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Universidad de la República
Facultad de Ingenierı́a
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Curso 2016 - Primer Semestre
Práctico 10: Teorema Central del Lı́mite e Intervalos de Confianza
Ejercicio 1
Los resistores de cierto tipo tienen resistencias que en promedio son de µ = 200 ohms, con una
desviación estándar de σ = 10 ohms. Se toman (al azar) 25 de estos resistores y se conectan (en
forma independiente) en un circuito.
1. Calcular la probabilidad (aproximada) de que la resistencia promedio de los 25 resistores
este entre 199 y 202 ohms.
2. Calcular la probabilidad (aproximada) de que la resistencia total de los 25 resistores no sea
mayor que 5100 ohms.
Ejercicio 2
La viscosidad de un fluido puede ser medida experimentalmente dejando caer una pequeña bola en
un tubo calibrado conteniendo dicho lı́quido y observando la variable aleatoria X que representa
el tiempo que demora la bola en subir a la superficie. Se asume que para un tipo de lı́quido en
particular, la distribución de X es Normal con media 20 segundos y desvı́o éstandar 0.5 segundos.
1. ¿Cuál es el desvı́o éstandar del tiempo promedio de 40 experimentos independientes iguales
al anterior?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio de los 40 experimentos sea superior a
20.1 segundos?
3. Suponga que el experimento se repite 20 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo
promedio sea superior a 20.1 segundos?
4. El resultado de la parte 3 es mayor o menor que el hallado en la parte 2. Explique la
desigualdad.
Ejercicio 3
El número de errores en un libro de texto sigue una distribución Poisson con una media de 0.01
errores por página.
1. (a) ¿Cuál es la probabildidad de encontrar tres errores o menos en 100 páginas? ¿Y en 200
páginas?
(b) ¿Y la de encontrar cuatro o más errores en 100 páginas?
2. Sea Y la variable aleatoria definida como el número de páginas entre errores.
(a) ¿Cuál es la distribución de Y ? Hallar el valor esperado de Y .
(b) Hallar la probabildidad de que hayan menos de 100 páginas entre errores.
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que no hayan errores en 200 páginas consecutivas?
(d) Dado que no hay errores en 100 páginas consecutivas. ¿Cuál es la probabilidad de que
no haya ningún error en las próximas 50 páginas?
Ejercicio 4
1. Una máquina de refrescos está ajustada de tal manera que la cantidad de lı́quido despachada
se distribuye aproximadamente en forma normal con una desviación estándar igual a 0.15
decilitros. Encontrar un intervalo de confianza 0.95 para la media de todos los refrescos que
sirve esta máquina si una muestra aleatoria de 36 refrescos tiene un contenido promedio de
2.25 decilitros.
1
2. ¿Qué tan grande tiene que ser la muestra si se desea tener una confianza del 95% de que la
media muestral no difiera en más de 0.03 decilitros de la media real µ?
3. (a) Supongamos ahora que la distribución de la cantidad de lı́quido vertido por la máquina
es completamente conocida, con µ = 2.27 y σ = 0.15. Simular 1000 muestras de 36
refrescos y calcular el intervalo de confianza 0.95 para cada una. ¿Cuál es el porcentaje
de intervalos que no contiene a µ?
(b) Discutir, en base al porcentaje recién calculado, la utilidad de (y cómo deben ser interpretados) los intervalos de confianza en las aplicaciones de la vida real.
Ejercicio 5
Una máquina produce piezas metálicas de forma cilı́ndrica. Se toma una muestra de piezas cuyos
diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centı́metros.
1. Encontrar un intervalo de confianza al nivel 0,99 para el diámetro promedio de piezas de
esta máquina, si se supone una distribución aproximadamente normal.
2. ¿Es razonable suponer que la máquina está calibrada para producir piezas de 1 centı́metro
de diámetro?
3. Para cada α ∈ (0, 1), denotamos por Iα “el” intervalo de confianza al nivel 1 − α para el
diámetro promedio. Usando un software de computadora, graficar los extremos de Iα en
función de α. Notar qué ocurre en los casos extremos, cuando α → 0 y α → 1.
4. Se toman nueve muestras adicionales de una segunda máquina, y los resultados son 1.12,
1.24, 1.06, 0.91, 1.11, 0.94, 1.06, 1.08 y 1.24. ¿Hasta qué nivel de confianza se puede decir
que las máquinas están calibradas diferente? Hacer un gráfico que muestre los lı́mites de
ambos intervalos de confianza en función de α. Interpretar el gráfico y el resultado.
Ejercicio 6
Los contenidos medidos en litros de 7 recipientes similares de ácido sulfúrico son
9.8
10.2
10.4
9.8
10.0
10.2
9.6
1. Encontrar un intervalo de confianza 0,95 para la media de todos los recipientes, suponiendo
una distribución normal.
2. Un recipiente debe ser descartado si su contenido de ácido sulfúrico es mayor a 10 litros.
Aproximar la probabilidad de que un recipiente deba ser descartado.
Ejercicio 7
Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidos por
determinada compañı́a:
46.4
46.1
47.0
46.1
45.9
45.8
46.9
45.2
46.0
1. Encontrar un intervalo de confianza 0,95 para la varianza de todos los paquetes de semillas
de pasto que distribuyó esta compañı́a, suponiendo una población normal.
2. Dar dos aproximaciones diferentes para la probabilidad de que un paquete pese entre 45 y
46 decagramos. Hallar un intervalo de confianza al 95% para dicha probabilidad.
Ejercicio 8
1. Al probar 100 barras de acero que fabricó la compañı́a A se encuentra que 12 no cumplieron
con las especificaciones.
(a) Determinar un intervalo de confianza 95% para la proporción verdadera de las barras
de acero que no cumplen las especificaciones.
2
(b) Si se desea estimar la proporción verdadera que no cumple con las especificaciones con
una exactitud de 0,05 y una confianza de 0,95. ¿Cuántas barras se deben examinar?
2. (a) Hallar un intervalo de confianza 98% para la proporción de artı́culos defectuosos en
un proceso de producción, si se encontraron 8 artı́culos defectuosos en una muestra de
tamaño 100.
(b) ¿Qué tan grande debe ser la muestra para tener una confianza de 98% de que la proporción estimada no difiera más de 0,05 de la proporción verdadera de defectuosos?
3. Se está considerando un nuevo sistema de montaje industrial. Con el sistema actual, el 80%
de los montajes se considera “perfecto”. Se realiza una muestra de 40 montajes experimentales con el nuevo sistema y 34 de ellos son “perfectos”.
(a) Hallar un intervalo de confianza exacto al 95% para la probabilidad de éxito (montaje
“perfecto”) del nuevo sistema. ¿Se obtienen grandes mejoras con el nuevo sistema?
(b) Hallar un intervalo de confianza aproximado al 95% para la probabilidad de éxito
(montaje “perfecto”) del nuevo sistema. ¿La conclusión es la misma?
Ejercicio 9
La bacteria Helicobacter Pylori genera deficiencias en la absorción de nutrientes debido a su
interferencia en la secreción de ácidos por parte del estómago. Sea X la variable aleatoria que
representa el tiempo de vida de dicha bacteria (medido en dı́as). Se asume que la distribución de X
es exponencial de parámetro λ = 0.1. Para tratar la infección producida por dicha bacteria existen
dos tratamientos posibles. El primero es un tratamiento tradicional a base de antibióticos, mientras
el segundo consiste en la aplicación de una técnica sofisticada denominada cuádruple terapia. En
ambos casos se asume que la distribución luego del tratamiento sigue siendo exponencial con
parámetros λ1 y λ2 respectivamente.
1. (a) Para investigar la efectividad del primer tratamiento (si se reduce significativamente
el tiempo de vida medio de la bacteria), este tratamiento se aplicó en 200 pacientes
infectados. Se obtuvieron los siguientes datos del ciclo de vida de la bacteria:
200
X
xi = 1182.25
y
200
X
x2i = 13239.14,
i=1
i=1
donde xi es el tiempo de vida medio de la bacteria en el i-ésimo paciente. Dar un
intervalo de confianza al 95% para λ1 . ¿Es razonable suponer que el tratamiento fue
eficaz?
(b) Suponiendo como verdadera la estimación de la varianza obtenida a partir de la muestra
anterior, hallar el número mı́nimo de pacientes que deberı́an ser tratados para obtener
un error en la estimación del tiempo medio de vida de la bacteria menor a 0.5 con
probabilidad mayor a 0.95.
2. Para el segundo tratamiento no se tienen datos tan precisos, pero se sabe que se aplicó a un
gran número de personas y que se obtuvo que en un 50% de los casos la bacteria tuvo un
tiempo de vida menor a 4 dı́as. Estimar el parámetro λ2 . ¿Es razonable suponer que este
tratamiento fue eficaz?
3. Comparar ambos tratamientos.
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