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Ecuaciones Diferenciales I
Tarea 6
Entregar: marzo 30, 2016
1. Considere la ecuación diferencial dy/dt = f (y). Suponga que y0 es un punto de equilibrio aislado, es decir, existe un intervalo alrededor de y0 que no contiene ningún otro
punto de equilibrio. Denimos el índice de y0 como

 +1 si y0 es una fuente;
índice(y0 ) = −1 si y0 es un sumidero;

0
si y0 es un nodo.
Suponga que hay un número nito de puntos de equilibrio aislados y1 , y2 , ..., yn en el
intervalo −100 < y < 100.
a) Si f (−100) < 0, f (100) > 0, demostrar que
índice(y1 ) + índice(y2 ) + índice(y3 ) + · · · + índice(yn ) = 1.
b) Si f (−100) > 0, f (100) < 0, demostrar que
índice(y1 ) + índice(y2 ) + índice(y3 ) + · · · + índice(yn ) = −1.
c) Si f (−100) < 0, f (100) < 0, demostrar que
índice(y1 ) + índice(y2 ) + índice(y3 ) + · · · + índice(yn ) = 0.
2. Haga un cambio de variable que transforme la ecuación
dy
= y 2 − 2yt + t2 + y − t + 1
dt
en una ecuación autónoma. Dibuje la línea fase para la nueva ecuación y utilícela para
gracar las soluciones de la ecuación original.
√
3. Considere la ecuación logística du/dt = u(1 − u). Cambie la variable a y = u.
Utilizando lo que sabe de las soluciones de la logística, graque las soluciones de la
nueva ecuación.
4. Suponga que una población puede ser bien modelada por la ecuación logística con
razón de crecimiento 0.4 y capacidad de carga 30, es decir
dp
p
= 0.4p(1 − ).
dt
30
Suponga que al tiempo t = 5 una enfermedad se introduce en la población que mata
25 por ciento al año. Para ajustar el modelo, cambiamos la ecuación diferencial por:
dp
=
dt
0.4 p ( 1 - p/30)
para 0 ≤ t < 5
0.4 p (1 - p/30) - 0.25 p para t ≥ 5.
a ) Encuentre fórmulas para las soluciones si p(0) = 30 y p(0) = 20.
b ) Describa en unas cuantas líneas el comportamiento de las soluciones anteriores.
5. Considere el modelo de población para cierto tipo de ardillas
S
S
dS
= F (S) = KS 1 −
−1
dt
N
M
Supongamos que las constantes K, M se mantienen constantes en tiempos largos pero
la capacidad de carga N comienza a disminuir a medida que más gente se mueve a esa
área.
a ) Dibuje el plano fase para M < N y para N > M y cualquier valor de K .
b ) Suponiendo M ≤ N , dibuje la gráca de la función F (S) para valores jos de
K, M y diferentes valores de N .
c ) ¾En qué valor de N ocurre una bifurcación?
d ) Cómo cambia la población de ardillas si el valor de N decrece continua y lenta-
mente al valor de bifurcación.
6. Un modelo para una población de peces con pesca está dado por ls ecuación
dP
= fC (P ) = kP
dt
P
1−
−C
N
Demuestre que si C > kN/4 la población de peces se extingue. Si la población de peces
se acerca a cero porque el nivel de pesca C es un poco mayor que kN/4, ¾por qué se
debe prohibir la pesca completamente a n de restaurar la población? Esto es, si la
razón de pesca un poco mayor a C = kN/4 causa un colapso en la población, ¾por qué
no se puede restituir la población pescando a una razón poquito menor a C = kN/4?
7. Para la familia uniparamétrica de ecuaciones diferenciales
y
dy
= 2
+α
dt
y +1
localice los puntos de equilibrio si α es mayor, menor o igual a cero. Describa la bifurcación que ocurre en α = 0.
8. Suponga dy/dt = f (y) tiene un punto de equilibrio en y0 . Para cada caso diga qué tipo
de punto de equilibrio es.
a ) f 0 (y0 ) = 0, f 00 (y0 ) = 0, y f 000 (y0 ) > 0: ¾es y0 una fuente, un sumidero o un nodo?
b ) f 0 (y0 ) = 0, f 00 (y0 ) = 0 y f 000 (y0 ) < 0: ¾es y0 una fuente, un sumidero o un nodo?
c ) f 0 (y0 ) = 0 y f 00 (y0 ) > 0: ¾es y0 una fuente, un sumidero o un nodo?