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PORTAFOLIO SIN CURSO DE SEGUNDA OPORTUNIDAD
MATEMÁTICAS 2
Nombre del Alumno: _______________________________________________________ Grupo___________
Competencia
Genérica
Competencia
Disciplinar
SEGUNDA OPORTUNIDAD SIN CURSO
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la
utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
graficas.
 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener
información y expresar ideas.
Desarrolla innovaciones y propone soluciones a partir de métodos establecidos.
 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo
cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e
interpretar información.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en
equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
 Aportar puntos de vista con apertura y considerar los de otras personas de
manera reflexiva.
 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades
con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
1.- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos
aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de
situaciones reales, hipotéticas o formales.
3.- Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y
los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4.- Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos,
analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las
tecnologías de la información y comunicación.
8.- Interpreta tablas, graficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y
científicos.
ETAPA 1: Ecuaciones Cuadráticas o de segundo grado con una variable.
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones con valor absoluto.
|𝑥 − 5| = 3
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|3𝑥 − 25| = 4
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Página 2
|2𝑥 − 7| = 15
|2𝑥 + 3| = 9
2.- Resuelve aplicando √𝒏𝟐 = │𝒏 │
(𝑥 − 2)2 = 49
(𝑥 + 9)2 = 121
(4𝑥 − 1)2 = 64
(5𝑥 + 2)2 = 100
3.- Resuelve las ecuaciones cuadráticas escribiendo el miembro izquierdo como un trinomio
cuadrado perfecto.
𝑥 2 − 4𝑥 − 21 = 0
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𝑥 2 + 8𝑥 + 15 = 0
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4.-Resuelve las ecuaciones cuadráticas por el método de completando el trinomio cuadrado
perfecto.
𝑥 2 − 10𝑥 + 24 = 0
𝑥 2 + 6𝑥 + 8 = 0
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0
𝑥 2 − 9𝑥 + 8 = 0
5.- Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de Fórmula General.
3𝑥 2 + 7𝑥 + 2 = 0
6𝑥 2 + 7𝑥 − 3 = 0
18𝑥 2 − 23𝑥 − 6 = 0
3𝑥 2 + 10𝑥 − 8 = 0
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6.- Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de Factorización.
𝑥 2 + 7𝑥 + 6 = 0
𝑥 2 + 6𝑥 + 5 = 0
𝑥 2 + 𝑥 − 20 = 0
𝑥 2 − 3𝑥 − 4 = 0
𝑥 2 − 5𝑥 − 24 = 0
𝑥 2 + 5𝑥 − 14 = 0
𝑥 2 + 3𝑥 − 10 = 0
𝑥 2 + 4𝑥 − 45 = 0
𝑥 2 − 9𝑥 + 18 = 0
7.- Resuelve los siguientes problemas de aplicación de ecuaciones cuadráticas.
José es 4 años más viejo que Luis. El producto de los números que expresa sus edades en años es
525. ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos?
En un rectángulo el ancho mide 5mts menos que su largo; si el área es de 84m2, determina el largo y
el ancho del rectángulo.
El señor Rodríguez es 5 años más viejo que la señora Rodríguez. Si la suma de los números que
expresa la suma de los cuadrados de sus edades es de 1525. ¿Cuáles son sus edades?
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La suma de dos números es 35. Si a un número le llamamos “x”, el otro número puede expresarse
como__________________________. Su producto se escribirá
como______________________________________________.
Si el producto de esos dos números es 264, escribimos la ecuación: __________________.
Resolviendo la ecuación, encontramos que los números son: ______________ y
_____________________.
La suma de dos números naturales es 40. La suma de sus cuadrados es 850. Encuentra los números.
ETAPA 2: Geometría Plana.
I.- Convierte en Radianes los siguientes grados sexagesimales. (𝝅 = 𝟏𝟖𝟎°)
15°
200°
40°
240°
150°
340°
II.- Convierte los siguientes grados sexagesimales a Radianes. (𝝅 = 𝟏𝟖𝟎°)
𝜋
12
11𝜋
18
2𝜋
9
3𝜋
12
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𝜋
4
10𝜋
5
III.- Dados los siguientes círculos determina la medida del ángulo central en radianes y
grados sexagesimales.
B
x x
r
S
r=20cm
S=20cm
< x= ________ rad
A
< x = ________ Grados
B
r=20 cm
S= 30 cm
< x= ________ rad
x x
r
S
A
< x = ________ Grados
B
x x
r
S
< x = __________ Grados
A
B
x x
r
S
A
r=35.81cm
S=50 cm
< x = __________rad
r=25 cm
S= 60 cm
< x= ________ rad
< x = ________ Grados
IV.- Encuentra los que se te pide en cada uno de los siguientes casos; los ángulos
estarán expresados en grados sexagesimales.
Un ángulo y su complemento están a razón de 3:2. Encuentra la medida del ángulo menor.
Un ángulo y su suplemento, éstan a razón de 5:4. Encuentra la medida de dichos ángulos.
Un ángulo y su conjugado éstan a razón de 2:1. Encuentra la medida del ángulo mayor.
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En la siguiente figura sea el ángulo AOC recto. ¿Cuánto mide el ángulo AOB?
C
x
O
B
2x
A
En la siguiente figura sea el ángulo AOC recto. Determina la medida del ángulo COB.
C
B
x
O
x+65
A
Encuentra el valor de “x”.
B
(3x+15)°
C
42◦
O
A
En la siguiente figura, encuentra las medidas de los ángulos <AOB y <BOC.
B
(3x+20)°
C
x
A
O
Encuentra la medida del <B de la siguiente figura.
A=5(3x-14)°
<B=2(x+27)°
V.- En cada uno de los siguientes ejercicios encuentra los que se te indica.
Encuentra la medida del ángulo <AOB.
C
B
6(x-3)°
D
O
3(15-x)°
A
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Encuentra el valor de “x” y “y”.
C
B
(-2x+6)°
40°
(5x-2y)°
O
D
A
Encuentra el valor de “x” y “y”.
C
B
(x+y)°
60°
(x-2y)°
O
120°
D
A
VI.- En cada uno de los siguientes ejercicios encuentra los valores de “x” y “y”.
G
A
B
(3x-11)°
130°
C
D
F
G
A
B
150°
C
(x+y)°
D
(x - 2y)°
F
G
A
B
120°
C
(x+3y)°
(2x - y)°
D
F
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VII.- Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios, tomando en cuenta que la suma de
los ángulos interiores de un triángulo es de 180°.
Los ángulos de un triángulo están a la razón de 2:3:5. Halla la medida de dichos ángulos.
Sean A, B y C los ángulos interiores de un triángulo, donde 𝐴 = (2𝑥 + 35)°,
𝐵 = (4𝑥 − 10)° 𝑦 𝐶 = (3𝑥 − 7)°. Determina la medida de los ángulos.
Sean <A, <B y <C los ángulos interiores de un triángulo. Si B mide el doble que A y C mide el triple
que A. ¿Cuánto mide cada ángulo?
En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos están a razón de 2:3. Encuentra la medida de dichos
ángulos.
VIII.- Para los siguientes ejercicios encuentra los que se te indique.
(3x-15)°
(2x+20)°
2z°
60°
Z°
100°
25°
X°
55°
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XI.- En los siguientes ejercicios encuentra el valor de “x” (Semejanza de Triángulos).
C
D
E
A
B
DE II AB
AD=35
DC= 28
DE= 2x+8
AB= 7x-2
C
D
E
A
B
DE II AB
DE= 5x+3
AB=15x – 3
CE= 9
EB= 12
B
N
C
M
A
MN II BC
BC=35
MN=x
AC=20
MC=12
X.- En los siguientes triángulos rectángulos, encuentra la longitud del lado que se te
indica.
x
12
5
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10
x
6
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45
36
x
x
3
4
XI.- Resuelve los siguientes ejercicios de Polígonos.
Calcula en un hexágono regular:
a) La medida de cada ángulo interior.
b) La medida de cada ángulo exterior.
c) El número de diagonales.
Determina el número de lados que tiene un polígono cuyos ángulos interiores suman 1260º.
El ángulo interior de un polígono regular mide 120º. Determina:
a) El número de lados del polígono.
b) El número de diagonales.
c) El valor de cada ángulo exterior.
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Determina cuántos lados tiene un polígono que posee:
20 diagonales
44 diagonales
XII.- Resuelve los siguientes ejercicios de Cuadriláteros.
Encuentra los ángulos interiores de un cuadrilátero si se representan por: 𝐴 = (2𝑥 + 10)° , 𝐵 = (8𝑥)° ,
𝐶 = (7𝑥 − 5)° y 𝐷 = (9𝑥 + 5)°.
Si ABCD es un paralelogramo, encuentra “x” y “z”.
4z- 4
B
C
48
3x
A
D
5x
Si ABCD es un paralelogramo, encuentra “x” y “z”.
B
C
A
D
< 𝐴 = (2𝑥 + 40)°
< 𝐵 = 110°
< 𝐶 = 2𝑧°
Si ABCD es un paralelogramo, encuentra “x” y “z”.
B
C
A
D
< 𝐴 = 5𝑧°
< 𝐵 = 140°
< 𝐷 = 4(2𝑥 + 10)°
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Si ABCD es un paralelogramo, encuentra “x” y “z”.
B
C
E
A
D
𝐴𝐸 = 1.5𝑥
𝐴𝐶 = 30
𝐵𝐸 = 8
𝐷𝐸 = 2𝑧
Si ABCD es un paralelogramo, encuentra “x” y “z”.
B
C
E
A
D
𝐴𝐸 = 4𝑥 − 2
𝐸𝐶 = 𝑧
𝐵𝐸 = 2𝑥 + 3𝑧
𝐸𝐷 = 22
Si ABCD es un rombo encuentra “x” y “z”.
B
A
C
𝐴𝐵 = 4𝑥 +D 1
𝐵𝐶 = 𝑥 + 28
𝑧
𝐶𝐷 =
2
Si ABCD es un trapecio, encuentra “x” y “z”.
B
C
A
D
< 𝐵 = 120°
< 𝐴 = 3𝑥°
< 𝐶 = (4𝑧 + 30)°
< 𝐷 = 2𝑧°
Si ABCD es un trapecio isósceles, encuentra “x” , “y” y “z”.
B
C
A
D
< 𝐴 = 6(𝑥 − 5)°
< 𝐵 = 5𝑦°
< 𝐶 = 6𝑧°
< 𝐷 = 2(𝑥 + 5)°
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XII.- Determina los que se te indica. (Área de regiones poligonales).
Encuentra el área de un rectángulo si su base mide 25 cm y el perímetro mide 90 cm.
Encuentra el área de un rectángulo si su base mide 5 mts y su diagonal mide 13 mts.
El área de un cuadrado es de 625cm2, encuentra la longitud de sus lados.
Encuentra la base y la altura de un paralelogramo si están a la razón de 4:5 y su área es de 1280cm2.
Encuentra el área de un triángulo equilátero cuyo perímetro es de 30cm.
Encuentra el área de un rombo si sus diagonales miden 12 y 8 cm respectivamente.
Encuentra el área de un rombo si una de sus diagonales mide 10 pulgadas y sus lados miden 13
pulgadas.
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Las bases de un trapecio miden 9 y 11 pies respectivamente. Si su área es de 60 pies2, encuentra la
medida de la altura.
ETAPA 3: Trigonometría I.
1.- Determina las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo
rectángulo.
B
c
A
CscA=_______
CosA=_____
SecA=_______
TanA=_____
CotA=_______
SenA=_____
CscA=_______
CosA=_____
SecA=_______
TanA=_____
CotA=_______
a=15
b=8
C
B
c= 13
A
SenA=_____
b=5
a
C
2.- Completa las tablas de las siguientes funciones trigonométricas.
Dado el valor del ángulo, encuentra el valor
de la función.
Dado el valor de la función, encuentra el valor
del ángulo agudo en grados.
Sen 23.58°=
Sec B=1.0906
<B=
a) Csc 72.75°=
Cos A=0.5225
<A=
b) Cos 15.1°=
Tan B= 2.229
<B=
Tan 36.27°=
Sen A=0.1576
<A=
Sec 49.21°=
Cot B=0.76733
<B=
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Cot 54.92°=
CscA=3.08197
<A=
Tan 45º=
SenA=0.866
<A=
3. - Determina el valor de la función indicada, considerando que el ángulo es agudo.
Dado Senθ=
8
17
Dado Cotθ=
13
2
calcula el valor la Cscθ.
Dado Tanθ=
calcula el valor de Cosθ.
Dado Secθ=
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24
= calcula el valor de Senθ.
70
5
1
calcula el valor de Tanθ.
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4.- Empleando las funciones trigonométricas encuentra lo que se pide en cada
triángulo rectángulo.
B
c
A
a
39°25’
b=20
C
a=_______
c=_______
<B=______
B
c
A
a=85
b=70
C
c= _______
<A=_______
<B=_______
B
c
A
26°48’ a
C
b=16
a=_______
c=_______
<A=______
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5.- Resuelve los siguientes ejercicios de aplicación.
Un árbol de 20mts de alto proyecta una sombra de 28mts de largo. Halla el ángulo de elevación del
sol.
Cuando el sol está a 25º sobre el horizonte ¿cuál es el largo de una sombra que proyecta un edificio
de 15mts de altura?
Un edificio proyecta una sombra de 92.33mts cuando el ángulo de elevación del sol es de 18º. Calcula
su altura.
Se apoya una escalera de 4mts contra la pared de un edificio, de modo que su extremo inferior está a
1.4mts de la base del edificio. Determina el ángulo que forma la escalera con el piso.
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ETAPA 4: Trigonometría (Triángulo Oblicuángulo).
1.- Encuentra el valor de las funciones trigonométricas del ángulo θ si su lado terminal
pasa por:
El punto (4,-3)
El punto (-24,70)
2.-Encuentra los valores de las demás funciones trigonométricas de θ dado.
Dado 𝐶𝑜𝑠𝜃 = −
5
13
y θ está en el II Cuadrante.
Dado 𝑇𝑎𝑛𝜃 = −
20
21
y θ está en el VI Cuadrante.
3.-Evaluá cada una de las siguientes expresiones trigonométricas.
𝑆𝑒𝑛 0° + 3𝐶𝑜𝑠0° + 𝑆𝑒𝑛90° − 2𝐶𝑜𝑠180° =
𝑆𝑒𝑛 75° − 4𝑆𝑒𝑛 35° + 𝐶𝑜𝑠180° + 3𝑆𝑒𝑛90° =
𝑇𝑎𝑛45° + 5𝑆𝑒𝑛60° − 2𝐶𝑜𝑠0° + 3𝐶𝑜𝑠180° =
2𝑠𝑒𝑛90° − 3𝐶𝑠𝑐270° − 5𝐶𝑜𝑠180° + 2𝑇𝑎𝑛180° =
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4.-Expresa cada una de las funciones del ángulo dado, como la función de su ángulo de
referencia y encuentra el valor de la función.
𝑇𝑎𝑛 590°
𝐶𝑜𝑠(−345°)
5.-Dado el valor de la función, encuentra la medida del ángulo θ, si 𝟎° < 𝜃 < 360°.
Cuadrante I
Cuadrante II
𝜽𝒓 = 𝜽
𝜽𝒓 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝜽
𝑆𝑒𝑛 𝜃 = 0.6293
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Cuadrante III
Cuadrante IV
𝜽𝒓 = 𝟏𝟖𝟎° + 𝜽
𝜽𝒓 = 𝟑𝟔𝟎° − 𝜽
𝐶𝑜𝑠 𝜃 = 0.61566
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6.-Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos y determina su área. Supón que las
longitudes de los lados están expresadas en centímetros.
B
c=74
A
a=50
C
b=35
<A=
<B=
<C=
B
a=25.6
A
b=15.4
65°
C
c=
<A=
<B=
Área=
B
c=80
22°
A
130°
C
a=
b=
<B=
Área=
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B
40°
A
70°
b=50
C
a=
c=
<B=
Área=
En el ∆ABC, <B=32º, lado a=5 y lado b=4. Determina el lado c. ( Caso Ambiguo )
A
b
C
c
B
a
7.-Resuelve los siguientes problemas de aplicación de Triángulos Oblicuángulos.
Dos lados de un paralelogramo son 83 y 140mts, y una de sus diagonales mide 189mts. Calcular el
área de uno de los triángulos que forma la diagonal con los lados del paralelogramo.
140
83
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Calcular el perímetro y el área de un paralelogramo, si una de sus diagonales mide 17mts y los
ángulos que forma ésta con los lados del paralelogramo son de 35º y 49º.
35°
17m
49°
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FORMULARIO
Sistema Circular
Ө=
𝑺
π= 180°
𝒓
Suma de los ángulos interiores
Angulo interior
Numero de Diagonales
Angulo exterior
Fórmulas de Polígonos
Sai=180(n-2)
ai=180(n-2)/n
d=n(n-3)/2
ae=360/n
Triángulo Rectángulo
a2+
c2=
Áreas
b2 Cuadrado
Identidades
Sen Ө=
Cos Ө=
Tan Ө=
𝒄𝒐
𝒉
𝒄𝒂
𝒉
𝒄𝒐
𝒄𝒂
Csc Ө=
Sec Ө=
Cot Ө=
𝑨 = 𝒍𝟐
Rectángulo
𝒉
Csc Ө=
𝒄𝒐
𝒉
Sec Ө=
𝒄𝒂
𝒄𝒂
CotӨ=
𝒄𝒐
𝟏
𝑺𝒆𝒏Ө
𝟏
𝑨 = 𝒃𝒉
Triangulo
𝑨=
𝒃𝒉
𝟐
Rombo
𝑨=
𝑫𝒅
𝟐
Trapecio
𝑨=
(𝑩+𝒃)𝒉
𝟐
𝑪𝒐𝒔Ө
𝟏
𝑻𝒂𝒏Ө
Triangulo Oblicuángulo
Ley de senos
𝑺𝒆𝒏𝑨
=
𝑺𝒆𝒏𝑩 𝑺𝒆𝒏𝑪
=
𝒂
𝒃
Ley de Cosenos
𝒂
𝒄
=
𝒃
=
𝒄
𝑺𝒆𝒏𝑨 𝑺𝒆𝒏𝑩 𝑺𝒆𝒏𝑪
𝒃𝟐 +𝒄𝟐 −𝒂𝟐
)
𝟐𝒃𝒄
a2=b2+c2-2bcCosA
A=Cos-1 (
b2=a2+c2-2acCosB
B=Cos-1 (
c2=a2+b2-2abCosC
C=Cos-1 (
𝒂𝟐 +𝒄𝟐 −𝒃𝟐
)
𝟐𝒂𝒄
𝒂𝟐 +𝒃𝟐 −𝒄𝟐
)
𝟐𝒂𝒃
𝟏
Fórmulas para Calcular el Área A=𝟐bcSenA
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𝟏
A=𝟐acSenB
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𝟏
A=𝟐abSenC
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Nota: El Portafolio tiene un valor de 50 puntos. Siempre y cuando se cumpla con lo siguiente:
El Portafolio debe ser resuelto:
 Con lápiz, en orden y con la respuesta subrayada.
 Procedimientos completos y claros. Si el espacio para cada problema no es suficiente, resolver en hojas
adicionales en blanco indicando el número de problema y poner la respuesta correcta en el espacio
correspondiente a cada problema.
 Debe ser entregado en la fecha solicitada por el Maestro.
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