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UNIDAD 03
AULA 360
Divisibilidad en los números
naturales
1. Múltiplos y divisores de un número
2. Propiedades de múltiplos y divisores
3. Criterios de divisibilidad
4. Números primos y compuestos
5. Descomposición factorial
6. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
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DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES
AULA 360
1. Múltiplos y divisores de un número
• Un número natural a se dice que es
múltiplo del número natural b si
podemos obtener a como resultado
de multiplicar b por un número
natural k.
a=b·k
• Un número natural a se dice que es
divisor del número natural b si b es
divisible entre a, es decir, b se puede
dividir entre a y la división es exacta.
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2. Propiedades de múltiplos y divisores
Algunas de las propiedades de los múltiplos y
divisores son:
• Los múltiplos de un número son infinitos:
5 = 5, 10, 15, 20, 25, ...
• Los divisores de un número no son infinitos:
D (12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12
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2. Propiedades de múltiplos y divisores
• Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo:
a=a·1
• El cero es múltiplo de todos los números naturales:
a·0=0
• Los divisores de un número pueden formar parejas
cuyo producto es ese mismo número:
D (15) = 1, 3, 5, 15  1 · 15 = 3 · 5 = 15
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3. Criterios de divisibilidad
• Un número es divisible entre 2 si acaba en cifra
par.
• Un número es divisible entre 3 si la suma de sus
cifras es múltiplo de 3.
• Un número es divisible entre 5 si acaba en 0 o
en 5.
• Un número es divisible entre 11 si la diferencia
de la suma de las cifras que ocupan lugar impar y
la suma de las que ocupan lugar par es cero o
múltiplo de 11.
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4. Números primos y compuestos
•
Un número es primo si solo admite como divisores
a él mismo y la unidad.
Por ejemplo: 2, 3, 13, 57, ...
•
Para un número primo a solo es posible una
descomposición en factores:
a=a·1
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4. Números primos y compuestos
• Un número es compuesto si admite otros
divisores distintos de sí mismo y de la unidad.
D (18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18
• Dos números son primos entre sí cuando el
único divisor común que tienen es el uno.
D (8) = 1, 2, 4, 8, D (15) = 1, 3, 5, 15
8 y 15 son primos entre sí porque el único divisor
común es el 1.
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5. Descomposición factorial
Cualquier número se puede descomponer en el
producto de sus factores primos.
180
36
12
4
2
1
5
3
3
2
2
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180 = 22 · 32 · 5 · 1
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6. Máximo común divisor y mínimo común
múltiplo
• El máximo común divisor (m.c.d.) de varios
números es el mayor de los divisores comunes.
Si descomponemos los números en factores
primos, multiplicamos los factores comunes
elevados al menor exponente.
90 = 2· 32 · 5
m.c.d. (90, 84) = 2 · 3 = 6
84 = 22 · 3 · 7
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6. Máximo común divisor y mínimo común
múltiplo
• El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios
números es el menor de los múltiplos comunes. Si
descomponemos los números en factores primos,
se multiplican todos los factores comunes y no
comunes elevados al mayor exponente.
90 = 2· 32 · 5
m.c.m. (90,84) = 22 · 32 · 5 · 7 = 1 260
84 = 22 · 3 · 7
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