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MATEMÁTICAS FINANCIERAS
PARA AVALUADORES
Por Jorge Iván Duque Botero
Economista
Avaluador
VALOR PRESENTE: Es el valor actual de una cantidad futura a una
tasa de interés compuesta.
Interés simple:
𝐕𝐏 =
Interés compuesto: 𝐕𝐏 =
𝐕𝐅
(𝟏+𝐢𝐧)
𝑽𝑭
𝟏+𝒊
𝒏
En donde:
VP: Valor presente o valor actual.
VF: Valor futuro
i: Tasa de interés
n: Número de períodos
Ejemplo:
El señor Rodríguez requiere $3.000.000 para el mes de abril de 2014 para la matrícula de su hijo
en la universidad; Bancolombia le ofrece una tasa de 1,54% mensual efectivo en una cuenta de
ahorros. Cuanto tiene que depositar hoy, para lograr su objetivo?
Ejercicio propuesto:
Un inversionista inicialmente decide recibir
$500.000.000 por la venta de su inmueble pagaderos
18 meses después de la venta de su propiedad. El día
de hoy tiene 2 ofertas: La del señor A, que ofrece
pagarle un valor equivalente a una tasa del 2%
mensual y la del señor B con una tasa del 3%
mensual. ¿Cuál es la mejor alternativa?
Rtas: Propuesta del señor A $350.079.687,48
Propuesta del señor B $293.697.303,81
Valor Futuro: Es la cantidad de dinero que alcanzará una inversión en alguna
fecha futura al ganar intereses a alguna tasa compuesta.
Interés simple:
VF= VP(1+in)
Interés compuesto:
VF= VP(1+i)n
En donde:
VF: Valor futuro.
VP: Valor presente.
i: Tasa de interés.
n: Número de períodos.
Ejemplo:
Hallar el valor futuro de $15.000.000, invertidos a una
tasa del 4,5% trimestral al cabo de 3 años.
Ejercicio propuesto:
El señor Morales está vendiendo su casa y tiene las siguientes
propuestas:
a) La de un cliente que lo contactó por internet y le ofrece
$120.000.000 de contado.
b) La de un familiar que ofrece pagarle dentro de un año
$141.000.000.
c) La de un amigo que le ofrece pagarle hoy $80.000.000 y
dentro de 6 meses $41.000.000.
El Banco de Bogotá le ofrece una tasa de captación de 1,5% en
un producto financiero. ¿Cuál es la oferta que más le conviene?
Rtas: a) $143.474.180,57
b) $141.000.000
c) $140.480.627,53
EQUIVALENCIA ENTRE TASAS DE INTERÉS
EFECTIVA A EFECTIVA:
Donde
ip1= (1+ip2)p1/p2 -1
p1: periodicidad a encontrar
p2: periodicidad dada
Ejemplos:
a) ¿Qué tasa mensual es equivalente a una tasa del 40% efectiva anual?
im=((1+0,4)1/12)-1
im= 2,84% tasa efectiva mensual
b) ¿Qué tasa trimestral es equivalente a una tasa del 18% efectivo anual?
it= ((1+0,18)1/4)-1
it= 4,22% tasa efectiva trimestral
c) ¿ 20% efectivo semestral equivalente a qué tasa efectiva anual?
ia= ((1+0,2)2/1) = 44% tasa efectiva anual
NOMINAL A EFECTIVA:
i=j/m para hallar el período de capitalización
Con base en el período hallado buscamos la tasa equivalente requerida
Ejemplos:
A partir de una tasa del 38% calcular la tasa efectiva anual cuando:
a) Las capitalizaciones son mensuales
im= 0,38/12
im= 3,16% efectivo mensual
ia= (1+0,0316)12/1-1 = 45,37% EA
b) Las capitalizaciones son trimestrales
it= 0,38/4
it= 9,5% efectivo trimestral
ia= (1+0,095)4/1-1= 43,77% EA
c) Las capitalizaciones son semestrales
is= 0,38/2
is= 19% efectivo semestral
ia= (1+0,19)2/1-1= 41,61% EA
EFECTIVA A NOMINAL: in= [(1+TE)1/n – 1] *12
Ejemplo: ¿Cuál es la tasa nominal equivalente de 12% efectivo anual?
in= [(1+0,12)1/12-1]*12 = {[(1,12)0,08333]-1}*12= (1,0949-1)*12= 0,1138= 11,38%
Indexación: Se refiere a la acción de registrar ordenadamente
información para elaborar su índice. Cuando se realiza un estudio de
precios y sus variaciones, generalmente, se parte de un índice base que
se hace igual a 100 y luego compararlo con índices de períodos
posteriores. Para el caso de la inflación se aplica sobre el valor
acumulado del período anterior y por lo tanto obra como interés
compuesto (sin ser interés compuesto), por lo tanto que la tasa
promedio resulta ser una tasa promedio ponderada.
Ejemplos:
a) Calcular la inflación promedio anual, si las inflaciones fueron: primer
año 20%, segundo 30% y tercero 35%
Promedio o media aritmética:
85/3= 28,33%
Promedio ponderado por medio de índices:
I0= 100
I1= 120 (100*1,2)
I2= 156 (120*1,3)
I3= 210,60 (156*1,35)
VF= VP(1+i)n
n= 3
VF= 210,60
i= ?
210,60= 100(1+i)3
3
3
210,60/100 = 1 + 𝑖
1,2817 = 1+i
i= 0,2817 = 28,17%
b) Un empleado de la empresa ETB gana actualmente
$589.500 mensualmente, y hace 4 años ganaba
$496.500. La inflación del primer año fue 1,99% la del
segundo 3,13%, la del tercero 3,67 y el cuarto 2,44%.
I0= 100
I1= 101,99 → (100*1,0199)
I2= 105,18 → (101,99*1,0313)
I3= 109,04 → (105,18*1,0367)
I4= 111,70 → (109,04*1,0244)
VF= VP(1+i)n
111,70= 100(1+i)4
4
4
111,70/100 = 1 + 𝑖
1,02805= 1+i
i= 0,02805= 2,81%
VF= VP(1+i)n
VF= $496.500(1+0,0281)4
VF= $554.703
Comparando lo que está devengando $589.500 con lo que
debería estar ganando $554.703 tiene un beneficio de
$34.797
Anualidades: Una anualidad es una serie uniforme de pagos,
depósitos o retiros, generalmente iguales, que se realizan en
períodos regulares de tiempo, con interés compuesto.
Tipos principales de anualidades:
Anualidades vencidas: cuando el pago correspondiente a un
intervalo se hace al final del mismo, por ejemplo, al final del
mes.
Anualidades anticipadadas: cuando el pago se hace al inicio
del intervalo, por ejemplo al inicio del mes.
Fórmulas para anualidades vencidas:
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖(1+𝑖)𝑛
VP=Anualidad
; Anualidad= VP
𝑛
𝑖(1+𝑖)
(1+𝑖)𝑛 −1
Log VF∗i+Anualidad −Log Anualidad
n=
Log(1+i)
;
VF=Anualidad
𝑛=
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖
;
Anualidad= VF
𝑖
(1+𝑖)𝑛 −1
𝐿𝑜𝑔 𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑−Log[𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑− 𝑉𝑃∗𝑖 )]
𝐿𝑜𝑔(1+𝑖)
Fórmulas para anualidades anticipadas:
VP= Anualidad ∗ (1 + 𝑖)
Anualidad=
𝑛=
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖(1+𝑖)𝑛
𝑉𝑃
1+
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖(1+𝑖)𝑛
𝐿𝑜𝑔 𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑−𝐿𝑜𝑔 𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑− 𝑖 𝑉𝑃−𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
𝐿𝑜𝑔(1+𝑖)
+1
Ejemplos:
Anualidades vencidas:
1. El señor Martínez deposita $120.000 cada fin de mes, una
entidad financiera que paga el 3% mensual. ¿Cuánto dinero
tendrá al final de un año?
VF=? Fórmula: VF=Anualidad
VF=120.000
(1+0,03)12 −1
0,03
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖
= $1.703.043,56
2. Un lote de terreno cuesta $20.000.000 se propone comprar
con una cuota inicial del 10% y 12 cuotas mensuales con una
tasa de interés del 2%. ¿Calcular el valor de las cuotas
(anualidad)?
Anualidad= VP
𝑖(1+𝑖)𝑛
(1+𝑖)𝑛 −1
= 18.000.000
0,02(1+0,02)12
(1+0,02)12 −1
=
$1.702.072,74
3. Cuántos depósitos mensuales vencidos de $156.325 se
deben hacer a un banco que paga el 2% mensual para tener
$1.500.000.
Log VF∗i+Anualidad −Log Anualidad
n=
Log(1+i)
Log 1.500.000∗0,02+156.325 −Log(156.325 )
=
Log(1+0,02)
=
Log 186.325 −Log(156.325 )
=
Log(1,02)
8,86 Depósitos mensuales
4. Se tiene una obligación que se había pactado pagar en 12
cuotas iguales de $450.000 mensuales anticipados. A última
hora se decide cancelar de contado. Si la tasa acordada fue
2% mensual. ¿Cuál es este valor?
VP=Anualidad∗ (1 + 𝑖)
450.000∗ (1 + 0,02)
450.000∗ (1,02)
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖(1+𝑖)𝑛
=
(1+0,02)12 −1
0,02(1+0,02)12
(1,02)12 −1
0,02(1,02)12
=
= 459.000
= 459.000*10,5753= $4.854.081,62
(1,02)12 −1
0,02(1,02)12
=
5. Se recibe un préstamo de $12.000.000 pagaderos en 12
cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si
se cobra el 3% mensual. ¿Cuál es el valor de las cuotas?
Anualidad=
𝑉𝑃
1+
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖(1+𝑖)𝑛
=
1+
12.000.000
(1+0.03)12 −1
0,03(1+0,03)12
=
12.000.000
10,9540
= $ 1.095.489,83
6. Una obligación de $2.000.000 se va a cancelar con pagos
mensuales iguales anticipados de $358.441,75. Si se cobra
una tasa de interés del 3% mensual, calcular el número de
pagos necesarios para cancelarla.
𝑛=
=
=
𝐿𝑜𝑔 𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑−𝐿𝑜𝑔 𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑− 𝑖 𝑉𝑃−𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
𝐿𝑜𝑔(1+𝑖)
+1
𝐿𝑜𝑔 358.441,75−𝐿𝑜𝑔[358.441,75−(0,03 2.000.000−358.441,75 )]
𝐿𝑜𝑔(1,03)
5,55442−5,49023
0,01284
+ 1 → n=6
TASA INTERNA DE RETORNO (TIR): Es la tasa de interés a la cual el
inversionista le presta su dinero al proyecto y es característica del
proyecto, independientemente de quien evalúe. Corresponde a aquella
tasa descuento que hace que el del valor presente neto VPN del
proyecto sea igual a cero (0).
Ejemplo: Se requieren de $20.000.000 para un proyecto . Se espera
recibir $6.000.000 durante 5 años. Calcular la TIR.