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Diferenciación
numérica
Métodos numéricos
Soraida Zúñiga
¿Qué es la diferenciación numérica?
• Cuando se va a aplicar la operación de derivada a una
función tabulada, el camino a seguir es aproximar la tabla
por alguna función y efectuar la operación en la función
aproximada.
• Si la aproximación es polinomial, la diferenciación numérica
consiste simplemente en diferenciar la fórmula del polinomio
interpolante que se utilizó en general.
1
Polinomio de Newton (diferencias Divididas) y
su derivada numérica
FORMA GENERAL POLINOMIO DE
NEWTON DIFERENCIAS DIVIDIDAS
EJEMPLO 1.
Polinomio de
Newton
Diferencias
Divididas
Puede ser
bien
representado
por un
polinomio de
grado 2
(x-x0)(x-x1)= 𝑥2 − 𝑥 ∗ 𝑥0 − 𝑥 ∗ 𝑥1 − 𝑥0 ∗ 𝑥1
Usando los
puntos x0, x1 y
x2, polinomio
grado 2
• LA
DERIVACIÓN
NUMÉRICA
USANDO
POLINOMIO DE NEWTON EN DIF. DIVIDIDAS
TIENE
UN
PROBLEMA
CUANDO
ES
EVALUADA EN UN PUNTO “X” QUE ES
IGUAL A ALGUNO DE LOS PUNTOS
TABULADOS. POR LO CUAL, NO SE PUEDEN
ENCONTRAR UNA BUENA APROX. A LA
DERIVADA NUMÉRICA SI SE CUMPLE LA
SITUACIÓN ANTERIOR.
• Entonces se tiene que usar el polinomio de
Lagrange, para hacer la derivada numérica
2
DERIVADA NUMÉRICA USANDO EL
POLINOMIO DE LAGRANGE
FORMULA
GENERAL.
Primera
derivada para
un polinomio
de grado n
Primera
derivada
polinomio
grado 2
Para obtener la
segunda derivada
se deriva la
expresión de la
primera derivada
• La derivación numérica usando el
polinomio de Lagrange, NO TIENE
NINGUN PROBLEMA PARA
EVALUARSE EN UN VALOR DE “X”
QUE CORRESPONDA A ALGUNO DE
LOS PUNTOS TABULADOS
Ejemplo 2. Polinomio Lagrange
TRABAJO Y/O TAREA
PROBLEMA 1
F(X)
x
RESULTADOS
PROBLEMA 1
RESULTADOS
PROBLEMA 1
PROBLEMA 2.
USANDO UNA
APROXIMACION
POLINOMIAL
SIMPLE DE
GRADO 2,
usando los
puntos donde В
igual a 9, 10 y
11 por estar
alrededor del
valor máximo de
la permeabilidad
es cual el 1340
Resultado
problema 2
Problema 3: obtenga la primera y segunda derivada evaluada en x igual a 3.7
para la función que se da enseguida, use los puntos 2, 3 y 4 con un polinomio de
Newton de grado 2
Problema 4. En la tabla siguiente d es la distancia en metros que recorre una bala a
lo largo de un cañon en t segundos. Encuentre la velocidad (PRIMERA DERIVADA) de
la bala en t=0.05 seg. Use un polinomio de newton de grado 2, con los puntos
marcados
d
resultados
Problema 3) primera derivada 1.927419
Segunda derivada 0.02503
Problema 4) 97.48 m/s
El fin…
TEMAS EXAMEN
1./ gauss seidel
2./ minimos cuadrados
3./ derivada numérica,
polinomio de newton
Formulario (solo ésta
formula mínimos
cuadrados, polinomio
grado 2)