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FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS
DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
SERIE TEMA I
ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS MUESTRALES
Semestre: 2015-2
1. En la tabla se muestra la distribución de frecuencias de las medidas de resistencia a la fractura
en MPa, para barras de cerámica quemadas en un horno.
Clase
[81,83) [83,85) [85,87) [87,89) [89,91) [91,93) [93,95) [95,97) [97,99)
Frecuencia
6
7
17
30
43
28
22
13
3
a) Trazar un histograma y comentar las propiedades (medidas) más interesantes.
b) ¿Qué proporción de las observaciones son cuando menos 85? ¿Menores que 95?
c) Aproximadamente, ¿qué proporción de las mediciones fueron menores que 90?
2. Cuentan los estudiantes de un cierto curso que el profesor tiene por costumbre llegar tarde. Los
siguientes datos representan los minutos que ha llegado tarde o temprano en una muestra de
25 clases. Los números positivos representan las tardanzas y los negativos las llegadas
anticipadas.
16
12
12
0
50
20
-5
15
0
2
-40
-7
-5
3
4
10
15
-5
-5
55
12
-34
-5
0
15
Calcular la media, la moda, la mediana, el rango, la variancia y con ellos contestar las siguientes
preguntas:
a) Si los estudiantes quisieran reforzar su punto de que el profesor llega tarde, ¿qué medidas
utilizarían como evidencia?
1) mínima y mediana
2) máxima y media
3) promedio y desviación estándar
4) máxima y moda
b) Si el profesor quiere justificarse diciendo que no llega tarde, ¿qué medidas utilizaría como
evidencia?
1) mínima y mediana
2) máxima y media
3) promedio y desviación estándar
4) mínima y moda
c) Si un comité independiente quisiera presentar la evidencia más justa, ¿qué medidas utilizaría?
1) mínima y mediana
3) promedio y desviación estándar
d) La desviación estándar de esta muestra confirma:
1) las acusaciones de los estudiantes
2) la falta de puntualidad del profesor
2) máxima y media
4) rango y moda
3) la injusticia de la acusación de que el profesor llega tarde
4) la costumbre de llegar tarde del profesor
3. De la siguiente distribución de frecuencias, determinar la diferencia en el ingreso (en pesos) del
50% central de los encuestados.
Ingreso (pesos)
Hasta menos
Desde
de
12400
14300
14300
16200
16200
18100
18100
20000
20000
21900
21900
23800
23800
25700
25700
27600
f
1
3
1
6
7
3
5
1
4. Los datos que aparecen a continuación corresponden a los precios en el mercado de valores
de las acciones de Bancomer en los últimos 30 días. Completar la tabla asociada con dichos
datos.
Marcas de
clase
Frecuencias
Frecuencias
Frecuencias Frecuencias
Acumuladas
Relativas Acumuladas
relativas
0.033
8.79
0.167
8
0.500
9.18
0.200
8
5. La distribución de frecuencias relativas para la variación en la producción de petróleo crudo,
expresado en porcentaje, para una muestra de 30 países en Norteamérica, Sudamérica,
Europa y el Medio Oriente, se presenta en la siguiente tabla:
Límites
Fronteras
-45.1 - -35.0
-35.1 - -25.0
-25.1 - -15.0
-15.0 - -5.0
-5.1 - -4.9
5.0 - 14.9
15.0 - 24.9
25.0 - 34.9
35.0 - 44.9
-45.05 - -35.05
-35.05 - -25.05
-25.05 - -15.05
-15.05 - -5.05
-5.05 - -4.95
4.95 - 14.95
14.95 - 24.95
24.95 - 34.95
34.95 - 44.95
Marcas
de clase
-40.05
-30.05
-20.05
-10.05
-0.05
9.95
19.95
29.95
39.95
frecuencia
1
0
1
6
15
5
1
0
1
frecuencia
relativa
0.033
0
0.033
0.2
0.5
0.167
0.033
0
0.033
a) Calcular la media, la mediana y la moda.
b) Calcular la variancia, la desviación estándar y el coeficiente de variación.
c) Calcular el coeficiente de curtosis.
6. En el experimento aleatorio de lanzar una moneda al aire hasta que la cara superior sea sol, se
obtuvieron los siguientes datos para la variable aleatoria X, que representa el número de tiros
necesarios hasta que la cara superior sea sol
1
3
4
1
2
2
5
1
6
5
4
1
2
3
1
3
1
7
2
4
1
2
3
1
8
Con los datos presentados, obtenga la tabla de frecuencias relativas (fr), la tabla de frecuencias
relativas acumuladas y su valor esperado.
Resolución:
La tabla de frecuencias queda de la siguiente manera
x
1
2
3
4
5
6
7
8
f
8
5
4
3
2
1
1
1
fr
0.32
0.2
0.16
0.12
0.08
0.04
0.04
0.04
F
8
13
17
20
22
23
24
25
Fr
0.32
0.52
0.68
0.8
0.88
0.92
0.96
1
∑
x*fr
0.32
0.4
0.48
0.48
0.4
0.24
0.28
0.32
∑
1
=
xi f i
=
x i fri 2.92
n
=
i 1=
i 1
Con la información de la tabla el valor esperado
es X
=
7. Los diámetros en pulgadas de una muestra de 36 varillas de acero son los siguientes:
0.724
0.725
0.726
0.727
0.728
0.729
0.731
0.732
0.732
0.732
0.733
0.734
0.734
0.734
0.735
0.735
0.735
0.735
0.735
0.735
0.735
0.736
0.736
0.736
0.737
0.737
0.738
0.738
0.738
0.739
0.740
0.741
0.742
0.742
0.745
0.746
a) Hacer una tabla de distribución de frecuencias, que contenga: frecuencias, frecuencias
relativas, frecuencias acumuladas y frecuencias relativas acumuladas.
b) Dibujar las ojivas “mayor que” y “menor que” para las frecuencias acumuladas y las frecuencias
relativas acumuladas.
c) ¿Qué tipo de datos se están estudiando? Explique.
Resolución:
a) El numero de datos es n entonces n=36, entonces
en 6 clases.
36 =6.00 se recomienda que se dividan
R= 0.746-0.724=0.022, haciendo 0.022/6=0.0037 el ancho de clase se elige c=0.0040, igual para
todas las clases
Límites
Ancho
Frecuencia
Escritura
Reales
De Clase
De Clase
0.723-0.726
0.7225-0.7265
0.004
3
0.08
3
0.08
0.727-0.730
0.7265-0.7305
0.004
3
0.08
6
0.17
0.731-0.734
0.7305-0.7345
0.004
8
0.22
14
0.39
0.735-0.738
0.7345-0.7385
0.004
15
0.42
29
0.81
0.739-0.742
0.7385-0.7425
0.004
5
0.14
34
0.94
0.743-0.746
0.7425-0.7465
0.004
2
0.06
36
1.00
Total=36
total=1.0
Relativa
Acumulada
Rel. Acumulada
b) Ojivas “mayor que” y “menor que” para las frecuencias acumuladas y las frecuencias relativas
acumuladas.
8. De la ojiva mostrada a continuación, obtener su tabla de frecuencias, la media y varianza.
Ojiva
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.8
0.9
0.94
0.98
25
30
35
40
1
0.56
0.16
0
5
0.28
10
15
20
45
50
Resolución:
Tabla de frecuencias:
Frontera
inferior
5
Frontera
superior
10
Marca de
clase
7.5
Frecuencia
relativa
acumulada
0.16
Frecuencia
relativa
0.16
Frecuencia
absoluta
0.16
Frecuencia
acumulada
0.16
10
15
20
25
30
35
40
15
20
25
30
35
40
45
12.5
17.5
22.5
27.5
32.5
37.5
42.5
0.28
0.56
0.80
0.90
0.94
0.98
1.00
0.12
0.28
0.24
0.10
0.04
0.04
0.02
0.12
0.28
0.24
0.10
0.04
0.04
0.02
0.28
0.56
0.80
0.90
0.94
0.98
1.00
Media
La media aritmética no se puede obtener porque no se dispone de la colección de datos, se estimará a
través del concepto de media ponderada:
m
x = ∑ t i f i* = t1 f1* + t 2 f 2* +  + t m f m*
i =1
En donde t i es la marca de clase del intervalo i, f i * es la frecuencia relativa del intervalo i y m es el
número de intervalos o clases en la tabla de frecuencias.
Marca de
clase
Frecuencia
relativa
tifi*
7.5
0.16
1.2
12.5
0.12
1.5
17.5
0.28
4.9
22.5
0.24
5.4
27.5
0.10
2.75
32.5
0.04
1.3
37.5
0.04
1.5
42.5
0.02
0.85
Suma=
19.4
Por lo tanto la media es aproximadamente: x = 19.4
Para calcular la varianza, se usa:
Marca de
clase
Frecuencia
relativa
tifi*
7.5
0.16
1.2
9
12.5
0.12
1.5
18.75
17.5
0.28
4.9
85.75
22.5
0.24
5.4
121.5
27.5
0.1
2.75
75.63
32.5
0.04
1.3
42.25
37.5
0.04
1.5
56.25
42.5
0.02
0.85
36.13
445.25
Suma=
(
s 2 = t i2 f i* − t i f i*
)
2
19.4
= 445.25 − (19.4 ) = 68.89
2
2
ti fi*
Entonces:
s = s2 =
Desviación estándar, que es la raíz de la varianza:
68.89 = 8.3
9. Considere la siguiente tabla de distribución de frecuencias
Límites
4.5 - 9.4
9.5 -14.4
14.5 - 19.4
19.5 - 24.4
24.5 - 29.4
4
Determinar sus parámetros: media, mediana, moda, desviación estándar, sesgo.
Frecuencia
2
3
6
5
10. A partir de una muestra de la capacidad de contenedores de agua, para uso de una obra de
ingeniería, se generó el siguiente polígono de frecuencias, obtenga lo que se pide en los
siguientes incisos.
a)
b)
c)
d)
Obtenga la tabla de frecuencias completa.
Calcule la media.
Calcule la varianza
Calcule la desviación estándar
Resolución:
10
20
30
40
50
60
70
80
90
INTERVALO
FECUENCIA MARCA DE CLASE F_ACUMULADA F_RELATIVA F_REL_ACUM
≤ X < 20
121
15
121
0.0989
0.0989
≤ X < 30
165
25
286
0.1349
0.2339
≤ X < 40
184
35
470
0.1504
0.3843
≤ X < 50
173
45
643
0.1415
0.5258
≤ X < 60
142
55
785
0.1161
0.6419
≤ X < 70
120
65
905
0.0981
0.7400
≤ X < 80
118
75
1023
0.0965
0.8365
≤ X < 90
110
85
1133
0.0899
0.9264
≤ X ≤ 100
90
95
1223
0.0736
1.0000
1223
TOTAL
1
𝑘
𝑥¯ = 𝑛 ∑ 𝑓𝑘 𝑚𝑘 = 51.12
𝑘=1
𝑘
1 𝑘
𝑛 𝑗=1
∑ 𝑓𝑗 𝑚𝑗2 − ( ∑ 𝑓𝑗 𝑚𝑗 )2
𝑠 2 = 𝑗=1
𝑛−1
= 586.603