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EL VALOR DEL DINERO
EN EL TIEMPO
Objetivos de aprendizaje
• Analizar el papel del valor del tiempo en las finanzas.
• Entender los conceptos de valor futuro y valor presente, su
cálculo para montos únicos y la relación entre ellos.
• Calcular el valor futuro y el valor presente tanto de una
anualidad ordinaria como de una anualidad anticipada, y
calcular el valor presente de una perpetuidad.
Objetivos de aprendizaje (cont.)
• Calcular tanto el valor futuro como el valor presente de un
ingreso mixto de flujos de efectivo.
• Comprender el efecto que produce la capitalización de los
intereses, con una frecuencia mayor que la anual, sobre el valor
futuro y sobre la tasa de interés efectiva anual.
• Describir los procedimientos implicados en: 1. la determinación
de los depósitos necesarios para acumular una suma futura, 2. la
amortización de préstamos, 3. el cálculo de tasas de interés o
crecimiento, y 4. el cálculo de un número desconocido de
periodos.
El papel del valor del tiempo en las
finanzas
• La mayoría de las decisiones financieras implican
costos y beneficios que se extienden a lo largo del
tiempo.
• El valor del dinero en el tiempo permite comparar
flujos de efectivo de diversos periodos.
• Pregunta: Suponga que su padre le ofrece entregarle
una cantidad de dinero y le da a elegir una de las
siguientes dos opciones:
• recibir $1,000 hoy, o
• recibir $1,100 en un año a partir de hoy.
¿Qué elegiría usted?
El papel del valor del tiempo en las
finanzas (cont.)
• La respuesta dependerá de la tasa de interés que pueda obtener
sobre cualquier cantidad que reciba el día de hoy.
• Por ejemplo, si pudiera depositar los $1,000 hoy al 12% anual,
usted preferiría recibir el dinero hoy.
• Por otra parte, si pudiera recibir solamente el 5% sobre los
fondos depositados, le convendría más aceptar los $1,100 en un
año.
Valor futuro frente a valor presente
• Suponga que una empresa tiene ahora la oportunidad de gastar
$15,000 en alguna inversión que le generará $17,000
distribuidos durante los siguientes 5 años, como se indica a
continuación:
• ¿Es esto una buena inversión?
• Para tomar la decisión correcta de inversión, los gerentes
necesitan comparar los flujos de efectivo en el mismo momento
en el tiempo
Figura 5.1
Línea de tiempo
Figura 5.2
Capitalización y descuento
Figura 5.3
Teclas de la calculadora
Valor futuro de un monto único
• Valor futuro es el valor en una fecha futura específica de un
monto colocado en depósito el día de hoy y que gana un interés
a una tasa determinada. Se calcula aplicando un interés
compuesto durante un periodo específico.
• Interés compuesto es el interés ganado en un depósito
específico y que se vuelve parte del principal al final de un
periodo determinado.
• Principal es el monto de dinero sobre el que se pagan intereses.
Ejemplo de finanzas personales
• Si Fred Moreno deposita $100 en una cuenta de ahorros que
paga el 8% de interés compuesto anualmente, ¿cuánto dinero
tendrá al cabo de un año?
• Si Fred mantuviera este dinero en la cuenta durante otro año,
¿cuánto dinero tendría el cabo del segundo año?
Valor futuro de un monto único:
Ecuación para calcular el valor futuro
• Usamos la siguiente notación para las diferentes entradas:
• VFn = valor futuro al final del periodo n
• VP = valor presente o capital inicial
• i = tasa anual de interés pagada. (Nota: En las calculadoras financieras,
normalmente se usa I para identificar esta tasa).
• n = número de periodos (generalmente años) que el dinero se mantiene en
depósito
• La ecuación general para el valor futuro al final del periodo n es
Valor futuro de un monto único:
Ecuación para calcular el valor futuro
• Jane Farber deposita $800 en una cuenta de ahorros que paga el
6% de interés compuesto anual. Desea saber cuánto dinero
tendrá en la cuenta al término de 5 años.
VF5
= $800  (1 + 0.06)5 = $800  (1.33823) = $1,070.58
• Este análisis se representa en una línea de tiempo de la siguiente
manera:
Valor presente de un monto único
• Valor presente es el valor actual en dólares de un monto futuro;
es decir, la cantidad de dinero que debería invertirse hoy a una
tasa de interés determinada, durante un periodo específico, para
igualar el monto futuro.
• Se basa en la idea de que un dólar hoy vale más que un dólar
mañana.
• Descuento de flujos de efectivo es el proceso para calcular los
valores presentes; es lo contrario de la capitalización de
intereses.
• La tasa de rendimiento o de retorno anual recibe diversos
nombres, como tasa de descuento, rendimiento requerido, costo
de capital y costo de oportunidad.
Ejemplo de finanzas personales
• Paul Shorter tiene la oportunidad de recibir $300
dentro de un año a partir de hoy. Si puede ganar el 6%
sobre sus inversiones, ¿cuánto es lo máximo que
debería pagar ahora por esa oportunidad?
VP
 (1 + 0.06) = $300
VP
= $300/(1 + 0.06) = $283.02
Valor presente de un monto único:
Ecuación para calcular el valor presente
• El valor presente, VP, de cierto monto futuro, VFn, que se recibirá
en n periodos a partir de ahora, suponiendo una tasa de interés
(o costo de oportunidad) de i, se calcula de la siguiente manera:
Valor presente de un monto único:
Ecuación para calcular el valor presente
• Pam Valenti desea calcular el valor presente de $1,700
que recibirá dentro de 8 años. El costo de oportunidad
de Pam es del 8%.
VP
= $1,700/(1 + 0.08)8 = $1,700/1.85093 = $918.46
• La siguiente línea de tiempo muestra este análisis:
Anualidades
Anualidad es un conjunto de flujos de efectivo
periódicos e iguales durante un lapso determinado.
Estos flujos de efectivo pueden ser entradas de
rendimientos obtenidos por inversiones o salidas de
fondos invertidos para obtener rendimientos futuros.
• Anualidad ordinaria (o diferida) es una anualidad en la que
el flujo de efectivo ocurre al final de cada periodo.
• Anualidad anticipada es aquella en la que el flujo de
efectivo ocurre al inicio de cada periodo.
• Una anualidad anticipada siempre será mayor que una
anualidad ordinaria equivalente, ya que el interés se
capitalizará un periodo adicional.
Ejemplo de finanzas personales
• Fran Abrams está tratando de decidir cuál de dos
anualidades recibir. Ambas son anualidades de $1,000
durante 5 años; la anualidad A es una anualidad
ordinaria, y la anualidad B es anticipada. Fran elaboró
una lista de los flujos de efectivo, la cual se presenta
en la tabla 5.1. de la siguiente diapositiva.
Note que la cantidad de ambas anualidades es $5,000.
Tabla 5.1 Comparación de los flujos de efectivo entre
una anualidad ordinaria y una anualidad anticipada
($1,000, 5 años)
Cálculo del valor futuro de una anualidad
ordinaria
• Usted puede calcular el valor futuro de una anualidad
ordinaria que paga un flujo de efectivo anual FE,
usando la siguiente ecuación:
• Como antes, i en esta ecuación representa la tasa de
interés, y n representa el número de pagos en la
anualidad (o, de manera equivalente, el número de
años que dura la anualidad).
Ejemplo de finanzas personales
• Fran Abrams desea determinar cuánto dinero tendrá al cabo de 5
años si elige la anualidad A, la anualidad ordinaria que paga el
7% de interés anual. La anualidad A se ilustra gráficamente a
continuación:
• La situación se representa en la siguiente línea de tiempo:
Cálculo del valor presente de una
anualidad ordinaria
• Usted puede calcular el valor presente de una anualidad
ordinaria que paga un flujo de efectivo anual
siguiente ecuación:
FE,
usando la
• Como antes, i en esta ecuación representa la tasa de interés, y n
representa el número de pagos en la anualidad (o, de manera
equivalente, el número de años que dura la anualidad).
Cálculo del valor presente de una
anualidad ordinaria (cont.)
• Braden Company, una pequeña empresa fabricante de juguetes de plástico,
desea determinar el monto máximo que debería pagar para obtener una
anualidad ordinaria determinada. La anualidad consiste en flujos de efectivo
de $700 al final de cada año durante cinco años. La empresa requiere que la
anualidad brinde un rendimiento mínimo del 8%.
• La situación se representa en la siguiente línea de tiempo:
Cálculo del valor futuro de una anualidad
anticipada
• La ecuación para calcular el valor futuro de una anualidad
anticipada que hace pagos anuales de
siguiente ecuación:
FE
por n años es la
• Como antes, i en esta ecuación representa la tasa de interés,
y n representa el número de pagos en la anualidad (o, de
manera equivalente, el número de años que dura la
anualidad).
Obtención del valor presente de una anualidad
anticipada
• El valor presente de una anualidad ordinaria que paga un flujo
anual FE se calcula utilizando la siguiente ecuación:
• Como antes, i en esta ecuación representa la tasa de interés, y n
representa el número de pagos en la anualidad (o, de manera
equivalente, el número de años que dura la anualidad).
Cálculo del valor presente de una perpetuidad
• Una perpetuidad es una anualidad con una vida infinita que
garantiza un flujo de efectivo anual continuo.
• Si una perpetuidad paga un flujo de efectivo anual de FE,
iniciando dentro de un año a partir de ahora, el valor presente
del conjunto de los flujos de efectivo es
Ejemplo de finanzas personales
• Ross Clark desea fundar una cátedra de finanzas en su
universidad. La institución le indicó que requiere de $200,000
anuales para mantener la cátedra; la donación ganaría el 10%
anual. Si queremos determinar el monto que Ross debe donar a
la universidad para fundar la cátedra, debemos calcular el valor
presente de una perpetuidad de $200,000 descontada al 10%.
VP
= $200,000 ÷ 0.10 = $2,000,000
Valor futuro de un ingreso mixto
Shrell Industries, un fabricante de armarios, espera recibir los
siguientes flujos de efectivo de ingresos mixtos, durante los
próximos 5 años, de uno de sus clientes menores.
Valor futuro de un ingreso mixto
Si Shrell espera ganar el 8% sobre sus inversiones, ¿cuánto
acumulará al término de 5 años si invierte esos flujos de efectivo
tan pronto como los recibe?
La situación se representa en la siguiente línea de tiempo:
Valor presente de un ingreso mixto
• Frey Company, una fábrica de calzado, tiene la oportunidad de
recibir el siguiente ingreso mixto de flujos de efectivo durante
los próximos 5 años:
Valor presente de un ingreso mixto (cont.)
Si la empresa debe ganar por lo menos el 9% sobre sus
inversiones, ¿cuánto es lo máximo que debería pagar por esa
oportunidad?
La situación se representa en la siguiente línea de tiempo:
Capitalización de intereses con una frecuencia mayor
que la anual
• Capitalizar con una frecuencia mayor que la anual da
como resultado una tasa de interés efectiva más
elevada, ya que se está ganando interés sobre los
intereses también con mayor frecuencia.
• Como resultado, la tasa de interés efectiva es mayor
que la tasa de interés nominal (anual).
• Además, la tasa de interés efectiva aumentará cuanto
mayor sea la frecuencia de capitalización del interés.
Tabla 5.3 Valor futuro de una inversión de $100 al 8% de interés
capitalizado semestralmente durante 24 meses (2 años)
Tabla 5.4
Valor futuro de una inversión de $100 al 8% de interés capitalizado
trimestralmente durante 24 meses (2 años)
Tabla 5.5 Valor futuro de los años 1 y 2 de una inversión de $100
al 8% de interés, con diversos periodos de capitalización
Capitalización de intereses con
frecuencia mayor que la anual (cont.)
una
• Una ecuación general para capitalizar con mayor frecuencia que
la anual es:
• Recalcule el ejemplo para Fred Moreno suponiendo: 1. la
capitalización semestral y 2. la capitalización trimestral.
Capitalización continua
• La capitalización continua implica la capitalización del interés
un número infinito de veces al año a intervalos de
microsegundos.
• Una ecuación general para la capitalización continua es:
donde e es la función exponencial.
Ejemplo de finanzas personales
• Calcule el valor al término de 2 años (n = 2) del depósito de
$100 de Fred Moreno (VP = $100) en una cuenta que paga el 8%
de interés anual (i = 0.08) capitalizable continuamente.
VF2
(capitalización continua)
= $100  e0.08  2
= $100  2.71830.16
= $100  1.1735 = $117.35
Tasas nominales y efectivas de interés
anual
• La tasa nominal anual (establecida) es la tasa de interés anual
contractual que cobra un prestamista o que promete pagar un
prestatario.
• La tasa efectiva anual (verdadera) (TEA) es la tasa de interés
anual pagada o ganada en realidad.
• En general, la tasa efectiva es mayor que la tasa nominal
siempre que ocurre la capitalización más de una vez al año
Ejemplo de finanzas personales
• Fred Moreno desea calcular la tasa efectiva anual relacionada
con una tasa nominal anual del 8% (r = 0.08) cuando el interés
se capitaliza: 1. anualmente (m = 1); 2. semestralmente (m = 2);
y 3. trimestralmente (m = 4).
Aplicaciones especiales del valor del dinero en el tiempo:
Depósitos necesarios para acumular una suma futura
• La siguiente ecuación calcula el pago anual (FE) que tendríamos
que ahorrar para lograr un valor futuro (FVn):
• Suponga que usted desea adquirir una casa en 5 años, y calcula
que en ese momento requerirá dar un enganche de $30,000.
Para acumular $30,000, deberá hacer depósitos anuales iguales
al final de cada año en una cuenta que pague un interés anual de
6%.
• FE
Aplicaciones especiales del valor del dinero en el
tiempo: Amortización de préstamos
• Amortización del préstamo es la determinación de los pagos
iguales y periódicos que son necesarios para brindar a un
prestamista un rendimiento de interés específico y para
reembolsar el principal del préstamo en un periodo
determinado.
• El proceso de amortización del préstamo implica efectuar el
cálculo de los pagos futuros durante el plazo del préstamo, cuyo
valor presente a la tasa de interés estipulada equivale al monto
del capital inicial prestado.
• El programa de amortización del préstamo es el programa de
pagos iguales para reembolsar un préstamo. Muestra la
distribución de cada pago del préstamo al interés y al principal.
Aplicaciones especiales del valor del dinero en el
tiempo: Amortización de préstamos (cont.)
• La siguiente ecuación calcula los pagos periódicos iguales del préstamo (FC)
necesarios para pagar al prestamista un rendimiento específico y reembolsar
el principal del préstamo (VP) en un periodo específico:
• Suponga que pide prestados $6,000 al 10% y acuerda realizar pagos anuales
iguales a fin de año, durante 4 años. Para calcular el monto de los pagos, el
prestamista determina el monto de una anualidad de 4 años descontada al
10% que tiene un valor presente de $6,000.
• FC
Tabla 5.6 Programa de amortización del préstamo ($6,000 de
principal, 10% de interés, periodo de reembolso de 4 años)
Aplicaciones especiales del valor del dinero en el tiempo: Cálculo
de las tasas de interés o de crecimiento
• Con frecuencia es necesario calcular el interés anual compuesto
o la tasa de crecimiento (es decir, la tasa anual de cambio de los
valores) de una serie de flujos de efectivo.
• La siguiente ecuación nos servirá para obtener la tasa de interés
(o tasa de crecimiento) que representa el incremento del valor
de algunas inversiones entre dos periodos.
Ejemplo de finanzas personales
• Ray Noble realizó una inversión de $1,250 hace 4 años. Ahora
tiene $1,520. ¿Qué tasa de interés anual compuesto de
rendimiento ganó Ray con esta inversión? Al introducir los
valores adecuados en la ecuación 5.20, tenemos:
i = ($1,520 ÷ $1,250)(1/4) – 1 = 0.0501 = 5.01% anual
Aplicaciones especiales del valor del dinero en el tiempo: Cálculo
de un número desconocido de periodos
• En ocasiones, es necesario calcular el número de periodos que
se requieren para generar un monto determinado de flujo de
efectivo a partir de un monto inicial.
• El caso más sencillo es cuando una persona desea determinar el
número de periodos, n, que se requerirán para que un depósito
inicial, VP, crezca hasta convertirse en un monto específico en el
futuro, VFn, con una tasa de interés establecida, i.