Como objetivo principal tuvieron, entender el
papel que juega la tecnología en el conocimiento
matemático del estudiante en una situación específica. Así
también pretendieron a través de categorías del
conocimiento, encontrar indicadores de una integración
tecnológica en el estudiante que le permitiera construir
conocimiento matemático.
Otra investigación con el mismo sustento teórico la
encontramos en Defouad [38], que en su tesis doctoral
presenta un estudio de las variaciones de una función.
Desde la GI con la calculadora TI -92, mostrándose la
complejidad de los procesos de la instrumentación. Los
estudiantes ponderaron la información proveniente de
diversas aplicaciones en la calculadora (exploraciones
numéricas y gráficas) en la búsqueda de una
argumentación.
Desde la perspectiva de una aproximación instrumental
Drijvers y Gravemeijer [39] presentaron una investigación
relacionando el álgebra computarizada con el pensamiento
algebraico, en particular para la resolución de ecuaciones
que dependen de parámetros utilizando la calculadora TI89.
A los estudiantes se les dieron tareas sobre la expresión
algebraica de la ecuación de segundo grado en forma
general y ecuaciones con uno de los parámetros
generalizado. Se observó cómo interactuaban con la
calculadora, primero su visión se limitó al registro
numérico, sabían utilizar el comando SOLVE pero no
pudieron reconocer la generalización.
En las ecuaciones donde un parámetro estaba
generalizado, en un principio no tenían claro que se
requería despejar la incógnita, finalmente lograron resolver
la ecuación con el uso de la TI- 89. Los investigadores
argumentan “que el entendimiento de los conceptos
algebraicos y las técnicas algebraicas computacionales
están estrechamente relacionadas” y por medio de una
aproximación instrumental se explicitan las dificultades de
los estudiantes. Además encontraron que las dificultades
técnicas de los alumnos tenían una base conceptual.
de la GI, vislumbramos que es posible que se pueda generar
conocimiento. Escudero [40] comentó que los avances en
tecnología demandan que se contemple a los artefactos
(computadora), no solo como herramientas didácticas, sino
como recursos productores de conocimiento. Las
investigaciones nos señalan que el uso de la computadora
mejora el aprendizaje de los estudiantes pero debemos tener
precaución con esta nueva perspectiva, aún debe
investigarse lo que cambia y lo que no cambia en nuestras
mentes en la interacción con las nuevas tecnologías. Debe
pensarse más en las propuestas didácticas y sus
consecuencias cognitivas al introducir ambientes
tecnológicos, especialmente software en el aula.
Particularmente Artigue [2], comenta que la
aproximación instrumental recientemente se ha interesado
en los tutoriales, planteándose nuevas preguntas en donde
los resultados evidencian que estas tecnologías no solo
implementan interacciones matemáticas sino también
interacciones didácticas. Esta revisión nos muestra la
necesidad de continuar realizando investigaciones que
incorporen diferentes aproximaciones teóricas que permitan
abarcar aspectos no considerados hasta ahora como son el
uso masivo de la tecnología dentro y fuera del aula
mediante la incorporación de computadoras, sensores y
tecnología móvil.
Con respecto al punto anterior es necesario continuar
con la revisión bibliográfica pues aún deben considerarse
los avances que han surgido en los años recientes sobre los
ambientes virtuales y sus caracterizaciones, como hacen
Dieterle y Clark [9] con los ambientes virtuales
multiusuario. Es tal el interés de la comunidad mundial que
el 17mo. Estudio ICMI [41] está dedicado en su totalidad a
la tecnología y la forma en que está modificando la
enseñanza actual y futura, en dicho estudio se abordan
diferentes temas desde el diseño curricular, la integración
de la tecnología en la enseñanza hasta los posibles rumbos
que tomará este campo.
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VII. CONCLUSIONES
Como pudimos observar el uso de la tecnología en la
enseñanza de las matemáticas partió de su implementación
en ingenierías didácticas y se puso de moda, pero no se vio
avance más allá del trabajo en actividades. A lo largo de
estos diez últimos años, con los ambientes CAS y la teoría
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