1. No category

Inecuación cuadrática con una
incógnita
Dirección de Formación Básica
Inecuación cuadrática con una incógnita
Habilidades a desarrollar:
Al terminar el presente tema, usted estará en la
capacidad de:
1) Resolver inecuaciones cuadráticas con una
incógnita.
2) Modelar inecuaciones cuadráticas con una
incógnita en situaciones de contexto real.
Inecuación cuadrática con una incógnita
Problema motivador
Un peluquero tiene un promedio de 120 clientes semanales a
un costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada
incremento de 75¢ en el precio, el peluquero perderá 10
clientes. Calcule el precio máximo que puede cobrarse de
modo que los ingresos semanales no sean menores que los
actuales.
Inecuación cuadrática con una incógnita
Se llama inecuación cuadrática con una incógnita a
una expresión de cualquiera de los siguientes tipos:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0
donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales, pero con 𝑎 ≠ 0.
Inecuación cuadrática con una incógnita
¿Cómo resolver inecuaciones cuadráticas con una incógnita?
Teorema 1. Si la expresión cuadrática
𝐸 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
tiene ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0, entonces la ecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
posee dos raíces reales diferentes: 𝑟1 y 𝑟2 , con 𝑟1 < 𝑟2 .
+
Si 𝑎 > 0:
−∞
Si 𝑎 < 0:
−
−∞
+
𝑟1
+∞
𝑟2
𝑟1
−
+
−
𝑟2
+∞
Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 1 del Teorema 1. Resuelva
𝑥 2 > 25
Resolución
Paso 1. Expresarlo a la forma de la
inecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0.
En nuestro caso:
𝑥 2 > 25
entonces
𝑥 2 − 25 > 0
Paso 2. Obtenemos las raíces de la
ecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
En nuestro caso:
𝑥 2 − 25 = 0
entonces las raíces de la cuadrática son
𝑟1 = −5
𝑟2 = 5
Paso 3. Ubicamos las raíces de la
cuadrática en la recta real.
−∞
-5
+∞
5
Paso 4. Usando el Teorema 1 y
seleccionando la solución.
La expresión cuadrática es
E = 𝑥 2 − 25,
con ello:
−
+
−∞
-5
+
5
Ahora bien, como 𝑥 2 − 25 > 0
se concluye que
𝐶. 𝑆 = −∞; −5 ∪ 5; +∞
+∞
Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 2 del Teorema 1. Resuelva
3𝑥 2 ≤ 2𝑥
Resolución
Paso 1. Expresarlo a la forma de la
inecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0.
En nuestro caso:
3𝑥 2 ≤ 2𝑥
entonces
3𝑥 2 − 2𝑥 ≤ 0
Paso 2. Obtenemos las raíces de la
ecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
En nuestro caso:
3𝑥 2 − 2𝑥 = 0
entonces las raíces de la cuadrática son
2
𝑟1 = 0
𝑟2 =
3
Paso 3. Ubicamos las raíces de la
cuadrática en la recta real.
−∞
0
+∞
2/3
Paso 4. Usando el Teorema 1 y
seleccionando la solución.
La expresión cuadrática es
E = 3𝑥 2 − 2𝑥,
con ello:
−
+
−∞
0
+
2/3
Ahora bien, como 3𝑥 2 − 2𝑥 ≤ 0
se concluye que
2
𝐶. 𝑆 = 0;
3
+∞
Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 3 del Teorema 1. Resuelva
2𝑥 2 − 1 ≥ 𝑥
Resolución
Paso 1. Expresarlo a la forma de la
inecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0.
En nuestro caso:
2𝑥 2 − 1 ≥ 𝑥
entonces
2𝑥 2 − 𝑥 − 1 ≥ 0
Paso 2. Obtenemos las raíces de la
ecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
En nuestro caso:
2𝑥 2 − 𝑥 − 1 = 0
entonces las raíces de la cuadrática son
1
𝑟1 = −
𝑟2 = 1
2
Paso 3. Ubicamos las raíces de la
cuadrática en la recta real.
−∞
-1/2
+∞
1
Paso 4. Usando el Teorema 1 y
seleccionando la solución.
La expresión cuadrática es
E = 2𝑥 2 − 𝑥 − 1,
con ello:
−
+
−∞
-1/2
+
1
+∞
Ahora bien, como 2𝑥 2 − 𝑥 − 1 ≥ 0
se concluye que
𝐶. 𝑆 = −∞; −1/2 ∪ 1; +∞
Inecuación cuadrática con una incógnita
Teorema 2. Si la expresión cuadrática
𝐸 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
tiene ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0, entonces la ecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
tiene multiplicidad de raíces, es decir 𝑟1 = 𝑟2 .
+
Si 𝑎 > 0:
−∞
+
𝑟1
−
Si 𝑎 < 0:
−∞
+∞
−
𝑟1
+∞
Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 1 del Teorema 2. Resuelva
𝑥 2 − 4𝑥 ≥ −4
Resolución
Paso 1. Expresarlo a la forma de la
inecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0.
En nuestro caso:
𝑥 2 − 4𝑥 ≥ −4
entonces
𝑥 2 − 4𝑥 + 4 ≥ 0
Paso 2. Obtenemos las raíces de la
ecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
En nuestro caso:
𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 0
entonces las raíces de la cuadrática son
𝑟1 = 2
𝑟2 = 2
Paso 3. Ubicamos la raíz de la
cuadrática en la recta real.
−∞
+∞
2
Paso 4. Usando el Teorema 2 y
seleccionando la solución.
La expresión cuadrática es
E = 𝑥 2 − 4𝑥 + 4,
con ello:
+
−∞
+
2
+∞
Ahora bien, como 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 ≥ 0
se concluye que
𝐶. 𝑆 = −∞; +∞
Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 2 del Teorema 2. Resuelva
4𝑥 2 + 12𝑥 > −9
Resolución
Paso 3. Ubicamos la raíz de la
Paso 1. Expresarlo a la forma de la
cuadrática en la recta real.
inecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0.
En nuestro caso:
4𝑥 2 + 12𝑥 > −9
entonces
4𝑥 2 + 12𝑥 + 9 > 0
Paso 2. Obtenemos las raíces de la
ecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
En nuestro caso:
4𝑥 2 + 12𝑥 + 9 = 0
entonces las raíces de la cuadrática son
3
3
𝑟1 = −
𝑟2 = −
2
2
−∞
+∞
-3/2
Paso 4. Usando el Teorema 2 y
seleccionando la solución.
La expresión cuadrática es
E = 4𝑥 2 + 12𝑥 + 9,
con ello:
+
−∞
+
-3/2
+∞
Ahora bien, como 4𝑥 2 + 12𝑥 + 9 > 0
se concluye que
𝐶. 𝑆 = −∞; +∞ − −3/2
Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 3 del Teorema 2. Resuelva
9𝑥 2 ≤ 6𝑥 − 1
Resolución
Paso 1. Expresarlo a la forma de la
inecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0.
En nuestro caso:
9𝑥 2 ≤ 6𝑥 − 1
entonces
9𝑥 2 − 6𝑥 + 1 ≤ 0
Paso 2. Obtenemos las raíces de la
ecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
En nuestro caso:
9𝑥 2 − 6𝑥 + 1 = 0
entonces las raíces de la cuadrática son
1
1
𝑟1 =
𝑟2 =
3
3
Paso 3. Ubicamos la raíz de la
cuadrática en la recta real.
−∞
+∞
1/3
Paso 4. Usando el Teorema 2 y
seleccionando la solución.
La expresión cuadrática es
E = 9𝑥 2 − 6𝑥 + 1,
con ello:
+
−∞
+
1/3
+∞
Ahora bien, como 9𝑥 2 − 6𝑥 + 1 ≤ 0
se concluye que
𝐶. 𝑆 = 1/3
Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 4 del Teorema 2. Resuelva
𝑥 2 + 1 < −2𝑥
Resolución
Paso 1. Expresarlo a la forma de la
inecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0.
En nuestro caso:
𝑥 2 + 1 < −2𝑥
entonces
𝑥 2 + 2𝑥 + 1 < 0
Paso 2. Obtenemos las raíces de la
ecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
En nuestro caso:
𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 0
entonces las raíces de la cuadrática son
𝑟1 = −1
𝑟2 = −1
Paso 3. Ubicamos la raíz de la
cuadrática en la recta real.
−∞
−1
+∞
Paso 4. Usando el Teorema 2 y
seleccionando la solución.
La expresión cuadrática es
E = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1,
con ello:
+
−∞
+
−1
+∞
Ahora bien, como𝑥 2 + 2𝑥 + 1 < 0
se concluye que
𝐶. 𝑆 = 𝜙
Inecuación cuadrática con una incógnita
Teorema 3. Si la expresión cuadrática 𝐸 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 tiene
∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0, entonces la ecuación cuadrática no tiene
una sola raíz real, por tanto:
 Si 𝑎 > 0 y 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 entonces 𝐶𝑆 = ℝ
 Si 𝑎 > 0 y 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 entonces 𝐶𝑆 = 𝜙
Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 1 del Teorema 3. Resuelva
3𝑥 2 + 𝑥 < −7
Resolución
Paso 1. Expresarlo a la forma de la
inecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0.
En nuestro caso:
3𝑥 2 + 𝑥 < −7
entonces
3𝑥 2 + 𝑥 + 7 < 0
Paso 2. Obtenemos las raíces de la
ecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
En nuestro caso:
3𝑥 2 + 𝑥 + 7 = 0
no tiene raíces reales, ya que
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0
Paso 3. Concluyendo
Como ∆< 0 y además se tiene que 𝑎 >
0 y 3𝑥 2 + 𝑥 + 7 < 0, entonces
𝐶. 𝑆 = 𝜙
Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 2 del Teorema 3. Resuelva
𝑥 2 − 2𝑥 > −5
Resolución
Paso 1. Expresarlo a la forma de la
inecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0.
En nuestro caso:
𝑥 2 − 2𝑥 > −5
entonces
𝑥 2 − 2𝑥 + 5 > 0
Paso 2. Obtenemos las raíces de la
ecuación cuadrática
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
En nuestro caso:
𝑥 2 − 2𝑥 + 5 = 0
no tiene raíces reales, ya que
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0
Paso 3. Concluyendo.
Como ∆< 0 y además se tiene que 𝑎 >
0 y 𝑥 2 − 2𝑥 + 5 > 0, entonces
𝐶. 𝑆 = ℝ
Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 1. Si 𝑥 árboles producen (80 – 𝑥) frutos cada uno. Calcule cuántos
árboles habrán de plantarse para que la próxima cosecha supere los 1 500
frutos.
Resolución
La cosecha 𝐶 se define como
Árboles
Frutos de
𝐶 =
∙
plantados
cada árbol
Con ello
𝐶 = (𝑥)(80 − 𝑥)
𝐶 = 80𝑥 − 𝑥 2
Piden hallar 𝑥 de tal manera que la
cosecha supere los 1500 frutos, es
decir
𝐶 > 1500
80𝑥 − 𝑥 2 > 1500
Escribiendo la inecuación cuadrática
−𝑥 2 + 80𝑥 − 1500 > 0
𝑥 2 − 80𝑥 + 1500 < 0
Las raíces de la cuadrática son:
𝑥1 = 30
𝑥2 = 50
Ubicando las raíces en la recta real:
−
+
−∞
30
+
50
+∞
Concluiremos que: se deben de plantar
entre 31 a 49 árboles.
Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 2. Si el precio 𝑝 (en dólares) de cierto artículo depende de la cantidad
demanda 𝑞 y está dada por 𝑝 = 150 − 3𝑞. Obtenga las unidades que deben
demandarse para obtener ingresos de al menos $1800.
Resolución
Recuerde que el ingreso 𝐼 se define
como
Precio unitario
Cantidades
𝐼=
∙
de ventas
vendidas
Con ello
𝐼 = (𝑝)(𝑞)
𝐼 = 150 − 3𝑞 𝑞
𝐼 = 150𝑞 − 3𝑞 2
Piden hallar 𝑞 de tal manera que el
ingreso sea de al menos $1800 frutos,
es decir
𝐼 ≥ 1800
150𝑞 − 3𝑞 2 ≥ 1800
Escribiendo la inecuación cuadrática
−3𝑞 2 + 150𝑞 − 1800 ≥ 0
𝑞 2 − 50𝑞 + 600 ≤ 0
Las raíces de la cuadrática son:
𝑥1 = 20
𝑥2 = 30
Ubicando las raíces en la recta real:
−
+
−∞
20
+
30
+∞
Concluiremos que: se deben de vender
de 20 a 30 artículos.
Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 3. El costo de producir 𝑥 lámparas está dada por
𝐶 = 200 + 80𝑥 + 𝑥 2 .
Si éstas se pueden vender a S/.160. Calcule la cantidad de lámparas que se
deben de producir y vender para obtener utilidades semanales de al menos
S/.1000.
𝑈 ≥ 1000
Resolución
2
−𝑥
+ 80𝑥 − 200 ≥ 1000
Sea 𝑥 las lámparas producidas y
Escribiendo la inecuación cuadrática
vendidas.
2 + 80𝑥 − 1200 ≥ 0
−𝑥
El ingreso 𝐼 estará dada por
2 − 80𝑥 + 1200 ≤ 0
𝑥
𝐼 = 160𝑥
Las raíces de la cuadrática son:
Con ello, la utilidad 𝑈 es
𝑥1 = 20
𝑥2 = 60
𝑈 =𝐼−𝐶
Ubicando las raíces en la recta real:
𝑈 = 160𝑥 − (200 + 80𝑥 + 𝑥 2 )
+
+
−
𝑈 = −𝑥 2 + 80𝑥 − 200
20
60
−∞
+∞
Piden hallar 𝑥 de tal manera que la
Utilidad sea del menos S/. 1 000, es
Concluiremos que: se deben de vender
decir:
de 20 a 60 lámparas.
Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 4. Un vendedor de periódicos atiende en promedio a 120 clientes a la
semana, cobrándoles 4 soles por el servicio a domicilio. Por cada incremento de
0,5 soles en el precio, el vendedor pierde 8 clientes. Calcule el precio máximo que
deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos 520 soles.
Resolución
Sea 𝑥 la cantidad de veces que se
Escribiendo la inecuación cuadrática
incremento el precio en S/.0,5,
−4𝑥 2 + 28𝑥 − 40 ≥ 0
entonces el ingreso por la ventas de
𝑥 2 − 7𝑥 + 10 ≤ 0
periódicos es
Las raíces de la cuadrática son:
𝑥1 = 2
𝑥2 = 5
𝐼 = (𝑝)(𝑞)
𝐼 = (4 + 0,5𝑥)(120 − 8𝑥)
Ubicando las raíces en la recta real:
𝐼 = −4𝑥 2 + 28𝑥 + 480
+
+
−
Vamos a hallar los valores de 𝑥 de tal
2
5
−∞
+∞
manera que el ingreso sea de al menos
S/.520, es decir
Es decir: 2 ≤ 𝑥 ≤ 5
𝐼 ≥ 520
Ahora bien, el precio máximo que
−4𝑥 2 + 28𝑥 + 480 ≥ 520
deberá fijar es: 𝑝 = 4 + 0,5 5 = 6,5
nuevos soles.
Inecuación cuadrática con una incógnita
Conclusiones
1) Para resolver una inecuación cuadrática, primero se tiene que llevar
a una de las formas conocidas.
2) Debemos de mantener al número que multiplica al 𝑥 2 con signo
positivo.
3) Se deben de hallar las raíces reales de la ecuación cuadrática y
posteriormente usar el teorema 1 o 2, dependiente de las raíces
encontradas. Si no hay raíces reales, usar el teorema 3.
4) Concluir adecuadamente.
Inecuación cuadrática con una incógnita
Bibliografía
• [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración.
Ed 5. México, D.F. Pearson.
• [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y
Economía. Ed 12. Pearson Educación.