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Universidad de la República
Facultad de Ingenierı́a
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Curso 2016 - Primer Semestre
Práctico 6: Probabilidad Condicional
Ejercicio 1
1. Sean A y B sucesos. Calcular P (A|B) en los siguientes casos.
(a) B ⊆ A
(b) A ∩ B = ∅
(c) ¿Qué pasa si P (B) = 0?
2. Sean A y B sucesos tales que P (A) = 12 , P (B) =
1
3
y P (A ∩ B) = 14 . Calcular:
(a) P (A|B)
(b) P (B|A)
(c) P (AC |B)
(d) P (B C |A)
(e) P (AC |B C )
(f) P (B C |AC )
Ejercicio 2
1. Una caja contiene 12 lámparas de las cuales 4 son defectuosas. Se toman al azar tres lámparas
del lote una tras otra. Hallar la probabilidad de que las tres lámparas no sean defectuosas.
2. Se consideran ahora tres cajas con lámparas:
La caja 1 contiene 10 lámparas de las cuales 4 son defectuosas
La caja 2 contiene 6 lámparas de las cuales 1 es defectuosa
La caja 3 contiene 8 lámparas de las cuales 3 son defectuosas
Escogemos al azar una caja y luego sacamos una lámpara al azar ¿Cuál es la probabilidad de
que la lámpara sea defectuosa?
Ejercicio 3
1. Una caja tiene dos bolillas rojas, una blanca y una negra. Una persona extrae de la caja dos
bolillas y asegura que tiene una roja. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra bolilla también
sea roja?
2. Realizar una simulación para verificar los resultados obtenidos en la parte anterior.
Ejercicio 4
1. Se considera una caja que contiene 6 bolillas rojas, 4 blancas y 5 azules. Se extraen tres bolillas
en forma sucesiva (sin reposición). Calcular la probabilidad que la primera sea roja, la segunda
blanca y la tercera azul
1
2. Se consideran dos cajas con bolas. La caja 1 contiene 3 bolas rojas y 2 azules, la caja 2 contiene
2 bolas rojas y 8 azules. Se lanza una moneda, si se obtiene cara se saca una bola de la caja 1,
y si se obtiene cruz se saca una bola de la caja 2.
(a) Hallar la probabilidad que la bola extraı́da sea roja.
(b) Si se sabe que la bola extraı́da es roja, ¿cuál es la probabilidad que provenga de la caja 1?
Ejercicio 5
Considere la tabla del Ejercicio 7 del Práctico 1.
1. Calcular la probabilidad de que el Fármaco I tenga éxito sabiendo que el paciente es hombre.
¿Y sabiendo que el paciente es mujer?
2. Repetir los cálculos de la parte anterior para el Fármaco II.
3. ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar una de las personas en tratamiento y que sea mujer?
¿Y de que sea hombre?
4. Calcular la probabilidad de éxito de cada fármaco e indicar cuál de los dos considera más exitoso.
Ejercicio 6
Considere la tabla del Ejercicio 8 del Práctico 3.
1. Hallar P (V |M ) y P (V |H). Deducir P (V ). ¿Es coherente con la probabilidad hallada en la parte
2 del Ejercicio.
2. Hallar P (M |0), P (M |A) y P (M |V ). Deducir P (M ) ¿Es coherente con la probabilidad hallada
en la parte 1 del Ejercicio.
3. Indicar si los sucesos V y H son independientes. Justifique su respuesta.
4. Indicar si los sucesos A y M son independientes. Justifique su respuesta.
Ejercicio 7
En un paı́s hay cuatro partidos polı́ticos. Se sabe que:
• El 35% de la población pertenece al partido I
• El 31% pertenece al partido II
• El 28% pertenece al partido III
• El 6% pertenece al partido IV
Además se sabe que entre los adherentes al partido I, un 36% corresponde a personas con ingresos
inferiores a dos salarios mı́nimos, mientras que entre los adherentes al partido II, esa proporción es
del 52%. Para el partido III, es un 42% y para el partido IV es 11%.
Si se elige una persona al azar y resulta tener ingresos inferiores a dos salarios mı́nimos. Calcular
la probabilidad de que sea un adherente al partido I; al partido II; al partido III y al partido IV.
Ejercicio 8
Se considera la siguiente tabla que representa las cantidades de solicitudes y admisiones realizadas
en 6 departamentos de una Universidad, según el candidato sea Hombre o Mujer. Si se miran los
2
totales, se tiene que 44% de los candidatos hombres fueron admitidos, mientras que el porcentaje de
admisión entre las mujeres es de 30%. Esto podrı́a interpretarse en primera instancia como un caso
de discriminación de género.
1. Utilizar la fórmula de Bayes para calcular la probabilidad de que una persona sea admitida
sabiendo que es Hombre (respectivamente Mujer).
2. Repetir el cálculo anterior, asumiendo que el género y la elección del Departamento son independientes.
Depto.
A (933)
B (585)
C (918)
D (792)
E (584)
F (714)
Hombres
Solicitudes Admisiones
825
62%
560
63%
325
37%
417
33%
191
28%
373
6%
Mujeres
Solicitudes Admisiones
108
82%
25
68%
593
34%
375
35%
393
24%
341
7%
Ejercicio 9 - Ejercicio 5.64 del libro Estadı́stica Aplicada de R. Moore.
Una prueba para detectar la presencia de anticuerpos del virus del sida en la sangre tiene una probabilidad del 0.997 de detectarlos cuando éstos están presentes y una probabilidad de 0.003 de no
detectarlos. Cuando los anticuerpos del virus del sida no están presenten, la probabilidad de que la
prueba dé un falso positivo es de 0.015 y la probabilidad de que dé negativo es 0.9856. Se supone que
el 1% de una gran población tiene anticuerpos del virus del sida en su sangre.
1. La información proporcionada incluye cuatro probabilidades condicionales y una probabilidad
no condicionada. Asignar letras a los sucesos y expresar la información como P (A), P (B|A) y
ası́ sucesivamente. Utilizar esta notación en lo que resta de ejercicio.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida no tenga anticuerpos del virus del sida y sin
embargo el resultado de la prueba sea positivo?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida tenga anticuerpos del virus del sida y el
resultado de la prueba sea positivo?
4. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado de la prueba sea positivo?
5. Hallar la probabilidad de que una persona no tenga anticuerpos del virus del sida sabiendo que
el resultado de la prueba fue positivo.
Ejercicio 10
De una caja que contiene 3 bolas rojas y 2 azules se extrae una bola al azar y se la coloca en una
segunda caja que contiene 4 bolas azules y 2 rojas. A continuación se extrae una bola al azar de la
segunda caja.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que se extraiga la misma bola que se extrajo de la primera caja?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraı́da de la segunda caja sea roja?
3. Si la bola extraı́da de la segunda caja es roja, ¿cuál es la probabilidad de que sea la misma bola
que se extrajo de la primera caja?
3
Ejercicio 11
1. Si A y B son sucesos independientes y B y C también son sucesos independientes. ¿Puede
afirmarse que A y C son independientes? En caso afirmativo demostrarlo, en caso contrario dar
un contraejemplo.
2. Demostrar que A es independiente de A si y sólo si P (A) = 0 ó P (A) = 1.
3. Sean A y B sucesos tales que P (A) =
1
4
y P (A ∪ B) = 13 . Calcular P (B) en los siguientes casos:
(a) Si A y B son independientes
(b) Si A y B son disjuntos (o incompatibles)
(c) Si A es un subconjunto de B
Ejercicio 12
Se tira una moneda equilibrada seis veces. ¿Cuál de las dos secuencias, CN CCN N o CCCCCC, es
más probable que salga?
Ejercicio 13
1. Tres jugadores tiran al blanco. Sean p1 =
blanco de los respectivos jugadores.
1
6 , p2
=
1
4 , p3
=
1
3
las probabilidades de acierto al
2. Sabiendo que cada jugador realiza un lanzamiento, calcular la probabilidad de que el blanco sea
alcanzado solamente una vez.
3. Sabiendo que sólo uno da en el blanco, calcular la probabilidad que haya sido el jugador 1.
4. Ahora cada jugador lanza dos veces, p1 = 14 , p2 =
blanco sea alcanzado por lo menos una vez.
1
3
y p3 = 13 . Hallar la probabilidad de que el
5. Si ahora cada uno dispara una vez. Sabiendo que el blanco fue alcanzado solamente una vez,
hallar la probabilidad que haya sido el jugador 1.
Ejercicio 14
Para alentar la promisoria carrera de tennis de Pablito, su padre le ofrece un premio si gana al menos
dos sets seguidos en una serie de tres sets a ser jugados con su padre y con el campeón del club
alternadamente. Entonces la serie puede ser: Padre-Campeón-Padre o Campeón-Padre-Campeón.
Pablito puede elegir cuál serie jugar. Sabiendo que el campeón del club es mejor jugador que el padre,
¿cuál de las dos series deberá elegir? Justifique su respuesta.
Ejercicio 15
Se tira una moneda dos veces y se consideran los sucesos:
• A = {en la primera tirada sale cara},
• B = {en la segunda tirada sale cara},
• C = {en las dos tiradas salen un número y una cara, en cualquier orden}.
1. Estudiar la independencia de a pares.
2. ¿Son A, B y C independientes?
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