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Investigación de Operaciones
INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES (I de O)
Actualmente la administración está funcionando en
un ambiente de negocios que está sometido a
muchos más cambios:
 los ciclos de vida de los productos se hacen más
cortos,
 la nueva tecnología y
 la globalización creciente.
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (I de O)
Antecedentes:
•Surge durante la segunda Guerra Mundial, utilizadas por los
ejércitos británicos y norteamericanos
•Luego y con motivo de la revolución industrial, ha ido
teniendo cada vez más importancia dado el crecimiento y
complejidad de las nuevas organizaciones.
•Actualmente está cobrando especial importancia con el
desarrollo de la informática.
NATURALEZA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
 La investigación de operaciones se aplica
a problemas que se refieren a la
conducción
y
coordinación
de
operaciones (o actividades) dentro de una
organización.
 La investigación de operaciones intenta
encontrar una mejor solución, (llamada
solución óptima) para el problema bajo
consideración.
EL GRUPO INTERDISCIPLINARIO
 Una de las principales razones de la
existencia de grupos de investigación de
operaciones es que la mayor parte de los
problemas de negocios tienen múltiples
aspectos
 Es perfectamente razonable que las fases
individuales de un problema se comprendan
y analicen mejor por los que tienen el
adiestramiento necesario en los campos
apropiados.
¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES?
La investigación de operaciones es la aplicación,
por grupos interdisciplinarios, del método
científico a problemas relacionados con el
control de las organizaciones o sistemas, a fin de
que se produzcan soluciones que mejor sirvan a
los objetivos de la organización.
Aspectos a rescatar de la definición:
 Una organización es un sistema formado por
componentes que se interaccionan, unas de estas
interacciones pueden ser controladas y otras no.
 La complejidad de los problemas que se presentan en las
organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del
conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por
lo cual para su análisis y solución se requieren grupos
compuestos por especialistas de diferentes áreas del
conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje
común.
 La investigación de operaciones es la aplicación de la
metodología científica a través de modelos matemáticos,
primero para representar al problema y luego para
resolverlo.
Definición de la sociedad de IO de
Gran Bretaña
La investigación de operaciones es el ataque de la
ciencia moderna a los complejos problemas que surgen
en la dirección y en la administración de grandes
sistemas de hombres, máquinas, materiales y dinero, en
la industria, en los negocios, en el gobierno y en la
defensa. Su actitud diferencial consiste en desarrollar un
modelo científico del sistema tal, que incorpore
valoraciones de factores como el azar y el riesgo y
mediante el cual se predigan y comparen los resultados
de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su
propósito es el de ayudar a la gerencia a determinar
científicamente sus políticas y acciones.
Aspectos a rescatar de la definición:
1. Generalmente se asocian los conceptos de dirección y
administración a las empresas de tipo lucrativo; sin embargo,
una empresa es un concepto más amplio, se considera como
empresa desde una universidad hasta una ensambladora de
automóviles.
2. Para tratar de explicar el comportamiento de un sistema
complejo, el científico debe expresar todos los rasgos
principales del sistema por medio de relaciones matemáticas.
3. La esencia de un modelo es que debe ser predictivo; la
investigación de operaciones nos ayuda a determinar la acción
menos vulnerable ante un futuro incierto.
4. El objetivo global de la investigación de operaciones es el de
apoyar al tomador de decisiones, en cuanto ayudarlo a cumplir
con su función basado en estudios científicamente
fundamentados..
Objetivo:
Decidir mediante métodos científicos el diseño
que optimiza el funcionamiento del proceso
analizado, generalmente bajo condiciones que
implican la utilización de recursos escasos.
ENFOQUE DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
SISTEMA
REAL
VARIABLES
RELEVANTES
SISTEMA
ASUMIDO
RELACIONES
RELEVANTES
MODELO
CUANTITATIVO
MÉTODO
DE SOLUCIÓN
SOLUCIÓN AL
PROBLEMA DEL
SISTEMA REAL
SOLUCIÓN
AL MODELO
JUICIOS Y
EXPERIENCIAS
DECISIONES
INTERPRETACIÓN
METODOLOGÍA DE LA I de O
Definición del
problema
Desarrollo de un modelo
matemático y recolección de datos
Modificación del
modelo
Solución del modelo
¿Es válida la solución?
Implementación
Formulación matemática básica en un problema de I.O.
Ejemplo: Dos empresas Mineras extraen dos tipos
diferentes de minerales, los cuales son sometidos a un
proceso de trituración, con tres grados: alto , medio y bajo.
Las compañías han firmado un contrato para proveer de
mineral a una planta de fundición, cada semana, 12
toneladas de mineral de grado alto, 8 toneladas de grado
medio y 24 toneladas de grado bajo. Cada una de las
empresas tiene diferentes procesos de fabricación.
Mina Coste por día
Producción
(miles de Euros)
(toneladas/día)
Alto Medio Bajo
X
180
6
3
4
Y
160
1
1
6
¿Cuántos días a la semana debería operar cada empresa
para cumplir el contrato con la planta de fundición?
Formulación matemática básica en un problema de I.O.
Debemos buscar una solución que minimice el
coste de producción de las empresas, sujeta a
las restricciones impuestas por el proceso
productivo así como el contrato con la planta de
fundición.
Traducción del problema en términos matemáticos:
1. definir las variables de decisión o controlables
2. La función objetivo
3. las restricciones
Formulación matemática básica en un problema de I.O.
Restricciones
Variables
Representan las decisiones que
puede tomar la empresa:
Dx = número de días a la semana
que la empresa X produce
Dy= número de días a la semana
que la empresa Y produce
Notar que Dx0 y Dy0
Se recomienda primero plantear
las restricciones con palabras
antes de pasar a su formulación
matemática
Restricción 1. refleja el balance
entre las limitaciones productivas
de la fábrica y el contrato con la
plante de fundición
Grado
Objetivo
Alto
6Dx+1Dy12
Como objetivo buscamos
minimizar el costo
Medio
3Dx+1Dy8
Bajo
4Dx+6Dy24
Restricción 2. días de trabajo
disponibles a la semana
Formulación matemática básica en un problema de I.O.
La representación completa del problema tomaría la
siguiente forma:
Minimizar 180Dx+160Dy
S.a.
6Dx+1Dy12
3Dx+1Dy8
4Dx+6Dy24
Dx5, Dy5
Dx0, Dy0
Algunas reflexiones
 Hemos pasado de la definición del problema a su
formulación matemática.
 Error de especificación, el error más frecuente
consiste en descuidar las limitaciones (restricciones,
características de las variables, etc,)
En el ejemplo anterior:
a) Todas las variables son continuas (admitimos
fracciones de día)
b) Existe un único objetivo (minimizar los costes)
c) El objetivo y las restricciones son lineales
Las tres consideraciones anteriores nos llevan a lo
que denominamos un problema de Programación
Lineal PL
Algunas reflexiones
 El ejercicio anterior plantea un PROBLEMA DE DECISIÓN
 Hemos tomado una situación real y hemos construido su
equivalente matemático MODELO MATEMÁTICO
 Durante la formulación del modelo matemático nosotros
consideramos el método cuantitativo que (esperanzadamente)
nos permitirá resolver el modelo numéricamente ALGORITMO
 El algoritmo es un conjunto de instrucciones que siguiendo de
manera gradual producen una solución numérica
Llegamos a una nueva definición de I.O.
Ciencia para la representación de problemas reales
mediante modelos matemáticos que junto con métodos
cuantitativos nos permiten obtener una solución numérica a
los mismos
NORMAS PARA LOGRAR ÉXITO EN LA I de O
1. El éxito del empleo de la I de O es el de un enfoque
de solución de problemas y no una colección
asociada de métodos cuantitativos.
2. La I de O es relativamente costosa, lo que significa
que no debe emplearse en todos los problemas, sino
tan sólo en aquellos en que las ganancias sea
mayores que los costos.
3. Para llegar a hacer un uso apropiado de la I de O, es
necesario primero comprender la metodología para
resolver los problemas, así como los fundamentos de
las técnicas de solución para de esta forma saber
cuándo utilizarlas o no en las diferentes
circunstancias.
Limitaciones de la IO
1. Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del
problema original para poder manipularlo y tener una
solución.
2. La mayoría de los modelos sólo considera un solo objetivo y
frecuentemente en las organizaciones se tienen objetivos
múltiples.
3. Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las
restricciones en un problema práctico, debido a que los
métodos de enseñanza y entrenamiento dan la aplicación de
esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeños
para razones de índole práctico, por lo que se desarrolla en
los alumnos una opinión muy simplista e ingenua sobre la
aplicación de estas técnicas a problemas reales.
4. Rara vez se realizan análisis costo-beneficio de la
implantación de soluciones definidas por medio de la I de O;
en ocasiones los beneficios potenciales se ven superados
por los costos ocasionados por el desarrollo e implantación
de un modelo.
Usos y ventajas de los modelos de IO
 Los modelos matemáticos se usan para la toma de
decisiones (estratégicas y operacionales)
 Proporcionan los siguientes beneficios:
1. Un método para determinar la mejor forma de lograr un
objetivo, como asignar recursos escasos
2. Una forma de evaluar el impacto de una propuesta de
cambio sin incurrir en tiempo y costo de llevarlo a cabo
3. Una forma de evaluar la fortaleza de la solución óptima
al hacer preguntas de sensibilidad
4. Un procedimiento para lograr un objetivo que beneficie a
la organización de forma global
Introducción a la Programación lineal
El problema general es asignar recursos
limitados entre actividades competitivas de la
mejor manera posible (óptima).
Este problema incluye elegir el nivel de ciertas
actividades que compiten por recursos escasos
necesarios para realizarlas
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
 El
adjetivo
lineal
significa
que
todas
las
funciones matemáticas del modelo deber ser
funciones lineales.
 En este caso, la palabra programación no se
refiere a programación en computadoras; en
esencia es un sinónimo de planeación.
 Así, la programación lineal trata la planeación
de las actividades para obtener un resultado
óptimo.
MODELO GENERAL DE PL
Los términos clave son recursos y
actividades, en donde m denota el número
de distintos tipos de recursos que se pueden
usar y n denota el número de actividades
bajo consideración.
Z =valor de la medida global de efectividad
Xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n)
Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en
el nivel de la actividad j
bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las
actividades (para i = 1,2,...,m)
aij =cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la
actividad j
Estructura de un modelo de PL
1. Función objetivo. Consiste en optimizar el
objetivo que persigue una situación la cual es
una función lineal de las diferentes
actividades del problema, la función objetivo
se maximizar o minimiza.
2. Variables de decisión. Son las incógnitas del
problema. La definición de las variables es el
punto clave y básicamente consiste en los
niveles de todas las actividades que pueden
llevarse a cabo en el problema a formular.
Estructura de un Modelo de pl
3. Restricciones
Estructurales.
Diferentes
requisitos que debe cumplir cualquier solución
para que pueda llevarse a cabo, dichas
restricciones pueden ser de capacidad,
mercado, materia prima, calidad, balance de
materiales, etc.
4. Condición técnica. Todas las variables deben
tomar valores positivos, o en algunos casos
puede ser que algunas variables tomen valores
negativos.
Modelo general de PL
n
Optimizar Z =  c j x j
j 1
Sujeta a:
n
a x
j 1
ij j
 bi
i  1, 2,......, m
x j  0 j  1, 2,......., n
METODOLOGÍA DE LA I de O
1. Definición del problema
 Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las
restricciones sobre lo que se puede hacer, las
interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas
de la organización, los diferentes cursos de acción
posibles, los límites de tiempo para tomar una
decisión, etc.
 Este proceso de definir el problema es crucial ya
que afectará en forma significativa la relevancia de
las conclusiones del estudio.
2. Formulación de un modelo matemático
 La forma convencional en que la investigación
de operaciones realiza esto es construyendo un
modelo matemático que represente la esencia
del problema.
 Un modelo siempre debe ser menos complejo
que el problema real, es una aproximación
abstracta de la realidad con consideraciones y
simplificaciones que hacen más manejable el
problema y permiten evaluar eficientemente las
alternativas de solución.
3. Obtención de una solución a partir del
modelo.
 Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las
variables dependientes, asociadas a las componentes
controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es
posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad
del sistema dentro del marco de referencia que fijan los
kobjetivos y las restricciones del problema.
 La selección del método de solución depende de las
características del modelo. Los procedimientos de solución
pueden ser clasificados en tres tipos:
a)
b)
c)
analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática;
numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en base a
operaciones de prueba y error;
simulación, que utiliza métodos que imitan o emulan al sistema real,
en base a un modelo.
4. Prueba del modelo
Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para
intentar identificar y corregir todas las fallas que se puedan
presentar
5. Validación del modelo
 Es importante que todas las expresiones matemáticas sean
consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean.
 Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez
del modelo variando los valores de los parámetros de entrada
y/o de las variables de decisión, y comprobando que los
resultados de modelo se comporten de una manera factible.
6. Establecimiento de controles sobre la solución
 Esta fase consiste en determinar los rangos de
variación de los parámetros dentro de los cuales no
cambia la solución del problema.
 Es necesario generar información adicional sobre el
comportamiento de la solución debido a cambios en
los parámetros del modelo. Usualmente esto se
conoce como ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.
7. Implantación de la solución
El paso final se inicia con el proceso de
"vender" los hallazgos que se hicieron a lo
largo
del
proceso
a
tomadores de decisiones.
los
ejecutivos
o
Toma de Decisiones: Mezcla óptima de ventas
Ejemplo 1:
La compañía desea conocer cuantas unidades de cada
tipo de artículo debe producir en el periodo con el fin de
maximizar la utilidad total por venta de los artículos.
 Se supone que todos los artículos producidos se
venden y que la utilidad unitaria permanece
constante, sin importar la cantidad vendida.
Toma de Decisiones: Mezcla óptima de ventas
Ejemplo 1:
Construcción del modelo:
Siguiendo la metodología propuesta, una vez
comprendida la situación que se describe, se organizan
los datos en una tabla; con lo cual será más fácil su
utilización para construir el modelo.
Toma de Decisiones: Mezcla óptima de ventas
Ejemplo 1:
Construcción del modelo:
Un bosquejo de la situación puede ser el que se muestra
a continuación
Elementos claves del problema: materias primas y los
dos tipos de artículos, mientras que el objetivo es
maximizar la utilidad.
Toma de Decisiones: Mezcla óptima de ventas
Ejemplo 1:
Construcción del modelo:
Definición de las variables:
X1 : cantidad de artículos tipo 1 a fabricar en el período.
X2 : cantidad de artículos tipo 2 a fabricar en el período.
Función objetivo
Utilidad total = 400X1+ 300X2 ($/periodo)
Limitantes o restricciones en el logro del objetivo
Toma de Decisiones: Mezcla óptima de ventas
Ejemplo 1:
(Condición de no negatividad de las variables)
X1 ≥ 0, X2 ≥0
Por lo cual el modelo tendrá la siguiente forma final:
Maximizar Utilidad total = 400X1+ 300X2
Sujeta a:
Con X1, X2 ≥ 0
Toma de Decisiones: Mezcla óptima de ventas
Ejemplo 1: Análisis dimensional
En la función objetivo:
400 ( $ / unid de P1) * X1 ( und de P1 / período)
+ 300 ( $ / und de P2) * X2 ( und de P2 / período) = ( $
/ período)
Se verifica que son las mismas unidades de la función
objetivo.
En las restricciones analicemos únicamente para el
consumo de la materia prima A, pues para las otras es
similar.
1(libra de A/und de P1) * X1 (und de P1/periodo)
+ 1(libra de A/unidad de P2) * X2 (und de P2/periodo)
= (lbs de A/periodo)
Que coinciden con las unidades del miembro derecho de
Toma de Decisiones: Mezcla óptima de ventas
Ejemplo 1:
En algunas situaciones de mercado ocurre que hay
límites en las ventas máximas o mínimas de un
determinado tipo de artículo, lo cual debe reflejarse en
el modelo como una restricción en el valor de la variable
correspondiente a la actividad.
Por ejemplo si conocemos que la demanda máxima del
artículo 1 es de 30 unidades, debemos incluir en
problema la condición de que no se produzcan más de 30
unidades de este articulo, ya que la producción adicional
no tendría comprador, generando entonces un inventario
en lugar de contribuir a la utilidad total (X1 ≤ 30)
Igualmente si tenemos una demanda comprometida de
15 unidades del artículo 2, la cual deseamos satisfacer,
debemos agregar al modelo una restricción expresando
que el número de unidades del articulo 2 debe ser al
menos 15. (X2 ≥15)
Toma de Decisiones: Mezcla óptima de ventas
Ejemplo 2:
Una compañía produce tres tipos de artículos, para lo
cual realiza las operaciones C, F, T. La máquina que se
utiliza para la operación C tiene un costo por hora de
$1,500; la de la operación F tiene un costo por hora de
$2,400 y la de la operación T cuesta $1,200 por hora.
El costo del material para una unidad del artículo 1 es
$50, para una unidad del artículo 2 es de $80 y para
una unidad del artículo 3 es de $140.
Los precios de venta para los artículos son
respectivamente de $400, $420 y $500, la unidad. Los
tiempos de proceso requeridos por una unidad de cada
tipo de material, se dan en la siguiente tabla:
Minutos de operación por unidad de artículo
Tipo de artículo
C
F
T
A1
2.5
2.0
4.0
A2
2.5
1.0
2.5
A3
2.0
0.5
2.0
Toma de Decisiones: Mezcla óptima de ventas
Ejemplo 2:
La compañía necesita conocer cuantas unidades de
cada tipo de artículo debe fabricar en una hora, para
obtener la máxima utilidad.
Construcción del modelo:
Con los datos del problema se elaboran las tablas
siguientes:
Máquina
C
F
T
Costo de HM ($/min)
25
40
20
Máquina
1
2
3
Costo de HM ($/min)
PVU
50
400
80
420
140
500
Toma de Decisiones: Mezcla óptima de ventas
Ejemplo 2:
 Los elementos son la materia prima, las
operaciones de proceso y los tres artículos.
tres
 El objetivo será maximizar la utilidad resultante de
la producción en una hora. Esta utilidad será la
diferencia entre el ingreso por ventas y los gastos
por materia prima y operaciones en las máquinas.
Toma de Decisiones: Mezcla óptima de ventas
Ejemplo 2:
Toma de Decisiones: Mezcla óptima de ventas
Ejemplo 3:
Supongamos que una empresa de la rama
Metalmecánica fabrica 2 productos A y B, los cuales se
procesan en 3 departamentos: corte, doblado y
soldadura, cuyas horas hombre disponibles por mes
son 4,000; 2,500y 1,000, respectivamente. Se dispone
de la siguiente información para los productos:
Concepto
Productos
A
B
CVU
10.0
15.0
PVU
14.5
22.0
HH/und en corte
0.5
1.0
HH/und en doblado
0.4
0.5
HH/und en soldadura
0.1
0.2
Suponga, además, que en el mercado no pueden
venderse mas de 5000 unds de A y más de 3,000 unds
de B. ¿Cuánto debera vender la empresa de cada
producto para maximizar sus utilidades?