1. No category

Modalidad Semiescolar del
Sistema de Bachillerato del
Gobierno del D. F.
1) a2 – ab =
= a(a – . . . )
anxn + … + a2x2 + a1x + a0
bsys + … + b2y2 + b1y + b0
2) (a + b)2 =
= (a + b)( . . . ) =
2x3 + x2 – 3x + 1
3) a2 – b2 =
= (a + b)( . . . ) =
Sistemas de
Ecuaciones
Lineales
Ecuación y
Función
Cuadrática
Productos
Notables
Matemáticas
Autor: Gabriel Silva Ramírez
1
3y4 + 2y2 + y – 4
Secciones
Cónicas
3
Álgebra
Matemáticas 3
Material de apoyo para el estudio de la modalidad SemiEscolar del SBGDF
 Instituto de Educación Media Superior
2
¿Para qué estudiar matemáticas ?
El programa de Matemáticas que te ofrecemos es diferente a los que se aplican en la mayoría de las
demás preparatorias, sean éstas del modelo tradicional o el CCH, pues difiere en el contenido, modo
y forma de enseñar y su proceso de evaluación.
El programa está concebido de modo tal que construyas la Matemática; descubras, inventes,
propongas y discutas los contenidos, y de esta manera modeles para ti un método de razonamiento y
de análisis, desarrollando tu creatividad, a la vez que aprendas a explicar tus procesos de
pensamiento y argumentes tus conclusiones.
El curso consta de seis objetivos principales:
Matemáticas III
Sistemas
de Ecuaciones
Lineales
Ecuación y Función
Cuadrática
Secciones
Cónicas
Álgebra
1.
2.
3.
4.
Sistemas de ecuaciones lineales (4)
Ecuación y función cuadrática (4)
Secciones cónicas (4)
Álgebra (2)
Cada objetivo está compuesto de varios temas, el número en paréntesis indica la cantidad de éstos.
En total son 14.
3
¿Cómo se integran los módulos?
Este curso te ofrece en su inicio una propuesta geométrica y una idea
de la disposición y las propiedades algebraicas del comportamiento de
las rectas, que podemos dibujar en una hoja de papel sin rayas y
posteriormente sobre el plano cartesiano.
Y
Más adelante, se te presenta la ecuación cuadrática, su tabulación para
dibujarla en el plano cartesiano y sus propiedades geométricas y
algebraicas, así como este mismo análisis de la función cuadrática.
O
X
Seguimos con las secciones cónicas, conocerás su definición,
construcción, deducción y desarrollo con la idea de encontrar su
ecuación o sus elementos. Finalmente, se expone el manejo de
polinomios, términos algebraicos de amplio uso en las Matemáticas.
Integración de los los temas
La primera sección de la página es la portada. Contiene el título del objetivo y del tema. Después de
la portada vienen: un resumen, que explica brevemente cómo se desarrollará el tema; un índice, que
ubica la página en donde se encuentra cada tema, así como las secciones importantes mencionadas
en el módulo; un esquema instructivo que intenta ser un modelo el cual indica el contenido del
módulo, a veces en el orden de la presentación y otras no; una introducción en la que se inicia el
tema y que no siempre condensa el contenido del módulo; y algunos ejercicios intercalados en
distintas partes del documento.
Dentro de los textos hallarás algunas definiciones importantes vistas o mencionadas en el módulo. Es
conveniente investigar más acerca de tales definiciones.
4
ÍNDICE
1
Sistemas de
1.1
Interpretación geométrica y análisis para
1.2
1.3
1.4
determinar su solución
Métodos de solución
Sistemas de ecuaciones con más de dos incógnitas
Ubicación de intervalos y regiones definidas
por desigualdades
ecuaciones lineales
2
Ecuaciones y
Funciones Cuadrática
3
Productos
2.1
Concepto de ecuación cuadrática
2.2
2.3
2.4
Análisis gráfico de la ecuación y función cuadrática
Ecuación general y sus raíces
Ubicación de Intervalos y regiones definidas por
desigualdades
3.1
Factorización y completez de productos notables.
4.1
Definición, construcción y ecuaciones canónica y general
6
20
50
72
98
111
130
149
162
notables
4
Secciones
cónicas
4.2
4.3
4.4
5
Álgebra
4.1
(circunferencia y parábola).
Definición, construcción y ecuaciones canónica y general
(elipse e hipérbola).
Ecuación canónica y ecuación general; desarrollo,
factorización y elementos. Transformación de una en otra
(circunferencia y parábola).
Ecuación canónica y ecuación general; desarrollo,
factorización y elementos. Transformación de una en otra
(elipse e hipérbola).
181
Cocientes compuestos por polinomios.
244
5
193
212
229
Matemáticas 3
1: Sistemas de ecuaciones lineales
1.1: Interpretación geométrica y análisis para
determinar su solución
Objetivo
y
=
..
Y
.
–
3
0
2x – y +
z = -1
x + 3y
–z=
2
x–y
+z=
1
X
El estudiante comprenderá e incorporará a su acervo
geométrico la imagen, concepción y tratamiento de un
par de líneas rectas; primero en una hoja de papel
cualquiera en blanco y después en el plano cartesiano.
2
5x x –
y
+
2y = 3
=
7
Z
∆x
∆
X
0
Y
Presentación
Comenzamos con provisión de
material. Se nos da una hoja de
papel en blanco, un lápiz; bueno
dos, y una regla.
la regla
la hoja
A continuación se nos hace un
pedido: que tracemos en ella
una línea recta A.
Re
cta
y los lápices
A
Ahora, se nos solicita el trazo de una
segunda recta en nuestra hoja.
¿De cuántas maneras diferentes
podemos trazar esta segunda recta
con respecto a la primera?
6
Tenemos ya trazada la recta A, entonces nos imaginamos la segunda recta y dónde trazarla,
llamémosla B. Lo que pensamos a continuación es si trazamos esta segunda recta de forma tal que
intersecte (corte) o no a la recta A, luego nos decidimos a trazarla.
¿Qué quiere decir el que dos rectas tengan un punto de intersección?
Veamos cuántas formas hay de cada una de nuestras opciones; si intersecta o no intersecta.
Primero hagámoslo con una recta que intersecte a nuestra recta A.
Re
cta
Opción 1a.
La segunda recta,
llamémosla B1, intersecta a
la recta A en la hoja.
ct
Re
Re
cta
A
a B1
A
1b. La segunda recta, la que
llamaremos B2, intersecta a la recta
A fuera de la hoja.
Rec
ta
B2
7
Re
cta
90°
La segunda recta, que llamaremos C,
intersecta a la recta A en ángulo de
90° (la recta C es perpendicular a la
recta A).
Re
ct a
C
1c.
A
Re
c ta
A
1d.
Re
cta
La segunda recta, la que
llamaremos D, intersecta a la
recta A en todos sus puntos,
es la misma recta A pero con
otro nombre.
D
Ahora hagámoslo con una recta que no intersecte, ni dentro ni fuera de la hoja, a la recta A.
8
Re
c ta
Opción 2. La segunda recta, que
llamaremos E, no intersecta a la
recta A y mantiene con ella una
misma distancia (la recta E es
paralela a la recta A).
Re
cta
ct
Re
E
A
a B1
90°
Re
ct a
B2
D
Trazadas todas estas líneas sobre la misma
hoja, observamos que hay entre ellas
características o propiedades que debemos
tomar en cuenta. Estas son:
Re
ct a
C
Rec
ta
Re
cta
A
Considerando la recta A como nuestra postura original, tenemos que,
1. Las rectas B1, B2 y C, la intersectan en un solo punto, ya sea dentro o fuera de la hoja,
2. La recta D, la intersecta en todos sus puntos, o sea es la misma recta, y
3. La recta E, no la intersecta ni dentro ni fuera de la hoja, es paralela a la recta A.
9
Veamos ahora qué sucede cuando estas rectas las trazamos sobre el plano cartesiano.
Eje Y
O
Eje X
Haciendo abstracción de la hoja y trazando
la recta A, tenemos:
Eje Y
Re
c
Para encontrar la ecuación de la recta
A, es necesario que tengamos
localizados dos puntos de ella sobre el
plano.
ta
A
O
10
Eje X
Eje Y
Re
c
Con dos puntos, calculamos la pendiente de
la recta A y después, con esta pendiente y
uno de los dos puntos construimos la
ecuación de la recta A.
ta
A
( –5, 5)
Eje X
O
( 7, –3)
mA
=
–3–5
7 – (– 5)
=
–8
12
(x + 5)
=
(y – 5)
–2
3
=
–2
3
– 2 (x + 5) = 3 (y – 5)
– 2x – 10 = 3y – 15
– 2x – 3y = – 15 + 10
;
La ecuación de A es: 2x + 3y = 5 .
Eje Y
Ahora, tracemos una recta B, que
intersecte a la recta A.
Re
c
ta
A
Igual que con la recta A, localicemos,
sobre el plano, dos puntos por los que
atraviesa esta recta.
( 8, 1)
Eje X
O
Y encontremos su ecuación.
( 2, –2)
cta
Re
mB
=
1 – (– 2)
8–2
=
3
6
1
2
=
B
1
2
;
(x – 8)
=
x – 8 = 2 (y – 1)
x – 8 = 2y – 2
x – 2y = – 2 + 8
;
La ecuación de B es: x – 2y = 6.
11
(y – 1)
Como observamos, las rectas A y B se intersectan. O sea, tienen un punto de intersección.
Hagamos una tabulación de cada una de las rectas.
Recta A
x
y = (5 –2x)/3
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
(5 –2(–4))/3
(5 –2(–3))/3
(5 –2(–2))/3
(5 –2(–1))/3
(5 –2(–0))/3
(5 –2(1))/3
(5 –2(2))/3
(5 –2(3))/3
(5 –2(4))/3
(5 –2(5))/3
(5 –2(6))/3
Recta B
y = x/2 – 3
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
13/3
11/3
9/3
7/3
5/3
1
1/3
–1/3
–1
–5/3
–7/3
=
=
=
=
=
4
3
3
2
1
1/3
2/3
(–4)/2 – 3
(–3)/2 – 3
(–2)/2 – 3
(–1)/2 – 3
(0)/2 – 3
(1)/2 – 3
(2)/2 – 3
(3)/2 – 3
(4)/2 – 3
(5)/2 – 3
(6)/2 – 3
1/3
2/3
=
=
1/3
– 1/3
=
=
–1 2/3
–2 1/3
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
–5
–9/2
–4
–7/2
–3
–5/2
–2
–3/2
–1
–1/2
0
=
–4 1/2
=
–3 1/2
=
–2 1/2
=
–1 1/2
=
– 1/2
El resultado de nuestra tabulación en el plano es así:
Eje Y
Además, en ella vemos que para el
valor x = 4, ambas rectas, según su
ecuación, asignan el valor y = –1. En
nuestro dibujo vemos también que las
rectas A y B se intersectan en el punto
(4, –1), como una buena aproximación.
Re
cta
A
O
Eje X
Sobre la región sombreada en azul
pálido, se encuentran los puntos
resultado de la tabulación.
ta B
c
e
R
Hagamos más, sustituyamos las coordenadas del punto que en la tabulación encontramos en ambas
rectas, sus valores numéricos (4, –1) en el plano, y desarrollemos las ecuaciones de cada una de las
dos rectas para saber si satisface las condiciones de ambas rectas.
12
Recta A
Recta B
Punto de intersección
2x + 3y = 5 ,
x – 2y = 6 ,
(4, –1).
(4) – 2(–1) = 4 + 2 = 6 .
Satisface ambas condiciones.
Sustituyendo:
2(4) + 3(–1) = 8 – 3 = 5 ,
Tracemos ahora, una recta C,
perpendicular a la recta A.
Eje Y
Como en los ejercicios anteriores,
localicemos sobre el plano al menos un
punto de esta recta.
Re
cta
( 5, 7)
A
( 3, 4)
¿Cómo encontramos su ecuación?
90°
O
Eje X
Re
cta
C
Contamos con dos caminos para encontrar
la ecuación de la recta C:
Uno. Sabemos el valor de la pendiente
de la recta A; entonces buscamos el
valor inverso y de
signo contrario al de la pendiente de A y con este valor y localizando un punto por el que
atraviese la recta C, construimos su ecuación.
Dos. Si tenemos localizados dos puntos por los que atraviesa la recta C, procedemos como en los
ejercicios anteriores.
13
¿Cuál camino tomamos?
Pues tomemos ambos, uno primero y otro después, y comparemos las ecuaciones que resulten.
Sabemos que serán la misma, pero nos habremos ejercitado por dos caminos diferentes la búsqueda
y hallazgo de la ecuación de una recta y así:
mA
–2
3
=
3
2
, entonces mC =
, por ser A y B perpendiculares,
Camino Uno:
3
2
(x – 3)
=
(y – 4)
;
3 (x – 3)
=
3x – 9 =
La ecuación de la recta C es:
Camino Dos:
mC
3x – 2y =
7–4
5–3
=
=
3
2
;
2 (y – 4)
2y – 8
1
3
2
(x – 5)
=
(y – 7)
3 (x – 5) = 2 (y – 7)
3x – 15 = 2y – 14
3x – 2y = 1
;
La ecuación de C es: 3x – 2y = 1.
Teniendo la ecuación de la recta C construida, veamos que nos dice la tabulación:
Recta A
Recta C
x
y = (5 –2x)/3
y = (3x –1)/2
–2
–1
0
1
2
3
4
(5 –2(–2))/3
(5 –2(–1))/3
(5 –2(–0))/3
(5 –2(1))/3
(5 –2(2))/3
(5 –2(3))/3
(5 –2(4))/3
=
=
=
=
=
=
=
9/3
7/3
5/3
1
1/3
–1/3
–1
=
=
=
=
=
3
2 1/3
1 2/3
(–6 –1)/2
(–3 –1)/2
(0 –1)/2
(3 –1)/2
(6 –1)/2
(9 –1)/2
(12 –1)/2
1/3
– 1/3
14
=
=
=
=
=
=
=
–7/2
–4/2
– 1/2
2/2
5/2
8/2
11/2
=
=
–3 1/2
–2
=
=
=
=
1
2 1/2
4
5 1/2
Eje Y
Este es el resultado de nuestra tabulación. Y
como nos damos cuenta el punto (1, 1), se
encuentra en ambas rectas; por lo que es el
punto de intersección.
Re
cta
A
La región sombreada en azul pálido contiene
los puntos, resultado de la tabulación.
90°
Eje X
O
Re
cta
C
Confirmemos entonces, que satisface ambas
ecuaciones.
Recta A
Recta C
Punto de intersección
2x + 3y = 5 ,
3x – 2y = 1,
(1, 1).
3(1) – 2(1) = 3 – 2 = 1.
Satisface ambas condiciones.
Sustituyendo:
2(1) + 3(1) = 2 + 3 = 5 ,
Eje Y
La siguiente recta que consideraremos es
la recta D, trazada encima de la recta A.
Re
c
Si la recta D, tiene la misma pendiente
que la recta A, al construir la ecuación de
la recta D, con cualquier punto que
localicemos de ella, obtendremos la
misma ecuación que ya exhibimos para la
recta A.
ta
A
Eje X
O
Re
ct a
Recta A: 2x + 3y = 5 ,
Recta D: 2x + 3y = 5 ,
15
D
Recta A con pendiente mA y punto (– 2, 3)
–2
3
(x + 2)
=
– 2 (x + 2) =
Recta D con pendiente mD y punto (2, 1/3)
–2
3
(y – 3)
3 (y – 3)
(x – 2)
=
(y – 1/3)
– 2 (x – 2) =
3 (y – 1/3)
– 2x – 4 =
3y – 9
– 2x + 4 =
3y – 1
– 2x – 3y =
4–9
– 2x – 3y =
–4 –1
2x + 3y =
5.
2x + 3y =
5.
En efecto, al construir la ecuación de la recta D con la misma pendiente que la recta A y un punto
cualquiera, localizado sobre ella (la recta D), desarrollamos la misma ecuación que la ofrecida para la
recta A.
Eje Y
Re
cta
En el caso de la tabulación
correspondiente para las rectas A y D, se
obtendrían los mismos puntos, puesto
que se calcularían a partir de la misma
ecuación para ambas rectas.
Aquí también, en la región sombreada
en azul pálido, se encuentran los puntos
que resultarían de la tabulación.
A
Eje X
O
Cualquier punto sobre una de las rectas
será un punto, y el mismo por cierto,
sobre la otra y por lo tanto satisface
ambas ecuaciones.
Re
cta
D
Por último, tracemos una recta E, que no intersecte a la recta A, que sea paralela a la recta A.
Localicemos un punto sobre ella (la recta E).
16
Eje Y
Re
c
La recta E es una recta tal que teniendo la
misma pendiente que la recta A, no tiene
con ella ni un sólo punto en común.
Re
cta
ta
A
E
Eje X
O
(–1, 2)
¿Cómo confeccionamos su ecuación?
Tenemos la pendiente de la recta E,
misma pendiente que A, y tenemos el
punto ( – 1, – 2 ), entonces procedamos.
Pendiente A y E:
mA,E
=
–2
3
, entonces
;
–2
3 (x + 1)
=
(y + 2)
– 2 (x + 1) = 3 (y + 2)
– 2x – 2 = 3y + 6
;
– 2x – 3y = 6 + 2
2x + 3y = – 8
;
La ecuación de E es: 2x + 3y = – 8.
Hemos revisado, dada una primera recta, las distintas posibilidades de trazo para una segunda. Lo
hicimos tanto en hojas de papel en blanco como en el plano cartesiano. Y mientras en la hoja de
papel sólo exploramos el comportamiento de las rectas según se intersectarán o no, caracterizado el
plano cartesiano en la hoja de papel, tuvimos más herramientas para su desarrollo, por ejemplo, las
coordenadas de algunos puntos, la inclinación de las rectas y las ecuaciones de las rectas de manera
que estas herramientas nos permitieron un mejor acercamiento al desarrollo, construcción y
conceptualización de las rectas.
17
Este es el resumen de las rectas trazadas
en el plano cartesiano y que se utilizaron
para desarrollar los ejercicios.
Re
cta
Re
c ta
Re
cta
C
Eje Y
A
E
90°
Eje X
O
B
cta
e
R
Re
c
ta
D
Recordemos ahora la pregunta que se nos hizo: ¿qué quiere decir el que dos rectas tengan un
punto de intersección?
Respuesta: que el punto de intersección pertenece a ambas rectas. Los valores numéricos de las
coordenadas del punto de intersección de dos rectas, determinadas por su posición en el plano
cartesiano, satisfacen la ecuación de cada una de las rectas.
El plano nos provee de elementos simples para la caracterización de las rectas, estos son: la posición
de los puntos en el plano y la inclinación de la recta en el plano (la pendiente de la recta en el plano).
De esta forma la conducta de las rectas y sus puntos se resumen de la siguiente forma: primero por
sus puntos y luego por su inclinación;
Por la posición de los puntos:
1. Si dos rectas tienen sólo un punto en común, las rectas se intersectan,
2. Si dos rectas tienen más de un punto en común, las rectas son la misma y
3. Si dos rectas no tienen ni un punto en común, las rectas son paralelas.
Por la inclinación de las rectas (sus pendientes):
1. Dadas dos rectas, si sus pendiente son diferentes, estas se intersectan y
2. Dadas dos rectas, si sus pendientes son iguales, estas son la misma o son paralelas.
18
Ejercicios
1. Encuentra la ecuación o las ecuaciones de las rectas cuyos puntos tienen el mismo valor en
su ordenada (valor en y):
•
•
•
•
rectas paralelas al eje X o bien,
rectas perpendiculares al eje Y.
dibuja algunas restas de estas en el plano y
¿cómo resultaría la tabulación de estas rectas?
2. Encuentra la ecuación o las ecuaciones de las rectas cuyos puntos tienen el mismo valor en
su abscisa (valor en x):
•
•
•
•
rectas paralelas al eje Y o bien,
rectas perpendiculares al eje X.
dibuja algunas restas de estas en el plano y
¿cómo resultaría la tabulación de estas rectas?
19
Matemáticas 3
x + by = p
cx + dy = q
x = p - by
c(p - by) + dy = q
1: Sistemas de Ecuaciones Lineales
a b p
c d q
1.2 : Métodos de solución
Objetivo
El estudiante aprenderá algunos métodos de
solución para sistemas de ecuaciones lineales,
sistemas de rectas en el plano cartesiano.
Y
2x – y
5x + 2y = 3
=7
y=–
3...
Y
X
O
X
Presentación
Se nos propone el siguiente acertijo:
Ejemplo 1. La edad de Pedro es el doble de la de Manuel y la suma de ambas edades es 48.
¿Cuántos años tiene Pedro y cuántos Manuel?
Identificando las edades de Pedro y Manuel con las iniciales de sus nombres, tenemos las siguientes
expresiones o ecuaciones entre sus edades, en lo que nos dice el texto:
(1) La edad de Pedro es el doble de la de Manuel; p = 2m (¿quién es mayor?),
(2) La suma de ambas edades es 48; p + m = 48.
Tenemos entonces dos ecuaciones, ambas rectas, relacionadas entre sí y que nos dan la
correspondencia entre las edades de Pedro y Manuel. Al arreglo de ecuaciones bajo este esquema,
afectadas una con la otra, se le llama Sistema de Ecuaciones.
Para resolver este sistema debemos encontrar la forma de “inyectar” una recta en la otra, esto quiere
decir que la recta “inyectada” tendrá las condiciones de la recta “receptora”, condiciones que sólo
cumple el punto de intersección por encontrarse en ambas rectas.
Procedamos a buscar la solución de este ejercicio. En el texto del ejercicio, la edad de Pedro (p) se
menciona como “el doble” de la de Manuel (m), o sea que p “es dos veces m” lo que escribimos
como: (1) p = 2m; y la suma de sus edades como: (2) p + m = 48.
20
Entonces (1)
p = 2m ,
sustituimos en (2)
(2m) + m = 48 ,
de aquí,
lo que nos da
3m = 48 ,
m = 16
y
p = 2(16) = 32 .
Respuesta: Pedro tiene 32 años y Manuel 16.
¿Podemos tabular y graficar las ecuaciones de estas rectas? Sí, ¿cómo?, de la siguiente manera:
Tabulación.
Recta (1)
Recta (2)
p
m = p/2
m = 48 – p
0
10
20
30
40
50
60
0/2
10/2
20/2
30/2
40/2
50/2
60/2
=
=
=
=
=
=
=
0
5
10
15
20
25
30
48 – 0
48 – 10
48 – 20
48 – 30
48 – 40
48 – 50
48 – 60
=
=
=
=
=
=
=
48
38
28
18
8
–2
–12
Sombreamos los desarrollos que se acercan más a los valores que nos arrojó el proceso algebraico
para la edad de Pedro: entre 30 y 40 años; y para la edad de Manuel siguiendo la ecuación (1): entre
15 y 20 años y siguiendo la ecuación (2): entre 18 y 8 años.
Gráfica
En la búsqueda de solución sobre el
dibujo del plano, en este ejercicio,
observamos lo siguiente:
Edad de Manuel
M
48
)
(2
ón 8
ci = 4
ua m
Ec +
p
45
42
39
36
•
las edades son positivas pues no se
cuantifica la gestación.
•
se hizo un cambio de escala para
que la intersección de las rectas se
realizara en un punto accesible (en
nuestra hoja).
•
las coordenadas del punto de
intersección, son aproximadas.
•
en la gráfica, tenemos que los
valores más cercanos son: para la
edad de Pedro entre 30 y 33 años; y
para la edad de Manuel entre 15 y 18
años.
33
(1)
ión
c
a
u
Ec p = 2m
30
27
24
21
18
15
12
Edad de
Pedro
9
6
3
P
O
3
6
9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51
21
La accesibilidad del punto de intersección, en el trazado de rectas que representarán nuestras
ecuaciones, y la aproximación a las coordenadas de ese punto, nos aconsejan buscar métodos
aritméticos o algebraicos para resolver los sistemas de ecuaciones que construimos como modelo de
cualquier ejercicio que se nos plantee.
Para que lo propuesto en el párrafo anterior sea más claro, supongamos el siguiente acertijo:
Ejemplo 2. Semejante al anterior y cambiando sólo algunos datos. La edad de un elefante del
zoológico es el doble de la de una tortuga del mismo parque y la suma de ambas edades es 160.
¿Cuántos años tiene el elefante y cuántos la tortuga?
Identificamos las edades del elefante y la tortuga por las iniciales de sus nombres, tenemos las
siguientes relaciones, entre las edades, en lo que nos dice este último texto:
(1) La edad del elefante es el doble de la edad de la tortuga; e = 2t (¿quién es mayor?),
(2) La suma de ambas edades es 160; e + t = 240.
Para hacer más clara la necesidad de un método aritmético o algebraico, y por tanto consistente,
desarrollemos en este ejercicio, primero la tabulación y la gráfica y después, apliquemos el
procedimiento desplegado en el ejercicio anterior para obtener las edades de este par de animales
(coordenadas del punto de intersección de nuestras rectas).
Tabulación
Recta (1)
e
t = e/2
0
30
60
90
120
150
180
0/2
30/2
60/2
90/2
120/2
150/2
180/2
Recta (2)
t = 240 – e
=
=
=
=
=
=
=
0
15
30
45
60
75
90
240 – 0
240 – 30
240 – 60
240 – 90
240 – 120
240 – 150
240 – 180
=
=
=
=
=
=
=
240
210
180
150
120
90
60
Para este ejercicio, sombreamos los desarrollos que se aproximan más a los valores que cumplen las
condiciones propuestas.
Operando en las ecuaciones, los valores de mejor aproximación son:
Ecuación (1)
Ecuación (2)
Elefante
Tortuga
e = 2t
e + t = 240
150
75
90
150 = 2(75)
150 ≠ 2(90)
150 + 75 = 225
150 + 90 = 240
180
90
60
180 = 2(90)
180 ≠ 2(60)
180 + 90 = 270
180 + 60 = 240
Gráfica
22
Las posibles parejas que
obtenemos mediante la
tabulación no satisfacen, de
modo simultaneo, las
condiciones del ejercicio.
A esta gráfica le hacemos las siguientes
observaciones:
Edad de la tortuga
T
•
las edades, también aquí son
positivas, por la misma razón.
•
un cambio de escala, más amplio,
para que el punto de intersección sea
accesible.
•
las coordenadas del punto de
intersección, son aproximadas.
•
en la gráfica, tenemos que los
valores más cercanos son: para la
edad del elefante entre 150 y 165
años; y para la edad de la tortuga
entre 75 y 90 años.
240
)
(2
ón 0
ci 2 4
ua t =
Ec +
e
225
210
195
180
165
(1)
ión
c
a
t
u
Ec e = 2
150
135
120
105
90
75
60
Edad del
elefante
45
30
15
E
O
15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255
Volviendo a las primeras ecuaciones construidas sobre las condiciones del ejercicio, tenemos que en
la ecuación (1) la e (edad del elefante) aparece despejada, de manera que si el valor de e (=2t) lo
sustituimos en la ecuación (2), obtenemos:
(1)
sustituimos en (2)
e = 2t
(2t) + t = 240 ,
de aquí,
lo que nos da
3t = 240 ,
t = 80
y
e = 2(80) = 160 .
Respuesta: el elefante tiene 160 años y la tortuga 80.
Nos damos cuenta que los métodos de tabulación y gráfico son métodos de aproximación. Con ellos
nos acercamos a los valores de la solución. Habrá casos en los que en la tabulación tengamos la
suerte de calcular las ecuaciones en los valores solución. En el método gráfico, un dibujo muy
afortunado nos ofrecerá una intersección sobre el punto solución. Tengamos en cuenta que estos
casos serán los menos, de manera que nuestro gran apoyo para encontrar la solución de cualquier
acertijo es un método aritmético o algebraico, con él no habrá ejercicio que se nos resista.
Ejemplo 3. En el mercado, el kilogramo de maíz cuesta $2 y el de azúcar $4. ¿Cuántos kilogramos
se compraron de cada mercancía?, sabiendo que el total de kilos, sumados el maíz y el azúcar, fue
de 3 y se pagó por ellos $7.
Ecuaciones:
kilos
pago
(1)
(2)
m+ a =3,
2m + 4a = 7 ,
Como en los ejercicios anteriores, una de las mercancías aparece, en alguna de las ecuaciones, en
23
singular. En (1) ambas, de modo que procedemos a despejar una de ellas y la sustituiremos en (2)
buscando la solución, por ejemplo el maíz.
despejando m (1) ,
m =
sustituimos en (2) ,
2(3 – a) + 4a =
7
6 – 2a + 4a =
7
$2
1Kg aíz
M
$4
1Kg car
Azu
3–a
¿Maíz
2a =
7–6
2a =
1
a =
1/2 ,
?
¿Azúc
ar?
+
=
aplicamos en (1)
7 Kilos
m = 3 – 1/2
m = 2 1/2.
De manera que se compraron 2 ½ kilos de maíz y 1/2 kilo de azúcar.
La gráfica del par de ecuaciones construido y desarrollado, es esta:
Como en las gráficas anteriores, hacemos
algunas observaciones:
2
=
aquí, el cambio de escala nos permite
un mejor acercamiento al punto de
intersección,
a
•
3
+
los precios de las mercancías son
positivas (por obvias razones),
Azúcar
m
•
Eje Y
3
•
•
•
las coordenadas del punto de
intersección, siguen siendo
aproximadas.
en la gráfica, tenemos que los valores
más cercanos son: para la cantidad de
maíz en kilogramos entre 2 y 3; y para
la cantidad de kilogramos de azúcar
entre 1 y 2.
2m
1
+4
a=
7
Maíz
O
1
2
3
Eje X
y las coordenadas del punto de intersección, con un
buen dibujo y después del resultado algebraico, son:
(1/2, 2 1/2).
Ejemplo 4. Si 2 bolsas de galletas y 3 bolsas de dulces pesan 7 kilogramos; y 4 bolsas de dulces
24
pesan 7 kilogramos más 2 bolsas de galletas. ¿Cuánto pesa cada bolsa de galletas y cuánto la de
dulces?
Ecuaciones:
Reacomodando,
(1) 2g + 3d = 7
(1) 2g + 3d = 7
(2)
4d = 7 + 2g
(2) –2g + 4d = 7
En el planteamiento de este ejercicio, aparecen 2 bolsas de galletas en el inicio, sumadas a las
bolsas de dulces, y después, sumadas a los kilogramos. De manera que igualando las ecuaciones
propuestas a los kilogramos que se mencionan, en ambas ecuaciones tenemos que el número de
bolsas de galletas es el mismo pero con diferente signo. Así, podemos sumar (1) a (2), suprimiendo
las bolsas de galletas y dejando bolsas de dulces y kilogramos.
(1) 2g + 3d = 7
(2) –2g + 4d = 7
sumando (1) + (2) ,
0 + 7d = 14
d = 14/7
d=2,
aplicando en (1)
2g = 7 – 3d
2g = 7 – 3(2)
2g = 7 – 6
2g = 1
g = 1/2.
Respuesta: Cada bolsa de galletas pesa 1/2 kilogramo y la de dulces 2 kilogramos.
La gráfica de estas ecuaciones, es la siguiente (aproximadamente):
D
(1)
2g
+3
Algunas observaciones:
•
cambio de escala para un mejor
acercamiento al punto de
intersección.
•
las coordenadas del punto de
intersección, siguen siendo
aproximadas.
•
en la gráfica, tenemos: para el
peso de las bolsas de galletas
entre 1 y 2; y para el de los dulces,
tomar como bueno el 2.
•
las coordenadas del punto de
intersección, con un buen dibujo y
el resultado algebraico, son: ( 1/2 ,
2).
4
d=
7
3
2
(2)
–2g
7
d=
+4
1
G
O
–4
–3
–2
–1
1
2
–1
25
Ejemplo 5. Se compran, en una papelería, 3 cuadernos y 2 agendas y se paga por todo ello $13. Más
tarde se compran, en la misma papelería, 5 agendas y 3 cuadernos y se paga $19. ¿Cuál es el precio
de un cuaderno y cuál el de una agenda?
Ecuaciones:
Reacomodando,
(1) 3c + 2a = 13
(2) 5a + 3c = 19
(1)
(2)
3c + 2a = 13
3c + 5a = 19
En este ejercicio, aparecen 3 cuadernos en cada compra. De modo que restando una ecuación a la
otra, de manera indistinta, eliminaríamos los cuadernos.
(1) x –1,
restando (2) a (1),
(1’) – (3c + 2a = 13)
(2)
3c + 5a = 19
(1’)
(2)
sumando (1’) + (2) ,
(1)
(2)
3c + 2a = 13
3c + 5a = 19
0 – 3a = –6
a = 6/3
–3c – 2a = –13
3c + 5a = 19
0 + 3a = 6
a=2,
a = 6/3
a=2,
aplicando en (1)
3c = 13 – 2a
3c = 13 – 2(2)
3c = 13 – 4
+
= $13
+
3c = 9
= $19
c = 9/3
c=3.
Respuesta: Cada cuaderno costó $3 y cada agenda $2.
Dibuja la gráfica de las ecuaciones de este ejercicio (5) y haz las observaciones que consideres
pertinentes.
Ejemplo 6. Llenando 5 contenedores pequeños y 4 grandes obtenemos 13 litros. Si llenamos 4
contenedores grandes y 15 pequeños, 15 litros. ¿Cuál es la capacidad de cada uno de los tamaños
de contenedor?
26
Ecuaciones:
(1)
5p + 4g = 13
(2) 15p + 4g = 15
En este ejemplo, 4 contenedores grandes aparecen en las dos ecuaciones. De modo que si restamos
una a la otra, de manera indistinta, eliminaremos los contenedores grandes.
(1) x –1,
restando (2) a (1),
(1’) – (5p + 4g = 13)
(2) 15p + 4g = 15
(1’)
(2)
sumando (1’) + (2) ,
(1) 5p + 4g = 13
(2) 15p + 4g = 15
–10p + 0 = –2
p = 2/10
–5p – 4g = –13
15p + 4g = 15
10p + 0 = 2
p = 1/5 ,
p = 2/10
p = 1/5 ,
aplicando en (1)
+
4g = 13 – 5p
4g = 13 – 5(1/5)
+
4g = 13 – 1
4g = 12
= 13 litros
g = 12/4
= 15 litros
g=3.
Respondemos que: La capacidad de un contenedor grande es de 3 litros y el de uno pequeño de 1/5
de litro.
Dibuja la gráfica de las ecuaciones que se produjeron para este ejercicio (6) y haz tus observaciones.
Ejemplo 7. En un almacén de harina se tienen sólo dos pesas de diferente tara. Si a un cliente se le
empacaron 53 kilogramos habiendo puesto en la balanza 9 pesas grandes y 4 pequeñas; y a otro
cliente se le empacaron 29 kilogramos habiendo puesto en la balanza 5 pesas grandes y 2 pequeñas.
¿Cuál es la tara de cada una de las pesas?
Ecuaciones:
(1)
9g + 4p = 53
(2)
5g + 2p = 29
Multiplicamos por –2 la ecuación (2), con ello duplicamos la ecuación a la vez que la multiplicamos
por –1, y después sumamos ambas ecuaciones:
27
(1)
9g + 4p = 53
(2’) –10g – 4p = –58
(1) x –2,
sumando (1) + (2’) ,
–g + 0 = –5
g=5,
aplicando en (1)
4p = 53 – 9g
4p = 53 – 9(5)
4p = 53 + 45
4 pesas p
n
hari
a
4p = 8
9 pesas g
p = 8/4
p=2.
2 pesas p
4 pesas g
harina
Respondemos que las pesas tienen las siguientes taras: la grande, 5 kilogramos; la pequeña 2
kilogramos.
Desarrolla la tabulación de las dos ecuaciones del ejercicio (8) y dibuja sus gráficas, añadiendo las
observaciones que consideres pertinentes.
Ejemplo 8. Los pequeños de preprimaria están aprendiendo aritmética y para ello cuentan con
tablitas de diferentes longitudes, en centímetros, para los números del 1 al 12 y un tablero de
aritmética donde asientan las tablillas. A cada longitud y número le corresponde un color
determinado. Resulta que han construido dos expresiones con tablitas de dos longitudes distintas.
Las expresiones son las siguientes: primera expresión; 3 tablitas rojas midieron lo mismo que 5
unidades del tablero y 2 tablitas azules; segunda expresión; 5 tablitas azules tuvieron la misma
medida que 4 unidades del tablero y 2 tablitas rojas.
¿Cuánto miden las tablitas rojas y cuánto las azules?
Ecuaciones
Reacomodando,
(1)
(2)
(1) 3r – 2a = 5
(2) –2r + 5a = 4
3r = 5 + 2a
5a = 4 + 2r
Para que podamos sumar ambas expresiones o ecuaciones y con ello suprimir alguna de las
incógnitas (ya sea la “r” o la “a”) multiplicamos por 2 (duplicamos) la ecuación (1) y por 3 (triplicamos)
la ecuación (2), con esto, los coeficientes de la “r” serán iguales (en valor) y de signo contrario y así
podremos sumar ambas ecuaciones y suprimir las “r”, hagámoslo:
28
(1) x 2,
(2) x 3,
(1’) 6r – 4a = 10
(2’) –6r + 15a = 12
sumando (1’) + (2’) ,
0 + 11a = 22
a = 22/11
a=2,
aplicando en (1)
3r = 5 + 2a
3r = 5 + 2(2)
3r = 5 + 4
de
Tablero
a
Aritmétic
1 2 3
4 5
s
itas Roja
Tres tabl
es
r = 9/3
1
2 3 4
blitas Az
Cinco ta
(2)
Expresión
2r
5a = 4 +
3r = 9
Dos Azul
(1)
Expresión
2a
3r = 5 +
r=3.
ules
s
Dos Roja
Nuestra respuesta: las tablitas azules representan al número 2 y miden 2cm., mientras que las
tablitas rojas representan al número 3 y miden 3cm.
29
Ejemplo 9. En una papelería un cliente compró 2 bolígrafos y 7 cuadernos y pagó en total $71. Otro
cliente compró 5 bolígrafos y 3 cuadernos y su pago fue de $47. ¿Cuál es el precio de un bolígrafo y
cuál el de un cuaderno?
Si en ambas ecuaciones despejamos la “b”, obtenemos
Ecuaciones:
(1)
2b + 7c = 71
,
b =
71 – 7c
2
(2)
5b + 3c = 47
,
b =
47 – 3c
5
comparémoslas
71 – 7c
2
47 – 3c
5
=
5 ( 71 – 7c) =
, hemos igualado ambas ecuaciones en “b”,
2 ( 47 – 3c)
355 – 35c =
94 – 6c
– 35c + 6c =
94 – 355
– 29c =
, eliminemos los denominadores,
, desarrollemos,
– 261
c =
261/29
c =
9,
aplicando en (1)
2b = 71 – 7c
2b = 71 – 7(9)
2b = 71 – 63
2b = 8
b = 8/2
b=4.
Respuesta: el precio de un bolígrafo es $4 y el de un cuaderno $9.
30
Desarrolla la tabulación de las dos ecuaciones del ejercicio (9), dibuja sus gráficas y añade las
observaciones que consideres pertinentes.
Ejemplo 10. Para celebrar la primavera, Marcela compró 2 kilos de manzanas y 6 de peras y pagó
por todo $55. Al llegar a casa se enteró que su mamá había comprado 8 kilos de peras y 3 de
manzanas, pagando por ellos $76. ¿Cuánto les costó el kilo de manzanas y cuánto el de peras?
Ecuaciones:
Si en ambas ecuaciones despejamos la “b”, obtenemos
(1)
2m + 6p = 55
,
p =
55 – 2m
6
(2)
8p + 3m = 76
,
p =
76 – 3m
8
comparémoslas
55 – 2m
6
=
8 ( 55 – 2m) =
440 – 16m =
, hemos igualado ambas ecuaciones en “b”,
76 – 3m
8
6 ( 76 – 3m)
, eliminemos los denominadores,
, desarrollemos,
456 – 18m
– 16m + 18m = 456 – 440
2m =
6k, pera
2k, mza
16
m =
16/2
M =
8,
aplicando en (1)
6p = 55 – 2m
6p = 55 – 2(8)
$55
6p = 55 – 16
6p = 39
8k, pera
3k, mza
$76
p = 39/6
p = 6 3/6 .
p = 6 1/2 .
Respuesta: el kilo de manzanas costó $8.00 y el de peras $6.50.
31
Desarrolla la tabulación de las dos ecuaciones del ejercicio que acabamos de resolver, dibuja sus
gráficas y añade las observaciones pertinentes.
Ejemplo 11. En un teatro, 15 boletos para adulto y 8 para infante cuestan $2,740; y 5 boletos para
adulto y 4 para infante cuestan $1,020. ¿Cuál es el precio de un boleto para adulto y cuál el de uno
para infante?
Ecuaciones
(1)
(2)
15a + 8i = 2740
5a + 4i = 1020
Para resolver este ejercicio, utilizaremos un método llamado
“por determinantes” o “método de Cramer”.
La construcción y desarrollo de un determinante es sobre “matrices” –arreglos rectangulares de
números dispuestos en columnas y renglones– de la siguiente forma:
a) Por columna, anotaremos los valores de los coeficientes de una misma incógnita o los valores de
los términos constantes, según sea el caso y
b) Las operaciones para obtener el valor del determinante son las siguientes:
x
y
Supongamos que los coeficientes para las x’s y las y’s son: a, b, c, d.
a
c
b
d
= (a x d) – (c x b) = ad – cb = valor del determinante = ∆ (letra griega D).
i)
•
El producto de los números que se encuentran, en la esquina superior izquierda y
en la esquina inferior derecha, es POSITIVO, o sea, se anota con el signo
resultante del producto de los signos que posean tales números.
•
El producto de los números que se encuentran, en la esquina inferior izquierda y en
la esquina superior derecha, es NEGATIVO, o sea, se anota con el signo contrario
al resultante del producto de los signos que posean tales números.
En nuestro ejercicio, con los coeficientes de las incógnitas (a’s e i’s), formaremos el
determinante del sistema:
a
i
las operaciones son las siguientes:
15
5
8
4
= (15 x 4) – (5 x 8) = 60 – 40 = 20 = ∆.
32
ii)
Sustituyendo los coeficientes de la incógnita “a” por los términos constantes, y los
coeficientes de la incógnita “i” formaremos el determinante de la “a”:
k
i
las operaciones:
2740
1020
8
4
= (2740 x 4) – (1020 x 8) = 10960 – 8160 = 2800 = ∆a.
iii) Con los coeficientes de la incógnita “a” y sustituyendo los coeficientes de la incógnita “i” por
los de los términos constantes formaremos el determinante de la “i”:
a
k
15
5
2740
1020
las operaciones:
= (15 x 1020) – (5 x 2740) = 15300 – 13700 = 1600 = ∆i.
Finalmente, para obtener los valores de “a” e “i”, dividimos sus respectivos determinantes por el
determinante del sistema. Esto es:
a
∆a
=
∆
=
2800
20
= 140.
i
=
∆i
∆
=
1600
20
= 80.
Y nuestra respuesta es: el precio del boleto para infante es de $80 y para adulto de $140.
Ejemplo 12. Los pequeños de preprimaria han construido otras dos expresiones con tablitas de dos
longitudes distintas, son las siguientes: primera, 2 tablitas amarillas y 5 tablitas verdes midieron 13
unidades del tablero; segunda, 3 tablitas amarillas tuvieron la misma medida que 8 unidades del
tablero y 4 tablitas verdes. ¿Cuánto miden las tablitas amarillas y cuánto las verdes?
Ecuaciones
Reacomodando,
(1) 2a + 5v = 13
(2)
3a = 8 + 4v
(1)
(2)
2a + 5v = 13
3a – 4v = 8
i) Determinante del sistema:
a
v
2
3
5
–4
las operaciones:
= (2 x –4) – (3 x 5) = –8 – 15 = –23 = ∆ .
33
ii) Determinante de la “a”:
k
v
13
8
5
–4
operaciones:
= (13 x –4) – (8 x 5) = –52 – 40 = –92 = ∆a.
iii) Determinante de la “v”:
a
k
operaciones:
2
3
13
8
= (2 x 8) – (3 x 13) = 16 – 39 = –23 = ∆v.
Para obtener los valores de “a” y “v”:
a
=
∆a
∆
=
Tablero de
Aritmética
–92
–23
= 4.
v
11 12
8 9 10
5 6 7
4
3
1 2
∆i
∆
=
–23
–23
= 1.
13
La respuesta es: las tablitas amarillas
representan al número 4 y miden 4cm.,
mientras que las tablitas verdes
representan al número 1 y miden 1cm.
des
y cinco Ver
illas
ar
m
A
as
Dos tablill
(1)
Expresión
13
=
2a + 5v
7 8
4 5 6
1 2 3
as
Tres tablit
=
Amarillas
es
Cuatro Verd
(2)
Expresión
v
4
3a = 8 +
34
Ejemplo 13. ¿Cuántos cm3 de solución salina al 5% y cuántas de solución al 20% se deben mezclar
para obtener 60 cm3 de solución salina al 15%?
Ecuaciones
cm3 de solución requeridos
% de salinidad de la solución
requerida
(1)
x + y = 60
(2) 0.05x + 0.20y = 60 x 0.15
(2) 0.05x + 0.20y = 9
Multiplicando (2) por 100, tenemos:
(1) x + y = 60
(2) 5x + 20y = 900
Resolveremos este ejercicio mediante otro método, el
“Método de Gauss”.
Para este método, necesitamos construir una “matriz” –recuerda, arreglo rectangular de números
dispuestos en columnas y renglones–, con los coeficientes de las variables y los términos constantes.
La configuración y operación de esta matriz es de la siguiente forma:
a) Por columna, anotaremos los valores de los coeficientes de una misma incógnita así como los
valores de los términos constantes y
b) Las operaciones para obtener el resultado del sistema son las de suma, resta, multiplicación y
división según se necesiten.
Construyamos la matriz de nuestro ejemplo.
x
y
k
1
5
1
20
60
900
Por el método de Gauss, se debe transformar la matriz que se
construye de coeficientes y términos constantes del ejercicio en una
matriz que tenga sólo ceros “0” abajo de la “diagonal principal” de la
matriz transformada.
•
•
la diagonal principal señalada con una flecha azul
abajo de esta diagonal, el 5 que debemos transformar en 0.
35
¿Cómo hacerlo?
¿ cm 3
5% ?
¿c
En la matriz transformada:
3
m
20
%?
1) escribiremos el primer renglón de la matriz del ejercicio,
60cm3 al 15%
En una matriz de transición:
2) multiplicamos el primer renglón por 5,
3) restamos el segundo renglón al primero (o multiplicamos x –1 y sumamos),
4) ese resultado lo escribiremos como el segundo renglón de la matriz transformada,
5) despejada la segunda variable, encontramos su valor y
6) aplicamos ese valor en (1) o en (2) y obtenemos el valor de la primera variable.
Comenzamos por el paso 2)
el paso 3)
ahora paso 1)
paso 4)
y paso 5)
5
–5
5
–20
300
–900
0
–15
–600
x
y
k
1
0
1
–15
60
–600
–15y =
–600
y =
600/15
y =
40 ,
Matriz de “transición”
cambio de signo para aplicar
Matriz transformada
aplicando en (1)
x + 40 = 60
x = 60 – 40
x = 20.
36
Respuesta: deben mezclarse 20cm3 de solución salina al 5% y 40cm3 de solución al 20%, así se
obtendrán 60 cm3 de solución salina al 15%.
A través de los ejercicios que hemos resuelto, hicimos uso de varios métodos o desarrollos para
obtener las soluciones. Estos métodos están relacionados entre sí, de manera que todos obedecen
las mismas reglas de operación del álgebra. Por el momento nos basta con saber que son afines, nos
brindan varias vías de desarrollo –mientras más herramientas sepamos usar, mejores marcas
tendremos– para resolver los ejercicios cuya solución se encuentra a través de Sistemas de
Ecuaciones Lineales.
Resolvimos ejercicios mediante los siguientes métodos (abreviados o superabreviados):
Nombre
Proceso, después de acomodar las variables en una misma columna.
1. Sustitución
Alguna de las variables está en singular; sustituirla en la otra.
2. Suma o Resta
•
•
La misma variable tiene, en ambas ecuaciones del sistema, el mismo
coeficiente ya sea con el mismo signo, restar una a la otra; o con signos
contrarios, entonces sumar una a la otra.
Si se desea igualar los coeficientes de la misma variable:
Multiplicar el coeficiente de esa variable en la primera ecuación, por la
segunda ecuación y
Multiplicar el coeficiente de esa misma variable en la segunda
ecuación, por la primera ecuación.
Esto nos asegura que la misma variable tiene ahora, en ambas
ecuaciones, coeficientes iguales, salvo tal vez el signo.
3. Igualación
Despejar la misma variable en ambas ecuaciones e igualar las resultantes.
4. Determinantes o
de Cramer
Se obtienen los determinantes, del sistema y los determinantes de las dos
variables. Para obtener los valores de las variables, solución del sistema:
dividimos cada uno de los determinantes de las variables por el
determinante del sistema.
5. De Gauss
Se transforma la matriz del ejercicio, mediante operaciones de suma,
resta, multiplicación y división entre sus renglones, de modo que abajo de
la diagonal principal sólo se tenga el valor “0”.
Para convencernos que por cualquiera de estos métodos obtendremos el mismo resultado al
aplicarlos sobre un Sistema de Ecuaciones Lineales, resolvamos un ejercicio utilizando todos estos
métodos.
37
Ejemplo 14. En un almacén de granos, Vicente compra 1 saco de maíz y 3 sacos de trigo que juntos,
los cuatro sacos, pesan 6 kilos; Gerardo compra 5 sacos de maíz que pesan lo mismo que 13 kilos,
puestos en pesas, más 2 sacos de trigo. ¿Cuántos kilos pesa cada saco de maíz y cuánto cada saco
de trigo?
Ecuaciones:
(1)
m + 3t = 6
(2)
5m = 13 + 2t
Dibujos:
6k 6k
1k
6k
1. Método de Sustitución
de (1)
sustituimos en (2)
m = 6 – 3t
5(6 – 3t) = 13 +2t ,
30 – 15t = 13 + 2t
– 15t – 2t = 13 – 30
– 17t = – 17
t = 17/17
t = 1 , en (1)
m = 6 – 3(1)
m=6–3
m=3.
Respuesta: el saco de maíz pesa 3 kilos y el de trigo 1 kilo.
38
2. Método de Suma o Resta
Ecuaciones:
(1)
(2)
m + 3t = 6
5m = 13 + 2t
(1) m + 3t = 6
(2) 5m – 2t = 13
, x2
, x3
(1’) 2m + 6t = 12
(2’) 15m – 6t = 39
sumamos,
17m + 0 = 51
m = 51/17
m = 3 , en (1)
3 + 3t = 6
3t = 6 – 3
3t = 3
t = 3/3
t=1.
Respuesta: el saco de maíz pesa 3 kilos y el de trigo 1 kilo. Llevamos dos.
3. Método de Igualación
Ecuaciones:
(1)
(2)
m + 3t = 6
5m = 13 + 2t
(1)
t=
6–m
3
(2)
t=
5m – 13
2
2 (6 – m) =
3 (5 – 13)
12 – 2m =
15m – 39
– 2m – 15m =
– 39 – 12
– 17m =
– 51
m =
51/17
m =
3,
en (1)
3 + 3t = 6
3t = 6 – 3
3t = 3
t = 3/3
39
t = 1.
Respuesta: el saco de maíz pesa 3 kilos y el de trigo 1 kilo. Y llevamos tres.
4. Método de Determinantes
Ecuaciones:
(1)
(2)
m + 3t = 6
5m = 13 + 2t
(1) m + 3t = 6
(2) 5m – 2t = 13
i) Determinante del sistema:
m
t
1
5
3
–2
las operaciones:
= (1 x –2) – (5 x 3) = –2 – 15 = –17 = ∆ .
ii) Determinante del “maíz”:
k
t
6
13
3
–2
operaciones:
= (6 x –2) – (13 x 3) = –12 – 39 = –51 = ∆m.
iii) Determinante del “trigo”:
m
k
operaciones:
1
5
6
13
= (1 x 13) – (5 x 6) = 13 – 30 = –17 = ∆t.
Para obtener los valores del “maíz” y del “trigo”:
maíz =
∆m
∆
=
–51
–17
= 3.
trigo
=
∆t
∆
=
–17
–17
= 1.
Respuesta: el saco de maíz pesa 3 kilos y el de trigo 1 kilo. Completamos cuatro.
40
5. Método de Gauss
Ecuaciones:
(1)
(2)
m
t
k
1
5
3
–2
6
13
m + 3t = 6
5m = 13 + 2t
(1) m + 3t = 6
(2) 5m – 2t = 13
Matriz de “transición”:
multiplicar x 5
multiplicar x –1 y sumar o sólo restar
(2)
m
t
k
1
0
3
17
6
17
15
2
30
–13
0
17
17
transformada
Matriz transformada
evaluamos t en (2) transformada
aplicando en (1)
5
–5
17t
=
17
t
=
17/17
t
=
1,
m+3=6
m=6–3
m = 3.
Respuesta: el saco de trigo pesa 1 kilo y el de maíz 3 kilos. Cumplimos con los cinco y en todos y
cada uno de ellos obtuvimos la misma respuesta.
¿Qué sucede con estos métodos cuando se enfrentan a un sistema de rectas paralelas entre sí o que
el sistema esté compuesto por la misma recta?
Respuestas:
•
Cualquiera que haya sido el método escogido y habiendo sido cuidadoso en su aplicación, los
resultados del sistema podrían parecernos “extraños” y tendríamos la sensación de haber
cometido algún error en el desarrollo de las operaciones.
41
•
A través del análisis de esas “extrañezas” en los resultados, sabremos cómo son entre sí las
rectas que componen el sistema.
Resolvamos un ejemplo en el que el sistema esté formado por un par de rectas paralelas entre sí y
utilizando las mismas dos rectas paralelas resolvamos por los “cinco” métodos.
Ejemplo 15. Sean las rectas:
(1) x – 2y = 6
(2) 2x – 4y = 2
Eje Y
m1,2 = 1
Esta es la gráfica de las líneas
rectas, de este ejercicio, sobre el
Plano Cartesiano.
2
O
Re
)
R
a (2
ect
cta
( 1)
Eje X
1. Método de Sustitución
de (1)
x = 2y + 6
sustituimos en (2)
2(2y + 6) – 4y = 2 ,
4y + 12 – 4y = 2
4y – 4y = 2 – 12
¿ 0 = – 10 ?
Esta “extrañeza”, “0 igual a un valor
distinto de 0”, nos dice que el sistema es de
dos rectas paralelas.
2. Método de Suma o Resta
(1)
(2)
x – 2y = 6
2x – 4y = 2
(1) 2x – 4y = 12
(2) – 2x + 4y = –2
sumamos,
¿0 + 0 = 10?
42
, x2
, x –1
Misma “extrañeza”, “0 igual a un valor
distinto de 0”, misma conclusión: dos
rectas paralelas.
3. Método de Igualación
(1)
x – 2y = 6
(1)
y=
–6+x
2
(2)
2x – 4y = 2
(2)
y=
– 2 + 2x
4
4 (– 6 + x) =
2 (– 2 + 2x)
– 24 + 4x =
– 4 + 4x
4x – 4x =
– 4 + 24
¿0 =
24?
Misma “extrañeza”, “0 igual a un valor
distinto de 0”, misma conclusión: dos
rectas paralelas.
4. Método de Determinantes
(1)
(2)
x – 2y = 6
2x – 4y = 2
i) Determinante del sistema
x
y
1
2
–2
–4
= (1 x –4) – (2 x –2) = –4 – (–4) = –4 + 4 = 0 = ∆ .
ii) Determinante de la “x”
k
y
6
2
–2
–4
= (6 x –4) – (2 x –2) = –24 – (–4) = –24 + 4 = –20 = ∆x.
iii) Determinante de la “y”
x
k
1
2
6
2
= (1 x 2) – (2 x 6) = 2 – 12 = –10 = ∆y.
43
Valores de la “x” y de la “y”:
x
=
∆x
∆
–20
0
=
indeterminado,
y =
∆y
∆
=
–10
0
indeterminado.
Notemos que los numeradores son distintos de “0”.
5. Método de Gauss
(1)
(2)
x
y
k
1
2
–2
–4
6
2
x – 2y = 6
2x – 4y = 2
Matriz de “transición”
multiplicar x 2
multiplicar x –1 y sumar o sólo restar
(2)
x
y
k
1
0
–2
0
6
10
transformada
Matriz transformada
¿Cómo evaluamos?
¿0
=
2
–2
–4
4
12
–2
0
0
10
10 ?
Misma “extrañeza”, “0 igual a un valor
distinto de 0”, misma conclusión: dos
rectas paralelas.
Ahora resolvamos un sistema formado por un par de rectas que están una sobre otra o la misma
recta en dos presentaciones o paralelas entre sí y con “un punto” en común. Utilizaremos,
como en el ejercicio anterior, las mismas dos rectas y resolveremos por los “cinco” métodos.
44
Ejemplo 16. Sean las rectas:
(1) 3x – y = –3
(2) 9x – 3y = –9
Eje Y
(1 )
m1,2 = 3
Rec
ta
Graficadas sobre el Plano Cartesiano,
así se presenta el dibujo de las
ecuaciones de las rectas de este
ejercicio.
Eje X
Rec
ta
(2)
O
1. Método de Sustitución
de (1)
y = 3 + 3x ,
sustituimos en (2)
9x – 3 (3 + 3x) = –9 ;
9x – 9 – 9x = –9
9x – 9x = –9 + 9
¿0 = 0?
Esta otra “extrañeza”, “0 igual a 0”, nos dice
que el sistema es de dos rectas una sobre
otra o sea, la misma recta.
2. Método de Suma o Resta
(1)
(2)
3x – y = –3
9x – 3y = –9
sumamos,
(1)
9x – 3y = –9
(2) – 9x + 3y = 9
, x3
, x –1
¿0 + 0 = 0?
Misma “extrañeza” que la de renglones arriba,
“0 igual a 0”, misma conclusión: la misma
recta o dos rectas una sobre otra.
45
3. Método de Igualación
(1)
3x – y = –3
(1)
x=
–3 + y
3
(2)
9x – 3y = –9
(2)
x=
–9 + 3y
9
9 (–3 + y) =
3 (–9 + 3y)
– 27 + 9y =
– 27 + 9y
9y – 9y =
– 27 + 27
¿0 =
0?
Misma, esta que es nuestra segunda “extrañeza”,
“0 igual a 0”, misma conclusión: la misma recta o
dos rectas una sobre otra.
4. Método de Determinantes
(1)
(2)
3x – y = –3
9x – 3y = –9
i) Determinante del sistema
x
y
3
9
–1
–3
= (3 x –3) – (9 x –1) = –9 – (–9) = –9 + 9 = 0 = ∆.
ii) Determinante de la “x”
k
y
–3
–9
–1
–3
= (–3 x –3) – (–9 x –1) = 9 – (9) = 9 – 9 = 0 = ∆x.
iii) Determinante de la “y”
x
k
3
9
–3
–9
= (3 x –9) – (9 x –3) = –27 – (–27) = –27 + 27 = 0 = ∆y.
46
Valores de la “x” y de la “y”:
0
0
∆x
∆y
indeterminado,
indeterminado.
x =
=
=
y =
0
0
∆
∆
Notemos que en este ejercicio los numeradores y los denominadores son iguales a “0”.
5. Método de Gauss
(1) 3x – y = –3
(2) 9x – 3y = –9
x
y
k
3
9
–1
–3
–3
–9
Matriz de transición:
multiplicar x 3
multiplicar x –1 y sumar o sólo restar
(2)
x
y
k
3
0
–1
0
–3
0
transformada
Matriz transformada
¿Cómo evaluamos?
¿0
=
9
–9
–3
3
–9
9
0
0
0
0?
Misma última “extrañeza”, “0 igual a 0”,
misma conclusión: la misma recta o dos
rectas una sobre otra.
Tenemos, después de todos estos ejercicios, forma y manera de responder que tipo de sistema de
dos líneas rectas es el que se presenta, utilizando para resolverlo cualquiera de los métodos aquí
desarrollados. Hagamos un resumen.
Método
Rectas que se
intersectan
Rectas paralelas
Obtenemos la
“extrañeza UNO (1)”
1. Sustitución
2. Suma o Resta
3. Igualación
4. Determinantes o
de Cramer
5. de Gauss
Las variables tienen
valores racionales
y razonables
Rectas una sobre otra
Obtenemos la
“extrañeza DOS (2)”
1.a) “0 igual a un valor
2.a) “0 igual a 0”
distinto de 0”
1.a) 2.a) 1.a) 2.a) 1.b) “un valor distinto de 0
2.b) “0 dividido entre 0”
dividido entre 0”
1.a) 2.a) 47
Ejercicios
1. Jorge compró en el expendio “El Gran Cafeto” 3 kilos de café y 5 kilos de azúcar en $290.00 y
Aurora compró allí mismo, 4 kilos de café y 9 kilos de azúcar en $410.00. ¿Cuánto cuesta en “El
Gran Cafeto” el kilo de café y cuánto el de azúcar?
2. Un ganadero compró 5 carneros y 7 caballos en $20,000; más tarde, a los mismos precios,
adquirió 3 carneros y 2 caballos en $7,600. ¿Cuánto pagó por cada carnero y cuánto por cada
caballo?
3. Se tienen $4,750 en 69 billetes de $50 y $100. ¿Cuántos billetes son de $50 y cuántos de $100?
4. En un teatro hay 700 personas entre niños y adultos. Cada niño pagó $15 y cada adulto $40 por
entrada. La recaudación es de $18000. ¿Cuántos niños y cuántos adultos hay en el cine?
5. El ancho de una sala tomado 6 veces, excede al doble de la longitud de la sala en 18m. Si la
longitud de la sala se toma 5 veces, excede en 21m. al cuádruplo de la sala. ¿Cuáles son las
medidas de la sala?
6. ¿Cuántos cm3 de cada una da dos soluciones de alcohol, una al 8% y otra al 15%, se deben
mezclar para obtener 100cm3 de solución al 12,2%?
7. El kilo de galleta simple cuesta $10 y el kilo de galleta con relleno $25. ¿Cuántos kilos de cada tipo
de galleta se necesitan para que 9 kilos tengan un precio de $20 por kilo?
8. Hallar dos ángulos complementarios tales que uno sea cuádruplo del otro.
9. Obtener dos ángulos suplementarios tales que uno sea triple del otro.
10. Los ángulos interiores de un triángulo guardan entre sí las siguientes relaciones: el ángulo B es el
triple de A y el ángulo C es el doble de A. ¿Cuánto mide cada ángulo?
11. El largo de un rectángulo es el doble de su ancho y su perímetro es igual a 72cm. ¿Cuánto mide
de largo y cuánto de ancho?
12. El perímetro de un triángulo es de 27cm; si el lado A es 2m mayor que el lado B, y el lado C es
5m menor que el lado B. ¿Cuánto mide cada uno de los lados?
13. El largo de un rectángulo es 8m mayor que el triple del ancho, el perímetro es igual a 88m
¿Cuánto mide de largo y cuánto de ancho?
14. Obtener tres números naturales consecutivos tales que su suma sea 66.
48
15. Hallar tres números pares consecutivos tales que su suma sea 78.
16. El ángulo interior B de un triángulo es 10° men or que el doble del ángulo A, y el ángulo C es 15°
menor que el ángulo B. ¿Cuánto mide cada ángulo?
17. Obtener dos ángulos suplementarios tales que uno mida 15° menos que la mitad del otro.
18. El ancho de un rectángulo es 6cm mayor que la tercera parte del largo. ¿Cuáles son las medidas
de su ancho y largo si su perímetro es 92cm?
19. El perímetro de un triángulo es de 29m. Si el lado A es 10m menor que el triple del lado B, y el
lado C es la mitad del lado A, ¿cuánto mide cada uno de los lados?
20. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos suplementarios A y B, si B es 10° mayor que la mitad del
triple de A?
49
Matemáticas 3
ax + by + cz = p
dx + ey + fz = q
gx + hy + iz = r
a b c p
d e f q
g h i r
1: Sistemas de Ecuaciones Lineales
1. 3: Sistemas de ecuaciones con más de dos
incógnitas
Objetivo
El estudiante aprenderá algunos
métodos de solución para sistemas de
ecuaciones lineales en espacios de tres
y más dimensiones.
Z
2x – y +
z = -1
x + 3y
x–y –z=2
+z=
1
Z
∆
x
∆
X
Y
O
X
Y
Presentación
En el proceso de solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, podemos
utilizar varios métodos, según se vaya presentando la oportunidad o se nos facilite conforme lo
vayamos resolviendo.
Comenzamos. Ejemplo 1. Rebeca y Beatriz, cuentan con tablitas de diferentes longitudes, en
centímetros, para los números del 1 al 12 y un “Tablero de Aritmética” donde asientan las tablitas. A
cada longitud y número, le corresponde un color determinado. Resulta que han construido tres
expresiones con tablitas de tres longitudes distintas. Las expresiones son las siguientes: Primera
expresión; 1 tablita verde una azul y una roja, alcanzaron hasta 6 unidades en el tablero, Segunda
expresión; 1 tablita verde y 2 rojas, equivalen a 5 unidades del tablero más 1 tablita azul, Tercera
expresión; 1 tablita verde y 10 unidades midieron lo mismo que 1 tablita azul y 3 rojas. ¿Cuánto
miden las tablitas verdes, las azules y las rojas?
Para identificar los colores de las tablitas, convertimos: verdes = x, azules = y, rojas = z.
Ecuaciones:
x+y+ z =6
x + 2z = 5 + y
x + 10 = y + 3z
50
Representación utilizando
el “Tablero de Aritmética”.
1
3
4
5
6
2
2
3
4
5
1
1
2
3
4
)
s ió n (1
E x p re z = 6
+
x+ y
)
s ió n (2
E x p re
y
=5+
x + 2z
5
6
7
8
9 10
)
s ió n (3
E x p re y + 3 z
=
0
1
+
x
acomodamos el sistema;
(1)
(2)
(3)
x+y+ z =6
x – y + 2z = 5
x – y – 3z = –10
luego, despejamos la x en la ecuación (1) :
x=6–y–z
sustituimos en:
(2) (6 – y – z) – y + 2z = 5
(3) (6 – y – z) – y – 3z = –10
;
;
(2)
(3)
– y – y – z + 2z = 5 – 6
– y – y – z – 3z = – 10 – 6
– 2y + z = – 1
– 2y – 4z = – 16
multiplicamos (3’) x –1 ,
– 2y + z = – 1
2y + 4z = 16
suma
0 + 5z = 15
z = 15/5
z=3.
aplicamos en (1) y (2):
x + y + (3) = 6
x – y + 2(3) = 5
;
;
x+y=6–3
x–y=5–6
(1)
(2)
x+y=3
x–y=–1
sumamos (1) y (2) ,
2x + 0 = 2
x = 2/2
x=1.
aplicamos en (1)
(1) + y + (3) = 6
y=6–1–3
y = 2.
Respuesta: las tablitas verdes representan al 1, las azules al 2 y las rojas al 3.
51
Ejemplo 2. Si se juntan los dulces que hay en las bolsas de Rebeca, Beatriz y Omar, serían 12
dulces; Si se duplican los dulces de Rebeca y se juntan con los dulces de Omar, serían 7 más los
dulces de Beatriz y; Si se juntan los de Rebeca con el doble de los dulces de Beatriz, serían 6 más
los de Omar. ¿Cuántos dulces tiene en su bolsa cada uno?
Ecuaciones: (identificaremos a Rebeca = x, Beatriz = y, Omar = z)
x + y + z = 12
x + 2y = 6 + z
2x + z = 7 + y
x
y
z
=
y
x
12
x
x z
acomodamos el sistema;
y
=
7
=
z
y
(1) x + y + z = 12
(2) 2x – y + z = 7
(3) x + 2y – z = 6
ahora, despejamos la x en la ecuación (1) :
,
x = 12 – y – z
sustituimos en:
(2) 2(12 – y – z) – y + z = 7
(3) (12 – y – z) + 2y – z = 6
;
;
(2)
(3)
– 2y – 2z – y + z = 7 – 24
– y + 2y – z – z = 6 – 12
– 3y – z = – 17
y – 2z = – 6
despejamos la y en la ecuación (3)
sustituimos en (2)
– 3( – 6 + 2z) – z = – 17
18 – 6z – z = – 17
– 7z = – 35
z = 35/7
z = 5.
52
,
y = – 6 + 2z
6
aplicamos en (1) y (2):
x + y + (5) = 12
2x – y + (5) = 7
;
;
x + y = 12 – 5
2x – y = 7 – 5
x+y=7
2x – y = 2
(1)
(2)
sumamos ,
3x + 0 = 9
x = 9/3
x = 3.
aplicamos en (1)
(3) + y + (5) = 12
y = 12 – 3 – 5
y = 4.
Respuesta: Rebeca tiene 3 dulces en su bolsa, Beatriz 4 y Omar 5.
Ejemplo 3. En un lago para la navegación de pequeñas embarcaciones a control remoto, un
aficionado realizó tres recorridos. En el primero dio con su velero 3 vueltas al primer circuito, 1 vuelta
al segundo y 2 vueltas al tercero, y empleó en total 2 horas; en el segundo, dio 6 vueltas al primero y
4 vueltas al tercero y empleó, 3 horas y 4 vueltas al segundo y; en el tercero, dio 3 vueltas al primero
y 4 vueltas al tercero y empleó, 2 vueltas al segundo y una hora. ¿Qué tiempo empleó en una sola
vuelta en cada uno de los circuitos?
acomodamos:
Ecuaciones: (1° circuito = x, 2° = y, 3° = z)
3x + y + 2z = 2
6x + 4y = 3 + 4z
3x + 4z = 2y + 1
restamos (3) tanto a (1) como a (2)
multiplicamos –2(3) y restamos
(4)
(5)
3y – 2z = 1
8y – 12z = 1
3x + y + 2z = 2
6x + 4y – 4z = 3
3x – 2y + 4z = 1
(1)
(2)
(3)
3x + y + 2z = 2
–3x + 2y – 4z = –1
(4)
0 + 3y – 2z = 1
(2)
–2(3)
6x + 4y – 4z = 3
–6x + 4y – 8z = –2
(5)
0 + 8y – 12z = 1
por determinantes tenemos:
,
i) determinante del sistema:
(1)
–(3)
y
z
3
8
–2
–12
= (3 x –12) – (8 x –2) = –36 + 16 = –20 = ∆ .
53
ii) determinante de la “y”:
iii) determinante de la “z”:
k
z
1
1
–2
–12
y
k
3
8
1
1
= (1 x –12) – (1 x –2) = –12 + 2 = –10 = ∆y.
= (3 x 1) – (8 x 1) = 3 – 8 = –5 = ∆z.
Finalmente, dividimos los determinantes de “y” y “z” por el determinante del sistema:
y =
∆y
∆
=
–10
–20
aplicamos en (1):
=
1
2
.
z =
∆z
∆
=
–5
–20
=
1
4
.
3x + (1/2) + 2(1/4) = 2
3x + (1/2) + (1/2) = 2
3x + 1 = 2
3x = 2 – 1
3x = 1
x = 1/3.
Respuesta: empleó 20 minutos en dar la vuelta al primer circuito; 30 minutos en el segundo y 15
minutos en el tercero. Recordemos que las medidas buscadas están dadas en horas.
Ejemplo 4 (o acertijo). Si al doble de la edad de Amalia se suma la edad de Berenice, se obtiene la
edad de Carmen aumentada en 32 años. Si al tercio de la edad de Berenice se suma el doble de la
de Carmen, se obtiene la de Amalia aumentada en 9 años. El tercio de la suma de las edades de
Amalia y Berenice, es un año menos que la edad de Carmen. ¿Qué edades tiene Amalia, Berenice y
Carmen?
acomodamos:
Ecuaciones: (Amalia = x, Berenice = y, Carmen = z)
2x + y = z + 32
y/3 + 2z = x + 9
(x + y)/3 = z – 1
(1)
(2)
(3)
54
2x + y – z = 32
–x + y/3 + 2z = 9
x/3 + y/3 – z = –1
Vamos a resolver este sistema por el método de determinantes.
¿Cómo lo resolveremos por determinantes? De la siguiente manera:
Supongamos el siguiente sistema:
a1x + b1y + c1z = k1
a2x + b2y + c2z = k2
a3x + b3y + c3z = k3
Los determinantes de este sistema los construimos así:
i) Determinante del sistema:
x
y
z
a1
a2
a3
a1
a2
b1
b2
b3
b1
b2
c1
c2
c3
c1
c2
Repetimos los coeficientes de los dos primeros renglones. Esto hará
más fácil la comprensión y operación de los coeficientes.
x
y
z
Las operaciones son:
a1
b1
c1
= a1 x b2 x c3 + a2 x b3 x c1 + a3 x b1 x c2 +
a2
b2
c2
a3
b3
c3
a1
b1
c1
a2
b2
c2
Los coeficientes del sistema (ya acomodados, para el caso en que no lo
estuvieran a la presentación del ejercicio).
– ( a2 x b1 x c3 + a1 x b3 x c2 + a3 x b2 x c1 )
•
Los productos de los números que se indican con las flechas azules
son POSITIVOS. Se anotan con el signo resultante del producto de los
signos que posean tales números.
•
Los productos de los números que se indican con las flechas rojas
son NEGATIVOS. Se anotan con el signo contrario al resultante del
producto de los signos que posean tales números.
55
Determinantes de las variables del sistema:
ii) Para el de la “x”, se sustituyen los valores de las constantes del sistema por los coeficientes de
la “x”. Las operaciones se realizan de manera análoga a la descrita líneas arriba en el
“determinante del sistema”.
iii) Para el de la “y”, se sustituyen los valores de las constantes del sistema por los coeficientes de
la “y”. Las operaciones, como en los determinantes anteriores.
iv) Para el de la “z”, se sustituyen los valores de las constantes del sistema por los coeficientes de
la “z”. Las operaciones, igual que en los anteriores.
v) Para obtener, finalmente, los valores de x, y, z:
Dividimos el valor del determinante de cada variable por el valor del determinante del sistema.
x
∆x
=
∆
,
y
=
∆y
∆
,
z
=
∆z
∆
.
i) determinante del sistema:
x
y
z
2
1
–1
–1
1/3
2
1/3
1/3
–1
2
1
–1
–1
1/3
2
= ( 2 x 1/3 x –1 ) + ( –1 x 1/3 x –1 ) + ( 1/3 x 1 x 2 ) +
– ( ( –1 x 1 x –1 ) + ( 2 x 1/3 x 2 ) + ( 1/3 x 1/3 x –1 ) ) =
= –2/3 + 1/3 + 2/3 – ( 1 + 4/3 – 1/9 ) = 1/3 – ( 20/9 ) = –17/9
ii) determinante de la “x”:
k
y
z
32
1
–1
9
1/3
2
–1
1/3
–1
32
1
–1
9
1/3
2
= ( 32 x 1/3 x –1 ) + ( 9 x 1/3 x –1 ) + (–1 x 1 x 2 ) +
– ( ( 9 x 1 x –1 ) + ( 32 x 1/3 x 2 ) + (–1 x 1/3 x –1 ) ) =
= –32/3 – 3 – 2 – (–9 + 64/3 + 1/3 ) = –47/3 – ( 38/3 ) = –85/3
56
iii) determinante de al “y”:
x
k
z
2
32
–1
–1
9
2
1/3
–1
–1
2
32
–1
–1
9
2
= ( 2 x 9 x –1 ) + ( –1 x –1 x –1) + ( 1/3 x 32 x 2 ) +
– ( ( –1 x 32 x –1 ) + ( 2 x –1 x 2 ) + ( 1/3 x 9 x –1 ) ) =
= –18 –1 + 64/3 – ( 32 – 4 – 3 ) = 7/3 – ( 25 ) = –68/3
iv) determinante de la “z”:
x
y
k
2
1
32
–1
1/3
9
1/3
1/3
–1
2
1
32
–1
1/3
9
= ( 2 x 1/3 x –1 ) + ( –1 x 1/3 x 32 ) + ( 1/3 x 1 x 9 ) +
– ( ( –1 x 1 x –1 ) + ( 2 x 1/3 x 9 ) + ( 1/3 x 1/3 x 32 ) ) =
= –2/3 – 32/3 + 3 – ( 1 + 6 + 32/9 ) = –25/3 – ( 95/9 ) = –170/9
v) los valores de “x”, “y”, “z”:
x
=
y
=
z
=
∆x
∆
∆y
∆
∆z
∆
=
=
=
–85/3
–17/9
–68/3
–17/9
–170/9
–17/9
=
=
=
85 x 9
17 x 3
68 x 9
17 x 3
170 x 9
17 x 9
=
5x3
=
15 .
=
4x3
=
12 .
=
10 x 1
=
10 .
Respuesta: Amalia tiene 15 años, Berenice 12 y Carmen 10.
Ejemplo 5.
Hallar los valores de las variables
(1)
que satisfacen el siguiente sistema:
(2) 3x – 2y + z = 5
(3) 4x + y – 3z = –26
57
x + 4y + 5z = 11
Resolvamos este sistema por el método de Gauss. Recordemos: abajo de la diagonal principal sólo
valores “0”.
Matriz de coeficientes
X
y
z
k
Matrices de transición
(1)
1
4
5
11
x3
3
12
15
33
(2)
3
–2
1
5
x –1
–3
2
–1
–5
(3)
4
1
–3
– 26
(1)
1
4
5
11
x4
4
16
20
44
(2)
0
14
14
28
(3)
4
1
–3
– 26
x –1
–4
–1
3
26
(1)
1
4
5
11
(2)
0
14
14
28
: 14
0
1
1
2
(3)
0
15
23
70
x –1
0
– 15
– 23
– 70
(2)
x 15
0
15
15
30
(3)
x –1
0
– 15
– 23
– 70
(1)
1
4
5
11
(2)
0
14
14
28
(3)
0
0
–8
– 40
(2)
(3)
8z =
40
z =
40/8
z =
5
14y + 14(5) = 28
14y = 28 – 70 = –42
y = – 42/14
y = –3
(1)
x + 4(–3) + 5(5) = 11
x = 11 +12 – 25
x = –2
Respuesta. los valores que satisfacen el sistema son:
58
x = –2 ,
y = –3 ,
z = 5.
Ejemplo 6. Hallar los valores de las variables que satisfacen el siguiente sistema de 4x4:
Por medio del método de suma y resta, compararemos la ecuación (1) con las demás.
x + y + z + u = 10
(1)
x2
2x + 2y + 2z + 2u = 20
(2) 2x – y + 3z – 4u = 9
(3) 3x + 2y – z + 5u = 13
(2)
x –1
–2x + y – 3z + 4u = –9
suma (5)
3y – z + 6u = 11
(1)
x3
3x + 3y + 3z + 3u = 30
(3)
x –1
–3x – 2y + z – 5u = –13
suma (6)
y + 4z – 2u = 17
(1)
(4)
x – 3y + 2z – 4u = –3
x + y + z + u = 10
(1)
(4)
x –1
suma (7)
–x + 3y – 2z + 4u = 3
4y – z + 5u = 13
Ahora tenemos un sistema de tres ecuaciones.
Comparemos entonces, como líneas arriba, la ecuación (5) con las demás.
(5) 3y – z + 6u = 11
(6) y + 4z – 2u = 17
3y – z + 6u = 11
(5)
x –3
–3y – 12z + 6u = –51
suma (8)
– 13z + 12u = –40
(5)
x4
12y – 4z + 24u = 44
(7)
x –3
–12y + 3z – 15u = –39
(6)
(7) 4y – z + 5u = 13
suma (9)
59
– z + 9u
= 5
Hemos reducido a un sistema de dos ecuaciones.
Comparemos ahora las ecuaciones (8) y (9).
(8) –13z + 12u = –40
(9) – z + 9u = 5
(8)
x –1
13z – 12u = 40
(9)
x 13
–13z + 117u = 65
Suma
105u = 105
u = 105/105
u = 1
(9) – z + 9(1) = 5
(5)
3y – (4) + 6(1) = 11
–z=5–9=–4
3y = 11 + 4 – 6 = 9
z=4
y = 9/3
y=3
(1)
x + (3) + (4) + (1) = 10
x = 10 – 3 – 4 – 1
x=2
Respuesta: los valores que satisfacen el sistema son:
Ejemplo 7.
x=2,
y=3,
z=4,
Hallar los valores de las variables
(1)
x + y + z +u = 4
que satisfacen el siguiente sistema
(2)
x + 2y + 3z – u = –1
de 4 ecuaciones y 4 variables:
(3) 3x + 4y + 2z + u = –5
(4) x + 4y + 3z – u = –7
u = 1.
Resolvamos nuestro ejercicio por el método de Gauss.
Paso 1. Comparemos la ecuación (1) con las demás, de esta manera obtendremos 0’s en la columna
de las x’s en las ecuaciones (2), (3) y (4).
Paso 2. Repetimos el paso 1, comparando ahora con la ecuación (2) y así sucesivamente hasta
comparar la ecuación (n–1) con la (n) para la última variable.
60
x
Matriz de coeficientes
y
z
u
k
(1)
1
1
1
1
4
(2)
1
2
3
–1
–1
(3)
3
4
2
1
–5
(4)
1
4
3
–1
–7
(1)
1
1
1
1
4
(2)
0
–1
–2
2
5
(3)
3
4
2
1
–5
(4)
1
4
3
–1
–7
(1)
1
1
1
1
4
(2)
0
–1
–2
2
5
(3)
0
–1
1
2
17
(4)
1
4
3
–1
–7
(1)
1
1
1
1
4
(2)
0
–1
–2
2
5
(3)
0
–1
1
2
17
(4)
0
–3
–2
2
11
(1)
1
1
1
1
4
(2)
0
–1
–2
2
5
(3)
0
0
–3
0
–12
(4)
0
–3
–2
2
11
(1)
1
1
1
1
4
(2)
0
–1
–2
2
5
(3)
0
0
–3
0
–12
(4)
0
0
4
–4
–4
Matrices de transición
1
1
1
1
4
x –1
–1
–2
–3
1
1
x3
3
3
3
3
12
x –1
–3
–4
–2
–1
5
1
1
1
1
4
–1
–4
–3
1
7
0
–1
–2
2
5
x –1
0
1
–1
–2
–17
x –3
0
3
6
–6
–15
0
–3
–2
2
11
x4
0
0
–12
0
–48
x3
0
0
12
–12
–12
x –1
61
(1)
1
1
1
1
4
(2)
0
–1
–2
2
5
(3)
0
0
–3
0
–12
(4)
0
0
0
–12
–60
(4)
–12u = –60
u = 60/12
(3)
–3z = –12
u=5
z = 12/3
z=4
(2)
– y – 2(4) + 2(5) = 5
– y = 5 + 8 – 10
y = –3
(1)
x + (–3) + (4) + (5) = 4
x–3+4+5=4
x+6=4
x = –2
Respuesta: los valores que satisfacen el sistema son:
Ejemplo 8.
x = –2 ,
y = –3 ,
z=4,
Hallar los valores de las variables
(1)
2x – 3y + z + 4u =
que satisfacen el siguiente sistema
(2)
3x + y – 5z – 3u = –10
de 4 ecuaciones y 4 variables:
(3)
6x + 2y – z + u = –3
(4)
x + 5y + 4z – 3u = –6
u = 5.
0
¿Qué les parece si resolvemos este ejercicio por el método de determinantes?
Determinante del sistema
2
3
6
1
–3
1
2
5
1
–5
–1
4
4
–3
1
–3
Ahora construimos 4 más pequeños de la siguiente forma:
a)
b)
Tomamos los coeficientes del primer renglón y les
asociamos la matriz que forman los coeficientes que no
están ni en ese renglón ni en esa columna y
Alternamos los signos de esos coeficientes del primer
renglón (+, –, +, –, +,…).
62
2
1
2
5
1
2
–5
–1
4
–5
–1
–3
1
–3
–3
1
+3
3
6
1
3
6
–5
–1
4
–5
–1
–3
1
–3
–3
1
+1
3
6
1
3
6
1
2
5
1
2
–3
1
–3
–3
1
–4
3
6
1
3
6
2 ( 3 – 24 – 25 – ( 30 + 4 + 15 ) )
+ 3 ( 9 – 72 – 5 – ( 90 + 12 + 3 ) )
2 ( –46 –49 )
+ 3 ( –68 –105 )
2 ( –95 )
+ 3 ( –173 )
–190
1
2
5
1
2
–519
+ 1 ( –18 – 90 + 1 – ( –18 + 15 – 6 ) )
–4 ( 24 – 150 – 1 – ( 24 – 15 – 10 ) )
+ 1 ( –107 + 9 )
–4 ( –127 + 1 )
+ 1 ( –98 )
–4 ( –126 )
–98
+504
∆
= – 190 – 519 – 98 + 504
∆
= –303
Determinante de la “x”
0
–10
–3
–6
–3
1
2
5
1
–5
–1
4
4
–3
1
–3
construimos los 4 más pequeños:
63
–5
–1
4
–5
–1
0
1
2
5
1
2
–5
–1
4
–5
–1
–3
1
–3
–3
1
+3
–10
–3
–6
–10
–3
–5
–1
4
–5
–1
–3
1
–3
–3
1
–10
+1 –3
–6
–10
–3
0
1
2
5
1
2
–3
1
–3
–3
1
–10
–4 –3
–6
–10
–3
1
2
5
1
2
–5
–1
4
–5
–1
+ 3 (–30 + 36 + 30 – (–45 – 40 – 18 ) )
+ 3 ( 36 + 103 )
+ 3 ( 139 )
+417
+ 1 ( 60 + 45 – 6 – ( 9 – 50 + 36 ) )
–4 ( –80 + 75 + 6 – ( –12 + 50 + 60 ) )
+ 1 ( 99 + 5 )
–4 ( 1 – 98 )
+ 1 ( 104 )
–4 ( –97 )
+104
+388
∆x
= 0 + 417 + 104 + 388
∆x
= 909
Determinante de la “y”
2
2
3
6
1
0
–10
–3
–6
–10
–3
–6
–10
–3
–5
–1
4
–5
–1
1
–5
–1
4
–3
1
–3
–3
1
4
–3
1
–3
+0
Construimos los. . .
3
6
1
3
6
–5
–1
4
–5
–1
–3
1
–3
–3
1
+1
64
3
6
1
3
6
–10
–3
–6
–10
–3
–3
1
–3
–3
1
–4
3
6
1
3
6
–10
–3
–6
–10
–3
–5
–1
4
–5
–1
2 ( –30 + 36 + 30 – ( –45 – 40 – 18 ) )
+0
2 ( 36 + 103 )
2 ( 139 )
278
+ 1 ( 27 + 108 – 10 – ( 180 – 18 + 9 ) )
–4 ( –36 + 180 + 10 – ( –240 + 18 + 15 ) )
+ 1 ( 125 – 171 )
–4 ( 154 + 207 )
+ 1 (– 46 )
–4 ( 361 )
–46
–1444
∆y
= 278 + 0 – 46 – 1444
∆y
= –1212
Determinante de la “z”
2
3
6
1
2
1
2
5
1
2
–3
1
2
5
–10
–3
–6
–10
–3
0
–10
–3
–6
–3
1
–3
–3
1
4
–3
1
–3
+3
Construimos los...
3
6
1
3
6
–10
–3
–6
–10
–3
–3
1
–3
–3
1
+0
3
6
1
3
6
1
2
5
1
2
–3
1
–3
–3
1
–4
3
6
1
3
6
1
2
5
1
2
2 (9 + 36 – 50 – (60 – 6 + 45 ) )
+ 3 ( 27 + 108 – 10 – (180 – 18 + 9 ) )
2 (–5 – 99 )
+ 3 ( 125 – 171 )
2 (–104 )
+ 3 (–46 )
–208
–138
+0
–4 ( –36 – 300 – 3 – (–36 – 45 – 20 ) )
65
–10
–3
–6
–10
–3
–4 ( –339 + 101 )
–4 (–238 )
952
∆z
= –208 – 138 + 0 + 952
∆z
= 606
Determinante de la “u”
2
3
6
1
2
–3
1
2
5
1
2
5
1
2
1
–5
–1
4
–5
–1
4
–5
–1
–10
–3
–6
–10
–3
0
–10
–3
–6
Construimos los...
+3
3
6
1
3
6
–5
–1
4
–5
–1
–10
–3
–6
–10
–3
+1
3
6
1
3
6
1
2
5
1
2
–10
–3
–6
–10
–3
–0
3
6
1
3
6
1
2
5
1
2
2 (6 – 80 + 75 – (60 – 12 + 50 ) )
+ 3 (18 – 240 + 15 – (180 – 36 + 10 ) )
2 (1 – 98 )
+ 3 (–207 – 154 )
2 (–97 )
+ 3 (–361 )
–194
–1083
+ 1 (–36 – 300 – 3 – (–36 – 45 – 20 ) )
–0
+ 1 (–339 + 101 )
+ 1 (– 238 )
–238
∆u
= –194 – 1083 – 238 + 0
∆u
= –1515
66
–5
–1
4
–5
–1
Para terminar, ofrecemos el valor de las variables con que se resuelve el sistema, dividiendo los
valores correspondientes de los determinantes entre el determinante del sistema.
x=
∆x
∆
=
z=
∆z
∆
=
909
–303
606
–303
= –3 ,
y=
∆y
∆
=
= –2 ,
u=
∆u
∆
=
–12012
–303
–1515
–303
=4,
= 5.
Resolver un sistema de cuatro ecuaciones lineales es laborioso pero aplicándolo encontramos la
respuesta buscada.
Ejemplo 9.
Hallar los valores de las variables
(1) 2x – 3y + 3z – u = 9
(2) 3x – 4y + 7z + 2u = 2
que satisfacen el siguiente sistema:
(3)
x – 2y + 3z + u = –1
(4) 5x + 2y – 4z – 3u = –6
¿Y si este ejercicio lo resolvemos con una mezcla de los métodos que conocemos?
¿Se podrá?
¡Intentémoslo! Lo más que puede suceder es que lo resolvamos y bien
¿o no?
Primera parte. Método de Gauss.
x
Matriz de coeficientes
y
z
u
k
Matrices de transición
(1)
2
–3
3
–1
9
x3
6
–9
9
–3
27
(2)
3
–4
7
2
2
x –2
–6
8
–14
–4
–4
(3)
1
–2
3
1
–1
(4)
5
2
–4
–3
–6
(1)
2
–3
3
–1
9
2
–3
3
–1
9
(2)
0
–1
–5
–7
23
(3)
1
–2
3
1
–1
–2
4
–6
–2
2
(4)
5
2
–4
–3
–6
x –2
67
(1)
2
–3
3
–1
9
(2)
0
–1
–5
–7
23
(3)
0
1
–3
–3
11
(4)
5
2
–4
–3
–6
(1)
2
–3
3
–1
9
x5
10
–15
15
–5
45
x –2
–10
–4
8
6
12
y tenemos las siguientes ecuaciones:
y + 5z + 7u = –23
(5)
(2)
0
–1
–5
–7
23
(3)
0
1
–3
–3
11
(6)
y – 3z – 3u = 11
(4)
0
–19
23
1
57
(7)
– 19y + 23z + u = 57
Segunda parte. Método de Sustitución.
(5) Despejamos “y”
y = –23 – 5z – 7u
y sustituimos en (6) y (7)
(6)
y – 3z – 3u = 11 ,
–23 – 5z – 7u – 3z – 3u = 11
– 8z – 10u = 11 + 23
– 8z – 10u = 34
simplificamos : –2
(7)
–19y + 23z + u = 57 ,
(8)
4z + 5u = –17
–19(–23 – 5z – 7u) + 23z + u = 57
437 + 95z + 133u + 23z + u = 57
118z + 134u = 57 – 437
118z + 134u = –380
simplificamos : 2
(9)
59z + 67u = –190
Hemos reducido nuestro sistema de 4x4
(8)
4z + 5u = –17
a uno de 2x2.
(9)
59z + 67u = –190
68
Tercera parte. Método de Suma y Resta.
(8)
X 59
4z + 5u = –17
(9)
X–4
59z + 67u = –190
236z + 295u = –1003
–236z – 268u =
760
27u = –243
u = –243/27
(8)
4z + 5(–9) = –17
u =–9
4z – 45 = –17
4z = –17 + 45
4z = 28
z = 28/4
z= 7
(6)
y – 3(7) – 3(–9) = 11
y – 21 + 27 = 11
y + 6 = 11
y = 11 – 6
(1)
2x – 3(5) + 3(7) – (–9) = 9
y=5
2x – 15 + 21 +9 = 9
2x + 15 = 9
2x = 9 – 15
2x = – 6
x = – 6/2
x = – 3.
Respuesta: los valores que satisfacen el sistema son:
69
x = –3 ,
y=5,
z=7,
u = –9.
Los métodos que hemos empleado en todo este camino son amigables, intercambiables, laboriosos,
son una herramienta consistente y consecuente para aplicar en la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales, tengan las incógnitas, o variables que tengan.
¿Qué método se prefiere?
Según cómo esté estructurado el sistema o queramos experimentar con uno u otro método o la
mezcla de ellos.
Ejercicios
1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. La suma del ángulo mayor y el mediano
es 135°, y la suma del mediano y el menor es 110. ¿ Cuál es la medida de cada ángulo?
2. Si 5 kilos de azúcar, 3 de café y 4 de frijoles cuestan $118; 4 de azúcar, 5 de café y 3 de frijoles
cuestan $145; y 2 de azúcar 1 de café y 2 de frijoles cuestan $46. Hallar el precio por kilogramo
de cada mercancía.
3. El ángulo mayor de un triángulo excede al menor en 35° y el menor excede en 20° a la diferencia
entre el mayor y el mediano. Hallar la medida de cada ángulo.
4.
x + y + z = 11
x – y + 3z = 13
2x + 2y – z = 7
5.
x + y + z =6
2x + y – z = –1
x + 2y + 3z = –6
6.
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
7.
4x – y + z = 4
2y – z + 2x = 2
6x + 3z – 2y = 12
8.
x + 4y + 5z = 11
3x – 2y + z = 5
4x + y – 3z = –26
9.
7x + 10y + 4z = –2
5y – 2y + 6x = 38
3x + y – z = 21
10.
4x + 7y + 54z = –2
6x + 3y + 7z = 6
x – y + 9z = –21
11.
3x – 5y + 2z = –22
2x – y + 6z = 32
8x + 3y – 5z = –33
70
12.
x + y + z = 11
x + 2y = 6
2x + 3y = 6
13.
3x – 2y = –1
4y + z = –28
x + 2y + 3z = –43
14.
x + y + z + u = 10
2x – y – 2z + 2u = 2
x – 2y + 3z – u = 2
x + 2y – 4z + 2u = 1
15.
x – 2y + z + 3u = –3
3x + y – 4z – 2u = 7
2x + 2y – z – u = 1
x + 4y + 2z – 5u = 12
16.
x + y – z = –4
4x + 3y + 2z – u = 9
2x – y – 4z + u = –1
x + 2y + 3z + 2u = –1
17.
x + 2y + z = –4
2x + 3y + 4z = –2
3x + y + z + u = 4
6x + 3y – z + u = 3
18.
3x + 2y = –2
x + y + u = –3
3x – 2y – u = –7
4x + 5y + 6z + 3u = 11
19.
2x – 3z – u = 2
3y – 2z – 5u = 3
4y – 3u = 2
x – 3y + 3u = 0
71
Matemáticas 3
Fuera
De
ntr
o
1: Sistemas de Ecuaciones Lineales
1. 4: Ubicación de intervalos y regiones definidas
por desigualdades
Objetivo:
Y
Y
El estudiante localizará puntos e
intervalos, secciones en el caso de
rectas y regiones en el caso del plano,
con características particulares.
X
O
X
O
Presentación
Desigualdades en una recta
numérica.
Los ángulos, uno de los elementos de la geometría, tienen su propia clasificación, la cual se
estableció de acuerdo a la longitud del arco que abarcan sus lados sobre una circunferencia,
asentando su vértice en el centro de esa misma circunferencia.
Y así tenemos que:
a) ángulo agudo el que es mayor a cero grados y menor que uno recto.
b) ángulo obtuso el que es mayor que uno recto y menor que dos rectos (o ángulo llano;
de lados colineales).
c) ángulo entrante el que es mayor que dos rectos y menor que cuatro rectos (o
perígono; haciendo girar uno de sus lados hasta empatarlo con el otro).
¿Cómo podemos representar estas tres propuestas en una sola?
i) Sobre una recta graduada en medidas angulares, así:
perígono
ángulo agudo
0°
ángulo obtuso
90°
ángulo entrante
180°
360°
72
ii) En una circunferencia:
0°
360°
90°
180°
0°
0°
En matemáticas, el símbolo “<”, es un “pequeño ángulo” que nos compara dos cantidades; siendo la
menor la que escribimos del lado del vértice y la mayor del lado abierto del ángulo. Este símbolo,
también se escribe al revés “>”, pero de cualquiera de las dos formas se anotará la cantidad menor
del lado del vértice y la mayor del lado de la abertura del ángulo. Lo leemos como: menor que - si
anunciamos primero la cantidad que se encuentre del lado del vértice del símbolo–o bien,mayor que si anunciamos primero la cantidad que se encuentre del lado de la abertura del ángulo-.
Recordando que, ángulo recto = 90°, ángulo llano = 180° y perígono = 360°. Escribimos las tres
propuestas como sigue:
iii)
0° < ángulo agudo < 90° < ángulo obtuso < 180° < ángulo entrante < 360°
Algo más sobre ángulos.
1. Dos o más ángulos son complementarios si, teniendo el mismo vértice y siendo adyacentes dos a
dos, la suma de sus medidas es un ángulo recto.
Ejemplo 1. Sean A, B y C ángulos complementarios, ¿cuánto medirá cada uno de ellos?
Como son complementarios sabemos que A + B + C = ángulo recto = 90°
entonces:
las medidas de A, B y C se encuentran entre 0° y 90 °, o sea
0° ≤ A ≤ 90° , 0° ≤ B ≤ 90° , 0° ≤ C ≤ 90°
73
90°
90°
H
B
90°
U T
S R Q
P
G
F
A
0°
0°
0°
El símbolo “≤”, también nos compara dos cantidades aunque a diferencia del “<”, en donde hay
siempre una cantidad menor y una mayor, en este caso la cantidad menor puede igualar a la mayor.
Y al igual que con el símbolo “<”, la cantidad mayor la escribimos del lado abierto del ángulo. Este
símbolo también se escribe al revés “≥”. De cualquiera de las dos formas se anotará la cantidad
mayor del lado de la abertura del ángulo.
2. Dos o más ángulos son suplementarios si, teniendo el mismo vértice y siendo adyacentes dos a
dos, la suma de sus medidas es dos rectos (o ángulo llano; de lados colineales).
Ejemplo 2. Sean D, E y F ángulos suplementarios, ¿cuánto medirá cada uno de ellos?
Como son suplementarios sabemos que D + E + F = ángulo llano = 180°
y tenemos:
las medidas de D, E y F se encuentran entre 0° y 18 0°, o sea
0° ≤ D ≤ 180° , 0° ≤ E ≤ 180° , 0° ≤ F ≤ 180°
K
K
180°
L
J
C
0°
180°
B
D
M
J
H
0°
A
180°
0°
3. Dos o más ángulos son conjugados si, teniendo el mismo vértice y siendo adyacentes dos a dos,
la suma de sus medidas es un perígono.
74
Ejemplo 3. Sean G, H y J ángulos conjugados, ¿cuánto medirá cada uno de ellos?
Como son conjugados sabemos que G + H + J = perígono = 360°
y así:
las medidas de G, H y J se encuentran entre 0° y 36 0°, o sea
0° ≤ G ≤ 360° , 0° ≤ H ≤ 360° , 0° ≤ K ≤ 360°
M
S
D
0°
360°
E
L
T
0°
360°
K
N
P
U
Q
0°
360°
Ejercicios
1. Hallar el complemento de los ángulos:
a) A = 35°
c) M = 1° 30’
b) G = 78°
d) D = 45° , E = 10°
2. Hallar el suplemento de los ángulos:
a) B = 112°
c) H = 120° 45’
b) F = 91°
d) J = 60° , K = 60°
3. Hallar el conjugado de los ángulos:
a) C = 180°
c) L = 270° 15’
b) E = 135°
d) N = 108° , P = 116°
En medicina la temperatura de un ser humano se considera normal si se encuentra en el rango de los
36.5°C y los 37.4°C. Esto es, en condiciones de rep oso.
Grados Celsius
35
35.5
36
36.5 ≤ tn ≤ 37.4
38
38.5
95
95.9 96.8 97.7 ≤ tn ≤ 99.3 100.4 101.3 102.2 103.1 104 104.9
Grados Fahrenheit
75
39
39.5
40
40.5
Y como estos hay muchos conceptos que se han modelado, con ellos podemos ilustrar el uso de los
símbolos “< y ≤”. Por ejemplo:
•
El punto de ebullición o de congelación del agua (estos puntos varían de acuerdo a la altura sobre
el nivel del mar en que la registremos).
•
La variación de la temperatura del medio ambiente durante un día, un mes, etc.
¿Cómo se opera con estos símbolos (“< y ≤”)?
Al símbolo “<” se le llama de desigualdad estricta; todos los valores escritos del lado del vértice del
pequeño ángulo son siempre menores que los valores escritos del lado abierto del pequeño ángulo.
Al símbolo “≤” se le llama de desigualdad no estricta; los valores escritos del lado del vértice del
pequeño ángulo son menores que los valores escritos del lado abierto del pequeño ángulo, pero
alguno de los valores escrito del lado del vértice del pequeño ángulo es igual al valor escrito
del lado abierto del pequeño ángulo.
Volviendo a la pregunta resolvamos el siguiente ejemplo:
Si la temperatura normal del cuerpo humano varía entre 36.5°C y 37.4°C ¿cómo es la conversión a
°F?
En las medidas presentadas en el termómetro, ¿cómo se realizó la comparación, paridad o analogía
entre los grados Celsius y los Fahrenheit?
Sabemos que el 0°C equivale al 32°F y que ambas esc alas coinciden en –40° C y F,
entonces
0°C = 32°F
–40°C = –40°F
40°C ,
72°F
Observamos que, mientras el termómetro recorrió 40° en la
escala C, en la escala F recorrió 72°.
°C , ( 72/40) °F
°C , ( 9/5) °F
Esta es la proporción entre °C y °F. Para completar
paridad entre las dos escalas
la
ó bien
(5/9) °C , °F
ahora, para convertir °C a °F, tenemos que sumar 32 ° a la
proporción de °C, pues el 0° de la escala en °C co incide
76
con el 32°F.
°F = (°C
x
(9/5)) + 32
Con esta ecuación convertimos los °C en °F, pero la escala
que conocemos es la escala en °C por lo que despeja remos
los °F.
°F – 32 = (9/5) °C
(5/9) (°F – 32) = °C
Y tenemos los dos camino s de conversión.
Volvamos a la búsqueda de la respuesta a la pregunta del cambio de escalas en la temperatura
normal del cuerpo humano (rango de temperatura).
36.5°C
≤
temperatura normal
≤
37.4°C
≤
37.4 (9/5) °F + 32
sustituimos °C
36.5 (9/5) °F + 32
≤
rango
desarrollamos
65.7°F + 32
≤
rango
≤
67.3°F + 32
97.7°F
≤
rango
≤
99.3°F
Respuesta: el rango 36.5 a 37.4 en °C equivale al r ango 97.7 a 99.3 en °F.
Ejemplo 4. Durante un día en una ciudad costera, la temperatura en grados Fahrenheit varió entre
77°F y 86°F. ¿Cuál fue el rango de temperatura en g rados Celsius para ese día en esa
ciudad?
77°F
≤
temperatura en la cuidad
≤
86°F
≤
86 [(5/9) (°C – 32)]
sustituimos °F
77 [(5/9) (°C – 32)]
≤
rango
desarrollamos
42.7°C – 17.7
≤
rango
≤
47.7°C – 17.7
25°C
≤
rango
≤
30°C
77
Respuesta: el rango fue de 25°C a 30°C.
Se nos propone el siguiente Ejemplo 5. El costo de una llamada telefónica es de ¢15 por minuto.
¿Cuántos minutos puede hablar por teléfono una persona y que el costo de su llamada sea menor a
$2.00?
Minutos
Costo por minuto
Total
Costo total
1
m
¢15
¢15
1 x ¢15
m x ¢15
¢15
menor a $2.00
m x ¢15
menor a ¢200
unificar unidades
¢15m < ¢200
m < ¢200 / ¢15
m < 200/15
m < 13 5/15
m < 13 1/3
cancelamos ¢
Respuesta: como la compañía telefónica cobra la fracción de minuto como minuto completo, con las
condiciones del ejercicio, una persona puede hablar por teléfono hasta 13 minutos.
Hemos trabajado las desigualdades, de manera intuitiva, como lo habíamos hecho con la igualdad,
expongamos entonces sus propiedades formales.
i) Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o se resta una misma cantidad, la
desigualdad se conserva.
Ejemplos:
sumar y restar c
a < b
,
a+ c < b+c
;
a–c < b–c
’’ y
x < 6
,
x+ y < 6+y
;
x–y < 6–y
’’ 2
w < –3
,
w + 2 < –3 + 2
w + 2 < –1
;
w – 2 < –3 – 2
w – 2 < –5
’’ m
5 < h
,
5+m < h+m
;
5–m < h–m
’’ 1
8 < k
,
8+ 1 < k+1
9 < k+1
;
8– 1 < k–1
7 < k–1
’’ 3
4 < 9
,
4+ 3 < 9+3
7 < 12
;
4– 3 < 9–3
1 < 6
’’ 5
–8 < 0
,
–8 + 5 < 0 + 5
;
–8 – 5 < 0 – 5
78
–3 < 5
Damos aquí algunas interpretaciones gráficas:
Sobre el reflejo de la recta numérica.
i. 1) a menor que b; (o < a < b), sumar y restar d.
a
b
a+d < b+d
a–d < b–d
i. 2) –h menor que –k; (–h < –k < 0), sumar y restar m.
–h
–k
–h + m < –k + m
–h – m < –k – m
Podemos también imaginarnos el crecimiento (c) de árboles y su poda (–c).
79
–13 < –5
i. 3) El árbol g es más alto que el m; (g > m > 0), sumar y restar c.
g > m > 0
g+c > m+c
g–c> m–c
O la magnitud del calado de un buque.
i. 4) El calado del buque v es mayor (es de mayor profundidad) que el del w; (v < w). Sumar y
restar p.
–v < –w < 0
–v + p < –w + p
80
–v – p < –w – p
Al sumar o restar cualquier cantidad a los términos de una desigualdad, la desigualdad se
conserva y la diferencia entre los términos permanece igual; o sea, la diferencia en la
desigualdad también se conserva.
i. 4. bis).
ii)
Si a los dos miembros de una desigualdad se multiplica o divide por una misma
cantidad positiva, la desigualdad se conserva.
Ejemplos:
multiplicar y
dividir por c
a < b
,
ax c < bxc
ac < bc
;
a/c < b/c
’’ y
x < 6
,
xx y < 6xy
xy < 6y
;
x/y < 6/y
’’ 2
w < –3
,
w x 2 < –3 x 2
2w < –6
;
w / 2 < –3 / 2
’’ m
5 < h
,
5xm < hxm
5m < hm
;
5/m < h/m
’’ 2
8 < k
,
8x 2 < kx2
16 < 2k
;
8/2 < k/2
4 < k/2
’’ 3
4 < 9
,
4x 3 < 9x3
12 < 27
;
4/3 < 9/3
4/3 < 3
’’ 3
–8 < 0
,
–8 x 3 < 0 x 3
;
–8 / 3 < 0 / 3
81
–24 < 0
–8 / 3 < 0
Nuevamente sobre el reflejo de la recta numérica.
ii. 1) a menor que b; (0 < a < b).
a
b
axd < bxd
a/d < b/d
ii. 2) –h menor que –k; (–h < –k < 0).
–h
–k
–h x m < –k x m
–h / m < –k / m
Al multiplicar o dividir por cualquier cantidad positiva a los términos de una desigualdad, la
desigualdad se conserva y la diferencia entre los términos se multiplica o divide según
corresponda la operación; o sea, la diferencia en la desigualdad también se multiplica o se
divide.
82
ii. 1. bis).
iii)
Si a los dos miembros de una desigualdad se multiplica o divide por una misma
cantidad negativa, la desigualdad se invierte.
Para esta propiedad, veremos primero las interpretaciones gráficas.
iii. 1) a menor que b; (0 < a < b).
a
b
a x –d > b x –d
–ad > –bd
a / –d > b / –d
83
–a / d > –b / d
iii. 2) –h menor que –k; (–h < –k < 0).
–h
–k
–h x –m > –k x –m
hm > km
–h / –m > –k / –m
h/m > k/m
Al multiplicar o dividir por cualquier cantidad negativa a los términos de una desigualdad, la
desigualdad se conserva y la diferencia entre los términos se multiplica o divide, según
corresponda la operación aunque esto cambie el sentido de la desigualdad; o sea, la diferencia
en la desigualdad también se multiplica o se divide.
iii. 1. bis).
84
Los ejemplos los desarrollaremos en sentido inverso a los anteriores.
Ejemplos:
4 < 9
,
4 x –3 > 9 x –3
–12 > –27
;
4 / –3 > 9 / –3
–4 / 3 > –3
–8 < 0
,
–8 x –3 > 0 x –3
24 > 0
;
–8 / –3 > 0 / –3
–8 / 3 > 0
8 < k
,
8 x –2 > k x –2
–16 > –2k
;
8 / –2 > k / –2
–4 > –k / 2
5 < h
,
5 x –m > h x –m
–5m > –hm
;
5 / –m > h / –m
–5 / m > –h / m
w < –3
,
w x –2 > –3 x –2
–2w > 6
;
w / –2 > –3 / –2
–w / 2 > 3 / 2
x < 6
,
x x –y > 6 x –y
–xy > 6y
;
x / –y > 6 / –y
–x / y > –6 / y
a < b
,
a x –c > b x –c
–ac > –bc
;
a / –c > b / –c
–a / c > –b / c
Resolvamos algunos ejemplos numéricos, poniendo en práctica el álgebra de las operaciones básicas
y las propiedades de las desigualdades analizadas líneas arriba.
Ejemplo 6. ¿Qué valor de x satisface la ecuación?:
2x – 3 + 3 > x + 5 + 3
2x > x +8
2x – x > x – x +8
x>8
sumamos 3 en ambos lados de la desigualdad
desarrollamos
restamos x ’’
desarrollamos
Ejemplo 7. Hallar el valor de a que satisface:
sumamos 12 ’’
desarrollamos
restamos 3a ’’
desarrollamos
dividimos entre 2 ’’
desarrollamos
2x – 3 > x + 5
5a – 12 > 3a –4
5a – 12 + 12 > 3a –4 + 12
5a > 3a + 8
5a – 3a > 3a – 3a + 8
2a > 8
2a/2 > 8/2
a>4.
85
Ejemplo 8. Hallar el valor de k que satisface:
–2k – 3 > 5
sumamos 3 ’’
desarrollamos
multiplicamos por (–1) ’’, se invierte la desigualdad
–2k – 3 + 3 > 7 + 3
–2k > 10
–2k(–1) < 10(–1)
2k < –10
2k/2 < –10/2
k < –5 .
desarrollamos
dividimos entre 2 ’’
desarrollamos
Otra vía de solución del ejercicio 5 es:
sumamos 2k y no se invierte la desigualdad
desarrollamos
restamos 7 ’’
desarrollamos
dividimos entre 2 ’’
desarrollamos
–2k – 3 > 7
–2k + 2k – 3 > 7 + 2k
– 3 > 7 + 2k
– 3 – 7 > 7 – 7 + 2k
–10 > 2k
–10/2 > 2k/2
–5 > k .
Nota. En esta vía, “le dimos la vuelta”, en realidad esto nos permite otra forma de acceso a la
multiplicación por (–1), haciendo uso de propiedades algebraicas permitidas.
Ejemplo 9. Hallar el valor de z que satisface:
desarrollamos
restamos 9z ’’
desarrollamos
sumamos 7 ’’
desarrollamos
9z + 15
9z – 9z + 15
≤
15
15 + 7
22
22
Ejemplo 10. Hallar el valor de b que satisface:
restamos 4 ’’
desarrollamos
dividimos entre 3 ’’
desarrollamos
3(3z + 5) ≤ 10z – 7
≤
≤
≤
≤
≤
10z – 7
10z – 9z – 7
z–7
z–7+7
z.
–2 < 3b + 4 ≤ 7
–2 – 4 < 3b + 4 – 4 ≤ 7 – 4
–6 < 3b ≤ 3
–6/3 < 3b/3 ≤ 3/3
–2 < b ≤ 1 .
86
Graficamos este resultado.
-2 < b
1
b
1
-2 < b
-4
-3
-2
-1
Ejemplo 11. Hallar el valor de y que satisface:
restamos 5 ’’
desarrollamos
dividimos entre 2 ’’
desarrollamos
1
0
2
3
1 ≤ 2y + 5 ≤ 9
1 – 5 ≤ 2y + 5 – 5 ≤ 9 – 5
–4 ≤ 2y ≤ 4
–4/2 ≤ 2y/2 ≤ 4/2
–2 ≤ y ≤ 2 .
Ejemplo 12. Hallar el valor de c que satisface:
–18 < –2c – 7 < 0
sumamos 7 ’’
desarrollamos
dividimos entre (–2) ’’, se invierte la desigualdad
desarrollamos
–18 + 7 < –2c – 7 + 7 < 0 + 7
–11 < –2c < 7
–11/(–2) > –2c/(–2) > 7/(–2)
11/2 > c > –7/2.
Ejemplo 13. Hallar el valor de a que satisface:
–5 + 2a ≤ a – 3 ≤ –2 + 2a
sumamos 3 ’’
desarrollamos
restamos 2a ’’
desarrollamos
multiplicamos por (–1) ’’, se invierte la desigualdad
87
–5 + 3 + 2a ≤ a – 3 + 3 ≤ –2 + 3 + 2a
–2 + 2a ≤ a ≤ 1 + 2a
–2 + 2a – 2a ≤ a – 2a ≤ 1 + 2a – 2a
–2 ≤ – a ≤ 1
–2(–1) ≥ –a(–1) ≥ 1(–1)
2 ≥ a ≥ –1.
desarrollamos
¿Cómo resolveríamos por la otra vía?
sumamos 3 ’’
desarrollamos
restamos 2a ’’
desarrollamos
partimos la desigualdad en dos desigualdades
–5 + 2a ≤ a – 3 ≤ –2 + 2a
–5 + 3 + 2a ≤ a – 3 + 3 ≤ –2 + 3 + 2a
–2 + 2a ≤ a ≤ 1 + 2a
–2 + 2a – 2a ≤ a – 2a ≤ 1 + 2a – 2a
–2 ≤ – a ≤ 1
–2 ≤ – a
–2 + a ≤ – a + a
en ambos lados de las desigualdades sumamos a
–a ≤ 1
– a +a ≤ 1 + a
0 ≤ 1+a
–2 + a ≤ 0
–2 + 2 + a ≤ 0 + 2
desarrollamos
sumamos 2 ’’
restamos 1 ’’
desarrollamos
desarrollamos
y así lucen estos resultados en una sola expresión:
0 –1 ≤ 1 –1 + a
a ≤ 2
–1 ≤ a
–1 ≤ a ≤ 2
Nota. La posibilidad de partir una desigualdad, nos servirá para hacer nuestros procesos de solución
más flexibles, además de proporcionarnos otra u otras vías o caminos de acceso a la solución de
ejercicios.
Ejemplo 14.
–5 + 3x ≥ 2x – 3 > 2 + x
Hallar el valor de x que satisface:
tenemos x’s con diferentes coeficientes en todos los términos, entonces
partimos la desigualdad en dos desigualdades
–5 + 3x
a)
restamos 2x ’’
–5 + 3x – 2x
–5 + x
desarrollamos
sumamos 5 ’’
–5 + 5 + x
x
desarrollamos
b)
restamos x ’’
desarrollamos
sumamos 3 ’’
desarrollamos
≥
≥
≥
≥
≥
2x – 3
2x – 2x – 3
–3
–3+5
2
2x – 3
2x – x – 3
x–3
x–3+3
x
>
>
>
>
>
2+x
2+x–x
2
2+3
5
¿A partir de qué valor se cumple la doble desigualdad?, pues los valores para los que se cumplen
las dos desigualdades son valores positivos.
88
Si graficamos estos resultados,
5 < x
2
-3
-2
-1
0
?
1
2
3
x
4
5
6
7
8
9
vemos que ambos rangos se intersectan a partir del 5
pero ¿ qué sucede al aplicar algún valor entre el 2 y el 5
en la doble desigualdad? Por ejemplo, en 3.
–5 + 3(3) ≥ 2(3) – 3 > 2 + (3)
–5 + 9 ≥ 6 – 3 > 2 + 3
4 ≥ 3 > 5
?
esta segunda parte de la desigualdad NO se cumple.
¿Y qué sucede con 4 y con 5?
–5 + 3(4) ≥ 2(4) – 3 > 2 + (4)
–5 + 12 ≥ 8 – 3 > 2 + 4
7 ≥ 5 > 6
No se cumple.
?
–5 + 3(5) ≥ 2(5) – 3 > 2 + (5)
–5 + 15 ≥ 10 – 3 > 2 + 5
10 ≥ 7 > 7
Tampoco se cumple, pero con este resultado nos damos
cuenta que a partir de valores mayores a 5 se cumplirá la
doble desigualdad. Apliquemos en 6 y en 9.
–5 + 3(6) ≥ 2(6) – 3 > 2 + (6)
–5 + 18 ≥ 12 – 3 > 2 + 6
13 ≥ 9 > 8
Se cumple.
–5 + 3(9) ≥ 2(9) – 3 > 2 + (9)
–5 + 27 ≥ 18 – 3 > 2 + 9
22 ≥ 15 > 11
Se cumple.
89
Los valores que cumplen la doble desigualdad son los mayores a 5, entonces el rango de solución es
para 5 < x.
Ejemplo 15. Hallar el valor de z que satisface:
|z–5| < 7
quitamos las || del valor absoluto
sumamos 5 ’’
desarrollamos
Ejemplo 16. Hallar el valor de a que satisface:
–7 < z – 5 < 7
–7 + 5 < z – 5 + 5 < 7 + 5
–2 < z < 12
| 3a + 2 | < 10
quitamos las || del valor absoluto
restamos 2 ’’
desarrollamos
dividimos entre 3 ’’
desarrollamos
Ejemplo 17. Hallar el valor de x que satisface:
–10 < 3a + 2 < 10
–10 –2 < 3a + 2 –2 < 10 –2
–12 < 3a < 8
–12/3 < 3a/3 < 8/3
–4 < a < 8/3
|x+4| > 9
para quitar las || del valor absoluto debemos de
partir la doble desigualdad,
pero invertimos el sentido de la desigualdad y
cambiamos el signo del valor que no está entre | |
x+4 > 9
x + 4 < –9
En ambos lados de las desigualdades restamos 4
desarrollamos
x+4–4 > –9–4
x+4–4 < –9–4
x > 5
x < – 13
La interpretación geométrica de este resultado es el siguiente:
x < –13
5 < x
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
90
0
1
2
3
4
5
6
x+2
x+8
>
x–2
x+3
(x + 2) (x + 3) (x + 8)
x+8
>
(x – 2) (x + 8) (x + 3)
x+3
Ejemplo 18. Hallar el valor de x que satisface:
multiplicamos por (x + 8) y (x + 3) ’’;
restamos x2 ’’
(x + 2) (x + 3)
x2 + 5x + 6
x2 – x2 + 5x + 6
5x + 6
>
>
>
>
(x – 2) (x + 8)
x2 + 6x – 16
x2 – x2 + 6x – 16
6x – 16
5x – 5x + 6
6
6 + 16
22
>
>
>
>
6x – 5x – 16
x – 16
x – 16 + 16
x
restamos 5x ’’
sumamos 16 ’’
Ejercicio 19.
Grafica sobre una recta numérica los resultados de los ejercicios 3, 4, 5, 6, 8, 9,
10,12, 13 y 15. Dibújalos con base en las gráficas de los ejercicios 11 y 14.
Ejercicios
1.
La suma de un entero más tres veces este entero menos 5, está entre 34 y 54. Encuentra todos
los posibles pares de enteros que satisfagan esta expresión.
2.
Para obtener una calificación B+ en álgebra, un estudiante debe aprobar un examen con
promedio mínimo de 86% y un máximo de 90%. Sí las calificaciones de sus tres primeros
exámenes fueron 85%, 86% y 93%, ¿qué calificación, en su cuarta prueba, le garantizará una
B +?
3.
De acuerdo al ejercicio anterior, ¿qué calificación en la cuarta prueba le garantizará una B+, si
este examen cuenta el doble que cada uno de los demás?
4.
Si x satisface la expresión: 7/4 < x < 9/4, ¿cuáles son los valores posibles para y, si: y = 4x – 8?
5. Durante cierto periodo de tiempo, en la ciudad de Puebla la temperatura en grados Celsius varió
entre 15° y 32°. ¿Cuál fue el intervalo en grados F ahrenheit para este periodo, sabiendo que F°
= 9/5 C° + 32?
91
6. Una máquina está programada para producir placas metálicas rectangulares, cuya longitud es dos
veces y una mitad mayor que su ancho. Cuando el ancho es igual a 2cm., el diseño de la
máquina garantiza que la tolerancia del producto sea de un décimo. Esto es: 19/10 < w < 21/10.
a) ¿cuál es la tolerancia para la longitud?
b) encuentra el intervalo de valores de la superficie.
7.
En una tienda hay dos empleados de tiempo parcial, a los cuales se les paga en conjunto un
total semanal de $150 a $180. Si uno de ellos gana $15 más que el otro, ¿cuáles son los
sueldos posibles para cada uno de ellos?
8. Una tienda tiene tres empleados, a los cuales se les paga un total de $210 a $252. Dos de ellos
ganan lo mismo y el tercero gana $12 menos que los otros. Encuentra los sueldos posibles de
estos empleados.
9. Un supermercado tiene 20 empleados los cuales ganan un total de $1544 a $1984, semanales.
Doce de ellos ganan $22 más que los otros ocho. Encuentra los sueldos de estos empleados.
10.
Un servicio de entregas acepta paquetes sólo si la suma de su longitud y su perímetro
transversal no es mayor que 110 pulgadas. También pide que cada dimensión tenga un mínimo
de 2 pulgadas.
a) si la longitud es igual a 42 pulgadas, ¿cuáles son los valores permitidos para el perímetro?
b) si la longitud es igual a 42 pulgadas y el ancho es de 18 pulgadas, ¿cuáles son los valores
permitidos para la altura?
Desigualdades lineales en un Plano Cartesiano.
Una desigualdad lineal en “x - y”, la conforman todas las parejas ordenadas (x, y) que cumplen con
dicha desigualdad. Graficando estas desigualdades en el Plano Cartesiano, descubrimos la región del
plano y las parejas ordenadas que cumple la desigualdad.
Las desigualdades lineales son de la forma: Ax + By
<
≤
=
>
≥
C ; la igualdad aunque no sea una
desigualdad, su nombre lo
indica, nos será de gran utilidad.
en donde A, B y C son números racionales.
Nota. Si A o B son 0 (cero), entonces la desigualdad se considera sobre la recta numérica.
92
Ejemplo 20. Hallar las parejas ordenadas que satisfacen:
3x – 2y < 2
La búsqueda del conjunto de las parejas ordenadas que cumplen con la desigualdad, se facilitará si
tomando los coeficientes y las variables de la desigualdad tal y como se expresan y construimos y
graficamos la recta correspondiente, esto es:
Graficamos la ecuación 3x – 2y = 2. Nótese que difiere de la desigualdad sólo en el signo (razón
obvia). Y obtenemos el siguiente dibujo:
Eje Y
Esta recta, nos divide el plano en dos
regiones; una es la que se desarrolla
hacia esquina superior izquierda y la
otra hacia la esquina inferior derecha.
3x – 2y = 2
¿Cuál de estas dos, será la que
cumple con la desigualdad?
Eje X
0
Calculemos la expresión de la
desigualdad en una pareja que no se
encuentre sobre la recta, por ejemplo,
el origen, así sabremos a qué región
pertenece y por tanto cuál es la región
que cumple con la desigualdad.
3x – 2y < 2
, sustituyendo
3(0) – 2(0) = 0 < 2
93
, el origen es una pareja ordenada
que cumple con la desigualdad.
Las parejas ordenadas que cumplen con la
desigualdad son aquellas que se encuentran en la
misma región en que se encuentra el origen.
Eje Y
2y
<
2
Si sombreamos esa región, nuestro dibujo toma la
forma siguiente:
0
3x
–
2y
=
2
3x
–
Recordemos que la desigualdad es estricta, por lo
que los puntos de la recta no pertenecen al
conjunto de parejas ordenadas que cumplen con la
desigualdad, y por lo tanto a la región por ella
definida (aquí en color morado).
Eje X
Eje Y
Ejemplo 21.
Hallar las parejas
ordenadas que
satisfacen:
2x + y ≥ 0
2x + y = 0
Graficando la recta 2x + y = 0,
obtenemos el siguiente dibujo:
Calculamos la desigualdad en el
punto (1, 1),
0
2x + y ≥ 0, sustituyendo
2(1) + (1) = 2 + 1 = 3 ≥ 0.
94
Eje X
Como el punto (1,1) cumple con la
desigualdad, pertenece a los puntos
de la región de los que cumplen con
ella (región verde).
Eje Y
+
2x
y =
2x
0
La desigualdad no es estricta, por lo
que los puntos de la recta sí
pertenecen al conjunto de parejas
ordenada que satisfacen la
desigualdad.
+y
Ejemplo 22. Hallar las parejas ordenadas que satisfacen:
(1)
(2)
0
0
Eje X
x+y ≤ 1
2x – y > 2
Eje Y
Esta es la gráfica de las rectas: (1’)
x + y = 1 y (2’) 2x – y = 2.
2x – y = 2
x+y = 1
Calculemos ambas ecuaciones con
los valores del origen.
0
(1)
x + y = (0) + (0) = 0 ≤ 1
(2) 2x – y = 2(0) – (0) = 0 > 2
95
Eje X
Estas son las regiones correspondientes de los puntos que cumplen con las desigualdades:
Eje Y
x
–y
>2
Eje Y
y
2x
+
1
0
Eje X
Eje X
0
De manera que la región que
satisface las dos desigualdades
simultáneamente, es la región de
intersección de las regiones de cada
una de las desigualdades.
x
–y
>2
Eje Y
y
2x
+
1
Eje X
0
x+y
1
2x – y > 2
96
Ejercicios
1. Grafica las siguientes desigualdades en el Plano Cartesiano:
a)
2x + 3y > 6
b)
x+y≤4
c)
–2 < x ≤ 3
d)
–1 ≥ y ó 2 < y
e)
3x – 5y < 6
f)
2y – x ≥ 3
g)
y + 4x > –1
h)
4x ≤ 7y
i)
2>y>9
2. Grafica y encuentra la región las siguientes desigualdades en el Plano:
a)
3x – y > 2
2x + y < 3
b)
x –y≥2
2x – y ≤ 1
c)
3x + 2y > 6
x + 3y ≤ 2
d)
x+y<2
x+y≤1
e)
3x + y ≤ 1
–x + 2y ≥ 1
f)
2y + x < 3
4y + 2x < 8
g)
2x – y > 4
y≤0
x≤0
h)
x +y≤4
2x + y ≤ 6
i)
3x + 4y ≤ 24
x + 2y ≤ 10
97
Matemáticas 3
2: Ecuación y Función Cuadrática
2. 1: Concepto de ecuación cuadrática
Objetivo:
Superficie
l
El estudiante podrá construir ecuaciones
cuadráticas como modelo de ejercicios.
l2
8
X
8
l
A
r
Superficie
πr2
1
X
64
d ( t ) = ½g t 2 + A
Presentación
La expresión cuadrática más sencilla que conocemos es la “fórmula para encontrar la superficie de un
cuadrado”, o deberíamos decir de manera correcta: la superficie de un rectángulo con lados de igual
medida, porque decir: cuadrilátero de ángulos rectos y lados de igual medida, sería acaso más
ingenioso.
La aplicación de esa fórmula es así:
7cm
Se nos da la medida del lado y lo que
hacemos es multiplicar esa medida por sí
misma.
Cuadrado
Ejemplo 1. ¿Cuál es la superficie de un
rectángulo con lados de igual medida si
esos lados miden 7cm?
7cm
Superficie del rectángulo con lados de igual medida
= lado2 , entonces sustituimos
(7cm)2 = (7cm)(7cm) =
= 49cm2.
98
Ejemplo 2. De una de estas figuras cuyos lados miden 4m., encuentra su perímetro.
¿Su perímetro? Sí. ¿Esperabas que pidiera la superficie? Bueno, también lo haré pero primero
encuentra el perímetro.
Perímetro de esas figuras
= 4 x lado , sustituyendo,
4 x lado = 4 x 4m = 16m
Y ahora sí, cuál es la superficie de tal figura geométrica:
Superficie de la figura del ejercicio 2
= (4m)2 = (4m) (4m) = 16m2 .
El que en el ejercicio 2 se pidiera primero el perímetro fue para comparar sus unidades resultantes
con las unidades resultantes al obtener la superficie.
Para obtener el perímetro, se multiplicó la medida de uno de sus lados por el número de lados que
tiene la figura. Fijémonos que de estas dos expresiones sólo la medida del lado tiene unidades, la
otra, es el número de veces que habrá de tomarse para obtener el perímetro y éste fue de 16m, sólo
m, esto es, metros lineales, metros en una sola dimensión.
En el caso de la superficie se multiplicó la medida de uno de sus lados por la medida de otro de sus
lados (perpendiculares entre sí) y aquí, las dos medidas tiene unidades y la obtención de la superficie
dio por resultado 16m2, metros cuadrados, metros en dos dimensiones.
Nota. De la figura geométrica construida como cuadrilátero de ángulos rectos y lados de igual
medida, se obtiene la superficie multiplicando la medida de uno de sus lados por otro que sea
perpendicular a éste. Considerando la operación aritmética, sería multiplicar la medida de uno de sus
lados por sí misma, o dicho de otra forma, elevar al “cuadrado” la medida de uno de sus lados. A esa
figura geométrica se le llama comúnmente “cuadrado”. De manera que la figura y la búsqueda de su
superficie tienen el mismo nombre “cuadrado”. Investiga sobre este pequeño asunto en algún libro
que ofrezca uno o varios temas sobre números figurados.
Ejemplo 3. Ahora se nos plantea la operación contraria o sea, encontrar la medida del lado de un
“cuadrado” que tiene por superficie 64cm2.
Este es el dibujo del
ejercicio.
Debemos encontrar una medida que
multiplicada por sí misma o elevada al
“cuadrado” nos dé 64cm2.
64cm2
Las unidades son cm.
¿Cómo encontramos el número que al
“cuadrado” es 64? A ese número se le
llamará “la raíz cuadrada de 64”.
Los babilonios inventaron un método que, dado un número, encontrara otro que elevado al cuadrado
(o sea, su raíz cuadrada) diera como resultado ese número dado. He aquí el método babilónico.
99
Paso 1. Dividir el 64 por mitad.
64
2
= 32
, promediar el 2 y el 32
2 + 32
2
=
34
2
= 17
17 + 3.76
2
=
20.76
2
= 10.38
Paso 2. Dividir el 64 entre el promedio (17).
64
17
= 3.76
, promediar el 17 y el 3.76
Repitiendo estas operaciones hasta que el promedio y la división del 64 entre ese promedio sean
iguales, ese número será la raíz cuadrada del 64.
Paso 3. Dividir el 64 entre el nuevo promedio.
64
10.38
= 6.16
, promediar el 10.38 y el 6.16
10.38 + 6.16
2
=
16.54
2
= 8.27
8.27 + 7.73
2
=
16.00
2
= 8
Paso 4. Dividir el 64 entre el nuevo promedio.
64
8.27
= 7.73
, promediar el 8.27 y el 7.73
Paso 5. Dividir el 64 entre el nuevo promedio.
64
8
= 8
, son iguales el promedio y la división del 64 entre el promedio.
Una representación geométrica es la siguiente:
1 x 64
2 x 32
3.76 x 17
6.16 x 10.38
7.73 x 8.27
8x8
Respuesta: La raíz cuadrada de 64 es 8.
100
Ejemplo 4. Encontrar la medida del lado de un “cuadrado” que tiene por superficie 169cm2.
Paso 1. Dividir el 169 por mitad.
169
2
= 84.5
, promediar 2 y 84.5
2 + 84.5
2
=
86.5
2
= 43.25
Paso 2 y subsecuentes.
169
43.25
= 3.9
, promediar 43.25 y 3.9
43.25 + 3.9
2
=
47.15
2
= 23.57
169
23.57
= 7.17
, promediar 23.57 y 7.17
23.57 + 7.17
2
=
30.74
2
= 15.37
169
15.37
= 10.99
, promediar 15.37 y 10.99
15.37 + 10.99
2
=
26.36
2
= 13.18
169
13.18
= 12.82
, promediar 13.18 y 12.82
13.18 + 12.82
2
=
26.00
2
= 13
= 13
, son iguales el promedio y la división del 169 entre el promedio.
169
13
Aquí su representación geométrica:
1 x 169
2 x 84.5
3.9 x 43.25
7.17 x 23.57
10.99 x 15.37
12.82 x 13.18
13 x 13
Respuesta: la raíz cuadrada de 169 es 13.
Otra expresión en la que aparece un asunto cuadrático, es la “fórmula para encontrar la superficie de
un círculo”.
La aplicación de la fórmula es así:
Si se nos da la medida del radio, aplicamos la fórmula de manera directa; si la medida del diámetro,
obtenemos el radio y aplicamos la fórmula; si la medida del perímetro, despejamos y obtenemos el
radio y aplicamos la fórmula.
101
Ejemplo 5. ¿Cuál es la superficie de un círculo con radio igual a 5cm?
Superficie del círculo
= πr2 , sustituimos
πr2
= π(5cm)2 =
= π(5cm)(5cm) =
= π25cm2 =
= 3.1416 x 25cm2 =
= 78.54cm2 .
Ejercicios
1. La superficie de un cuadrado mide 225m2, encuentra la medida de su lado.
2. El triple de la superficie de un cuadrado mide 588m2, cuál es la medida de su lado.
3. Si el diámetro de la pista de un circo mide 14m, encuentra su superficie, perímetro y radio.
4. Si el perímetro de un círculo es 33cm, encuentra su superficie, diámetro y radio.
5. Si la superficie de un círculo es 453cm2, encuentra su perímetro, diámetro y radio.
Ejemplo 6. ¿Cuáles son las medidas del radio, el diámetro y el perímetro de un círculo cuya
superficie es 254.5cm2?
Superficie del círculo = πr2 = 254.5cm2
dividiendo entre π = 254.5cm2 / π =
254.5cm2
= 254.5cm2 / 3.1416 =
r2 = 81cm2 =
raíz cuadrada
de 81 y de cm2 = 9cm.
Respuesta:
radio = 9cm
diámetro = 2r = 2 x 9cm = 18cm
perímetro = πd = 3.1416 x 18cm = 56.55cm
102
Ejemplo 7. ¿Cuál es la medida de la diagonal del rectángulo que tiene de altura 3m y de base 4m?
¿
3m
Como la base, la altura y la diagonal que
las une, forman un triángulo rectángulo
recurrimos al Teorema de Pitágoras.
..
.
m
?
(base)2 + (altura)2 = (diagonal)2
sustituimos,
(4m)2 + (3m)2 = (diagonal)2
4m
(4m)(4m) + (3m)(3m) = diagonal
2
16m2 + 9m2 = diagonal2
25m2 = diagonal2
extraemos raíz cuadrada en ambos términos,
5m = diagonal.
Siguiendo con los rectángulos.
Ejemplo 8. ¿Cuál es el valor de x en el
rectángulo que tiene 8m de altura y
15m de base?
8m
2x
También aquí, tenemos un triángulo
rectángulo, entonces recurrimos al
Teorema de Pitágoras.
15m
(base)2 + (altura)2 = (diagonal)2
sustituimos,
omitimos las unidades
(15)2 + (8)2 = (2x)2
(15)(15) + (8)(8) = (2x)(2x)
225 + 64 = 4x2
289 = 4x2
extraemos raíz cuadrada en ambos términos,
17 = 2x
17/2 = x
8.5 = x
103
Ejemplo 9. ¿Cuál es el valor
de h en el rectángulo que
tiene 26m de diagonal y 24m
de base?
h
26m
Tenemos un triángulo
rectángulo, recurramos al
Teorema de Pitágoras.
24m
(base)2 + (altura)2 = (diagonal)2
(24m)2 + (h)2 = (26)2
sustituimos,
(24m)(24m) + h2 = (26m)(26m)
576m2 + h2 = 676m2
h2 = 676m2 – 576m2
h2 = 100m2
extraemos raíz cuadrada en ambos términos,
h = 10m .
La base es a la altura como la altura es a
la diferencia de la base y la altura. Esto
es:
base
altura
=
b
a
=
a
b–a
1
φ
=
φ
1–φ
a
Ejemplo 10. ¿Cuál es la razón, en valor
numérico, de la base entre la altura del
rectángulo si sabemos que se cumple la
siguiente proporción?
b
altura
base – altura
haciendo de la base nuestra unidad de medida y considerando
la proporción para φ, rescribimos
; 1 x (1 – φ) = φ x φ
1 – φ = φ2
y tenemos la ecuación
φ2 + φ – 1 = 0
¿Cómo resolver esta ecuación?
104
x
Ejemplo 11. ¿Cuáles son las medidas de la
base y la altura del rectángulo que tiene
superficie 40m2, sabiendo que la base
excede en 3m a la altura?
Superficie = 40m2
x+3
(x)(x + 3) = 40
x2 + 3x = 40
x2 + 3x – 40 = 0, ¿y cómo resolver esta otra?
Galileo Galilei e Isaac Newton descubrieron, por método experimental y matemático respectivamente,
que un cuerpo al ser soltado desde una altura A experimenta un cambio en su posición de acuerdo a
la siguiente expresión:
d ( t ) = ½ g t2 + A
Ejemplo 12. Si la altura de un edificio, desde el que se suelta un objeto (una esfera verde), es de
100m. ¿En cuánto tiempo el objeto hará contacto con el suelo?
Tenemos la altura del edificio desde donde se dejará caer el objeto y sabemos que la aceleración de
la gravedad es de –9.8m/seg2. Entonces tabulemos la ecuación:
tiempo
(seg.)
ecuación
½ g t2 + A
d(t)
distancia
recorrida
0
½ (–9.8m/seg2)(0seg)2 + 100m
= 0m + 100m
= 100m
1
½ (–9.8m/seg2)(1seg)2 + 100m
= –4.9m + 100m
= 95.1m
4.90m
2
½ (–9.8m/seg2)(2seg)2 + 100m
= –19.6m + 100m
= 80.4m
14.70m
3
½ (–9.8m/seg2)(3seg)2 + 100m
= –44.1m + 100m
= 55.9m
24.50m
4
½ (–9.8m/seg2)(4seg)2 + 100m
= –78.4m + 100m
= 21.6m
34.30m
5
½ (–9.8m/seg2)(5seg)2 + 100m
= –122.5m + 100m
= –22.5m
44.10m
Respuesta: el objeto hace contacto con el suelo después de los 4 segundos y antes de los 5.
105
Una representación gráfica de la ecuación tabulada, sería ésta:
seg 0; 100m
seg 1; 95.1m
To
rre
seg 2; 80.4m
In
c li
na
da
seg 3; 55.9m
seg 4; 21.6m
seg 5; –22.5m
Analizando la tabla y la gráfica de la ecuación, observamos lo siguiente:
1. Conforme transcurre el tiempo, propuesto aquí en segundos, la distancia que recorre el objeto
entre un segundo y otro es cada vez mayor.
2. Entre el segundo 4 y el 5, habría de recorrer 44.10m. Aunque esto no es posible porque el
subsuelo no permite que el objeto siga su “caída libre”.
3. La posición del objeto depende entonces del tiempo transcurrido.
4. La pregunta que habíamos planteado. ¿En cuánto tiempo, el objeto, hará contacto con el suelo?,
¿cómo la resolveríamos?
106
El objeto llegará al suelo cuando d (t) = 0, entonces la ecuación por resolver es:
–½ ( 9. 8) t 2 + 100 = 0
– 4.9 t2 + 100 = 0
4.9 t2 = 100
t2 = 100/4.9
t2 = 20.41
t =
20.41
t = 4.517
Respuesta: el objeto hace contacto con el suelo en 4.517 segundos.
10) φ2 + φ – 1 = 0
11) x2 + 3x – 40 = 0 ,
Los ejemplos 10 y 11;
nos arrojaron ecuaciones cuadráticas que resolveremos haciendo
uso de un resultado de los productos notables.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
Nos referimos al cuadrado de un binomio.
a la expresión a la derecha del signo igual, se le llama trinomio cuadrado perfecto.
Analicemos cómo está compuesta la expresión completa.
primera parte: (a + b)2
a = primer término del binomio
b = segundo término del binomio
segunda parte: a2 + 2ab + b2
107
a2 = primer término del trinomio
= al cuadrado del primer término del
binomio
2ab = segundo término del trinomio
= el doble producto del primero por
el segundo términos del binomio
b2 = tercer término del trinomio
= al cuadrado del segundo término del
binomio.
Apliquemos esto, primero a la ecuación del ejemplo 11.
x2 + 3x – 40 = 0
como 40 no es el cuadrado de número racional, entonces
añadimos 40 en ambos lados de la igualdad
x2 + 3x = 40
x2 = a2
3x = 2ab
no tenemos b2
en esta expresión tenemos:
pero vamos desarrollando y sustituyendo; de
x2 = a2 ; x = a
3x = 2xb
3 = 2b
3/2 = b
Y tenemos nuestro binomio completo, veamos:
(x + 3/2)2
= al cuadrado del primer término
+ el doble producto del primero por el segundo
+ el cuadrado del segundo término
x2
2(3/2)x = 3x
(3/2)2 = 9/4
En nuestra ecuación, el 40 no equivale al cuadrado de 3/2, entonces hacemos lo siguiente:
x2 + 3x = 40
x2 + 3x + 9/4 = 40 + 9/4
(x + 3/2)2 = 169/4
x + 3/2 = 13/2
añadimos también, 9/4 en ambos lados de la igualdad
con lo que, la primera parte de la igualdad resulta en un
trinomio cuadrado perfecto
extraemos ahora, raíz cuadrada en ambos lados
y desarrollamos
x = 13/2 – 3/2
x = 10/2
x = 5
medida de la altura.
Y nuestra respuesta al ejemplo 11 es la siguiente: la base mide 8m. y la altura 5m.
108
La ecuación construida en el ejemplo 10, cuenta con las mismas características que la del
ejercicio 10, entonces procedamos por el mismo camino para resolverla.
φ2 + φ – 1 = 0
φ2 + φ = 1
2
φ2 = a
φ = 2ab
no tenemos b2
identificamos:
desarrollando y sustituyendo; de
φ2 + φ = 1
(φ + 1/2)2 = 5/4
φ =
=
=
=
=
a2 ; φ = a
2φb
2b
b
añadimos 1/4 en ambos lados de la igualdad
φ2 + φ + 1/4 = 1 + 1/4
φ + 1/2 =
φ2
φ
1
1/2
5 /2
y así, la primera parte de la igualdad resulta en un trinomio
cuadrado perfecto
extraemos raíz cuadrada en ambos lados
y desarrollamos
5 /2 – 1/2
φ =( 5
–1 )/2
φ = (2.236 – 1)/2
φ = 1.236/2
φ = 0.618
razón de la altura a la base.
Y la respuesta al ejemplo 10 es: la altura es 0.618 de la base.
La proporción que se menciona en el ejercicio 10 también se expresa como: dados dos segmentos
de distinta longitud, si el segmento mayor es al menor como el menor es a la diferencia de
ellos, entonces se dice que los segmentos están en “Proporción Áurea”.
Los griegos descubrieron que esta proporción se cumple en un sinnúmero de elementos de la
naturaleza. Tal vez fue fijándose en la estructura de todos esos elementos y concibiendo su
reproducción a través de un modelo como construyeron la proporción áurea.
De las ecuaciones cuadráticas construidas en los ejercicios anteriores, algunas no tuvieron término
lineal de la incógnita, pero algunas otras si contaron con todos los términos que corresponden a una
ecuación cuadrática completa. Presentaron la forma:
ax2 + bx + c = 0.
109
Haciendo un cuadro comparativo entre las ecuaciones que hemos construido para resolver los
ejercicios y la ecuación cuadrática completa que presentamos renglones arriba, obtenemos lo
siguiente:
Ecuación
Ejemplo
a x2
+
unidades2
b x
+
unidades
c
=
0
1.
1 lado2
–
49
=
0
2.
1 lado2
–
16
=
0
3.
1 lado2
–
64
=
0
4.
1 lado2
–
169
=
0
5.
2
π r
–
78.54
=
0
6.
2
π r
–
254.5
=
0
7.
1 diag2
–
25
=
0
8.
4 x2
–
289
=
0
9.
1 h2
–
10
=
0
10.
1 φ2
+
1 φ
–
1
=
0
11.
1 x2
+
3 x
–
40
=
0
12.
½ g t2
+
100
=
0
Ejercicios
1. Encontrar la superficie y el perímetro de un cuadrado cuyos lados miden 31m.
2. Encontrar la superficie y el perímetro de un cuadrado cuyas diagonales miden 50m.
3. Si la superficie de un círculo mide 345m2, encuentra su radio, diámetro y perímetro.
4. Si la superficie de un círculo es 563cm2, encuentra su radio, diámetro y perímetro.
5. Un cubo tiene como medida de sus aristas 7cm. Encontrar la longitud total de sus aristas, la
superficie total de sus caras y su volumen (esta última medida no es cuadrática pero es de fácil
acceso).
110
Matemáticas 3
Y
X
x
y = ax + c
-1
0
2
a(-1) + c
2: Ecuaciones y Funciones Cuadráticas
2. 2: Análisis gráfico de la ecuación y la
función cuadrática
Objetivo:
El estudiante aprenderá a
construir y graficar funciones
cuadráticas y a resolver
cualquier
ecuación
que
provenga de estas funciones.
Y
5
x y = x2 + 1
-4 15
-2 5
0 . . .
3
X
O
Presentación
Tenemos los siguientes ejercicios como resultado del desarrollo del tema anterior, cuyo
planteamiento para solución, nos presenta ejemplos de ecuaciones cuadráticas:
1. ¿Cuál es la superficie de un rectángulo de lados iguales con medida 7cm?
R: Superficie = Lado2 = (7cm)2 = (7cm)(7cm) = 49cm2.
2. ¿Cuál es la superficie de un rectángulo de lados iguales con medida 4m?
R: Superficie = Lado2 = (4m)2 = (4m)(4m) = 16m2.
3. ¿Qué número elevado al “cuadrado” es 64?
n=
64
= 8. R: n = 8.
4. Hallar el lado de un “cuadrado” que tiene por superficie 169cm2.
Lado =
169cm2
. R: lado = 13cm.
5. ¿Cuál es la superficie de un círculo con radio igual a 5cm?
πr2 = 78.54cm2. R: Superficie = πr2 = 78.54cm2.
6. Cuáles son las medidas del radio, el diámetro y el perímetro de un círculo cuya superficie es
254.5cm2.
111
radio2 = superficie / π = 254.5cm2 / π = 81cm2.
diámetro = 2 x radio = 2 x 9cm = 18cm.
perímetro = πd = 3.1416 x 18cm = 56.55cm.
R: radio = 9cm, diámetro = 18cm, perímetro = 56.55cm.
7. Cuál es la medida de la diagonal del rectángulo que tiene de altura 3m y de base 4m.
d2 = altura2 + base2 = (3m)2 + (4m)2 = 9m2 + 16m2 = 25m2. d =
R: diagonal = 5m.
25m2
.
8. Cuál es el valor de la diagonal en el rectángulo que tiene 8m de altura y 15m de base.
d2 = altura2 + base2 = (8m)2 + (15m)2 = 64m2 + 225m2 = 289m2.
diagonal =
289m2
. R: diagonal = 17m.
9. Cuál es el valor de h en el rectángulo que tiene 26m de diagonal y 24m de base.
altura2 = diagonal2 – base2 = (26m)2 – (24m)2 = 676m2 – 576m2 = 100m2.
altura =
100m2
. R: altura = 10m.
10. Si un rectángulo tiene de base 1 unidad y la proporción entre su base y su altura está dada por la
expresión: φ2 + φ – 1 = 0; en donde φ representa la altura. ¿Cuál es la medida de su altura?
Ecuación: φ2 + φ – 1 = 0
añadimos 1/4 en ambos lados
,
φ2 + φ = 1
φ2 + φ + 1/4 = 1 + 1/4
(φ + 1/2)2 = 1 + 1/4
extraemos raíz; ambos lados
=
4/4 + 1/4 = 5/4
(φ + 1/2)2 = 5/4
φ + 1/2 =
5/4
;
5/4 =
=
5 / 4
5 /2 = 2.236/2
2.236/2 – 1/2 =
= (2.236 – 1)/2 =
φ = 0.618
R: altura = 0.618u.
112
= 1.236/2
=
11. Cuáles son las medidas de la base y la altura del rectángulo que tiene superficie 40m2, sabiendo
que la base excede en 3m a la altura? (prescindiremos de las unidades m2)
Superficie = a x (a + 3) = 40
añadimos 9/4 en ambos lados
a2 + 3a = 40
,
a2 + 3a + 9/4 = 40 + 9/4
(a + 3/2)2 = 40 + 9/4
=
160/4 + 9/4 = 169/4
;
13/2 – 3/2 = 10/2
(a + 3/2)2 = 169/4
extraemos raíz; ambos lados
a + 3/2 = 13/2
a = 5.
R: Las medidas son: base 8m y altura 5m.
12. Si la altura de un edificio, desde el que se suelta un objeto, es de 100m. ¿En cuánto tiempo, el
objeto, hará contacto con el suelo?
La expresión que nos describe el cambio de posición de un cuerpo al ser soltado desde una
altura de 100m es la siguiente:
d ( t ) = ½ g t 2 + 100 ,
en donde d es la altura a la que el objeto se encuentra del suelo y ésta depende del tiempo
transcurrido desde el momento en que se soltó el objeto.
Sabemos que la aceleración de la gravedad es de –9.8m/seg2. Entonces la expresión del
cambio de posición (o cambio de altura) del objeto es la siguiente:
–½ ( 9. 8) t 2 + 100 = 0
altura =
– 4.9 t2 + 100 = 0
4.9 t2 = 100
t2 = 100/4.9
t2 = 20.41
t =
20.41
t = 4.517
R: El objeto hace contacto con el suelo en 4.517 segundos.
Si nos fijamos en el tipo de ecuación de los ejemplos 1 y 2, en los que se trata de encontrar la medida
de la superficie de un cuadrado, dada la medida de la longitud de sus lados, el proceso que se realiza
es el mismo, esto es:
113
Medida de sus lados
Operación
Área
Método
7cm
4m
(7cm) (7cm)
(4m) (4m)
49cm2
16m2
Lado2
Lado2
Nos damos cuenta que el método para encontrar la respuesta es uniforme, pues basta con saber cuál
es la medida de los lados del cuadrado para obtener su área.
Tenemos entonces que el área de un cuadrado está en relación directa con la medida de la longitud
de sus lados. Relación que podemos expresar como:
Área = lado2. Y esta relación la podemos
tabular y graficar en el plano
cartesiano.
Eje Y
Esta es una forma: consideremos la longitud de
los lados del cuadrado como x, y su área como
y:
16
Tabulación
Lado = x
Área = y = x2
1
2
3
4
5
6
7
8
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 81
Gráfica
9
4
1
Eje X
O
1
2
3
4
5
6
7
8
Ahora, nos fijamos en el tipo de ecuación de los ejemplos 3 y 4. En el ejemplo 3 se busca la raíz
cuadrada de un número y en el 4, se trata de encontrar la medida de la longitud de los lados de un
cuadrado dada la medida de su superficie, o sea la raíz cuadrada del valor del área del cuadrado.
Haciendo un cuadro, tenemos:
Número / Área
Operación
Raíz cuadrada
Método
64
64
8
numero
114
169cm
169
13m
área
En estos ejemplos, también el método para encontrar el resultado es uniforme, basta con saber cuál
es el área para obtener, según el caso, la raíz cuadrada o la medida de sus lados.
Tenemos entonces que la medida de la longitud de los lados de un cuadrado, está en relación directa
con su área. Relación que expresamos de la siguiente manera:
Lado = Área . Y esta relación la tabulamos y graficamos en el plano cartesiano.
Esta es una forma: consideremos el área del cuadrado como x, y la longitud de sus lados como y:
Tabulación
Área = x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Lado = y =
11/2 = 1
21/2 = 1.414
31/2 = 1.732
41/2 = 2
51/2 = 2.236
61/2 = 2.449
71/2 = 2.646
81/2 = 2.828
91/2 = 3
x
= x1/2
Gráfica
Eje Y
4
3
2
1
Eje X
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
Nota. Recordemos que al extraer la raíz cuadrada de un número que debe ser positivo, exhibíamos
dos números como las raíces del número original, dicho de otra forma, exhibíamos dos números
como las raíces del número aquel del que se nos había pedido extraer la raíz cuadrada. De estas dos
raíces una era positiva y la otra negativa.
Ejemplos:
115
42 = 4 x 4 = 16 ; (–4)2 = (–4) (–4) = 16
112 = 11 x 11 = 121 ; (–11)2 = (–11) (–11) = 121
a2 = a x a = a2 ; (–a)2 = (–a) (–a) = a2
72 = 7 x 7 = 49 ; (–7)2 = (–7) (–7) = 49
(1/2)2 = (1/2) x (1/2) = 1/4 ; (–1/2)2 = (–1/2) (–1/2) = 1/4
(xy)2 = (xy) x (xy) = x2y2 ; (–xy)2 = (–xy) (–xy) = x2y2
Tomando en cuenta el que todo número positivo tiene dos raíces, una positiva y otra negativa, la
tabulación y la gráfica de las raíces cuadradas de los números positivos toman la siguiente forma:
Tabulación
Número
Positivo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Raíz Positiva
Raíz Negativa
11/2 = 1
21/2 = 1.414
31/2 = 1.732
41/2 = 2
51/2 = 2.236
61/2 = 2.449
71/2 = 2.646
81/2 = 2.828
91/2 = 3
11/2 = –1
21/2 = –1.414
31/2 = –1.732
41/2 = –2
51/2 = –2.236
61/2 = –2.449
71/2 = –2.646
81/2 = –2.828
91/2 = –3
o ambas raíces entre llaves
11/2 = { 1, –1}
21/2 = { 1.414, –1.414}
31/2 = { 1.732, –1.732}
41/2 = { 2, –2}
51/2 = { 2.236, –2.236}
61/2 = { 2.449, –2.449}
71/2 = { 2.646, –2.646}
81/2 = { 2.828, –2.828}
91/2 = { 3, –3}
Gráfica
Eje Y
4
3
2
1
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Eje X
-1
-2
-3
-4
Si bien, todo número positivo tiene dos raíces, una positiva y otra negativa, en la búsqueda de la
longitud de los lados de un cuadrado, la medida no tiene sentido si proponemos una longitud
negativa, por ejemplo: la longitud del lado de un cuadrado que tiene 25m2 de superficie, es –5m ¿Qué
quiere decir esto?
116
En matemáticas, es importante la consideración de las raíces tanto positivas como negativas. Se
hace significativo en el desarrollo de los procesos para encontrar elementos de solución de las
ecuaciones y funciones cuadráticas.
Por cierto, si el cuadrado de cualquier número racional, sea positivo o negativo, es siempre un valor
positivo, podemos completar la tabla y la gráfica de la relación de los ejemplos 1 y 2; éstas son las
exposiciones correspondientes:
Eje Y
Tabulación
Número
Positivo
Cuadrado de Número
Positivo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
12 = 1 x 1 = 1
22 = 2 x 2 = 4
32 = 3 x 3 = 9
42 = 4 x 4 = 16
52 = 5 x 5 = 25
62 = 6 x 6 = 36
72 = 7 x 7 = 49
82 = 8 x 8 = 64
92 = 9 x 9 = 81
16
9
4
1
Eje X
O
-4 -3 -2 -1
Número
Negativo
1
2
3
4
Cuadrado de
Número Negativo
(–1)2 = (–1) x (–1) = 1
(–2)2 = (–2) x (–2) = 4
(–3)2 = (–3) x (–3) = 9
(–4)2 = (–4) x (–4) = 16
(–5)2 = (–5) x (–5) = 25
(–6)2 = (–6) x (–6) = 36
(–7)2 = (–7) x (–7) = 49
(–8)2 = (–8) x (–8) = 64
(–9)2 = (–9) x (–9) = 81
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
A estas dos relaciones, la que a todo número le asocia su cuadrado y la que a todo número positivo le
asocia sus dos raíces, se les llama funciones.
Una función es:
•
•
Una regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos.
Una receta que asocia elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto.
Las funciones que se estudian en matemáticas, son aquellas que dados dos conjuntos:
117
•
•
Relacionan cada elemento de un conjunto con un elemento del otro, y las que
Relacionan varios elementos de un conjunto con un elemento del otro.
Y se denotan de la siguiente manera:
f(x) = y , en donde, con respecto al plano cartesiano,
x es un elemento de X y
y lo es de Y.
Para representar la gráfica de la función f(x) consideramos (x, f(x)) – o (x, y), ya que estamos
identificando a y = f(x) – como el par ordenado que forman, como primer elemento el valor x sobre el
Eje X y como segundo elemento el valor f(x) [o y] sobre el Eje Y que la función le asocia al valor x.
Examinemos bajo estos conceptos el ejemplo 13. Encontrar la superficie del “cuadrado” que tiene
como medida de sus lados 4mm.
¿Cómo identificamos la función y cómo la ecuación?
La función es: f(x) = y
Los pares ordenados son: (x, f(x))
Las gráficas: (x, x2)
y la ecuación: f(4) = y
(4, f(4)) = (4, 42) = (4, 16)
(4, 16)
Eje Y
Eje Y
16
f(x) = x2
Eje X
O
O
x
4
118
Dados dos conjuntos, una regla de correspondencia entre ellos y considerando que el producto de tal
aplicación arroja parejas ordenadas en donde el primer elemento es aquel sobre el que se aplica la
regla y el segundo, es el resultado de la aplicación de la regla al primer elemento de la pareja,
tenemos las siguientes observaciones:
•
La función es la regla de correspondencia general, aplicada en todos los elementos de uno de los
dos conjuntos y
•
La ecuación es la regla de correspondencia particular, aplicada en un solo elemento de uno de los
conjuntos.
Examinemos ahora el ejemplo 14, que dice: ¿cuál es la superficie de un círculo con radio igual a
2cm? (la misma estructura del ejemplo 5) La función y la ecuación son:
Función
Elemento del
primer
conjunto
Elemento del
segundo
conjunto
Radio del
círculo
Superficie del
círculo
x
y
g(x)
πx2
Eje Y
Ecuación
Elemento del
primer
conjunto
Elemento del
segundo
conjunto
Parejas
ordenadas
Radio del
círculo
Superficie del
círculo
(x, y)
(x, g(x))
(x, πx2)
2cm
y
g(2)
π22
π4
12.57
Pareja
ordenada
(2, y)
(2, g(2))
(2, π22)
(2, 4π)
(2, 12.57)
Eje Y
12.57
g(x) = πx2
O
x
Eje X
O
2
119
Ejemplo 15. Hacer las gráficas de la función g’(x) = x2/5, y de la ecuación g’(7).
FUNCIÓN
ECUACIÓN
Elemento del
primer
conjunto
Elemento del
segundo
conjunto
Parejas
ordenadas
Elemento del
primer
conjunto
Elemento del
segundo
conjunto
Pareja
ordenada
x
y
g’(x)
x2/5
(x, y)
(x, g’(x))
(x, x2/5)
7
y
g’(7)
(7)2/5
49/5
9 4/5
(7, y)
(7, g’(2))
(7, (7)2/5)
(7, 49/5)
(7, 9 4/5)
Eje Y
Eje Y
9 4/5
g’(x) = x2/5
Eje X
O
O
x
7
Nota. Se cambió el tamaño de la cuadrícula para una mejor apreciación.
¿Qué similitudes y qué diferencias tienen los tres últimos pares de gráficas?
Respuesta:
Similitudes en las gráficas de las funciones f(x) = x2, g(x) = πx2 y g’(x) = x2/5:
• Inician en el origen
• Son ecuaciones cuadráticas
120
Diferencias:
•
•
•
•
•
•
g(x) es la más angosta que f(x) al “crecer” la x
g’(x) la más ancha que f(x) al “crecer” la x
g(x) tiene un factor de multiplicación (π)
g’(x) tiene un factor de división (1/5)
g(x) “crece” más rápidamente que f(x) conforme “crece” la x
g’(x) “crece” más lentamente que f(x) conforme “crece” la x
Ejemplo 16. ¿Cuál es la longitud del lado de un cuadrado que tiene 25m2 de superficie? La función y
la ecuación son:
Nota. El símbolo de extracción de la raíz cuadrada de cualquier expresión es:
FUNCIÓN
x1/2.
ECUACIÓN
Elemento del
primer
conjunto
Elemento del
segundo
conjunto
Superficie del
cuadrado
Lado del
cuadrado
Parejas
ordenadas
y
h(x)
x1/2
(x, y)
(x, h(x))
(x, x1/2)
x
x ó
Elemento del
primer
conjunto
Elemento del
segundo
conjunto
Superficie del
cuadrado
Lado del
cuadrado
25m2
y
h(25)
251/2
5
Pareja
ordenada
(25, y)
(25, h(2))
(25, 251/2)
(25, 5)
Eje Y
h(x) = x1/2
Eje X
O
x
121
Eje Y
5
Eje X
O
25
Ejemplo 17. ¿Cuál es la medida del radio de un círculo cuya superficie es 28.27cm2 (misma
estructura del ejemplo 6) La función y la ecuación son:
La función:
Los pares ordenados son:
k(x) = y
(x, k(x))
(x, (x/π)1/2)
y la ecuación:
Las gráficas:
k(28.27) = y
(28.27, k(28.27)) =
= (28.27, (28.27/π)1/2) =
= (28.27, (9)1/2) =
= (28.27, 3)
Eje Y
k(x) = (x/π)1/2
Eje X
O
x
122
Eje Y
3
Eje X
O
28.27
Ejemplo 18. Hacer las gráficas de la función k’(x) = 2x1/2, y de la ecuación k’(16).
función
Elemento del
primer
conjunto
Elemento del
segundo
conjunto
x
y
k’(x)
2x1/2
ecuación
Parejas
ordenadas
Elemento del
primer
conjunto
(x, y)
(x, k’(x))
(x, 2x1/2)
16
Elemento del
segundo
conjunto
y
k’(16)
2(16)1/2
2(4)
8
Pareja
ordenada
(16, y)
(16, k’(16))
(16, 2(16)1/2)
(16, 2(4))
(16, 8)
Eje Y
k’(x) = 2x1/2
Eje X
O
x
123
Eje Y
8
Eje X
O
16
¿Qué similitudes y qué diferencias tienen los tres últimos pares de gráficas?
Respuesta:
Similitudes en las gráficas de las funciones h(x) = x1/2, k(x) = (x/π)1/2 y k’(x) = 2x1/2.
• Inician en el origen
• Son ecuaciones de radicación cuadrática
Diferencias:
• k(x) es más angosta que h(x) al “crecer” la x
• k’(x) es más ancha que h(x) al “crecer” la x
• k(x) tiene un factor de división (π)
• k’(x) tiene un factor de multiplicación (2)
• k(x) “crece” menos que h(x) conforme “crece” la x
• k’(x) “crece” más que h(x) conforme “crece” la x
Ejemplo 19.a. Un terreno cuadrado cuyos lados miden 6m colinda con otro que mide 12m2 ¿Cuántos
m2 se tienen juntando los dos terrenos?
La función es:
Los pares ordenados son:
f(x) = y
(x, f(x))
(x, x2+12)
y la ecuación:
f(6) = y
(6, f(6)) = (6, 62+12) =
= (6, 36+12) =
= (6, 48)
Ejemplo 19.b. A un terreno cuadrado cuyos lados miden 6m se le quita una porción que mide 12m2
¿Cuántos m2 se tienen después de la operación?
La función es:
Los pares ordenados son:
g(x) = y
(x, g(x))
(x, x2–12)
y la ecuación:
124
g(6) = y
(6, f(6)) = (6, 62–12) =
= (6, 36–12) =
= (6, 24)
Gráficas
Eje Y
Eje Y
48
f(x) = x2+12
12
Eje X
O
O
24
g(x) = x2-12
Eje X
O
O
6
-12
x
125
Ejemplo 20. Desde una altura de 50m se deja caer un objeto. ¿En cuánto tiempo hace contacto con
el suelo?
La expresión que nos describe el cambio de posición de un cuerpo al ser soltado desde cualquier
altura es la siguiente:
d ( t ) = ½ g t2 + h ,
Sabemos que la aceleración de la gravedad es de –9.8m/seg2. Entonces la expresión del cambio de
posición (o cambio de altura) del objeto es la siguiente:
La función es:
Los pares ordenados:
d(t) = y
(t, d(t))
(t, –1/2gt2+50)
y la ecuación:
Gráficas
d(3.2) = y
(3.2, f(3.2)) =
= (3.2, –1/2(9.8 x (3.2)2) + 50 =
= (3.2, –1/2(9.8 x 10.2) + 50 =
= (3.2, –1/2(100) + 50 =
= (3.2, –50 + 50) =
= (3.2, 0) =
Eje Y
Eje Y
50
d(t) = 1/2gt2+50
0
O
t
Eje X
O
3.2
Nota. Se cambió la escala del eje X (eje de t).
126
En el dibujo de las gráficas se han considerado sólo los valores positivos, tanto en las funciones que
señalan elevar al cuadrado los valores sobre los que se aplica, como en las que señalan la extracción
de la raíz cuadrada. Las gráficas “completas”, esto es: aplicadas sobre cualquier valor positivo o
negativo de las funciones, las que elevan al cuadrado como las que extraen raíz cuadrada, son
semejantes a las dibujadas para x2 y x1/2.
Nota: las gráficas de las funciones son las que se pueden “completar”, no así los valores de las
ecuaciones. ¿Qué quiere decir el buscar la superficie de un cuadrado que tiene por lado –9m; o dada
la superficie de un círculo, presentar como resultado que su radio mida –3cm?
Eje Y
En esta gráfica, la aplicación de la
relación que eleva al cuadrado todo
valor racional, ofrece el mismo
resultado sobre racionales que son
inversos aditivos.
16
Esta relación es del tipo de las que
interesan a la matemática; relación que
asocia a varios elementos del primer
conjunto con uno del segundo.
9
Entonces f(x) = x2, es una función.
4
1
Eje X
O
-4 -3 -2 -1
1
2
3
4
127
Eje Y
4
3
2
1
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Eje X
-1
-2
-3
-4
En esta otra gráfica, la
aplicación de la relación
que extrae la raíz
cuadrada a los valores
racionales positivos,
ofrece dos resultados
que son inversos
aditivos.
Esta relación es del tipo de
las que no interesan a la
matemática; relación que
asocia a un sólo elemento
del primer conjunto varios
del segundo.
128
Entonces g(x) = x1/2,
NO es una función.
Ejercicios
Los incisos a, son las funciones o relaciones que hay que graficar (para lo que se sugiere tabular la
función o relación) y los incisos b, el valor en particular que hay que desarrollar (este es uno solo de
los valores que se pueden tabular).
1. a.
b.
f(x) = x2 + 3
f(5)
2. a.
b.
g(x) = x2 – 5
g(–2)
3. a.
b.
h(x) = –x2
h(4)
4. a.
b.
k(x) = 3x2
k(3)
5. a.
b.
f(x) = –x2 + 2
f(–4)
6. a.
b.
g(x) = 5x2 – 12
g(–2)
7. a.
b.
h(x) = ½ x 2
h(7)
8. a.
b.
k(x) = 1/8 x2
k(3)
9. a.
b.
h(x) = 3/10 x2 + 1
h(6)
10. a.
b.
k(x) = –3x2
k(3)
11. a.
b.
f(x) = x1/2 – 2
f(8)
12. a.
b.
g(x) = x1/2 + 4
g(9)
13. a.
b.
h(x) = –x1/2
h(25)
14. a.
b.
k(x) = 5x1/2
k(4)
15. a.
b.
f(x) = –x1/2 + 5
f(9)
16. a.
b.
g(x) = 3x1/2 – 3
g(16)
17. a.
b.
h(x) = ½ x 1/2
h(4)
18. a.
b.
k(x) = 1/4 x1/2
k(5)
19. a.
b.
h(x) = 1/5 x1/2 + 5
h(8)
20. a.
b.
k(x) = –3x1/2
k(9)
129
a
2a
3a
Matemáticas 3
4a
a2
2: Ecuaciones y Funciones Cuadráticas
(2a)2 = 4a2
(3a)2 = 9a2
2. 3: Ecuación general y sus raíces
(4a)2 = 16a2
Objetivo
El estudiante aprenderá el
significado del cambio de
valor en los coeficientes de
una función cuadrática.
Y
O
X
x0
-a
x0
x0
+a
Presentación
Una función cuadrática en una variable es aquella en que la variable tiene entre los elementos que la
componen, uno en el que se encuentra elevada al cuadrado (o elevada a la segunda potencia) y ésta
es la de mayor exponente. Esto es:
f1(x) =
x2
g1(x) =
3x2
h1(x) =
1/2 x2
k1(x) =
1/9 x2
p1(x) =
– 1/4 x2
q1(x) =
– 2/5 x2
f2(x) =
– x2 + 2
g2(x) =
x2 + 3
h2(x) =
x2 – 6
k2(x) =
– 5x2 + 4
f3(x) =
x2 + 3x
g3(x) =
– x2 + 4x
h3(x) =
3x2 + x
k3(x) =
2x2 – 3x
f4(x) =
x2 + x + 1
g4(x) =
1/2 x2 – 2x – 1
h4(x) =
– 1/3 x2 + 3x + 2
k4(x) =
4x2 – 6x – 3
130
Como podemos darnos cuenta en estas funciones, todas tienen algún término en donde la variable
“x” tiene exponente 2 o está elevado a la potencia 2. o bien poseen un término al cuadrado, lo que
convierte a cada una de estas funciones en una función cuadrática.
Comenzamos por analizar estas funciones preguntándonos: ¿cómo son sus gráficas?
a) Las seis primeras, desde f1 hasta q1, se componen sólo del término en donde aparece la
variable al cuadrado; lo que las define como funciones cuadráticas. Para que su revisión se
haga con más claridad, se te pide resolver antes los siguientes:
Ejercicios
Graficar las funciones o relaciones:
1.
f(x) = 5x2
2.
g(x) = 2x2
3.
h(x) = 7/3 x2
4.
k(x) = 2/3 x2
5.
p(x) = 1/4 x2
6.
q(x) = 2/5 x2
7.
t(x) = – 3/5 x2
8.
u(x) = – 3/8 x2
9.
v(x) = – 1/5 x2
10.
w(x) = – 3x2
11.
v(x) = – 4x2
12.
w(x) = – 5/2 x2
a.1) De las cuatro primeras (f1 – k1), así
es su gráfica:
Eje Y
f1(x) =
x2
g1(x) = 3x2
Con las gráficas de estas
funciones y las que dibujaste, date
cuenta de que:
2
a.1.1) Si el coeficiente de x es
mayor a 1, su gráfica se
encuentra “por dentro” de
f1(x). Esto quiere decir que
“crece” más rápidamente
que f1(x).
k1(x) = 1/3 x2
h1(x) = 1/2 x2
a.1.2) Si el coeficiente de x2 es
menor a 1 y mayor a 0, su
gráfica se encuentra “por
fuera” de f1(x). Esto quiere
decir que “crece” más
lentamente que f1(x).
Eje X
O
-4 -3 -2 -1
131
1 2 3 4
a.2) De las dos siguientes (p1 – q1), estas son sus gráficas:
Eje Y
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
O
Hemos dibujado la gráfica de F1(x) = –x2
para que nos sirva de referencia. De estas
gráficas y las que dibujaste:
Eje X
a.2.1) Si el coeficiente de x2 es menor
a 0 y mayor a –1, su gráfica se
encuentra “por fuera” de F1(x).
Esto quiere decir que “decrece”
más lentamente que F1(x).
q1(x) = - 2/15 x2
a.2.2) Si el coeficiente de x2 es menor
a –1, su gráfica se encuentra
“por dentro” de F1(x). Esto
quiere decir que “decrece” más
rápidamente que F1(x).
p1(x) = -1/4 x2
F1(x) = -x2
a.3) Si el coeficiente de x2 es positivo, la gráfica “abre hacia arriba” y si es negativo, “abre hacia
abajo”.
b) Las cuatro siguientes, desde f2 hasta k2, tienen el término en donde aparece la variable al
cuadrado y el término constante.
Ejercicios
Graficar los siguientes ejercicios:
Los que aparecen con número par tendrán en el término al cuadrado los mismos coeficientes que en
la serie anterior, así tendrás un mejor acercamiento.
1.
f(x) = 6x2 + 1
2.
g(x) = 2x2 + 4
3.
h(x) = 5/3 x2 – 4
4.
k(x) = 2/3 x2 + 7
5.
p(x) = 7/2 x2 – 6
6.
q(x) = 2/5 x2 – 1
7.
t(x) = – 2/7 x2 + 5
8.
u(x) = – 3/8 x2 + 2
9.
v(x) = – 3/10 x2 + 2
10.
w(x) = – 3x2 – 3
11.
v(x) = – 5x2 – 2
12.
w(x) = – 5/2 x2 + 3
132
b.1) de las funciones f2 y k2, éstas son sus
gráficas:
b.2) gráficas de las funciones g2 y h2:
Toma en cuenta las que dibujaste:
Después del angostamiento o ensanchamiento de la gráfica por el coeficiente de x2, el
término constante desplaza la gráfica hacia arriba, si es positivo, o hacia abajo, si es
negativo.
Eje Y
Eje Y
g2(x) = x2 + 3
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
O
Eje X
Eje X
O
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
f2(x) = -x2 + 2
h2(x) = x2 - 6
k2(x) = -5x2 + 4
c) Las cuatro siguientes, desde f3 hasta k3, tienen el término en donde aparece la variable al
cuadrado y el término en donde aparece la variable de modo lineal.
Ejercicios
Graficar los siguientes ejercicios:
Los que aparecen con número impar tendrán en el término al cuadrado los mismos coeficientes que
en la primera serie.
1.
f(x) = 5x2 + x
2.
g(x) = x2 – 3x
3.
h(x) = 7/3 x2 + 2x
4.
k(x) = 1/2 x2 + 4x
5.
p(x) = 1/4 x2 – x
6.
q(x) = 1/5 x2 + x
7.
t(x) = – 3/5 x2 + 3x
8.
u(x) = – 1/4 x2 – x
9.
v(x) = – 1/5 x2 – 3x
10.
w(x) = – 1x2 – x
11.
v(x) = – 4x2 + 5x
12.
w(x) = – 5/2 x2 + 2x
133
c.1) de las funciones f3, h3 y k3, estas son
sus gráficas:
c.2) gráfica de la función g3:
Junto con las que dibujaste:
Después que el coeficiente de x2, angostó o ensanchó la gráfica, el término lineal
desplaza la gráfica hacia arriba, hacia abajo, hacia derecha o hacia izquierda.
Eje Y
Eje Y
h3(x) = 3x2 + x
k3(x) = 2x2 - 3x
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
O
f3(x) = x2 + 3x
g3(x) = -x2 + 4x
O
-4 -3 -2 -1
Eje X
1 2 3 4
Eje X
d) Finalmente, las cuatro últimas, desde f4 hasta k4, son funciones cuadráticas completas, pues
tienen los términos en donde aparece la variable al cuadrado, lineal y el término constante.
Ejercicios
Graficar los siguientes ejercicios:
Algunos de estos ejercicios, con número impar o par, tendrán en el término al cuadrado los mismos
coeficientes que en las series anteriores.
1.
f(x) = 5x2 + x – 4
2.
g(x) = 1/4 x2 – 3x + 2
3.
h(x) = 5/2 x2 + 4x – 3
4.
k(x) = 1/2 x2 + 4x + 3
5.
p(x) = 1/4 x2 – x + 7
6.
q(x) = 1/6 x2 + x – 6
7.
t(x) = – 5x2 + 4x – 3
8.
u(x) = – 1/4 x2 – x + 9
9.
v(x) = – 1/5 x2 – 3x + 12
10.
w(x) = – 1x2 – x + 11
11.
v(x) = – x2 + 3x – 2
12.
w(x) =
134
–
5/2 x2 + 2x – 1
d.1) Estas son las gráficas de las funciones
f4, g4 y k4,:
d.2) Aquí la gráfica de la función h4:
Más las que dibujaste:
Después que el coeficiente de x2, angostó o ensanchó la gráfica, el término lineal la
desplazó hacia arriba, hacia abajo, hacia derecha o hacia izquierda y el término
constante la desplazó arriba o hacia abajo, este es nuestro dibujo.
Eje Y
f4(x) = x2 + x + 1
g4(x) = 1/2 x2 - 2x - 1
O
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
Eje X
Eje Y
k4(x) = 4x2 - 6x - 3
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
O
Eje X
h 4 (x) = -1 / 3 x2 + 3x + 2
135
Como te habrás dado cuenta hubo gráficas:
que atravesaron el
eje X,
otras sólo hicieron
contacto con el eje X en
un punto
y otras ni lo
atravesaron ni lo
tocaron.
Eje Y
Eje Y
Eje Y
O
O
O
Eje X
¿Qué quiere decir cada uno de estos resultados?
Al tabular una función lo que hacíamos era encontrar el estimado que la función le asigna a un
valor determinado, o aplicar y desarrollar las operaciones que señala la función en un valor
determinado.
En los ejemplos y ejercicios desarrollados ¿cómo han sido los estimados y el dibujo de las gráficas
correspondientes de las funciones en los valores calculados?
Pongamos nuestra atención en los dos primeros dibujos y en las tabulaciones que nos llevaron a
gráficas como éstas. Desde luego, también atenderemos al tercer dibujo.
1.1) Si atraviesa el eje X, quiere decir que la función le asigna el estimado 0 (cero) a algún
par de valores de x.
1.2) Si atraviesa el eje X, quiere decir que la función asigna estimados positivos y
negativos a valores x sobre los que se aplica.
2.1) Si sólo hace contacto con el eje X en un punto, quiere decir que la función le asigna el
estimado 0 (cero) a un solo valor de x.
136
2.2) Si sólo hace contacto con el eje X en un punto, quiere decir que la función asigna
estimados NO negativos o NO positivos a valores x sobre los que se aplica, según se
desplace “hacia arriba” o “hacia abajo” respectivamente.
3)
De no atravesar ni hacer contacto con el eje X, quiere decir que la función asigna
estimados positivos o negativos a valores x sobre los que se aplica, según se
desplace “hacia arriba” o “hacia abajo” respectivamente.
Eje Y
Eje Y
Eje Y
f5(x) positiva
p5(x) sólo positiva
h5(x) no negativa
g5(x) positiva
O
Eje X
O
O
f5(x) negativa
g5(x) negativa
k5(x) no positiva
q5(x) sólo negativa
Si en alguna tabulación encontramos que para algún valor de x, la función le asigna el estimado 0
(cero), aseguramos que la gráfica atraviesa o hace contacto con el eje X.
Esto lo escribimos como f(x) = 0,
Es una ecuación; el estimado 0 (cero) de la función en algún valor de x.
¿A qué valor de x la función le esta asignando el estimado 0 (cero)?
Ejemplo 1.
La función
buscamos en dónde
entonces
f(x) = x2 – 4
f(x) = x2 – 4
f(x) = x2 – 4 = 0
¿Para qué valor de x su estimado vale 0?
; x2 – 4 = 0
es un producto notable,
f(x) = x2 – 4 = (x – 2) (x + 2) = 0
y esto no da
x–2=0
;x=2
x+2=0
;x=–2,
atraviesa el eje X en los valores 2 y –2.
137
o sea, la función
Gráfica de f(x) = x2 – 4
A los valores de x que la función les
asocia el estimado 0 (cero) se les llama
raíces de la ecuación (f(x) = 0).
Eje Y
De otra manera, dada f(x), los valores de
x que cumplen con la ecuación f(x) = 0,
son las raíces de la ecuación y se les
llamará raíces x1 y x2.
Entonces –2 y 2 son las raíces de la
ecuación x2 – 4 = 0.
f(x) = x2 - 4
O
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
Eje X
Ejemplo 2.
Sea la función
g(x) = – x2 + 6x – 9.
Su gráfica
Eje Y
Nos interesa saber en dónde
g(x) = – x2 + 6x – 9 = 0
-2 -1
producto notable – x + 6x – 9 = 0
– (x2 – 6x + 9) = 0
g(x) = -x2 + 6x - 9
factorizamos – (x – 3) (x – 3) = 0
tenemos que
x–3=0
1 2 3 4 5 6
O
2
; x = 3, dos veces
La función g(x) “toca” al eje X en el valor x = 3.
Resulta que 3 es la “raíz doble” de la
ecuación – x2 + 6x – 9 = 0.
138
Eje X
h(x) = x2 + 2x – 5
Ejemplo 3.
h(x) = x2 + 2x – 5 = 0
¿En dónde?
Este NO es un producto notable.
En el dibujo de su gráfica, observamos que las “posibles raíces” serán valores próximos a –31/2 y
11/2, aunque al aplicar h(x) en esos valores no obtenemos el estimado 0 (cero).
Eje Y
Vamos a abordar otro camino. Tomemos la
ecuación
x2 + 2x – 5 = 0
sumamos 5 unidades
x2 + 2x = 5
en la primera parte de la
igualdad completamos el
cuadrado sumando 1 unidad
x2 + 2x +1 = 5 + 1
desarrollamos
(x + 1)2 = 6
h(x) = x2 + 2x - 5
extraemos raíz
O
-4 -3 -2 -1
x+1=±
1 2 3 4
Eje X
6
x + 1 = ± 2.45
;
x1 = –1 + 2.45 = 1.45
x2 = –1 – 2.45 = –3.45
Por el camino seguido en este último ejemplo, vamos a instrumentar un método para calcular las
raíces de una ecuación cuadrática completa que nos facilite tal proceso.
Ax2 + Bx + C = 0
Sea la ecuación
x2
x2
+
B
A
+
x2
+
B
A
x
x2
+
x
B
A
x
( x
+
C
A
=
0
restamos
B
A
x
=
–C
A
completamos el cuadrado en la primera parte
B
2A
)2
=
–C
A
+ (
=
–C
A
+
+
+ (
dividimos entre A ambas partes
B2
4A2
+
B
2A
)2
=
x
+
B
2A
= ±
x
+
B
2A
= ±
B
2A
)2
B2
4A2
– 4AC + B2
4A2
C
A
en ambas partes
desarrollamos
factorizamos
extraemos raíz
– 4AC + B2
4A2
B2 – 4AC
2A
139
restamos
B
2A
Fórmula general para
encontrar las raíces de una
ecuación cuadrática
x
B
2A
= –
x1
=
x2
=
B2 – 4AC
2A
±
–B +
B2 – 4AC
2A
–B –
B2 – 4AC
2A
y para cada raíz:
y
.
De modo que, si se nos presenta un ejercicio en el que su modelo esté expresado por una ecuación
cuadrática completa:
Ax2 + Bx + C = 0 ,
sabemos como encontrar sus raíces.
x1
=
–B +
B2 – 4AC
2A
x2
,
=
h(x) = x2 + 2x – 5
Volvamos al ejemplo 3.
–B –
B2 – 4AC
2A
sustituyendo para x1 y x2
x1
=
– 2 + 22 – 4(1x (–5))
2(1)
,
x2
=
– 2 – 22 – 4(1x (–5))
2(1)
x1
=
– 2 + 4 + 20
2
,
x2
=
– 2 – 4 + 20
2
x1
=
– 2 + 24
2
,
x2
=
– 2 – 24
2
x1
=
– 2 + 4.9
2
,
x2
=
– 2 – 4.9
2
x1
=
1.45
,
x2
=
–3.45
=
2.9
2
=
–6.9
2
Las diferentes formas de resolver una o varias ecuaciones de alguna función cuadrática, nos plantea
la siguiente pregunta: ¿se puede construir una función a partir de sus raíces?
Buena pregunta. Pensando sin apremio, contestamos con un rotundo ¡SÍ!
¿Cómo hacerlo? Otra buena pregunta. Igual respuesta: ¡SÍ!
140
Aquí está el desarrollo:
Ejemplo 4. Los valores –3 y 2, son las raíces de una ecuación que pertenece a una función
cuadrática. Encuentra la ecuación, la función y la gráfica correspondientes.
Nos falta un dato. ¿Cuál? Piensa, piensa. . .
¿Hacia dónde abre la función?
¿Verdad que nos faltaba saber esto? Nos dicen que hacia arriba; entonces, comenzamos:
4.1) La ecuación.
4.2) La función.
f(x) = x2 + x – 6
Raíces: –3 y 2
Entonces: x = –3
x= 2
4.3) La gráfica.
y
Eje Y
Armamos el producto
(x + 3) (x – 2) = 0
Desarrollamos
x2 – 2x + 3x – 6 = 0
f(x) = x2 + x - 6
x2 + x – 6 = 0
Eje X
O
-4 -3 -2 -1
141
1 2 3 4
Ejemplo 5. Las raíces de una ecuación son los valores 1 y 5, ecuación que pertenece a una función
cuadrática que abre hacia abajo. Se pide hallar la ecuación, la función y la gráfica correspondientes.
En este ejemplo tenemos todo lo que se necesita: las raíces y la dirección en que abre la función,
pero ¿cómo acomodar estos datos para que la función abra hacia abajo?
5.1) La ecuación.
Raíces: 1 y 5
5.2) La función.
5.3) La gráfica.
g(x) = –x2 + 6x – 5
Eje Y
Entonces: x = 1 y
x= 5
Armamos el producto
(x – 1) (x – 5) = 0
-2 -1
1 2 3 4 5 6
O
Eje X
Desarrollamos
x2 – 5x – x + 5 = 0
x2 – 6x + 5 = 0
g(x) = -x2 + 6x - 5
Como abre hacia abajo
(–1) (x2 – 6x + 5 = 0)
–x2 + 6x – 5 = 0
Ejemplo 6. Encontrar las raíces de la ecuación 2x2 – 6x – 8 = 0. También mostrar la función
cuadrática, por supuesto, y dibujar la gráfica correspondiente.
6.1) La ecuación.
2x2 – 6x – 8 = 0
6.2) La función.
h(x) = 2x2 – 6x – 8
6.3) La gráfica.
Eje Y
Factorizamos
2(x2 – 3x – 4) = 0.
Lo que se encuentra entre
paréntesis, es un producto
notable; lo factorizamos
-2 -1
1 2 3 4 5 6
O
2(x + 1) (x – 4) = 0
x + 1 = 0 ; x = –1
x–4=0; x= 4
Las raíces son –1 y 4
h(x) = 2x 2 - 6x - 8
142
Eje X
Ejemplo 7. Encontrar las raíces de la ecuación x2 + 3x + 3 = 0. También mostrar la función cuadrática
y dibujar la gráfica correspondiente.
7.1) La ecuación.
x2 + 3x + 3 = 0
7.2) La función.
7.3) La gráfica.
Eje Y
k(x) = x2 + 3x + 3
No es un producto notable.
Utilizamos la fórmula general
x1,2
=
– 3 ± 32 – 4x1x3
2x1
k(x) = x2 + 3x + 3
x1,2
=
– 3 ± 9 – 12
2
x1,2
=
–3 ± – 3
2
No tenemos raíz para –3;
de modo que la ecuación
NO tiene raíces.
Eje X
O
-5 -4 -3 -2 -1
1 2
La gráfica de la función
NO atraviesa el eje X.
La fórmula general para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática, expresada líneas arriba,
¿nos servirá para ecuaciones cuadráticas no completas? Veamos.
1) La ecuación es completa, la fórmula es:
x1,2
=
– B ± B2 – 4xAxC
2xA
2) La ecuación es Ax2 + Bx, la fórmula es:
x1,2
=
– B ± B2
2xA
x1
=
–B+B
2A
=
0
2A
x2
=
–B–B
2A
=
– 2B
2A
x1,2
=
– B ± B2 – 4xAxC
2xA
x1,2
=
x1,2
=
x1
=
x2
=
3) La ecuación es Ax2 + C, la fórmula es:
143
±
– 4xAxC
2xA
±
– AxC
A
– AxC
A
–
–B±B
2A
=
– AxC
A
=
=
=0
=
–B
A
± 2 – AxC
2xA
=
Ejemplo 8. Encontrar las raíces de la ecuación 2x2 – 32 = 0. También mostrar la función cuadrática y
dibujar la gráfica correspondiente.
8.1) La ecuación.
8.2) La función.
2x2 – 32 = 0
x1,2
=
x1,2
=
x1,2
=
8.3) La gráfica.
Eje Y
f(x) = 2x2 – 32
– 4x2x(–32)
2x2
–0 ±
256
4
O
± 16
4
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
Eje X
Raíces
x1 = 4
x2 = –4
f(x) = 2x2 - 32
Se cambió la escala en el eje Y.
Ejemplo 9. Encontrar las raíces de la ecuación x2/2 + 3x = 0. También mostrar la función, cuadrática
por supuesto, y dibujar la gráfica correspondiente.
9.1) La ecuación.
9.2) La función.
9.3) La gráfica.
x2/2 + 3x = 0
g(x) = x2/2 + 3x
Eje Y
Multiplicamos por 2
x2 + 6x = 0
Sustituimos
X1,2
=
–6 ± 6
2x1
g(x) = x2/2 + 3x
Raíces
Eje X
O
x1
=
0
2
x2
=
– 12
2
-5 -4 -3 -2 -1
=0
= –6
144
1 2
Te habrás dado cuenta, a través de las gráficas de las funciones, que en cada una de ellas hay un
valor “x0” al que la función le asocia un estimado mínimo o máximo, según abra la gráfica de la
función hacia arriba o hacia abajo respectivamente.
Partiendo de este valor “x0”, si se toman dos valores, uno menor y otro mayor que él, que disten de
“x0”el mismo número de unidades, la función les asociará el mismo estimado.
¿Cómo es esto geométricamente?
Eje Y
Eje Y
Si cortamos sobre
la línea roja (que
pasa por los puntos
x0 y f(x0)),
x0
x0
Eje X
O
Obtenemos las dos
ramas de la
función, a partir de
f(x0) y ambas
ascendentes.
f(x0)
O
Eje X
f(x0)
Eje Y
Eje Y
En el ejemplo anterior
f(x0), es un estimado
mínimo, mientras que en
este,
x0
k(x0)
O
x0
k(x0)
Eje X
f(x0) es uno máximo,
para la función.
145
O
Eje X
Ejercicio. Dibuja los demás casos posibles de gráficas de funciones cuadráticas.
Ejemplo 10. Encuentra en la función x2 – 2x – 3, sus raíces, si la hay, el valor de x para el que el
estimado de la función es mínimo y dibuja su gráfica.
10.1) La gráfica
10.2) Tabulamos f(x)
f(x) = x2 - 2x - 3
O
-4 -3 -2 -1
f(x) = x2 – 2x – 3
x
Eje Y
1 2 3 4
Eje X
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
21
12
5
0
–3
–4
–3
0
5
12
21
Raíces x1, x2
f(x) mínimo
Mismos estimados
para valores de “x”
diferentes.
f(x0)
Ejemplo 11. Encuentra en la función – x2 – 2x – 3, sus raíces, si la hay, el valor de x para el que el
estimado de la función es máximo y dibuja su gráfica.
11.1) La gráfica
11.2) Tabulamos g(x)
x
Eje Y
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3
O
Eje X
g(x 0)
g(x) = -x2 - 2x - 3
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
146
g(x) = – x2 – 2x – 3
–27
–18
–11
–6
–3
–2
–3
–6
–11
–18
–27
No tiene raíces
g(x) máximo
Para valores de “x”
diferentes, mismos
estimados.
Ejercicios
Dadas las siguientes ecuaciones, encuentra sus raíces, si las hay, y genera las funciones
correspondientes (si dibujas sus gráficas te será más fácil).
1)
x2 – 5x + 4 = 0
2)
x2 – 8x + 15 = 0
3)
2x2 – 2x – 24 = 0
4)
– 3x2 – 18x – 15 = 0
5)
x2 – 3x – 10 = 0
6)
53x2 + 10x – 15 = 0
7)
x2 + 3x – 7 = 0
8)
2x2 – 5x + 3 = 0
9)
– 3x2 + 6x + 8 = 0
10)
– 7x2 – 5x + 2 = 0
11)
3x2 + 4x + 8 = 0
12)
x2 – 3x + 7 = 0
13)
5x2 – 2x – 9 = 0
14)
– 8x2 + 3x – 1 = 0
Ejercicios
Dadas las siguientes raíces, encuentra sus ecuaciones y genera las funciones de cada una de ellas
(dos en cada caso; claro que sí, “dos”; dibujando sus gráficas te será más fácil).
1)
x1 = –1 , x2 = 6
2)
x1 = 0 , x2 = 3
3)
x1 = –2 , x2 = –2
4)
x1 = –4 , x2 = 0
5)
x1 = 3 , x2 = 7
6)
x1 = –0 , x2 = 0
7)
x1 = –5 , x2 = –1
8)
x1 = –11 , x2 = –3
9)
x1 = –3 , x2 = 8
10)
x1 = 6 , x2 = 13
11)
x1 = 1 , x2 = 6
12)
x1 = –2 , x2 = –1
13)
x1 = 2 , x2 = 9
14)
x1 = –1/2 , x2 = 3
147
Ejercicios
Dadas las siguientes funciones, encuentra las raíces, si las hay, de la ecuación igualada a 0 (cero) y
dibuja sus gráficas.
1)
f(x) = 3x2 + 2x – 1
2)
g(x) = x2 – 2x – 3
3)
h(x) = x2 – 2x + 1
4)
k(x) = 2x2 + 3x + 4
5)
f(x) = 5x2 + 30x + 45
6)
g(x) = –3x2 – 12x + 15
7)
h(x) = –2x2 + 14x – 20
8)
k(x) = x2 + 4x + 3
9)
f(x) = –x2 – 9
10)
g(x) = 4x2 – 3x
11)
h(x) = –x2 + 4x
12)
k(x) = 3x2 – 27
13)
f(x) = – x2 – 2x – 2
14)
g(x) = x2 + x + 1
148
Matemáticas 3
Fuera arriba
Dentro
arriba
2: Ecuaciones y Funciones Cuadráticas
Dentro
abajo
2. 4: Ubicación de intervalos y regiones
definidas por desigualdades
Fuera abajo
Objetivo
El estudiante localizará
puntos, intervalos,
secciones y regiones en el
caso del plano, con
características algebraicas
y geométricas particulares.
Y
Y
X
O
Presentación
Si en una hoja de papel dibujamos una
línea recta, distinguimos dos regiones:
Una “arriba” de la recta y otra “abajo” de
la recta (no se vale girar la hoja).
Si dibujamos una parábola. . .
149
O
X
Tendríamos también dos regiones:
Una “dentro” de la parábola y otra “fuera”
de la parábola (aquí no importa si giramos
la hoja).
Si ahora dibujamos una línea recta y
una parábola, de forma que se
intersecten, ¿cuántas regiones resultan
determinadas?
Una aquí, otra allá, una más. . .
¿Cuántas serán?
150
Mmm. . . ¡Cuatro!, ni una menos ni una
más.
Contémoslas:
Una; “arriba” de la recta y “dentro” de la
parábola.
Dos; “arriba” de la recta y “fuera” de la
parábola.
Tres; “abajo” de la recta y “dentro” de la
parábola.
Cuatro; “abajo” de la recta y “fuera” de la
parábola.
Si esta figura la transportamos al plano cartesiano, nos encontraríamos con más de cuatro regiones.
Aquí dibujamos un posible ejercicio:
Y
En este dibujo tenemos más de cuatro
regiones. Esto se debe a los rangos de la
x y la y, y si estos están dentro o fuera
de la parábola y arriba o abajo de la
recta.
A saber, o mejor dicho a ver:
Primer cuadrante, cuatro regiones.
X
Segundo, tres regiones.
Tercero, cuatro y
Cuarto, dos.
151
Ejercicio 1. Describe las características de cada una de las regiones en cada uno de los cuadrantes
e ilumínalas en diferente color.
Ejemplo: a) Dentro de la parábola, arriba de la recta y con x y y positivas.
b) Dentro de la parábola, abajo de la recta y con x y y positivas. Continúa tú.
Con otras disposiciones de recta y parábola, se tendrán dibujos con otras distribuciones de regiones.
Ejercicio 2. Dibuja en el plano cartesiano con una recta y una parábola, que tengan una disposición
como la del ejemplo:
a) distribuciones diferentes a la expuesta en los dibujos anteriores,
b) una distribución que presente el número mínimo de regiones y
c) una distribución que presente el número máximo de regiones.
Hagamos un descanso en el camino y reflexionemos sobre los dibujos presentados. Lo que nos
interesa de haber llevado este dibujo al plano cartesiano es saber en qué punto o puntos se
intersectan la recta y la parábola. Más adelante, nos dedicaremos a los intervalos de las regiones del
dibujo.
Ejemplo 1. Encontrar las coordenadas de los puntos de intersección entre la recta x – y = 1 y la
parábola x2 + 2x – 4y = 19.
Despejamos
x=y+1;
(y + 1)2 + 2(y + 1) – 4y =
19
y2 + 2y + 1 + 2y + 2 – 4y =
19
y2 + 4y – 4y + 3 =
19
Y
y2 =
X
19 – 3 = 16
y =
± 4 , sustituyendo
x =
4+1=5 y
x =
–4 + 1 = –3
La recta y la parábola se intersectan en
2
=
1
(5, 4) y (–3 , –4)
x
–
y
Este es el dibujo de la
recta y la parábola.
Las regiones, como te podrás
dar cuenta, se describirían de
manera laboriosa.
152
Ejemplo 4. Encontrar las coordenadas de los puntos de intersección, si los hay, entre las siguientes
dos parábolas: x2 – 4x – 4y = 8, x2 + 6x + y + 2 = 0.
y = – x2 – 6x – 2 ;
Despejamos
x2 – 4x – 4(– x2 – 6x – 2) =
8
x2 – 4x + 4x2 + 24x + 8 =
8
5x2 + 20x =
0
5x (x + 4) =
0
Este es nuestro dibujo
Y
5x = 0 ó
x=0 ,
2
x+4=0
x = –4
Apliquemos ambos valores en una de las parábolas para
obtener los valores correspondientes a las y’s,
X
(0)2 – 4(0) – 4y = 8
(–4)2 – 4(–4) – 4y = 8
– 4y = 8
16 + 16 – 4y = 8
2
y = –2
32 – 4y = 8
– 4y = 8 – 32
– 4y = – 24
y=6
Las parábolas se intersectan en los puntos
(0, –2) y (–4, 6)
Ejercicio 3. Dibuja en el plano cartesiano dos parábolas y define:
a) distribuciones diferentes a la expuesta en los dibujos anteriores,
b) una distribución que presente el número mínimo de regiones,
c) una distribución que presente el número máximo de regiones y
d) las diferentes regiones en que dividen el plano.
153
Ejemplo 1 de parábolas.
a) dentro de ambas parábolas.
b) dentro de la parábola azul y fuera
de la parábola naranja.
c) fuera de ambas parábolas.
d) …
Y
Ejemplo 2 de parábolas
(sobre el plano).
a) fuera de la parábola azul, dentro de la
parábola naranja, con x positiva y
y negativa.
O
X
b) fuera de la parábola naranja, dentro
de la parábola azul, con x positiva y
y negativa.
c) …
154
Ejemplo 5. Encontrar los puntos de intersección entre la recta x – 2y + 40 = 0 y la circunferencia x2
+ y2 + 8x – 6y = 200.
Despejamos
(2y – 40)2 + y2 + 8(2y – 40) – 6y =
200
4y2 – 160y + 1600 + y2 + 16y – 320 – 6y =
200
4y2 + y2 – 160y – 6y + 16y + 1600 – 320 =
200
5y2 – 150y + 1280 =
200
x = 2y – 40 ;
Y
5y2 – 150y =
200 – 1280
5y2 – 150y =
– 1080
y2 – 30y =
y2 – 30y + 225 =
(y – 15)2 =
X
y – 15 =
O
y =
– 216
– 216 + 225
9
±3
± 3 +15
y1 =
3 + 15
y2 =
–3 + 15
y1 =
18
y2 =
12
x1 =
2y1 – 40
x2 =
2y2 – 40
x1 =
2(18) – 40
x2 =
2(12) – 40
x1 =
36 – 40
x2 =
24 – 40
x1 =
–4
x2 =
– 16
La escala de nuestro dibujo es 2x1.
Los puntos de intersección tienen coordenadas:
P1(–4, 18) y P2(–16, 12)
Ejercicio 4) Encuentra los elementos de la circunferencia del ejemplo 5.
155
Ejemplo 6. Encuentra los puntos de intersección de la circunferencia cuyos elementos son: C1(4, 6) y
r1 = 5 con la circunferencia de elementos C2(–1, –4) y r2 = 10.
Desarrollamos la ecuación canónica de cada una de las circunferencias,
(x – 4)2 + (y – 6)2 =
52
(x + 1)2 + (y + 4)2 =
102
x2 – 8x + 16 + y2 – 12y + 36 =
25
x2 + 2x + 1 + y2 + 8y + 16 =
100
x2 + y2 – 8x – 12y =
x2 + y2 + 2x + 8y =
– 27
restamos la primera a la segunda,
10x + 20y =
esta ecuación es una recta
x + 2y =
83
110
dividimos entre 10,
11
despejamos;
x =
11 – 2y
Sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones generales,
(11 – 2y)2 + y2 + 2(11 – 2y) + 8y =
83
121 – 44y + 4y2 + y2 + 22 – 4y + 8y =
83
5y2 – 40y + 143 =
83
5y2 – 40y =
– 60
dividimos entre 5,
y2 – 8y =
– 12
completamos el cuadrado,
y2 – 8y + 16 =
(y – 4)2 =
– 12 + 16
4
y–4 =
±2
y–4 =
±2
y tenemos
x1 =
11 – 2(y1)
x2
= 11 – 2(y2)
x1 =
11 – 2(6)
x2
= 11 – 2(2)
x1 =
11 – 12 = – 1
x2
= 11 – 4 = 7
y1 =
2+4=6 y
y2 =
–2+4=2
Los puntos en que se intersectan estas circunferencias son: P1(–1, 6) y P2(7, 2).
156
Los dibujos que se generan durante el desarrollo del ejercicio son los siguientes:
Las regiones en azul tenue nos dan
la idea de la localización de los
puntos de intersección.
Esta es la recta que se genera al
realizar la resta entre las
ecuaciones generales.
Y
Y
O
X
O
Trazamos los dos dibujos anteriores
en el mismo plano.
Finalmente, marcamos los puntos
de intersección.
Y
Y
O
X
X
O
157
X
Ejercicios
1. Define las regiones de este dibujo.
2. Dibuja en el plano cartesiano dos
circunferencias y define:
a) distribuciones diferentes a la
expuesta en los dibujos
anteriores,
b) una distribución que presente el
número mínimo de regiones,
c) una distribución que presente el
número máximo de regiones y
d) dibujadas en el plano cartesiano,
las diferentes regiones en que se
dividen.
2. Encuentra los puntos de intersección de las siguientes circunferencias:
a) C1 (8, –2) y r1 = 5 y C2 (14, 1) y r2 = 10.
b) C1 (12, 2) y r1 = 10 y C2 (22, 7) y r2 = 5.
b) x2 + y2 + 2x – 4y = 20; x2 + y2 – 10y = 0.
c) x2 + y2 + 4x + 14y = 47; x2 + y2 – 16x + 4y + 43 = 0.
d) x2 + y2 – 10x – 6y = 15; x2 + y2 – 10x – 6y = – 18.
* Se te sugiere hacer dibujos conforme vas desarrollando los ejercicios.
Ejemplo 6. Encuentra los puntos de intersección de la circunferencia cuyos elementos son: C (9, 1) y
r2 = 74 con la elipse de elementos C(9, 1), a = 10 y b = 7 y con eje mayor paralelo al eje X.
Desarrollando la ecuación canónica de cada una de estas secciones cónicas, obtenemos:
Circunferencia
x2 + y2 – 18x – 2y =
Elipse
49x2 + 100y2 – 882x– 200y =
–8
158
831
Nos damos cuenta que el cálculo de las coordenadas de los puntos de intersección es un proceso
laborioso, de manera que por el momento sólo vamos a dibujar estas secciones cónicas lo más
aproximado que podamos. Aquí el dibujo:
En la elipse,
Y
a = 10, b = 7; c2 = a2 – b2
B1(9, 8)
c2 = 102 – 72
c2 = 100 – 49 = 51
c = 7.1
Focos:
F1 = (9 – c, 1), F2 = (9 + c, 1)
V2(19, 1)
V1(-1, 1)
O
F1(1.9, 1)
C (9, 1)
F2(16.1, 1)
X
F1 = (9 – 7.1, 1), F2 = (9 + 7.1, 1)
F1 = (1.9, 1), F2 = (16.1, 1).
B2(9, -6)
Vértices:
V1 = (9 – a, 1), V2 = (9 + a, 1)
V1 = (9 – 10, 1), V2 = (9 + 10, 1)
V1 = (–1, 1), V2 = (19, 1).
extremos del eje menor:
En la circunferencia,
B1 = (9, 1 – b) , B2 = (9, 1 + b)
el mismo centro (9, 1) y el radio, raiz de 74;
B1 = (9, 1 – 7) , B2 = (9, 1 + 7)
r2 = 74 , r = 8.4
B1 = (9, 1 – 6) , B2 = (9, 8).
Y
P1(2, 6)
P2(16, 6)
Este es el dibujo del ejemplo:
Y de acuerdo al dibujo, hemos escrito
las coordenadas de los puntos en que
se intersectan la circunferencia y la
elipse.
Averigüemos si en verdad estos puntos
pertenecen a ambas secciones cónicas.
X
O
P4(2, -4)
159
P3(16, -4)
Sustituyamos las coordenadas de
alguno de ellos en ambas ecuaciones
generales:
Circunferencia
x2 + y2 – 18x – 2y =
Elipse
49x2 + 100y2 – 882x– 200y =
–8
831
Tomemos P1(2, 6)
(2)2 + (6)2 – 18(2) – 2(6) =
¿– 8?
49(2)2 + 100(6)2 – 882(2) – 200(6) =
¿831?
4 + 36 – 36 – 12 =
¿– 8?
49(4) + 100(36) – 1764 – 1200 =
¿831?
196 + 3600 – 2964 =
¿831?
3796 – 2964 =
¿831?
832 =
¿831?
40 – 48 =
–8
Si es un punto de la circunferencia.
Tenemos una buena aproximación con el dibujo.
Hagámoslo ahora en las ecuaciones canónicas de cada una de estas secciones cónicas.
(2 – 9)2 + (6 – 1)2 =
¿74?
(2 – 9)2
102
+
(– 7)2 + (5)2 =
¿74?
(– 7)2
100
+
(5)2
49
=
¿1?
49
100
+
25
49
=
¿1?
49 + 25 =
Sí está en la circunferencia.
74
(6 – 1)2
=
72
¿1?
Tenemos aquí también una buena aproximación. Poco
menos de un medio + poco más de un medio
160
Ejercicios
1. Define las regiones de este dibujo.
2. Dibuja en el plano cartesiano una
circunferencia y una elipse y define:
a) distribuciones diferentes a la
expuesta en los dibujos
anteriores,
b) una distribución que presente el
número mínimo de regiones,
c) una distribución que presente el
número máximo de regiones y
d) dibujadas en el plano cartesiano,
las diferentes regiones en que
se dividen.
3. Define las regiones de este dibujo.
4. Dibuja en el plano cartesiano una
elipse y una hipérbola y define:
a) distribuciones diferentes a la
expuesta en este dibujo,
b) una distribución que presente el
número mínimo de regiones,
c) una distribución que presente el
número máximo de regiones y
d) dibujadas en el plano cartesiano,
las diferentes regiones en que
se dividen.
5. Dibuja en el plano cartesiano una elipse y una recta y define:
a) una distribución que presente el número mínimo de regiones,
b) una distribución que presente el número máximo de regiones y
c) dibujadas en el plano cartesiano, las diferentes regiones en que se dividen.
6. Dibuja en el plano cartesiano una circunferencia y una hipérbola y define:
a) una distribución que presente el número mínimo de regiones,
b) una distribución que presente el número máximo de regiones y
c) dibujadas en el plano cartesiano, las diferentes regiones en que se dividen.
161
Matemáticas 3
1) a2 – ab =
= a(a – . . . )
2) (a + b)2 =
= (a + b)( . . . ) =
3: Productos Notables
3. 1: Factorización y completez de
productos notables
3) a2 – b2 =
= (a + b)( . . . ) =
Objetivo
El estudiante aprenderá a factorizar, cuando sea posible, un trinomio en dos binomios y a proponer,
en su caso, el término que haga falta en un binomio para completar un trinomio cuadrado perfecto y
factorizarlo en un binomio al cuadrado o en dos binomios.
2
1
3
4
5
6
Presentación
Un trinomio, es la suma de tres monomios. Ejemplos:
a)
2a + b – 3c
trinomio de grado 1 (uno)
b)
5xy + 2yz + zx
trinomio de grado 2 (dos)
c)
–8x2 + 3x – 7
trinomio de grado 2 (dos)
d)
4a3 – 3a2b + b2
trinomio de grado 3 (tres)
e)
p4 + 7p2q + 12q2
trinomio de grado 4 (cuatro)
f)
7mn – 3n2 + m2
trinomio de grado 2 (dos)
162
Dado un trinomio, ¿cómo encontramos sus factores binomiales y los términos en ellos?
Ejemplo 1. Dado el trinomio a2 + 2a + 1, encontrar sus factores binomiales.
Desarrollemos el cuadrado del binomio (x + y):
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(1)
(2)
(3)
x2 = a2
2xy = 2a
y2 = 1
, comparemos cada término de este trinomio con los términos del
que se nos dio.
, extraemos raíz en ambos términos, x = a; sustituimos en (2)
, 2(a)y = 2a, dividimos ambos términos entre 2a, y = 1,
, extraemos raíz en ambos términos, y = 1.
Y la factorización del trinomio es así: a2 + 2a + 1 = (a + 1) (a + 1) = (a + 1)2.
a
a2
a
a
12
1
1
a
xy
x2
xy
y
b2
x
Una interpretación
geométrica de la
comparación de los
trinomios es ésta:
y
x
Ejemplo 2. Encontrar los factores binomiales del trinomio 4p2 + 4pq + q2.
Haciendo la comparación análoga a la anterior, tenemos:
x2
(1)
(2) 2xy
(3)
y2
= 4p2
= 4pq
= q2
, extraemos raíz, x = 2p; sustituimos en (2)
, 2(2p)y = 4pq, dividimos entre 4p, y = q,
, extraemos raíz, y = q.
¡Atención! En los ejemplos 1 y 2, fue suficiente la comparación del
segundo término (2) para encontrar la equivalencia de los terceros
términos (3).
Y el trinomio se factoriza así: 4p2 + 4pq + q2 = (2p + q) (2p + q) = (2p + q)2.
163
x
y
x
x2
xy
2p
4p
2
y
xy
y2
q
2p
q
q
2p
q
2p
q2
Una interpretación
geométrica es la
siguiente:
Ejemplo 3. Encontrar los factores binomiales del trinomio 9m2 + 24mn + 16n2.
Comparamos:
(1)
(2)
(3)
x2
2xy
y2
= 9m2
= 24mn
= 16n2
, extraemos raíz, x = 3m; sustituimos en (2)
, 2(3m)y = 24mn, dividimos entre 6m, y = 4n,
, extraemos raíz, y = 4n.
Factorizamos: 9m2 + 24mn + 16n2 = (3m + 4n) (3m + 4n) = (3m + 4n)2.
Ejercicio. Dibuja una interpretación geométrica del ejemplo 3.
Ejemplo 4. Encontrar los factores binomiales del trinomio b2 + 6b +
¡Nos hace falta un término!, pues
.
no es un monomio. Mmm…
De cualquier manera intentémoslo. ¿Serán suficientes las herramientas que tenemos?
Apliquémoslas y veamos lo que resulta. Comparemos:
(1)
(2)
(3)
x2 = b2
2xy = 6b
y2 =
, extraemos raíz, x = b; sustituimos en (2)
, 2(b)y = 6b, dividimos entre 2b, y = 3,
, de (2), y2 = 9; que al extraer raíz nos da y = 3.
De manera que
= 9 y al extraer raíz tenemos,
Esto se cumple, ya que
Factorizamos:
b2 + 6b +
= (b +
) (b +
=
) =
= (b + 3) (b + 3) = (b +
164
.
)2 = (b + 3)2.
= 3.
3b
b2
3b
b2
¿Cómo sería la
interpretación geométrica
de este acertijo (bueno lo
habíamos llamado
Ejemplo 4)?
9
3b
3b
Así:
Ejemplo 5. Encontrar los factores binomiales del trinomio 4c2 + 16cd +
Ya sabemos que sí se puede pero ¿de veras será un trinomio?
Comencemos.
(1)
(2)
(3)
x2 = 4c2
2xy = 16cd
y2 =
, extraemos raíz, x = 2c; sustituimos en (2)
, 2(2c)y = 16cd, dividimos entre 4c, y = 4d,
, de (2), y2 = 16d2; que al extraer raíz nos da y = 4d.
= 16d2, al extraer raíz,
Y sí
Ya que
Factorizamos: 4c2 + 16cd +
=
= (2c +
= 4d.
.
) (2c +
) =
)2 = (2c + 4d)2 .
= (2c + 4d) (2c + 4d) = = (2c +
4c
2
8c
d
4c
2
8c
d
16
d2
8c
d
8c
d
Una interpretación
geométrica sería ésta:
165
Ejemplo 6. Encontrar los factores binomiales del trinomio 9w2 +
+ 25z2.
Otra vez falta un término. Mmm… ¿lo intentamos? ¡Vamos!
, de (1) y (2) tenemos 2(3w)(5z) = 30wz,
) (2c +
) =
= (2c + 4d)(2c + 4d) = (2c +
9w
2
25
w
z
z2
Y una interpretación
geométrica es:
)2 = (2c + 4d)2.
z2
+ 25z2 = (2c +
= 15wz.
Ejemplo 7. Encontrar los factores binomiales del trinomio a2 –
25
Factorizamos: 9w2 +
= 30wz, al dividir entre 2,
z
Y sí
15
w
2xy =
, extraemos raíz, x = 3w,
, al extraer raíz nos da y = 5z.
15
(3)
x2 = 9w2
y2 = 25z2
9w
2
(1)
(2)
+ 9 b2.
Sabemos que sí se puede pero ¡cuidado! con el signo del segundo término.
(1)
x2 = a2
, extraemos raíz, x = a,
(2)
y2 = 9b2
, al extraer raíz y = 3b.
(3)
2xy = –
, de (1) y (2) tenemos 2(a)(3b) = 6ab, ¿y el signo?, tomando en
cuenta el signo 2xy = –6ab, lo que nos dice que:
x = –a ó y = –3b.
Desarrollemos ambos binomios, (a – 3b)2 y (–a + 3b)2
(a – 3b)2 = a2 – 6ab + 9b2
Y sí –
;
= –6ab, al dividir entre 2, –
166
(–a + 3b)2 = a2 – 6ab + 9b2
= –3ab.
a
La interpretación
geométrica de la
diferencia de un
binomio al
cuadrado es
laboriosa. Aquí
exponemos una
forma de este
desarrollo:
3b
2
a
a
3b
Dibujamos el cuadrado
del primer término.
Trazamos en él, dos rectas
paralelas a dos lados, que sean
perpendiculares entre sí, cuya
distancia a esos lados sea el valor
de la longitud del segundo
término.
a
3b
3ab
-
a
3b
3ab
-
Quitando la superficie 3ab de a2 por
uno de los lados (por el lado de la
base); a2 – 3ab
Y quitando la superficie 3ab de a2
por el otro de los lados (lado de la
altura); a2 – 3ab
167
-3
ab
a2
ab
-3
ab
-3
a2
-3
ab
Si levantamos una de las superficies
3ab, la porción que se sale del
cuadrado original (a2) equivale a la
de intersección de las superficies
3ab. Entonces añadamos a la
superficie original (a2) el equivalente
a esa intersección.
Resulta que estamos quitando dos
veces una porción comprendida en
las superficies 3ab (la intersección
en la esquina inferior derecha de
este dibujo). Comparemos el quitar
dos veces con hacer dos veces
negativo un número.
3b
9b
2
3b
3b
3b
¿Cuál es la extensión de la superficie
de la intersección?
Como sus lados tienen la medida del
segundo término, la superficie que se
añade es 9b2.
168
Ejemplo 8. Encontrar los factores binomiales del trinomio 4g2 –
+ 49h2.
¡Cuidado con el signo del segundo término!
(1)
(2)
(3)
x2 = 4g2
y2 = 49h2
, extraemos raíz, x = 2g,
, al extraer raíz y = 7h.
2xy = –
, de (1) y (2) tenemos 2(2g)(7h) = 28gh, con el signo –28gh
Entonces, los posibles binomios son: (2g – 7h)2 ó (7h – 2g)2
Y (como todos ¿sabemos? sí –
= 28gh, al dividir entre 2, –
= 14gh.
7h
49
14gh
14gh
h2
2g
2g
7h
Como la
interpretación
geométrica es
similar a la anterior,
la presentamos en
versión corta:
2
2g
Hasta este último ejemplo, se ha considerado sólo la raíz positiva al radicalizar cualquier expresión,
en los ejemplos siguientes haremos algunas consideraciones sobre ellas.
Ejemplo 9. Encontrar los factores binomiales de esta diferencia de cuadrados x2 – y2.
(1)
x2
(2)
–y2
, extraemos raíz, x,
, extraemos raíz
–y2
. A esta expresión no podemos extraerle raíz
cuadrada, pero a y2 , sí. Hagámoslo y después analizaremos el signo.
(2’)
y2
, extraemos raíz, y. ¿Por qué el signo?
Si construimos los factores binomiales con las raíces que hemos obtenido tenemos que:
(x + y) (x + y) = x2 + 2xy + y2. Factorización cuyo desarrollo es diferente al que se pide en el ejemplo.
169
Entonces analicemos el signo.
El cuadrado de todo número natural, entero o racional, es siempre positivo.
Número
• Natural
• Entero
• Racional
Su cuadrado:
5
–4
a
3/2
–7/x
–cd
w/9
(5)2
(–4)2
(a)2
(3/2)2
(–7/x)2
(–cd)2
(w/9)2
25
16
a2
9/4
49/x2
c2d2
w2/81
El producto de todo número entero o racional por su inverso aditivo, es siempre negativo e igual en
valor absoluto al de sus cuadrados.
Número
• Natural
• Entero
• Racional
Su inverso
aditivo:
5
–4
a
3/2
–7/x
–cd
w/9
–5
4
–a
–3/2
7/x
cd
–w/9
(5)(–5)
(–4)(4)
(a)(–a)
(3/2)(– 3/2)
(–7/x)(7/x)
(–cd)(cd)
(w/9)(–w/9)
–25
–16
–a2
–9/4
–49/x2
–c2d2
–w2/81
Su producto:
Volviendo a nuestro ejemplo, la construcción de los factores binomiales se hará considerando, para el
segundo término de cada binomio, lo siguiente:
los inversos aditivos
o bien, las dos raíces
(x + y) (x – y) = x2 – xy + xy – y2 = x2 – y2 ,
y2
=
y
–y
A estos binomios se les llama conjugados.
Se dice que dos binomios son binomios conjugados, si el primer término de ambos es igual y el
segundo de cada uno de ellos sólo difiere en el signo.
170
La diferencia de cuadrados se factoriza en
dos binomios conjugados, esto es:
x2 – y2 = (x + y) (x – y).
Una interpretación geométrica del producto de binomios conjugados es la siguiente:
a
a
Dibujamos el cuadrado del primer término.
b
b
+
a
a
a2
Aumentamos a ese cuadrado, por uno de
sus lados, y en toda su longitud, la
longitud del segundo término.
a
a-b
b
b
b
b
b
a
a-b
Trazamos una paralela al lado más
largo de la nueva figura, cuya
distancia a ese lado sea el valor de la
longitud del segundo término.
Recortamos sobre la última recta
trazada.
171
a-b
b
b
a
a
a-b
Recortamos las figuras de diferente color; una
representa a(a – b) y la otra b(a – b).
Reacomodamos la figura b(a – b) rotándola 90°
en el extremo superior y colindante con la
figura restante.
Esto es lo que nos queda después
del recorte.
a
a
a2
b
b
-b2
Estamos devolviendo parte de la
figura original (el cuadrado).
De manera que lo que le sustrajimos
al cuadrado original es el equivalente
a una superficie igual al cuadrado del
segundo término.
Ejemplo 10. Encontrar los factores binomiales de esta diferencia de cuadrados 25g2 – 4h2.
(1)
25g2
, extraemos raíz, 5g,
(2)
–4h2
, extraemos “las raíces”
los binomios conjugados son:
4h2
= 2h
= – 2h, con estas raíces
(5g + 2h) (5g – 2h);
(5g + 2h) (5g – 2h) = 25g2 – 10gh + 10gh – 4h2 = 25g2 – 4h2.
172
Con este ejemplo,
ofrecemos la
versión corta:
2h
5g – 2h
5g
5g
5g
Medimos y trazamos,
2h
cortamos,
-4h2
rearmamos y
5g
2h
25g2
calculamos.
Ejemplo 11. Encontrar los factores binomiales del trinomio m2 + 5m + 6.
(1)
(2)
x2 = m 2
2xy = 5m
(3)
y2 = 6
, extraemos raíz, x = m; sustituimos en (2)
, 2(m)y = 5m, dividimos entre 2m, y = 5/2,
, extraemos raíz, y =
6
. No es un número racional.
Con estos resultados, sabemos que el trinomio no se factoriza en un binomio al cuadrado ni en
binomios conjugados; para estos últimos necesitamos un binomio, ¿entonces qué es esto?
Recordemos cómo es el desarrollo de un binomio al cuadrado; utilizaremos m como primer término y
como segundos términos a1,2, (haciendo una distinción entre ellos):
(m + a)2 = (m + a1)(m + a2) = m(m + a2) + a1(m + a2) =
= m2 + ma2 + a1m + a1a2 = m2 + m(a1 + a2) + a1a2 .
173
Comparemos los términos del ejemplo con los del desarrollo que hicimos:
m2
5m = m(a1 + a2)
6 = a1a2
(1)
(2)
(3)
, este término lo tratamos igual que en los anteriores ejemplos,
las ecuaciones (2) y (3) nos dicen que para los segundos
términos de los factores binomiales, necesitamos dos números
que sumados entre sí, den como resultado 5 [(a1 + a2) = 5] y
multiplicados entre sí, den 6 [(a1a2) = 6]. Que el producto a1a2
> 0, quiere decir que ambos tienen el mismo signo; o sea, ambos
positivos o ambos negativos.
Busquemos parejas de números enteros que cumplan con estas condiciones; las que
debemos considerar en primera instancia son aquellas cuyo producto es 6.
Parejas
Producto: a1a2
Suma: a1+ a2
Resultado
1,
–1 ,
2,
–2 ,
1 x 6
(–1) x (–6)
2 x 3
(–2) x (–3)
1 + 6 = 7
(–1) + (–6) = –7
2 + 3 = 5
(–2) + (–3) = –5
X
X
X
6
–6
3
–3
=
=
=
=
6
6
6
6
Son todas; tenemos ganadora y tenemos que el trinomio se factoriza en
estos binomios:
(m + 2) (m + 3); (m + 2) (m + 3) = m2 + 3m + 2m + 6 = m2 + 5m + 6.
¿Tendrá este trinomio o su factorización en binomios una interpretación geométrica?
Desde luego, aquí ofrecemos una.
m
m
6
2m
174
?
m
La
respuesta
?
+
3m
m2
m
m
?
3
+
2
?
La
búsqueda
6
+
m2
m
+
Ejemplo 12. Encontrar los factores binomiales del trinomio w2 + 3w – 18.
Como 18 no es el cuadrado de un número racional, procederemos de modo similar al del ejemplo
anterior: (w + p)(w – q) = w2 – wq + wp – pq = w2 + w(p – q) – pq. Y tenemos:
w2
3w = w(p – q)
–18 = –pq
(1)
(2)
(3)
, lo tratamos como en los anteriores ejemplos,
necesitamos para los segundos términos de los factores binomiales
dos números que sumados entre sí, den como resultado 3 [(p – q) =
3] y multiplicados entre sí, den –18 [(–pq) = –18]. Si el producto –
pq < 0, entonces tienen diferente signo.
Busquemos parejas de números enteros cuyo producto sea – 18 y sumen 3.
Parejas
Producto: –pq
Suma: p – q
Resultado
1 , –18
–1 , 18
2 , –9
–2 , 9
3 , –6
–3 , 6
1 x (–18) = –18
(–1) x 18 = –18
2 x (–18) = –18
(–2) x 18 = –18
3 x (–18) = –18
(–3) x 18 = –18
1 – 18
–1 + 18
2– 9
–2 + 9
3– 6
–3 + 6
X
X
X
X
X
=
=
=
=
=
=
–17
17
–7
7
–3
3
Son todas; tenemos ganadora y tenemos que el trinomio se factoriza en
w2
w
p
p
q
w
Esta es una interpretación
geométrica del desarrollo de la
factorización del trinomio.
8
-w
w - q
(w + 6) (w – 3); (w + 6) (w – 3) = w2 – 3w + 6w – 18 = w2 + 3w –18.
-1
q
Medimos y trazamos,
6w
w2
w
estos binomios:
cortamos,
175
w
8
-1
-3
6w
w2
rearmamos y calculamos.
-1
w
-3
8
Ejemplo 13. Encontrar los factores binomiales del trinomio “natural” 3p2 + 14p + 8.
Como ni 3 ni 8 tienen raíces racionales, vamos a desarrollar el producto de los siguientes binomios:
(ax + by), (cx + dy).
ax
cx
+ by
+ dy
acx2 + cbxy
adxy + bdy2
cb
ad
acx2 + (cb + ad) xy + bdy2
;
(cb + ad)
productos cruzados
suma de productos cruzados.
Compararemos ahora con el trinomio del ejemplo:
(1)
acx2 =
(ad + bc)xy =
3p2
14p
, pero 3 no tiene raíces racionales y
(2)
bdy2 =
8
8 tampoco tiene raíces racionales.
(3)
Busquemos parejas de números cuyos productos sean 3 y 8 respectivamente; como ambos
productos son positivos, los números que compongan tales productos de parejas también lo serán.
Parejas (a, c)
1,
–1 ,
Producto: ac = 3
3
–3
1 x 3 = 3
(–1) x (–3) = 3
176
Parejas (b, d)
1,
–1 ,
2,
–2 ,
Producto: bd = 8
8
–8
4
–4
1 x 8 = 8
(–1) x (–8) = 8
2 x 4 = 8
(–2) x (–4) = 8
Suma de productos
cruzados: ad + cb
Resultado
(1x8) + (3x1) = 8 + 3 = 11
(1x2) + (3x4) = 2 + 12 = 14
X
ad = 1x2
La factorización es: (ap + b) (cp + d),
Sustituyendo: (1p + 4) (3p + 2).
bc = 4x3
El trinomio se factoriza en los binomios: (p + 4) y (3p + 2);
(p + 4) (3p + 2) = 3p2 + 2p + 12p + 8 = 3p2 + 14p + 8.
Esta es una interpretación geométrica del trinomio:
ax
2
+
by
2
acx + (cb + ad) xy + bdy
ac
cx
p
y2
bd
xy
2
ad
+
dy
3p
+
12
8
2
3p
2p
xy
4
bc
+
x2
p
Y esta, la del trinomio del ejercicio:
3p2 + 14p + 8.
177
Ejemplo 14. Encontrar los factores binomiales del trinomio “natural” 6z2 + 27z – 15.
Busquemos parejas cuyos productos sean 6 y –15, respectivamente. Para 6 de igual signo, y para –
15 de signo alternados.
Parejas (a, c)
1,
–1 ,
2,
–2 ,
Producto: ac = 6
6
–6
3
–3
1 x 6 = 6
(–1) x (–6) = 6
2 x 3 = 6
(–2) x (–3) = 6
Parejas (b, d)
Producto: bd = –15
1,
–1 ,
3,
–3 ,
-15
15
–5
5
1 x (–15)
(–1) x 15
3 x (–5)
(–3) x 15
=
=
=
=
–15
–15
–15
–15
Suma de productos
cruzados: ad + cb
Resultado
(1x(–15)) + (6x1) = –15 + 6 = –9
(2x(–15)) + (3x1) = –30 + 3 = –27
(2x15) + (3x(–1)) = 30 – 3 = 27
X
X
ad = 2x(–15)
La factorización es: (az + b) (cz + d),
Sustituyendo: (2z – 1) (3z + 15).
bc = 1x3
El trinomio se factoriza en los binomios: (2z – 1) y (3z + 15);
(2z – 1) (3z + 15) = 6z2 + 30z – 3z – 15 = 6z2 + 27z – 15.
2z
30
-1
5
z
30
15
178
z
-3
6z
z
-3
6z
2
2
+
3z
Una interpretación
geométrica del desarrollo
del trinomio es ésta
(versión corta):
5
1
-1
-
z
2z
Hagamos un cuadro sinóptico con las diferentes formas de factorizar un trinomio:
Signos de los coeficientes de los términos del
trinomio
ax2
bxy
cy2
Primero
Segundo
Tercero
Factorización
Trinomios cuadrados perfectos
+
+
+
( gx + hy ) ( gx + hy )
( px + qy )2
–
–
–
(– gx – hy ) (– gx – hy )
( px + qy )2
Trinomios con un término al cuadrado
+
+
+
( gx + ky ) ( gx + my )
+
+
–
( gx + py ) ( gx – qy )
+
–
–
( gx + py ) ( gx – sy )
–
( gx + uy ) ( gx – uy )
+
Trinomios “comunes”
+
+
+
( gx + hy ) ( kx + my )
+
+
–
( gx + hy ) ( kx – my )
+
–
–
( gx + hy ) ( kx – my )
179
Ejercicios
1. Compara y anota en un cuadro sinóptico, los términos de los 14 ejemplos resueltos en el desarrollo
del tema.
Factoriza las siguientes expresiones; trinomios y diferencias de cuadrados:
2.
a2 + 6a + 9
3.
b2 – 8b + 16
4.
4d2 + 12d + 9
5.
h2 + 4b + 4
6.
g2 + 7gk + 6k2
7.
9p2 – 30p + 25
8.
x2 – x – 12
9.
q2 – 10q + 16
10.
y2 – 18y + 81
11.
z2 – 7zw + 12w2
12.
c2 – 12c + 32
13.
k2 + 2k – 15
14.
m2 + 8m + 12
15.
s2 + s – 12
16.
2w2 + w – 3
17.
3v2 – v – 4
18.
2b2 + 9v + 10
19.
8a2 – 2a – 3
20.
4a2 + 28a + 49
21.
64p2 – 167pq + 1q2
22.
c2 – 4
23.
b2 – 16c2
24.
25u2 – 36w2
25.
121w2 – 169x2
26.
225z2 – 1
27.
x4 – y4
180
Matemáticas 3
4: Secciones Cónicas
4. 1: Definición, construcción y ecuaciones canónica y
general (circunferencia y parábola)
Objetivo
El estudiante sabrá por qué a las figuras a estudiar en este tema se les llama secciones cónicas.
Aprenderá cuáles son sus características, definición, elementos, deducción y como construirlas.
P
C
P
r
F
d
Presentación
Se llama sección cónica al lugar geométrico descrito por un punto que se mueve en el plano de tal
manera que la razón de su distancia a un punto fijo, llamado foco, entre su distancia a una recta dada
fija, llamada directriz, es siempre igual a una constante positiva. La razón de estas distancias se llama
excentricidad de la cónica.
A las figuras geométricas como la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola se les llama secciones
cónicas porque se extraen de cortes, en diferentes inclinaciones, a un par de conos circulares
encontrados por sus vértices y que tienen el mismo eje.
Comenzaremos por construir la estructura de los dos conos circulares.
181
Conos encontrados sobre su eje
Si ahora atravesamos estos conos con hojas
cuya inclinación sea perpendicular al eje de
los conos, ¿qué figuras obtenemos?
Imagínate viéndolos desde el eje.
¡Circunferencias!
Desde luego, circunferencias
concéntricas en donde el eje, al que
vemos sólo como un punto, es el
centro de ellas.
¿Cómo se define la
Circunferencia?
Circunferencia. Es el lugar geométrico de los puntos que guardan la misma distancia a un
punto fijo en el mismo plano. Al punto fijo se le llama centro de la circunferencia y a la distancia
entre el centro y cualquier punto de la circunferencia se le llama radio de la circunferencia.
182
La circunferencia posee puntos y líneas de importancia para su cálculo y dibujo, mencionamos e
ilustramos algunos de ellos:
C es el centro de la circunferencia.
El trazo con línea verde, es la circunferencia.
S1
D1
La distancia de C a cualquier punto P de la
circunferencia es el radio de la circunferencia.
P
r
S2
C
T
D2
El segmento comprendido entre los puntos D1 y D2 y
que atraviesa el centro, es el diámetro.
La línea que toca en un solo punto a la circunferencia,
continuándose en cualquiera de sus dos direcciones,
es la tangente y el punto de contacto es el punto T
de tangencia.
La línea que corta a la circunferencia en dos puntos
sin atravesar por el centro es una secante.
El segmento de una secante comprendido dentro de
la circunferencia S1S2 es una cuerda y la sección
de circunferencia comprendida entre S1 y S2 es un
arco. Comúnmente se considera como arco la
sección de circunferencia más corta comprendida
entre los puntos S1 y S2.
Y
Si esto lo consideramos en el plano
cartesiano y asentamos el centro de la
circunferencia en el origen, lo que obtenemos
es lo siguiente:
P (x, y)
d (P, O) = r
0
x2 + y2
=r
elevando al cuadrado ambos términos,
x2 + y2 = r2
183
X
Ecuación canónica de la circunferencia
con centro en el origen.
Cuando la circunferencia tiene centro fuera
del origen, ésta es la ecuación:
Y
d (P, C) = r
(x – h)2 + (y – k)2
P (x, y)
X
0
=r
elevando al cuadrado,
C (h, k)
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
Ecuación canónica de la circunferencia.
¿Cómo se dibuja una circunferencia en una hoja de papel?
Implementos: hoja de papel, lápiz, cordel y compás.
Proceso:
1.a. Toma la hoja de papel, de preferencia sin rayas para que sea mejor la apreciación,
2.a. Sobre la hoja marca, más o menos centrado, un punto haciendo una pequeña cruz,
3.a. Ata el lápiz con el cordel y deslizando el cordel entre los dedos una porción adecuada, apoya los
dedos sobre el punto marcado en la hoja,
4.a.Toma el lápiz, estira el cordel y dibuja la circunferencia en derredor de los dedos que permanecen
fijos y …
5.a. Haz dibujado una circunferencia.
O bien, con los mismos implementos:
1. b. Igual que 1.a,
2. b. Igual que 2.a,
3. b. Separa los brazos del compás en una abertura adecuada, apoya la aguja sobre el punto
marcado en la hoja.
4. b. Haz girar el compás apoyando el extremo de la tiza y dibuja la circunferencia en derredor del
punto fijo.
5. b. Haz dibujado una circunferencia.
184
¿Cómo se dibuja una circunferencia en un plano cartesiano?
Las mismas consideraciones que para dibujarla
sobre una hoja de papel, pero asentando la aguja
del compás en las coordenadas que se nos dan
como el centro. Separa los brazos del compás la
longitud que se te da como el radio y finalmente
dibuja la circunferencia.
Este es el resultado de cortar uno de los conos
con una sola hoja perpendicular al eje de los dos
conos.
Volvamos a la ecuación canónica y
desarrollémosla.
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 =
r2
x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 =
0
x2 + y2 + Dx + Ey + F =
0
, haciendo
Esta es la ecuación general de la circunferencia.
185
– 2h =
– 2k =
h2 + k 2 – r2 =
D
E
F
Ejercicios
Encontrar la ecuación general de las circunferencias y trazar sus gráficas.
1.
Centro en el origen y radio 4
2.
Centro en el origen r =
3.
r = 7 y centro en el origen
4.
Centro en el origen y pasa por P (3, 4)
5.
Centro en el origen y pasa por P (5, 0)
6.
Su diámetro es P (1, 1), Q (–1,–1)
7.
Pasa por U (2, 1/3) y centro en el origen
8.
r = 4/7 y centro en el origen
9.
Centro C (0, 0) y pasa por V (–5, 5)
10.
Pasa por W (5/2, 8/3) y centro C (0, 0)
5
11.
Centro en (3, –2) y radio 12
12.
Centro en (–4, –3) y radio 7
13.
Centro en (4, –5) y pasa por el origen
14.
Centro en (5, 2) y tangente al eje X
15.
Centro en (a, b) y radio 6
16.
Radio 3/4 y centro (1, 3)
17.
Los puntos (–1, 1), (7, 7) son diámetro
18.
Centro en (0, 0) y tangente a x = 3
19.
Centro (4, –5) y pasa por (0, –2)
20.
Centro (0, 3) y tangente al eje X
Con otro par de conos, aunque sólo
atravesaremos uno a la vez como en la
circunferencia, y con hojas cuya inclinación
sea paralela a cualquier recta que se
desplace sobre las caras con curvatura
de ambos conos, ¿qué figuras obtenemos?
Imagínate viendo el corte desde el eje.
186
¡Una Parábola!
Separamos el corte para mejor
apreciación.
Parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a una recta fija es igual a la
distancia a un punto fijo en el mismo plano y fuera de la recta.
A la recta fija se le llama directriz y al punto fijo se le llama foco de la parábola.
La parábola ostenta puntos y líneas de importancia para su cálculo y dibujo, mencionemos e
ilustramos algunos de ellos:
F es el foco de la parábola.
R2
La recta R1 es la directriz.
La recta R2 que atraviesa el foco y es
perpendicular a la directriz, es el eje
de la parábola.
F
L1
El punto A, es el punto de
intersección del eje y la directriz.
L2
V
R1
A
El punto V, punto medio del segmento
AF, pertenece a la parábola y es el
vértice de la parábola.
La distancia FV que es igual a la VA (FV = VA), por
definición, es la distancia paramétrica (p).
El segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola se llama cuerda;
en particular, una cuerda que atraviesa el foco se llama cuerda focal.
187
La cuerda focal L1L2 perpendicular al eje se denomina lado recto de la parábola y es
igual a 4p (L1L2 = 4p).
Parábola a)
En el plano cartesiano,
asentando el vértice de la
parábola en el origen y
directriz paralela al eje X.
Y
P (x, y)
F (0, p)
d (P, F) = D (P, R1)
x2 + (y – p)2
X
0
=y+p
y = -p
elevando al cuadrado ambos términos,
x2 + y2 – 2yp + p2 = y2 + 2yp + p2
restando en ambos términos y2 y p2, tenemos
que es la ecuación canónica de la parábola con vértice en el
origen y directriz paralela al eje X.
x2 = 4yp
¿Cómo es el desarrollo si el vértice de la
parábola está en el origen y directriz es
paralela al eje Y?
Y
P (x, y)
0
Parábola. b) Este sería nuestro esquema y
este nuestro desarrollo:
d (P, F) = D (P, R1)
X
F (p, 0)
x = -p
(x – p)2 + y2
=x+p
elevando al cuadrado
x2 – 2xp + p2 + y2 = x2 + 2xp + p2
y2 = 4xp
Esta es la ecuación canónica de la parábola con vértice en el
origen y directriz paralela al eje Y.
188
Es común encontrarse con parábolas cuya directriz es paralela a alguno de los ejes coordenados
pero su vértice fuera del origen. Entonces “trasladamos” los ejes coordenados de modo que el
nuevo origen O’ coincida con V (h, k) y la ecuación de la parábola estará en referencia a los
“nuevos” ejes coordenados X’ Y’ y tendrá la forma:
Parábola a’) Directriz paralela al eje X.
x’2 = 4y’p
Y
Las “nuevas”coordenadas
del foco serán: F (h, yf).
F
La transformación de
coordenadas estará
dada por
0’
V (h, k)
0
x = x’ + h , y = y’ + k
x’ = x – h , y’ = y – k ;
(x – h)2 = 4p (y – k)
Y’
X’
X
y la ecuación toma la forma
Ecuación canónica de la parábola con V
(h, k) y eje paralelo al eje Y.
Parábola. b’) directriz paralela al eje Y.
Y’
y’2 = 4x’p
Y
Las “nuevas”coordenadas del foco
0’
V (h, k)
F (xf, k)
X’
F
0
La transformación de coordenadas es
la misma que en el inciso a)
X
y la ecuación toma la forma
(y – k)2 = 4p (x – h)
Ecuación canónica de la parábola con
C (h, k) y eje paralelo al eje X.
189
Este es el resultado de cortar uno de los conos con una sola hoja paralela a
las caras curvas de los dos conos.
Manteniendo la inclinación de la hoja,
paralela a las caras curvas, podría esta hoja
“cortar” o hacer contacto con ambos
conos.
Discútelo en clase o con tus compañeros al
trabajar en grupo.
Igual que con la circunferencia desarrollemos las ecuaciones canónicas de la parábola.
P. a’) Ecuación canónica de la parábola con
C (h, k) y eje paralelo al eje X
P. b’) Ecuación canónica de la parábola con
C (h, k) y eje paralelo al eje Y
(x – h)2 =
4p (y – k)
(y – k)2 =
4p (x – h)
x2 – 2hx + h2 =
4py – 4pk
y2 – 2ky + k2 =
4px – 4ph
x2 – 2hx – 4py + h2 + 4pk =
y2 – 4px – 2ky + k2 + 4ph =
0
0
haciendo
– 2h =
– 4p =
h2 + 4pk =
D
E
F
haciendo
– 4p =
– 2k =
k2 + 4ph =
D
E
F
x2 + Dx + Ey + F =
0
y2 + Dx + Ey + F =
0
Y estas son las ecuaciones generales de la parábola.
190
Aquí tenemos otro
cono cortado por una
hoja y que nos arroja
una parábola.
Ejercicios
Hallar la ecuación general de las parábolas, las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de la
directriz y del eje, la longitud del lado recto, según haga falta, y trazar sus gráficas.
1.
Vértice en el origen y directriz y = –3
2.
Vértice (0, 0) y directriz x = –5
3.
Foco (0, 5) y directriz y = –5
4.
Directriz y = 2 y foco (0, –2)
5.
Vértice (0, 0) y foco (4, 0)
6.
Foco (0, 3) y vértice en el origen
7.
Vértice (0, 0) y foco (–6, 0)
8.
Vértice (0, 0) y directriz y = –1
Vértice (0, 0), parámetro 2 y
directriz y = –3
11. Vértice (4, 0) directriz y = –2
10.
Directriz x = 7 vértice en el origen
12.
13.
Foco (3, 2) y directriz y = –4
14.
Vértice (6, 2), parámetro 1/2 y directriz
paralela al eje X
Directriz x = –1 y foco (3, 5)
15.
Vértice (3, 3) y foco (3, 1)
16.
Foco (4, –3) y directriz y = 1
17.
Vértice (a, b) directriz x = 5
18.
Vértice (3, 4) y foco (3, 2)
19.
Vértice (–2, 3), parámetro 2
20.
Directriz = 3 foco (3, 2)
9.
191
Hagamos un resumen de las ecuaciones, canónicas y generales, que hemos desarrollado:
Ecuaciones Canónicas
Ecuaciones Generales
Circunferencia
x2 + y2 =
r2
(x – h)2 + (y – k)2 =
r2
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Parábola
x2
= 4yp
y2
= 4xp
(x – h)2
= 4p (y – k)
(y – k)2 =
4p (x – h)
192
x2 + Dx + Ey + F
= 0
y2 + Dx + Ey + F
= 0
Matemáticas 3
4: Secciones Cónicas
4. 2: Definición, construcción y ecuaciones canónica y
general (elipse e hipérbola)
Objetivo
El estudiante sabrá cuál es la definición de la elipse e hipérbola. Aprenderá también cuáles son sus
características, elementos, deducción y como construirlas.
F1
F1
C
C
F2
P
P
F2
Presentación
Como ya sabemos, se le llama sección cónica al lugar geométrico descrito por un punto que
se mueve en el plano de tal manera que la razón de su distancia a un punto fijo, llamado foco,
entre su distancia a una recta dada fija, llamada directriz, es siempre igual a una constante
positiva. La razón de estas distancias se llama excentricidad de la cónica.
A las figuras geométricas como la elipse e hipérbola se les llama secciones cónicas porque se
extraen de cortes, en diferentes inclinaciones, a un par de conos circulares encontrados por sus
vértices y que tienen el mismo eje.
193
Construyamos la estructura de los dos conos circulares.
Conos encontrados sobre su eje
Ahora atravesaremos este par de conos con hojas cuya
inclinación no sea perpendicular al eje ni paralela al eje o a las
caras curvas de los conos,
¿Qué figuras obtenemos?
Imagínate viendo estas hojas desde el eje.
¡Elipses!, desde luego.
El eje coincide, los puntos en rojo
son los focos de la elipse amarilla y
los morados son los focos de la
elipse anaranjada.
Focos de la
elipse amarilla
Eje coincidente
Focos de la
elipse
anaranjada
194
¿Cómo se define la Elipse?
Elipse. Es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos
fijos en el mismo plano es igual a una constante, siempre mayor que la distancia entre los puntos
fijos. A los puntos fijos se les llama focos de la elipse.
La elipse tiene puntos y líneas de importancia para su cálculo y construcción, aquí mencionamos e
ilustramos algunos de ellos:
F1 y F2 son los focos de la elipse.
R2
La recta R1 que atraviesa los focos es el
eje focal.
B1
El eje focal corta a la elipse en los
puntos V1 y V2 llamados vértices.
El segmento del eje focal
comprendido entre los vértices
se llama eje mayor.
L1
b
V1
F1
a
c
C
V2
F2
R1
L2
El punto C sobre el eje focal, punto medio
entre focos y entre vértices, se llama
centro.
B2
La recta R2 que pasa por C y es
perpendicular al eje focal es el eje normal.
El eje normal corta a la elipse en los puntos B1 y B2 y el segmento comprendido entre ellos se llama
eje menor.
El segmento comprendido entre cualesquiera dos puntos de la elipse se llama cuerda y si
atraviesa alguno de los focos se llama cuerda focal.
La cuerda L1L2, perpendicular al eje focal y que atraviesa un foco se llama lado recto.
El triángulo que forman los puntos C, F2 y B1 es un triángulo rectángulo y por lo tanto las distancias
entre ellos cumplen con el teorema de Pitágoras (a2 = b2 + c2).
Si los puntos B1 y B2, extremos del eje menor, pertenecen a la elipse, la suma de sus distancias,
cada uno por separado, a los focos es igual a 2a, por el triángulo de Pitágoras formado con los puntos
C, F2 y B1 o B2, o los puntos C, F1 y B1 o B2, de la elipse, y tenemos:
195
La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es entonces 2a.
La distancia entre los vértices V1 y V2, de la elipse, es también igual a 2a.
Elipse a)
Sobre el plano
cartesiano, con
centro en el origen y
eje mayor el eje X.
Y
P (x, y)
d (P, F1) + d (P, F2) = 2a
b
de la fórmula para la distancia
entre dos puntos
F1(-c, 0)
d (P, F1) =
(x + c)2 + y2
d (P, F2) =
(x – c)2 + y2
(x – c)2 + y2
+
(x + c)2 + y2
C
a
c
F2(c, 0)
= 2a
restamos el segundo radical en ambos términos
(x – c)2 + y2
= 2a –
(x – c)2 + y2
= 4a2 – 4a
(x + c)2 + y2
+ (x + c)2 + y2
x2 – 2cx + c2 + y2
= 4a2 – 4a
(x + c)2 + y2
+ x2 + 2cx + c2 + y2
– 4cx
= 4a2 – 4a
(x + c)2 + y2
cx
= – a2 + a
(x + c)2 + y2
cx + a2
= a
(x + c)2 + y2
(x + c)2 + y2
, y esta expresión la elevamos al cuadrado
= a2 (x2 + 2cx + c2 + y2)
c2x2 + 2a2cx + a4
= a2x2 + 2a2cx + a2c2 + a2y2
= a2x2 + a2c2 + a2y2
dividimos entre –4 toda la expresión
elevamos nuevamente al cuadrado
c2x2 + 2a2cx + a4
c2x2 + a4
simplificando
restamos 2a2cx
reacomodando obtenemos
196
X
a2x2 – c2x2 + a2y2
=
a4 – a2c2
(a2 – c2)x2 + a2y2
=
a2 (a2 – c2)
factorizando
del triángulo de Pitágoras dentro de la elipse
a2 = b2 + c2 ; b2 = a2 – c2 sustituyendo
b2x2 + a2y2
x2
a2
+
= a2b2 dividiendo entre a2b2
y2
b2
Y esta es la ecuación canónica de la elipse con centro en
el origen y eje mayor sobre el eje X.
= 1
Elipse b) Ahora con centro en el origen y
eje mayor el eje Y.
Y
d (P, F1) + d (P, F2) = 2a
F1(0, c)
P (x, y)
X
b
C
c
d (P, F1) =
x2 + (y – c)2
d (P, F2) =
x2 + (y + c)2
a
x2 + (y – c)2
F2(0, -c)
+
x2 + (y + c)2
= 2a
restamos el segundo radical en ambos términos
x2 + (y – c)2
= 2a –
x2 + (y – c)2
= 4a2 – 4a
x2 + (y + c)2
+ x2 + (y + c)2
x2 + y2 – 2cy + c2
= 4a2 – 4a
x2 + (y + c)2
+ x2 + y2 + 2cy + c2
– 4cy
= 4a2 – 4a
x2 + (y + c)2
cy
= – a2 + a
x2 + (y + c)2
elevamos al cuadrado
simplificando
dividimos entre –4 la expresión
cy + a2
elevamos al cuadrado c2y2 + 2a2cy + a4
c2y2 + 2a2cy + a4
= a
x2 + (y + c)2
x2 + (y + c)2
= a2 (x2 + y2 + 2cy + c2)
= a2x2 + a2y2 + 2a2cy + a2c2
197
restamos 2a2cy
reacomodando
c2y2 + a4
= a2x2 + a2y2 + a2c2
a2x2 – c2y2 + a2y2
=
a4 – a2c2
a2x2 + (a – c)2y2
=
a2 (a2 – c2)
factorizando
a2 = b2 + c2 ; b2 = a2 – c2
del triángulo de Pitágoras
a2x2 + b2y2
sustituyendo
dividiendo entre a2b2
Elipse a’)
x2
b2
+
y2
a2
= a2b2
Ecuación canónica de la elipse
con centro en el origen y eje
mayor sobre el eje Y.
= 1
Sobre el plano, con centro fuera
del origen y eje mayor paralelo
al eje X.
Y
Al igual que con la parábola con vértice
fuera del origen, “trasladamos” los ejes
coordenados de modo que el nuevo
origen O’ coincida con C (h, k) y la
ecuación de la elipse estará en referencia a
los “nuevos” ejes coordenados X’ Y’.
F1
Y’
b
a
0’
c
C (h,k)
0
F
X’
X
La transformación de coordenadas
estará dada por
x = x’ + h, y = y’ + k
x’ = x – h , y’ = y – k
y la ecuación canónica con
centro en O’
(x – h)2
a2
x’2
a2
+
+
(y – k)2
b2
y’2
b2
= 1
= 1
198
toma la forma
Ecuación canónica de la elipse con
eje mayor paralelo al eje X.
Elipse b’)
Y’
Y
F1
Sobre el plano, con centro fuera del
origen y eje mayor paralelo al eje Y.
La misma transformación de coordenadas
que líneas arriba
y la ecuación canónica con centro en O’
0’
b
c
0
C (h, k)
X’
X
x’2
b2
a
y’2
a2
= 1
(y – k)2
a2
= 1
+
toma la forma
F2
(x – h)2
b2
+
Ecuación canónica de la elipse con eje mayor paralelo al eje Y.
Esta es la imagen de uno de los conos cortado por
una hoja en un ángulo que no sea perpendicular al
eje ni paralelo al eje o a la cara curva del cono.
Desarrollemos ahora las ecuaciones
canónicas de la elipse.
Ecuaciones canónicas de la elipse con:
Elipse a’) Centro, C (h, k), fuera del origen y eje paralelo al eje X
(x – h)2
(y – k)2
+
= 1
multiplicamos por a2b2
a2
b2
199
b2(x – h)2 +
b2(x2 – 2xh + h2) +
b2x2 – 2b2xh + b2h2 +
a2(y – k)2
= a2b2
a2(y2 – 2yk + k2)
= a2b2
a2y2 – 2a2yk + a2k2
= a2b2
b2x2 + a2y2 – 2b2xh – 2a2yk + b2h2 + a2k2 – a2b2
b2
a2
– 2b2h
– 2a2k
b2h2 + a2k2 – a2b2
haciendo
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F
= 0
=
=
=
=
=
A
C
D
E
F
= 0
Ecuación general de la elipse.
Elipse b’) Centro, C (h, k), fuera del origen y eje paralelo al eje Y
(y – k)2
(x – h)2
+
= 1
multiplicamos por a2b2
2
2
b
a
a2(x – h)2 +
a2(x2 – 2xh + h2) +
a2x2 – 2a2xh + a2h2 +
b2(y – k)2
= a2b2
b2(y2 – 2yk + k2)
= a2b2
b2y2 – 2b2yk + b2k2
= a2b2
a2x2 + b2y2 – 2a2xh – 2b2yk + a2h2 + b2k2 – a2b2
a2
b2
– 2a2h
– 2b2k
2 2
2 2
a h + b k – a2b2
haciendo
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F
= 0
=
=
=
=
=
= 0
Ecuación general de la elipse.
200
A
C
D
E
F
Fíjate que no son las mismas
variables que el caso anterior.
El cono cortado en donde las
caras de las secciones son dos
elipses.
Ejercicios
Encontrar la ecuación general de las siguientes elipses, las coordenadas de los vértices, focos,
extremos del eje mayor y eje menor, las ecuaciones de los ejes, según haga falta y trazar las gráficas.
Los ejercicios con número non, tienen eje mayor sobre o paralelo al eje X, mientras que los
números pares lo tienen sobre el eje Y. Los ejercicios 1 a 10, tienen centro en el origen (C = (0, 0));
los ejercicios 11 a 16, centro fuera del origen.
1.
Eje mayor 10 y eje menor 6
2.
Eje mayor 7 y eje menor 2
3.
D(F1,F2) = 30 y eje menor 16
4.
Eje mayor 50 y D(F1,F2) = 48
5.
Eje mayor 14 y eje menor 5
6.
D(F1,F2) = 12 y eje menor 8
7.
D(C, F1) = 8 y eje menor 8
8.
Eje mayor 30 y eje menor 18
9.
D(C, F1) = 8 y D(C, V1) = 12
10.
D(C, V1) = 11 y eje menor 9
11.
C(5, 3), V(7, 3) y extremo del eje menor
B(5, 2)
12.
C(5, 4), V(5, –4) y extremo del eje menor
B(2, 4)
13.
F( –7, 5), V(9, 5) y eje mayor 20
14.
C(1, –1), V(–2, –1) y F( 3, –1)
15.
C(2, –3), eje mayor 9, eje menor // eje X y su longitud 4
16.
C(–3, –2), a = 7, b = 2 y su eje mayor // eje Y
201
Al último par de conos lo atravesaremos
cuya inclinación sea paralela al eje de
ambos conos, ¿qué figura obtenemos?
¡Hipérbola!, una rama en cada cono.
Ésta sería la vista que tendríamos si la
imaginamos desde el eje.
Pero no es tan ilustrativa, así es que la imaginaremos en una vista lateral.
¿Cómo se define la hipérbola?
Hipérbola. Es el lugar geométrico de los puntos de tal forma que el valor absoluto de la
diferencia de sus distancias a dos puntos fijos en el mismo plano es igual a una constante,
siempre positiva y menor que la distancia entre los puntos fijos. A los puntos fijos se les llama Focos
de la hipérbola.
202
La hipérbola, al igual que las figuras anteriores, tiene puntos y líneas de importancia para su cálculo y
construcción, aquí mencionamos e ilustramos algunos de ellos:
F1 y F2 son los focos de la hipérbola.
La recta R1 que atraviesa los focos es el
eje focal.
R2
El eje focal corta a la elipse en los
puntos V1 y V2 llamados vértices.
L1
B1
El segmento del eje focal
comprendido entre los vértices
se llama también eje
transverso.
b c
V1
F1
C
El punto C sobre el eje transverso, punto
medio entre focos y entre vértices, se
llama centro.
a
B2
F2
V2
R1
L2
La recta R2 que pasa por C y es
perpendicular al eje focal es el eje normal.
El eje normal no corta a la hipérbola aunque la porción de este eje comprendida entre los puntos B1
y B2 se llama eje conjugado.
El segmento comprendido entre cualesquiera dos puntos de la elipse se llama cuerda. Estos
puntos pueden ser de la misma rama o de ambas ramas; si la cuerda atraviesa alguno de los focos
se llama cuerda focal.
La cuerda L1L2, perpendicular al eje focal y que atraviesa un foco se llama lado recto. Teniendo
la hipérbola dos focos, tendrá también dos lados rectos.
El triángulo que forman los puntos C, V2 y B1 es un triángulo rectángulo y por lo tanto las
distancias entre ellos cumplen con el teorema de Pitágoras (c2 = a2 + b2).
Los puntos B1 y B2, extremos del eje conjugado, NO pertenecen a la elipse.
La diferencia de las distancias, en valor absoluto, de los vértices V1 y V2, cada uno por separado,
a los focos, es igual a 2a; por el triángulo de Pitágoras formado con los puntos C, V2 y B1 o B2, o los
puntos C, V1 y B1 o B2, de la elipse, y así:
El valor absoluto se la diferencia de las distancias de cualquier punto de la hipérbola a los focos
es entonces 2a.
203
Hipérbola. a) sobre el plano
cartesiano, con
centro en el origen y
eje focal el eje X.
Y
P (x, y)
d (P, F1) – d (P, F2) = 2a
de la fórmula para la distancia entre
dos puntos
d (P, F1) =
(x + c)2 + y2
d (P, F2) =
(x – c)2 + y2
(x – c)2 + y2
–
b
c
F 2 (c, 0)
F 1 ( - c, 0)
(x + c)2 + y2
C
a
= 2a
restamos el segundo radical en ambos términos
(x – c)2 + y2
= 2a +
(x – c)2 + y2
= 4a2 + 4a
(x + c)2 + y2
+ (x + c)2 + y2
x2 – 2cx + c2 + y2
= 4a2 + 4a
(x + c)2 + y2
+ x2 + 2cx + c2 + y2
– 4cx
= 4a2 + 4a
(x + c)2 + y2
cx
cx + a2
(x + c)2 + y2
= – a2 – a
= –a
, elevamos al cuadrado
dividimos entre –4 toda la expresión
(x + c)2 + y2
(x + c)2 + y2
elevamos nuevamente al cuadrado
c2x2 + 2a2cx + a4
= a2 (x2 + 2cx + c2 + y2)
c2x2 + 2a2cx + a4
= a2x2 + 2a2cx + a2c2 + a2y2
c2x2 + a4
simplificando
= a2x2 + a2c2 + a2y2
restamos 2a2cx
reacomodando obtenemos
– a2x2 + c2x2 – a2y2
=
– a4 + a2c2
factorizando
(c2 – a2)x2 – a2y2
=
a2 (c2 – a2)
del triángulo de Pitágoras dentro de la hipérbola
c2 = a2 + b2 ; b2 = c2 – a2 sustituyendo
204
X
b2x2 + a2y2
x2
a2
–
= a2b2 dividiendo entre a2b2
y2
b2
Y esta es la ecuación canónica de la hipérbola con
centro en el origen y eje focal el eje X.
= 1
Y
Hipérbola. b)
F1(0, c)
c
b
ahora con centro en el
origen y eje focal el eje Y.
d (P, F1) – d (P, F2) = 2a
a
X
C
d (P, F1) =
x2 + (y – c)2
d (P, F2) =
x2 + (y + c)2
P (x, y)
x2 + (y – c)2
F2(0, -c)
–
x2 + (y + c)2
= 2a
restamos el segundo radical en ambos términos
x2 + (y – c)2
= 2a +
x2 + (y – c)2
= 4a2 + 4a
x2 + (y + c)2
+ x2 + (y + c)2
x2 + y2 – 2cy + c2
= 4a2 + 4a
x2 + (y + c)2
+ x2 + y2 + 2cy + c2
= 4a2 + 4a
x2 + (y + c)2
elevamos al cuadrado
simplificando
– 4cy
dividimos entre –4 la expresión
cy
cy + a2
elevamos al cuadrado c2y2 + 2a2cy + a4
c2y2 + 2a2cy + a4
restamos 2a2cy
c2y2 + a4
x2 + (y + c)2
= – a2 – a
= –a
x2 + (y + c)2
x2 + (y + c)2
= a2 (x2 + y2 + 2cy + c2)
= a2x2 + a2y2 + 2a2cy + a2c2
= a2x2 + a2y2 + a2c2
205
reacomodando
– a2x2 + c2y2 – a2y2
=
– a4 + a2c2
– a2x2 + (c – a)2y2
=
a2 (c2 – a2)
factorizando
c2 = a2 + b2 ; b2 = c2 – a2 sustituyendo
del triángulo de Pitágoras
sustituyendo
cambiando el orden
dividiendo entre a2b2
Hipérbola a’)
– a2x2 + b2y2
= a2b2
b2y2 – a2x2
= a2b2
y2
a2
x2
b2
–
Ecuación canónica de la elipse con
centro en el origen y eje focal el eje
Y.
= 1
Y’
ahora con centro fuera del
origen y eje focal paralelo
al eje Y.
Al igual que hicimos con la parábola y la
elipse con vértice fuera del origen,
“trasladamos” los ejes coordenados de
modo que el nuevo origen O’ coincida
con C (h, k) y la ecuación de la hipérbola
estará en referencia a los “nuevos” ejes
coordenados X’ Y’.
Y
b c
F1
F2
0’
C (h, k) a
0
X’
X
La transformación de coordenadas
estará dada por
x = x’ + h , y = y’ + k
x’ = x – h , y’ = y – k
y la ecuación canónica con
centro en O’
(x – h)2
a2
–
x’2
a2
(y – k)2
b2
–
y’2
b2
= 1
toma la forma
Ecuación canónica de la hipérbola con
eje focal paralelo al eje X.
= 1
206
Este es el resultado del corte
que hicimos a los dos conos.
H. b’) Sobre el plano, con centro fuera del
origen y eje focal paralelo al eje Y.
Y’
Y
F1
La misma transformación de
coordenadas que hemos hecho
anteriormente
0
c a
b 0’
C (h, k)
y la ecuación canónica con centro en O’
F2
y’2
a2
–
x’2
b2
= 1
toma la forma
(y – k)2
a2
–
(x – h)2
b2
= 1
Ecuación canónica de la hipérbola con eje focal paralelo al eje Y.
207
X
X’
Desarrollemos ahora las ecuaciones canónicas de la hipérbola.
Ecuaciones canónicas de la hipérbola con:
H. a’) Centro, C (h, k), fuera del origen y eje paralelo al eje X.
(x – h)2
a2
–
(y – k)2
b2
b2(x – h)2 –
b2(x2 – 2xh + h2) –
b2x2 – 2b2xh + b2h2 –
multiplicamos por a2b2
= 1
a2(y – k)2
= a2b2
a2(y2 – 2yk + k2)
= a2b2
a2y2 + 2a2yk – a2k2
= a2b2
b2x2 – a2y2 – 2b2xh + 2a2yk + b2h2 – a2k2 – a2b2
= 0
b2
– a2
= A
= C
– 2b2h
2a2k
b2h2 – a2k2 – a2b2
= D
= E
= F
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F
= 0
haciendo
Ecuación general de la hipérbola.
H. b’) Centro, C (h, k), fuera del origen y eje paralelo al eje Y
(y – k)2
a2
–
(x – h)2
b2
b2(y – k)2 –
b2(y2 – 2yk + k2) –
b2y2 – 2b2yk + b2k2 –
= 1
multiplicamos por a2b2
a2(x – h)2
= a2b2
a2(x2 – 2xh + h2)
= a2b2
a2x2 + 2a2xh – a2h2
= a2b2
– a2x2 + b2y2 + 2a2xh – 2b2yk – a2h2 + b2k2 – a2b2
208
= 0
– a2
b2
2a2h
– 2b2k
2 2
2 2
– a h + b k – a2b2
haciendo
=
=
=
=
=
A
C
D
E
F
, no son las mismas
variables que el caso anterior.
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F
= 0
Ecuación general de la hipérbola.
Si además de hacer el corte
volteamos las secciones pequeñas
de los conos, esto es lo que
obtenemos:
Ejercicios
Encontrar la ecuación general de las siguientes hipérbolas, las coordenadas de los vértices, focos,
extremos del eje conjugado, la distancia focal, la distancia del eje transverso, la distancia del eje
conjugado, las ecuaciones de las asíntotas, según haga falta y trazar las gráficas. Los ejercicios con
número non, tienen eje de la hipérbola sobre o paralelo al eje X, mientras que los números
pares lo tienen sobre o paralelo al eje Y. Los ejercicios 1 a 10, tienen centro en el origen (C = (0,
0)); los ejercicios 11 a 16, centro fuera del origen.
209
1.
Eje conjugado 13 y eje transverso 5
2.
Eje conjugado 8 y eje transverso 3
3.
D(V1,V2) = 27 y eje conjugado 15
4.
Eje conjugado 37 y D(V1,V2) = 31
5.
Eje transverso 15 y eje conjugado 7
6.
D(V1,V2) = 14 y eje transverso 5
7.
D(C, V1) = 7 y eje transverso 10
8.
Eje conjugado 23 y eje transverso 17
9.
D(C, F1) = 9 y D(C, V1) = 14
10.
D(C, V1) = 3 y eje conjugado 7
12.
C(5, 4), V(5, –4) y extremo del eje
conjugado B(2, 4)
C(1, –1), V(–2, –1) y F( 3, –1)
11.
13.
C(5, 3), V(7, 3) y extremo del eje
conjugado B(5, 2)
F( –7, 5), V(9, 5) y eje transverso 20
15.
C(2, –3), eje conjugado 9, eje transverso // eje X y su longitud 4
16.
C(–3, –2), a = 7, b = 2 y su eje transverso // eje Y
14.
Para cerrar los temas de las secciones cónicas, hagamos un resumen de las ecuaciones,
canónicas y generales que hemos desarrollado en este tema y el anterior:
Ecuaciones Canónicas
Ecuaciones Generales
Circunferencia
x2 + y2 =
r2
(x – h)2 + (y – k)2 =
r2
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Parábola
x2
= 4yp
y2
= 4xp
(x – h)2
= 4p (y – k)
(y – k)2 =
4p (x – h)
210
x2 + Dx + Ey + F
= 0
y2 + Dx + Ey + F
= 0
Elipse
x2
a2
+
y2
B2
= 1
x2
b2
+
y2
A2
= 1
(x – h)2
a2
+
(y – k)2
b2
= 1
(x – h)2
b2
+
(y – k)2
a2
= 1
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F =
0
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F =
0
Hipérbola
x2
a2
–
y2
b2
= 1
y2
a2
–
x2
b2
= 1
(x – h)2
a2
–
(y – k)2
b2
= 1
(y – k)2
a2
–
(x – h)2
b2
= 1
211
Matemáticas 3
4: Secciones Cónicas
4. 3: Ecuación canónica y ecuación general; desarrollo,
factorización y elementos. Transformación de una en
otra (circunferencia y parábola)
Objetivo
El estudiante aprenderá a desarrollar, dados los elementos de una sección cónica, la ecuación
canónica en ecuación general de cónicas, así como teniendo una ecuación general de cónicas,
encontrar la sección de que se trata, su ecuación canónica y sus elementos a partir de ésta.
Y
O
Y
X
O
X
Presentación
Comenzaremos por transformar una ecuación canónica de una circunferencia, dados sus elementos,
en su propia ecuación general con el siguiente Ejemplo 1.
Circunferencia con centro en (3, –1) y radio 5. Hallar su ecuación general.
212
Ecuación canónica de la circunferencia
(x – h)2 + (y – k)2 =
Dibujo en el plano cartesiano
r2
Eje Y
sustitución y desarrollo
(x – 3)2 + (y + 1)2 =
52
x2 – 6x + 9 + y2 + 2y + 1 =
25
x2 + y2 – 6x + 2y + 10 =
25
5
o
x2 + y2 – 6x + 2y – 15 =
Eje X
0
C (3, -1)
Ecuación general
El dibujo es fácil si contamos con el
centro y el radio, pero dada la
circunferencia en su ecuación general
¿podríamos dibujarla sin recurrir a la
obtención de sus elementos (centro y
radio)?
Vayamos por partes, tenemos aquí dos preguntas:
¿Cómo dibujarla sin hacer uso de sus elementos?
¿Cómo encontrar sus elementos?
La respuesta a la primera pregunta es:
Despejando “y”, que desarrollaremos de la ecuación general del ejemplo 1.
x2 + y2 – 6x + 2y – 15 =
y2 + 2y =
completamos el trinomio
factorizamos
y2 + 2y + 1 =
(y + 1)2 =
extraemos raíz
y+1 =
y =
Ahora tabulamos.
213
0
– x2 + 6x + 15
– x2 + 6x + 15 + 1
– x2 + 6x + 16
±
– x2 + 6x + 16
–1±
– x2 + 6x + 16
Para cada valor de x tendremos dos estimados en y.
x
y1 (rama positiva)
–1+
– x2 + 6x + 16
–2
–1 + (–(–2)2 + 6(–2) + 16)1/2
–1 + (–4 –12 + 16)1/2
–1 + (0)1/2
–1 + 0
–1.0
–1
–1 + (–(–1)2 + 6(–1) + 16)1/2
–1 + (–1 –6 + 16)1/2
–1 + (9)1/2
–1 + 3
2.0
0
–1 + (–(0)2 + 6(0) + 16)1/2
–1 + (0 + 0 + 16)1/2
–1 + (16)1/2
–1 + 4
3.0
1
–1 + (–(1)2 + 6(1) + 16)1/2
–1 + (–1 + 6 + 16)1/2
–1 + (21)1/2
2
3
2
1/2
2
1/2
2
1/2
–1 + (–(2) + 6(2) + 16)
–1 + (–(3) + 6(3) + 16)
–1 + (–4 –12 + 16)
1/2
–1 + (–4 –12 + 16)
1/2
–1 + (–4 –12 + 16)
1/2
–1 + 4.6
3.6
–1 + (0)
1/2
–1 + 4.9
3.9
–1 + (0)
1/2
–1 + 5
4.0
–1 + (0)
1/2
–1 + 4.9
3.9
4
–1 + (–(4) + 6(4) + 16)
5
–1 + (–(5)2 + 6(5) + 16)1/2
–1 + (–4 –12 + 16)1/2
–1 + (0)1/2
–1 + 4.6
3.6
6
–1 + (–(6)2 + 6(6) + 16)1/2
–1 + (–4 –12 + 16)1/2
–1 + (0)1/2
–1 + 4
3.0
7
–1 + (–(7)2 + 6(7) + 16)1/2
–1 + (–4 –12 + 16)1/2
–1 + (0)1/2
–1 + 3
2.0
1/2
1/2
–1 + 0
–1.0
8
x
2
–1 + (–(8) + 6(8) + 16)
1/2
–1 + (–4 –12 + 16)
–1 + (0)
y2 (rama negativa)
–1–
– x2 + 6x + 16
–2
–1 – (–(–2)2 + 6(–2) + 16)1/2
–1 – (–4 –12 + 16)1/2
–1 – (0)1/2
–1 – 0
–1.0
–1
–1 – (–(–1)2 + 6(–1) + 16)1/2
–1 – (–1 –6 + 16)1/2
–1 – (9)1/2
0
2
1/2
2
1/2
–1 – (–(0) + 6(0) + 16)
–1 – (0 + 0 + 16)
1/2
–4.0
–1 – (16)
–1 – 4
–5.0
–1 – (21)
1/2
–1 – 4.6
–5.6
1
–1 – (–(1) + 6(1) + 16)
2
–1 – (–(2)2 + 6(2) + 16)1/2
–1 – (–4 –12 + 16)1/2
–1 – (0)1/2
–1 – 4.9
–5.9
3
–1 – (–(3)2 + 6(3) + 16)1/2
–1 – (–4 –12 + 16)1/2
–1 – (0)1/2
–1 – 5
–6.0
4
–1 – (–(4)2 + 6(4) + 16)1/2
–1 – (–4 –12 + 16)1/2
–1 – (0)1/2
–1 – 4.9
–5.9
5
–1 – (–(5)2 + 6(5) + 16)1/2
–1 – (–4 –12 + 16)1/2
–1 – (0)1/2
–1 – 4.6
–5.6
–1 – (–4 –12 + 16)
1/2
–1 – (0)
1/2
–1 – 4
–5.0
–1 – (–4 –12 + 16)
1/2
–1 – (0)
1/2
–1 – 3
–4.0
–1 – (–4 –12 + 16)
1/2
–1 – (0)
1/2
–1 – 0
–1.0
6
7
8
2
1/2
2
1/2
2
1/2
–1 – (–(6) + 6(6) + 16)
–1 – (–(7) + 6(7) + 16)
–1 – (–(8) + 6(8) + 16)
–1 – (–1 + 6 + 16)
1/2
–1 – 3
1/2
Nota. Si bien es cierto que el camino de la tabulación, de la ecuación general, es laborioso, para
encontrar puntos por los que atraviesa la circunferencia y poder dibujarla, ese mismo camino nos da
los valores de x y de y que se corresponden.
214
La respuesta a la segunda pregunta la daremos resolviendo el
(general) x2 + y2 – 4x – 10y – 20 = 0. Encontrar sus elementos.
Ejemplo 2. Dada la ecuación
x2 + y2 – 4x – 10y – 20 =
x2 – 4x + y2 – 10y =
reacomodamos
completamos los trinomios
x2 – 4x + 4 + y2 – 10y + 25 =
(x – 2)2 + (y – 5)2 =
factorizamos
0
20
20 + 4 + 25
49
Con este resultado tenemos sus elementos: centro en (2, 5) y radio 7.
Eje Y
Es más fácil dibujar la circunferencia
teniendo sus elementos que
tabulando su ecuación.
7
C (2, 5)
Eje X
o
Ejemplo 3. La circunferencia con ecuación x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0, es tangente a otra
circunferencia que tiene centro C2(6, 7). El punto de tangencia de estas circunferencias se halla en el
primer cuadrante. Encuentra la ecuación general de la segunda ecuación.
1. Encontrar los elementos de la primera circunferencia,
2. Encontrar la distancia entre los centros de ambas circunferencias,
3. Obtener el radio de la segunda circunferencia, restando a la distancia entre sus centros la longitud
del radio de la primera circunferencia,
4. Desarrollar la ecuación canónica de la segunda circunferencia para obtener su ecuación general.
215
Si vas dibujando las condiciones, te será más fácil entender el ejemplo.
x2 + y2 + 4x – 2y – 20 =
1.
x2 + 4x + y2 – 2y =
reacomodamos
completamos los trinomios
x2 + 4x + 4 + y2 – 2y + 1 =
factorizamos
(x + 2)2 + (y – 1)2 =
elementos
C1(–2, 1) y r = 5
2.
20 + 4 + 1
25
(C1,C2)2
(8)2 + (6)2 =
(C1,C2)2
100 =
(C1,C2)2
10 =
(C1,C2)
3.
radio de C2 =
(C1,C2) – radio de C1
radio de C2 =
10 – 5
radio de C2 =
5
(x – 6)2 + (y – 7)2 =
52
x2 – 12x + 36 + y2 – 14y + 49 =
25
x2 + y2 – 12x – 14y + 85 – 25 =
0
x2 + y2 – 12x – 14y + 60 =
0
4. Ecuación canónica de C2
Ecuación general de C2
20
(6 – (–2))2 + (7 – 1)2 =
extraemos raíz
desarrollo
0
¿Por qué se nos dice que el punto de tangencia está en el primer cuadrante? ¿Acaso se tendría otro
resultado?
Discútelo en clase con tu profesor y con tus compañeros.
216
Ejemplo 4. Encontrar la ecuación general, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres
siguientes puntos: A(–25, 9), B(–21, 17), C(6, 26).
¿Qué hacemos?, no es que sea difícil. Necesitamos decidir qué hacer primero.
Comencemos por dibujar lo que nos
dice el ejemplo, ¿en dónde están
los puntos?
Como los valores de las
coordenadas son “grandes”
requerimos una cuadrícula muy
pequeña. Hagamos un dibujo
aproximado considerando la
cuadrícula de 5 x 5 unidades.
Eje Y
C (6, 26)
B (-21, 17)
A (-25, 9)
o
Como los puntos que componen la
circunferencia deben de cumplir con
estar en la ecuación. Sustituyamos
las coordenadas de los puntos en la
ecuación canónica y veamos qué
nos ofrece tal desarrollo.
Punto A
Punto B
Punto C
(–25 – h)2 + (9 – k)2 =
r2
625 + 50h + h2 + 81 – 18k + k2 =
r2
50h – 18k + h2 + k2 – r2 =
– 625 – 81
50h – 18k + h2 + k2 – r2 =
– 706
(–21 – h)2 + (17 – k)2 =
r2
441 + 42h + h2 + 289 – 34k + k2 =
r2
42h – 34k + h2 + k2 – r2 =
– 441 – 289
42h – 34k + h2 + k2 – r2 =
– 730
(6 – h)2 + (26 – k)2 =
r2
36 – 12h + h2 + 676 – 52k + k2 =
r2
– 12h – 52k + h2 + k2 – r2 =
– 36 – 676
– 12h – 52k + h2 + k2 – r2 =
– 712
217
Eje X
En los tres desarrollos encontramos la expresión: h2 + k2 – r2, sustituyámosla por R. De esta manera
nuestras ecuaciones toman las formas siguientes, además de formar un sistema de tres ecuaciones
rectilíneas simultáneas.
50h – 18k + R = – 706
Punto A
;
despejamos R y la sustituimos en las
ecuaciones de los puntos B y C,
R = – 706 – 50h + 18k
42h – 34k + R = – 730
Punto B
,
42h – 34k – 706 – 50h + 18k = – 730
– 8h – 16k = – 24 , dividiendo entre –8
(1) h + 2k = 3
Punto C
– 12h – 52k + R = – 712
– 12h – 52k – 706 – 50h + 18k = – 712
– 62h – 34k = – 6 , dividiendo entre –2
(2) 31h + 17k = 3
Ahora tenemos sólo dos ecuaciones ;
despejamos (1) h = 3 – 2k
(2) 31(3 – 2k) + 17k = 3
sustituimos
93 – 62k + 17k = 3
– 45k = 3 – 93 = – 90
k = 90/45 = 2.
Sustituyendo ahora el valor de k en (1) ;
h + 2(2) = 3
h+4=3
h=3–4
h=–1
Tenemos las coordenadas del centro de la circunferencia en el punto C (–1, 2), nos falta encontrar el
radio.
En la expresión h2 + k2 – r2, que sustituimos por R, encontraremos el valor del radio. Pero antes
debemos encontrar el valor de R. y esto lo haremos de la siguiente forma:
218
R = – 706 – 50h + 18k
, sustituyamos los valores par h y k
R = – 706 – 50(–1) + 18(2)
R = – 706 + 50 + 36
R = – 706 + 86
R = – 620
, finalmente sustituimos en
R = h2 + k2 – r2
r2 = h2 + k2 – R
r2 = (–1)2 + (2)2 – (–620)
;
r2 = 1 + 4 + 620
r2 = 625
r = ±25
Y de este resultado tomamos el radio positivo,
pues no se ha encontrado, hasta la fecha, una
circunferencia cuyo radio sea negativo.
Con centro y radio ya determinados, desarrollemos la ecuación canónica que nos dará la ecuación
general de tal circunferencia. Centro (–1, 2), radio = 25
(x + 1)2 + (y – 2)2 = 252
Y teniendo el centro y el radio, así luce nuestro ejemplo.
x2 + 2x + 1 + y2 – 4y + 4 = 625
EjeY
x2 + y2 + 2x – 4y + 1 + 4 = 625
x2 + y2 + 2x – 4y + 5 = 625
x2 + y2 + 2x – 4y + 5 – 625 = 0
Centro ( - 1, 2)
o
x2 + y2 + 2x – 4y – 620 = 0
Ecuación general, o bien
x2 + y2 + 2x – 4y = 620
219
Eje X
Ejemplo 5. ¿Cómo encontrar el centro de una circunferencia, con regla y compás, dados tres puntos
en una hoja lisa de papel?
1. Abrimos el compás un poco más de lo que
consideremos como la mitad de la
distancia entre los puntos A y B.
B
C
2. Apoyamos la aguja del compás en el
punto A y trazamos un arco de
circunferencia.
A
R1
B
C
A
3. Hacemos lo mismo desde el punto B, con
la misma abertura desde luego.
4. Por los puntos en que se intersectan los
dos arcos, trazamos la recta R1.
R2
5. Repetimos lo que hemos hecho, ahora
desde los puntos B y C:
B
a) La abertura del compás.
b) Arco desde B.
c) Arco desde C.
d) Recta R2 por los puntos de intersección
de los arcos.
C
A
220
El dibujo completo tiene esta forma:
R2
Y decimos entonces que el punto de
intersección O de las rectas R1 y R2, es el
centro de la circunferencia. ¿Por qué?
R1
B
Para responder de manera satisfactoria a
esta propuesta, vamos a prescindir de los
cuatro arcos y
C
6. A trazar dos rectas:
A
a) La que atraviesa por A y B.
b) La que atraviesa por B y C.
R2
R1
B
En este dibujo tenemos lo siguiente:
T
C
P
A
7. El punto P es el punto medio entre los
puntos A y B.
8. Cualesquiera dos triángulos que se
construyan con vértices APr1 y BPr1,
donde r1 es cualquier punto sobre la recta
R1, por semejanza de triángulos, serán
iguales. En particular nos interesan las
longitudes AO y BO.
O
B
T
9. El punto T es el punto medio entre los
puntos B y C.
C
P
10. También aquí, los triángulos que se
construyan con vértices BTr2 y CTr2,
donde r2 es cualquier punto sobre la recta
R2, por semejanza de triángulos, serán
iguales. En particular, las longitudes BO y
CO.
A
221
O
11. Ahora tenemos que:
AO = BO y BO = CO
Por lo tanto, AO = BO = CO y podemos
trazar nuestro círculo con centro en O y
longitud cualquiera de las tres AO, BO, CO, al
cabo que son la misma.
B
C
A
Todo el ejemplo 5 se puede trasladar al plano
cartesiano. Todos los pasos, del 1 al 11 son
factibles de realizarse con puntos con
coordenadas definidas, para encontrar las
coordenadas del origen y de allí exponer su
ecuación canónica y su ecuación general.
O
Ejemplo 6. Encontrar la ecuación canónica, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres
siguientes puntos: A(–13, 5), B(2, 14), C(10, 12).
Eje Y
Dibujemos, siempre es bueno
dibujar, los puntos del ejemplo en el
plano cartesiano.
o
En este caso consideraremos la
cuadrícula de 2 x 2 unidades.
Sustituyamos, para este ejemplo, las
coordenadas de los puntos en la
ecuación general y veamos que
nos ofrece este desarrollo.
222
Punto A
(–13)2 + (5)2 – 13D + 5E + F =
0
169 + 25 – 13D + 5E + F =
0
194 – 13D + 5E + F =
0
– 13D + 5E + F =
Punto B
(2)2 + (14)2 + 2D + 14E + F =
0
4 + 196 + 2D + 14E + F =
0
200 + 2D + 14E + F =
0
2D + 14E + F =
Punto C
– 194
– 200
(10)2 + (12)2 + 10D + 12E + F =
0
100 + 144 + 10D + 12E + F =
0
244 + 10D + 12E + F =
0
10D + 12E + F =
– 244
Tenemos, como en el ejemplo 4, un sistema de tres ecuaciones rectilíneas simultáneas.
Punto A
– 13D + 5E + F = – 194
;
Despejamos F = 13D – 5E – 194
Punto B
2D + 14E + F = – 200
,
2D + 14E + 13D – 5E – 194 = – 200
(1) 15D + 9E = – 6 ; dividiendo entre 3,
(1)
Punto C
10D + 12E + F = – 244
5D + 3E = – 2
10D + 12E + 13D – 5E – 194 = – 244
(2) 23D + 7E = – 50
Hagamos lo siguiente ;
(1) x 7 y (2) x –3
(1*)
35D + 21E = – 14
(2*) – 69D – 21E = 150
Sumamos
– 34D + 0 = 136
D = 136/–34
D=–4
223
Sustituimos D en (1) ;
5 (–4) + 3E = – 2
5 (–4) + 3E = – 2
– 20 + 3E = – 2
3E = – 2 + 20 = 18
E = 18/3
E=6
Sustituimos D y E en F
F = 13(–4) – 5(6) – 194
F = – 52 – 30 – 194
F = – 276
Y la ecuación
x2 + y2 + Dx + Ey + F =
0
se convierte en
x2 + y2 – 4x + 6y – 276 =
0
completando cuadrados
x2 + y2 – 4x + 6y =
276
x2 – 4x + y2 + 6y =
276
x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 =
(x – 2)2 + (y + 3)2 =
La circunferencia tiene centro en (2, –3) y
276 + 4 + 9
289
;
r=
289
= 17
radio 17.
Eje Y
Entonces la
circunferencia pedida,
tiene:
Ecuación general
x2 – 4x + y2 + 6y = 276,
o
centro en ((2, –3)
Centro (2, -3)
y radio 17.
Aquí su dibujo:
224
Eje X
Ejercicios
1. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2, 3) y B(–4, 5). Encuentra la
ecuación general de la circunferencia.
2.
La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 – 6x + 8y = 11. Determina cuáles puntos son
interiores y cuáles exteriores:
A (2, –5)
D (8 , 2)
G (6 , –4)
B (–1 , –1)
E (–2 , –8)
H (–3 , 1)
C (2 , –9)
F (4 , –10)
J (–3 , –4)
3. Obtén la ecuación general de la circunferencia con radio 5 cuyo centro es el punto de intersección
de las rectas 3x – 2y – 24 = 0, 2x +7y + 9 = 0.
4. Encuentra la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto (7, –7) y cuyo centro es
el punto de intersección de las rectas 7x – 9y – 10 = 0, 2x – 5y + 2 = 0.
5. La ecuación de una circunferencia es (x – 4)2 + (y – 3)2 = 20. Presenta la ecuación de la recta
tangente a la circunferencia que pasa por el punto (3, 3). Dos soluciones.
Ahora transformemos la ecuación canónica de una parábola, dados sus elementos, en su ecuación
general correspondiente con el siguiente Ejemplo 7.
Parábola con vértice en (1, 3), directriz paralela al eje X y parámetro igual a 2.
1. Si la directriz es paralela al eje X, la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.
2. Si además el parámetro es positivo, la parábola abre hacia arriba.
Ecuación canónica de la parábola
(x – h)2 =
Dibujo en el plano cartesiano
4p (y – k)
Eje Y
sustitución y desarrollo
(x – 1)2 =
4(2)(y – 3)
x2 – 2x + 1 =
8(y – 3)
x2 – 2x + 1 =
8y – 24
x2 – 2x – 8y + 25 =
Lado recto = 4p = 8
F (1, 5)
V (1, 3)
Directriz
0
0
Ecuación general
Directriz y = 1.
225
Eje X
Al igual que en la circunferencia, el dibujo es fácil si contamos con el vértice, el foco y el parámetro
(tomando en cuenta su signo), pero ¿podríamos dibujar su ecuación general sin recurrir a la
obtención de sus elementos (vértice, foco y parámetro)?
Aquí también tenemos las dos preguntas:
¿Cómo dibujarla sin hacer uso de sus elementos?; y
¿Cómo encontrar sus elementos?
La respuesta a la primera pregunta es: despejando “y”, que al igual que en la circunferencia es
laborioso. Dejamos el ejercicio para ti.
La respuesta a la segunda pregunta la daremos resolviendo el Ejemplo 8. Dada la ecuación (general)
y2 – 4x – 10y + 13 = 0. Encontrar sus elementos.
y2 – 4x – 10y + 13 =
y2 – 10y =
reacomodamos
y2 – 10y + 25 =
completamos el trinomio
factorizamos
0
4x – 13
4x – 13 + 25
(y – 5)2 =
4x + 12
(y – 5)2 =
4(x + 3)
Y tenemos sus elementos: Vértice en (–3, 5) y parámetro 1 (4p = 4; positivo).
Entonces abre hacia la derecha.
Directriz
V (-3, 5)
F (-2, 5)
Lado recto = 4p = 4
Eje Y
Eje X
o
226
Ejemplo 9. Encuentra los elementos de la parábola y2 + 12x – 6y – 15 = 0.
y2 + 12x – 6y – 15 =
0
y2 – 6y =
reacomodamos
– 12x + 15
y2 – 6y + 9 =
completamos el trinomio
factorizamos
– 12x + 15 + 9
(y – 3)2 =
– 12x + 24
(y – 3)2 =
–12(x – 2)
Los elementos de la parábola son: Vértice en (2, 3), parámetro –3 (4p = –12; negativo), la parábola
abre hacia la izquierda y la ecuación de la directriz es x = 5.
Lado recto = 4p = -12
F (-1, 3)
Si la tabulamos y la dibujamos en el plano
cartesiano, esto es lo que obtendríamos:
0
V (2, 3)
Directriz
Eje Y
Eje X
Ejemplo 10. Si los elementos de una parábola son: F (–2, 5), parámetro = –1 y directriz paralela al
eje X. Encontrar sus ecuaciones canónica y general.
1. Siendo el parámetro negativo y la directriz paralela al eje X, abre hacia abajo,
2. El foco está entre el vértice y el eje X y sus coordenadas sólo cambian en el valor de y, tantas
unidades como señala el parámetro,
3. La directriz se encuentra, con respecto al vértice, del otro lado del foco y su ecuación está
definida por el valor y del vértice “aumentado” en el valor del parámetro.
227
Entonces:
2. Si F(–2, 5), V(– 2, 5 + 1) = V(– 2, 6),
3. directriz = y = 6 – (–1); y = 7.
Ecuación canónica de la parábola
(x + 2)2 =
x2 + 4x + 4 =
2
x + 4x + 4 =
x2 + 4x + 4y + 4 – 24 =
Dibujo en el plano cartesiano
4(–1) (y – 6)
–4 (y – 6)
E je Y
D ire ctriz
p ará m etro = -1
V (-2 , 6 )
F (-2, 5)
–4 y + 24
0
0
2
x + 4x + 4y – 20 =
La do re cto = 4p = -4
E je X
0
Ejercicios
1. Una parábola que tiene vértice es el origen y cuyo eje coincide con el eje Y, pasa por el punto
(4, –2). Encuentra su ecuación general, las coordenadas de su foco, la ecuación de su directriz, la
longitud de su lado recto y dibuja su gráfica.
En los siguientes ejercicios, presenta las coordenadas de foco, del vértice, la ecuación de la directriz,
la longitud del lado recto y su gráfica:
3.
x2 = 12y
2.
y2 = 12x
4.
x2 + 2y = 0
5.
y2 + 8x = 0
6. Busca, encuentra y expón un procedimiento para obtener puntos de una parábola haciendo uso de
regla no graduada y compás si se conocen:
a) el foco y la directriz
b) el foco y el vértice
c) el vértice y la directriz.
En los siguientes ejercicios, presenta las coordenadas de foco, del vértice, la ecuación de la directriz,
la longitud del lado recto y su gráfica:
7.
y2 + 4x + 2y + 9 = 0
8.
x2 – 6x + 5y – 11 = 0
2
9.
x + 4x + 12y – 8 = 0
10.
y2 – 2x + 2x + 3 = 0
228
Matemáticas 3
4: Secciones Cónicas
4. 4: Ecuación canónica y ecuación general; desarrollo,
factorización y elementos. Transformación de una en
otra (elipse e hipérbola).
Objetivo
El estudiante aprenderá a desarrollar, dados los elementos de una sección cónica, la ecuación
canónica en ecuación general de cónicas, así como teniendo una ecuación general de cónicas,
encontrar la sección de que se trata, su ecuación canónica y sus elementos a partir de ésta.
Y
O
Y
X
O
X
Presentación
Toca el turno de desarrollo a la elipse. Vayamos a su encuentro.
Ejemplo 1. El centro de una elipse es el punto (3, –1), la longitud del semieje mayor a = 5 y paralelo
al eje X, la del semieje menor b =3. Encontrar su ecuación general, las coordenadas de sus focos y
de sus vértices.
229
Ecuación canónica de la elipse
con eje mayor // eje X
(x – 3)2
52
+
(y + 1)2
32
=
Dibujo en el plano cartesiano
1
Y
a = 5, b = 3; c2 = a2 – b2
c2 = 52 – 32
c2 = 25 – 9 = 16
c = 4.
O
b
a
c
Focos:
C (3, -1)
F1 = (3 – c, –1), F2 = (3 + c, –1)
F1 = (3 – 4, –1), F2 = (3 + 4, –1)
F1 = (–1, –1), F2 = (7, –1).
Vértices:
V1 = (3 – a, –1), V2 = (3 + a, –1)
V1 = (3 – 5, –1), V2 = (3 + 5, –1)
V1 = (–2, –1), V2 = (8, –1).
Ecuación canónica. Primer paso:
32 (x – 3)2
+
52 (y + 1)2
=
32 x 52
9 (x – 3)2
+
25 (y + 1)2
=
9 x 25
9 (x2 – 6x + 9)
+
25 (y2 + 2y + 1)
=
225
9x2 – 54x + 81
+
25y2 + 50y + 25
=
225
9x2 + 25y2 – 54x + 50y + 81 + 25
=
225
9x2 + 25y2 – 54x + 50y + 106
=
225
9x2 + 25y2 – 54x + 50y + 106 – 225
=
0
=
0
Ecuación general:
9x2 + 25y2 – 54x + 50y – 119
230
X
Ejemplo 2. Una elipse tiene centro en el punto (–4, 7), longitud del eje mayor 26, del eje menor 10 y
el centro tiene la misma abscisa que los focos. Hallar su ecuación general, las coordenadas de sus
focos y de sus vértices y las ecuaciones de sus ejes. Si el centro y los focos tienen la misma abscisa,
el eje mayor // al eje Y. entonces:
Dibujo en el plano cartesiano
Ecuación canónica de la elipse
con eje mayor // eje Y
Y
(y – 7)2
132
+
(x + 4)2
52
=
1
Semieje mayor = a = 13
Semieje menor = b = 5
a
c2 = a2 – b2 ; c2 = 132 – 52
c
c2 = 169 – 25 = 144
b
c = 12
C (-4, 7)
Focos:
F1 = (–4, 7 + c), F2 = (–4, 7 – c)
O
X
F1 = (–4, 7 + 12), F2 = (–4, 7 – 12)
F1 = (–4, 19), F2 = (–4, –5)
Vértices:
Escala 2 x 1
V1 = (–4, 7 + a), V2 = (–4, 7 – a)
V1 = (–4, 7 + 13), V2 = (–4, 7 – 13)
V1 = (–4, 20), V2 = (–4, –6)
Ecuación canónica. Primer paso:
52 (y – 7)2
+
132 (x + 4)2
=
132 x 52
25 (y – 7)2
+
169 (x + 4)2
=
169 x 25
25 (y2 – 14y + 49)
+
169 (x2 + 8x + 16)
=
4225
169x2 + 1352x + 2704
=
4225
169x2 + 25y2 + 1352x – 350y + 1225 + 2704
=
4225
169x2 + 25y2 + 1352x – 350y + 3929
=
4225
169x2 + 25y2 + 1352x – 350y + 3929 – 4225
=
0
25y2 – 350y + 1225
231
+
169x2 + 25y2 + 1352x – 350y – 296
Ecuación general:
=
0
Ecuación del eje mayor, x = –4; ecuación del eje menor, y = 7.
Ahora partamos de la ecuación general de una elipse para encontrar sus elementos.
Ejemplo 3. Sea x2 + 4y2 + 2x – 12y + 6 = 0, la ecuación de una elipse. Encontrar sus elementos.
x2 + 4y2 + 2x – 12y + 6
Ecuación general:
=
x2 + 2x + 4y2 – 12y =
Eje mayor:
–6
x2 + 2x
+
4 (y2 – 3y)
=
–6
x2 + 2x + 1
+
4 (y2 – 3y + 9/4)
=
–6+1+9
(x + 1)2
+
4 (y – 3/2)2
=
4
(x + 1)2
4
Ecuación canónica:
0
(y – 3/2)2
1
+
longitud 2a = 4 ; a = 2
// eje X
ecuación y = 3/2
Eje menor:
=
1
, centro en (–1, 3/2)
longitud 2b = 2 ; b = 1
// eje Y
ecuación y = –1
c2 = a2 – b2 ; c2 = 22 – 12
c2 = 4 – 1 = 3
c=
Y
3
Focos:
B1
F1 = (–1 – c, 3/2) , F2 = (–1 + c, 3/2)
F1 = (–1 –
3 , 3/2), F2 = (–1 + 3
Vértices:
, 3/2)
V1
F1
F2
C (-1, 3/2)
V2
V1 = (–1 – a, 3/2), V2 = (–1 + a, 3/2)
V1 = (–1 – 2, 3/2), V2 = (–1 + 2, 3/2)
B2
o
V1 = (– 3, 3/2), V2 = (1, 3/2).
232
X
Extremos del eje menor:
B1 = (–1, 3/2 + b), B2 = (–1, 3/2 – b)
B1 = (–1, 3/2 + 1), B2 = (–1, 3/2 – 1)
B1 = (– 1, 5/2), B2 = (–1, 1/2).
Ejemplo 4. Sea 9x2 + 4y2 – 8y – 32 = 0, la ecuación de una elipse. Encontrar sus elementos.
9x2 + 4y2 – 8y – 32
Ecuación general:
Ecuación canónica:
Eje mayor:
=
0
9x2 + 4y2 – 8y =
32
9x2
+
4 (y2 – 2y)
=
32
9 (x + 0)2
+
4 (y2 –2y + 1)
=
32 + 0 + 4
9 (x + 0)2
+
4 (y – 1)2
=
36
(x + 0)2
4
+
longitud 2a = 6 ; a = 3
// eje Y
ecuación x = 0
(y – 1)2
9
Eje menor:
c2 = a2 – b2 ; c2 = 32 – 22
=
1
, Centro en (0, 1)
longitud 2b = 4 ; b = 2
// eje X
ecuación y = 1
Y
c2 = 9 – 4 = 5
V2
c=
5
F2
Focos:
F1 = (0, 1 – c), F2 = (0, 1 + c)
F1 = (0, 1 –
5
), F2 = (0, 1 +
5
).
B1
Vértices:
C (0, 1)
V1 = (0, 1 – a), V2 = (0, 1 + a)
O
V1 = (0, 1 – 3), V2 = (0, 1 + 3)
V1 = (0, – 2), V2 = (0, 4).
F1
V1
233
B2
X
Extremos del eje menor:
B1 = (0 – b, 1), B2 = (0 + b, 1)
B1 = (0 – 2, 1), B2 = (0 + 2, 1)
B1 = (–2, 1), B2 = (2, 1).
Ejercicios
Construye las ecuaciones canónica y general de las siguientes elipses, según cada ejercicio, así
como encuentra las coordenadas de su centro, focos, vértices y extremos de sus ejes menores y las
ecuaciones de sus dos ejes.
1.
3.
Eje mayor // eje Y, centro en (–3, 2), eje 2.
mayor 8 y eje menor 6.
Centro en (1, 5), V(10, 5) y B(1, 9)
4.
Centro en (4, 1), foco (9, 1) y extremo de
eje menor B(4, 4).
Centro en (4, 2), V(4, –7) y B(8, 2)
5. Encontrar los elementos de la siguiente elipse 4x2 + 25y2 + 8x + 50y + 10 = 0.
6. Encontrar los elementos de la siguiente elipse 16x2 + 4y2 – 8 y – 32 = 0.
Ahora, toca el turno de desarrollo a la hipérbola. Última de las secciones cónicas.
Ejemplo 5. Sea el punto (2, 3), el centro de una hipérbola, la longitud del semieje transverso a = 5 y
paralelo al eje X, la del semieje conjugado b =3. Encontrar su ecuación general, las coordenadas de
sus focos y de sus vértices.
Ecuación canónica de la hipérbola con
eje transverso // eje X
(x – 2)
52
2
–
(y – 3)
32
Dibujo en el plano cartesiano
Y
2
=
1
c2 = 52 + 32
b
c
a
eje transverso
c2 = 25 + 9 = 34
c=
eje conjugado
a = 5, b = 3 ; c2 = a2 + b2
34 .
o
234
X
Focos:
F1 = (2 – c, 3), F2 = (2 + c, 3)
F1 = (2 –
34 , 3), F2 = (2 +
34 ,
3).
Y
Vértices:
V1 = (2 – a, 3), V2 = (2 + a, 3)
B1
V1 = (2 – 5, 3), V2 = (2 + 5, 3)
V1 = (–3, 3), V2 = (7, 3).
F2
V1
F1
V2
o
X
B2
Extremos del eje conjugado:
B1 = (2, 3 + b), B2 = (2, 3 – b)
B1 = (2, 3 + 3), B2 = (2, 3 – 3)
B1 = (2, 6), B2 = (2, 0).
Ecuación canónica. Primer paso:
32 (x – 2)2
–
52 (y – 3)2
=
32 x 52
9 (x – 2)2
–
25 (y – 3)2
=
9 x 25
9 (x2 – 4x + 4)
–
25 (y2 – 6y + 9)
=
225
9x2 – 36x + 36
–
25y2 + 150y – 225
=
225
9x2 – 25y2 – 36x + 150y + 36 – 225
=
225
9x2 – 25y2 – 36x + 150y – 189
=
225
9x2 – 25y2 – 36x + 150y – 189 – 225
=
0
=
0
Ecuación general:
9x2 – 25y2 – 36x + 150y – 414
Nota “amplia” o divagación geométrica. La hipérbola es la única sección cónica que se desarrolla
en dos conos. El corte que se hace en ellos es manteniendo la hoja (o imaginando el corte con un
plano rígido) en un plano paralelo al eje de los dos conos.
235
Presentamos algunas figuras de estos cortes para mostrar una de las características de las
hipérbolas.
Vista desde el eje
Primer corte
Vista vertical
Vista lateral
Sobre esta vista lateral
haremos algunas
consideraciones.
236
Antes vamos a fijar nuestra atención en:
los lados rectos de los conos
y
la traza de la hipérbola
Si ahora sólo atendemos a los lados rectos de los conos y a la traza
de la hipérbola nuestro dibujo tomo la siguiente forma:
Consideración 1. La figura se nos salió de la hoja.
Consideración 2. La traza de la hipérbola, al alejarse del punto de contacto de los dos conos (punto
de intersección de las rectas formadas por los lados de los conos), se acerca
más y más a las rectas formadas por los lados de los conos.
Consideración 3. Las rectas formadas por los lados de los conos, se llaman asíntotas.
237
Estas asíntotas, aparecen en el corte de los dos conos, si dicho corte lo hacemos en el eje común de
los conos.
Veamos como:
Vista desde el eje
Segundo corte
Vista vertical
Vista lateral
238
¿Cómo trazar las asíntotas de una hipérbola?
Supongamos que después de tabularla con algunos valores para x o para y, la dibujamos en el plano
cartesiano. Lo que obtenemos es el siguiente dibujo:
Y
b
La longitud b es la longitud del
semieje conjugado y la longitud a,
la del semieje transverso (distancia
entre el centro de la hipérbola y
cualquiera de los dos vértices).
c
a
o
X
Y
P1
“Llevamos” la longitud del eje
conjugado (2b) hasta uno de los
vértices, corriéndolo hacia la derecha
en nuestro dibujo, y haciendo coincidir
el punto medio de esa longitud con el
vértice seleccionado.
b
C
a
b
P2
o
Los extremos de esa longitud, medida
como se propone líneas arriba, serán
los puntos P1 y P2.
239
X
Y
Si ahora trazamos dos rectas:
a) Una que pase por los puntos
definidos por C (el centro de la
hipérbola) y P1 y
b) Otra que pase por los puntos
definidos por C y P2.
Estas rectas serán las asíntotas.
o
X
¿Cuál es la expresión algebraica de las asíntotas?
Para contestar esto, partamos de la ecuación canónica de la hipérbola con eje transverso (o eje focal)
paralelo al eje X. Después hagamos lo necesario para la hipérbola con eje transverso paralelo al eje
Y.
(x – h)2
a2
–
(y – k)2
b2
=
1
Cuando la x, o la y, es demasiado grande la apreciación de la
diferencia se pierde. De manera que consideremos que se
nos convierte en 0 (cero). Entonces tenemos:
(x – h)2
a2
–
(y – k)2
b2
=
0
y despejando
extraemos raíz
(x – h)2 =
(x – h) = ±
a2
b2
(y – k)2
a
b
(y – k).
Ahora desarrollamos la hipérbola con eje transverso paralelo al eje Y.
(y – k)2
a2
–
(x – h)2
b2
=
1
(y – k)2
a2
–
(x – h)2
b2
=
0
La misma consideración para la diferencia y tenemos:
despejando
extraemos raíz
240
(y – k)2 =
(y – k) = ±
A2
B2
(x – h)2
a
b
(x – h).
Fíjate en el cociente ± a/b;
a) en el primer desarrollo está multiplicando a (x – h), mientras que
b) en el segundo, multiplica a (y – k).
El dibujo de la hipérbola con eje transverso paralelo al eje Y es el siguiente:
Y
o
a
X
c
b
Ejemplo 6. Dada la ecuación 25x2 – 144y2 – 250x – 576y = 3551. Encontrar sus elementos.
25x2 – 250x – 144y2 – 576y =
3551
factorizamos
25 (x2 – 10x) – 144 (y2 + 4y)
=
3551
completamos cuadrados
25 (x2 – 10x + 25) – 144 (y2 + 4y + 4)
=
3551 + 625 – 576
simplificamos
25 (x – 5)2 – 144 (y + 2)2
=
3600
reordenamos la ecuación
dividimos entre 3600
(x – 5)2
144
–
(y + 2)2
25
=
1
ecuación canónica
(x – 5)2
122
–
(y + 2)2
52
=
1
241
Elementos:
eje transverso 2a = 24 ,
eje conjugado 2b = 10 .
centro
(5, –2)
vértices
(–7, –2)
(17, –2)
focos
(–8, –2)
(18, –2)
extremos del eje conjugado
(5, 3)
(5, –2)
asíntotas
(x – h) = ±
a
b
(y – k)
sustituimos
(x – 5) = ±
12
5
(y + 2)
5 (x – 5) =
12 (y + 2)
5 (x – 5) =
– 12 (y + 2)
5x – 25 =
12y + 24
5x – 25 =
– 12y – 24
asíntota 1)
5x – 12y =
49
asíntota 2)
5x + 12y
=
1
El dibujo del ejemplo es el siguiente:
Y
5x
+ 1
2y
= 1
1
5x –
o
C
242
9
= 4
y
2
X
Ejercicios
Construye las ecuaciones canónicas y general de las siguientes hipérbolas, según cada ejercicio, así
como encuentra las coordenadas de su centro, focos, vértices y extremos de sus ejes conjugados, las
ecuaciones de sus dos ejes y las ecuaciones de sus asíntotas.
1. Eje focal // eje X, centro en (–1, 3), semieje focal (o transverso) 4 y semieje conjugado 3.
2. Centro en (3, –1), foco (3, 11) y extremo de eje conjugado B(8, –1).
3. Centro en (1, 5), V(10, 5) y B(1, 9)
4. Centro en (4, 2), V(4, –7) y B(8, 2)
5. Encontrar los elementos de la siguiente hipérbola 4x2 – 25y2 + 8x + 50y + 10 = 0.
6. Encontrar los elementos de la siguiente hipérbola – 16x2 + 4y2 – 8 y – 32 = 0.
243
Matemáticas 3
anxn + … + a2x2 + a1x + a0
bsys + … + b2y2 + b1y + b0
5: Álgebra
2x3 + x2 – 3x + 1
5. 1: Cocientes compuestos por
polinomios
3y4 + 2y2 + y – 4
Objetivo
El estudiante aprenderá las operaciones ( +, – , x,: ) entre cocientes formados por polinomios.
+
cmxm + … + c2x2 + c1x + c0
cmxm + … + c2x2 + c1x + c0
esys + … + e2y2 + e1y + e0
esys + … + e2y2 + e1y + e0
–
x
dpxp + … + d2x2 + d1x + d0
gqyq + … + g2y2 + g1y + g0
:
dpxp + … + d2x2 + d1x + d0
gqyq + … + g2y2 + g1y + g0
Presentación
Comenzaremos por recordar y ejercitar la factorización de un cociente de números enteros.
El factorizar cocientes compuestos por polinomios, obedece las mismas reglas que la realización de
esta operación con números racionales. De manera que, recordemos cómo se factoriza un cociente
de enteros (con denominador distinto de cero; eso es un racional), para aplicar esas mismas reglas a
los cocientes compuestos por polinomios.
Factorizaremos los siguientes racionales:
factorizamos
Ejemplo 1.
18
27
=
cancelamos
2x3x3
3x 3x3
=
Ejemplo 2.
2
3
244
15
105
=
3x5
3x5x7
=
1
7
Ejemplo 3.
6825
9555
3 x 5 x 5 x 7 x 13
3 x 5 x 7 x 7 x 13
=
factorizamos
5
7
=
. Pasamos a los monomios,
cancelamos
Ejemplo 4.
6x
9
=
3 x 2x
3x3
Ejemplo 6.
12y
8
=
2 x 2 x 3y
2x2x2
9b3c
3b3c2
Ejemplo 7.
3y
2
=
15a2
9a
Ejemplo 5.
2x
3
=
=
=
5a x 3a
3 x 3a
=
5a
3
3b3c x 3
3b3c2
=
3
c
Ahora, hagámoslo sobre cocientes compuestos o construidos por polinomios,
factorizamos
cancelamos
Ejemplo 8.
8b3 – 4b2
4b2
=
4b2 (2b – 1)
4b2
=
Ejemplo 9.
9z4 + 12z3
15z2
=
3z2 (3z2 + 4z)
5 x 3z2
=
Ejemplo 10.
6x3 + 8x2
2x2
=
2x2 (3x + 4)
2x2
=
Ejemplo 11.
9a4b3 – 12 a3b2
3a2b
Ejemplo 12.
9h2 – 15h
6h
3h (3h – 5)
2 x 3h
Ejemplo 13.
15x4y3 – 5x3y2 + 20x2y
5x2y
Ejemplo 14.
2a2 – 5a + 3
a–1
Ejemplo 15.
12a2 + 25ab + 12b2
4a + 3b
Ejemplo 16.
=
3z2 + 4z
5
3x + 4
3a2b (3 a2b2 – 4 ab)
3a2b
=
=
2b – 1
=
=
3 a2b2 – 4 ab
3h – 5
2
5x2y ( 3x2y2 – 1xy + 4 )
5x2y
=
( a – 1 )( 2a – 3 )
a–1
=
2a4 + a3b – 4a2b2 + 6ab3 – 3b4
2a2 + 3ab – 3b2
245
3x2y2 - 1xy + 4
=
3a + 4b
2a – 3
(4a + 3b )( 3a + 4b )
4a + 3b
=
=
factorizar este cociente no es fácil.
Tenemos la opción de trabajarlo como una división de polinomios, hagámoslo:
a2 – ab + b2
2a2 + 3ab – 3b2
2a4 + a3b – 4a2b2 + 6ab3 – 3b4
– 2a4 – 3a3b + 3a2b2
0
– 2a3b – a2b2 + 6ab3
2a3b + 3a2b2 – 3ab3
0
+ 2a2b2 + 3ab3 – 3b4
– 2a2b2 – 3ab3 + 3b4
0
+ 0
+ 0
Resulta que el polinomio: 2a4 + a3b – 4a2b2 + 6ab3 – 3b4, tiene como factores al polinomio; 2a2 + 3ab
– 3b2, y al polinomio; a2 – ab + b2. Dejando 0 (cero) como residuo.
Volviendo entonces al cociente (ejemplo 16), escribimos:
2a4 + a3b – 4a2b2 + 6ab3 – 3b4
2a2 + 3ab – 3b2
y obtenemos
a2 – ab + b2
=
( 2a2 + 3ab – 3b2 ) (a2 – ab + b2 )
2a2 + 3ab – 3b2
Cancelar así, es muy fácil, ¿o no?
Ejercicios
1.
8a4 : 2a3
2.
27x5y2 : –9x3y2
3.
45c4d5e3 : –9c4d2e3
4.
–42h6k4m2 : –7h3k2m
5.
( 9b5 – 6b3 ) : 3b2
6.
( –24a6 – 16a4 ) : –4a3
7.
( 6x4y3 – 4x3y4 + 2xy5 ) : 2xy3
8.
( 12a12b6 – 8a8b4 – 4a4b2 ) : 4a4b2
9.
( 3y2 – 10xy + 3x2 ) : ( 3y – x )
10.
( 6w3 – 13w2 + 8w – 3 ) : ( 2w – 3 )
11.
( 5t3 + 23t2u + 14tu2 + 8u3 ) : ( t + 4u )
246
12.
( 2a3 + 3a2 – 5a – 6 ) : ( 2a2 – a – 3 )
13.
( 6y3 – 11y2z + 7yz2 – 6z3 ) : ( 3y2 – yz + 2z2 )
14.
( 4c4 + c3 – 4c2 + 6c – 3 ) : ( c2 + c – 1 )
15.
( 2a4 + a3b – 4a2b2 + 6ab3 – 3b4 ) : ( 2a2 + 3ab – 3b2 )
De las cuatro operaciones básicas, es la multiplicación de cocientes con polinomios la que presenta
más facilidad para su explicación, enseñanza, aprendizaje, trato y manejo, es por eso que
comenzaremos nuestra exposición con ella.
Los cocientes con polinomios obedecen las mismas reglas de operación que las de los números
racionales, ejemplifiquemos entonces la multiplicación.
Multiplicación de cocientes con polinomios. ¿Cómo se realiza en los racionales?,
a
b
de esta forma:
Ejemplo 17.
2x + 1
2x – 4
=
Ejemplo 18.
2 (4x + 2)
2 (x2 – x – 2)
a
a+b
=
4
x+1
x
x
c
d
axc
bxd
=
(2x + 1) x (4)
(2x – 4) x (x + 1)
=
=
8x + 4
2x – 2x – 4
=
2
4x + 2
x2 – x – 2
=
a+b
a–b
a x (a + b)
(a + b) x (a – b)
x
=
=
nos damos cuenta que a + b, aparecerá en el
numerador y en el denominador del producto, de
manera que hacemos lo siguiente:
a
a–b
, en lugar del camino un poco más largo,
a2 + ab
a2 – b2
=
247
=
a (a + b)
(a + b) (a – b)
=
a
a–b
3x2y4z3
5a2b3
Ejemplo 19.
10ab4
5xy6z
x
( 3x2y4z3 ) x ( 10ab4 )
(5a2b3 ) x ( 5xy6z )
=
factorizamos
4 2 4 3
=
cancelamos
3
30ab x y z
25a2b3xy6z
4
2
5ab xy z x 6bxz
5ab3xy4z x 5ay2
=
=
6bxz2
5ay2
=
Ahora nos haremos cargo de la división de cocientes con polinomios.
División de cocientes con polinomios. ¿Recordamos cómo se realiza en los racionales?
a
b
claro que sí:
Ejemplo 20.
2x + 3
2x – 4
=
2 (2x2 + x – 3)
2 (3x – 6)
4c3d4e2
3p2q4r
Ejemplo 21.
3
2x – 2
:
axd
bxc
=
(2x + 3) x (2x – 2)
(2x – 4) x (3)
=
5cd3
6p3q5r2
( 4c3d4e2 ) x ( 6p3q5r2 )
(3p2q4r) x ( 5cd3 )
=
factorizamos
3 4 2 3 5 2
=
Ejemplo 22.
2x + y
2x + 4y
=
:
el camino largo sería,
2
2x + y
4x + 2y
=
2
3cd p q r x 8c de pqr
3cd3p2q4r x 5
=
(2x + y) x (4x + 2y)
(2x + 4y) x (2x + y)
=
=
=
8c2de2pqr
5
Observamos que 2x + y, aparecerá en el
numerador y en el denominador del producto,
entonces hacemos lo siguiente:
4x + 2y
2x + 4y
(2x + y) x (4x + 2y)
(2x + 4y) x (2x + y)
=
=
2 x (2x + y)
2 x (x + 2y)
8x2 + 8xy + 2y2
4x2 + 10xy + 4y2
=
=
2x + y
x + 2y
factorizamos
cancelamos
=
(4x + 2y) (2x + y)
(2x + 4y) (2y + y)
=
cancelamos
3 2 4
24c d e p q r
15cd3p2q4r
4x2 + 2x – 6
6x – 12
=
2x2 + x – 3
3x – 6
=
:
c
d
:
=
4x + 2y
2x + 4y
248
=
2 x (2x + y)
2 x (x + 2y)
=
2x + y
x + 2y
Algo más sobre la multiplicación y la división de cocientes con polinomios.
Las proporciones se rigen por la siguiente propiedad:
como
A
C
B
D
es a
es a
, que también escribimos de esta forma:
A
B
como números racionales,
C
D
=
A : B :: C : D
AxD=BxC
, que cumplen con:
Esta propiedad nos servirá para resolver ejercicios como el siguiente:
Encontrar el polinomio que cumple con la siguiente proporción:
Ejemplo 23.
5a – 2b
4a – b
=
C
–4a + b
(5a – 2b) (–4a + b)
4a – b
(5a – 2b) (–4a + b) = (4a – b) (C)
;
= C
factorizamos
2
–20a + 13ab – 2b
4a – b
Ejemplo 24.
x–2
2x + 1
D =
=
2
(4a – b) (–5a + 2b)
4a – b
=
3x2 – 6x
D
cancelamos
–5a + 2b
=
C
=
D
(x – 2) (D) = (2x + 1) (3x2 – 6x)
;
(2x + 1) (3x2 – 6x)
(x – 2)
factorizamos
3
=
2
6x – 9x – 6x
(x – 2)
cancelamos
2
=
(x – 2) (6x + 3x)
(x – 2)
249
=
6x2 + 3x
Ejercicios
Ejercicio 1.
2x – 5y
x – 3y
=
5xy – 2x2
D
Ejercicio 2.
x2 – 4
x2 – x – 2
Ejercicio 3.
6a2b2
B
=
18a3b4
15ab2
Ejercicio 4.
A
2a b – 8ab2
Ejercicio 5.
A
2
a – b2
=
a+b
b2 – a2
Ejercicio 6.
32x2y3z4
48x5y4z5
Ejercicio 7.
x–2
3x + 4
x
5x – 2
–2x + 1
Ejercicio 8.
–3k – 2
7k – 1
x
–k + 4
–3k + 2
Ejercicio 9.
4a – b
3a – 4b
:
5b
–3a – 2b
Ejercicio 10.
7m – 2
3m + 4
:
5m + 4
–5m + 3
Ejercicio 11.
2z + 3
z–2
x
3z + 1
4z – 5
Ejercicio 12
4w – 3u
3w + 5u
x
–5w + 2u
4w – 2u
Ejercicio 13.
–2b + 2
5b – 2
:
2b – 2
–5b + 2
Ejercicio 14.
3h – 1
5h + 3
:
3h + 1
4h – 3
Ejercicio 15.
5t + 3
6t – 3
x
7t + 1
8t – 2
Ejercicio 16
x–1
3x + 2
x
2x + 3
4x + 5
Ejercicio 17.
6 – 5g
–4 + 3g
:
3g + 4
7g – 3
Ejercicio 18.
6 – 6d
5 – 1d
:
10 – 2d
5 – 5d
Ejercicio 19.
9x + 2y
7y + 5x
x
4x – 11y
7x + 6 y
Ejercicio 20.
7 – 4b
9 + 7b
:
2 + 8b
5 – 6b
=
2
Finalmente, ejercitaremos la suma y la resta de cocientes con racionales.
Suma y resta de cocientes de polinomios. Recordemos como se realiza
la suma y resta en los racionales
C
x+1
=
a
b
±
250
c
d
=
ad ± bc
bd
=
2p + 5q
p – 4q
C
3x3yz
El caso en que el denominador de cada uno de los cocientes sea igual, toma la forma:
a
b
c
b
±
ab ± bc
b2
=
b(a±c)
b2
=
a±c
b
=
Analicemos los siguientes ejemplos:
a) Cocientes con igual denominador. El mínimo común múltiplo es ese denominador.
Ejemplo 23.
–2x + 1
x–3
2a2
a+b
=
2b2
a+b
–
2 (a2 – b2)
a+b
( –2x + 1 ) + ( x + 2 )
x–3
=
–2x + 1 + x + 2
x–3
=
Ejemplo 24.
x+2
x–3
+
=
–x + 3
x–3
=
(2a2) – (2b2)
a+b
=
2 (a + b) (a – b)
a+b
=
=
=
–(x–3)
(x–3)
=
=
–1
2a2 – 2b2
a+b
2 (a – b)
=
=
2a – 2b
b) Cocientes con denominadores diferentes pero que la búsqueda del mínimo común múltiplo (MCM)
de ellos, presenta cierta facilidad:
Ejemplo 25.
1
6x
3
4c
=
1
3y
–
3x + 2y
12xy
2y + 4x – 3x – 2y
12xy
=
Ejemplo 26.
+
–
2
3d
+
9d – 8c + 2c + 6d
12cd
x
12xy
=
c + 3d
6cd
=
2y + 4x – ( 3x + 2y)
12xy
=
1
12y
=
9d – 8c + 2 ( c + 3d)
12cd
=
– 6c + 15d
12cd
=
=
3 (– 2c + 5d )
3 x 4cd
=
=
– 2c + 5d
4cd
c) Cocientes de polinomios en donde la búsqueda del mínimo común múltiplo (MCM) de ellos, es
más elaborada. He aquí algunos ejercicios:
Ejemplo 27.
x+3
2x – 1
( 2x + 3 ) ( x + 3 ) + (–2x + 1 ) ( 2x – 1 )
251
–2x + 1
+
2x + 3
(–2x + 1 ) ( 2x + 3 )
=
=
( 2x2 + 9x + 9 ) + ( –4x2 + 4x – 1 )
–4x2 – 4x + 3
=
2x2 – 13x – 8
4x2 + 4x – 3
Ejemplo 28.
4w – 1
2w – 2
=
=
Ejemplo 29.
+
2w + 3
2w + 2
=
2a + 3
–2a + 1
–
3a – 2
a–1
=
2a + 3
–2a + 1
+
=
( 2a2 + a – 3 ) + ( 6a2 – 7a + 2 )
–2a2 + 3a – 1
=
=
=
–
2w + 3
6w – 3
=
( 24w2 + 12w – 12 ) + (–6w2 – 15w – 9 )
18w2 + 9w – 9
=
+
–2w – 3
6w – 3
=
=
=
=
6w2 – w – 7
6w2 + 3w – 3
252
=
8a2 – 6a – 1
–2a2 + 3a – 1
=
4w + 4
3w + 3
–3a + 2
a–1
=
( 6w – 3 ) ( 4w + 4 ) + (3w + 3 ) (–2w – 3 )
( 3w + 3 ) ( 6w – 3 )
3 x ( 6w2 – w – 7 )
3 x ( 6w2 + 3w – 3 )
=
3w2 + 2w – 2
w2 – 1
=
( a – 1 ) ( 2a + 3 ) + (–2a + 1 ) (–3a + 2 )
(–2a + 1 ) ( a – 1 )
4w + 4
3w + 3
12w2 + 8w – 8
4w2 – 4
=
=
Ejemplo 30.
=
( 2w + 2 ) ( 4w – 1 ) + ( 2w – 2 ) ( 2w + 3 )
( 2w – 2 ) ( 2w + 2 )
( 8w2 + 6w – 2 ) + ( 4w2 + 2w – 6 )
4w2 – 4
4 ( 3w2 + 2w – 2 )
4 ( w2 – 1 )
–2x2 + 13x + 8
–4x2 – 4x + 3
=
=
18w2 – 3w – 21
18w2 + 9w – 9
=
=
Ejemplo 31.
2
xy
–
3x + 1
x2z
+
x+y
2yz4
2xz4 – 3xyz2 – 2x2yz4 + ( x3 + x2y )
2x2yz4
=
=
x3 + x2y – 2x2yz4 – 3xyz2 + 2xz4
2x2yz4
=
x2 + xy – 2xyz4 – 3yz2 + 2z4
2xyz4
=
x ( x2 + xy – 2xyz4 – 3yz2 + 2z4 )
2x2yz4
Ejercicios
1.
4a + 1
2a
+
2a – 1
2a
=
3.
3g + 2
4g
+
3g – 1
6g
=
5.
3x + 7
x–4
–
5x – 2
3x
=
7.
2a + 3b
4a – 5b
–
9.
3a
2xy
5b
2xy
+
4a – 3b
2a + 1
–
c
2xy
=
=
2.
3b – 2
–2b + 5
+
4b – 2
3x – 3
=
4.
2h – 3
–h + 2
+
5h + 1
2h – 4
=
6.
6z + 4
2z – 1
–
3z + 2
4z – 2
=
8.
3p – 1
2p + 2
–
6p + 1
4p + 4
=
10.
1
3pq
4
3pq
253
–
+
6
3pq
=
=
Bibliografía
1.
Pedro Salazar Vásquez, et al. Matemáticas II, (Colección Bachiller) Ed. Compañía Editorial
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- Bloque 2; Álgebra. Modelos
Módulos: 3. Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado
4. Desigualdades de Primer Grado
5. Ecuaciones de Segundo Grado
- Bloque 6; Geometría Analítica
Módulos: 3. La Circunferencia
7. Las Cónicas y la Ecuación General de Segundo Grado
8. Relaciones y Lugares Geométricos
8.
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254
Gobierno del Distrito Federal
Secretaría de Educación
Instituto de Educación Media Superior
Material de Apoyo al estudio
de la Modalidad Semiescolar
Matemáticas 3
Autor: Gabriel Silva Ramírez.
Corrección de estilo: René Chargoy Guajardo
México, D.F. Julio de 2009
255